第八单元复习测试

2024-06-04

第八单元复习测试（共5篇）

第八单元复习测试篇1

八年级上第八单元复习测试

一、1.---Why not __her a doll?---__too boring.A.get, They’re B.getting, They’re C.get, That’s D.getting, That’s 4.The work is ___.You can finish it by yourself.A.easy enough B.enough easy C.difficult enough D.enough difficult 5.They spent too much time ___ stamps.A.collect B.to collect C.collecting D.for collecting8.They don’t have ____ to travel.A.enough time B.too time C.many time D.many money9.Please remember __ your homework.A.finish B.to finish

C.finishing D.not finish 10.—What else does your son like doing?—Besides __ computer games, he likes chatting online.A.to playB.playsC.playingD.play11.—When did your brother get a computer? —On his__birthday.A.twentiethB.twentithC.twentythD.twenty

二、Mother’s Day was first celebrated in the USA.It’s also a holiday in England, India and 31 countries.It is a day 32 mothers.On that day, many people 33presents of love to their mothers.In China, people do the same on the day for mothers.And in some cities, somebody sometimes asks for 34 to be broadcast on the radio for his or her mother only.This might 35 some money, but as it is said, “36is invaluable(无价的).” Where did the idea for the holiday37 ? We should thank Miss Anna Jarvis.She brought up the idea of having38.She lived in West Virginia.Her mother died on May 9th, 1905.She had a deep love 39 her mother.She wrote letters to some important people.In her letters she 40 that there should be a day for all mothers.Then Mother’s Day was to be celebrated on the second Sunday in May in the USA in 1913.31.A.the other B.any other C.many otherD.another32.A.thank B.thanksC.thanking D.to thank

33.A.putB.sendC.writeD.post34.A.a giftB.a songC.some flowersD.some clothes

35.A.spendB.payC.cost D.take 36.A.LoveB.FriendshipC.MoneyD.Time

37.A.come fromB.happenC.take placeD.come true 38.A.moneyB.such a dayC.holidaysD.mothers 39.A.for B.withC.to D.from40.A.allowed B.letC.made D.suggested

三、Hi, everyone!Our teacher, Mrs.Li, will retire(退休)in three weeks.She said she and her husband were going to travel around the world.What kind of present should we send her? And how much does it cost? Please write down your ideas on the following bulletin board(公告牌).Hugo: I think we should buy Mrs.Li some flowers, because flowers look very beautiful.And it will not cost too much.Li Wei: Hey, Hugo!I don’t agree with you.Flowers will wither(枯萎)soon.I think we should buy her a good dictionary, because a dictionary is more useful.How about spending RMB 150? Peter: As an English teacher, Mrs.Li has many dictionaries.Since she likes reading, I think we should get her some books.I think RMB 200 is enough.Stella: How about a camera? There is a nice one on sale only for RMB 500.Ken: She’s got a good camera and RMB 500 is a lot of money for a gift!I don’t think we should spend so much.What about a scarf? RMB100 should be enough.Xinyu: She has many scarves, Ken!Why don’t we get her a photo album of our class? Then she can remember us.We won’t spend more than RMB 100.Lisa: I agree with Xinyu’s idea.It’s creative enough.Neal: Mrs.Li loves collecting pictures very much.I’m sure she will be satisfied to get our photos.Sending her a picture of us is really a good idea.41.The students want to send Mrs.Li a present because ___.A.her birthday is coming B.she teaches them well C.she will retireD.she will travel around the world 42.Li Wei suggests buying a___ present.A.beautifulB.usefulC.cheapD.creative43.The underlined words “on sale” means __ in Chinese.A.削价出售B.批发C.卖价为 D.抢购 44.Mrs.Li has a hobby of __.A.traveling the world B.collecting picturesC.taking picturesD.teaching English 45.According to the passage, the students probably get ___ for Mrs.Li.A.some flowersB.a dictionaryC.a scarf D.a photo album

四、51.I’m going to give my brother a football as a birthday p__.52.With his help, I have made great p__in my subjects.53.My grandma is n__eighty years old, but she is very healthy.54.Tom likes coffee r___than tea.55.Could you hear me c___?

五、66.星期天动身去加拿大怎么样？67.安娜对唱英语歌感兴趣。68.安德鲁建议我们应该为2008年奥运会做点事情。Andrew ___ __ we __ do something for the 2008 Olympics.69.会议室空间足够大，能容纳200人70.很多人不是把钱留给自己而是捐给了慈善机构。Many people give money to charity ___ ___ leave it to themselves.

第八单元复习测试篇2

一、选择题

1.设等比数列{an}的前n项和为Sn, 若8a2+a5=0, 则下列式子中数值不能确定的是 () .

2.已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差数列, x, c, d, y成等比数列, 则的最小值是 () .

(A) 4 (B) 2

3.若等比数列{an}的各项均为正数, 且a10a11+a9a12=2e5, 则ln a1+ln a2+…+ln a20等于 () .

(A) 50 (B) 25

4.设Sn是等比数列{an}的前n项和, 若, 则.

(A) 2 (B) 7/3

5.设Sn是等差数列{an}的前n项和, 且S1, S2, S4成等比数列, 则.

(A) 1 (B) 1或2

6.已知数列{an}满足a1=1, 且anan+1=2n, 则数列{an}的前20项的和为 () .

(A) 3×211-3 (B) 3×211-1

7.已知数列{an}满足 (n∈N*) , 则使不等式a2 016>2 016成立的所有正整数a1的集合为 () .

(A) {a1|a1≥2 016, a1∈N*}

(B) {a1|a1≥2 015, a1∈N*}

(D) {a1|a1≥2 013, a1∈N*}

8.设数列{an}的前n项和为Sn, 且a1=a2=1, {nSn+ (n+2) an}为等差数列, 则{an}的通项公式an= () .

9.已知数列{an}满足:a1=1, (n∈N*) .若 (n∈N*) , b1=-λ, 且数列{bn}是单调递增数列, 则实数λ的取值范围是 () .

10.已知等差数列{an}中, a1>0, d>0, 前n项和为Sn, 等比数列{bn}满足b1=a1, b4=a4, 前n项和为Tn, 则 () .

(A) S4>T4 (B) S4<T4

11.已知数列{an}的首项为a1=1, 且满足对任意的n∈N*, 都有an+1-an≤2n, an+2-an≥3×2n成立, 则a2 016= () .

(A) 22 015-1 (B) 22 015+1

12.在正项等比数列{an}中, , a6+a7=3, 则满足a1+a2+…+an>a1·a2·…·an的最大正整数n的值为 () .

(A) 12 (B) 10

二、填空题

13.在等差数列{an}中, a2=6, a5=15, 则a2+a4+a6+a8+a10=____.

14.已知等差数列{an}中, Sn为其前n项和.若a1+a3+a5+a7=-4, S8=-16, 则公差d=____;数列{an}的前____项和最大.

15.已知数列{an}满足a1=1, an=logn (n+1) (n≥2, n∈N*) , 定义:使乘积a1·a2·…·ak为正整数的k (k∈N*) 叫做“简易数”.

(1) 若k=3时, 则a1·a2·a3=____;

(2) 求在2 000内所有“简易数”的和为____.

16.将自然数按如下图排列, 其中处于从左到右第m列、从下到上第n行的数记为A (m, n) , 如A (3, 1) =4, A (4, 2) =12, 则A (1, n) =____;A (10, 10) =____.

三、解答题

17.已知等比数列{an}的前4项和S4=5, 且成等差数列.

(1) 求{an}的通项公式;

(2) 设{bn}是首项为2, 公差为-a1的等差数列, 其前n项和为Tn, 求满足Tn-1>0的最大正整数n.

18.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn+an=4, n∈N*.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 已知cn=2n+3 (n∈N*) , 记dn=cn+logCan (C>0且C≠1) , 是否存在这样的常数C, 使得数列{dn}是常数列, 若存在, 求出C的值;若不存在, 请说明理由.

(3) 若数列{bn}, 对于任意的正整数n, 均有成立, 求证:数列{bn}是等差数列.

19.已知数列{an}的前n项和 (n=1, 2, 3, …) .

(1) 求a1的值;

(2) 求证: (n-2) an+1= (n-1) an-1 (n≥2) ;

(3) 判断数列{an}是否为等差数列, 并说明理由.

20. (理) 已知数列{an}的首项为1, 记f (n) =a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn (n∈N*) .

(1) 若{an}为常数列, 求f (4) 的值.

(2) 若{an}是公比为2的等比数列, 求f (n) 的解析式.

(3) 是否存在等差数列{an}, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立?若存在, 求出数列{an}的通项公式;若不存在, 请说明理由.

(文) 在数列{an}中, a1=1, (n≥2, n∈N*) .

(1) 若数列{bn}满足 (n∈N*) , 求证:数列{bn}是等比数列;

21.已知直线ln:与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点An, Bn, n∈N*.数列{an}满足:a1=1, .

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 若, 求数列{bn}的前n项和Tn;

(3) 记数列{an}的前n项和为Sn, 在 (2) 的条件下, 求证:对任意正整数n, .

22.已知数列{an}满足数列{an}的前n项和为Sn, bn=a2n, 其中n∈N*.

(1) 求a2+a3的值.

(2) 证明:数列{bn}为等比数列.

(3) 是否存在n (n∈N*) , 使得?若存在, 求出所有的n的值;若不存在, 请说明理由.

23.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且an>0, (n∈N*) .

(1) 若bn=1+log2 (an·Sn) , 求数列{bn}的前n项和Tn;

(2) 若, 2n·an=tanθn, 求证:数列{θn}为等比数列, 并求出其通项公式;

九、不等式与线性规划

一、选择题

1.已知a>b>0, 则下列不等式成立的是 () .

2.已知p, q∈R, 则“q<p<0”是“”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

3.设a=log0.80.9, b=log1.10.9, c=1.10.9, 则a, b, c的大小关系是 () .

(A) a<b<c (B) a<c<b

4.设a, b∈R, 则“ab>0且a>b”是“”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

5.若“x>0”是“不等式2a>a2-x成立”的必要不充分条件, 则正实数a的取值范围是 () .

(A) a>2 (B) a<4

6.已知x, y∈ (0, +∞) , , 则的最小值为 () .

(A) 8/3 (B) 3

7.已知x, y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一, 则实数a的值为 () .

(A) 1/2或-1 (B) 2或1/2

8.如果实数a, b满足条件则的取值范围是 () .

9.设关于x, y的不等式组表示的平面区域为D, 已知点O (0, 0) , A (1, 0) , 点M是D上的动点, , 则λ的取值范围是 () .

10.设变量x, y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为 () .

(A) 10 (B) 8

11.曲线y=1/x (x>0) 在点P (x0, y0) 处的切线为l, 若直线l与x, y轴的交点分别为A, B, 则△OAB的周长的最小值为 () .

12. (理) 已知满足条件x2+y2≤1的点 (x, y) 构成的平面区域的面积为S1, 满足条件[x]2+[y]2≤1的点 (x, y) 构成的平面区域的面积为S2, 其中[x], [y]分别表示不大于x, y的最大整数, 例如:[-0.4]=-1, [1.7]=1, 则S1与S2的关系是 () .

(A) S1<S2 (B) S1=S2

(文) 已知b>a>0, ab=2, 则的取值范围是 () .

(A) (-∞, -4] (B) (-∞, -4)

二、填空题

13.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为x∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) , 则一元一次不等式ax+b<0的解集为_____.

14.已知函数y=aex (其中a∈R) 经过不等式组所表示的平面区域, 则实数a的取值范围是____.

15.已知x, y满足条件若目标函数z=ax+y (其中a>0) 仅在点 (2, 0) 处取得最大值, 则a的取值范围是____.

16.已知函数f (x) 是R上的减函数, 且y=f (x-2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称.若u, v满足不等式组则u2+v2的最小值为____.

三、解答题

17.已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:双曲线的离心率e∈ (1, 2) .若p, q有且只有一个为真命题, 求实数m的取值范围.

18.一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比, 如果此船速度是10km/h, 那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为500元/时, 在100km的航程中, 航速为多少时船行驶的总费用最少?此时总费用为多少元?

19.某家电生产企业根据市场调查分析, 决定调整新产品生产方案, 准备每周 (按40个工时计算) 生产空调、彩电、冰箱共120台, 且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:

问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台, 才能使产值最高?最高产值是多少? (以千元为单位)

20.设a为常数, 且a<1.

(1) 解关于x的不等式 (a2-a-1) x>1;

(2) 解关于x的不等式组

21.设函数, L为曲线C:y=f (x) 在点处的切线.

(1) 求L的方程;

(2) 当时, 证明:除切点之外, 曲线C在直线L的下方;

(3) 设x1, x2, x3∈R, 且满足x1+x2+x3=-3, 求f (x1) +f (x2) +f (x3) 的最大值.

十、三视图和立体几何

一、选择题

1.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3, 圆心角为的扇形, 则此圆锥的体积为 () .

2.a, b, c表示不同的直线, α表示平面, 下列命题正确的是 () .

(A) 若a∥b, a∥α, 则b∥α

(B) 若a⊥b, b⊥α, 则a⊥α

(D) 若a⊥α, b⊥α, 则a∥b

3.某几何体的三视图如图1所示, 该几何体的各面中互相垂直的面的对数是 () .

(A) 2 (B) 4

4.已知底面边长为1, 高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 () .

5.一个几何体的三视图如图2所示, 则这个几何体的体积为 () .

6.若某几何体的三视图如图3所示, 则此几何体的直观图是 () .

7.某四棱锥的三视图如图4所示, 其中正 (主) 视图是等腰直角三角形, 侧 (左) 视图是等腰三角形, 俯视图是正方形, 则该四棱锥的表面积是 () .

8.已知直线m和平面α, β, 则下列四个命题中正确的是 () .

(B) 若α∥β, m∥α, 则m∥β

(D) 若m∥α, m∥β, 则α∥β

9.某几何体的三视图如图5所示, 则该几何体的体积为 () .

(A) 48 (B) 32

10.如图6, 在正四棱锥S-ABCD中, E, M, N分别是BC, CD, SC的中点, 动点P在线段MN上运动时, 下列四个结论:

①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.

其中恒成立的为 () .

(A) ①③

(B) ③④

(D) ②③④

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥B-D1EC的表面积最大, 则E点位于 () .

(A) 点A处

(B) 线段AD的中点处

(D) 点D处

12. (理) 如图7, 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别是边AA1, CC1的中点, 点M是BB1上的动点, 过点E, M, F的平面与棱DD1交于点N, 设BM=x, 平行四边形EMFN的面积为S, 设y=S2, 则y关于x的函数y=f (x) 的解析式为 () .

(文) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P为底面ABCD上一动点, 如果P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离, 那么点P的轨迹所在的曲线是 () .

(A) 直线 (B) 圆

二、填空题

13.空间一线段的主视图、左视图、俯视图的长度均为, 则该线段的长度为____.

14.一个几何体的三视图如图8所示, 其中正 (主) 视图和侧 (左) 视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为____.

15.在四棱锥V-ABCD中, B1, D1分别为侧棱VB, VD的中点, 则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V-ABCD的体积之比为____.

16. (理) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, , BC=AA1=1, 点M为AB1的中点, 点P为对角线AC1上的动点, 点Q为底面ABCD上的动点 (点P, Q可以重合) , 则MP+PQ的最小值为____.

(文) 如图9, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E是边BC的中点.动点P在直线BD1 (除B, D1两点) 上运动的过程中, 平面DEP可能经过的该正方体的顶点是____ (写出满足条件的所有顶点) .

三、解答题

17.如图10, 在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD, 又AD∥BC, AD⊥DC, 且PD=BC=3AD=3.

(1) 在图11所示的方框中画出四棱锥P-ABCD的正 (主) 视图;

(2) 求证:平面PAD⊥平面PCD;

(3) 求证:棱PB上存在一点E, 使得AE∥平面PCD, 并求PE/EB的值.

18.如图12, 在边长为12的正方形AA′A′1A1中, BB1∥CC1∥AA1, 且AB=3, 且BC=4, AA′1分别交BB1, CC1于点P, Q, 将该正方形沿BB1, CC1折叠, 使得A′A′1与AA1重合, 构成图13所示的三棱柱ABC-A1B1C1.在图13中:

(1) 求证:AB⊥PQ;

(2) 在底边AC上有一点M, 使得BM∥平面APQ, 求点M到平面PAQ的距离.

19.数学课上, 张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥 (如图14所示) , 然后他将其中的两根换成长度分别为的塑料棒, 又搭成了一个三棱锥, 陈成同学边听课边动手操作, 也将其中的两根换掉, 但没有成功, 不能搭成三棱锥, 如果两人都将BD换成了长为的塑料棒.

(1) 试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么, 而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么?请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因.

(2) 试证平面ABD⊥平面BCD.

(3) 求新三棱锥的外接球的表面积.

20.在如图15所示的几何体中, 平面ACDE⊥平面ABC, CD∥AE, F是BE的中点, ∠ACB=90°, AE=2CD=2, AC=BC=1, .

(1) 求证:DF∥平面ABC;

(2) 求证:DF⊥平面ABE;

(3) 求三棱锥D-BCE的体积.

21.如图16, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱AA1⊥底面ABC, M为棱AC的中点.AB=BC, AC=2, .

(1) 求证:B1C∥平面A1BM.

(2) 求证:AC1⊥平面A1BM.

(3) 在棱BB1上是否存在点N, 使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在, 求此时BN/BB1的值;如果不存在, 请说明理由.

22.如图17所示, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1B1B为正方形, BB1C1C是菱形, 平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.

(1) 求证:BC∥平面AB1C1;

(2) 求证:B1C⊥AC1;

(3) 设点E, F, H, G分别是B1C, AA1, A1B1, B1C1的中点, 试判断E, F, H, G四点是否共面, 并说明理由.

十一、空间向量和立体几何

一、选择题

1.下列命题正确的是 () .

(A) 垂直于同一直线的两条直线互相平行

(B) 平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形

(D) 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形

2.如图1, 在三棱锥D-ABC中, 点G是△ABC的重心, 记, 则用a, b, c表示.

3.已知平面α, β不重合, 直线, 那么“m⊥β”是“α⊥β”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

4.如图2, 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中, 若.

(A) a+b+c

(B) 2a+2b+c

(D) 2a+2b+2c

5.如图3, 一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发, 经正方体的表面, 按最短路线爬行到达顶点C1位置, 则图4中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正 (主) 视图是 () .

(A) ①② (B) ①③

6.在正三棱锥S-ABC中, M是SC的中点, 且AM⊥SB, 底面边长, 则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为 () .

(A) 6π (B) 12π

7.某三棱锥的三视图如图5所示, 该三棱锥四个面的面积中最大的是 () .

8.如图6, 在四棱锥P-ABCD中, 其底面是边长为a的正方形, 已知PA⊥平面ABCD, 且PA=a, 则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为 () .

9.已知一个三棱柱, 其底面是正三角形, 且侧棱与底面垂直, 一个体积为的球与棱柱的所有面均相切, 那么这个三棱柱的表面积是 () .

10.三棱柱ABC-A1B1C1的直观图及三视图 (正 (主) 视图和俯视图是正方形, 侧 (左) 视图是等腰直角三角形) 如图7所示, D为AC的中点, 则二面角A-BC1-D的正切值为 () .

11.三棱锥S-ABC中, ∠SBA=∠SCA=90°, △ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形, 则以下结论中:

①异面直线SB与AC所成的角为90°;

②直线SB⊥平面ABC;

③平面SBC⊥平面SAC;

④点C到平面SAB的距离是.

其中正确结论的个数是 () .

(A) 1 (B) 2

12.如图9, 已知直线l⊥平面α, 垂足为O, 在△ABC中, BC=2, AC=2, , 点P是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动: (1) A∈l, (2) C∈α, 则的最大值为 () .

二、填空题

13.如图10, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB⊥BC, AB=BC=BB1, 则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为____.

14.点A, B, C, D在同一球面上, , AC=2, 若球的表面积为, 则四面体ABCD体积的最大值为____.

15.如图11, 在长方体ABCD-EFGH中, AD=2, AB=AE=1, M为矩形AEHD内的一点, 如果∠MGF=∠MGH, MG和平面EFG所成角的正切值为1/2, 那么点M到平面EFGH的距离是____.

16.如图12所示的一块长方体木料中, 已知AB=BC=4, AA1=1, 设E为底面ABCD的中心, 且, 则该长方体中经过点A1, E, F的截面面积的最小值为____.

三、解答题

17.如图13, 四边形ABCD是边长为2的菱形, ∠ABC=60°, PA⊥平面ABCD, AB=2PA.

(1) 求异面直线AC与PB所成角的余弦值;

(2) 求点A到平面PBC的距离.

18.如图14, PD垂直于梯形ABCD所在的平面, ∠ADC=∠BAD=90°.F为PA的中点, .四边形PDCE为矩形, 线段PC交DE于点N.

(1) 求证:AC∥平面DEF;

(2) 求二面角A-BC-P的大小;

(3) 在线段EF上是否存在一点Q, 使得BQ与平面BCP所成角的大小为π/6?若存在, 求出FQ的长;若不存在, 说明理由.

19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1=AB=AC=1, E, F分别是CC1, BC的中点, AE⊥A1B1, D为棱A1B1上的点.

(1) 证明:DF⊥AE.

(2) 是否存在一点D, 使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为?若存在, 说明点D的位置, 若不存在, 说明理由.

20.如图16, 已知等腰梯形ABCD中, AD∥BC, , E是BC的中点, AE∩BD=M, 将△BAE沿着AE翻折成△B1AE, 使平面B1AE⊥平面AECD.

(1) 求证:CD⊥平面B1DM;

(2) 求二面角D-AB1-E的余弦值;

(3) 在线段B1C上是否存在点P, 使得MP∥平面B1AD, 若存在, 求出的值;若不存在, 说明理由.

21.如图17, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是平行四边形, PA⊥平面ABCD, 点M, N分别为BC, PA的中点, 且AB=AC=1, .

(1) 证明:MN∥平面PCD;

(2) 设直线AC与平面PBC所成角为α, 当α在 (0, π/6) 内变化时, 求二面角P-BC-A的取值范围.

十二、直线与圆、曲线与方程

一、选择题

1.已知直线l1:ax+y=1和直线l2:4x+ay=2, 则“a+2=0”是“l1∥l2”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

2.若直线l1:2x+3y-1=0的方向向量是直线l2:ax-y+2a=0的法向量, 则实数a的值等于 () .

(A) 1 (B) 3/2

3.“|b|<2是“直线与圆x2+y2-4y=0相交”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

4.若经过点P (-1, 1) 的直线与圆x2+y2=2相切, 则此直线在y轴上的截距是 () .

(A) -2 (B) -1

5.已知圆C:x2+y2=4, 过点A (2, 3) 作C的切线, 切点分别为P, Q, 则直线PQ的方程为 () .

(A) 2x+3y+4=0 (B) 2x+3y-4=0

6.已知点A (-3, -2) 和圆C: (x-4) 2+ (y-8) 2=9, 一束光线从点A发出, 射到直线l:y=x-1后反射 (入射点为B) , 反射光线经过圆周C上一点P, 则折线ABP的最短长度是 () .

(A) 10 (B) 8

7.已知直线l:x, 点P (x, y) 是圆C: (x-2) 2+y2=1上的动点, 则点P到直线l的距离的最小值为 () .

8.已知圆C:x2+y2=1, 点M (t, 2) , 若C上存在两点A, B满足, 则t的取值范围是 () .

9.若直线与圆x2+y2=1相交于A, B两点, 则.

10.已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内, 过点E (1, 0) 的最长弦和最短弦分别是AC和BD, 则四边形ABCD的面积为 () .

11. (理) 已知曲线C:x2+y2+xy=1, 则下列说法中, 正确的个数有 () .

①曲线C关于x轴对称;②曲线C关于y轴对称;

③曲线C关于原点对称;④曲线C关于直线y=x轴对称.

(A) 1 (B) 2

(文) 已知两圆C1: (x+1) 2+y2=1与C2: (x-1) 2+y2=25, 动圆Μ与这两个圆都内切, 则动圆的圆心Μ的轨迹方程为 () .

12. (理) 如图1所示, 在平面直角坐标系xOy中, 点B, C分别在x轴和y轴非负半轴上, 点A在第一象限, 且∠BAC=90°, AB=AC=4, 那么O, A两点间距离的 () .

(A) 最大值是, 最小值是4

(B) 最大值是8, 最小值是4

(D) 最大值是8, 最小值是2

(文) 在平面直角坐标系xOy中, 圆C的方程为 (x-1) 2+ (y-1) 2=9, 直线l:y=kx+3与圆C相交于A, B两点, M为弦AB上一动点, 以M为圆心, 2为半径的圆与圆C总有公共点, 则实数k的取值范围为 () .

(A) 4 (B) 8

二、填空题

13.已知圆C的圆心在直线x-y=0上, 且圆C与两条直线x+y=0和x+y-12=0都相切, 则圆C的标准方程是____.

14.若圆C: (x-a) 2+ (y-a-1) 2=a2与x, y轴都有公共点, 则实数a的取值范围是____.

15.已知⊙O:x2+y2=1, 若直线y=kx+2上总存在点P, 使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直, 则实数k的取值范围是____.

16.动直线与曲线相交于A, B两点, O为坐标原点, 当△AOB的面积取得最大值时, k的值为____.

三、解答题

17.已知点F (-6, 0) , 直线l:x=-4与x轴的交点是圆C的圆心, 圆C恰好经过坐标原点O, 设G是圆C上任意一点.

(1) 求圆C的方程;

(2) 若直线FG与直线l交于点T, 且G为线段FT的中点, 求直线FG被圆C所截得的弦长.

18.如图2, 在平面直角坐标系xOy中, 点A (0, 3) , 直线l:y=2x-4, 设圆C的半径为1, 圆心在l上.

(1) 若圆心C也在直线y=x-1上, 过点A作圆C的切线, 求切线的方程;

(2) 若圆C上存在点M, 使MA=2 MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围.

19.已知圆O:x2+y2=4, 点, 以线段AB为直径的圆内切于圆O, 记点B的轨迹为Γ.

(1) 求曲线Γ的方程;

(2) 直线AB交圆O于C, D两点, 当Β为CD的中点时, 求直线AB的方程.

20.在平面直角坐标系xOy中, 已知点A (-3, 4) , B (9, 0) , C, D分别为线段OA, OB上的动点, 且满足AC=BD.

(1) 若AC=4, 求直线CD的方程;

(2) 证明:△OCD的外接圆恒过定点 (异于原点O) .

21.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A, B.

(1) 求圆C1的圆心坐标;

(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3) 是否存在实数k, 使得直线L:y=k (x-4) 与曲线C只有一个交点:若存在, 求出k的取值范围;若不存在, 说明理由.

十三、圆锥曲线

一、选择题

1.已知点P在焦点为F1, F2的椭圆上, 若∠F1PF2=90°, 则|PF1|·|PF2|的值等于 () .

(A) 10 (B) 20

2.若方程表示双曲线, 则实数k的取值范围是 () .

(A) (-2, 2)

(B) (3, +∞)

(D) (-2, +∞)

3.已知点A (3, 2) , F是抛物线y2=2x的焦点, 若点P在抛物线上运动, 当|PA|+|PF|取最小值时, 点P的坐标为 () .

(A) (2, 2) (B) (0, 0)

4.双曲线 (a>0, b>0) 的一个顶点到一条渐近线的距离为a/2, 则双曲线的离心率为 () .

5.若双曲线 (a>0, b>0) 截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b, 则a= () .

6.已知双曲线 (a>0, b>0) 与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F, 且两曲线的一个交点为P.若|PF|=5/2, 则双曲线的渐近线方程为 () .

7.若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点, 设点P的坐标为 (a, b) , 则过点P的一条直线与椭圆的公共点的个数为 () .

(A) 0 (B) 1

8.已知P是椭圆上的一点, 点M (m, 0) (m>0) , 则|PM|的最小值为 () .

9.已知双曲线C1: (a>0, b>0) 的离心率为, 一条渐近线为l, 抛物线C2:y2=4x的焦点为F, 点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点, 则|PF|= () .

(A) 2 (B) 3

10.已知直线l:y=kx+3-k与双曲线有交点, 则实数k的取值范围是 () .

11.如图1, 已知双曲线C: (a>0, b>0) 的右顶点为A, O为坐标原点, 以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P, Q.若∠PAQ=60°且, 则双曲线C的离心率为 () .

12.已知双曲线C: (a>0, b>0) , 斜率为1的直线l过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A, B两点, 若与向量n= (-3, -1) 共线, 则双曲线C的离心率为 () .

二、填空题

13.斜率为的直线与焦点在x轴上的椭圆 (b>0) 交于不同的两点P, Q.若点P, Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点, 则该椭圆的焦距为_____.

14.已知椭圆C: (a>0) 的左顶点、上顶点分别为A, B, 椭圆C的左焦点为F, 且△ABF的面积等于, 则椭圆C的方程为____.

15.点P到曲线C上每一个点的距离的最小值称为点P到曲线C的距离.已知点P (2, 0) , 若点P到曲线C的距离为.在下列曲线中:

符合题意的是_____ (填序号) .

16.已知椭圆C: (a>b>0) 的左、右顶点分别为A, B, 左、右焦点分别为F1, F2, 点O为坐标原点, 线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P, 设直线PA, PB, PF1, PF2的斜率分别为k1, k2, k3, k4, 若, 则k3·k4=____.

三、解答题

17.已知椭圆C: (a>b>0) , 右焦点, 点在椭圆上.

(1) 求椭圆C的标准方程.

(2) 若直线y=kx+m (k≠0) 与椭圆C有且只有一个公共点M, 且与圆O:x2+y2=a2+b2相交于P, B两点, 问kOM·kPB=-1是否成立?请说明理由.

18.已知椭圆C: (a>b>0) , 经过点, 离心率是.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 设直线l与椭圆C交于A, B两点, 且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M, 求证:直线l恒过一定点.

19.已知椭圆C: (a>b>0) , 其左、右焦点分别为F1, F2, 右焦点在椭圆上.

(1) 求椭圆C的标准方程.

(2) 已知直线l:y=kx与椭圆C交于A, B两点, P为椭圆C上异于A, B的动点.

(i) 若直线PA, PB的斜率都存在, 证明:;

(ii) 若k=0, 直线PA, PB分别与直线x=3相交于点M, N, 直线BM与椭圆C相交于点Q (异于点B) , 求证:A, Q, N三点共线.

20.已知抛物线C的顶点为O (0, 0) , 焦点为F (0, 1) .

(1) 求抛物线C的方程;

(2) 过点F作直线交抛物线C于A, B两点.若直线AO, BO分别交直线l:y=x-2于M, N两点, 求|MN|的最小值.

21. (理) 已知椭圆C:, 点D为椭圆C的左顶点.对于正常数λ, 如果存在过点M (x0, 0) (-2<x0<2) 的直线l与椭圆C交于A, B两点, 使得S△AOB=λS△AOD, 则称点M为椭圆C的“λ分点”.

(1) 判断点M (1, 0) 是否为椭圆C的“1分点”, 并说明理由;

(2) 证明:点M (1, 0) 不是椭圆C的“2分点”;

(3) 如果点M为椭圆C的“2分点”, 写出x0的取值范围 (直接写出结果) .

(文) 已知椭圆C:x2+4y2=16.

(1) 求椭圆C的离心率;

(2) 设椭圆C与y轴下半轴的交点为B, 如果直线y=kx+1 (k≠0) 交椭圆C于不同的两点E, F, 且B, E, F构成以EF为底边, B为顶点的等腰三角形, 判断直线EF与圆x2+y2=1/2的位置关系.

参考答案

八、数列

1.D.

【变式】设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a5=5, 则S9= () .

(A) 9 (B) 45

(答案:B.)

2.A.

【变式】已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差数列, x, c, d, y成等比数列, 则的最小值是 () .

(A) 4 (B) 2

(答案:A.)

3.A.由a10a11+a9a12=2e5, 得a10a11+a10a11=2e5, 即a10a11=e5.又ln a1+ln a2+…+ln a20=ln (a1a2·…·a20) , 令T=a1a2·…·a20, 则T=a20a19·…·a1, 有T2= (a1a20) 20, 则T= (a1a20) 10= (a10a11) 10=e50, 从而ln T=50.

4.B.

【变式】设Sn是等比数列{an}的前n项和, 若.

(A) 2 (B) 6/5

(答案:D.)

5.C.

【变式】设Sn是等差数列{an}的前n项和, 且S1, S2, S4成等差数列, 则S9= () .

(A) 0 (B) 0或1

(答案:A.)

6.D.算得a1=1, a2=2, a3=2, a4=22, a5=22, …, a18=29, a19=29, a20=210, 所以.

【变式】已知数列{an}满足a1=1, 且an+an+1=3, 则数列{an}的前20项的和为 () .

(A) 1 (B) 2

(答案:C.提示:a1=1, a2=2, a3=1, a4=2, …, a19=1, a20=2, 所以S20=10 (1+2) =30.)

【点拨】把变形为 (an+1-1) 2- (an-1) 2=1, 构造等差数列{ (an-1) 2}求得 (an-1) 2后再求an, 是解决本题的基本思路, 也是解决此类问题的常用思路, 即把递推数列转化为基本数列 (等差数列、等比数列) 求通项, 常见有如下情形:

(1) an+1=pan+q, an+1=pan+kn+q, an+2=pan+1+qan型———通过待定系数法转化;

(2) an+1=pan+qn型———通过两边同除qn来转化;

(4) an+1=parn型———通过取对数转化.

【变式】已知数列{an}满足an+1=a2n-2an+2 (n∈N*) , 且a1=3, 则an= () .

【变式】设数列{an}中, a1=2, , 则通项an= () .

(A) n+1 (B) 2n

(答案:C.提示:累加法.)

【变式】已知 (n∈N*) , 则数列{an}的最大项是 () .

(A) a1 (B) a2

10.A.方法一:由a1>0, d>0, 得a1<a2<a3<a4, 有b1<b2<b3<b4, 则{bn}的公比q>1, 而b1=a1, b4=a4, 所以S4-T4= (a2+a3) - (b2+b3) = (a1+a4) - (b2+b3) = (b1+b4) - (b2+b3) =b1+b1q3-b1q-b1q2=b1 (q-1) (q2-1) >0, 即S4>T4.

方法二:取{bn}的前4项为1, 2, 4, 8;{an}的前4项为1, , 8, 则S4>T4.

【变式】已知{an}是等差数列, 记M=a1·a6, N=a3·a4, 则M, N的大小关系是 () .

(A) M>N (B) M<N

(答案:D.)

11.C.由an+1-an≤2n, 得-an+1+an≥-2n.而an+2-an≥3×2n, 两式相加, 得an+2-an+1≥3×2n-2n=2n+1, 即an+1-an≥2n.所以2n≤an+1-an≤2n, 则an+1-an=2n.又a1=1, 所以a1=1, a2-a1=21, a3-a2=22, …, anan-1=2n-1, 累加, 得.所以a2 016=22 016-1.

12.A.由, a6+a7=3, 得, 即q+q2-6=0, q>0, 所以q=2, 有an=2n-6, 数列{an}的前n项和Sn=2n-5-2-5, 而.于是, 由, 可求得n的最大值为12, 而当n=13时, 28-2-5>213不成立, 所以n的最大值为12.

13.90.

14.-2;3.

【变式】已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2-7n, 则当n=____, Sn取得最小值.

(答案:3或4.)

15. (1) 2; (2) 2 035.a1·a2·a3=1×log23×log34=log24=2.

a1·a2·…·ak=1×log23×…×logk (k+1) =log2 (k+1) .

令log2 (k+1) =m, m≥2, m∈N*, 则k=2m-1.由k=2m-1≤2 000, 得m≤10.

所以在2 000内所有“简易数”的和.

16.;181.A (1, 1) =1, A (1, 2) -A (1, 1) =2, A (1, 3) -A (1, 2) =3, …, A (1, n) -A (1, n-1) =n, 则.所以.而A (2, 10) -A (1, 10) =10, A (3, 10) -A (2, 10) =11, A (4, 10) -A (3, 10) =12, …, A (10, 10) -A (9, 10) =18, 所以A (10, 10) =55+10+11+…+18=181.

【点拨】对于以数表形式出现的数列问题, 需要注意观察数表的呈现规律.如本题的数表, 发现第一列相邻两数之差依次为2, 3, 4, 5, …;第二列相邻两数之差依次为3, 4, 5, …;第一行相邻两数之差依次为1, 2, 3, 4, …;第二行相邻两数之差依次为2, 3, 4, 5, …;因而可运用累加法解之.事实上, 可得.

【变式】已知数列{an}是首项为1, 公比为1/2的等比数列.数列{bn}的项排列如下:

则数列{bn}的前n项和Sn=____ (用n表示) .

(2) 满足Tn-1>0的最大正整数为13.

18. (1) 由题意, 得a1=4-a1, 所以a1=2.

由Sn+an=4, 得当n≥2时, Sn-1+an-1=4.

所以数列{an}是以2为首项, 1/2为公比的等比数列.所以an=22-n (n∈N*) .

(2) 由于数列{dn}是常数列, 即dn=cn+logCan=2n+3+ (2-n) logC2=2n+3+2logC2-nlogC2= (2-logC2) n+3+2logC2为常数,

所以2-logC2=0, 解得, 此时dn=7.

所以数列{bn}是以为首项, 为公差的等差数列.

(3) 数列{an}是等差数列.理由如下:

因为n≥3, 所以an-2an-1+an-2=0, 即an-an-1=an-1-an-2 (n≥3) .

所以数列{an}是以1为首项, a2-1为公差的等差数列.

20. (理) (1) 因为{an}为常数列, 所以an=1 (n∈N*) .所以f (4) =C14+C24+C34+C44=15.

(2) 因为{an}是公比为2的等比数列, 所以an=2n-1 (n∈N*) .

所以f (n) =C1n+2C2n+4C3n+…+2n-1Cnn.

所以1+2f (n) =1+2C1n+22C2n+23C3n+…+2nCnn= (1+2) n=3n.

(3) 假设存在等差数列{an}, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立.

设公差为d, 则f (n) =a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+an-1Cn-1n+anCnn,

且f (n) =anCnn+an-1Cn-1n+…+akCkn+…+a2C2n+a1C1n.

两式相加, 得2f (n) =2an+ (a1+an-1) (C1n+C2n+…+Ckn+…+Cn-1n) .

所以f (n) -1= (d-2) +[2+ (n-2) d]·2n-1= (n-1) 2n恒成立, 即 (d-2) + (d-2) (n-2) 2n-1=0, n∈N*恒成立.所以d=2.

故{an}能为等差数列, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立, 它的通项公式为an=2n-1.

所以满足条件的最小正整数n等于15.21. (1) 圆Cn的圆心到直线ln的距离, 半径, 所以.

又a1=1, 所以{an}是首项为1, 公比为2的等比数列, 所以an=2n-1.

22. (1) 易得a2=1, a3=-3, 所以a2+a3=-2.

(2) bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n=2 (-a2n-2n) +4n=-2a2n=-2bn.又b1=a2=1, 故数列{bn}是首项为1, 公比为-2的等比数列.

(3) 由 (2) 知bn= (-2) n-1, 所以b2n= (-2) 2n-1=-22n-1.

设cn=a2n+a2n+1 (n∈N*) , 则cn=-2n.

设f (x) =4x-2x2-2x-40 (x≥2) , 则g (x) =f′ (x) =4xln 4-4x-2, g′ (x) =4xln24-4>0 (x≥2) , 所以g (x) 在[2, +∞) 上单调递增.

所以g (x) ≥g (2) =f′ (2) >0, 即f′ (x) >0.所以f (x) 在[2, +∞) 上单调递增.

又因为f (1) <0, f (2) <0, f (3) =0, 所以仅存在唯一的n=3, 使得成立.

23. (1) 由题意, 得bn=1-2n, n∈N*, 其前n项和.

当n=1时, a1=S1, a1·a1=1/4.

因为an>0, 所以a1=1/2, tanθ1=1, θ1=π/4.

所以数列{θn}是等比数列, 首项为π/4, 公比为1/2, 其通项公式为, n∈N*.

(3) 由 (2) , 得, n∈N*, 它是个单调递减的数列.

对任意的n∈N*, cn≥m恒成立, 所以m≤ (cn) min.

所以数列c{}n是单调递增的, cn的最小值为c1=0, m≤ (cn) min=0.

因此, 实数m的取值范围是 (-∞, 0].

九、不等式与线性规划

1.D.

2.A.

【变式】已知a, b, c∈R, 则“a>b”是“ac2>bc2”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

(答案:B.)

3.C.

【变式】设a=log23, b=log34, c=log45, 则a, b, c的大小关系是 () .

(A) a<b<c (B) c<b<a

4.A.5.C.

6.B.

【变式1】已知x, y∈ (-∞, 0) , 且x+y+3=0, 则的最大值为 () .

(A) - (8/3) (B) -3

(答案:B.)

【变式2】若两个正实数x, y满足, 且x+2y>a2-2a恒成立, 则实数a的取值范围是 () .

(A) (-2, 0) (B) (0, 4)

(答案:C.)

7.D.由题意作出可行域如图1所示, 将z=y-ax化为y=ax+z, z相当于直线y=ax+z的纵截距.由题意, 得y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行, 所以a=2或a=-1.故选D.

【变式】已知x, y满足则z=x+y取得最大值的最优解为 () .

(A) 1 (B) 2

(答案:D.)

(A) (-1, 1]

(B) [-1, 1]

(D) [1, +∞)

(答案:B.提示:当x=0时, z=-1, 当x≠0时, 令单调递减, 则-1<z≤1.故-1≤z≤1.)

10.B.令b=x-3y, 则, 画出可行域知, 当直线过点 (-2, 2) 时, bmin=-2-3×2=-8;当直线过点 (-2, -2) 时, bmax=-2-3× (-2) =4.所以-8≤b≤4, 于是z=|b|∈[0, 8], 即zmax=8.

【变式】已知x, y满足|x|+|y|≤1, 则z=2|x|-|y|的最大值为 () .

(A) 2 (B) 3

(答案:A.提示:令X=|x|, Y=|y|, 则可行域变形为目标函数变形为z=2 X-Y.可知直线Y=2 X-z经过点 (1, 0) 时, zmax=2×1-0=2.)

13. (-∞, 3/2) .

【变式】一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为x∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) , 则一元二次不等式cx2+bx+a>0的解集为____.

(答案: (- (1/3) , 1) .

14. (-∞, 1) .可行域Ω如图3中阴影部分所示, 函数y=aex的图象与y轴交于点 (0, a) .当a≥1时, y=aex不经过区域Ω;当a<1时, y=aex经过区域Ω.

【变式】若直线y=3x上存在点 (x, y) 满足约束条件, x≤m烅烄烆, 则实数m的取值范围是____.

(答案: (-1, +∞) .提示:x+y+4=0表示的边界为虚线.)

15. (3/2, +∞) .

【变式】已知x, y满足条件若存在无数组解 (x, y) 使得z=ax+y取得最大值, 则实数a的值等于____.

(答案:0或3/2.)

16.1/2.把函数y=f (x) 的图象向右平移2个单位长度得y=f (x-2) 的图象, 由y=f (x-2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称, 知y=f (x) 的图象关于原点对称, 即f (x) 为奇函数且在R上单调递减.由

在uOv平面上画出可行域Ω, u2+v2为区域Ω上的点 (u, v) 与原点间距离的平方.而原点到直线u+v=1的距离, 于是u2+v2的最小值为.

【变式】已知奇函数f (x) 在R上单调递减, 且x, y满足则x2+y2+4y的取值范围为____.

(答案:[1, 37].提示:x2+y2+4y=[ (x-0) 2+ (y+2) 2]-4, 即点 (x, y) 与点 (0, -2) 间距离的平方, 再减去4.由图形 (图略) 知点 (x, y) 取 (1, 0) 时, 可得最小值, 取 (4, 3) 时, 可得最大值.)

17.实数m的取值范围是[1/3, 15) .

18.当航速为25km/h时, 总费用最少, 此时总费用为4 000元.

19.设每周生产空调x台、彩电y台, 则生产冰箱120-x-y台, 产值为z千元.

依题意, 得z=4x+3y+2 (120-x-y) =2x+y+240, 且x, y满足

可行域如图4所示.

让目标函数表示的直线2x+y+240=z在可行域上平移, 可得z=2x+y+240在M (10, 90) 处取得最大值, 即zmax=2×10+90+240=350 (千元) .

答:每周应生产空调10台, 彩电90台, 冰箱20台, 才能使产值最高, 最高产值是350千元.

②当时, 解原不等式, 得无解, 即其解集为;

(2) 依2x2-3 (1+a) x+6a>0, (*)

令2x2-3 (1+a) x+6a=0, (**)

可得Δ=9 (1+a) 2-48a=3 (3a-1) (a-3) .

①当时, Δ<0, 此时方程 (**) 无解, 解不等式 (*) , 得x∈R,

因此原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}.

②当a=1/3时, Δ=0, 此时方程 (**) 有两个相等的实根,

解不等式 (*) , 得x≠1, 因此原不等式组的解集为{x|0≤x<1}.

ⅱ) 当a≤0时, 原不等式组的解集为Ø.

综上, 当a≤0时, 原不等式组的解集为Ø;当时, 原不等式组的解集为时, 原不等式组的解集为{x|0≤x<1};当1/3<a<1时, 原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}.

因为5x2+16x+23>0,

所以只需证明, 5x3+11x2+7x+1<0恒成立即可.

令g′ (x) =0, 解得x1=-1, .

当x在上变化时, g′ (x) , g (x) 的变化情况如下表:

所以, 5x3+11x2+7x+1<0恒成立, 结论得证.

三式相加, 得.

因为x1+x2+x3=-3,

所以f (x1) +f (x2) +f (x3) ≤1/4, 且当x1=x2=x3=-1时取等号.

(ⅱ) 当x1, x2, x3中至少有一个大于等于时,

综上所述, 当x1=x2=x3=-1时, f (x1) +f (x2) +f (x3) 取到最大值1/4.

十、三视图和立体几何

1.B.

【变式】已知一个圆锥的侧面积为3π, 则其体积取得最大值时, 底面半径r= () .

2.D.

3.D.该几何体的直观图如图1所示 (可从正方体中截取) , 则与平面ABB1A1垂直的面有4个, 与平面DCC1D1垂直的面也有4个, 故互相垂直的面共有8对.

4.B.

【变式】正方体的外接球与内切球的体积之比为 () .

(答案:C.)

5.A.该几何体是一个底面半径为1, 高为的半圆锥与一个底面为边长是2, 高为的四棱锥的组合几何体, 其体积为.

【变式】已知某几何体的三视图如图2所示, 则该几何体的体积是 () .

(答案:D.)

6.B.

【变式】某三棱锥的正 (主) 视图如图3所示, 则这个三棱锥的俯视图是 () .

(答案:C.)

7.D.该四棱锥的直观图如图4, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是对角线长为2的正方形, 高PA=2, 则BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB, 而, 所以所求的表面积.

【变式】一个正四棱台的上、下底面是边长分别为2, 4的正方形, 高为1, 则该正四棱台的侧面积为 () .

(答案:B.)

8.C.

【变式】已知m和n是两条不同的直线, α和β是两个不重合的平面, 下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 () .

(B) α⊥β且m∥α

(D) m⊥n且α∥β

(答案:C.提示:m∥n且n⊥β⇒m⊥β.)

9.B.

10.A.如图5, 设AC∩BD=O, AC∩EM=Q, 由AC⊥EM, AC⊥QN, EM∩NQ=Q, 得AC⊥平面EMN, EP⊂平面EMN, 有EP⊥AC, ①成立;由BD∥EM, EM∩EP=E, 得EP与BD异面, 则②不成立;可证得平面EMN∥平面BDS, EP⊂平面EMN, 得EP∥平面SBD, ③成立;当P与N重合时, ④不成立.

11.A.设正方体的棱长为1, 则为定值, 当点E在AD上时, S△BCE有最大值1/2, 当点E位于点A处时, S△BED1, S△CED1均取最大值, 这时三棱锥B-D1EC的表面积最大.

【变式】在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥B-D1EC的体积最大, 则E点位于 () .

(A) 线段AB上

(B) 线段AD上

(D) 线段BD上

(答案:B.提示:为定值, 考虑点E到平面BCD1距离的最大值.)

(文) A.方法一:设正方体的棱长为1, 点P到直线CC1的距离为PC=d, 则, 有PC2-PA2=1.以DA, DC分别为x轴, y轴的正半轴建立平面直角坐标系, 则A (1, 0) , C (0, 1) , P (x, y) , 有[x2+ (y-1) 2]-[ (x-1) 2+y2]=1, 即x-y=1/2为直线.

方法二:设正方体的棱长为1, 以D为原点, DA, DC, DD1分别为x轴, y轴, z轴的正半轴建立空间直角坐标系.设P (x, y, 0) , 而A1 (1, 0, 1) , C (0, 1, 0) , 由|PC|=|PA1|, 得|PC|2=|PA1|2, 即x2+ (y-1) 2= (x-1) 2+y2+1, 有x-y=1/2为直线.

13..在正方体ABCD-A1B1C1D1中, BD1的三视图分别为CD1, BC1, BD, 其长度均为 (a为正方体的棱长) .由, 得a=1, 这时.

【变式】空间一线段的主视图、左视图、俯视图的长度分别为, 则该线段的长度为___.

(答案:.提示:构造长方体.)

14.3π.该几何体是一个四棱锥 (正方体的一部分) , 其底面是边长为1的正方形, 高为1, 将其放置于一个棱长为1的正方体中, 则其外接球的直径, 球的表面积.

【变式】一个几何体的三视图如图6所示, 其中正 (主) 视图和侧 (左) 视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的内切球的半径为____.

【变式】设三棱锥A-BCD的体积为V, 以该三棱锥各棱的中点为顶点的多面体的体积为V′, 则.

16. (理) 34.要MP+PQ取得最小值, 点Q必在AC上, 且PQ⊥AC, 将平面AB1C1与平面ACC1翻折到同一个平面上 (如图7) , 则.

【变式】在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=2, BC=AA1=1, 点M为AB1的中点, 点P为对角线AC1上的动点, 点Q为底面ABCD上的动点 (点P, Q可以重合) , 则MP+PQ的最小值为____.

(答案:5/6.)

(文) A1, B1, D.平面A1DE、平面B1DE与直线BD1均相交, 而BD1∥平面C1DE (可取DC1的中点F, 通过BD1∥EF给出证明) , 于是平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A1, B1, D.

17. (1) 图略.

(2) 证明略.

(3) 在棱PB上取一点E, 使得, 可使AE∥平面PCD.证明略.

18. (1) 由BB1⊥平面ABC, 得BB1⊥AB.

由AB=3, BC=4, AA′=12知, AC=5, 所以AB2+BC2=AC2, 即AB⊥BC.

又BC∩BB1=B, 所以AB⊥平面BCC1B1.

因为PQ平面BCC1B1, 所以AB⊥PQ.

(2) 因为BM∥平面APQ,

所以点M到平面PAQ的距离等于点B到平面PAQ的距离.

连结BQ, 构造三棱锥A-BPQ.

由△ABP为等腰直角三角形, 得BP=AB=3.

另一方面, 在题图12中, 由△ACQ为等腰直角三角形, 得CQ=AC=7.所以在题图13中, .

在△APQ中, 由余弦定理, 得.

设点B到平面PAQ的距离为d,

19. (1) 张老师换掉的另一根塑料棒是CD (或AD, BC, BA) , 而陈成同学换掉的另外一根塑料棒是AC.陈成同学想搭成的三棱锥中, 取AC中点E, 连结BE, DE.因为AB2+CB2=AC2=2a2, 所以BE是直角三角形ABC斜边上的中线, 得.同理.从而由, 不能构成三角形.

(2) 不妨设张老师换掉的另一根塑料棒是CD, 取BD中点F, 连结AF, CF.

因为△ABD是等腰三角形, 所以AF⊥BD.

又△BCD是直角三角形, 所以CF=BF=DF.

又AB=AC=AD, 所以△ABF≌△ACF, 从而AF⊥CF.又CF与BD确定平面BCD, 所以AF⊥平面BCD.又AF平面ABD, 所以平面ABD⊥平面BCD.

(3) 由 (2) 可知, 三棱锥的外接球的球心必在直线AF上.设球的半径为R, 因为, AB=a, 所以.由, 得R=a.

所以新三棱锥的外接球的表面积S=4πa2.

20. (1) 设M为AB的中点, 连结FM, CM.

在△ABE中, F为BE的中点, FM∥AE, FM= (1/2) AE.

又因为CD∥AE, 且, 所以CD∥FM, CD=FM.

所以四边形CDFM为平行四边形.所以DF∥CM.

因为DF平面ABC, CM平面ABC,

所以DF∥平面ABC.

(2) 在Rt△ABC中, AC=BC=1, 所以.

在△ABE中, AE=2, .

因为BE2=AE2+AB2, 所以△ABE为直角三角形.所以AE⊥AB.

已知平面ACDE⊥平面ABC, 平面ACDE∩平面ABC=AC.

又因为∠ACB=90°, 所以AC⊥BC.所以BC⊥平面ACDE.所以BC⊥AE.

又BC∩AB=B, 所以AE⊥平面ABC.因为CM平面ABC, 所以AE⊥CM.

在△ABC中, 因为AC=BC, M为AB的中点, 所以CM⊥AB.又AE∩AB=A, 所以CM⊥平面ABE.

由 (1) 知DF∥CM, 所以DF⊥平面ABE.

(3) 由 (2) 可知BC⊥平面ACDE, 所以BC为三棱锥B-CDE的高, 所以.

21. (1) 如图8, 连结AB1交A1B于O, 连结OM.

在△B1AC中, 因为M, O分别为AC, AB1的中点, 所以OM∥B1C.

又因为OM平面A1BM, B1C平面A1BM, 所以B1C∥平面A1BM.

(2) 因为侧棱AA1⊥底面ABC, BM平面ABC, 所以AA1⊥BM.

又因为M为棱AC的中点, AB=BC, 所以BM⊥AC.

因为AA1∩AC=A, 所以BM⊥平面ACC1A1.所以BM⊥AC1.

因为M为棱AC的中点, AC=2, 所以AM=1.

又因为, 所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中, .

所以∠AC1C=∠A1MA, 即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°.

所以A1M⊥AC1.

因为BM∩A1M=M,

所以AC1⊥平面A1BM.

(3) 当点N为BB1的中点, 即时, 平面AC1N⊥平面AA1C1C.

设AC1的中点为D, 连结DM, DN, 如图9.

因为D, M分别为AC1, AC的中点,

所以DM∥CC1, 且.

又因为N为BB1的中点, 所以DM∥BN, 且DM=BN.所以四边形DMBN为平行边形边.所以BM∥DN.

因为BM⊥平面ACC1A1,

所以DN⊥平面ACC1A1.

又因为DN⊂平面AC1N,

所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.

22. (1) 在菱形BB1C1C中, BC∥B1C1.

因为BC平面AB1C1, B1C1⊂平面AB1C1, 所以BC∥平面AB1C1.

(2) 连结BC1, 如图10.在正方形ABB1A1中, AB⊥BB1.

因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C, 平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1, AB⊂平面ABB1A1,

所以AB⊥平面BB1C1C.

因为B1C⊂平面BB1C1C, 所以AB⊥B1C.

在菱形BB1C1C中, BC1⊥B1C.

因为BC1∩AB=B, 所以B1C⊥平面ABC1.

因为AC1⊂平面ABC1, 所以B1C⊥AC1.

(3) E, F, H, G四点不共面.理由如下:

因为E, G分别是B1C, B1C1的中点, 所以GE∥CC1.

同理可证:GH∥C1A1.

因为GE⊂平面EHG, GH⊂平面EHG, GE∩GH=G,

CC1⊂平面AA1C1C, A1C1⊂平面AA1C1C,

所以平面EHG∥平面AA1C1C.

因为F∈平面AA1C1C,

所以F平面EHG, 即E, F, H, G四点不共面.

十一、空间向量和立体几何

1.D.2.D.3.A.4.B.

5.C.如图1, 通过翻折为平面的方法, 蚂蚁最短爬行路线有6种, ①中正方形内的线段应为虚线, ①错;②正确;排除A, B, D.③正方形内的线段应为实线.故选C.

6.B.在正三棱锥S-ABC中, 有SB⊥AC.又SB⊥AM, AC∩AM=A, 从而SB⊥平面SAC.由正三棱锥的对称性知SA, SB, SC两两互相垂直.将该正三棱锥放置于一个棱长为a的正方体中, 如图2.由2, 得a=2, 正三棱锥与正方体有相同的外接球.于是, 即, 外接球的表面积.

【变式】在正三棱锥S-ABC中, M是SC上一点, 且AM⊥SB, 底面边长, 则正三棱锥S-ABC的体积为 () .

(答案:B.提示:可得SA, SB, SC两两互相垂直, 所求体积.)

所以三棱锥四个面的面积中最大的是.

8.D.方法一 (补形作角法) :如图4, 将四棱锥补形为正方体, 取CE的中点M, 可证得BM⊥平面PECD.

所以∠BPM是直线PB与平面PCD所成的角, 而, 有.

方法三 (向量法) :设a=1, 以A为原点, AB, AD, AP分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则.

设PB与平面PCD所成的角为θ, 则.

【点拨】“作角法”“距离法”“向量法”是求直线与平面所成的角的三种常用方法, 作角法是根据直线与平面所成角的定义, 作出其平面角再计算, 距离法是将其转化为距离, 通过sinθ=d/ PB求解, 向量法是通过求解.

9.C.设球的半径为r.由, 得r=1, 于是正三棱柱的侧棱长为2.

10.A.以B1为原点, B1C1, B1B, B1A1分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, .

11.D.方法一 (几何法) :由∠SCA=90°, 得AC⊥SC.又△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形, 得AC⊥BC, SC∩BC=C, 所以AC⊥平面SBC.又SB⊂平面SBC, 所以SB⊥AC.而∠SBA=90°, 即SB⊥AB, AC∩AB=A, 从而SB⊥平面ABC, 知①②均正确.由AC⊥平面SBC, AC⊂平面SAC, 有平面SBC⊥平面SAC, ③正确.又SB⊥平面ABC, 可得平面ABC⊥平面SAB, 取AB的中点M, 有CM⊥AB.又平面ABC∩平面SAB=AB, 则CM⊥平面SAB, 知点C到平面SAB的距离为, ④也正确.

方法二 (向量法) :同方法一得SB⊥平面ABC, 知①②均正确;以B为原点, BA为y轴, BS为z轴, 垂直于平面SBA的方向为x轴建立空间直角坐标系.设BS=b, 则.

又平面SBC的法向量为, 则, ③正确.

平面SAB的法向量为n′= (1, 0, 0) , 点C到平面SAB的距离, ④也正确.

【点拨】研究空间角问题通常需将几何法与向量法结合在一起运用.如本题用几何法证得SB⊥平面ABC后才便于建立空间直角坐标系, 用向量法解决问题.另外, 在取值求法向量时, 需以降低运算量为原则.如由取x=b, 得n= (b, b, a) , 对后面的计算带来方便, 否则, 若取x=1, 得, 后面的计算量稍大.

12.C.△ABC为等腰直角三角形, 且∠ACB=90°, 而, 要取得最大值, 必有O, A, B, C四点共面, 以O为原点, OC为y轴, OA为z轴, 垂直于平面AOC的方向为x轴.设∠OAC=θ, 则∠BCy=θ, 有B (0, 2sinθ+2cosθ, 2sinθ) ,

13.π/4.

14.2/3.设球的半径为R, 由, 得R=5/4.由, AC=2, 得Rt△ABC外接圆的圆心为AC的中点O′, 设球心为O, 则.

当点D在O′O的延长线上时, 四面体ABCD的体积有最大值.

17. (1) 异面直线AC与PB所成角的余弦值为.

(2) 点A到平面PBC的距离为.

18. (1) 连结FN, 在△PAC中, F, N分别为PA, PC的中点, 所以FN∥AC.因为FN⊂平面DEF, AC平面DEF, 所以AC∥平面DEF.

(2) 如图5, 以D为原点, 分别以DA, DC, DP所在直线为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系, 则, B (1, 1, 0) , C (0, 2, 0) .

设平面PBC的法向量为m= (x, y, z) ,

因为平面ABC的法向量n= (0, 0, 1) ,

由图可知二面角A-BC-P为锐二面角, 所以二面角A-BC-P的大小为π/4.

故在线段EF上存在一点Q, 且.

19. (1) 因为AE⊥A1B1, A1B1∥AB, 所以AB⊥AE.

又因为AB⊥AA1, AE∩AA1=A, 所以AB⊥平面A1ACC1.

又因为AC⊂平面A1ACC1, 所以AB⊥AC.

令z=2 (1-λ) , 所以n= (3, 1+2λ, 2 (1-λ) ) .

由题可知平面ABC的法向量m= (0, 0, 1) .

因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为,

解得λ=1/2或λ=7/4 (舍去) .

所以当点D为A1B1的中点时, 满足要求.

20. (1) 由题意可知四边形ABED是平行四边形, 所以AM=ME.又因为AB=BE, M为AE的中点, 所以BM⊥AE, 即DM⊥AE.

又因为AD∥BC, AD=CE=2, 所以四边形ADCE是平行四边形.

所以AE∥CD.所以CD⊥DM.

因为平面B1AE⊥平面AECD, 平面B1AE∩平面AECD=AE, B1M⊥AE, 所以B1M⊥平面AECD.

因为CD⊂平面AECD, 所以B1M⊥CD.

因为MD∩B1M=M, 所以CD⊥平面B1MD.

(2) 如图7, 以ME为x轴, MD为y轴, MB1为z轴建立空间直角坐标系, 则.

平面AB1E的法向量为.

设平面DB1A的法向量为m= (x, y, z) .

因为二面角D-AB1-E为锐角, 所以二面角D-AB1-E的余弦值为.

(3) 设在线段B1C上存在点P, 使得MP∥平面B1AD.

因为MP∥平面B1AD, 所以.

又因为MP平面B1AD,

所以在线段B1C上存在点P, 使得MP∥平面B1AD, 且.

21. (1) 取PD的中点Q, 连结NQ, CQ,

因为点M, N分别为BC, PA的中点, 所以NQ∥AD∥CM, , 四边形CQNM为平行四边形, 则MN∥CQ.

又MN平面PCD, CQ⊂平面PCD.

所以MN∥平面PCD.

(2) 连结PM.因为AB=AC=1, 点M分别为BC的中点, 则AM⊥BC.

又PA⊥平面ABCD, 则PM⊥BC.所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角, 设为θ.以AB, AC, AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立的空间直角坐标系, 则A (0, 0, 0) , B (1, 0, 0) , C (0, 1, 0) , .

设平面PBC的一个法向量为n= (x, y, z) ,

因为0<α<π/6,

十二、直线与圆、曲线与方程

1.C.

【变式】已知直线l1:ax+y=1和直线l2:x+ay=2, 则“a+1=0”是“l1∥l2”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

(答案:A.)

2.B.

【变式】在下列直线中, 与非零向量n= (A, B) 垂直的直线是 () .

(A) Ax+By=0 (B) Ax-By=0

(答案:A.)

3.A.方法一 (几何法) :由直线与圆相交, 得, 则-2<b<6.

|b|<2成立-2<b<6成立, -2<b<6成立/|b|<2成立.

由直线与圆相交, 得Δ=12× (b-2) 2-4×4 (b2-4b) >0, 解得-2<b<6.|b|<2是-2<b<6的充分不必要条件.

【点拨】研究直线与圆的位置关系问题时, 一般而言, 用几何法运算量较低, 且直观, 更为方便.

【变式】若直线与曲线有两个不同的交点, 则b的取值范围是 () .

(答案:B.提示:由, 得x2+ (y-2) 2=4, y≤2, 表示半圆.当直线与相切时, 由, 得b=-2或b=6 (舍去) .当直线过点 (2, 2) 时, .)

4.D.

【变式】若经过点P (-2, 0) 的直线与圆x2+y2=2相切, 则此直线在y轴上的截距是 () .

(A) -2 (B) 2

(答案:C.)

5.B.方法一:以O (0, 0) , A (2, 3) 为直径端点的圆的方程为x (x-2) +y (y-3) =0, 即x2+y2-2x-3y=0, 与圆C:x2+y2=4相减, 得2x+3y-4=0.

所以直线PQ的方程为2x+3y-4=0.

方法二:设切点P (x1, y1) , Q (x2, y2) , 则, 则切线方程为, 即x1x+y1y=x21+y21=4, 其经过点A (2, 3) , 有2x1+3y1=4.同理2x2+3y2=4.

所以直线2x+3y=4过A, B两点, 即直线AB的方程为2x+3y-4=0.

【点拨】 (1) 方法一用到了下面的结论:①已知A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则以AB为直径的圆的方程为 (x-x1) (x-x2) + (y-y1) (y-y2) =0 (在圆上任取一点P (x, y) , ) ;

②圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交于点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则直线AB的方程为 (D1-D2) x+ (E1-E2) y+ (F1-F2) =0.

(2) 以上两种方法在运算量方面相差不远, 但方法二对椭圆、双曲线、抛物线也适用.

6.A.

7.C.

【变式】已知点A是直线l:上的动点, 过点A作圆C: (x-2) 2+y2=1的切线, 切点为P, 则|AP|的最小值为 () .

(答案:B.)

8.C.设B (x1, y1) .由, 得A是MB的中点, 则,

所以圆O:x2+y2=1与圆O′: (x+t) 2+ (y+2) 2=4有公共点.

方法二 (几何法) :直线的倾斜角为30°, 于是在△AOB中, ∠A=∠B=30°, 从而∠AOB=120°, 则.

【变式】过点P (-1, -1) 的直线与圆O:x2+y2=1相交于A, B两点, 则.

(答案:D.提示:过点P作圆O的切线, 设切点为Q, 有|PQ|=1.由切割线定理, 得.)

10.D.

【变式】已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内, 过点E (1, 0) 的两条弦AC, BD互相垂直, 则四边形ABCD面积的最小值为 () .

(A) 4 (B) 8

(答案:B.提示:设圆心M (2, -1) 到弦AC, BD的距离分别为m, n, 则, 仅当m=n=1时取等号.)

11. (理) B.

(文) D.设圆M与圆C1内切于点A, 圆M与圆C2内切于点B, 圆M的半径为r, 则|C1M|=|AM|-|C1A|=r-1, |C2M|=|C2B|-|MB|=5-r, 有|C1M|+|C2M|=4, 所以点M的轨迹是以C1 (-1, 0) , C2 (1, 0) 为焦点的椭圆.设其方程为 (a>b>0) , 且2a=4, c=1, 有a=2, b2=a2-c2=3, 即.

(文) C.由圆M与圆C总有公共点, 得3-2≤|CM|≤3+2, 即1≤|CM|≤5.由于点M在圆C内, |CM|≤5显然成立, 故|CM|≥1.点M在直线l:kx-y+3=0上, 且直线l过定点 (0, 3) , 只需使直线l与圆 (x-1) 2+ (y-1) 2=1相切或相离, 所以.

13. (x-3) 2+ (y-3) 2=18.

【变式】已知圆C的圆心在直线x-y=0上, 且圆C与直线x+y=0相切, 直线x+y-12=0被圆C截得的弦长为, 则圆C的标准方程是____.

(答案: (x-4) 2+ (y-4) 2=32.)

15. (-∞, -1]∪[1, +∞) .设过点P的直线与圆相切于A, B两点, 则四边形PAOB是边长为1的正方形, 有, 于是直线y=kx+2与圆x2+y2=2有公共点, 所以, 得k2≥1, 即k≤-1或k≥1.

17. (1) 圆C的方程为 (x+4) 2+y2=16.

(2) 直线FG被圆C截得的弦长为7.

18. (1) 由得圆心C为 (3, 2) .

因为圆C的半径为1,

所以圆C的方程为 (x-3) 2+ (y-2) 2=1.

显然切线的斜率一定存在, 设所求圆C的切线方程为y=kx+3, 即kx-y+3=0.

所以所求圆C的切线方程为y=3或, 即y=3或3x+4y-12=0.

(2) 因为圆C的圆心在直线l:y=2x-4上, 所以设圆心C为 (a, 2a-4) ,

则圆C的方程为 (x-a) 2+[y- (2a-4) ]2=1.

设圆D:x2+ (y+1) 2=4, 所以点M应该既在圆C上又在圆D上, 即圆C和圆D有交点.

由5a2-12a+8≥0, 得a∈R;由5a2-12a≤0, 得.

所以a的取值范围为.

19. (1) 如图1, 设AB的中点为M, 切点为N, 连结OM, MN, 则|OM|+|MN|=|ON|=2, 取A关于y轴的对称点A′, 连结A′B, 故|AB|+|A′B|=2 (|OM|+|MN|) =4.

所以点B的轨迹是以A, A′为焦点, 长轴长为4的椭圆.其中, a=2, , b=1, 则曲线Γ的方程为.

(2) 如图2, 因为B为CD的中点, 所以OB⊥CD, 则.

又因为AC=4, 所以OC=1.所以.

所以直线CD的方程为, 即x+7y-5=0.

(2) 设C (-3m, 4m) (0<m≤1) , 则OC=5m, 则AC=OA-OC=5-5m.

因为AC=BD, 所以OD=OB-BD=5m+4.所以点D的坐标为 (5m+4, 0) .

又设△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

解得D=- (5m+4) , F=0, E=-10m-3.

所以△OCD的外接圆的方程为x2+y2- (5m+4) x- (10m+3) y=0.

整理, 得x2+y2-4x-3y-5m (x+2y) =0.

所以△OCD的外接圆恒过定点 (2, -1) .

21. (1) 由x2+y2-6x+5=0, 得 (x-3) 2+y2=4.所以圆C1的圆心坐标为 (3, 0) .

(2) 设M (x, y) .因为点M为弦AB的中点, 即C1M⊥AB,

所以kC1M·kAB=-1, 即.

所以线段AB的中点M的轨迹的方程为.

(3) 由 (2) 知点M的轨迹是以为圆心, 为半径的部分圆弧EF (图3所示, 不包括两端点) , 且.

又直线L:y=k (x-4) 过定点D (4, 0) ,

当直线L与圆C相切时,

十三、圆锥曲线

1.D.

【变式】已知椭圆C: (a>b>0) 的焦点为F1, F2, 若椭圆C上存在一点P, 使得∠F1PF2=90°, 则椭圆C离心率的取值范围是 () .

(答案:B.)

2.C.

【变式】若方程表示椭圆, 则实数k的取值范围是 () .

(A) (-∞, -2)

(B) (2, 5/2)

(答案:D.)

3.A.

【变式】已知点A (1, 1) , F是椭圆的左焦点, 若点P在椭圆上运动, 则|PA|+|PF|的最小值为 () .

(答案:C.)

4.D.

5.B.

【变式】设双曲线 (a>0, b>0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 直线l经过F1且与双曲线交于两点A, B, 若△AF2B为正三角形, 则双曲线的离心率为 () .

(答案:C.)

7.C.由题意, 得, 则a2+b2<3, 即点P (a, b) 在圆x2+y2=3的内部.又圆x2+y2=3在椭圆的内部, 于是点P在椭圆的内部, 故过点P的一条直线与椭圆有2个公共点.

9.D.由, 得c2=2a2=a2+b2, 即a=b, 因此双曲线的一条渐近线为l:y=x.

由得P (4, 4) .而抛物线的准线为x=-1, 于是|PF|=4- (-1) =5.

10.D.

【变式】已知直线y=kx-k与双曲线x2-y2=4在右支有两个不同的交点, 则实数k的取值范围是 () .

(答案:D.)

15.①②④.16.- (3/8) .

17. (1) 椭圆C的方程是.

(2) kOM·kPB=-1不成立, 理由略.

(2) (i) 由题意可知, 直线l的斜率为0时, 不合题意.

(ii) 不妨设直线l的方程为x=ky+m.

因为以AB为直径的圆过点M (2, 0) , 所以.

将x1=ky1+m, x2=ky2+m代入上式,

综上, 直线l经过定点 (6/5, 0) .

故椭圆C的标准方程为.

两式作差, 得.因为直线PA, PB的斜率都存在, 所以x20-x21≠0.

所以当PA, PB的斜率都存在时, kPA·kPB=- (1/2) .

(ii) k=0时, P (x0, y0) , A (-2, 0) , B (2, 0) , 设PA的斜率为n, 则PB的斜率为.

直线PA:y=n (x+2) , M (3, 5n) , 直线PB:,

20. (1) 由题意可设抛物线C的方程为x2=2py (p>0) , 则p/2=1, 所以抛物线C的方程为x2=4y.

(2) 由题意知, 直线AB的斜率存在.设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 直线AB的方程为y=kx+1.

同理点N的横坐标.

令4k-3=t, t≠0, 则.

综上所述, 当, 即时, |MN|的最小值是.

21. (理) (1) 点M (1, 0) 是椭圆C的“1分点”, 理由如下:

(2) 假设点M (1, 0) 为椭圆C的“2分点”, 则存在过点M的直线l与椭圆C交于A, B两点, 使得S△AOB=2S△AOD, 显然直线l不与y轴垂直.设l:x=my+1, A (x1, y1) , B (x2, y2) .

因为S△AOB=2S△AOD,

将④代入⑤中得, 无解.

所以点M (1, 0) 不是椭圆C的“2分点”.

(3) x0的取值范围为 (-2, -1) ∪ (1, 2) .

(文) (1) 椭圆C的离心率.

设点E, F的坐标分别为 (x1, y1) , (x2, y2) , EF的中点M的坐标为 (xM, yM) ,

因为△BEF是以EF为底边, B为顶点的等腰三角形, 所以BM⊥EF.

因此BM的斜率.

又点B的坐标为 (0, -2) ,

所以EF的方程为.

又圆的圆心O (0, 0) 到直线EF的距离为,

第八单元复习题（共）篇3

一．单项选择题

１﹒2009年2月6日，由中国伦理学会等单位主办的第三届中国演艺界十大孝子颁奖盛典在北京举行，唐国强、潘长江、汤镇宗、萨日娜、王姬、牛莉、黄薇、李丹阳、朱媛媛、印小天等十位演艺界明星荣获孝子称号。这一活动（）

①有利于促进良好社会风尚的形成②具有较强的感染力和影响力③有利于促使人们加强道德修养④符合人们对真善美的追求

A﹒①②③④

B﹒②③④

C﹒①②④

D﹒①②③

大河网2月13日报道：记者从南阳市检察院公诉处获悉，因决策建造外观状似“白宫”的豪华办公楼而备受媒体关注的原郑州市惠济区区委书记冯刘成受贿、贪污、挪用公款一案，日前由河南省高级人民法院作出终审判决，判处冯刘成无期徒刑，剥夺政治权利终身，并处没收个人财产540余万元，追缴各种非法所得600余万元。据此回答2－3题

2﹒冯刘成受贿、贪污、挪用公款的行为（）

①是一种假恶丑的行为②对社会公共生活和社会发展带来消极影响③会使一些人价值观发生扭曲，铤而走险，违法犯罪④对未成年人没有任何影响

A﹒①②③

B﹒①③④

C﹒①②④

D﹒②③④

3﹒生活中既有真善美，也有假恶丑，面对是非善恶，我们应该（）①增强自己的道德修养和法律意识，提高自己的辨别力②增强自我控制力，正确的行为必须坚持；错误的行为坚决摒弃③只亲近真善美的事物，远离非善恶事物④根据自己的兴趣和爱好做出有个性的选择

A﹒①②

B﹒②③

C﹒②④

D﹒③④

2009年1月6日中国法院网：近日，由人民网、中国法院网等联合主办的，首次由网友投票评选出来的2008’中国十大法制人物揭晓。药品打假“专业户”高敬德名在其中。2004-2007年的三年中，老高打假105次，花在打假上的费用是11万多，但得到的赔偿只有4万多。老高常常孤身一人，辗转于上海、浙江和江苏。随着打假行动的不断深入，他的麻烦也越来越多。现在浙江很多大药店里都有他的画像，见到他来有的店就拉上大门。在举报过程中，他多次遭到暴徒的殴打。据此回答4－5题 4﹒对上述材料的理解正确的是（）

①真善美的行为会使自己成为名人②高敬德是一位坚持正义，为人正直的人③真善美的行为有益于社会的和谐稳定④真善美的行为会得到社会的认可、人们的尊敬

A﹒①②③

B﹒②③④

C﹒①②④

D﹒①②③④

5﹒社会需要坚持正义、为人正直的人，我们要使自己逐步成为一个向高敬德那样坚持正义、为人正直的人就要（）

A﹒严格要求自己，不做违背道德和法律的事

B﹒明辨是非善恶，积极同身边的假恶丑行为作斗争

C﹒努力学好科学文化知识，掌握建设祖国的本领

D﹒提高自己的控制力，不该做的事坚决不做 6．阅读右边漫画，你认为（）A．老大爷要宽以待人，不必责备他人 B．老大爷要换位思考，做好本职工作

C．该同学在展示自己的个性，不必理会老大爷 D．该同学应爱护公共环境卫生，接受老大爷劝告

7．王珊与李丹在打扫卫生时，不小心把教室的玻璃打碎了，她悄悄地对李丹说：“别吱声，就当什么也没发生。”此时李丹应该对王珊说（）

A﹒还是如实报告老师，主动承担责任

B﹒好，这个主意不错

C﹒我们去告诉老师，说不知谁把玻璃打碎了D﹒你自己看着办吧

2009年1月12日，朔州市中级人民法院对轰动全国的朔州市二中“学生弑师案”进行了不公开开庭审理。一审判处被告人李明（化名）无期徒刑，剥夺政治权利终身；被告人法定代理人李明之父赔偿附带民事诉讼原告人郝海子夫妇（被害人父母）丧葬费、被扶养人生活费共计134990.1元。法院审理查明，被告人李明上初中时，就一直对老师的严加管教心存不满。读高中后，对班主任郝旭东的管理方法更是怀恨在心，并伺机报复。2008年10月4日晚自习时，李明用弹簧刀将班主任郝旭东捅死。据此回答8－9题 8﹒李明弑师而被判刑，这告诉我们（）

①每一种行为都会自己及周围的人或事造成一定的影响，产生一定的结果②行为不同，结果不同，消极行为产生消极结果③如果不能明辨是非善恶，就会做出违反道德和法律的事情④只有明辨是非善恶，才能把握好自己生活的方向

A﹒①②③

B﹒②③④

C﹒①②④

D﹒①②③④ 9﹒我们对自己的行为负责，就要做到（）①加强道德修养和文化修养，提高自己的判断力，对自己行为的后果作出正确的判断 ②把该做的事一定做好，不该做的事坚决不做③如果自己的错误行为给他人和社会带来损失，就要敢于承担责任并及时改正④如果与同伴一起做错了事可以推卸逃避责任

A﹒①②④

B﹒②③④

C﹒ ①②③

D﹒①③④ 10﹒观察漫画《红与黑》回答下列问题

对漫画中人物的行为下列理解错误的是（）A﹒属于假恶丑的行为，会对个人和社会产生消极影响B﹒是对消费者不负责任的表现，是不道德的，也是违法的C﹒是自己发财致富的好途径 D﹒对自己行为可能产生的后果缺乏正确的判断，会损害他人的利益，自己也会付出代价

11﹒春节期间，当人们尽享阖家团圆的温馨的时候，在医院的急诊室里，在一列列呼啸而过的列车上，在商场的柜台前，总有一些人坚守着，给忙着过年的人们提供必需的保障。他们相信履行职责是自己的崇高使命，他们坚信自己的奉献将使大家生活变得更美好。他们拥有一个共同的名字——坚守岗位的劳动者.。

这启示我们（）

①不同的角色承担着不同的责任②每个人在社会生活中都扮演一种角色，承担一种责任③我们每一个人都要增强责任意识，承担起自己的责任，认真做好该做的事④承担责任只会付出代价，对个人没有任何好处

A﹒①③

B﹒①②

C﹒②④

D﹒③④

人民网天津视窗2月1日电：春节期间，甘肃省清水县几所小学的孩子们，收到了来自天津少年周钰城寄去的新年礼物——4000支铅笔和4000个练习本。周钰城是天津市河北区昆一小学五年级的一名中队委，虽然只有11岁，但他助人为乐的历史已经有8年了。8年来，他向甘肃省清水县贫困山区捐赠学习用品和钱物累计金额达6万余元，资助学生30余名。市教委、市少工委近日做出决定，授予周钰城“爱心好少年”、“优秀少先队员”等荣誉称号。据此回答12－13题

12﹒天津少年周钰城的行为（）

①是真善美的行为，具有较强的感染力和影响力②是服务社会、奉献社会，积极承担社会责任的表现③是出风头，虚荣心的表现④精神可嘉，行为不可取，作为学生只要搞好学习就行。

A﹒①③

B﹒ ③④

C﹒②④

D﹒①②

13﹒向周钰城同学学习我们应该（）

①在生活中，明辨是非善恶，追求真善美

②增强责任意识，做一个对自己行为负责的人③辍学打工挣钱捐助贫困地区的少年儿童

④从身边小事做起，积极为社会做贡献

A﹒①②④

B﹒①②③

C﹒①③④

D﹒②③④ 14﹒仔细观察右边漫画《抢劫》，你认为漫画中的青少年应该（）

①从小做一个对自己的行为负责的人②加强道德和文化修养，努力提高自己的判断能力③如果意识到自己的行为会对他人和社会带来损害，就要学会控制自己的行为④只抢钱财，不伤害他人的身体

A﹒①②④

B﹒②③④

C﹒①③④

D﹒①②③

二．简答题１5．新华网湖北频道2月8日电这一段时间以来，英雄张玉莲的名字从大冶传遍荆山楚水，她的壮举让人震撼，她的美德让人敬仰。元月14日，大冶市金牛镇粮食公司职工张玉莲为保护10万元公款，手无寸铁与持刀抢劫的歹徒进行浴血搏斗，身中10余刀后，顽强地捂着伤口追赶歹徒，直至倒在血泊中不省人事，后经医院8小时抢救，才脱离生命危险。苏醒后张玉莲开口的第一句话就是问：“歹徒抓到没有，公款追回来没有？”在生命垂危的情况下，张玉莲想到的不是个人的安危，而是集体的利益，心中装着的总是别人，而不是自己。在场的每一个人都被她感动得不禁流下了眼泪。大冶警方根据她提供的一线索，于案发后9小时内将犯罪嫌疑人乔和平抓获。

（１）运用所学知识对材料中的人物行为进行评价。（２）他们的行为对个人和社会产生怎样的影响？

１6．中央电视台2008“感动中国”人物评选2月5日揭晓，金晶获此殊荣。法国当地时间4月7日中午，北京奥运火炬传递在法国巴黎开始环球传递第5站，几名藏独分子试图从中国火炬手金晶手中抢走火炬，坐在轮椅上的金晶面对暴行，毫不畏惧，用双手紧紧抱着火炬，同时脸上流露出骄傲的神情。虽然她被威胁、被殴打，但她手中的火炬始终没有被抢走。金晶用她那残弱的身躯捍卫了奥运精神。“那是光荣的一刻！她以柔弱之躯挡住残暴，她用美丽的微笑，传递力量。她让全世界读懂了奥运的神圣和中国人的骄傲。”

（１）金晶感动中国的原因是什么？（２）你打算怎样向金晶学习？

１7．情景一：今天上级部门要来学校检查，“管事大王”班长李军忙得不亦乐乎。为使教室变得更美丽些，他动员大家从家里带来一些花卉，并亲自和同学一起摆好，挨个检查同学们的衣着及校章佩戴情况，然后又积极带领同学们打扫卫生，并对同学们进行指导……

情景二：洪强“爱管事”，爱打抱不平，甚至可以为朋友两肋插刀，这不，今天下午课外活动时间，他的一位好朋友被外班学生打了，他二话没说，纠集了几个助手为自己的朋友讨回公道……

请对上述两位同学的行为谈谈你的看法。三.分析说明题 18.材料一：在扑救元宵夜中央电视台新址大火中英勇牺牲的消防战士张建勇，经公安部政治部批准被授予烈士称号。年仅30岁的张建勇烈士是在冲入火场灭火过程中，将自己佩戴的呼吸器让给受困人员而吸入过量毒气，于２００９年2月10日凌晨壮烈牺牲的。消

防战士杨毅向记者讲述了当时的情形：当时，被困人员因吸入过量的毒气，生命垂危，指导员毫不犹豫将自己的呼吸器拿下，并迅速给他戴上。生死面前，张建勇把生的希望留给了别人！

材料二：２００９年2月13日上午,在社会上引起强烈反响的张旭毒杀父母案，在安徽省淮北市中级人民法院开庭审理。法庭上，张旭对毒杀父母的犯罪事实供认不讳，说杀死母亲的起因是，父母知道偷拿家里的房产证抵押贷款后，拿自己不当人看，天天责备自己，只有除去父母，以后的自己日子才能平静。他将受到法律的严惩。

（1）对比材料中人物的不同行为我们会受到什么启发？（2）我们青少年应怎样做一个对自己行为负责的人？四.实践探究题１８．“在最崎岖的山路上点燃知识的火把，在最寂寞的悬崖边拉起孩子们求学的小手，19年的清贫、坚守和操劳，沉淀为精神的沃土，让希望发芽。”甘洛县乌史大桥乡二坪村，是凉山北部峡谷绝壁上的彝寨，村民上下绝壁都要攀爬5架木制的云梯，进出极为艰难，村民一年难得下绝壁一次。就是在如此艰险的环境下，从汉族地区来的李桂林、陆建芬夫妻扎根这里18年，把知识的种子播种在彝寨，为村民走出彝寨架起“云梯”。李桂林、陆建芬被评为2008“感动中国”人物。

为了宣传李桂林、陆建芬的事迹，提高同学们的责任意识，使同学们做一个对自己行为负责的人，七年级（5）班准备结合课本知识开展一次“我的行为我负责”的主题班会，请你参与其中：

（1）请你为本次班会设计两条宣传标语。

（2）假如在班会上请你发言，你会用到课本的哪些知识？（3）请你谈谈本次活动后的体会。

参考答案

一．单项选择题

1﹒A 2﹒A 3﹒A 4﹒C 5﹒B 6﹒D 7﹒A 8﹒D 9﹒C 10﹒C 11﹒A 12﹒D 13﹒A14﹒D 二．简答题

14．（1）英雄张玉莲，忠于职守、见义勇为、不怕牺牲，为了维护集体的利益而勇斗歹徒，属于真善美的行为，受到了人们赞誉。歹徒乔和平抢劫财务并伤害他人，是一种违法行为，属于假恶丑的行为，必将受到道德的谴责和法律的严惩。（2）①真善美的行为，具有极强的感染力和影响力。具有起到净化人们心灵的作用，激起人们对美好事物的向往和追求，促使人们在日常学习、工作和生活中，加强自身的道德修养，自觉抵制不良诱惑，从而形成良好的社会风尚。②假恶丑的行为，对社会公共生活和社会发展带来消极影响，危害社会秩序，破坏社会风气；对社会的每一个人也都会产生不利的影响，会使人价值观发生扭曲，铤而走险，违法犯罪；腐蚀未成年人的心灵，致使少数未成年人人、精神空虚、行为失范，有的甚至走上违法犯罪的歧途

15．（1）在是非善恶面前能做出正确的选择，勇敢地用残缺的身体保护奥运火炬，以自己的实际行动维护了祖国的利益和尊严。（2）面对生活中的是非善恶，我们要作出正确的的选择。首先要明确判断的标准，包括道德标准和法律标准；加强道德修养，增强法律意识，提高辨别能力；增强自控能力，坚持正确的行为，摒弃错误的行为。

16．李军作为班长能认识到自己应负的责任，并以实际行动履行自己的责任，是一个负责任的人。而洪强在是非善恶缺乏正确判断标准，分不清是非善恶，只讲哥们儿义气，即损害了他人利益，又违反了学校纪律甚至法律。这就要求我们在是非善面前要做出正确的选择，认清自己的责任，做一个负责任的公民。

三.分析说明题

17.（1）材料一中的消防战士张建勇舍己为人，危难之际，把生的希望留给别人，受到了国家和社会的赞誉和表彰。材料二中的张旭毒杀父母的行为，使家庭破裂，自己也必将受到法律的严惩。这说明了每一种行为都会给自己及周围的人或事造成一定的影响，产生一定的结果。行为不同，结果不同。我们要明辨是非善恶，做一个对自己行为负责的人。（2）加强道德修养和文化素养，努力提高自己的判断力，对自己行为的后果做出正确的判断；同时，增强责任意识，认真做好该做的事；如果意识到自己的行为会对他人和社会带来损害，并对自己造成不利的影响，就要控制自己，坚决不去做；如果自己的错误行为给他人或社会造成了损失，就要敢于承担责任，并及时改正。

四.实践探究题