等差数列前n项和

等差数列前n项和（精选11篇）

等差数列前n项和 篇1

一、创设情境, 提出问题

药房里有一种数丸器, 可以很快地数清同样大小的药丸数量。它是一个等边三角形的盘子, 把要数的药丸放在盘内, 将盘向一角倾斜, 轻轻晃动, 药丸便在一角整齐地排成每行比前一行多一粒的形式。如果排满了n行, 此外还有k粒 (k≤n) , 问盘内共有药丸多少粒?

分析:关键是求从第一行到第n行药丸粒数之和 (各行的药丸粒数组成等差数列, 其中首项为1, 公差为1) , 也就是求等差数列1, 2, 3, …, n的前n项和, 即

Sn=1+2+∧+n-1+n=? (请同学探究这里Sn等于什么呢?采取:先求S100=?, 再求Sn=?)

二、探索思路, 体验过程

探法一:Sn=1+2+∧+n-1+n (1) (正序)

Sn=n+n-1+∧+2+1 (2) (倒序)

(1) + (2) 得:2Sn= (1+n) + (2+n-1) +∧+ (n-1+2) + (n+1)

(正序+倒序:称为“倒序相加”)

(利用“倒序相加”的思想方法得到)

故盘内共有药丸粒。

三、拓展规律, 得出结论

设等差数列{an}的公差为d, 前n项和为Sn,

则Sn=a1+a2+∧+an-1+an (请同学猜想等于什么呢?)

(1) + (2) 得:2Sn= (a1+an) + (a2+an-1) +∧ (an-1+a2) + (an+a1) (“倒序相加”)

Θ1+n=2+n-1=∧=n-1+2=n+1

∴a1+an=a2+an-1=∧=an-1+a2=an+a1 (在等差数列{an}中, 距首末两项等距离的项的和相等。通过公式推导的过程, 展现数学中的对称美)

有2Sn= (a1+an) n

即 (采用“倒序相加”的思想方法证得)

说明: (1) 采用“倒序相加”的思想方法, 我们得出, 同学们联想这个公式与我们学过的什么公式类似呢? (学生:梯形面积公式) , 请同学们类比梯形面积公式把它记住。Sn= (a1+an) n2

(2) 在研究等差数列的时候, 我们常说基本量, 基本量是什么? (学生:首项a1和公差d) , 我们知道, 如果a1和d确定了, 那么等差数列就确定了, 能不能用a1和d表示这个等差数列前n项和公式呢? (学生:能, Θan=a1+ (n-1) d∴

(3) 我们发现, 两个求和公式靠通项公式联结, 出现了5个量, 分别是Sn, n, a1, d, an, 如果知道其中三个, 就很容易求出另外两个 (学生:解“知三求二”问题, 一般有三种解法, 要注意选择最佳方案) 。

四、体验公式, 简单应用

某表演场共有24排座位, 后一排比前一排多2个座位, 最后一排有110个座位, 问这个表演场一共有多少个座位? (找学生说出解法:教师ppt打出:)

分析:问这个表演场一共有多少个座位, 也就是求从第1排到第24排座位数之和 (各排的座位数组成等差数列) , 即求等差数列{an}前24项和S24。

解法一:已知n=24, d=2, a24=110, 先求a1, 再来求S24

解法二:n=24, d=2, a24=110, 不求a1, 直接求S24

可以把这个数列倒过来, 新数列与旧数列的和是相等的, 我们可以把110当作首项, 公差变成-2进行求和。

(大胆对题目进行等价变换, 也正是倒序的思想体现)

答:这个表演场一共有2008个座位。

点评:解等差数列应用题的基本步骤: (教师提出:学生合作答出:ppt打出:)

(1) 将应用题转化为等差数列模型 (把文字语言翻译成数学符号语言) 。

(2) 在等差数列{an}中, 写出已知的量和要求的量。

(3) 运用等差数列的通项公式和前n项和公式 (通过解方程或解方程组) 求出实际答案。

五、总结思路, 提炼思想

教师:现在请同学们总结一下本节课学到的知识和方法。

同学a:我们为了解决现实生活、工作中遇到的实际问题, 进一步学习了等差数列的两个求和公式, 并且体会了公式的简单应用。

同学b:还有一个重要的思想方法, “倒序相加”法 (即根据有些数列的特点 (如等差数列) , 将Sn倒写后再与Sn相加, 从而达到 (化多为少) 求和的目的) , 这是我们接触的全新的思想, 非常巧妙, 让我们开阔了思路。

同学c:我们采用“问题解决”的教学模式 (即以实际问题为中心, 选择、组织数学教学内容, 并以解决实际问题为主要学习方式的教学模式) 。与教材的教学模式 (主要是先讲理论教学内容, 然后到公式理论运用, 实际应用放在次要位置) 不同。

教师:一是同学们懂得了数学源于生活 (实践) , 服务于生活 (实践) 的特点, 体会到自己在学“有价值的数学”, 而且是富有兴趣地去学;二是突出实践在教学内容中的主导地位, 用实际问题来引领理论, 使理论从属于实践;三是我们为了解决实际问题, 体验了等差数列求和的发展过程, 希望同学们掌握“倒序相加”的思想, 提高构造的能力, 熟记两个公式并会适当选择、应用。

参考文献

[1]周映平.新课程背景下“问题解决”的数学教学模式的建构.数学通讯, 2007 (1) .

[2]雷晓莉, 等.将数学史引入“等差数列前项和”的教学实录.数学通讯, 2007 (19) .

等差数列前n项和 篇2

——“等差数列前n项和”教学实录

《普通高中数学课程标准(实验)》中指出:“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识”.数学公式教学应包含三部分:公式的发现、公式的证明和公式的应用.但当前,由于受应试教育的影响,前两部分往往是“蜻蜓点水”“一带而过”,而第三部分却弄得“脚踏实地”“反复操练”,这显然与“既要重结论,又要重过程”的现代教育理念不相符.其实,在数学公式教学中,所谓“重过程”就是要把当初数学家发现和证明数学公式的经历,通过教师创造性的设计,让学生类似的经历数学公式的发现和证明这一再创造的过程;“重过程”就是让学生在不断地发现问题、提出问题、解决问题的过程中,潜移默化地学会研究数学的方法,提高数学素养,学会数学地思考,发展创新意识.下面叙述的是按照“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”设计的“等差数列前n项和”研究课的全过程.不妥之处,敬请专家、同行赐教.1 设计问题 创设情境

教师:德国著名数学家高斯被人们称为“数学王子”,因他小时候就非常聪明,他是历史上不多见的以“神童”著称的一位数学家,一则广为流传的故事是高斯10岁的时候,有一天,老师为了让班里的孩子们有事干,便出了一道题,即

问题1 求1+2+3+„+100=?

然而老师刚把题写在黑板上一会,小高斯就求出了它的结果,你知道应如何计算吗? 学生1:因为1+100=101,2+99=101,„,50+51=101,于是所求的和是101×100/2=5050.学生2:设s=1+2+3+„+100,①

则s=100+99+98+„+1,②

①+②得,2S=101×100,所以S=101×1002=5050.(此故事及学生1的算法早已为学生所熟知,这里重提此故事,主要是希望学生由此能提出更一般地问题,发现新的算法(如学生2的算法,已见等差数列前n项和推导方法—倒序相加法的雏形).问题2 如图1,是一垛钢管,最下面一层放了102根,最上面一层放了3根,往上每一层都比它下面一层少放一根.这垛钢管共放了多少根钢管

?

不一会儿,就有学生举手回答.学生3:由等差数列的通项公式易知,这垛钢管共100层,由图1联想到梯形的面积公式的推导方法,用类似的方法去想.如图2所示,可以看出图2每层均有3+102根,又知共100层,故共有(3+102)×100根.从而得这垛(图1中)钢管的根数为(3+102)×100/2=5250.学生4:我和学生3想的差不多,由图1联想到梯形的面积公式:梯形的面积=(上底+下底)×高2,于是,图1中的钢管数为:(3+102)×1002=5250.(众生羡慕不已,教师也为该生的创造性解法所折服,这个解法出乎意料!但该解法缺乏依据,为了保护学生的积极性,教师未否定)提出问题 解决问题

教师:由问题1及问题2,同学们能想到些什么问题吗?

学生5:由问题1想到能否求:从1一直加到n呢?即

问题3:求1+2+3+„+n=?,(n∈N+).教师:学生5提出了一个较问题1更为一般的问题,谁能说说所谓求1+2+3+„+n=?,(n∈N+),是什么意思?即题中的“?”应当是一个什么样的表达式?

学生6:所谓求1+2+3+„+n=?(n∈N+),就是要想办法消除左式中的“„”号,而将式子中的“?”用n表示出来.(这一环节不容忽视!这样才能弄清题意、弄清解题目标.)

教师:很好!谁能求出其结果?

学生7:仿问题1中学生2的解法,有因为1+2+3+„+n=?③

所以n+(n-1)+(n-2)+„+1=?④

③+④得,(1+n)n=2?,所以?=n(n+1)/2.即1+2+3+„+n=n(n+1)/2.(※)

教师:上述方法是解决这类问题较方便的方法,大家给这种方法起个恰当的名称好吗?(经讨论大家一致同意叫“倒序相加法”.将起名字的任务交给学生,一是为了激发学生的学习热情,促进学生的概括能力和交流能力的提高;二是能加深对这种方法的认识,并为后续内容的学习做准备.)

学生8:问题1和问题2都是求等差数列前n项和问题,最终都是首项与末项的和乘以项数再除以2,因此,我认为等差数列{an}的前n项和Sn的计算公式应为:

Sn=(a1+an)n/2.教师:这只是一个猜想,其正确性有待于证明.学生探索 证明猜想

教师:设等差数列{an}的前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+a3+„+an.证明或否定:Sn=n(a1+an)/2.学生9:联想到等差数列{an}通项公式的推导方法,设公差为d,因为S1=1×a1+1×(1-1)/2d,S2=a1+a2=2a1+d=2a1+2(2-1)/2d,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=3a1+3(3-1)/2d,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=4a1+4(4-1)/2d,„,由此得到Sn=n(a1+an)/2.(由于学生还没有学习数学归纳法,因此,虽不能作为一个完整的证明,但也算是一个好思路.)

学生10:要想确定Sn,首先a1和n是必需的,其次是d或an之一.即计算Sn的表达式中必有a1,n,d(或an).Sn=a1+a2+a3+„+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+„+[a1+(n-1)d]

=na1+[1+2+3+„+(n-1)]d

=na1+[1+(n-1)](n-1)/2d

由公式(*)=na1+n(n-1)/2d(公式一)

=na1+n(n-1)/2×(an-a1)/(n-1)=na1+n(an-a1)/2=n(a1+an)/2.(公式二)

学生11:受问题2,学生3和问题3的倒序相加法的启发,有

Sn=a1+a2+a3+„+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+„+[a1+(n-1)d],⑤

又Sn=an+an-1+an-2+„+a1=[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-3)d]+„+a1,⑥

⑤+⑥.得2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+„+[2a1+(n-1)d]=2na1+n(n-1)d.所以Sn=na1+n(n-1)/2d.稍作变形又得,Sn=n(a1+an)2.数形结合 继续探索

教师:由上节课我们知道:等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d,也可以写成an=dn+(a1-d),且知,当d≠0时,它是关于n的一次函数, 因此,表示等差数列{an}的各点(n,an)均在一次函数y=dx+(a1-d)的图象上,是其图象上均匀排开的无穷多个孤立的点.比如图3,试问你能借助图象给出公式Sn=n(a1+an)/2的几何解释吗?

学生12:将图3画成图4所示的“楼梯状”(实线部分)图形,则等差数列{an}中的a1,a2,a3,„,an恰好依次为图4中各个实线小矩形的面积.因此,要求Sn=a1+a2+a3+„+an,相当于求图4中这些实线小矩形的面积之和.受问题2解法的启发,只需再倒置上一个同样的“楼梯状”(虚线部分)图形,如图4.则Sn=1/2S矩形=n(a1+an)/2.教师:不过上述证明仅适合an>0的情况.学生13:因为an=a1+d+d+„+d(看成能力),这样将a1,a2,a3,„,an按纵向排列,使ak排在第k行上,得到一个三角形数阵(如图

5),联想到三角形的面积公式(注意第1列单算)知,Sn=na1+(n-1)2/2d.(☆)

【(☆)式一出,下面立即炸了锅,有的自言自语,有的指着黑板相互交流,个别学生大声说不对吧?】

教师:同学们认为上述解法的问题在哪里?

学生14:(☆)式肯定错了,比如取n=2时,由(☆)式得,S2=2a1+1/2d,当d≠0时,与S2=a1+a2=2a1+d相矛盾.教师:很好!用一个特例否定一个结论是数学中的一种重要方法.学生15:(很激动的样子)我找到原因了!不应当类比三角形的面积公式,而应当类比梯形的面积公式,因为上底长为1(个d),而不是0.所以Sn=na1+[1+(n-1)]×(n-1)/2d=na1+n(n-1)/2d.(问题的症结找到了,问题解决了,师生都松了一口气.但该解法缺乏依据,为了保护学生的积极性,教师仍未否定)

学生16:受问题2的启发,将图5旋转180°所得数阵拼到图5的数阵上得图6,可以看出图6每行有(n-1)个d,又共有n行,所以2Sn=n×2a1+n(n-1)d,所以Sn=na1+n(n-1)/2d.裂项求和 锦上添花

教师:同学们在小学和初中时,曾经做过以下问题:求:1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+„

+1/(99×100).还记得当时是如何计算的吗?

众生:用裂项法,即利用1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1).教师:请同学们思考:等差数列{an}的前n项和可否用裂项法求和呢?请同学们分组讨论.小组1:因为an=[(an+d)2-(an-d)2]/(4d)=1/(4d)(a2n+1-a2n-1)(n≥2),(以下略).(经追问说是受x=[(x+1)2-(x-1)2] /4启发而得.)

小组2:因为an=[(an+d)2-a2n]/(2d)-d/2=[a2n+1-a2n]/(2d)-d/2,(以下略).(经追问说是受(k+1)2-k2=2k+1,变形得k=[(k+1)2-k2)/2-1/2的启发而得.)

小组3:因为2d=an+1-an-1,所以2dan=an+1an-anan-1,所以an=(an+1an-anan-1)/（2d）(n≥2).(以下略).教师:棒极了!用裂项法求和就是将和式中的每一项都分解成两式之差,其关键是所分解成的两式之差,在求和的过程中能达到消项之目的.课堂小结 观点提炼

教师:我们这节课主要发现和证明了等差数列的前n项和公式,共有两个公式,它们之间可以相互转化.同学们能否说一说这两个公式有什么用途吗?

学生:这两个公式共涉及a1,n,d,an,Sn五个量,知道其中的任意3个,则可求另外的2个.教师:在发现和推导公式的过程中,都用到了哪些数学思想方法?

等差数列前n项和 篇3

1 匀变速直线运动的位移公式

现行高中物理教材是利用“v—t图象下的面积表示物体运动的位移”推导匀变速直线运动位移公式的.那么，我们能否用数学方法来推导出这个公式呢？

2 弹性势能公式

弹簧具有的弹性势能等于克服弹簧弹力所做的功.

所以弹簧拉伸具有的弹性势能为

Ep=12kx2.

3 大量原子跃迁产生的谱线条数公式

原子从能级为n的激发态向低能态跃迁时，可产生（n—1）条谱线

跃迁到（n—1）激发态上的原子仍会向低能态继续跃迁，又可产生（n—2）条谱线

跃迁到（n—2）激发态上的原子还会向低能态继续跃迁，继续产生（n—3）条谱线

……

以此类推，处在能级为n激发态上的大量原子，发生跃迁总共可产生的谱线条数为

用等差数列前m+n项和公式解题 篇4

设{an}为等差数列, 公差为d, 前n项和为Sn, 则对任意m∈N*, 当m≠n时, 由am+n=am+nd=an+md, 得

由此得到等差数列{an}前m+n项和公式

2.公式的应用

例1若等差数列的前p项的和等于q, 前q项的和等于p (p≠q) , 则前p+q项的和等于 ()

(第20届“希望杯”高一1试)

解由 (*) 式, 得

故选 (D) .

例2已知等差数列{an}满足a2+a5=4, a3+a4=10, 则它的前6项的和S6= ()

解由已知, 得

3.公式 (*) 的推广

等差数列前n项和 篇5

长期以来，我们的教学太过于重视结论，轻视过程。为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化。在数学概念公式的教学中往往把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的.学生面对新问题就束手无策。 基于以上认识，在设计这两节课时，我所考虑的不是简单地复习等差数列求和公式，而是让学生自己去推导公式。学生在课堂上的主体地位得到了充分的发挥。事实上，定义推导过程就是建构知识模型、形成数学思想和方法的过程。

等差数列是高中数学研究的两个基本数列之一。等差数列的前n项和公式则是等差数列中的一个重要公式。它前承等差数列的定义，通项公式，后启等比数列的前 项和公式。高三最后复习阶段，可千万要重视课本知识，要注意对课本知识和例题的挖掘，如果我们能指导学生不满足课本所给的知识，学会对课本例题的再研究和再探索，那势必会达到事半功倍的效果。

浅析等差数列的两个前 项和公式 篇6

关键词：等差数列； 前 项和公式； 思想

许多国内外有名的数学教育家都指出：“无论从历史的发生还是系统的角度看， 数的序列都是数学的基石. 可以说，没有数的序列就没有数学”. 所以， 数列在数学中有着极其重要的地位， 我们更需要进一步的了解数学. 高中的新课标也指出， “研究数列问题的文化背景， 可以增强学生对数学学科与人类社会发展之间的相互作用的认识， 让学生体会到数学的科学价值、应用价值、文化价值开阔学生的视野， 从而提高学生的文化素养， 同时也能够激发学生的创新意识”.

如何使用这两个公式解决问题呢？下面我们通过举例来探析.

一、具有函数方程思想的公式一

在高中数学新课程标准指出， 数学教材内容的编写是按照“螺旋上升”式原则编制的， 因此， 人教版新课标数学必修5 第二章《数列》的安排并不是突然的. 由于在数列的概念和表示方法中提到“按照一定顺序排列的一组数称为数列”， 我们可知在小学和初中的时候学生都已经接触过类似题目， 但在此之前学生没有系统的学习这一类的知识， 所以对它感觉比较陌生. 高中数学的必修5第二章中数列以单独的形式体现出来可以看到它的重要性， 还在选修的4-3中再次出现， 更加说明他在中学教材的地位 .

（一）方程思想

在数学思想方法方面， 数列这部分内容中涉及到了函数与方程、等价转化、分类讨论、递推、归纳类比、整体代入、猜想、数学建模等重要的数学思想方法. 故我们可运用方程思想， 将题目条件用前 项和公式表为关于首项 和公差 的二元方程组来解决问题.

总结：

在新课标的教材中，虽然只是简单的介绍了数列的基本概念和通项以及前 项和，但在数学题目中它常结合实际问题，还与函数、不等式、解析几何、导数等的灵活结合，使它在高考中的地位在不断的上升. 因此， 求数列的通项公式与求和将成为高考对数列知识主要的考点.

对于新课标下的数列教学，我们不仅要满足最基本的课本知识传输，更要让学生对这些知识产生兴趣，而不是机械般的接受教师强制给予，更要变成学生主动去获数列的知识， 并且培养学生独立思考的能力和研究精神，这样有助于学生更好的学习 .

参考文献

[1]中学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书数学必修5[M]. 北京： 人民教育出版， 2015.

[2]任志鸿. 十年高考分类解析与应试策略[M]. 北京： 知识出版社， 2016.

[3]陈刚， 尹光霞. 新高考要求下数列教学之我见[J]. 考试， 2009： 7-8.

等比数列前n项和公式的探究 篇7

数学学习应是一个再发现、再创造的过程, 弄清数学定理、公式的来龙去脉是定理、公式教学过程的关键.在教学中, 要让学生充分体验数学知识的形成过程, 尽可能地让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探究过程, 鼓励学生探索其他可能的解答思路.学生通过自己的探索发现公式, 才能真正理解, 记忆深刻.

“等比数列前n项和”这一节课中公式的推导是一个教学难点, 如何更好地引导学生自主探究并获得结论呢?

一、铺垫探究活动的基础知识

为了能在有限的课堂教学时间内达到学习目标, 教师应针对学生的具体情况准备好必要的基础知识, 为探究活动的顺利开展作好铺垫, 提高课堂效率.请同学们说说前面学习了哪些与等比数列有关的知识?

生1:等比数列的定义:$\frac{a{}_2}{a{}_1}=\frac{a{}_3}{a{}_2}=\frac{a{}_4}{a{}_3}=\cdots =\frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}=q$ (常数) .

生2:等比数列{an}的通项公式:

(1) an=a1·qn-1 (a1·q≠0) ;

(2) an=am·qn-m (am·q≠0) .

生3:an与Sn的关系:

$a{}_n=\{\begin{array}{l}S{}_1(n=1)‚\\ S{}_n-S{}_{n-1}(n\ge 2)\end{array}$

或

Sn=Sn-1+an (n≥2) .

二、从简单、特殊例子开始探究

问题设计由浅到深、由简单到复杂、由低层次到高层次, 有利于用知识的联系来启发思维, 消除学生对新知识的恐惧和陌生心理, 促进对知识的理解和掌握.

少年高斯发现了等差数列:1+2+3+…+100“颠倒相加和变积”的简便算法, 你能发现下列各题的简便算法吗?

①S2=1+2=;

②S3=1+2+22=;

③S10=1+2+22+23+…+29=.

首先由学生独立探究, 教师巡视, 观察学生探究情况.然后学生分小组讨论, 最后小组展示自己的探究成果, 全班交流, 互相学习.教师点评, 将学生的发现上升为规律总结, 提炼数学思想, 使学生的思维得到升华.

小组1: (无奈的语气) 用倒序相加法算不出结果.

教师:至少排除了一种不可行的方法, 也不错.

小组2:把式子S10=1+2+22+…+29化为S10=1+2 (1+2+…+28) 后不知怎么做下去了.

教师启发:想一想, 括号内的式子1+2+…+28可用什么表示?

生5:可用S9表示, 即S10=1+2S9.

生3马上接着大声说:由于S9=S10-29, 所以S10=1+2 (S10-29) , 得S10=210-1.

妙!真妙!许多学生啧啧称奇.

教师:小组1的同学排除了倒序相加法, 从S10=1+2 (S10-29) 这一式子可知, S10-2S10=1-210, 想一想:从这一式子你能想到另外的简便算法吗?

学生陷入了沉思, 许多学生疑惑不解.过了一会儿, “题霸”发话了:我知道了, 用相减的方法. (这名同学解题能力很强, 同学们给他封了这个绰号)

“题霸”从座位上站起来慢慢地走到黑板前板书:

由S10=1+2+22+…+29, ①

得2S10=2+22+…+29+210. ②

②-①, 得S10=210-1.

教师:好!很好!请大家给这种方法取一个名字, 叫什么相减法?

生6:错位相减法.

教师:“错位相减法”是求数列前n项和的一种重要方法, 请说一说“错位相减法”的一般步骤.

学生:式子两边同乘以等比数列的公比后, 再两式错位相减.

教师:还有同学有其他解法吗?

“有.”坐在最后一排的“胖子”迈着从容的脚步走到黑板前飞快地板书:

由S1=1=2-1, S2=3=22-1, S3=7=23-1, …, 依此类推得到S10=210-1.

教师:这种方法是从特殊到一般的归纳猜想思想, 这对于找某些有规律的问题的结论非常有用.不过这种方法只是猜想, 猜想正确与否需要证明, 证明方法将会在以后学习.接着提出:用归纳法猜想S10=30+31+32+…+39=?

学生:疑惑.

教师启发:S10是否与310-1有关呢?

学生在教师的引导下得出$S{}_{10}=\frac{3{}^{10}-1}{2}$.那么S10=40+41+42+…+49呢?

有了前面的铺垫, 本题的结论水到渠成:$S{}_{10}=\frac{4{}^{10}-1}{3}.$

教师再问:还有不同解法吗?

学生:沉默.

教师启发:许多问题往往可从概念出发思考问题的解法.

只见一位文静的女生从座位上慢慢地站了起来:我想可用分式的等比性质求解.然后用清秀的字体在黑板上演示了她的解题过程:$\frac{2}{1}=\frac{2{}^2}{2}=\frac{2{}^3}{2{}^2}=\cdots =\frac{2{}^9}{2{}^8}=2\Rightarrow \frac{2+2{}^2+\cdots +2{}^9}{1+2+\cdots +2{}^8}=2\Rightarrow \frac{S{}_{10}-1}{S{}_{10}-2{}^9}=2\Rightarrow S{}_{10}=2{}^{10}-1.$

三、类比联想, 推导公式

教师:对于一般的等比数列前n项和:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an=?即Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1如何化简?

学生: (由于前面有了对等比数列前n项和的计算经验, 许多学生很快推导出了以下结果)

$S{}_n=\frac{a{}_1-a{}_{1}q{}^n}{1-q}.$

(以上公式中的条件“q≠1”是学生容易忽略的, 为此设计以下练习)

教师:可用上面的公式计算“S50=8+8+…+8”吗?

遗漏条件“q≠1”的同学恍然大悟, 马上对公式进行了修正:

四、拓展延伸, 提升学生思维能力

不知不觉就快要下课了, 教师与学生共同回顾了前面的探究过程.至此, 围绕“等比数列前n项和公式的推导”这一课题, 学生的探究性学习已接近了尾声.而此时, 他们的兴趣却达到了高潮, 许多学生的脸上还洋溢着获得成功的喜悦之情.苏霍姆林斯基说过:“教给学生借助已有知识去获取新知识, 这是最高的教学技巧之所在.”从拓展学生思路, 培养学生良好思维品质, 提升思维层次, 使所学知识得到延伸和升华的需要出发, 我决定将其延伸和拓展, 布置了两道课外思考题:

(2) 求和:x+2x2+3x3+…+nxn.

这一节课, 同学们经历了合作交流, 积极地参与到得出结论的整个探究过程, 在过程中有了自己的一份成果, 体验到了成功的快乐, 为提高学生学习的热情起到积极的作用.

“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习, 高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性, 使学生的学习过程成为在教师引导下的`再创造'过程.”我对新课程标准中提出的教学思想又有了更进一步的认识.

等比数列前n项和公式的探究过程 篇8

提出问题: 已知等比数列{ an} 的首项为a1, 公比为q, 求它的前n项和Sn.

问题分析: 这个问题中给出的已知条件就是等比数列、首项和公比, 要求的是前n项和. 我们已经学习过等差数列的相关概念和公式, 那么等比数列是否也可以用类似于等差数列前n项和公式的推导方法进行推导呢? 经过思考和实践, 主要总结出了以下的几种推导思路.

一、以等差数列前n项和公式的推导为参考

当{ an} 为等比数列时, 这样就表示出了Sn, 但这个式子里面共有n项相加, 必须要化简, 消除其中的一些项, 只用某几项来表示. 从上面的式子我们可以观察到, 从第二项起, 每一项都是前一项的q倍, 那么我们可以采用类似于等差数列前n项和的方式, 对该式的两边同时乘q得到一个新的式子:, 用这个式子减去Sn, 就可以把大部分的项都消除掉, 得到, 整理得:且当q≠1时, 当 q = 1 时, Sn= na1.

反思这种方式类似于等差数列前n项和的推导过程, 主要就是通过适当的变形和相减, 把大部分项都消除掉, 达到化简的目的, 使Sn能够写成用a1, q和n表示的形式.

二、以等差数列的通项公式推导方式为参考

在等差数列中, 当n≥2时, 有a2- a1= d, a3- a2= d, …将这些等式的两边分别相加起来, 就可以消除掉等式左边的中间项, 得到an- a1= ( n - 1) d, 且当n = 1时, 这个等式也成立. 那么把这个推导方法运用到等比数列中得:也就是同样的, 把这些等式都加起来, 就得到了等式的左边少了加上a1可以凑成Sn等式的右边括号内加上an也可以凑成Sn, 所以等式可以写成Sn- a1= ( Sn- an) ·q且当q≠1 时, 当 q = 1 时, Sn= na1

反思这种方法是根据等比数列的定义推导出来的, 把每一项表示出来, 用累加的方式就可以得到与Sn相关的式子, 再进行适当的变换, 用已知把Sn表示出来就得到了我们需要的目标公式. 这种推导方式的实质就是建立一个有关于Sn的方程, 解出这个方程, 就是用相关的已知量来表示Sn, 因此, 这可以说是一种方程思想的应用.

三、以等比数列的定义结合比例式的性质进行推导

根据等比数列的定义，与方法二中相似的方法, 要使得式子中出现要求的Sn, 就要凑出通过观察可以发现这个式子的特点是分子中含有除a1外的其他项, 那么, 我们结合 比例式的 性质, 可以得到也就是同样可以得到有关于Sn的方程.

反思这种思路直接从定义出发, 结合等比例的性质, 更容易理解, 思路方面比第二种方法更加清晰自然. 相同之处都是运用了方程的思想, 用解方程的方式把所求的公式表达出来.

等比数列是高中数学的重点和难点, 特别是有关公式的推导, 教师在教学中一定要重视, 只有经过认真思考和推导之后, 学生们对公式的理解才比较彻底, 在实际运用中才能更加灵活.

参考文献

[1]吴静, 祝世清 (指导教师) .方程法变形数列递推公式.中学生数学:高中版, 2013 (9) .

[2]汪元健.求数列通项公式的技巧.中国文房四宝, 2013 (6) .

等差数列前n项和 篇9

等差 (比) 数列前n项和公式的推导堪称一个经典, 多年来, 老师们针对如何上好这两公式推导方法课 (即所谓的“倒序相加法”, “错位相减法”) 做了大量的研究工作, 也发表了许多有价值的案例, 笔者作为从教20多年的其中一员, 也倍感这两种数列求和公式的推导, 确实是教学的难点.每次上完这两节课后, 总有许多遗憾, 也常被一些问题困扰.譬如, 人教社课标教材模块5, A版, 为引出“倒序相加法”设置了小高斯求和的问题情境, 文[2]认为由“高斯算法”过渡到“倒序相加法”是一个思维跨越, 学生难以完成, 产生了困惑.文[1]认为困惑的原因是知识的深度、广度与学生的认知水平之间的差异产生的, 是教学的一个难点, 而非教材设计的缺陷, 并且针对文[2]中产生的困惑, 从引导学生对“高斯算法”的本质进行思考, 提出集合与对应思想指导, 实现从“高斯算法”到“倒序相加”过渡的解决问题的思路.笔者按这一思路实践了教学, 但仍有“倒序相加”揭示不充分、不自然的感觉, 用听课教师们的话说:“依然存在直接抛出‘倒序相加法’的嫌疑.”是笔者的水平有限, 启发不够, 还是我们仍没有领悟到小高斯求和的数学本质呢?

那么, 小高斯求和的数学本质是什么?换句话说, 是什么样的思想方法驱动小高斯这样想的呢?又譬如, 等差数列和等比数列被誉为数列中的姐妹花, 它们在定义和性质上有很多相似性, 给人以许多数学美的享受和启迪, 在教学中我们也多采用类比、归纳的方法让学生体会这种美.但教材中对两种数列求和公式的推导方法的处理上, 则表现出一种不和谐、不统一.因此, 也有不少教师们反映直接类比等差数列求和公式的推导方法来推导等比数列求和公式会碰壁, 两种求和方法有着怎样的数学本质呢?等等.

1等差 (比) 数列求和公式推导方法的数学本质是相同的, 两种求和方法只是一种运算技巧

不妨先回顾一下人教社课标教材A版模块5中, 两种求和公式的推导方法, 作以下对比分析.

等差数列求和公式的推导过程

Sn=a1+a2+a3+…+an, (1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a1, (2)

(1) + (2) 得

2Sn= (a1+an) + (a2+an-1) +…+ (an+a1) .

根据等差数列性质可得

(a1+an) = (a2+an-1) =…= (an+a1) , (3)

所以

$2S{}_n=(a{}_1+a{}_n)n‚S{}_n=\frac{(a{}_1+a{}_n)n}{2}.$

等比数列求和公式的推导过程

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, (4)

(4) ×q, 可得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn, (5)

(4) - (5) 得

$(1-q)S{}_n=a{}_1+0+0+\cdots +0$n-1个0 -a1qn. (6)

所以当q≠1时, $S{}_n=\frac{a{}_1(1-q{}^n)}{1-q}.$

对Sn=a1+a2+a3+…+an求和, 关键是处理带省略号的一段, 在 (3) 式中因为a1+an, a2+an-1, …, an+a1相等, 即可求和, 整体上处理了省略号;而在 (6) 中式因为出现了 (n-1) 个0, 也从整体上成功地求出了和.可见, 两种推导方法从解决省略一段的方式是相同的, 即都是把相同的数组成的数列求出和这一简单事实.那么, 这里的相同的数组成的数列是如何构造来的呢?从 (3) , (6) 式中不难看出, 是数与数“配对”后通过两个等式加、减而来, 之所以能求出和, 是因为通过“配对”将不同的数的数列求和化归为相同的数的数列求和 (即常数列求和) .这样, 我们认为“小高斯算法”本质是转化与化归的思想方法.而“配对”只是这一数学本质的表现形式, 这样看来, 所谓的“倒序相加法”和“错位相减法”有着相同的数学方法本质, 即转化与化归的思想方法.而这两种方法本身不过是一种数列求和的运算技巧而已, 不必被推崇为方法, 更不足称为数学思想了.

基于以上对两种数列求和公式推导方法的本质认识, 由“高斯算法”到“倒序相加法”的过渡启发也就迎刃而解了.教学实施中, 教师引导学生共同提炼出小高斯的求和本质, 然后抓住这一关键, 运用一般性问句:“能否利用这一思想方法 (将不同的数的数列求和化归为相同的数的数列求和, 即常数列求和) , 对一般的等差数列求和呢?”引导学生运用等差数列性质, 自然会出现对原来数列倒序相加, 所谓的“倒序相加法”水到渠成.正如曹才翰教授所说, 中学教学的绝大部分内容, 都是人类在长期的社会实践中经过千锤百炼的数学精华和基础, 其中的数学概念、方法与思想的起源与发展都是自然的.如果你感到某个概念生硬不自然, 是强加于人的, 那么, 只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用以及它与其他概念的联系, 就会发现它实际上是浑然天成的.它不仅合情合理, 而且很有人情味.[3]

这样, 就不难解决一直困扰不少老师为什么不能用类比等差数列求和公式的推导方法来启发学生推导等比数列求和公式的难题.如, 在教学实施中, 可引导启发学生, 运用一般问句:“能否类比等差数列求和公式的推导方法 (将不同数的数列求和转化为相同数的数列求和, 即常数列求和) 来推证等比数列求和公式呢?”适当引导后, “错位相减”也将自然形成.教学实践证明, 这样更符合学生的认知特征, 使学生思维更活跃, 探究欲望高涨.

2落实课标理念, 返璞归真, 既教猜想, 又教证明

普通高中《数学课程标准》第3页指出:“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动, 让学生体验发现和创造的历程, 发展他们的创新意识”.而这方面的培养, 一个最有效的工具就是加强合情推理的教学.[4]普通高中《数学课程标准》第56页也指出:“合情推理是根据已有的事实和正确的结论 (包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程, 归纳, 类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中, 合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用, 有利于创新意识的培养.”而合情推理的实质是“发现”, 正如牛顿曾说过的那样, “没有大胆的猜想, 就做不出伟大的发现”, 没有“发现”也就没有创新!中国数学在整体上仍和国际先进水平有相当的差距, 如果说我们在技巧、证明难度上比较强的话, 那我们在数学创意、新理论的建立、新科学奠基方面, 则有很大的差距, 如此考虑, 也许“推测数学”的提出, 正击中我们的弱点[5].因而, 在数学教学中教“创新”首先应该教“猜想”吧!

另一方面, 数学内在的自然和谐是寻求自然的教学过程的源泉.[5]由于教材是用归纳—猜想—证明这一思路求解的等差数列通项公式, 那么, 在教材编写上为什么不像处理等差、等比数列通项公式一样, 运用观察—归纳—猜想—证明这一思路来处理两种数列求和公式的推导呢?尽管人教社教材B版模块5中, 用“错位相减法”推导等比数列前n项和公式, 已退为方法2, 但方法1, 仍没按这种思路编写.更何况这是培养学生合情推理能力的良好素材!教学实践充分证明:按“观察—归纳—猜想—证明”这一思路来处理两种数列求和公式的推导, 让学生经历“再创造与再发现的过程”, 获得科学发现的体验, 不仅能激发学生学习数学的兴趣, 使学生在感受数学自然、亲切的同时, 产生“看个究竟”的冲动, 兴趣盎然地投入学习, 而且也更符合学生的心理特征和认知水平.

限于篇幅, 笔者仅对等差数列前n项和公式的猜测过程、思路的探索过程以及证明的教学片段与大家分享.

2.1等差数列前n项和公式的猜想过程

笔者给出数列{an}前n项和Sn定义:称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和Sn, 即Sn=a1+a2+a3+…+an.

说明 ①数列{an}前n项和Sn定义给出后, 笔者不仅强调了定义的判定功能, 而且还强调了性质功能.如a1=S1, a1+a2=S2, a3+a4+a5=S5-S2是让学生理解定义的判定功能;又如见到S1=a1, S2=a1+a2, S5-S2=a3+a4+a5是让学生理解定义的性质功能.教学经验告诉笔者, 在解题中学生遇到像an=a1+a2+…+an-1 (n≥2) 这样的条件不知道给了什么或不会使用这个条件 (实际上, 就是an=Sn-1 (n≥2) 这样一个简单事实) , 与我们定义教学中不强调定义的双重功能不无直接关系.

②笔者强调定义是针对一般数列而言的, 当然, 若数列{an}是特殊的等差数列时, 也是适用的.目的是为后面探求等差数列前n项和公式推证的通法 (裂项法) 埋下伏笔.

师:若数列{an}为等差数列, 求和a1+a2+a3+…+an, 意味着什么?

生:化简, 化简成一个更为简洁的表达式.

师:好!那么, 这个表达式可能用什么量表示呢?

生1:用a1, d, n表示.

师:你怎么想到的?说说看.

生2:受等差数列通项公式用a1, d, n表示an的启发 (其他同学点头认同) .

师:我也赞同, 还有其他可能的表达式吗?

生3:大概是a1, an, n表示.既然上一个同学说可用a1, d, n表示Sn, 如果用an=a1+ (n-1) d可代入消去d, 就是a1, an, n表示Sn.

师:你太棒了!这样, 我们有两种可能的目标:Sn=f (a1, an, n) , Sn=g (a1, d, n) .

生4:老师我想Sn一定是n的二次函数, 因为, an是n的一次函数, ……

师:好!是否Sn是n的二次函数, 待表达式结果研究出来以后, 我们就清楚明白.同学们, 我们已经有了两种可能的结果, 那么, 我们选择什么样的方法研究呢?

生5:找规律, 猜想的办法, 因为通项公式就是用这种办法. (生点头赞同)

师:好, 同学们, 我们就不妨选用Sn=f (a1, an, n) 这种形式开始吧!

猜测1 用a1, an, n表示.

$\begin{array}{l}S{}_1=a{}_1=\frac{(a{}_1+a{}_1)\times 1}{2}‚\\ S{}_2=a{}_1+a{}_2=\frac{(a{}_1+a{}_2)\times 2}{2}‚\\ S{}_3=a{}_1+a{}_2+a{}_3\\ =a{}_1+\frac{a{}_1+a{}_3}{2}+a{}_3=\frac{(a{}_1+a{}_3)\times 3}{2}‚\\ S{}_4=a{}_1+a{}_2+a{}_3+a{}_4\\ =a{}_1+(a{}_1+a{}_4)+a{}_4\\ =\frac{(a{}_1+a{}_4)\times 4}{2}‚\\ S{}_5=a{}_1+a{}_2+a{}_3+a{}_4+a{}_5\\ =a{}_1+a{}_1+a{}_5+a{}_3+a{}_5\\ =2(a{}_1+a{}_5)+\frac{2a{}_3}{2}\\ =\frac{(a{}_1+a{}_5)\times 5}{2}‚\end{array}$

……

观察以上各式, 归纳猜想

$\begin{array}{l}S{}_n=a{}_1+a{}_2+\cdots +a{}_{n-1}+a{}_n\\ =\frac{(a{}_1+a{}_n)n}{2}.\end{array}$

说明 ①在笔者教学过程中, 当算出S3后, 学生仍鸦雀无声, 这时, 教师鼓励学生继续算出S4, S5的结果, 顿时学生脸上露出了惊喜, 全班情绪高涨.而且有的同学很快把S1, S2, S3改写为:$S{}_1=\frac{(a{}_1+a{}_1)\times 1}{2}‚S{}_2=\frac{(a{}_1+a{}_2)\times 2}{2}‚S{}_3=\frac{(a{}_1+a{}_3)\times 3}{2}$.另有一个同学窃窃私语, 结果与梯形的面积类似.笔者立即表扬了该同学的善于由“数”思“形”的好习惯和能力.接着笔者追问该生, 你能设计一个图形对我们的运算结果给一个解释或验证吗?生一筹莫展.这时笔者引导学生回忆等差数列{an}的各点 (n, an) 均在一次函数y=dx+ (a1-d) 的图像上, 是图像上均匀分布的无穷多个孤立点.如图1, 试问:你能根据图像对$S{}_4=\frac{1}{2}(a{}_1+a{}_4)4$进行验证或给出几何解释吗?设ai>0 (i=1, 2, 3, 4) , 则不少学生很快将图1画成图2, 并发现等差数列{an}a1, a2, a3, a4, 恰好为图2中各个实线小矩形的面积, 因此, 要求S4, 相当于求图2中这些实线小矩形的面积之和.生师讨论后, 只要在图2中再倒置一个与实线同样的虚线图形即可验证$S{}_4=\frac{1}{2}(a{}_1+a{}_4)4=\frac{1}{2}S{}_{\text{矩}\text{形}}‚S{}_i=\frac{1}{2}(a{}_1+a{}_i)i=\frac{1}{2}S{}_{\text{矩}\text{形}}(i=1‚2‚3‚4)$, 进一步师生共同将图2画成图3对$S{}_n=\frac{(a{}_1+a{}_n)n}{2}$进行了验证.不过强调这里的an>0.

上述验证过程, 学生兴奋不已.这时笔者提问一个学生你高兴什么?学生回答说:我们猜对了.估计是学生体验到一种数、形的统一美吧!是啊!这何尝不是我们教学一直追求的和谐美呢?加强直观教学, 重视图形在数学教学中的作用, 鼓励学生借助直观进行思考, 做出猜想或验证, 揭示研究对象的性质和关系也是《新课标》所要求和大力提倡的.

②笔者发现个别同学将S1, S2, S3, S4, 写成了如下形式:

$\begin{array}{l}S{}_1=\frac{(a{}_1+a{}_1)}{2}\times 1‚S{}_2=\frac{(a{}_1+a{}_2)}{2}\times 2‚\\ S{}_3=\frac{(a{}_1+a{}_3)}{2}\times 3‚S{}_4=\frac{(a{}_1+a{}_4)}{2}\times 4.\end{array}$

当时笔者还问学生为什么这样写呢?学生说美!那你为什么感觉美呢?学生说$\frac{a{}_1+a{}_1}{2}‚\frac{a{}_1+a{}_2}{2}‚\frac{a{}_1+a{}_3}{2}‚\frac{a{}_1+a{}_4}{2}$都是平均数, 笔者当时没过多留意.下课后查阅了一下数学史发现:早在南北朝时, 我国的《张邱建算经》已有的计算等差数列前n项和公式就是$S{}_n=\frac{(a{}_1+a{}_n)}{2}\times n$, 而不是$S{}_n=\frac{(a{}_1+a{}_n)n}{2}$, 这说明古人是用算术平均数的观点求和的.如果笔者在课堂上知道的话, 借题发挥向学生讲一点数学史, 让学生感悟一下民族文化, 岂不是锦上添花吗?更何况这也是《新课标》大力提倡的, 这也充分印证了一位老教师说的话“每节课都有遗憾!”笔者深信不疑.

猜测2 用a1, d, n表示.

观察以上各式, 归纳猜想

$\begin{array}{l}S{}_n=a{}_1+a{}_2+a{}_3+\cdots +a{}_{n-1}+a{}_n\\ =\left(a{}_1+\frac{n-1}{2}d\right)\times n=na{}_1+\frac{n(n-1)}{2}d.\end{array}$

说明 ①在教学实施过程中, 师生共同将S1, S2, S3, S4表示成形式 (Ⅰ) 后, 学生比较沉默, 较难发现规律.师仍引导学生继续讨论研究, 过一会一同学发言:需将 (Ⅰ) ⇒ (Ⅱ) ;继续 (Ⅱ) ⇒ (Ⅲ) , 即可猜出结论, 最后写成 (Ⅳ) 的形式.可见, 学生的猜想能力是不可低估的.实际上, $S{}_n=\left(a{}_1+\frac{n-1}{2}d\right)n$是刘徽在《九章算术注》中, 创造的等差数列计算公式之一.

②在猜测过程中, 还有学生发现:这里的问题实际上是对数列0, 1, 3, 6, …猜出一个通项公式, 并立即说出第n项为$\frac{n(n-1)}{2}$.师追问, 该生说是受毕达哥拉斯的三角形数的启发.顿时, 教室气氛高涨, 并有不少同学说是这个结果的还有平面几何图形中线段条数 (图4, 若有n个点在一条直线上, 共能数出多少条线段?) 、角的个数 (图5, 若有n条射线经过同一个顶点, 共能数出多少个角?) 、三角形个数 (图6, 若BE边上共有n个点, 每个点都与A连结成线段, 能数出多少个三角形?) 等等.

2.2等差数列前n项和公式的证明思路探索及证明过程

以上, 我们主要从“数”的角度通过观察—归纳—猜出了等差数列前n项和公式的结果, 尽管也从“形”的角度给出了验证或解释, 但仍不能认为是正确的, 要确认其正确性必须给出严格的证明.那么, 如何证明这个公式呢?大家来探索一下思路吧, 请各抒已见, 大胆一些!

生6: (证法1) 当n为偶数时,

师:你证得太棒了!你是怎么发现这种思路的?说说看.

生:我是从我们前面对S1, S2, S3, S4, S5的计算中发现的思路.

这时, 师高度赞扬该同学, 且说著名数学家华罗庚倡导在研究和解决数学问题时要善于“退到原始状态”, “先退后进, 退是为了进”确是一种科学的方法, “退”是为寻找“进”的经验、方法或思路.

师:生6同学是用讨论的办法给出了证明, 但从Sn的结果来看是不受n为奇数、偶数的影响.哪位同学能想出一个避免讨论的办法呢?

以下教师引导学生研究学生6的证明过程, 并共同提炼出上述证法的实质是将不同数的数列a1, a2, a3, …, an求和转化为相同数的数列a1+an, a2+an-1, …, ai+an-i求和, 即常数列求和, 但要a1与an, a2与an-1, ……等配对, 再利用性质m+n=s+t⇒am+an=as+at即可证明.

生7: (证法2) 因为

$S{}_n=\frac{(a{}_1+a{}_n)n}{2}\iff 2S{}_n=(a{}_1+a{}_n)n$,

而 Sn=a1+a2+…+an-1+an,

又 Sn=an+an-1+…+a2+a1,

两式相加即得结论.

师:你怎么想到对Sn又倒序写出来呢?

生7:我看到式 (1) 中, 有$\frac{1}{2}$, 将 (1) 两边同乘以2, 得2Sn= (a1+an) n, 又要a1与an, a2与an-1配对, 而在统计学中, 改变数据的排列方式是分析数据的基本方法, 所以想到将Sn倒写出来, 并写成an+an-1+…+a2+a1的形式.这样才能将不同数的数列a1, a2, a3, …, an转化为相同数的数列a1+an, a2+an-1, …, ai+an-i求和.

师:你太聪明了!那你也给你发现的方法取一个名字吧?

生:倒序相加法.

说明 ①从生6, 生7的证明可以看出, 只要教师启发引导到位, 尤其是师生能归纳概括出将不同的数的数列求和转化与化归为相同数的数列求和, 并抓住这一关键, “倒序相加法”是能自然形成的.这样, 教材中的小高斯求和的情境也无须创设.但可以作激发学生学习兴趣的数学史料介绍给学生.

②不论是对公式$S{}_n=\frac{(a{}_1+a{}_n)n}{2}$的猜想, 还是证明, 学生都有统计学观点的流露.如将S1, S2, S3, S4写成$S{}_1=\frac{(a{}_1+a{}_1)}{2}\times 1‚S{}_2=\frac{(a{}_1+a{}_2)}{2}\times 2‚S{}_3=\frac{(a{}_1+a{}_3)}{2}\times 3‚S{}_4=\frac{(a{}_1+a{}_4)}{2}\times 4$是学生对平均数这个统计量有较深入认识、理解的表现, 用平均数的观点去理解学生6的证法1, 那就是寻找到a1, a2, a3, …, an这些数平均数$\frac{(a{}_1+a{}_n)}{2}$再乘以n即得$S{}_n=\frac{(a{}_1+a{}_n)n}{2}$.笔者冒昧猜测小高斯是否也是这样对1+2+…+100求和的呢.学生7改变数据的排列方式是分析数据的基本方法, 表明学生7已经善于用统计学的思想方法来分析、解决问题了.那么, 就更易理解“倒序相加”只是一种形式了.可见, 用统计的观点推导等差数列前n项和公式, 思路清晰, 简捷明了.既沟通了代数学与统计学的联系, 又拓展了我们认识问题的视野.

师:至此, 我们已对我们上节课中猜想出的$S{}_n=\frac{(a{}_1+a{}_n)n}{2}$进行了证明, 但这个公式仅对等差数列适用, 换句话说, 对非等差数列是不能用这个公式的.那么是否存在更一般的数列求和的方法呢?如果我们找到这种方法的话, 那么这种方法也一定可以用来推证等差数列前n项和的公式.

生:点头. (我想学生是在表示存在这种方法, 但目前不知道是什么方法)

师:那么, 我们确信一定有一种适用范围更广泛的方法, 是什么呢? (但一时学生似乎没什么思路, 笔者仍耐心引导)

师:到目前为止, 你做过数列求和的题目吗?你做过的话是用什么方法解答的?

说明 平时教学, 我们应要求学生不应满足于特殊状态下的结论或方法, 而要探寻更一般的结论或方法.对一般结论或方法的探寻, 对学生各种能力尤其是创新能力提出了更高的要求, 即可充分调动学生的潜在能力, 知识储备, 数学经验, 又能激发对科学真理锲而不舍的追求精神.

生8:我在小学做过一道题目:

求:$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{99\times 100}.$

生:裂项法.

师:请同学们思考:等差数列的前n项和公式是否可用裂项法求和呢? (在学生讨论思考过程中, 笔者不断插话:“要裂项, 你应抓住哪一项进行裂项呢?”不一会)

生9:我有办法了.

$\begin{array}{l}\text{裂}\text{项}\text{方}\text{法}1a{}_n=a{}_n\times \frac{d}{2}\times \frac{2}{d}\\ =a{}_n\times \frac{2d}{2d}=a{}_n\times \frac{a{}_{n+1}-a{}_{n-1}}{2d}\\ =\frac{1}{2d}(a{}_{n+1}a{}_n-a{}_{n}a{}_{n-1})(n\ge 2).\end{array}$

师 (追问) :你是如何想到的?

生9:是受$S{}_n=na{}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$的结果或目标中, 有$\frac{d}{2}$的启发.

师:你太棒了!那么, 我们一起写出证明吧! (证法3)

$\begin{array}{l}S{}_n=a{}_1+\frac{1}{2d}[(a{}_{3}a{}_2-a{}_{2}a{}_1)\\ +(a{}_{4}a{}_3-a{}_{3}a{}_2)+(a{}_{5}a{}_4-a{}_{4}a{}_3)\\ +\cdots +(a{}_{n+1}a{}_n-a{}_{n}a{}_{n-1})]\\ =a{}_1+\frac{1}{2d}(a{}_{n+1}a{}_n-a{}_{2}a{}_1)\\ =a{}_1+\frac{1}{2d}\{(a{}_1+nd)[a{}_1+(n-1)d]\\ -(a{}_1+d)a{}_1\}\\ =na{}_1+\frac{n(n-1)}{2}d.\end{array}$

(整个推证过程, 同学们兴奋不已, 有的为该同学的证法欢呼喝彩, 有的跃跃欲试想其它裂项方法)

说明 ①数学教学必须遵循人们认知的普遍规律, 即“由特殊到一般”, 也就是在认识个体的基础上去认识全体, 继而再用一般的结论或方法来解决具体问题.在上课过程中当学生完成了证法3后, 笔者板书了如下框图, 以帮助学生更好理解认识裂项法是数列求和的一般方法, 是通法.而“倒序相加法”适用于等差数列前n项和公式推导或求和的特殊方法, 是一般与特殊的关系.

以下是同学们讨论的裂项成果, 写出来与读者分享:

裂项方法2 受目标$S{}_n=na{}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$中有na1的启发

$\begin{array}{l}a{}_n=a{}_1+(n-1)d\\ =a{}_1+\frac{d}{2}[n{}^2-(n-1){}^2-1]\\ =\left[a{}_1+\frac{d}{2}n{}^2\right]-\left[\frac{d}{2}(n-1){}^2+1\right].\end{array}$

裂项方法3 因为2d=an+1-an-1 (n≥2) , 所以2dan=an+1an-anan-1 (n≥2) , 则

$a{}_n=\frac{1}{2d}(a{}_{n+1}a{}_n-a{}_{n}a{}_{n-1})(n\ge 2).$

裂项方法4 由 (x+y) (x-y) =x2-y2,

$\begin{array}{l}\text{得}xy=\left(\frac{x+y}{2}\right){}^2-\left(\frac{x-y}{2}\right){}^2\\ =\frac{(x+y){}^2-(x-y){}^2}{4}.\end{array}$

令x=an, y=d, 则

$\begin{array}{l}a{}_n=\frac{(a{}_n+d){}^2-(a{}_n-d){}^2}{4d}\\ =\frac{1}{4d}(a{}_{n+1}^2-a{}_{n-1}^2)(n\ge 2).\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{裂}\text{项}\text{方}\text{法}5\text{由}(k+1){}^2-k{}^2=2k+1‚\\ k=\frac{(k+1){}^2-k{}^2}{2}-\frac{1}{2}‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{得}a{}_n=\frac{(a{}_n+d){}^2-(a{}_n){}^2}{4}-\frac{d}{2}\\ =\frac{1}{2d}(a{}_{n+1}^2-a{}_n^2)-\frac{d}{2}.\end{array}$

②教证明, 培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标.那么, 如何教证明, 又如何通过教证明让学生学会证明, 众多专家发表过许多真知灼见.在本课例中, 笔者运用了数学探究这一新课程大力倡导的学习形式, 对求和思路的发现, 形成以及多种裂项方法的探索, 在笔者的引导下, 让学生实施了局部探究, 从教学效果来看是令人满意的.在数学课堂中, 学生除了学习到应有的知识以外, 更要挖掘他们的创造潜能, 实现具有人文价值的创新与创造, 而这些都要以理性的探索、求真、质疑作为坚强的依托.理性的探索具体表现在对问题情境能合理地选择有效的手段和策略, 灵活运用所学的知识与方法进行探索研究, 理清解决问题的思路, 既快又准甚至是创造性地解决问题.[6]

③关注学生认知规律少, 强加于人的“不自然”现象, 在我们的课堂教学中并不少见, 它对学生学习兴趣的培养, 内部动机的激发, 学习效率和效果的提高都有着极为不利的影响.因此, 如何“采集”和“创造”有效的教学素材, 寻求适合学生的教学设计, 还课堂一个清新自然的过程, 使学生获得最优的发展, 就是摆在我们面前的一个不容忽视的问题.笔者对等差数列求和公式的推导运用了“归纳—猜想—证明”这一科学发现和解决问题的方法进行了尝试, 学生从中充满了火热的思考, 历经观察、归纳、猜想、证明, 结论的探究、方法的探求, 体验了知识创造过程的辛酸苦辣, 感悟了数学本质.总之, 我们的老师必须具有独特的教育素质、情感色彩和人格魅力, 让每个学生经历并用自己的内心体验“再创造与再发现的过程”, 完成个人体验的全过程, 获得丰富积极的数学体验, 这样学生的灵性才能完全释放出来, 创新意识才有可能形成, 并得到发展[7].

3教材编写建议

通过以上的探讨可以说, 数列求和 (包括等差 (比) 数列前n项和公式的推导) 最为自然基本的方法是“裂项法”, “裂项法”是数列求和的通法.而现行教材中对等差 (比) 数列求和公式的推导方法带有一定的技巧性和应用上的局限性, 事实上, 关于运用“倒序相加法”, “错位相减法”求和的练习题, 甚至高考题, 都是人为编造的, 价值不大.更何况这与今天倡导的数学课程应返璞归真, 注重揭示问题之根本, 大力提倡通性通法, 淡化技巧的理念是相悖的.最后, 我们建议:以后的教材编写时, 对数列求和问题 (包括等差 (比) 数列前n项和公式的推导) 的解决中, 自始至终地渗透“裂项、消项”思想, 并成为数列求和的一条主线, 而把现行教材中的“倒序相加法”, “错位相减法”降低要求或排为习题、思考题或编写为“阅读材料”之中, 对激发学生的学习兴趣, 让学生感悟数学美, 并因此欣赏数学, 热爱数学也是大有裨益的.

参考文献

[1]陆楷章.“是教材设计的缺陷吗”[J].数学通报, 2009, (1) .

[2]陈朝晖.“等差数列的前n项和公式推导”的商榷[J].数学通报, 2007, (5) .

[3]曹才翰, 章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社, 2007.

[4]李吉宝, 李树臣.新课程下中学数学教学之特征[J].数学教育学报, 2009, 18 (3) .

[5]张奠宙.数学教育经纬[M].南京:江苏教育出版社, 2003.

[6]杨帆.深入数学本质感悟数学精神[J].中学数学月刊, 2009, (9) .

等差数列前n项和 篇10

“五环四步”要求学生动手能力强, 老师起主导作用, 学生作为主体, 积极合作探究, 从而发挥学生的合作能力和主观能动性。试问:在文化课里, “五环四步”实用吗?答案是肯定的, 只要用心去想, 用实际行动去做, 就一定能在课堂解放学生、解放老师。例如在进行中职数学“等差数列前n项和”教学时, 我将所教的专业知识与数学相结合, 采用了“五环四步”的教学模式。

1 学习前情分析

1.1 教学对象分析

教学对象是中职二年级的学生, 学生已经能识别等差数列, 弄清了首项a、公差d、项数n、第n项an这些量, 会利用等差数列的通项公式进行简单的计算, 熟知等差中项的角标性质, 这就为这节课的学习打下了坚实的基础。任教班级的学生喜欢合作交流, 活泼好动, 进取心强。但他们缺乏自信, 容易气馁, 坚持力不强。

1.2 教学内容及教学目标分析

“等差数列的前n项和”是中职数学基础模块下册第六章第二节的内容。在此之前, 学生已经学习了等差数列及等差中项的性质, 这为本节课的学习起了铺垫作用。本节课是进一步学习数列和解决一类求和问题的重要基础和有力工具, 它在现实生活中有着广泛的实际应用, 如储蓄、分期付款、房贷等有关计算, 而且在公式推导过程中所渗透的类比联想、分析概括等思想方法, 都是学生今后学习和工作必备的数学素养。

因此, 结合学生目前学习的实际情况, 联系教学大纲与学生今后工作所需, 根据职业教育培养“能力人”的目标要求, 将本节课教学目标确定为以下三个方面:知识目标细化为要求学生能记住等差数列前n项和公式;弄清公式中首项a1、公差d、项数n、第n项an, 前n项和Sn这些量, 知道其中三个量可以求出另外一个量;能将等差数列前n项和公式的理论知识运用到实际的业务工作当中。在技能方面, 要求学生能在课前主动去查阅资料, 弄清“等额本金”的贷款方式;能制定好小组合作计划, 通过合作找到解决“等额本金”贷款这个问题的方法;能独立思考, 分析数据、解决生活和工作中的贷款、储蓄等问题。态度方面, 能自觉地完成查阅资料、课后作业等任务;能通过小组合作的方式, 愉快地与“同事”相处、交流、合作;能够接受批评和自我批评。

2 教学方法选取

在教学过程中通过问题的设置、小组合作探究、能力鉴定的方式, 反复运用公式来突出重点;通过对等差中项角标性质的回顾和将问题分解为多个小问题提出来突破难点。为了教学环节的顺利展开, 我结合职业教育特点, 本节课将通过具体实例引入, 采用问题探究的方式与学生进行交流, 设置评价激励的机制, 并借助多媒体进行清晰的演示, 引导学生积极参与学习中去, 帮助学生更好地学习, 成为课堂、生活、工作真正的主人。独立学习、合作学习、自主学习是学生必备的素养。因此, 在课前我要求学生借助网络、书籍等媒介查询“等额本金”的贷款方式;在课堂中指导学生进行小组合作探究、自主学习, 以及角色扮演。

3 教学过程设计

学生不喜欢理论学习, 喜欢实践操作。为了将理论转化为模拟的工作实践, “教”少能“学”多, 将灌输变为合作探究式的学习, 因此选择采用了“五环四步”的教学模式。

3.1 能力发展动员

上课前要求学生去查阅“等额本金”的贷款方式, 并布置了一道关于“等差数列”的题目, 由各组小组长检查学生的完成情况, 并总结汇报。这里主要是培养学生自主学习习惯。本堂课开始, 采用问题探究的教学方法, 由老师讲述“等额本金”的贷款故事, 让这个故事引起学生探究的兴趣。而后, 我将提出问题:最后贷款人一共需要还多少钱?这就引出了这节课的需要探究的课题——等差数列求和。

3.2 基础能力诊断

为了解决这个问题, 并树立学生学习的信心。采用谈话法和学生一起比对课前的题目答案, 并引领学生回顾上一堂课学的等差数列通项公式和等差中项角标性质, 然后, 老师将提出问题—Sn=第一项+第二项+…+第n项, 这n个项中有多少对a1+an?这为构造倒序的Sn, 化简Sn作了铺垫。这样就突破了推导公式这一难点。

3.3 能力发展训练

为了让他们能够形成解决实际问题的思路, 充分发挥合作交流学习和小组竞争的优势。学生采用的学习方法是小组合作学习。由老师发一份任务单给学生, 这份任务单是要求计算出贷款人总共的还款金额, 并强调学生接下来应完成的是先化简Sn, 然后再分析题干中的已知量, 利用等差数列前n项和公式和计算器, 去完成这项任务, 并将讨论的结果记录在小黑板上, 规定时间为10分钟。

布置好任务之后, 各个小组将人员进行分配, 开始交流合作。老师检查每个小组分配任务的情况, 观察每一组的成员是否在积极思考、是否分享自己的想法, 是否达到了合作交流的几个目标, 他们是怎样的思维过程, 怎么去解决这个问题, 并及时鼓励和指导。

学生完成合作任务后, 邀请每一组的代表展示他们小组的成果, 并对探究思考的过程进行简要的阐述, 其他成员可以补充讲解。学生展示之后, 老师将填写一份评价机制表格。根据评价机制指标, 各个小组相互评分, 并说明评分的理由, 从而让竞争与合作相互作用, 推动学生前进。

3.4 能力发展鉴定

学习不是一蹴而就的事情。虽然学生通过合作探究完成了任务, 但是否掌握了这种计算方法了呢?老师代替朋友小李向学生咨询一下“贷款”的事, 这里学生的角色转换为了银行的工作人员, 这既巩固了知识, 又能让学生深刻的感受到数学是为以后的工作和生活服务的。

3.5 能力发展反思

通过前面贷款人的“房贷”, 李先生咨询的“贷款”的计算, 这节课学生学到了什么、有哪些感悟和体会呢?邀请学生分享他们找到的学习方法和自我优势, 分析他们的不足, 思考怎么改进。

为了进一步巩固和强化学生知识, 树立学生学习信心, 课后作业将根据学生程度, 分层落实。

通过这节课的教学, 学生在课前查阅资料, 有助于学生养成自主学习的习惯。内化“能力本位教学”, 注重学生技能地培养, 学生在学习和探究中会更有兴趣、更有坚持力。注重“合作学习”的培养, 有利于学生以后在工作中和同事的相处与合作。

等差数列前n项和 篇11

一、对数学材料背景的开发与运用

1.直接借用已有的背景材料

“等比数列前n项和”这一节教材中是用古印度国际象棋的故事作为背景材料的.在教学时, 我们如果直接用这个故事引入新课, 这就形成了引入方案1.

方案1: (用数学史料引入等比数列的前n项和) 国际象棋起源于古代印度, 关于国际象棋有这样一个传说, 国王要奖赏国际象棋的发明者, 对他说:我可以满足你的任何要求.发明者说:请给我棋盘的64个方格上, 第一格放1粒小麦, 第二格放2粒, 第三格放4粒, 往后每一格都是前一格的两倍, 直至第64格.国王令宫廷数学家计算, 结果出来后, 国王大吃一惊.为什么呢?

提出问题:国王应该给发明者多少粒麦粒呢?你认为国王有能力满足发明者的要求吗?

2.开发新的背景材料

教材中的背景材料对于已经预习过教材的学习者来说已经没有什么新鲜可言, 此时的材料对于激发兴趣而言意义已经不大, 有时为了激起学习者的兴趣或者更适合不同层次的学习者学习要求, 可能需要我们开发新的背景材料来形成新的引入方案.

如果借助等比数列的实际应用问题可以形成下面的引入方案2.

方案2: (用一个应用问题引入等比数列求和的概念) 例如, 某制糖厂今年制糖5万吨, 如果平均每年的产量比上一年增加10%, 那么从今年起, 几年内可以使总产量达到30万吨 (保留到个位) .

如果我们依托市场经济背景, 运用学生熟悉的人物编拟故事创造引入方案3, 以趣引思, 也可以激发学生的学习热情.

方案3: (漫画演示) 话说猪八戒自西天取经回到了高老庄, 从高员外手里接下了高老庄集团, 摇身变成了CEO.可好景不长, 便因资金周转不灵而陷入了窘境, 急需大量资金投入, 于是就找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万元, 连续一个月 (30天) , 但是有一个条件是:作为回报, 从投资的第一天起你必须返还给我1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了, 心里打起了小算盘:“第一天:支出1元, 收入100万;第二天:支出2元, 收入100万, 第三天:支出4元, 收入100万元;……哇, 发财了……”心里越想越美……再看看悟空的表情, 心里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我, 会不会又在耍我?”

假如你是高老庄集团企划部的高参, 请你帮八戒分析一下, 按照悟空的投资方式, 30天后, 八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?

只要我们多思考、多钻研, 就可以开发出适合自己学生的数学背景材料.

二、对数学逻辑知识的开发与运用

对数学逻辑知识的开发和运用有助于学习者的数学逻辑思维能力的培养, 而要培养学习者的数学逻辑思维能力, 就必须把学生组织到对所学数学内容的分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维的过程中来.因此, 我们要善于为学习者提供合适的学习材料和学习条件, 帮助学习者形成数学逻辑思维能力.

等比数列和等差数列有很多相似之处, 我们可以由等差数列的有关性质引出等比数列的前n项和, 于是形成了引入方案4.

方案4: (1) 复习等比数列的通项公式.同时让学生回顾等差数列的通项公式及求和公式.

(2) 与等差数列的性质类比, 提出课题:等比数列的前项和.

注:此方案要求学生对等比数列和等差数列进行比较、对照.这是我们数学学习中常用的数学方法.我们要学会比较相似知识点的异同, 找到不同知识点的联系, 从而使我们的知识结构形成一个逻辑体系.

三、对数学思想方法的开发与运用

本节课中渗透着类比、归纳、分类讨论和错位相减法思想.对这些思想的开发和运用可以形成好的教学方案.

如果把等差数列和等比数列求和公式的推导方法进行类比, 然后从特殊归纳到一般可以得到方案5.

方案5: (1) 与等差数列前n项和公式的推导方法类比, 对等比数列前n项和公式进行推导, 发现这种方法无效.

(2) 引导学生从特殊化入手去发现规律.

如果q=1, 容易得到S1=na1;

如果q≠1, 当n=2时, S2=a1+a2=a1+a1q=a1 (1+q) ;

当n=3时, S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1 (1+q+q2) ,

当n=4时, S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1 (1+q+q2+q3) ,

至此似乎没有使问题简化, 进一步观察, 可以发现:

注:此方案中的特殊化归纳思想的实现需要教师的适时点拨, 变形的时候用到了初中的因式分解的逆用思想, 有一定的难度, 如果没有教师的提示可能大部分学生很难完成.

如果考虑等比数列求和公式的特点:分段函数, 应该分两种情况讨论求和.于是得到方案6.

方案6: (1) 给出两道等比数列求和习题 (一道题目中的等比数列公比为1, 另一个公比不为1) , 让学生思考解答.

(2) 由上面两道题的解答过程, 归纳出等比数列前n项和的求法.

注:此方案要求学生由两个题目的解题过程归纳出等比数列前n项和的求法, 对学生的要求较高.

方案5和方案6都抛弃了有趣的故事背景, 而是采用试误法和归纳法引出课题.这些都是让学生亲自去操作、感知和体会.