小学数学比单元测试题（精选7篇）
小学数学比单元测试题 篇1
六年级数学上册第六单元比的认识测试题
一、填空。
1．（）：30=30÷（）=3/5=24/（）=（）(小数)2．五(1)班男生36人，女生24人，男、女生人数的最简比是（），女生人数和全班人数的最简比是（）。
3．从学校到图书馆，甲用15分，乙用18分，甲、乙所用时间比是（），乙与甲每分所走的路程比是（）。
4．体育课上老师拿出40根跳绳，按3：2分给男、女生，男生分得这些跳绳的（）/（），女生分得（）根。
5．山羊只数比绵羊多25%，山羊只数和绵羊只数的比是（），绵羊比山羊少（）%。
6．一个直角三角形，两个锐角度数比是7：11，这两个锐角分别是（）度和（）度。
二、计算。1．化简比。
0.875：1.75
7/20：3/4
4厘米：20千米
2．求比值。
0.13：2.6
9/20：1/6
2：0.5
三、解答
1．长方形的周长是72厘米，长与宽的比是4 ：5，长方形的面积是多少？ 2.等腰三角形的顶角与底角的比是2 ：5，它的顶角与底角各是多少度？
3.红、黄、蓝三种铅笔支数的比是2：3 ：5，红铅笔是12支，黄铅笔、蓝铅笔各有多少支？
四、应用题。
01、在一块铜和锡的合金中，铜和锡的重量比是5：3.已知合金的重量是400千克，其中铜和锡各重多少千克？
02、用180厘米的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是3：2：4.这个长方体的长、宽、高分别是多少？
03、☆某校语文教师占教师总人数的2/7，数学教师占教师总人数的3/10，艺术教师占教师总人数的1/5。语文、数学和艺术教师的人数比各是多少？如果学校艺术教师有28人，那么语文教师和数学教师个有多少人？
04、☆果园里苹果树、梨树和桃树的比是3：2:7.其中苹果树有60棵，梨树和桃树各有多少棵？ 05、☆饲养场白兔和灰兔的比是5：2，白兔比灰兔多60只，饲养场一共养了多少只兔子？
06、☆☆六年级共有学生280人，男生是女生的3/5，男生和女生各有多少人？
07、甲、乙、丙三个数的平均数是80，三个数的比是1:2:3，这三个数分别是多少？
08、☆一条路已经修好了80千米，已经修的与铁路总长的比是1:8，还有多少千米没有修？
09、☆☆有大小两桶油，重量比是7:3，如果从大桶取出12升油倒入小桶，则两个桶中的油正好相等。两桶中原来各有油多少升？
小学数学比单元测试题 篇2
一、选择题
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn, 若8a2+a5=0, 则下列式子中数值不能确定的是 () .
2.已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差数列, x, c, d, y成等比数列, 则的最小值是 () .
(A) 4 (B) 2
(C) 1 (D) 0
3.若等比数列{an}的各项均为正数, 且a10a11+a9a12=2e5, 则ln a1+ln a2+…+ln a20等于 () .
(A) 50 (B) 25
(C) 75 (D) 100
4.设Sn是等比数列{an}的前n项和, 若, 则.
(A) 2 (B) 7/3
(C) 3/ (10) (D) 1或2
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和, 且S1, S2, S4成等比数列, 则.
(A) 1 (B) 1或2
(C) 1或3 (D) 3
6.已知数列{an}满足a1=1, 且anan+1=2n, 则数列{an}的前20项的和为 () .
(A) 3×211-3 (B) 3×211-1
(C) 3×210-2 (D) 3×210-3
7.已知数列{an}满足 (n∈N*) , 则使不等式a2 016>2 016成立的所有正整数a1的集合为 () .
(A) {a1|a1≥2 016, a1∈N*}
(B) {a1|a1≥2 015, a1∈N*}
(C) {a1|a1≥2 014, a1∈N*}
(D) {a1|a1≥2 013, a1∈N*}
8.设数列{an}的前n项和为Sn, 且a1=a2=1, {nSn+ (n+2) an}为等差数列, 则{an}的通项公式an= () .
9.已知数列{an}满足:a1=1, (n∈N*) .若 (n∈N*) , b1=-λ, 且数列{bn}是单调递增数列, 则实数λ的取值范围是 () .
10.已知等差数列{an}中, a1>0, d>0, 前n项和为Sn, 等比数列{bn}满足b1=a1, b4=a4, 前n项和为Tn, 则 () .
(A) S4>T4 (B) S4<T4
(C) S4=T4 (D) S4≤T4
11.已知数列{an}的首项为a1=1, 且满足对任意的n∈N*, 都有an+1-an≤2n, an+2-an≥3×2n成立, 则a2 016= () .
(A) 22 015-1 (B) 22 015+1
(C) 22 016-1 (D) 22 016+1
12.在正项等比数列{an}中, , a6+a7=3, 则满足a1+a2+…+an>a1·a2·…·an的最大正整数n的值为 () .
(A) 12 (B) 10
(C) 8 (D) 6
二、填空题
13.在等差数列{an}中, a2=6, a5=15, 则a2+a4+a6+a8+a10=____.
14.已知等差数列{an}中, Sn为其前n项和.若a1+a3+a5+a7=-4, S8=-16, 则公差d=____;数列{an}的前____项和最大.
15.已知数列{an}满足a1=1, an=logn (n+1) (n≥2, n∈N*) , 定义:使乘积a1·a2·…·ak为正整数的k (k∈N*) 叫做“简易数”.
(1) 若k=3时, 则a1·a2·a3=____;
(2) 求在2 000内所有“简易数”的和为____.
16.将自然数按如下图排列, 其中处于从左到右第m列、从下到上第n行的数记为A (m, n) , 如A (3, 1) =4, A (4, 2) =12, 则A (1, n) =____;A (10, 10) =____.
三、解答题
17.已知等比数列{an}的前4项和S4=5, 且成等差数列.
(1) 求{an}的通项公式;
(2) 设{bn}是首项为2, 公差为-a1的等差数列, 其前n项和为Tn, 求满足Tn-1>0的最大正整数n.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn+an=4, n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 已知cn=2n+3 (n∈N*) , 记dn=cn+logCan (C>0且C≠1) , 是否存在这样的常数C, 使得数列{dn}是常数列, 若存在, 求出C的值;若不存在, 请说明理由.
(3) 若数列{bn}, 对于任意的正整数n, 均有成立, 求证:数列{bn}是等差数列.
19.已知数列{an}的前n项和 (n=1, 2, 3, …) .
(1) 求a1的值;
(2) 求证: (n-2) an+1= (n-1) an-1 (n≥2) ;
(3) 判断数列{an}是否为等差数列, 并说明理由.
20. (理) 已知数列{an}的首项为1, 记f (n) =a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn (n∈N*) .
(1) 若{an}为常数列, 求f (4) 的值.
(2) 若{an}是公比为2的等比数列, 求f (n) 的解析式.
(3) 是否存在等差数列{an}, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立?若存在, 求出数列{an}的通项公式;若不存在, 请说明理由.
(文) 在数列{an}中, a1=1, (n≥2, n∈N*) .
(1) 若数列{bn}满足 (n∈N*) , 求证:数列{bn}是等比数列;
21.已知直线ln:与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点An, Bn, n∈N*.数列{an}满足:a1=1, .
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若, 求数列{bn}的前n项和Tn;
(3) 记数列{an}的前n项和为Sn, 在 (2) 的条件下, 求证:对任意正整数n, .
22.已知数列{an}满足数列{an}的前n项和为Sn, bn=a2n, 其中n∈N*.
(1) 求a2+a3的值.
(2) 证明:数列{bn}为等比数列.
(3) 是否存在n (n∈N*) , 使得?若存在, 求出所有的n的值;若不存在, 请说明理由.
23.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且an>0, (n∈N*) .
(1) 若bn=1+log2 (an·Sn) , 求数列{bn}的前n项和Tn;
(2) 若, 2n·an=tanθn, 求证:数列{θn}为等比数列, 并求出其通项公式;
九、不等式与线性规划
一、选择题
1.已知a>b>0, 则下列不等式成立的是 () .
2.已知p, q∈R, 则“q<p<0”是“”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
3.设a=log0.80.9, b=log1.10.9, c=1.10.9, 则a, b, c的大小关系是 () .
(A) a<b<c (B) a<c<b
(C) b<a<c (D) c<a<b
4.设a, b∈R, 则“ab>0且a>b”是“”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
5.若“x>0”是“不等式2a>a2-x成立”的必要不充分条件, 则正实数a的取值范围是 () .
(A) a>2 (B) a<4
(C) 2<a<4 (D) a>4
6.已知x, y∈ (0, +∞) , , 则的最小值为 () .
(A) 8/3 (B) 3
(C) 4 (D) 9
7.已知x, y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一, 则实数a的值为 () .
(A) 1/2或-1 (B) 2或1/2
(C) 2或1 (D) 2或-1
8.如果实数a, b满足条件则的取值范围是 () .
9.设关于x, y的不等式组表示的平面区域为D, 已知点O (0, 0) , A (1, 0) , 点M是D上的动点, , 则λ的取值范围是 () .
10.设变量x, y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为 () .
(A) 10 (B) 8
(C) 6 (D) 4
11.曲线y=1/x (x>0) 在点P (x0, y0) 处的切线为l, 若直线l与x, y轴的交点分别为A, B, 则△OAB的周长的最小值为 () .
12. (理) 已知满足条件x2+y2≤1的点 (x, y) 构成的平面区域的面积为S1, 满足条件[x]2+[y]2≤1的点 (x, y) 构成的平面区域的面积为S2, 其中[x], [y]分别表示不大于x, y的最大整数, 例如:[-0.4]=-1, [1.7]=1, 则S1与S2的关系是 () .
(A) S1<S2 (B) S1=S2
(C) S1>S2 (D) S1+S2=π+3
(文) 已知b>a>0, ab=2, 则的取值范围是 () .
(A) (-∞, -4] (B) (-∞, -4)
(C) (-∞, -2] (D) (-∞, -2)
二、填空题
13.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为x∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) , 则一元一次不等式ax+b<0的解集为_____.
14.已知函数y=aex (其中a∈R) 经过不等式组所表示的平面区域, 则实数a的取值范围是____.
15.已知x, y满足条件若目标函数z=ax+y (其中a>0) 仅在点 (2, 0) 处取得最大值, 则a的取值范围是____.
16.已知函数f (x) 是R上的减函数, 且y=f (x-2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称.若u, v满足不等式组则u2+v2的最小值为____.
三、解答题
17.已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:双曲线的离心率e∈ (1, 2) .若p, q有且只有一个为真命题, 求实数m的取值范围.
18.一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比, 如果此船速度是10km/h, 那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为500元/时, 在100km的航程中, 航速为多少时船行驶的总费用最少?此时总费用为多少元?
19.某家电生产企业根据市场调查分析, 决定调整新产品生产方案, 准备每周 (按40个工时计算) 生产空调、彩电、冰箱共120台, 且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台, 才能使产值最高?最高产值是多少? (以千元为单位)
20.设a为常数, 且a<1.
(1) 解关于x的不等式 (a2-a-1) x>1;
(2) 解关于x的不等式组
21.设函数, L为曲线C:y=f (x) 在点处的切线.
(1) 求L的方程;
(2) 当时, 证明:除切点之外, 曲线C在直线L的下方;
(3) 设x1, x2, x3∈R, 且满足x1+x2+x3=-3, 求f (x1) +f (x2) +f (x3) 的最大值.
十、三视图和立体几何
一、选择题
1.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3, 圆心角为的扇形, 则此圆锥的体积为 () .
2.a, b, c表示不同的直线, α表示平面, 下列命题正确的是 () .
(A) 若a∥b, a∥α, 则b∥α
(B) 若a⊥b, b⊥α, 则a⊥α
(C) 若a⊥c, b⊥c, 则a∥b
(D) 若a⊥α, b⊥α, 则a∥b
3.某几何体的三视图如图1所示, 该几何体的各面中互相垂直的面的对数是 () .
(A) 2 (B) 4
(C) 6 (D) 8
4.已知底面边长为1, 高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 () .
5.一个几何体的三视图如图2所示, 则这个几何体的体积为 () .
6.若某几何体的三视图如图3所示, 则此几何体的直观图是 () .
7.某四棱锥的三视图如图4所示, 其中正 (主) 视图是等腰直角三角形, 侧 (左) 视图是等腰三角形, 俯视图是正方形, 则该四棱锥的表面积是 () .
8.已知直线m和平面α, β, 则下列四个命题中正确的是 () .
(B) 若α∥β, m∥α, 则m∥β
(C) 若α∥β, m⊥α, 则m⊥β
(D) 若m∥α, m∥β, 则α∥β
9.某几何体的三视图如图5所示, 则该几何体的体积为 () .
(A) 48 (B) 32
(C) 16 (D) (32) /3
10.如图6, 在正四棱锥S-ABCD中, E, M, N分别是BC, CD, SC的中点, 动点P在线段MN上运动时, 下列四个结论:
①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.
其中恒成立的为 () .
(A) ①③
(B) ③④
(C) ①②
(D) ②③④
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥B-D1EC的表面积最大, 则E点位于 () .
(A) 点A处
(B) 线段AD的中点处
(C) 线段AB的中点处
(D) 点D处
12. (理) 如图7, 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别是边AA1, CC1的中点, 点M是BB1上的动点, 过点E, M, F的平面与棱DD1交于点N, 设BM=x, 平行四边形EMFN的面积为S, 设y=S2, 则y关于x的函数y=f (x) 的解析式为 () .
(文) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P为底面ABCD上一动点, 如果P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离, 那么点P的轨迹所在的曲线是 () .
(A) 直线 (B) 圆
(C) 抛物线 (D) 椭圆
二、填空题
13.空间一线段的主视图、左视图、俯视图的长度均为, 则该线段的长度为____.
14.一个几何体的三视图如图8所示, 其中正 (主) 视图和侧 (左) 视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为____.
15.在四棱锥V-ABCD中, B1, D1分别为侧棱VB, VD的中点, 则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V-ABCD的体积之比为____.
16. (理) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, , BC=AA1=1, 点M为AB1的中点, 点P为对角线AC1上的动点, 点Q为底面ABCD上的动点 (点P, Q可以重合) , 则MP+PQ的最小值为____.
(文) 如图9, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E是边BC的中点.动点P在直线BD1 (除B, D1两点) 上运动的过程中, 平面DEP可能经过的该正方体的顶点是____ (写出满足条件的所有顶点) .
三、解答题
17.如图10, 在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD, 又AD∥BC, AD⊥DC, 且PD=BC=3AD=3.
(1) 在图11所示的方框中画出四棱锥P-ABCD的正 (主) 视图;
(2) 求证:平面PAD⊥平面PCD;
(3) 求证:棱PB上存在一点E, 使得AE∥平面PCD, 并求PE/EB的值.
18.如图12, 在边长为12的正方形AA′A′1A1中, BB1∥CC1∥AA1, 且AB=3, 且BC=4, AA′1分别交BB1, CC1于点P, Q, 将该正方形沿BB1, CC1折叠, 使得A′A′1与AA1重合, 构成图13所示的三棱柱ABC-A1B1C1.在图13中:
(1) 求证:AB⊥PQ;
(2) 在底边AC上有一点M, 使得BM∥平面APQ, 求点M到平面PAQ的距离.
19.数学课上, 张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥 (如图14所示) , 然后他将其中的两根换成长度分别为的塑料棒, 又搭成了一个三棱锥, 陈成同学边听课边动手操作, 也将其中的两根换掉, 但没有成功, 不能搭成三棱锥, 如果两人都将BD换成了长为的塑料棒.
(1) 试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么, 而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么?请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因.
(2) 试证平面ABD⊥平面BCD.
(3) 求新三棱锥的外接球的表面积.
20.在如图15所示的几何体中, 平面ACDE⊥平面ABC, CD∥AE, F是BE的中点, ∠ACB=90°, AE=2CD=2, AC=BC=1, .
(1) 求证:DF∥平面ABC;
(2) 求证:DF⊥平面ABE;
(3) 求三棱锥D-BCE的体积.
21.如图16, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱AA1⊥底面ABC, M为棱AC的中点.AB=BC, AC=2, .
(1) 求证:B1C∥平面A1BM.
(2) 求证:AC1⊥平面A1BM.
(3) 在棱BB1上是否存在点N, 使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在, 求此时BN/BB1的值;如果不存在, 请说明理由.
22.如图17所示, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1B1B为正方形, BB1C1C是菱形, 平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(1) 求证:BC∥平面AB1C1;
(2) 求证:B1C⊥AC1;
(3) 设点E, F, H, G分别是B1C, AA1, A1B1, B1C1的中点, 试判断E, F, H, G四点是否共面, 并说明理由.
十一、空间向量和立体几何
一、选择题
1.下列命题正确的是 () .
(A) 垂直于同一直线的两条直线互相平行
(B) 平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形
(C) 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形
(D) 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形
2.如图1, 在三棱锥D-ABC中, 点G是△ABC的重心, 记, 则用a, b, c表示.
3.已知平面α, β不重合, 直线, 那么“m⊥β”是“α⊥β”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
4.如图2, 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中, 若.
(A) a+b+c
(B) 2a+2b+c
(C) a+2b+2c
(D) 2a+2b+2c
5.如图3, 一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发, 经正方体的表面, 按最短路线爬行到达顶点C1位置, 则图4中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正 (主) 视图是 () .
(A) ①② (B) ①③
(C) ②④ (D) ③④
6.在正三棱锥S-ABC中, M是SC的中点, 且AM⊥SB, 底面边长, 则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为 () .
(A) 6π (B) 12π
(C) 32π (D) 36π
7.某三棱锥的三视图如图5所示, 该三棱锥四个面的面积中最大的是 () .
8.如图6, 在四棱锥P-ABCD中, 其底面是边长为a的正方形, 已知PA⊥平面ABCD, 且PA=a, 则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为 () .
9.已知一个三棱柱, 其底面是正三角形, 且侧棱与底面垂直, 一个体积为的球与棱柱的所有面均相切, 那么这个三棱柱的表面积是 () .
10.三棱柱ABC-A1B1C1的直观图及三视图 (正 (主) 视图和俯视图是正方形, 侧 (左) 视图是等腰直角三角形) 如图7所示, D为AC的中点, 则二面角A-BC1-D的正切值为 () .
11.三棱锥S-ABC中, ∠SBA=∠SCA=90°, △ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形, 则以下结论中:
①异面直线SB与AC所成的角为90°;
②直线SB⊥平面ABC;
③平面SBC⊥平面SAC;
④点C到平面SAB的距离是.
其中正确结论的个数是 () .
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
12.如图9, 已知直线l⊥平面α, 垂足为O, 在△ABC中, BC=2, AC=2, , 点P是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动: (1) A∈l, (2) C∈α, 则的最大值为 () .
二、填空题
13.如图10, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB⊥BC, AB=BC=BB1, 则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为____.
14.点A, B, C, D在同一球面上, , AC=2, 若球的表面积为, 则四面体ABCD体积的最大值为____.
15.如图11, 在长方体ABCD-EFGH中, AD=2, AB=AE=1, M为矩形AEHD内的一点, 如果∠MGF=∠MGH, MG和平面EFG所成角的正切值为1/2, 那么点M到平面EFGH的距离是____.
16.如图12所示的一块长方体木料中, 已知AB=BC=4, AA1=1, 设E为底面ABCD的中心, 且, 则该长方体中经过点A1, E, F的截面面积的最小值为____.
三、解答题
17.如图13, 四边形ABCD是边长为2的菱形, ∠ABC=60°, PA⊥平面ABCD, AB=2PA.
(1) 求异面直线AC与PB所成角的余弦值;
(2) 求点A到平面PBC的距离.
18.如图14, PD垂直于梯形ABCD所在的平面, ∠ADC=∠BAD=90°.F为PA的中点, .四边形PDCE为矩形, 线段PC交DE于点N.
(1) 求证:AC∥平面DEF;
(2) 求二面角A-BC-P的大小;
(3) 在线段EF上是否存在一点Q, 使得BQ与平面BCP所成角的大小为π/6?若存在, 求出FQ的长;若不存在, 说明理由.
19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1=AB=AC=1, E, F分别是CC1, BC的中点, AE⊥A1B1, D为棱A1B1上的点.
(1) 证明:DF⊥AE.
(2) 是否存在一点D, 使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为?若存在, 说明点D的位置, 若不存在, 说明理由.
20.如图16, 已知等腰梯形ABCD中, AD∥BC, , E是BC的中点, AE∩BD=M, 将△BAE沿着AE翻折成△B1AE, 使平面B1AE⊥平面AECD.
(1) 求证:CD⊥平面B1DM;
(2) 求二面角D-AB1-E的余弦值;
(3) 在线段B1C上是否存在点P, 使得MP∥平面B1AD, 若存在, 求出的值;若不存在, 说明理由.
21.如图17, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是平行四边形, PA⊥平面ABCD, 点M, N分别为BC, PA的中点, 且AB=AC=1, .
(1) 证明:MN∥平面PCD;
(2) 设直线AC与平面PBC所成角为α, 当α在 (0, π/6) 内变化时, 求二面角P-BC-A的取值范围.
十二、直线与圆、曲线与方程
一、选择题
1.已知直线l1:ax+y=1和直线l2:4x+ay=2, 则“a+2=0”是“l1∥l2”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
2.若直线l1:2x+3y-1=0的方向向量是直线l2:ax-y+2a=0的法向量, 则实数a的值等于 () .
(A) 1 (B) 3/2
(C) 2 (D) 5/2
3.“|b|<2是“直线与圆x2+y2-4y=0相交”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
4.若经过点P (-1, 1) 的直线与圆x2+y2=2相切, 则此直线在y轴上的截距是 () .
(A) -2 (B) -1
(C) 1 (D) 2
5.已知圆C:x2+y2=4, 过点A (2, 3) 作C的切线, 切点分别为P, Q, 则直线PQ的方程为 () .
(A) 2x+3y+4=0 (B) 2x+3y-4=0
(C) 2x-3y-4=0 (D) 2x-3y+4=0
6.已知点A (-3, -2) 和圆C: (x-4) 2+ (y-8) 2=9, 一束光线从点A发出, 射到直线l:y=x-1后反射 (入射点为B) , 反射光线经过圆周C上一点P, 则折线ABP的最短长度是 () .
(A) 10 (B) 8
(C) 6 (D) 4
7.已知直线l:x, 点P (x, y) 是圆C: (x-2) 2+y2=1上的动点, 则点P到直线l的距离的最小值为 () .
8.已知圆C:x2+y2=1, 点M (t, 2) , 若C上存在两点A, B满足, 则t的取值范围是 () .
9.若直线与圆x2+y2=1相交于A, B两点, 则.
10.已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内, 过点E (1, 0) 的最长弦和最短弦分别是AC和BD, 则四边形ABCD的面积为 () .
11. (理) 已知曲线C:x2+y2+xy=1, 则下列说法中, 正确的个数有 () .
①曲线C关于x轴对称;②曲线C关于y轴对称;
③曲线C关于原点对称;④曲线C关于直线y=x轴对称.
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
(文) 已知两圆C1: (x+1) 2+y2=1与C2: (x-1) 2+y2=25, 动圆Μ与这两个圆都内切, 则动圆的圆心Μ的轨迹方程为 () .
12. (理) 如图1所示, 在平面直角坐标系xOy中, 点B, C分别在x轴和y轴非负半轴上, 点A在第一象限, 且∠BAC=90°, AB=AC=4, 那么O, A两点间距离的 () .
(A) 最大值是, 最小值是4
(B) 最大值是8, 最小值是4
(C) 最大值是, 最小值是2
(D) 最大值是8, 最小值是2
(文) 在平面直角坐标系xOy中, 圆C的方程为 (x-1) 2+ (y-1) 2=9, 直线l:y=kx+3与圆C相交于A, B两点, M为弦AB上一动点, 以M为圆心, 2为半径的圆与圆C总有公共点, 则实数k的取值范围为 () .
(A) 4 (B) 8
二、填空题
13.已知圆C的圆心在直线x-y=0上, 且圆C与两条直线x+y=0和x+y-12=0都相切, 则圆C的标准方程是____.
14.若圆C: (x-a) 2+ (y-a-1) 2=a2与x, y轴都有公共点, 则实数a的取值范围是____.
15.已知⊙O:x2+y2=1, 若直线y=kx+2上总存在点P, 使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直, 则实数k的取值范围是____.
16.动直线与曲线相交于A, B两点, O为坐标原点, 当△AOB的面积取得最大值时, k的值为____.
三、解答题
17.已知点F (-6, 0) , 直线l:x=-4与x轴的交点是圆C的圆心, 圆C恰好经过坐标原点O, 设G是圆C上任意一点.
(1) 求圆C的方程;
(2) 若直线FG与直线l交于点T, 且G为线段FT的中点, 求直线FG被圆C所截得的弦长.
18.如图2, 在平面直角坐标系xOy中, 点A (0, 3) , 直线l:y=2x-4, 设圆C的半径为1, 圆心在l上.
(1) 若圆心C也在直线y=x-1上, 过点A作圆C的切线, 求切线的方程;
(2) 若圆C上存在点M, 使MA=2 MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围.
19.已知圆O:x2+y2=4, 点, 以线段AB为直径的圆内切于圆O, 记点B的轨迹为Γ.
(1) 求曲线Γ的方程;
(2) 直线AB交圆O于C, D两点, 当Β为CD的中点时, 求直线AB的方程.
20.在平面直角坐标系xOy中, 已知点A (-3, 4) , B (9, 0) , C, D分别为线段OA, OB上的动点, 且满足AC=BD.
(1) 若AC=4, 求直线CD的方程;
(2) 证明:△OCD的外接圆恒过定点 (异于原点O) .
21.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A, B.
(1) 求圆C1的圆心坐标;
(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3) 是否存在实数k, 使得直线L:y=k (x-4) 与曲线C只有一个交点:若存在, 求出k的取值范围;若不存在, 说明理由.
十三、圆锥曲线
一、选择题
1.已知点P在焦点为F1, F2的椭圆上, 若∠F1PF2=90°, 则|PF1|·|PF2|的值等于 () .
(A) 10 (B) 20
(C) 30 (D) 40
2.若方程表示双曲线, 则实数k的取值范围是 () .
(A) (-2, 2)
(B) (3, +∞)
(C) (-2, 2) ∪ (3, +∞)
(D) (-2, +∞)
3.已知点A (3, 2) , F是抛物线y2=2x的焦点, 若点P在抛物线上运动, 当|PA|+|PF|取最小值时, 点P的坐标为 () .
(A) (2, 2) (B) (0, 0)
(C) (2, -2) (D) (1/2, 1)
4.双曲线 (a>0, b>0) 的一个顶点到一条渐近线的距离为a/2, 则双曲线的离心率为 () .
5.若双曲线 (a>0, b>0) 截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b, 则a= () .
6.已知双曲线 (a>0, b>0) 与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F, 且两曲线的一个交点为P.若|PF|=5/2, 则双曲线的渐近线方程为 () .
7.若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点, 设点P的坐标为 (a, b) , 则过点P的一条直线与椭圆的公共点的个数为 () .
(A) 0 (B) 1
(C) 2 (D) 1或2
8.已知P是椭圆上的一点, 点M (m, 0) (m>0) , 则|PM|的最小值为 () .
9.已知双曲线C1: (a>0, b>0) 的离心率为, 一条渐近线为l, 抛物线C2:y2=4x的焦点为F, 点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点, 则|PF|= () .
(A) 2 (B) 3
(C) 4 (D) 5
10.已知直线l:y=kx+3-k与双曲线有交点, 则实数k的取值范围是 () .
11.如图1, 已知双曲线C: (a>0, b>0) 的右顶点为A, O为坐标原点, 以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P, Q.若∠PAQ=60°且, 则双曲线C的离心率为 () .
12.已知双曲线C: (a>0, b>0) , 斜率为1的直线l过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A, B两点, 若与向量n= (-3, -1) 共线, 则双曲线C的离心率为 () .
二、填空题
13.斜率为的直线与焦点在x轴上的椭圆 (b>0) 交于不同的两点P, Q.若点P, Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点, 则该椭圆的焦距为_____.
14.已知椭圆C: (a>0) 的左顶点、上顶点分别为A, B, 椭圆C的左焦点为F, 且△ABF的面积等于, 则椭圆C的方程为____.
15.点P到曲线C上每一个点的距离的最小值称为点P到曲线C的距离.已知点P (2, 0) , 若点P到曲线C的距离为.在下列曲线中:
符合题意的是_____ (填序号) .
16.已知椭圆C: (a>b>0) 的左、右顶点分别为A, B, 左、右焦点分别为F1, F2, 点O为坐标原点, 线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P, 设直线PA, PB, PF1, PF2的斜率分别为k1, k2, k3, k4, 若, 则k3·k4=____.
三、解答题
17.已知椭圆C: (a>b>0) , 右焦点, 点在椭圆上.
(1) 求椭圆C的标准方程.
(2) 若直线y=kx+m (k≠0) 与椭圆C有且只有一个公共点M, 且与圆O:x2+y2=a2+b2相交于P, B两点, 问kOM·kPB=-1是否成立?请说明理由.
18.已知椭圆C: (a>b>0) , 经过点, 离心率是.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 设直线l与椭圆C交于A, B两点, 且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M, 求证:直线l恒过一定点.
19.已知椭圆C: (a>b>0) , 其左、右焦点分别为F1, F2, 右焦点在椭圆上.
(1) 求椭圆C的标准方程.
(2) 已知直线l:y=kx与椭圆C交于A, B两点, P为椭圆C上异于A, B的动点.
(i) 若直线PA, PB的斜率都存在, 证明:;
(ii) 若k=0, 直线PA, PB分别与直线x=3相交于点M, N, 直线BM与椭圆C相交于点Q (异于点B) , 求证:A, Q, N三点共线.
20.已知抛物线C的顶点为O (0, 0) , 焦点为F (0, 1) .
(1) 求抛物线C的方程;
(2) 过点F作直线交抛物线C于A, B两点.若直线AO, BO分别交直线l:y=x-2于M, N两点, 求|MN|的最小值.
21. (理) 已知椭圆C:, 点D为椭圆C的左顶点.对于正常数λ, 如果存在过点M (x0, 0) (-2<x0<2) 的直线l与椭圆C交于A, B两点, 使得S△AOB=λS△AOD, 则称点M为椭圆C的“λ分点”.
(1) 判断点M (1, 0) 是否为椭圆C的“1分点”, 并说明理由;
(2) 证明:点M (1, 0) 不是椭圆C的“2分点”;
(3) 如果点M为椭圆C的“2分点”, 写出x0的取值范围 (直接写出结果) .
(文) 已知椭圆C:x2+4y2=16.
(1) 求椭圆C的离心率;
(2) 设椭圆C与y轴下半轴的交点为B, 如果直线y=kx+1 (k≠0) 交椭圆C于不同的两点E, F, 且B, E, F构成以EF为底边, B为顶点的等腰三角形, 判断直线EF与圆x2+y2=1/2的位置关系.
参考答案
八、数列
1.D.
【变式】设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a5=5, 则S9= () .
(A) 9 (B) 45
(C) 90 (D) 不能确定
(答案:B.)
2.A.
【变式】已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差数列, x, c, d, y成等比数列, 则的最小值是 () .
(A) 4 (B) 2
(C) 1 (D) 0
(答案:A.)
3.A.由a10a11+a9a12=2e5, 得a10a11+a10a11=2e5, 即a10a11=e5.又ln a1+ln a2+…+ln a20=ln (a1a2·…·a20) , 令T=a1a2·…·a20, 则T=a20a19·…·a1, 有T2= (a1a20) 20, 则T= (a1a20) 10= (a10a11) 10=e50, 从而ln T=50.
4.B.
【变式】设Sn是等比数列{an}的前n项和, 若.
(A) 2 (B) 6/5
(C) 0 (D) 0或6/5
(答案:D.)
5.C.
【变式】设Sn是等差数列{an}的前n项和, 且S1, S2, S4成等差数列, 则S9= () .
(A) 0 (B) 0或1
(C) 1或2 (D) 3
(答案:A.)
6.D.算得a1=1, a2=2, a3=2, a4=22, a5=22, …, a18=29, a19=29, a20=210, 所以.
【变式】已知数列{an}满足a1=1, 且an+an+1=3, 则数列{an}的前20项的和为 () .
(A) 1 (B) 2
(C) 30 (D) 90
(答案:C.提示:a1=1, a2=2, a3=1, a4=2, …, a19=1, a20=2, 所以S20=10 (1+2) =30.)
【点拨】把变形为 (an+1-1) 2- (an-1) 2=1, 构造等差数列{ (an-1) 2}求得 (an-1) 2后再求an, 是解决本题的基本思路, 也是解决此类问题的常用思路, 即把递推数列转化为基本数列 (等差数列、等比数列) 求通项, 常见有如下情形:
(1) an+1=pan+q, an+1=pan+kn+q, an+2=pan+1+qan型———通过待定系数法转化;
(2) an+1=pan+qn型———通过两边同除qn来转化;
(4) an+1=parn型———通过取对数转化.
【变式】已知数列{an}满足an+1=a2n-2an+2 (n∈N*) , 且a1=3, 则an= () .
(C) 2n-1 (D) 2n+1
【变式】设数列{an}中, a1=2, , 则通项an= () .
(A) n+1 (B) 2n
(C) 2+ln n (D) ln n
(答案:C.提示:累加法.)
【变式】已知 (n∈N*) , 则数列{an}的最大项是 () .
(A) a1 (B) a2
(C) a3 (D) a4
10.A.方法一:由a1>0, d>0, 得a1<a2<a3<a4, 有b1<b2<b3<b4, 则{bn}的公比q>1, 而b1=a1, b4=a4, 所以S4-T4= (a2+a3) - (b2+b3) = (a1+a4) - (b2+b3) = (b1+b4) - (b2+b3) =b1+b1q3-b1q-b1q2=b1 (q-1) (q2-1) >0, 即S4>T4.
方法二:取{bn}的前4项为1, 2, 4, 8;{an}的前4项为1, , 8, 则S4>T4.
【变式】已知{an}是等差数列, 记M=a1·a6, N=a3·a4, 则M, N的大小关系是 () .
(A) M>N (B) M<N
(C) M=N (D) M≤N
(答案:D.)
11.C.由an+1-an≤2n, 得-an+1+an≥-2n.而an+2-an≥3×2n, 两式相加, 得an+2-an+1≥3×2n-2n=2n+1, 即an+1-an≥2n.所以2n≤an+1-an≤2n, 则an+1-an=2n.又a1=1, 所以a1=1, a2-a1=21, a3-a2=22, …, anan-1=2n-1, 累加, 得.所以a2 016=22 016-1.
12.A.由, a6+a7=3, 得, 即q+q2-6=0, q>0, 所以q=2, 有an=2n-6, 数列{an}的前n项和Sn=2n-5-2-5, 而.于是, 由, 可求得n的最大值为12, 而当n=13时, 28-2-5>213不成立, 所以n的最大值为12.
13.90.
14.-2;3.
【变式】已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2-7n, 则当n=____, Sn取得最小值.
(答案:3或4.)
15. (1) 2; (2) 2 035.a1·a2·a3=1×log23×log34=log24=2.
a1·a2·…·ak=1×log23×…×logk (k+1) =log2 (k+1) .
令log2 (k+1) =m, m≥2, m∈N*, 则k=2m-1.由k=2m-1≤2 000, 得m≤10.
所以在2 000内所有“简易数”的和.
16.;181.A (1, 1) =1, A (1, 2) -A (1, 1) =2, A (1, 3) -A (1, 2) =3, …, A (1, n) -A (1, n-1) =n, 则.所以.而A (2, 10) -A (1, 10) =10, A (3, 10) -A (2, 10) =11, A (4, 10) -A (3, 10) =12, …, A (10, 10) -A (9, 10) =18, 所以A (10, 10) =55+10+11+…+18=181.
【点拨】对于以数表形式出现的数列问题, 需要注意观察数表的呈现规律.如本题的数表, 发现第一列相邻两数之差依次为2, 3, 4, 5, …;第二列相邻两数之差依次为3, 4, 5, …;第一行相邻两数之差依次为1, 2, 3, 4, …;第二行相邻两数之差依次为2, 3, 4, 5, …;因而可运用累加法解之.事实上, 可得.
【变式】已知数列{an}是首项为1, 公比为1/2的等比数列.数列{bn}的项排列如下:
则数列{bn}的前n项和Sn=____ (用n表示) .
(2) 满足Tn-1>0的最大正整数为13.
18. (1) 由题意, 得a1=4-a1, 所以a1=2.
由Sn+an=4, 得当n≥2时, Sn-1+an-1=4.
所以数列{an}是以2为首项, 1/2为公比的等比数列.所以an=22-n (n∈N*) .
(2) 由于数列{dn}是常数列, 即dn=cn+logCan=2n+3+ (2-n) logC2=2n+3+2logC2-nlogC2= (2-logC2) n+3+2logC2为常数,
所以2-logC2=0, 解得, 此时dn=7.
所以数列{bn}是以为首项, 为公差的等差数列.
(3) 数列{an}是等差数列.理由如下:
因为n≥3, 所以an-2an-1+an-2=0, 即an-an-1=an-1-an-2 (n≥3) .
所以数列{an}是以1为首项, a2-1为公差的等差数列.
20. (理) (1) 因为{an}为常数列, 所以an=1 (n∈N*) .所以f (4) =C14+C24+C34+C44=15.
(2) 因为{an}是公比为2的等比数列, 所以an=2n-1 (n∈N*) .
所以f (n) =C1n+2C2n+4C3n+…+2n-1Cnn.
所以1+2f (n) =1+2C1n+22C2n+23C3n+…+2nCnn= (1+2) n=3n.
(3) 假设存在等差数列{an}, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立.
设公差为d, 则f (n) =a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+an-1Cn-1n+anCnn,
且f (n) =anCnn+an-1Cn-1n+…+akCkn+…+a2C2n+a1C1n.
两式相加, 得2f (n) =2an+ (a1+an-1) (C1n+C2n+…+Ckn+…+Cn-1n) .
所以f (n) -1= (d-2) +[2+ (n-2) d]·2n-1= (n-1) 2n恒成立, 即 (d-2) + (d-2) (n-2) 2n-1=0, n∈N*恒成立.所以d=2.
故{an}能为等差数列, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立, 它的通项公式为an=2n-1.
所以满足条件的最小正整数n等于15.21. (1) 圆Cn的圆心到直线ln的距离, 半径, 所以.
又a1=1, 所以{an}是首项为1, 公比为2的等比数列, 所以an=2n-1.
22. (1) 易得a2=1, a3=-3, 所以a2+a3=-2.
(2) bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n=2 (-a2n-2n) +4n=-2a2n=-2bn.又b1=a2=1, 故数列{bn}是首项为1, 公比为-2的等比数列.
(3) 由 (2) 知bn= (-2) n-1, 所以b2n= (-2) 2n-1=-22n-1.
设cn=a2n+a2n+1 (n∈N*) , 则cn=-2n.
设f (x) =4x-2x2-2x-40 (x≥2) , 则g (x) =f′ (x) =4xln 4-4x-2, g′ (x) =4xln24-4>0 (x≥2) , 所以g (x) 在[2, +∞) 上单调递增.
所以g (x) ≥g (2) =f′ (2) >0, 即f′ (x) >0.所以f (x) 在[2, +∞) 上单调递增.
又因为f (1) <0, f (2) <0, f (3) =0, 所以仅存在唯一的n=3, 使得成立.
23. (1) 由题意, 得bn=1-2n, n∈N*, 其前n项和.
当n=1时, a1=S1, a1·a1=1/4.
因为an>0, 所以a1=1/2, tanθ1=1, θ1=π/4.
所以数列{θn}是等比数列, 首项为π/4, 公比为1/2, 其通项公式为, n∈N*.
(3) 由 (2) , 得, n∈N*, 它是个单调递减的数列.
对任意的n∈N*, cn≥m恒成立, 所以m≤ (cn) min.
所以数列c{}n是单调递增的, cn的最小值为c1=0, m≤ (cn) min=0.
因此, 实数m的取值范围是 (-∞, 0].
九、不等式与线性规划
1.D.
2.A.
【变式】已知a, b, c∈R, 则“a>b”是“ac2>bc2”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
(答案:B.)
3.C.
【变式】设a=log23, b=log34, c=log45, 则a, b, c的大小关系是 () .
(A) a<b<c (B) c<b<a
(C) b<a<c (D) c<a<b
4.A.5.C.
6.B.
【变式1】已知x, y∈ (-∞, 0) , 且x+y+3=0, 则的最大值为 () .
(A) - (8/3) (B) -3
(C) 8/3 (D) 3
(答案:B.)
【变式2】若两个正实数x, y满足, 且x+2y>a2-2a恒成立, 则实数a的取值范围是 () .
(A) (-2, 0) (B) (0, 4)
(C) (-2, 4) (D) (4, +∞)
(答案:C.)
7.D.由题意作出可行域如图1所示, 将z=y-ax化为y=ax+z, z相当于直线y=ax+z的纵截距.由题意, 得y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行, 所以a=2或a=-1.故选D.
【变式】已知x, y满足则z=x+y取得最大值的最优解为 () .
(A) 1 (B) 2
(C) (0, 0) (D) (1, 1)
(答案:D.)
(A) (-1, 1]
(B) [-1, 1]
(C) (-∞, 1]
(D) [1, +∞)
(答案:B.提示:当x=0时, z=-1, 当x≠0时, 令单调递减, 则-1<z≤1.故-1≤z≤1.)
10.B.令b=x-3y, 则, 画出可行域知, 当直线过点 (-2, 2) 时, bmin=-2-3×2=-8;当直线过点 (-2, -2) 时, bmax=-2-3× (-2) =4.所以-8≤b≤4, 于是z=|b|∈[0, 8], 即zmax=8.
【变式】已知x, y满足|x|+|y|≤1, 则z=2|x|-|y|的最大值为 () .
(A) 2 (B) 3
(C) 4 (D) 6
(答案:A.提示:令X=|x|, Y=|y|, 则可行域变形为目标函数变形为z=2 X-Y.可知直线Y=2 X-z经过点 (1, 0) 时, zmax=2×1-0=2.)
13. (-∞, 3/2) .
【变式】一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为x∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) , 则一元二次不等式cx2+bx+a>0的解集为____.
(答案: (- (1/3) , 1) .
14. (-∞, 1) .可行域Ω如图3中阴影部分所示, 函数y=aex的图象与y轴交于点 (0, a) .当a≥1时, y=aex不经过区域Ω;当a<1时, y=aex经过区域Ω.
【变式】若直线y=3x上存在点 (x, y) 满足约束条件, x≤m烅烄烆, 则实数m的取值范围是____.
(答案: (-1, +∞) .提示:x+y+4=0表示的边界为虚线.)
15. (3/2, +∞) .
【变式】已知x, y满足条件若存在无数组解 (x, y) 使得z=ax+y取得最大值, 则实数a的值等于____.
(答案:0或3/2.)
16.1/2.把函数y=f (x) 的图象向右平移2个单位长度得y=f (x-2) 的图象, 由y=f (x-2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称, 知y=f (x) 的图象关于原点对称, 即f (x) 为奇函数且在R上单调递减.由
在uOv平面上画出可行域Ω, u2+v2为区域Ω上的点 (u, v) 与原点间距离的平方.而原点到直线u+v=1的距离, 于是u2+v2的最小值为.
【变式】已知奇函数f (x) 在R上单调递减, 且x, y满足则x2+y2+4y的取值范围为____.
(答案:[1, 37].提示:x2+y2+4y=[ (x-0) 2+ (y+2) 2]-4, 即点 (x, y) 与点 (0, -2) 间距离的平方, 再减去4.由图形 (图略) 知点 (x, y) 取 (1, 0) 时, 可得最小值, 取 (4, 3) 时, 可得最大值.)
17.实数m的取值范围是[1/3, 15) .
18.当航速为25km/h时, 总费用最少, 此时总费用为4 000元.
19.设每周生产空调x台、彩电y台, 则生产冰箱120-x-y台, 产值为z千元.
依题意, 得z=4x+3y+2 (120-x-y) =2x+y+240, 且x, y满足
可行域如图4所示.
让目标函数表示的直线2x+y+240=z在可行域上平移, 可得z=2x+y+240在M (10, 90) 处取得最大值, 即zmax=2×10+90+240=350 (千元) .
答:每周应生产空调10台, 彩电90台, 冰箱20台, 才能使产值最高, 最高产值是350千元.
②当时, 解原不等式, 得无解, 即其解集为;
(2) 依2x2-3 (1+a) x+6a>0, (*)
令2x2-3 (1+a) x+6a=0, (**)
可得Δ=9 (1+a) 2-48a=3 (3a-1) (a-3) .
①当时, Δ<0, 此时方程 (**) 无解, 解不等式 (*) , 得x∈R,
因此原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}.
②当a=1/3时, Δ=0, 此时方程 (**) 有两个相等的实根,
解不等式 (*) , 得x≠1, 因此原不等式组的解集为{x|0≤x<1}.
ⅱ) 当a≤0时, 原不等式组的解集为Ø.
综上, 当a≤0时, 原不等式组的解集为Ø;当时, 原不等式组的解集为时, 原不等式组的解集为{x|0≤x<1};当1/3<a<1时, 原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}.
因为5x2+16x+23>0,
所以只需证明, 5x3+11x2+7x+1<0恒成立即可.
令g′ (x) =0, 解得x1=-1, .
当x在上变化时, g′ (x) , g (x) 的变化情况如下表:
所以, 5x3+11x2+7x+1<0恒成立, 结论得证.
三式相加, 得.
因为x1+x2+x3=-3,
所以f (x1) +f (x2) +f (x3) ≤1/4, 且当x1=x2=x3=-1时取等号.
(ⅱ) 当x1, x2, x3中至少有一个大于等于时,
综上所述, 当x1=x2=x3=-1时, f (x1) +f (x2) +f (x3) 取到最大值1/4.
十、三视图和立体几何
1.B.
【变式】已知一个圆锥的侧面积为3π, 则其体积取得最大值时, 底面半径r= () .
2.D.
3.D.该几何体的直观图如图1所示 (可从正方体中截取) , 则与平面ABB1A1垂直的面有4个, 与平面DCC1D1垂直的面也有4个, 故互相垂直的面共有8对.
4.B.
【变式】正方体的外接球与内切球的体积之比为 () .
(答案:C.)
5.A.该几何体是一个底面半径为1, 高为的半圆锥与一个底面为边长是2, 高为的四棱锥的组合几何体, 其体积为.
【变式】已知某几何体的三视图如图2所示, 则该几何体的体积是 () .
(答案:D.)
6.B.
【变式】某三棱锥的正 (主) 视图如图3所示, 则这个三棱锥的俯视图是 () .
(答案:C.)
7.D.该四棱锥的直观图如图4, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是对角线长为2的正方形, 高PA=2, 则BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB, 而, 所以所求的表面积.
【变式】一个正四棱台的上、下底面是边长分别为2, 4的正方形, 高为1, 则该正四棱台的侧面积为 () .
(答案:B.)
8.C.
【变式】已知m和n是两条不同的直线, α和β是两个不重合的平面, 下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 () .
(B) α⊥β且m∥α
(C) m∥n且n⊥β
(D) m⊥n且α∥β
(答案:C.提示:m∥n且n⊥β⇒m⊥β.)
9.B.
10.A.如图5, 设AC∩BD=O, AC∩EM=Q, 由AC⊥EM, AC⊥QN, EM∩NQ=Q, 得AC⊥平面EMN, EP⊂平面EMN, 有EP⊥AC, ①成立;由BD∥EM, EM∩EP=E, 得EP与BD异面, 则②不成立;可证得平面EMN∥平面BDS, EP⊂平面EMN, 得EP∥平面SBD, ③成立;当P与N重合时, ④不成立.
11.A.设正方体的棱长为1, 则为定值, 当点E在AD上时, S△BCE有最大值1/2, 当点E位于点A处时, S△BED1, S△CED1均取最大值, 这时三棱锥B-D1EC的表面积最大.
【变式】在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥B-D1EC的体积最大, 则E点位于 () .
(A) 线段AB上
(B) 线段AD上
(C) 线段AB的中点处
(D) 线段BD上
(答案:B.提示:为定值, 考虑点E到平面BCD1距离的最大值.)
(文) A.方法一:设正方体的棱长为1, 点P到直线CC1的距离为PC=d, 则, 有PC2-PA2=1.以DA, DC分别为x轴, y轴的正半轴建立平面直角坐标系, 则A (1, 0) , C (0, 1) , P (x, y) , 有[x2+ (y-1) 2]-[ (x-1) 2+y2]=1, 即x-y=1/2为直线.
方法二:设正方体的棱长为1, 以D为原点, DA, DC, DD1分别为x轴, y轴, z轴的正半轴建立空间直角坐标系.设P (x, y, 0) , 而A1 (1, 0, 1) , C (0, 1, 0) , 由|PC|=|PA1|, 得|PC|2=|PA1|2, 即x2+ (y-1) 2= (x-1) 2+y2+1, 有x-y=1/2为直线.
13..在正方体ABCD-A1B1C1D1中, BD1的三视图分别为CD1, BC1, BD, 其长度均为 (a为正方体的棱长) .由, 得a=1, 这时.
【变式】空间一线段的主视图、左视图、俯视图的长度分别为, 则该线段的长度为___.
(答案:.提示:构造长方体.)
14.3π.该几何体是一个四棱锥 (正方体的一部分) , 其底面是边长为1的正方形, 高为1, 将其放置于一个棱长为1的正方体中, 则其外接球的直径, 球的表面积.
【变式】一个几何体的三视图如图6所示, 其中正 (主) 视图和侧 (左) 视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的内切球的半径为____.
【变式】设三棱锥A-BCD的体积为V, 以该三棱锥各棱的中点为顶点的多面体的体积为V′, 则.
16. (理) 34.要MP+PQ取得最小值, 点Q必在AC上, 且PQ⊥AC, 将平面AB1C1与平面ACC1翻折到同一个平面上 (如图7) , 则.
【变式】在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=2, BC=AA1=1, 点M为AB1的中点, 点P为对角线AC1上的动点, 点Q为底面ABCD上的动点 (点P, Q可以重合) , 则MP+PQ的最小值为____.
(答案:5/6.)
(文) A1, B1, D.平面A1DE、平面B1DE与直线BD1均相交, 而BD1∥平面C1DE (可取DC1的中点F, 通过BD1∥EF给出证明) , 于是平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A1, B1, D.
17. (1) 图略.
(2) 证明略.
(3) 在棱PB上取一点E, 使得, 可使AE∥平面PCD.证明略.
18. (1) 由BB1⊥平面ABC, 得BB1⊥AB.
由AB=3, BC=4, AA′=12知, AC=5, 所以AB2+BC2=AC2, 即AB⊥BC.
又BC∩BB1=B, 所以AB⊥平面BCC1B1.
因为PQ平面BCC1B1, 所以AB⊥PQ.
(2) 因为BM∥平面APQ,
所以点M到平面PAQ的距离等于点B到平面PAQ的距离.
连结BQ, 构造三棱锥A-BPQ.
由△ABP为等腰直角三角形, 得BP=AB=3.
另一方面, 在题图12中, 由△ACQ为等腰直角三角形, 得CQ=AC=7.所以在题图13中, .
在△APQ中, 由余弦定理, 得.
设点B到平面PAQ的距离为d,
19. (1) 张老师换掉的另一根塑料棒是CD (或AD, BC, BA) , 而陈成同学换掉的另外一根塑料棒是AC.陈成同学想搭成的三棱锥中, 取AC中点E, 连结BE, DE.因为AB2+CB2=AC2=2a2, 所以BE是直角三角形ABC斜边上的中线, 得.同理.从而由, 不能构成三角形.
(2) 不妨设张老师换掉的另一根塑料棒是CD, 取BD中点F, 连结AF, CF.
因为△ABD是等腰三角形, 所以AF⊥BD.
又△BCD是直角三角形, 所以CF=BF=DF.
又AB=AC=AD, 所以△ABF≌△ACF, 从而AF⊥CF.又CF与BD确定平面BCD, 所以AF⊥平面BCD.又AF平面ABD, 所以平面ABD⊥平面BCD.
(3) 由 (2) 可知, 三棱锥的外接球的球心必在直线AF上.设球的半径为R, 因为, AB=a, 所以.由, 得R=a.
所以新三棱锥的外接球的表面积S=4πa2.
20. (1) 设M为AB的中点, 连结FM, CM.
在△ABE中, F为BE的中点, FM∥AE, FM= (1/2) AE.
又因为CD∥AE, 且, 所以CD∥FM, CD=FM.
所以四边形CDFM为平行四边形.所以DF∥CM.
因为DF平面ABC, CM平面ABC,
所以DF∥平面ABC.
(2) 在Rt△ABC中, AC=BC=1, 所以.
在△ABE中, AE=2, .
因为BE2=AE2+AB2, 所以△ABE为直角三角形.所以AE⊥AB.
已知平面ACDE⊥平面ABC, 平面ACDE∩平面ABC=AC.
又因为∠ACB=90°, 所以AC⊥BC.所以BC⊥平面ACDE.所以BC⊥AE.
又BC∩AB=B, 所以AE⊥平面ABC.因为CM平面ABC, 所以AE⊥CM.
在△ABC中, 因为AC=BC, M为AB的中点, 所以CM⊥AB.又AE∩AB=A, 所以CM⊥平面ABE.
由 (1) 知DF∥CM, 所以DF⊥平面ABE.
(3) 由 (2) 可知BC⊥平面ACDE, 所以BC为三棱锥B-CDE的高, 所以.
21. (1) 如图8, 连结AB1交A1B于O, 连结OM.
在△B1AC中, 因为M, O分别为AC, AB1的中点, 所以OM∥B1C.
又因为OM平面A1BM, B1C平面A1BM, 所以B1C∥平面A1BM.
(2) 因为侧棱AA1⊥底面ABC, BM平面ABC, 所以AA1⊥BM.
又因为M为棱AC的中点, AB=BC, 所以BM⊥AC.
因为AA1∩AC=A, 所以BM⊥平面ACC1A1.所以BM⊥AC1.
因为M为棱AC的中点, AC=2, 所以AM=1.
又因为, 所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中, .
所以∠AC1C=∠A1MA, 即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°.
所以A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M=M,
所以AC1⊥平面A1BM.
(3) 当点N为BB1的中点, 即时, 平面AC1N⊥平面AA1C1C.
设AC1的中点为D, 连结DM, DN, 如图9.
因为D, M分别为AC1, AC的中点,
所以DM∥CC1, 且.
又因为N为BB1的中点, 所以DM∥BN, 且DM=BN.所以四边形DMBN为平行边形边.所以BM∥DN.
因为BM⊥平面ACC1A1,
所以DN⊥平面ACC1A1.
又因为DN⊂平面AC1N,
所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.
22. (1) 在菱形BB1C1C中, BC∥B1C1.
因为BC平面AB1C1, B1C1⊂平面AB1C1, 所以BC∥平面AB1C1.
(2) 连结BC1, 如图10.在正方形ABB1A1中, AB⊥BB1.
因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C, 平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1, AB⊂平面ABB1A1,
所以AB⊥平面BB1C1C.
因为B1C⊂平面BB1C1C, 所以AB⊥B1C.
在菱形BB1C1C中, BC1⊥B1C.
因为BC1∩AB=B, 所以B1C⊥平面ABC1.
因为AC1⊂平面ABC1, 所以B1C⊥AC1.
(3) E, F, H, G四点不共面.理由如下:
因为E, G分别是B1C, B1C1的中点, 所以GE∥CC1.
同理可证:GH∥C1A1.
因为GE⊂平面EHG, GH⊂平面EHG, GE∩GH=G,
CC1⊂平面AA1C1C, A1C1⊂平面AA1C1C,
所以平面EHG∥平面AA1C1C.
因为F∈平面AA1C1C,
所以F平面EHG, 即E, F, H, G四点不共面.
十一、空间向量和立体几何
1.D.2.D.3.A.4.B.
5.C.如图1, 通过翻折为平面的方法, 蚂蚁最短爬行路线有6种, ①中正方形内的线段应为虚线, ①错;②正确;排除A, B, D.③正方形内的线段应为实线.故选C.
6.B.在正三棱锥S-ABC中, 有SB⊥AC.又SB⊥AM, AC∩AM=A, 从而SB⊥平面SAC.由正三棱锥的对称性知SA, SB, SC两两互相垂直.将该正三棱锥放置于一个棱长为a的正方体中, 如图2.由2, 得a=2, 正三棱锥与正方体有相同的外接球.于是, 即, 外接球的表面积.
【变式】在正三棱锥S-ABC中, M是SC上一点, 且AM⊥SB, 底面边长, 则正三棱锥S-ABC的体积为 () .
(答案:B.提示:可得SA, SB, SC两两互相垂直, 所求体积.)
所以三棱锥四个面的面积中最大的是.
8.D.方法一 (补形作角法) :如图4, 将四棱锥补形为正方体, 取CE的中点M, 可证得BM⊥平面PECD.
所以∠BPM是直线PB与平面PCD所成的角, 而, 有.
方法三 (向量法) :设a=1, 以A为原点, AB, AD, AP分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则.
设PB与平面PCD所成的角为θ, 则.
【点拨】“作角法”“距离法”“向量法”是求直线与平面所成的角的三种常用方法, 作角法是根据直线与平面所成角的定义, 作出其平面角再计算, 距离法是将其转化为距离, 通过sinθ=d/ PB求解, 向量法是通过求解.
9.C.设球的半径为r.由, 得r=1, 于是正三棱柱的侧棱长为2.
10.A.以B1为原点, B1C1, B1B, B1A1分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, .
11.D.方法一 (几何法) :由∠SCA=90°, 得AC⊥SC.又△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形, 得AC⊥BC, SC∩BC=C, 所以AC⊥平面SBC.又SB⊂平面SBC, 所以SB⊥AC.而∠SBA=90°, 即SB⊥AB, AC∩AB=A, 从而SB⊥平面ABC, 知①②均正确.由AC⊥平面SBC, AC⊂平面SAC, 有平面SBC⊥平面SAC, ③正确.又SB⊥平面ABC, 可得平面ABC⊥平面SAB, 取AB的中点M, 有CM⊥AB.又平面ABC∩平面SAB=AB, 则CM⊥平面SAB, 知点C到平面SAB的距离为, ④也正确.
方法二 (向量法) :同方法一得SB⊥平面ABC, 知①②均正确;以B为原点, BA为y轴, BS为z轴, 垂直于平面SBA的方向为x轴建立空间直角坐标系.设BS=b, 则.
又平面SBC的法向量为, 则, ③正确.
平面SAB的法向量为n′= (1, 0, 0) , 点C到平面SAB的距离, ④也正确.
【点拨】研究空间角问题通常需将几何法与向量法结合在一起运用.如本题用几何法证得SB⊥平面ABC后才便于建立空间直角坐标系, 用向量法解决问题.另外, 在取值求法向量时, 需以降低运算量为原则.如由取x=b, 得n= (b, b, a) , 对后面的计算带来方便, 否则, 若取x=1, 得, 后面的计算量稍大.
12.C.△ABC为等腰直角三角形, 且∠ACB=90°, 而, 要取得最大值, 必有O, A, B, C四点共面, 以O为原点, OC为y轴, OA为z轴, 垂直于平面AOC的方向为x轴.设∠OAC=θ, 则∠BCy=θ, 有B (0, 2sinθ+2cosθ, 2sinθ) ,
13.π/4.
14.2/3.设球的半径为R, 由, 得R=5/4.由, AC=2, 得Rt△ABC外接圆的圆心为AC的中点O′, 设球心为O, 则.
当点D在O′O的延长线上时, 四面体ABCD的体积有最大值.
17. (1) 异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
(2) 点A到平面PBC的距离为.
18. (1) 连结FN, 在△PAC中, F, N分别为PA, PC的中点, 所以FN∥AC.因为FN⊂平面DEF, AC平面DEF, 所以AC∥平面DEF.
(2) 如图5, 以D为原点, 分别以DA, DC, DP所在直线为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系, 则, B (1, 1, 0) , C (0, 2, 0) .
设平面PBC的法向量为m= (x, y, z) ,
因为平面ABC的法向量n= (0, 0, 1) ,
由图可知二面角A-BC-P为锐二面角, 所以二面角A-BC-P的大小为π/4.
故在线段EF上存在一点Q, 且.
19. (1) 因为AE⊥A1B1, A1B1∥AB, 所以AB⊥AE.
又因为AB⊥AA1, AE∩AA1=A, 所以AB⊥平面A1ACC1.
又因为AC⊂平面A1ACC1, 所以AB⊥AC.
令z=2 (1-λ) , 所以n= (3, 1+2λ, 2 (1-λ) ) .
由题可知平面ABC的法向量m= (0, 0, 1) .
因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为,
解得λ=1/2或λ=7/4 (舍去) .
所以当点D为A1B1的中点时, 满足要求.
20. (1) 由题意可知四边形ABED是平行四边形, 所以AM=ME.又因为AB=BE, M为AE的中点, 所以BM⊥AE, 即DM⊥AE.
又因为AD∥BC, AD=CE=2, 所以四边形ADCE是平行四边形.
所以AE∥CD.所以CD⊥DM.
因为平面B1AE⊥平面AECD, 平面B1AE∩平面AECD=AE, B1M⊥AE, 所以B1M⊥平面AECD.
因为CD⊂平面AECD, 所以B1M⊥CD.
因为MD∩B1M=M, 所以CD⊥平面B1MD.
(2) 如图7, 以ME为x轴, MD为y轴, MB1为z轴建立空间直角坐标系, 则.
平面AB1E的法向量为.
设平面DB1A的法向量为m= (x, y, z) .
因为二面角D-AB1-E为锐角, 所以二面角D-AB1-E的余弦值为.
(3) 设在线段B1C上存在点P, 使得MP∥平面B1AD.
因为MP∥平面B1AD, 所以.
又因为MP平面B1AD,
所以在线段B1C上存在点P, 使得MP∥平面B1AD, 且.
21. (1) 取PD的中点Q, 连结NQ, CQ,
因为点M, N分别为BC, PA的中点, 所以NQ∥AD∥CM, , 四边形CQNM为平行四边形, 则MN∥CQ.
又MN平面PCD, CQ⊂平面PCD.
所以MN∥平面PCD.
(2) 连结PM.因为AB=AC=1, 点M分别为BC的中点, 则AM⊥BC.
又PA⊥平面ABCD, 则PM⊥BC.所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角, 设为θ.以AB, AC, AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立的空间直角坐标系, 则A (0, 0, 0) , B (1, 0, 0) , C (0, 1, 0) , .
设平面PBC的一个法向量为n= (x, y, z) ,
因为0<α<π/6,
十二、直线与圆、曲线与方程
1.C.
【变式】已知直线l1:ax+y=1和直线l2:x+ay=2, 则“a+1=0”是“l1∥l2”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分又不必要条件
(答案:A.)
2.B.
【变式】在下列直线中, 与非零向量n= (A, B) 垂直的直线是 () .
(A) Ax+By=0 (B) Ax-By=0
(C) Bx+Ay=0 (D) Bx-Ay=0
(答案:A.)
3.A.方法一 (几何法) :由直线与圆相交, 得, 则-2<b<6.
|b|<2成立-2<b<6成立, -2<b<6成立/|b|<2成立.
由直线与圆相交, 得Δ=12× (b-2) 2-4×4 (b2-4b) >0, 解得-2<b<6.|b|<2是-2<b<6的充分不必要条件.
【点拨】研究直线与圆的位置关系问题时, 一般而言, 用几何法运算量较低, 且直观, 更为方便.
【变式】若直线与曲线有两个不同的交点, 则b的取值范围是 () .
(答案:B.提示:由, 得x2+ (y-2) 2=4, y≤2, 表示半圆.当直线与相切时, 由, 得b=-2或b=6 (舍去) .当直线过点 (2, 2) 时, .)
4.D.
【变式】若经过点P (-2, 0) 的直线与圆x2+y2=2相切, 则此直线在y轴上的截距是 () .
(A) -2 (B) 2
(C) -2或2 (D) 4
(答案:C.)
5.B.方法一:以O (0, 0) , A (2, 3) 为直径端点的圆的方程为x (x-2) +y (y-3) =0, 即x2+y2-2x-3y=0, 与圆C:x2+y2=4相减, 得2x+3y-4=0.
所以直线PQ的方程为2x+3y-4=0.
方法二:设切点P (x1, y1) , Q (x2, y2) , 则, 则切线方程为, 即x1x+y1y=x21+y21=4, 其经过点A (2, 3) , 有2x1+3y1=4.同理2x2+3y2=4.
所以直线2x+3y=4过A, B两点, 即直线AB的方程为2x+3y-4=0.
【点拨】 (1) 方法一用到了下面的结论:①已知A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则以AB为直径的圆的方程为 (x-x1) (x-x2) + (y-y1) (y-y2) =0 (在圆上任取一点P (x, y) , ) ;
②圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交于点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则直线AB的方程为 (D1-D2) x+ (E1-E2) y+ (F1-F2) =0.
(2) 以上两种方法在运算量方面相差不远, 但方法二对椭圆、双曲线、抛物线也适用.
6.A.
7.C.
【变式】已知点A是直线l:上的动点, 过点A作圆C: (x-2) 2+y2=1的切线, 切点为P, 则|AP|的最小值为 () .
(答案:B.)
8.C.设B (x1, y1) .由, 得A是MB的中点, 则,
所以圆O:x2+y2=1与圆O′: (x+t) 2+ (y+2) 2=4有公共点.
方法二 (几何法) :直线的倾斜角为30°, 于是在△AOB中, ∠A=∠B=30°, 从而∠AOB=120°, 则.
【变式】过点P (-1, -1) 的直线与圆O:x2+y2=1相交于A, B两点, 则.
(C) -1 (D) 1
(答案:D.提示:过点P作圆O的切线, 设切点为Q, 有|PQ|=1.由切割线定理, 得.)
10.D.
【变式】已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内, 过点E (1, 0) 的两条弦AC, BD互相垂直, 则四边形ABCD面积的最小值为 () .
(A) 4 (B) 8
(答案:B.提示:设圆心M (2, -1) 到弦AC, BD的距离分别为m, n, 则, 仅当m=n=1时取等号.)
11. (理) B.
(文) D.设圆M与圆C1内切于点A, 圆M与圆C2内切于点B, 圆M的半径为r, 则|C1M|=|AM|-|C1A|=r-1, |C2M|=|C2B|-|MB|=5-r, 有|C1M|+|C2M|=4, 所以点M的轨迹是以C1 (-1, 0) , C2 (1, 0) 为焦点的椭圆.设其方程为 (a>b>0) , 且2a=4, c=1, 有a=2, b2=a2-c2=3, 即.
(文) C.由圆M与圆C总有公共点, 得3-2≤|CM|≤3+2, 即1≤|CM|≤5.由于点M在圆C内, |CM|≤5显然成立, 故|CM|≥1.点M在直线l:kx-y+3=0上, 且直线l过定点 (0, 3) , 只需使直线l与圆 (x-1) 2+ (y-1) 2=1相切或相离, 所以.
13. (x-3) 2+ (y-3) 2=18.
【变式】已知圆C的圆心在直线x-y=0上, 且圆C与直线x+y=0相切, 直线x+y-12=0被圆C截得的弦长为, 则圆C的标准方程是____.
(答案: (x-4) 2+ (y-4) 2=32.)
15. (-∞, -1]∪[1, +∞) .设过点P的直线与圆相切于A, B两点, 则四边形PAOB是边长为1的正方形, 有, 于是直线y=kx+2与圆x2+y2=2有公共点, 所以, 得k2≥1, 即k≤-1或k≥1.
17. (1) 圆C的方程为 (x+4) 2+y2=16.
(2) 直线FG被圆C截得的弦长为7.
18. (1) 由得圆心C为 (3, 2) .
因为圆C的半径为1,
所以圆C的方程为 (x-3) 2+ (y-2) 2=1.
显然切线的斜率一定存在, 设所求圆C的切线方程为y=kx+3, 即kx-y+3=0.
所以所求圆C的切线方程为y=3或, 即y=3或3x+4y-12=0.
(2) 因为圆C的圆心在直线l:y=2x-4上, 所以设圆心C为 (a, 2a-4) ,
则圆C的方程为 (x-a) 2+[y- (2a-4) ]2=1.
设圆D:x2+ (y+1) 2=4, 所以点M应该既在圆C上又在圆D上, 即圆C和圆D有交点.
由5a2-12a+8≥0, 得a∈R;由5a2-12a≤0, 得.
所以a的取值范围为.
19. (1) 如图1, 设AB的中点为M, 切点为N, 连结OM, MN, 则|OM|+|MN|=|ON|=2, 取A关于y轴的对称点A′, 连结A′B, 故|AB|+|A′B|=2 (|OM|+|MN|) =4.
所以点B的轨迹是以A, A′为焦点, 长轴长为4的椭圆.其中, a=2, , b=1, 则曲线Γ的方程为.
(2) 如图2, 因为B为CD的中点, 所以OB⊥CD, 则.
又因为AC=4, 所以OC=1.所以.
所以直线CD的方程为, 即x+7y-5=0.
(2) 设C (-3m, 4m) (0<m≤1) , 则OC=5m, 则AC=OA-OC=5-5m.
因为AC=BD, 所以OD=OB-BD=5m+4.所以点D的坐标为 (5m+4, 0) .
又设△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
解得D=- (5m+4) , F=0, E=-10m-3.
所以△OCD的外接圆的方程为x2+y2- (5m+4) x- (10m+3) y=0.
整理, 得x2+y2-4x-3y-5m (x+2y) =0.
所以△OCD的外接圆恒过定点 (2, -1) .
21. (1) 由x2+y2-6x+5=0, 得 (x-3) 2+y2=4.所以圆C1的圆心坐标为 (3, 0) .
(2) 设M (x, y) .因为点M为弦AB的中点, 即C1M⊥AB,
所以kC1M·kAB=-1, 即.
所以线段AB的中点M的轨迹的方程为.
(3) 由 (2) 知点M的轨迹是以为圆心, 为半径的部分圆弧EF (图3所示, 不包括两端点) , 且.
又直线L:y=k (x-4) 过定点D (4, 0) ,
当直线L与圆C相切时,
十三、圆锥曲线
1.D.
【变式】已知椭圆C: (a>b>0) 的焦点为F1, F2, 若椭圆C上存在一点P, 使得∠F1PF2=90°, 则椭圆C离心率的取值范围是 () .
(答案:B.)
2.C.
【变式】若方程表示椭圆, 则实数k的取值范围是 () .
(A) (-∞, -2)
(B) (2, 5/2)
(C) (5/2, 3)
(答案:D.)
3.A.
【变式】已知点A (1, 1) , F是椭圆的左焦点, 若点P在椭圆上运动, 则|PA|+|PF|的最小值为 () .
(答案:C.)
4.D.
5.B.
【变式】设双曲线 (a>0, b>0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 直线l经过F1且与双曲线交于两点A, B, 若△AF2B为正三角形, 则双曲线的离心率为 () .
(答案:C.)
7.C.由题意, 得, 则a2+b2<3, 即点P (a, b) 在圆x2+y2=3的内部.又圆x2+y2=3在椭圆的内部, 于是点P在椭圆的内部, 故过点P的一条直线与椭圆有2个公共点.
9.D.由, 得c2=2a2=a2+b2, 即a=b, 因此双曲线的一条渐近线为l:y=x.
由得P (4, 4) .而抛物线的准线为x=-1, 于是|PF|=4- (-1) =5.
10.D.
【变式】已知直线y=kx-k与双曲线x2-y2=4在右支有两个不同的交点, 则实数k的取值范围是 () .
(答案:D.)
15.①②④.16.- (3/8) .
17. (1) 椭圆C的方程是.
(2) kOM·kPB=-1不成立, 理由略.
(2) (i) 由题意可知, 直线l的斜率为0时, 不合题意.
(ii) 不妨设直线l的方程为x=ky+m.
因为以AB为直径的圆过点M (2, 0) , 所以.
将x1=ky1+m, x2=ky2+m代入上式,
综上, 直线l经过定点 (6/5, 0) .
故椭圆C的标准方程为.
两式作差, 得.因为直线PA, PB的斜率都存在, 所以x20-x21≠0.
所以当PA, PB的斜率都存在时, kPA·kPB=- (1/2) .
(ii) k=0时, P (x0, y0) , A (-2, 0) , B (2, 0) , 设PA的斜率为n, 则PB的斜率为.
直线PA:y=n (x+2) , M (3, 5n) , 直线PB:,
20. (1) 由题意可设抛物线C的方程为x2=2py (p>0) , 则p/2=1, 所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2) 由题意知, 直线AB的斜率存在.设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 直线AB的方程为y=kx+1.
同理点N的横坐标.
令4k-3=t, t≠0, 则.
综上所述, 当, 即时, |MN|的最小值是.
21. (理) (1) 点M (1, 0) 是椭圆C的“1分点”, 理由如下:
(2) 假设点M (1, 0) 为椭圆C的“2分点”, 则存在过点M的直线l与椭圆C交于A, B两点, 使得S△AOB=2S△AOD, 显然直线l不与y轴垂直.设l:x=my+1, A (x1, y1) , B (x2, y2) .
因为S△AOB=2S△AOD,
将④代入⑤中得, 无解.
所以点M (1, 0) 不是椭圆C的“2分点”.
(3) x0的取值范围为 (-2, -1) ∪ (1, 2) .
(文) (1) 椭圆C的离心率.
设点E, F的坐标分别为 (x1, y1) , (x2, y2) , EF的中点M的坐标为 (xM, yM) ,
因为△BEF是以EF为底边, B为顶点的等腰三角形, 所以BM⊥EF.
因此BM的斜率.
又点B的坐标为 (0, -2) ,
所以EF的方程为.
又圆的圆心O (0, 0) 到直线EF的距离为,
《走进数学世界》单元测试题 篇3
一､选择题
1.图1是一座房子的平面图,这幅图是由()组成的.
A.三角形､长方形
B.三角形､正方形､长方形
C.三角形､正方形､长方形､梯形
D.正方形､长方形､梯形
2.图2中围绕它们的圆心经过旋转一定角度(小于360°)后,能和自身完全重合的一组图案是( ).
A.(1)(2) B.(2)(4) C.(2)(3) D.(3)(4)
3.如图3,是把一个圆形纸片对折后再对折,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是().
4.甲､乙､丙三种物品放在天平上的情况如图4所示,那么甲､乙､丙物品质量的大小关系是().
A.甲>乙>丙B.乙>甲>丙
C.丙>乙>甲D.丙>甲>乙
5.观察图5(1)中三个正方体,第四个正方体应为图5(2)中的().
6.将厚0.1毫米的一张纸对折,再对折,共对折4次,此时总厚度为()毫米.
A.0.4 B.0.8 C.0.32 D.1.6
7.如图6,三角形的个数为( ).
A.8B.10C.13D.14
8.把一段细绳从中间剪开能分成两段,如果先对折一次再从中间剪开就分成了三段.如果先对折四次再从中间剪开,那么就把这条细绳分成().
A.9段 B.15段 C.17段 D.19段
二､填空题
9.时钟上3点整时,时针与分针的夹角为 度,3点半时,时针与分针的夹角为 度.
10.我们知道=1-,=-,=-,…,那么= .
11.图7中共有 条线段.
12.按规律填数:
(1)6,13,□,27,34
(2)1,3,11,43,□
13.如图8,某工地堆放一批待用钢管,上面的一层依次比下面相邻的一层少1根,一共有50层.如果这批钢管最上层有4根,那么最下层有 根.
14.三个连续奇数的和是21,它们的积为 .
15.如果算式16×□÷8=8成立,那么□中应填 .
16.文字算式游戏:
例如“(三)位(一)体-(十)拿(九)稳=(一)心(二)用”对应的算式为:31-19=12.
请填空:
(1)()()火急×()指连心=()()富翁
(2)()()生肖×()级跳=()()()计
(3)()面威风×()窍生烟=()颜()色
17.中央电视台的“开心辞典”栏目有这样一个考题:“用1､2､4､5､7､8这几个数字写一个等式,要求每个数字只能用一次”.你认为应该写.
三､解答题
18.张老师工作很忙,5天没有回家,回家后一次撕下这5天的日历,这5天(今天和前四天)日期的数的和是45,张老师回家这天是几号?
19.如图9,由20个小正方形拼成的图形中,如何把它们分成形状､大小完全相同的四部分?请你在图中把这四部分表示出来.
20.根据下面的等式,求出妈妈买回来的鱼､鸡､菜各花了多少钱.
鸡+鸭+鱼+菜=35.4(元),鸡+鱼+菜=20.4(元),鸭+鱼+菜=21.4(元),鸭+菜=17(元).
21.一家三人(父亲､母亲､女儿)准备参加旅行团外出旅游.甲旅行社告知“父母买全票,女儿按半价优惠”,乙旅行社告知“家庭旅游可按团体票计价,即每人均按全价的收费”.若这两家旅行社每人的原票价相同,那么这家人应该选择哪家旅行社呢?
22.将1~9这9个数字填入图10的圆圈中,使每个三角形和直线上的3个数之和相等.
参考答案
1.C2.A3.C4.B5.A6.D7.D8.C
9.907510.-11.2112.(1)20(2)17113.5314.31515.416.(1)十万十百万(2)十二三三十六(3)八七五六17.18+27=45(答案不唯一)
18.11号.19.如图11.
20.鸭15元,鸡14元,鱼4.4元,菜2元.
21.应该选择乙旅行社.
22.如图12(答案不唯一).
注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文
小学数学第四单元综合测试题 篇4
一、填空。（20分）
1、某车间今天148人上班，1人病假，1人事假，该车间这天的出勤率是（ ）。
2、一个数由7个亿， 9个千万，5个百万，7个百，2个十组成，这个数是（ ），改写成以“万”作单位的数是（ ），省略“亿”后面的尾数是（ ）。
3、把3米长的铁丝平分成5段，需要截（ ）次，每段是全长的（ ），每段长（ ）米，每段是1米的（ ）。
4、把甲人数的 调入乙中，这时甲乙两队的人数相等，原来甲队人数比乙队人数多。
5、甲数的 等于乙数的 ，甲数比乙数多%，乙数与甲数的比是（ ）。
6、周长相等的圆、长方形和正方形，（ ）的面积最大；体积和底面积都相等的圆柱和圆锥，圆柱的高与圆锥的高的比是（ ）。
7、8吨50千克=（ ）吨4.5小时=（ ）小时（）分
8、12 ：20 =（）：2 =（ ）% =（ ）小数
9、线段比例尺 改写成数值比例尺是，在这幅图上量得北京到上海的距离是4.2厘米，北京到上海的实际距离是（ ）千米。
10、6吨增加后是（ ）吨， 6增加吨后是（ ）吨。
二、判断。（对的打“√”，错的打“×”，）（8分）
1、所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。 （ ）
2、在一个数的后面添上百分号，就把这个数扩大了100倍。 （ ）
3、半径为2厘米的.圆的周长和面积相等。 （ ）
4、102粒种子全部发芽，发芽率为102%（ ）
5、一个分数，它的分母越大，分数单位就越小。 （ ）
6、甲数是乙数的25%，乙数和甲数的比是4：1（ ）
7、条形统计图能清楚地看出各种数量的增减变化情况。 （ ）
小学二年级数学第六单元测试题 篇5
一、 填空题(1-3每题 2分, 4-10每题 4分, 第11小题 8分, 第12小题 9分, 共 51分)
1. 括号里最大能填几？
( )5＜22 ( )9＜55
2. 括号里最大能填几？
( )7＜51 ( )6＜45
3. 括号里最大能填几？
9( )＜40 ( )8＜60
4. 在○里填上、、=．
50○59 91○9
5. 在○里填上、、=．
9+9○81 81-9○9
6. 在○里填上、、=．
79○60 6○549
7. 填空
455=( )表示把( )平均分成( )份, 每一份是( ), 还表示( )里面有( )个( )．
8. ( )( )=24
( )( )=24
( )( )=24
( )( )=24
9. 在○里填上、、=．
729○9 36○49
10. 写出算式各部分的名称．
11. ( )( )=2 ( )( )=2
( )( )=2 ( )( )=2
( )( )=2 ( )( )=2
( )( )=2 ( )( )=2
12. 看图填空．
○○○ ○○○ ○○○ ○○○ ○○
143= (堆) (个)；144= (个) (个)
二、 口算题(每道小题 6分 共 18分 )
1. 79= 637= 89=
23+8= 88= 287=
2. 91= 19= 99=
273= 459= 546=
3. 182= 93= 369=
59= 68= 40-6=
三、 计算题(每道小题 4分 共 16分 )
1.
2.
3.
4.
四、 应用题(每道小题 5分 共 15分 )
1. 元元用4天时间读完36页的一本故事书,平均每天读几页?
2. 有54个桃子, 如果每只猴子吃6个桃子, 够几只猴子吃?
3. 有30张画片， 分给4个小朋友， 每人分得同样多， 每人分多少张？ 还剩几张？
小学数学比单元测试题 篇6
1、（1）小鸟在小狗的（）面。
（2）小狗在小老鼠的（）面。
（3）小老鼠在小狗的（）面。
2、小朋友，我家在8号门的左边，请帮我找一找，应 是第（）号门。
3、（1）小狗跑在最（）面，小象跑在最（）面。
（2）小象跑在小牛的（）面，小狗跑在小兔的（）面。
（3）小兔跑第（）个，它的后面还有（）个，前面还有（）个。
4、（1）下楼的小朋友是靠（）走，上楼的小朋友是靠（）边走。
（2）上楼、下楼和在路上行走我们应靠（）边走。
5、（1）、上面是一群小动物在一起休息。从左数起小马是第（）位，从右数起小象是第（）位。
（2）、小鹿的右边有（）个，左边有（）个，一共有（）个小动物。
二、按要求填一填。（第1、5小题各3、4分，其他每题6分，共23）
（1）、排在第1排第2个。
（2）排在第（）排第（）个。
（3）、排在第（）排第（）个。
（4）、排在第（）排第（）个。
（5）、在第2排第4个里画一个你喜欢 的图形。
三、请你走一走。（每空2。5分，共20分）
（1）、往右走（）格，再 往上走（）格到。
（2）、往下走（）格，再往左 走（）格到。
小学数学比单元测试题 篇7
一、选择题
1.已知双曲线 (a>0, b>0) 的一条渐近线方程是, 它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上, 则双曲线 的方程为 () .
2.已知点M (-3, 0) , N (3, 0) , B (1, 0) , 动圆C与直线MN切于点B, 过点M, N与圆C相切的两直线相交于点P, 则点P的轨迹方程为 () .
3.已知数列 {an}的通项公 式为) (n∈N*) , 其前n项和Sn=9/ 10 , 则双曲线的渐近线方程为 () .
4.若抛物线y2=2px (p>0) 的焦点在直线x-2y-2=0上, 则该抛物 线的准线 方程为 () .
(A) x=-2 (B) x=4
(C) x=-8 (D) y=-4
5.如图1所示, F1, F2是双曲线 (a>0, b>0) 的两个焦点, 以坐标原点O为圆心, |OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A, B, 且△F2AB是等边三角形, 则双曲线的离心率为 () .
6.如图2, 椭圆的中心在坐标原点O, 顶点分别是A1, A2, B1, B2, 焦点分别为F1, F2, 延长B1F2与A2B2交于P点, 若∠B1PA2为钝角, 则此椭圆的离心率的取值范围为 () .
7.若F1, F2是椭圆 (a>2b>0) 的两个焦点, 分别过F1, F2作倾斜角为45°的两条直线与椭圆相交于四个点, 以这四个点为顶点的四边形和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积比等于, 则该椭圆的离心率为 () .
8.过双曲线 (a>0, b>0) 的左焦点F (-c, 0) (c>0) , 作倾斜角为π/6的直线FE交该双曲线右支于点P, 若) , 且, 则双曲线 的离心率为 () .
9.设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形 (含边界与内部) .若点 (x, y) ∈D, 则x+y的最小值为 () .
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 3
10.已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线x的右焦点重合, 抛物线的准线与x轴的交点为K, 点A在抛物线上且, 则△AFK的面积为 () .
(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32
11.已知点P是椭圆 (x≠0, y≠0) 上的动点, F1, F2分别为椭圆的左、右焦点, O是坐标原点, 若M是∠F1PF2的角平分线上一点, 且, 则的取值范围是 () .
12.已知直线y=k (x+1) 与抛物线C:y2 =4x相交于A, B两点, F为抛物线C的焦点, 若|FA|=2|FB|, 则k= () .
二、填空题
13.已知抛物线y2=2px (p>0) 的准线与圆x2+y2-4x -5=0相切, 则p的值为__.
14.已知直线y=a交抛物线y=x2于A、B两点, 若该抛物线上存在点C, 使得∠ACB为直角, 则a的取值范围为__.
15.已知抛物线y2=4x的焦点F恰好是双曲线 (a>0, b>0) 的右顶点, 且双曲线的渐近线方程为, 则双曲线方程为___.
16.设F1, F2是双曲线C: (a>0, b>0) 的两个焦点, P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a, 且△PF1F2的最小内角为30°, 则双曲线C的离心率为.
17.椭圆E: (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 焦距为2c.若直线与椭圆E的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则该椭圆的离心率等于___.
18.设A, B为双曲线 (b>0, a>0) 上两点, O为坐标原 点.若OA⊥OB, 则△AOB面积的最小值为____.
三、解答题
19.设F1, F2分别为椭圆C: (a>b>0) 的左、右焦点, 过F2的直线l与椭圆C相交于A, B两点, 直线l的倾斜角为60°, F1到直线l的距离为
(Ⅰ) 求椭圆C的焦距;
(Ⅱ) 如果, 求椭圆C的方程.
20.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-p /2 (p>0) .若抛物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(Ⅰ) 求抛物线C的方程.
(Ⅱ) 若以抛物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N, 试问在x轴上是否存在定点Q, 使Q点在以MN为直径的圆上, 若存在, 求出点Q的坐标;若不存在, 请说明理由.
21.已知双曲线C: (a>0, b>0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为3, 直线y=2与C的两个交点间的距离为
(Ⅰ) 求双曲线C的方程;
(Ⅱ) 设过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点, 且|AF1|=|BF1|, 证明: |AF2|, |AB|, |BF2|成等比数列.
22.已知椭圆C: (a>b>0) 的离心率为1 /2 , 点F1, F2分别是椭圆C的左、右焦点, 以原点为圆心, 椭圆C的短半轴为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 若过点F2的直线l与椭圆C相交于M, N两点, 求△F1MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程.
23.设A, B分别是直线和上的动点, 且设O为坐标原点, 动点P满足
(Ⅰ) 求点P的轨迹方程;
(Ⅱ) 过点 (, 0) 作两条互相垂直的直线l1, l2, 直线l1, l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD, EF, 设CD, EF的弦中点分别为M, N, 求证:直线MN恒过一个定点.
24.如图3, 抛物线C1:x2=4y, C2:x2= -2py (p>0) , 点M (x0, y0) 在抛物线C2上, 过M作C1的切线, 切点为A, B (M为原点O时, A, B重合于O) .当时, 切线MA的斜率为-1 2.
(Ⅰ) 求p的值;
(Ⅱ) 当点M在C2上运动时, 求线段AB中点N的轨迹方程 (A, B重合于O时, 中点为O) .
参考答案
20.解: (Ⅰ) 当直线l1与抛物线无公共点时, 由定义知, l2为抛物线的准线, 抛物线焦点坐标为F (p /2 , 0) .
由抛物线定义知, 抛物线上的点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离,
十二、计数原理部分
一、选择题1.将9人 (含甲、乙) 平均分成三组, 甲、乙两人分在 同一组, 则不同分 组的方法 种数为 () .
(A) 70 (B) 140 (C) 42 (D) 60
2.如图1所示, 用4种不同的颜色涂入图中的矩形A, B, C, D中, 要求相邻的矩形涂色不同, 则不同的涂法有 () .
(A) 72种 (B) 48种
(C) 24种 (D) 12种
3.如图2所示, 要使电路接通即灯亮, 开关不同的闭合方式有 () .
(A) 11种 (B) 20种
(C) 21种 (D) 12种
4.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中, 不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中, 则不同的放法有 () .
(A) 36种 (B) 45种
(C) 54种 (D) 96种
5.从1, 3, 5, 7, 9这五个数中, 每次取出两个不同的数分别记为a, b, 共可得到lga-lgb的不同值的个数为 () .
(A) 9 (B) 10 (C) 18 (D) 20
6.设集合S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 集合A={a1, a2, a3}是S的子集, 若a1, a2, a3满足a1<a2<a3, a3-a2≤6, 则满足条件的集合A个数为 () .
(A) 78 (B) 76 (C) 84 (D) 83
7.某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言, 要求甲、乙2人至少有一人参加, 且若甲、乙同时参加, 则他们发言时顺序不能相邻, 那么不同的发言顺序种数为 () .
(A) 720 (B) 520 (C) 600 (D) 360
8.已知则a0+a2 /a1+a3 = () .
(A) 2 (B) 1/ 2
(C) -9/ 7 (D) -7 /9
9.若, 则a1+a3+a5= () .
(A) 121 (B) 122 (C) 242 (D) 243
10.若的展开式中第四项为常数项, 则n= () .
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
11.已知 (a>0) 的展开式中常数项为240, 则 (x+a) (x-2a) 2的展开式中含x2项的系数为 () .
(A) 10 (B) -8 (C) -6 (D) 4
12.已知a, 则二项式 (x2+a /x ) 5的展开式中x的系数为 () .
(A) 10 (B) -10
(C) 80 (D) -80
13.若, 则等于 () .
(A) -10 (B) -5
(C) 5 (D) 10
二、填空题
14.将4名学生分配到3个学习小组, 每个小组至少有1名学生, 则不同的分配方案共有___种 (用数字作答) .
15.有A, B, C, D, E五名学生参加网页设计大赛, 决出了第一到第五的名次, A, B两位同学去问成绩, 老师对A说“你没有得第一名”, 又对B说:“你是第三名.”从这两句话分析, 这五人的名次排列共有___种可能 (用数字作答) .
16.若 (sinφ+x) 5的展开式中x3的系数为2, 则cos2φ=_____ .
17.设二项式 (x-a /x ) 6的展开式x2的系数为A, 常数项为B, 若B = 4A, 则a =___ .
18.若 (x+1 /x ) n展开式中第3项与第7项的二项式 系数相等, 则展开式 中1 /x2的系数为___.
19.令an为 (1+x) n+1的展开式中含xn-1项的系数, 则数列{1/ an }的前n项和为___ .
20.设函数则当x>0时, f[f (x) ]表达式的展开式中常数项为____.
三、解答题
21.一个口袋内有4个不同的红球, 6个不同的白球.
(Ⅰ) 从中任取4个球, 红球的个数不比白球少的取法有多少种?
(Ⅱ) 若取一个红球记2分, 取一个白球记1分, 从中任取5个球, 使总分不少于7分的取法有多少种?
22.由0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字.
(Ⅰ) 能组成多少个无重复数字的四位数?
(Ⅱ) 能组成多 少个无重 复数字的 四位偶数?
(Ⅲ) 能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数?
(Ⅳ) 组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个?
23.车间有11名工人, 其中5名是钳工, 4名是车工, 另有2名既能当钳工, 又能当车工, 现要从这11名工人中选派4名钳工, 4名车工修理一台机床, 问有多少种选派方法?
24.已知一个数列的项数为6, 且各项为0或1, 试问:
(Ⅰ) 这样的数列有多少个?
(Ⅱ) 正好连续四项是1的数列有多少个?
(Ⅲ) 若用计算机随机生成这样的数列, 则生成至少有 四项连续 是1的数列的 概率是多少?
25.已知的展开式的二项式系数和比 (3x-1) n的展开式的二项式系数和大992, 求 (2x-1 /x ) 2n的展开式中:
(Ⅰ) 二项式系数最大的项;
(Ⅱ) 系数的绝对值最大的项.
26.设数列{an}是等比数列, , 公比q是 (x+1/ 4x2) 4的展开式中的第2项.
(Ⅰ) 用n, x表示{an}的通项an与前n项和Sn;
(Ⅱ) 若, 用n, x表示An.
参考答案
十三、概率与统计、统计案例部分
一、选择题
1.某人订了一份报纸, 送报人可能在早晨6∶30~7∶30之间把报送到, 该人早晨7∶00~ 8∶00之间离开家, 该人在离开家前能看到报纸的概率是 () .
(A) 5 8 (B) 1 3 (C) 1 4 (D) 7 8
2.记a, b分别是投掷两次骰子所得的数字, 则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为 () .
(A) 5 /18 (B) 1/ 4 (C) 3 /10 (D) 9 /10
3.在圆的一条直径上, 任取一点作与该直径垂直的弦, 则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为 () .
4.在菱形ABCD中, ∠ABC=30°, BC= 4, 若在菱形ABCD内任取一点, 则该点到四个顶点的距离均不小于1的概率是 () .
(A) π /6 (B) 1-π/ 6 (C) π /8 (D) 1-π /8
5.有一个正方体的玩具, 六个面标注了数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 甲、乙两位学生进行如下游戏:甲先抛掷一次, 记下正方体朝上的数字为a, 再由乙抛掷一次, 朝上数字为b, 若|a-b|≤1就称甲、乙两人“默契配合”, 则甲、乙两人“默契配合”的概率为 () .
(A) 1/ 9 (B) 2 /9 (C) 7/ 18 (D) 4 /9
6.若实数x, y满足的约 束条件将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a, b, 则函数z=2ax+by在点 (2, -1) 处取得最大值的概率为 () .
(A) 5/ 6 (B) 2/ 5 (C) 1 /5 (D) 1 /6
7.某公司有男、女职工1900人, 其中男职工1000人, 有关部门按男、女比例用分层抽样的方法, 从该公司全体职工中抽取x人进行调查研究, 如果抽到 女职工27人, 那么x等于 () .
(A) 77 (B) 64 (C) 57 (D) 54
8.在某项体育比赛中, 七位评委为一选手打出的分数如下:88, 83, 84, 83, 80, 79, 80, 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均值和方差分别为 () .
(A) 82, 2 (B) 82, 2.8
(C) 83, 2 (D) 83, 2.8
9.下图是Ⅰ, Ⅱ两组各7名同学体重 (单位:kg) 数据的茎叶图.设Ⅰ, Ⅱ两组数据的平均数依次为, 标准差依次为s1和s2, 那么 () .
10.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查, 现从中随机抽出100名司机, 已知抽到的司机年龄都在[20, 45) 岁之间, 根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示, 利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 () .
(A) 31.6岁 (B) 32.6岁
(C) 33.6岁 (D) 36.6岁
11.设 (x1, y1) , (x2, y2) , …, (xn, yn) 是变量x和y的n个样本点, 直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程 (如图) , 以下结论中正确的是 () .
(A) x和y正相关
(B) x和y的相关系数为直线l的斜率
(C) x和y的相关系数在-1到0之间
(D) 当n为偶数时, 分布在l两侧的样本点的个数一定相同
12.已知x与y之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中的前2组数据 (1, 0) 和 (2, 2) 求得的直线方程为y=b′x+ a′, 则以下结论正确的是 () .
二、填空题
13.已知函数f (x) =kx+1, 其中实数k随机选自区间[-2, 1], 则对x∈[-1, 1], 都有f (x) ≥0恒成立的概率是___ .
14.已知向量a= (x, -1) , b= (3, y) , 其中x随机选自集合{-1, 1, 3}, y随机选自集合 {1, 3}, 那么a⊥b的概率是___ .
15.在区间[-2, 4]上随机地抽取一个数x, 若x满足|x|≤m的概率为5 /6 , 则m =___ .
16.若从集合{1/ 3 , 1 /4 , 3, 4}中随机抽取一个数记为a, 从集合{-1, 1, -2, 2}中随机抽取一个数记为b, 则函数f (x) =ax+b (a>0, a≠1) 的图象经过第三象限的概率是___.
17.甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计茎叶图如图所示, 则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为____.
18.经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速 (单位:km/h) , 并绘制成如图所示的频率分布直方图, 其中这100辆汽车时速的范围是[30, 80], 数据分组为[30, 40) , [40, 50) , [50, 60) , [60, 70) , [70, 80].设时速达到或超过60km/h的汽车有x辆, 则x等于___.
19.已知下列表格所示数据的回归直线方程为, 则a的值为__ .
20.某小卖部为了了解热茶销售量y (杯) 与气温x (℃) 之间的关系, 随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温, 并制作了对照表
由表中数据算得回归方程中的, 预测当气温为-5℃时, 热茶的销售量为____.
三、解答题
21.现有6道题, 其中4道甲类题, 2道乙类题, 某同学从中任取2道题解答, 试求:
(Ⅰ) 所取2道题都是甲类题的概率;
(Ⅱ) 所取2道题不是同一类题的概率.
22.小波以游 戏方式决定是去打球、唱歌 还是去下棋.游戏规则为:以O为起点, 再从A1, A2, A3, A4, A5, A6 (如图) 这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量, 记这两个向量的数量积为X, 若X>0就去打球, 若X=0就去唱歌, 若X<0就去下棋.
(Ⅰ) 写出数量积X的所有可能取值;
(Ⅱ) 分别求小波去下棋的概率和不獉去唱歌的概率.
23.某研究性学习小组对昼夜温差与某种子发芽数的关系进行研究, 他们分别记录了四天中每天昼夜温差与每天100粒种子浸泡后的发芽数, 得到如下资料:
(Ⅰ) 求这四天浸泡种子的平均发芽率;
(Ⅱ) 有这样一个研究项目, 在这四天中任选两天, 记发芽的种子数分别为m, n (m<n) , 请以 (m, n) 的形式列出所有的基本事件, 记事件A为“m, n满足”求事件A发生的概率.
24.某校为了解学生的视力情况, 随机抽查了一部分学生的视力, 将调查结果分组, 分组区间为 (3.9, 4.2], (4.2, 4.5], …, (5.1, 5.4].经过数据处理, 得到如下频率分布表:
(Ⅰ) 求频率分布表中未 知量n, x, y, z的值;
(Ⅱ) 从样本中视力在 (3.9, 4.2]和 (5.1, 5. 4]的所有同学中随机抽取两人, 求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率.
25.如图, 茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数.乙组记录中有一个 数据模糊, 无法确认, 在图中以x表示.
(Ⅰ) 如果x=7, 求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差;
(Ⅱ) 如果x=9, 从学习次数大于8的学生中选2名同学, 求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.
26.某学校为调查高三年级学生的身高情况, 按随机抽样的方法抽取80名学生, 得到男生身高情况的频率分布直方图 (图1) 和女生身高情况的频率分布直方图 (图2) .已知图1中身高在170~175cm的人数为16.
(Ⅰ) 在抽取的 学生中, 男、女生各有 多少人?
(Ⅱ) 根据频率分布直方图, 完成下列的2×2列联表, 并判断能有多大的把握认为“身高与性别有关”;
(Ⅲ) 在抽取的80名学生中, 从身高在170 ~175cm的学生中按性别用分层抽样的方法抽出5人, 从这5人中选派3人当旗手, 求3人中恰好有1名女生的概率.
参考数据:
27.有甲、乙两个班级进行数学考试, 按照大于或等于85分为优秀, 85分以下为非优秀统计成绩后, 得到如下的2×2列联表有:
已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为2 /7.
(Ⅰ) 请完成上面的2×2列联表;
(Ⅱ) 根据列联表的数据, 若按99%的可靠性要求, 能否认为“成绩与班级有关系”;
(Ⅲ) (理) 从全部210人中有放回抽取3次, 每次抽取1人, 记被抽取的3人中的优秀人数为X, 若每次抽取的结果是相互独立的, 求X的分布列, 期望E (X) 和方差D (X) .
(文) 把甲班中的优秀学生中的前6名编号为1、2、3、4、5、6, 从这些编号中有放回抽取两次 (每次抽1人) , 求两次编号之和为6的倍数的概率.
28.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系, 现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究, 且分别记录了每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数, 得到如下资料:
(Ⅰ) (理) 从这5天种子的发芽数中任取两个, 其中不小于25的个数记为ξ, 求ξ的分布列与数学期望Eξ;
(文) 从这5天中, 任选2天, 记发芽的种子数分别为m, n, 求事件“m, n均不小于25”的概率.
(Ⅱ) 从这5天中任选2天, 若选取的是4月1日与4月30日的两组数据, 请根据这5天中的另3天的数据, 求出y关于x的线性回归方程
(Ⅲ) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗, 则认为得到的线性回归方程是可靠的, 试问 (Ⅱ) 中所得的线性回归方程是否可靠?
参考答案
1.D.设送报人到达该人的家的时刻为x, 该人离开家的时刻为y, 其中试验结果构成的区域为{ (x, y) |6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8}, 这是一个正方形区域, 该区域的面积为1;事件“该人在离开家前能看到报纸”的结果所构成的区域是{ (x, y) |6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8, y≥x}, 该区域的面积等于1-1 /2× (1/ 2 ) 2=7/ 8 , 因此所求的概率为7 /8.∴选D.
2.B.由题意知, 分别投两次骰子所得的数字分别为a, b, 则基本事件有: (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , …, (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6) , 共有36个;而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2- 8b>0, 因此满足此条件的基本事件有: (3, 1) , (4, 1) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , 共有9个.故所求的概率为9 /36=1 /4.
∴选B.
3.C.如图, 设圆的半径为r, 圆心为O, AB为圆的一条直径, CD为垂直于AB的一条弦, 垂足为M, 若CD为圆内接正三角形的一条边, 则O到CD的距离为r /2 , 设EF为与CD平行且到圆心O距离为r /2的弦, 交直径AB于点N, 所以当过AB上的点且垂直AB的弦的长度超过CD时, 该点在线段MN上变化, 所以所求概率P =r /2r=1 /2.∴选C.
4.D.如图, 以菱形的四个顶点为圆心作半径为1的圆, 图中阴影部分即为到四个顶点的距离均不小于1的区域, 由几何概型的概率计算公式可知, 所求概率P=S阴影/S菱形 =8-π/8.
∴选D.
5.D.甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种, 其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有: (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) , (5, 4) , (5, 5) , (5, 6) , (6, 5) , (6, 6) , 共16种.
∴甲乙两人“默契配合”的概率为
P=16 /36=4/ 9.∴选D.
6.A.如图所示, 在平面直角坐标系中, 画出题中的不等式组表示的平面区域, 结合题意得, 要使函数z= 2ax+by (a>0, b>0) 在点 (2, -1) 处取得最大值, 则需-2a /b≤-1, 即2a≥b.依题意得, 将一颗骰子投掷两次得到36组不同的数组 (a, b) , 其中满足2a≥b的有 (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) , (4, 6) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) , (5, 6) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6) , 共有30组不同的数组 (a, b) , 因此所求的概率等于30/ 36=5 /6.∴选A.
7.C.由题意, 得该公司共有女 职工900人, 当抽到的女职工是27人时, 男职工应抽取30人.
∴此时x=27+30=57 (人) .∴选C.
10.C.根据所给的信息可知, 在区间[25, 30) 上的数据的频率为1- (0.01+0.07+0.06 +0.02) ×5=0.2.故中位数在第3组, 且中位数的估计为30+ (35-30) ×5/ 7=33.6岁.∴选C.
11.C.由题中的图形知, 回归直线的斜率为负相关, 且相关系数在-1到0之间, 所以C正确.所以选C.
(Ⅱ) 记样本中视力在 (3.9, 4.2]的三人为a, b, c, 在 (5.1, 5.4]的两人为d, e.
由题意, 从五人中随机抽取两人, 所有可能的结果有: (a, b) , (a, c) , (a, d) , (a, e) , (b, c) , (b, d) , (b, e) , (c, d) , (c, e) , (d, e) , 共10种.
设事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”, 则事件A包含的可能的结果有: (a, b) , (a, c) , (b, c) , (d, e) , 共4种.
所以P (A) =4 /10=2 /5.
故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为2 /5.
(Ⅱ) 记甲组3名同学分别为A1, A2, A3, 他们去图书馆学习次数依次为9, 12, 11;乙组4名同学分别为B1, B2, B3, B4, 他们去图书馆学习次数依次为9, 8, 9, 12.
从学习次数大于8的学生中选2名同学, 所有可能的结果有15种, 它们是:A1A2, A1A3, A1B1, A1B3, A1B4, A2A3, A2B1, A2B3, A2B4, A3B1, A3B3, A3B4, B1B3, B1B4, B3B4.
用C表示:“选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件, 则C中的结果有5种, 它们是:A1B4, A2B4, A2B3, A2B1, A3B4.
故选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率
P (C) =5 /15=1 /3.
26.解: (Ⅰ) 因为身高在170~175cm的男生的频率为0.08×5=0.4, 设男生的总人数为n1, 则0.4=16/ n1 , 解得n1=40, 即抽取的学生中, 男生的人数为40, 女生的人数为80-40=40.
(Ⅱ) 男生身高大于等于170cm的人数为 (0.08+0.04+0.02+0.01) ×5×40=30, 女生身高大于等于170cm的人数为0.02×5×40= 4, 所以可得到如下列联表:
(Ⅲ) 身高在170~175cm的男生有16人, 女生有4人, 按分层抽样的方法抽出5人, 则男生有4人, 女生有1人.设这4名男生为A1, A2, A3, A4, 1名女生为B.从这5人中任选3人的情况有: (A1, A2, A3) , (A1, A2, A4) , (A1, A2, B) , (A1, A3, A4) , (A1, A3, B) , (A1, A4, B) , (A2, A3, A4) , (A2, A3, B) , (A2, A4, B) , (A3, A4, B) , 共10种, 而3人中恰好有1名女生的情况有: (A1, A2, B) , (A1, A3, B) , (A1, A4, B) , (A2, A3, B) , (A2, A4, B) , (A3, A4, B) , 共6种, 故所求概率为6 /10=3 /5.
27.解: (Ⅰ) 由题意得甲、乙两个班级优秀人数之和为210×2/ 7=60, 又甲班有20人, 故乙班有40人.
∴2×2列联表如下表所示:
因此有99%的把握认为“成绩与班级有关系”.
(Ⅲ) (理) 因为210人中随机抽1人为优秀的概率为2 /7 , 且每次抽取的结果是相互独立的, 所以X的分布为二项分布, 从而X的分布列为
(文) 抽取两次所得编号的基本事件为: (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , …, (1, 6) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , …, (2, 6) , …, (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , …, (6, 6) , 共36个.
编号之和为6的倍数的基本事件为 (1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1) , (6, 6) , 共6个.
因此两次编号之和为6的倍数概率为1 /6.
28.解: (Ⅰ) (理) 依题意得ξ=0, 1, 2, 所以ξ的分布列为:
(文) m, n的所有的基本事件为: (23, 25) , (23, 30) , (23, 26) , (23, 16) , (25, 30) , (25, 26) , (25, 16) , (30, 26) , (30, 16) , (26, 16) , 共10个.
设“m, n均不小于25”为事件A, 则事件A包含的基本事件为 (25, 30) , (25, 26) , (30, 26) .
所以P (A) =3/ 10 , 故事件A的概率为3 /10.
十四、概率与统计、分布列部分
一、选择题
1.甲袋中装有3个白球5个黑球, 乙袋中装有4个白球6个黑球, 现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中, 充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋, 则甲袋中白球没有减少的概率为 () .
(A) 35 /44 (B) 25/ 44 (C) 37/ 44 (D) 5/ 44
2.从1到10这十个自然数中随机取三个数, 则其中一 个数是另 两个数之 和的概率 是 () .
(A) 1/ 6 (A) 1 /4 (C) 1 /3 (D) 1 /2
3.如图1, A, B两点之间有4条网线连接, 每条网线能通过的最大信息量分别为1, 2, 3, 4.从中任取2条网线, 则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是 () .
(A) 5 /6 (B) 1 /2 (C) 1 /3 (D) 1 /6
4.由直线x= -π/3 , x=π/3 , y=1与曲线y=cosx所围成的封闭图形如图2中阴影部分所示, 随机向图形内掷一豆子, 则落入阴影内的概率是 () .
5.某项测试成绩满分为10分, 现随机抽取30名学生参加测试, 得分如图3所示, 假设所得分值的中位数为me, 平均值为, 众数为m0, 则 () .
6.如图4是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图, 现已知年龄在[30, 35) , [35, 40) , [40, 45]的上网人数呈现递减的等差数列分布, 则年龄在 [35, 40) 的网民出现的频率为 () .
(A) 0.04 (B) 0.06 (C) 0.2 (D) 0.3
7.设x1=18, x2=19, x3=20, x4=21, x5 =22, 将这5个数依次输入下面的程序框图运行, 则输出S的值及其 统计意义 分别是 () .
(A) S=2, 这5个数据的方差
(B) S=2, 这5个数据的平均数
(C) S=10, 这5个数据的方差
(D) S=10, 这5个数据的平均数
8.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中, 取得A等级的概率分别为4 /5 , 3 /5 , 2 /5 , 且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立, 记ξ为该生取得A等级的课程数, 其分布列如下表所示, 则数学期望ξ的值为 () .
(A) 7 /5 (B) 8/ 5 (C) 9/ 5 (D) 2
9.已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=k) = 1/ 3 , k=1, 2, 3, 则D (3ξ+5) = () .
(A) 6 (B) 9 (C) 3 (D) 4
10.设随机变量ξ服从正态分布N (1, σ2) , 则函数f (x) =x2+2x+ξ不存在零点的概率为 () .
(A) 1/ 4 (B) 1/ 3 (C) 1 /2 (D) 2/ 3
11.某地区某年参加高考的人数约为六万人, 满分为150分的学生的总体成绩服从正态分布N (90, σ2) , 超过120分的人数约占总人数的1 /20 , 据此估算数学成绩在60分到90分之间的人数约为 () .
(A) 0.3万人 (B) 2.7万人
(C) 3.3万人 (D) 5.7万人
12.将长度为1米的铁丝随机剪成三段, 则这三段能拼成三角形 (三段的端点相连) 的概率等于 () .
(A) 1 /8 (B) 1 /4 (C) 1 /3 (D) 1 /2
13.已知Ω={ (x, y) |x+y≤6, x≥0, y≥0}, A={ (x, y) |x≤4, y≥0, , 若向区域Ω上随机投一点P, 则点P落入区域A的概率为 () .
(A) 8/ 27 (B) 2 /3 (C) 1/ 3 (D) 1/ 9
14.将一骰子向上抛掷两次, 所得的点分为m和n, 则函数y=2/ 3mx3-nx+1在[1, +∞) 上为增函数的概率是 () .
(A) 1 /2 (B) 2 /3 (C) 3 /4 (D) 5/ 6
二、填空题
15.从n个正整数1, 2, 3, …, n中任意取出两个不同的数, 若取出的两个数之和等于5的概率为1 /14 , 则n=___.
16.已知平面区域}.在区域D1内任取一点M, 若点M恰好取自区域D2内的概率为P, 且0<P≤1/ 8 , 则k的取值范围是___.
17.对某商店 一个月内每天的顾客人数进行统 计, 得到样本的茎叶图 (如图所示) , 则该样本的中位数、众数、极差分别是___.
18.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数, 从全校随机抽取5个班级, 把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7, 样本方差为4, 且样本数据互不相同, 则样本数据中的最大值为____.
19.某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次实验.根据收集到的数据 (如下表) , 由最小二乘法求得回归直线方程
表中有一个数据模糊不清, 请你推断出该数据的值为___.
20.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对该班50名学生进行了问卷调查, 得到了如下2×2列联表:
则在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱打篮球与性别有关. (用百分数表示)
21.随机变量ξ~N (10, 100) , 若P (ξ>11) =a, 则P (9<ξ≤11) =.
22.若随机变量ξ的分布列为:P (ξ=m) = 1 /3 , P (ξ=n) =a, 若E (ξ) =2, 则D (ξ) 的最小值等于.
三、解答题
23.为了下一次的航天飞行, 现准备从6名预备队员 (其中男4名, 女2名) 中选3名参加“神舟十号”的航天任务.
(Ⅰ) 求男甲和女乙同时被选中的概率;
(Ⅱ) 设所选3名航天员中女预备队员人数为X, 求X的分布列及数学期望;
(Ⅲ) 若选派3名航天员依次到A, B, C3个实验室, 求A实验室是男航天员的情况下, B实验室是女航天员的概率.
24.一次数学考试共有10道选择题, 每道选择题都有4个选项, 其中有且只有一个选项是正确的.设计试卷时, 安排前n道题使考生都能得出正确答案, 安排8~n道题, 每题得出正确答案的概率均为1 /2 , 安排最后两道题, 每题得出正确答案的概率均为1 /4 , 且每题答对与否相互独立, 同时规定:每题选对得5分, 不选或选错得0分.
(Ⅰ) 当n=6时,
(1) 分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率;
(2) 问:考生答对几道题的概率最大, 并求出最大值.
(Ⅱ) 要使考生所得分数的期望不小于40分, 求n的最小值.
25.某品牌电视专卖店, 在“五一”期间设计一项有奖促销活动:每购买一台电视, 即可通过电脑产生一组3个数的随机数组, 根据下表兑奖.
商家为了了解计划的可行性, 估计奖金数, 进行了随机模拟试验, 产生20组随机数组, 每组3个数, 试验结果如下所示:
235, 145, 124, 754, 353, 296, 065, 379, 118, 247, 520, 356, 218, 954, 245, 368, 035, 111, 357, 265.
(Ⅰ) 在以上模拟的20组数中, 随机抽取3组数, 至少有一组获奖的概率.
(Ⅱ) 根据上述模拟试验的结果, 将频率视为概率:
(1) 若活动期间某单位购买4台电视, 求恰好有两台获奖的概率;
(2) 若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元, 求m的最大值.
26.为迎接6月6日的“全国爱眼日”, 某高中学校学生会随机抽取16名学生, 经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图 (以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字为叶) 如图, 若视力测试结果不低于5.0, 则称为“好视力”.
(Ⅰ) 写出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ) 求从这16人中随机选取3人, 至少有2人是“好视力”的概率;
(Ⅲ) 以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据, 若从该校 (人数很多) 任选3人, 记X表示抽到“好视力”学生的人数, 求X的分布列及数学期望.
27.每年的三月十二日, 是中国的植树节. 林管部门在植树前, 为保证树苗的质量, 都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度, 规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”, 测得高度如下 (单位:厘米) :
甲:137, 121, 131, 120, 129, 119, 132, 123, 125, 133;
乙:110, 130, 147, 127, 146, 114, 126, 110, 144, 146.
(Ⅰ) 根据抽测结果, 画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图, 并根据你填写的茎叶图, 对甲、乙两种树苗的高度作比较, 写出对两种树苗高度的统计结论;
(Ⅱ) 设抽测的10株甲种树苗高度平均值为, 将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算 (如图) , 问输出的S大小为多少? 并说明S的统计学意义;
(Ⅲ) 若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植, 用样本的频率分布估计总体分布, 求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列.
28.为增强市民节能环保意识, 某市面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者, 他们的年龄情况如下表所示:
(Ⅰ) 频率分布表中的①, ②位置应填什么数据?并补全频率分布直方图 (如图) , 再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 [30, 35) 的人数;
(Ⅱ) 在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动, 从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人, 记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X, 求X的分布列及数学期望.
29.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良, 空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市, 并停留2天.
(Ⅰ) 求此人到 达当日空 气重度污 染的概率;
(Ⅱ) 设X是此人停留期间空气质量优良的天数, 求X的分布列与数学期望;
(Ⅲ) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结论不要求证明)
30.为了调查某大学学生在某天上网的时间, 随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果.
(Ⅰ) 从这100名男生中任意选出3人, 求其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率;
(Ⅱ) 完成下面的2×2列联表, 并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?
参考答案
1.A.甲袋内白球没有减少的事件有以下三种: (1) 甲袋内取走一个白球, 放入乙袋中, 充分混合后, 再从乙袋中取走一个白球放入甲袋; (2) 甲袋中取走一个黑球放入乙袋, 再从乙袋中取走一个黑球放入甲袋; (3) 甲袋内取走一个黑球放入乙袋后, 再从乙袋内取走一个白球放入甲袋.所以甲袋中白球没有减少的概率为P= 3/ 8×5/ 11+5 /8×7 /11+5 /8×4/ 11=70/ 88=35 /44.∴选A.
另解:甲袋中白球没有减少和甲袋中白球减少是两个对立事件, 甲袋中白球减少的事件为从甲袋中取走一个白球放入乙袋, 混合后再从乙袋中取走一个黑球放在甲袋, 其概率为3 /8×6/ 11=9 /44.
所以甲袋中白球没有减少的概率为p=1 -9 /44=35 /44.∴选A.
17.46, 45, 56.由茎叶图可知, 第15个数据是45, 第16个数据是47, 所以中位数为46;出现次数最多的是45, 所以众数是45;最大数据68与最小数据12的差是56, 即极差是56.
27.解: (Ⅰ) 茎叶图如图所示, 统计结论为:
(1) 甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;
(2) 甲种树苗比乙种树苗长得整齐;
(3) 甲种树苗高度的中位数为127, 乙种树苗高度的中位数为128.5;
(4) 甲种树苗的高度基本上是对称的, 而且大多数都集中在均值附近, 乙种树苗的高度分布较为分散.
S表示10株甲种树苗高度的方差, 是描述树苗高度的离散程度的量, S值越小, 表示树苗长得越整齐, S值越大, 表示树苗长得越参差不齐.
(Ⅲ) 由题意可知, 领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为1 2 , 则X~B (5, 1 /2 ) .
∴随机变量区的分布列为:
28.解: (Ⅰ) ①处填20, ②处填0.35.
补全频率分布直方图如图所示:
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30, 35) 的人数为500×0.35=175.
(Ⅱ) 用分层抽样的方法, 从中选取20人, 则其中“年龄低于30岁”的有5人, “年龄不低于30岁”的有15人.
(Ⅲ) 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
(Ⅱ)
十五、算法初步、推理与证明部分
一、选择题
1.如图1所示的程序框图, 如果输入三个实数a, b, c, 要求输出这三个数中最大的数, 那么在空白的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 () .
(A) c>x? (B) x>c?
(C) c>b? (D) b>c?
2.如图2所示, 程序框图 (算法流程图) 的输出结果是 () .
(A) 6 (B) 5
(C) 4 (D) 3
3.执行如图3所示的程序框图, 若输入x =2, 则输出y的值为 () .
(A) 5 (B) 9 (C) 14 (D) 41
4.某程序框图如图4所示, 现输入下列四个函数, 则输出的函数是 () .
5.执行如图5所示的程序框图, 若输出的S是127, 则条件①可以为 () .
(A) n≤5 (B) n≤6 (C) n≤7 (D) n≤8
6.阅读程序框图 (如图6) , 如果输出的函数值在区间[1, 3]上, 则输入的实数x的取值范围是 () .
(A) {x∈R|0≤x≤log23}
(B) {x∈R|-2≤x≤2}
(C) {x∈R|0≤x≤log23, 或x=2}
(D) {x∈R|-2≤x≤log23, 或x=2}
7.执行如图7所示的程序框图, 如果输出S=3, 那么判断框内应填入的条件为 () .
(A) k≤6 (B) k≤7 (C) k≤8 (D) k≤9
8.执行如图8所示的程序框图, 输出的S值为 () .
(A) 3 (B) -6 (C) 10 (D) -15
9.数列{an}中, 已知an=1, 则a2014= () .
(A) -2 (B) -1/ 3
(C) -1 /2 (D) 1
10.观察数列:1, 1 /2 , 2 /1 , 1/ 3 , 2 /2 , 3/ 1 , 1 /4 2 /3 , 3 /2 , 4/ 1 , …, 则2/ 6将出现在此数列的第 () .
(A) 21项 (B) 22项
(C) 23项 (D) 24项
11.已知“整数对”按如下规律排成一列: (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (1, 3) , (2, 2) , (3, 1) , (1, 4) , (2, 3) , (3, 2) , (4, 1) , …, 则第60个“整数对”是 () .
(A) (7, 5) (B) (5, 7)
(C) (2, 10) (D) (10, 1)
12.通过圆与球的类比, 由“半径的R的圆的内接矩形中, 以正方形的面积为最大, 最大值为2R2”, 猜想关于球的相应命题为 () .
(A) 半径为R的球的内接六面体中, 以正方体的体积为最大, 最大值为2R3
(B) 半径为R的球的内接六面体中, 以正方体的体积为最大, 最大值为3R3
(C) 半径为R的球的内接六面体中, 以正方体的体积为最大, 最大值为
(D) 半径为R的球的内接六面体中, 以正方体的体积为最大, 最大值为
13.用数学归纳法证明“1+1 /2+1 /3+…+ 1 /2n-1<n (n∈N*, n>1) ”时, 由n=k (k>1) 不等式成立, 推证n=k+1时, 左边应增加到的项数是 () .
(A) 2k-1 (B) 2k-1
(C) 2k (D) 2k+1
14.已知a>0, b>0, M=a+1/ b , N=b+ 1/ a , 则下列结论中正确的是 () .
(A) M, N都不小于2
(B) M, N至少有一个不小于2
(C) M, N都不大于2
(D) M, N至少有一个不大于2
二、填空题
15.按如图9所示的程序框图运算, 若输入x=20, 则输出的k=___ .
16.若某程序框图如图10所示, 则该程序运行后输出的值等于___.
17.如图11是一个算法的流程图, 则输出S的值是____.
18.定义一种运算:S=ab, 如图12所示的框图所表达的算法中提示了这种运算“”的含义, 那么按照运算“”的含义, 计算tan40°tan20°+ (tan20°tan40°) =____ .
21. (理) 当x∈R时, |x|<1时, 有如下表达式:
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法计算:
(文) 观察下列等式
照此规律, 第n个等式可为___ .
23.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数, 如三角形数1, 3, 6, 10, …, 第n个三角形数为n (n+1) /2=1 /2n2+1 /2n.记第n个k边形为N (n, k) (k≥3) , 以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数N (n, 3) =1 /2n2+1 /2n,
正方形数N (n, 4) =n2,
五边形数N (n, 5) =3 /2n2-1 /2n,
六边形数N (n, 6) =2n2-n,
……
可以推测N (n, k) 的表达式, 由此计算N (10, 24) = ___.
三、解答题
24.已知某算法的程序框图如图13所示, 若将输出的 (x, y) 值依次记为 (x1, y1) , (x2, y2) , … (xn, yn) , …, 若程序运行中输出的一个数组是 (x, -8) , 求x的值.
25.根据如图14所示的程序框图, 将输出的x, y值依次分 别记为x1, x2, …, xn, …, x2014;y1, y2, …, yn, …, y2014.
(Ⅰ) 求数列{xn}的通项公式xn;
(Ⅱ) 写出y1, y2, y3, y4, 由此猜想出数列 {yn}的一个通项公式yn, 并证明你的结论;
(Ⅲ) 求 (n∈N*, n≤2014) .
26.“世界睡眠日”定在每年的3月21日. 2013年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”, 以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识.为此某网站2013年3月13日到3月20日持续一周的在线调查, 共有200人参加调查, 现将数据整理分组如题中表格所示.
(Ⅰ) 画出频率分布直方图;
(Ⅱ) 睡眠时间小于8的频率是多少?
(Ⅲ) 为了对数据进行分析, 采用了计算机辅助计算.分析中一部分计算见算法流程图, 如图15, 求输出的S的值, 并说明S的统计意义.
27.阅读如下材料:已知a, b, c, d∈R, a2+ b2=1, c2+d2=1, 求ac+bd的最大值.
请类比材料中问题的求解过程, 完成以下问题:已知a, b, c, d∈R, 且a2+b2=4, c2+d2 =9, 求ac+bd的最大值.
28.已知点Pn (an, bn) 满足an+1=anbn+1, (n∈N*) , 且点P1的坐标为 (1, -1) .
(Ⅰ) 求过点P1, P2的直线l的方程;
(Ⅱ) 试用数学归纳法证明:对于n∈N*, 点Pn都在直线l上.
29. (理) 是否存在常数a, b, c, 使得等式对于一切正整数都成立?
并证明你的结论.
(文) 设数列{an}满足a1=a, an+1=can+1 -c, n∈N*, 其中a, c为实数且c≠0.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 若0<an<1对任意n∈N* 成立,
证明0<c<1.
30. (理) 设函数 (x∈R, n∈N*) .证明:
(Ⅰ) 对每个n∈N*, 存在唯一的xn∈[2/ 3 , 1], 满足fn (xn) =0;
(Ⅱ) 对任意p∈N*, 由 (Ⅰ) 中xn构成的数列{xn}满足0<xn-xn+p<1/ n.
(文) 给定数列a1, a2, …, an.对i=1, 2, …, n-1, 该数列前项i项的最大值记为Ai, 后n- i项ai+1, ai+2, …, an的最小值记为Bi, di=Ai -Bi.
(Ⅰ) 设数列{an}为3, 4, 7, 1, 写出d1, d2, d3的值;
3 (Ⅱ) 设a1, a2, …, an (n≥4) 是公比大于1的等比数列, 且a1>0, 证明:d1, d2, …, dn-1是等比数列;
(Ⅲ) 设d1, d2, …, dn-1是公差大于0的等差数列, 且d1>0, 证明:a1, a2, …, an-1是等差数列.
参考答案
1.A.由于要取a, b, c中最大项, 输出的x应是a, b, c中的最大者, 所以应填比较x与c大小的语句, 结合各选项知, 应选A.
2.B.执行程序可知, 循环体执行结果如下:S=1, i=2;S=2, i=3;S=6, i=4;S=24, i =5.此时, S>20, 故输出i=5.∴选B.
3.D.第一次循环后:x=5, y=14;第二次循环后:x=14, y=41, 此时|x-y|>9, 终止循环.故输出y的值为41.∴选D.
4.D.执行题中的程序框图, 最后输出的函数应是存在零点的奇函数.由于f (x) =1 /x是奇函数, 但没有零点;函数f (x) =log3 (x2+1) 是偶函数, 且有零点;函数f (x) =2x+2-x是偶函数, 且没有零点;函数f (x) =2x-2-x是奇函数, 且有零点, 符合要求.∴选D.
10.C.数列中各项的分子是按照 (1) , (1, 2) , (1, 2, 3) , (1, 2, 3, 4) , …的规律呈现的, 分母是按照 (1) , (2, 1) , (3, 2, 1) , (4, 3, 2, 1) , …的规律呈现的, 显然前五组不可能出现2 6 , 不妨再写出几个对应的数值.分子: (1, 2, 3, 4, 5, 6) , (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) ;分母 (6;5;4;3;2;1) , (7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) .可以发现第六组也不可能, 故只能是第七组的第二个, 所以这个数是第 (1+2+3+… +6+2) 项, 即第23项.∴选C.
26.解: (Ⅰ) 频率分布直方图如图所示.
(Ⅱ) 睡眠时间小于8小时的频率是
p=0.04+0.25+0.30+0.28=0.88.
(Ⅲ) 首先要理解题中程序框图的含义, 输入m1, f1的值后, 由赋值语句:S=S+mi·fi可知, 流程图进入一个求和状态, 令ai=mi·fi (i=1, 2, …, 6) , 数列{ai}的前i项和为Ti, 即T6=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7. 5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.70, 则输出的S为6.70.S的统计意义即是指参加调查者的平均睡眠时间.
十六、复数、选考部分
一、选择题
1.已知i为虚数单 位, 则复数3-2i /2+i = () .
(A) 4 /5+7 /5i (B) -4/ 5+7/ 5i
(C) 4/ 5-7/ 5i (D) -4 /5-7 /5i
2.若a∈R, 则“a=1”是“复数z=a2-1+ (a+1) i是纯虚数”的 () .
(A) 充分非必要条件
(B) 必要非充分条件
(C) 充要条件
(D) 既非充分也非必要条件
3.已知a是实数, a+i /1-i是纯虚数, 则a等于 () .
4.已知复数z=1+ai (a∈R, i是虚数单位) , , 则a= () .
(A) 2 (B) -2 (C) ±2 (D) -1 /2
5.复数1+2i/ i的共轭复数是a+bi (a, b∈R) , i是虚数单位, 则点 (a, b) 为 () .
(A) (1, 2) (B) (2, -1)
(C) (2, 1) (D) (1, -2)
6.设复数, 其中i为虚数单位, 则的虚部为 () .
7.若复数z=2-i, 则+10 /z= () .
(A) 2-i (B) 2+i
(C) 4+2i (D) 6+3i
8.在复平面内 复数z=3+4i /1-i对应的点在 () .
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
9.若复数z满足 (3+4i) z=|4+3i|, 则z的虚部为 () .
(A) -4 (B) -4 /5
(C) 4 (D) 4 /5
10.设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 () .
11.若i为虚数单位, 图中复平面内点Z表示复数z, 则表示复数z /1+i的点是 () .
(A) E (B) F (C) G (D) H
12.已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°则z1z2为 () .
13.若z=cosθ+isinθ (i是虚数单位) , 则使z2=-1的θ值可能是 () .
(A) π/ 6 (B) π /4 (C) π /3 (D) π /2
14.已知i为虚数单位, 且 (x+i) (1-i) = y, 则实数x, y分别为 () .
(A) x=-1, y=1 (B) x=-1, y=2
(C) x=1, y=1 (D) x=1, y=2
15.若1-i (i为虚数单位) 是关于x的方程x2+2px+q=0 (p、q∈R) 的一个解, 则p+q = () .
(A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3
16.已知 ( (i是虚数单位, x∈R, n∈N) 展开式的倒数第3项的系数是-180, 则展开式中系数为正实数的项有 () .
(A) 1项 (B) 2项 (C) 3项 (D) 4项
二、填空题
17.在复平面上, 若复数a+bi (a, b∈R) 对应的点恰好在实轴上, 则b=__ .
18.设a∈R, 且 (a+i) 2i为正实数, 则a的值为__.
19.已知复数z=5i /1+2i , (i是虚数单位) , 则|z|=__ .
20.设x, y为实数, 且x /1-i+y /1-2i= 5 /1-3i , 则x+y=__ .
21.已知复数z与 (z-2) 2-8i都是纯虚数, 则z=__ .
22.设z的共轭复数是则的值为__.
23.已知z1, z2∈C, |z1|=|z2|=1, , 则|z1-z2|=__ .
24.已知0<a<2, 复数z的实部为a, 虚部为1, 则复数z的模|z|的取值范 围是__.
25.已知z=x+yi, 且|z-2|=1, 则y /x的最大值为__.
26.已知复数 (1-2i) i (其中i为虚数单位) 在复平面上对应的点M在直线y=mx+n上, 其中m >0, n >0, 则1 /m+1 /n的最小值 为__.
三、解答题
(一) 选修4-1, 几何证明选讲
27.如图1, AB为⊙O的直径, 过点B作⊙O的切线BC, OC交⊙O于点E, AE的延长线交BC于点D.
(Ⅰ ) 求证:CE2= CD·CB;
(Ⅱ) 若AB=BC=2, 求CE和CD的长.
28.如图2, AB是⊙O的直径, 弦BD、CA的延长线相交于点E, EF垂直BA的延长线于点F.求证:
(Ⅰ) ∠DEA=∠DFA;
(Ⅱ) AB2=BE·BD- AE·AC.
29.如图3, CD为△ABC外接圆的切线, AB的延长线交直线CD于点D, E, F分别为弦AB, 弦AC上的点, 且BC·AC=DC·AF, B, E, F, C四点共圆.
(Ⅰ) 证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(Ⅱ ) 若 DB =BE =EA, 求过B, E, F, C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
30.如图4, 直线AB为圆的切线, 切点为B, 点C在圆上, ∠ABC的角平分线BE交圆于点E, DB垂直BE交圆于点D.
(Ⅰ) 证明:DB=DC;
(Ⅱ) 设圆的半径为1, , 延长CE交AB于点F, 求△BCF的外接圆的半径.
(二) 选修4-4, 坐标系与参数方程
31.已知在直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为 (t为参数) .在极坐标系 (与直角坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴) 中, 曲线C2的方程为ρsin2θ=4cosθ.
(Ⅰ) 求曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ) 若曲线C1, C2交于A, B两点, 定点P (0, -4) , 求|PA|+|PB|的值.
32.在直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为 (t是参数, 0≤α<π) , 以原点O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为
(Ⅰ) 求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ) 当α=π/4时, 曲线C1和C2相交于M, N两点, 求以线段MN为直径的圆的直角坐标方程.
33.在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为 (, π/4 ) , 直线l的极坐标方程为ρcos (θ-π/4 ) =a, 且点A在直线l上.
(Ⅰ) 求a的值及直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ) 圆C的参数方程为 (α为参数) , 试判断直线l与圆C的位置关系.
34.已知曲线C1的参数方 程为 (t为参数) , 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ) 把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ) 求C1与C2交点的极坐标 (ρ≥0, 0≤θ <2π) .
(三) 选修4-5, 不等式选讲
35.设函数f (x) =|2x-7|+1.
(Ⅰ) 求不等式f (x) ≤|x-1|的解集;
(Ⅱ) 若存在x使不等式f (x) ≤ax成立, 求实数a的取值范围.
36.已知函数f (x) =|x+1|-|x|+a.
(Ⅰ) 若a=0, 求不等式f (x) ≥0的解集;
(Ⅱ) 若方程f (x) =x有三个不同的根, 求a的取值范围.
37.已知函数f (x) =|x-a|, 其中a>1.
(Ⅰ) 当a=2时, 求不等式f (x) ≥4- |x-4|的解集;
(Ⅱ) 已知关于x的不等式|f (2x+a) - 2f (x) |≤2的解集为{x|1≤x≤2}, 求a的值.
38.已知函数f (x) =|2x-1|+|2x+a|, g (x) =x+3.
(Ⅰ) 当a=-2时, 求不等式f (x) <g (x) 的解集;
(Ⅱ) 设a> -1, 且当x∈[-a 2 , 1 2 ) 时, f (x) ≤g (x) , 求a的取值范围.
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