怎样认识全称命题主项存在问题

怎样认识全称命题主项存在问题

怎样认识全称命题主项存在问题 篇1

类型一、单纯含有全称量词的问题

例1 (1) 若m∈[-2,2],不等式2x-1>m(x2-1)恒成立,求实数x的取值范围;

(2) 若x∈[-2,2],不等式2x-1>m(x2-1)恒成立,求实数m的取值范围.

解析 (1) f(m)=(x2-1)m-(2x-1),为关于m的一元一次函数.

要使f(m)<0对m∈[-2,2]恒成立,结合一次函数图像特点知,只需f(2)<0,f(-2)<0,解得7-12

(2) 令f(x)=mx2-2x+1-m(x≤2).

当m=0时,不等式不能恒成立.

当m≠0时,f(x)为关于x的一元二次函数.

要使f(x)<0对x∈[-2,2]恒成立,结合二次函数图像特点知,只需m<0,1m>-2,Δ<0或m<0,1m≤-2,f(-2)<0或m>0,f(-2)<0,f(2)<0,解得0

类型二、单纯含有存在量词的问题

例2 已知函数f(x)=x2-4x+3,命题p:在区间[1,4]上至少存在一个实数c,使得f(c)>m能成立.若命题p为真,求实数m的取值范围.

解析 p:c∈[1,4],使得f(c)>m能成立,即p:x∈[1,4],使得f(x)>m能成立.不易理解,不妨换个角度,p:x∈[1,4],使得f(x)≤m恒成立.即转化为常见的恒成立问题来解决.

要使p为真,只要[f(x)]max≤m.

因为[f(x)]max=3,所以m≥3.

所以p为真时,实数m的取值范围是m<3.

点评 由于存在性命题p:“x∈D,p(x)”,其否定为全称命题p:“x∈D,p(x)”.有时,将存在性命题合理地转化为全称命题后,问题的求解就容易多了.这里,先将命题“x∈D,f(x)>m能成立”转化为命题“x∈D,f(x)≤m恒成立”,再用补集思想便可顺利求解.这里,f(x)>m中(已知范围的)主元和(要求范围的)参数m已经分离在不等号两边,可得到一个不含参数的一元函数与一个含一个参数的常数函数(无主元).

其实,从本质上看,命题“x∈D,f(x)>m”(即关于x的不等式f(x)>m在D上有解)等价于命题“x∈D时,[f(x)]max>m”.类似地,命题“x∈D,f(x)

例3 (2007年广东卷)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.

分析 本题有两种求解方法.法一是就f(x)=0在区间[-1,1]上的根的个数及其是否为重根进行分类;法二是就a=0,a>0及a<0,结合二次函数图像特征进行分类.这里用分离参数法.

解 由题意,得x∈[-1,1],使得方程2ax2+2x-3-a=0成立.

变形,得(2x2-1)a=3-2x,由2x2-1=0即x=±22时,上述方程不成立,知2x2-1≠0,故a=3-2x2x2-1.

故a的取值范围就是y=3-2x2x2-1,x∈[-1,1]的值域.

令3-2x=u,则x=3-u2,

由x∈[-1,1],知u∈[1,5],

则y=2uu2-6u+7=2u+7u-6.

由函数g(u)=u+7u在(0,7]上递减,在[7,+∞)上递增,知27≤g(u)≤8,

可得2u+7u-6∈-∞,-3+72∪[1,+∞).

即a的范围是-∞,-3+72∪[1,+∞).

类型三、同时含有存在量词和全称量词的问题

例4已知函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=mx+5-2m,命题p:x1∈[1,4],x2∈[-4,6],使f(x1)=g(x2)成立.若命题p为真,求实数m的取值范围.

解析 当x1∈[1,4]时,f(x1)的值域A=[-1,3],故x1∈[1,4],f(x1)可取遍A内的所有值.

故要x2∈[-4,6],使f(x1)=g(x2)成立,只要g(x2)也取遍区间A内的所有值,即只要当x2∈[-4,6]时,g(x2)的值域BA即可.

当m>0时,B=[-6m+5,4m+5],因为BA,所以-6m+5≤-1,4m+5≥3,解得m≥1;

当m=0时,B={5},显然BA,舍去;

当m<0时,B=[4m+5,-6m+5],因为BA,所以4m+5≤-1,-6m+5≥3,解得m≤-32.

综上,m的取值范围为m≥1或m≤-32.

点评 本题涉及两个主元(已知范围的变量),同时含有全称量词和存在量词,很多同学被题目的表面现象所迷惑无从下手,其实,从本质来看,命题“x1∈M,x2∈N,使f(x1)=g(x2)成立”可等价转化成“函数y=f(x),x∈M的值域A是函数y=g(x),x∈N的值域B的子集”,这时候问题就豁然开朗了.

这里f(x1)=g(x2)中两个主元已经分离在等号两边,可得到一个不含参数的一元函数与一个含一个参数的一元函数.类似的,命题“x1∈M,x2∈N,使f(x1)>g(x2)成立”等价于命题“[f(x)]min>g(x)min”;命题“x1∈M,x2∈N,使f(x1)>g(x2)成立”等价于命题“[f(x)]max>[g(x)]max”.其他的类似结论还有很多,同学们不妨尝试一下,定会有更多的收获.

巩 固 练 习

1. (1) 若x∈R,不等式(m+1)x2-(m-1)x+3m-3<0恒成立,求实数m的取值范围;

(2) 若m∈[-1,1],不等式(m+1)x2-(m-1)x+3m-5<0恒成立,求实数x的取值范围.

2. 已知命题p:x∈R,x2+2ax+a≤0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是 .

3. 若α∈R,使得sinα-3cosα=4m-64-m能成立,则实数m的取值范围是 .

4. 已知函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=mx+5-2m.若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使不等式f(x1)>g(x2)恒成立,则实数m的取值范围是 .

5. 若x,y∈(0,+∞),不等式x+y≤k2x+y恒成立,求实数k的取值范围.