面面垂直习题课

2024-09-19

面面垂直习题课（精选11篇）

面面垂直习题课篇1

例1如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E

作EF⊥PA于F，连接BF

∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，BE

32,EF

12sin450B

24tgBFE

BE

EF6

例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:

AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC 平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.E

如图在空间四边形ABCS中，SA平面ABC，平面SAB 平面SBC

(1)求证：ABBC ；

(2)若设二面角SBCA为45，SA＝BC，求二面角ASCB的大小

A 2aC

已知线段AB的两端点在直二面角CD的两个面内,且与、分别成30和45角，求AB和CD所成的角

如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角PCDB 为45求证：平面PEC平面PCD

G C

E B

面面垂直习题课篇2

利用向量方法判断空间位置关系, 其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理, 将可建立一种简单的程序化的解题模式.

定理1 设 $\vec{Μ A}$ 、 $\vec{Μ B}$ 不共线, $\vec{Ρ Q} = x \vec{Μ A} + y \vec{Μ B} (x ‚ y \in R)$ , 则

① P∈平面MAB⇔PQ⊂平面MAB;

② P平面MAB⇔PQ//平面MAB.

定理2 设向量 $\vec{A B}$ 、 $\vec{A C}$ 不共线, $\vec{D E}$ 、 $\vec{D F}$ 不共线, 则:平面ABC⊥平面DEF⇔存在实数λ, μ, 使 $\vec{A B} \cdot (λ \vec{D E} + μ \vec{D F}) = 0$ , 且 $\vec{A C} \cdot (λ \vec{D E} + μ \vec{D F}) = 0 .$

例1 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, O是B1D1的中点, 求证:B1C//平面ODC1.

证明:设 $\vec{C_{1} B_{1}} = a ‚ \vec{C_{1} D_{1}} = b ‚ \vec{C_{1} C} = c$ , 则

$B_{1} C = c - a ‚ \vec{C_{1} Ο} = \frac{1}{2} (a + b) ‚ \vec{Ο D_{1}} = \frac{1}{2} \vec{B_{1} D_{1}} = \frac{1}{2} (b - a) ‚ \vec{Ο D} = \vec{Ο D_{1}} + \vec{D_{1} D} = \frac{1}{2} (b - a) + c .$

若存在实数 x, y, 使 $\vec{B_{1} C} = x \vec{Ο D} + y \vec{Ο C_{1}} ‚$ 则

$\begin{array}{l} c - a = x [\frac{1}{2} (b - a) + c] + y [- \frac{1}{2} (a + b)] \\ = - \frac{1}{2} (x + y) a + \frac{1}{2} (x - y) b + x c . \end{array}$

因为 a、b、c 不共面,

所以

得 $x = 1 ‚ y = 1 ‚ \vec{B_{1} C} = \vec{Ο D} + \vec{Ο C_{1}} .$

又因为B1平面ODC1,

所以B1C//平面ODC1.

例2 在斜三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧面AA1B1B⊥底面ABC1, 侧棱AA1与底面ABC成60°角, AA1=2, △ABC是边长为2的正三角形, 其重心为G, E是线段BC1上一点, 且 $B E = \frac{1}{3} B C_{1}$ .求证:G1E//侧面AA1B1B.

证明:因为侧面AA1B1B⊥底面ABC,

所以侧棱AA1与底面ABC所成的角就是∠A1AB, ∠A1AB=60°.

由A1A=AB=2, 知△A1AB为正三角形.

取AB中点O, 则A1O⊥底面ABC, OC⊥AB.于是建立如图2的空间直角坐标系, 则 $A (0, - 1, 0), B (0, 1, 0), C (\sqrt{3}, 0, 0), A_{1} (0, 0, \sqrt{3}) .$

$\begin{array}{l} 由 \vec{C C_{1}} = \vec{B B_{1}} = \vec{A A_{1}} = \vec{A Ο} + \vec{Ο A_{1}} = (0, 1, \sqrt{3}), \\ \vec{Ο C_{1}} = \vec{Ο C} + \vec{C C_{1}} = (\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}), \vec{Ο B_{1}} = \vec{Ο B} + \vec{B B_{1}} = (0, 2, \sqrt{3}), \end{array}$

知 $C_{1} (\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}), B_{1} (0, 2, \sqrt{3}) .$

因为G为△ABC的重心, 所以 $G (\frac{\sqrt{3}}{3}, 0, 0) .$

因为 $\vec{B C_{1}} = (\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}), \vec{A B_{1}} = (0, 3, \sqrt{3}),$

$\begin{array}{l} 所以 \vec{Ο E} = \vec{Ο B} + \vec{B E} = \vec{Ο B} + \frac{1}{3} \vec{B C_{1}} \\ = (\frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \frac{\sqrt{3}}{3}), \\ \vec{G E} = \vec{G Ο} + \vec{Ο E} = (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \vec{A B_{1}} \\ = \frac{1}{3} \vec{A B_{1}} + 0 \vec{A B} \end{array}$

(或 $\vec{G E} = (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{3}) = \vec{Ο B} + \frac{1}{3} \vec{Ο A_{1}}) .$

又GE⊄平面AA1B1C,

所以GE//平面AA1B1B.

例3 (2004年湖南) 如图3, 在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, $∠ A B C = 60 °, Ρ A = A C = a, Ρ B = Ρ D = \sqrt{2} a$ , 点E在PD上, 且PE ∶ED=2∶1.

在棱PC上是否存在一点F, 使BF//平面AEC?证明你的结论.

解:设 $\vec{A Ρ} = a, \vec{A C} = b, \vec{A D} = c$ .并设 $\vec{C F} = λ \vec{C Ρ} (0 < λ < 1)$ , 则

$\begin{array}{l} \vec{B F} = \vec{B C} + \vec{C F} = \vec{A D} + λ (\vec{C A} + \vec{A Ρ}) \\ = λ a - λ b + c, \\ \vec{A E} = \vec{A D} + \vec{D E} = \vec{A D} + \frac{1}{3} (\vec{D A} + \vec{A Ρ}) \\ = \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} c . \end{array}$

令 $\vec{B F} = m \vec{A C} + n \vec{A E},$

即 $λ a - λ b + c = \frac{1}{3} n a + m b + \frac{2}{3} n c,$

则由 a、b、c不共面, 得

${\begin{cases} λ = \frac{1}{3} n ‚ \\ - λ = m ‚ \\ 1 = \frac{2}{3} n . \end{cases}$

解得 $λ = \frac{1}{2} ‚ m = - \frac{1}{2} ‚ n = \frac{3}{2} .$

所以 $\vec{C F} = \frac{1}{2} \vec{C Ρ} ‚$ 且 $\vec{B F} = - \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{3}{2} \vec{A E} .$

又因为B平面AEC,

所以当F为PC中点时, BF//平面AEC.

例4 在四棱锥P—ABCD中, PD⊥平面ABCD, PA与平面ABCD所成的角为60°, 在四边形ABCD中, ∠ADC=∠DAB=90°, AB=4, CD=1, AD=2.若PB的中点为M, 求证:平面AMC⊥平面PBC.

证明:建立如图4所示的坐标系, 易得A (2, 0, 0) , C (0, 1, 0) , B (2, 4, 0) .

由PD⊥面ABCD, 得∠PAD为PA与面ABCD所成的角, 从而, 在Rt△PAD中,

$∠ Ρ A D = 60 °, Ρ D = A D \tan 60 ° = 2 \sqrt{3},$

得 $Ρ (0, 0, 2 \sqrt{3}), Μ (1, 2, \sqrt{3}) .$

所以 $\vec{C A} = (2, - 1, 0), \vec{C Μ} = (1, 1, \sqrt{3}), \vec{C Ρ} = (0, - 1, 2 \sqrt{3}), \vec{C B} = (2, 3, 0) .$

设 $p = λ \vec{C A} + μ \vec{C Μ} = (2 λ + μ, - λ + μ, \sqrt{3} μ) (λ, μ \in R)$ , 令

${\begin{cases} p \cdot \vec{C Ρ} = (λ - μ) + 6 μ = 0 ‚ \\ p \cdot \vec{C B} = (4 λ + 2 μ) + (- 3 λ + 3 μ) = 0 ‚ \end{cases}$

得λ+5μ=0.

取λ=5, μ=-1, 得

$\begin{array}{l} (5 \vec{C A} - \vec{C Μ}) \cdot \vec{C Ρ} = 0 ‚ \\ (5 \vec{C A} - \vec{C Μ}) \cdot \vec{C B} = 0 . \end{array}$

所以平面AMC⊥平面PBC.

例5 如图5, 四边形ABCD是边长为2的正方形, PA⊥平面ABCD, DE//PA, PA=2DE=AB, 求证:平面PEC⊥平面PAC.

证明:由DE//PA, PA⊥平面ABCD, 得DE⊥平面ABCD, 于是建立如图的直角坐标系.易知,

$\vec{A Ρ} = (0 ‚ 0 ‚ 2) ‚ \vec{A C} = (2 ‚ - 2 ‚ 0) ‚ \vec{E Ρ} = (0 ‚ 2 ‚ 1) ‚ \vec{Ρ C} = (2 ‚ - 2 ‚ - 2)$ .令

${\begin{cases} (λ \vec{A Ρ} + μ \vec{A C}) \cdot \vec{E Ρ} = 0 ‚ \\ (λ \vec{A Ρ} + μ \vec{A C}) \cdot \vec{Ρ C} = 0 ‚ \end{cases}$

得2μ-λ=0.

取λ=2, μ=1, 得

$\begin{array}{l} (2 \vec{A Ρ} + \vec{A C}) \cdot \vec{E Ρ} = 0 ‚ \\ (2 \vec{A Ρ} + \vec{A C}) \cdot \vec{Ρ C} = 0 ‚ \end{array}$

所以平面PEC⊥平面PAC.

面面垂直习题课篇3

【例１】如图,四面体ABCD中,M、E、F分别为△BAC,△ACD及△ADB的重心．

求证：(1) 平面MEF∥平面BCD；

(2) 求S△MEF∶S△DBC．

分析本题考查面面平行的判定以及面面平行的性质。

(1) 根据重心的性质易知应该连接AM,AE,AF,再根据相似比可知△MEF的三边分别与△DBC的三边平行,进而可得结论；

(2) 因为两个三角形所在的平面互相平行,因此,求两三角形面积之比,实质求这两个三角形对应边之比。

解 (1) 连接AM,AE及AF,分别延长使之交BC、CD、BD于G、H、P三点,由E、F、M分别为三角形的重心,

所以AMAG=AEAH=AFAP=23,所以连接GH、HP、PG，后有ME∥GH,EF∥PH,

可证ME∥平面BCD,EF∥平面BCD,

故平面EFM∥平面BCD．

(2) 由(1)知AMAG=AEAH=23,

即ME=23GH=13BD，

同理可证MF=13CD,EF=13BC,

所以△MEF∽△DBC,其相似比为1∶3,

所以S△MEF∶S△DBC=1∶9．

点拨由于M、E、F分别是三个三角形的重心,从而联想到重心将三角形的三条中线三等分,

由于平行线分线段成比例,由此联想到直线ME∥GH,ME=23GH,进一步可以证明直线ME与平面BCD平行,从而使命题得证。

题型二面面垂直问题

【例2】 (2011年江苏卷第16题)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.

求证：(1) 直线EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF⊥平面PAD．

分析本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,

考察空间想象能力和推理论证能力。要证线面平行可在所

求平面内找一条与已知直线平行的直线。要证面面垂直可在其中一个平面内找一条另一平面的垂线。

证明 (1) 在△PAD中,因为E、F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD．

又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF∥平面PCD．

(2) 连接DB,因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形,因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD．

点拨由于E、F分别是AP、AD的中点,从而可以证明EF∥PD,由此可以证明EF与平面PCD平行。由平面PAD⊥平面ABCD可以得到直线BF⊥平面PAD,进一步可以证明两个平面垂直。

题型三面面平行与面面垂直的综合问题

【例3】如右图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E．

(1) 求证：ABBC=DEEF；

(2) 设AF交β于M,AC∥＼DF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当h′h的值是多少时,△BEM的面积最大？

分析本题主要考查面面平行所涉及的综合求解问题,这类问题不仅在平行时存在,同时在垂直时也存在,对同学们综合知识的能力要求比较高。

证明(1) 连接BM、EM、BE.

∵β∥γ,平面ACF分别交β、γ于BM、CF,

∴BM∥CF.∴ABBC=AMMF,

同理,AMMF=DEEF.∴ABBC=DEEF．

(2) 由(1)知BM∥CF,

∴BMCF=ABAC=h′h.同理MEAD=h-h′h.

∴S△BEM=12CF•ADh′h1－h′hsin∠BME.

据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量,令h′∶h=x.只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当x=12,即h′h=12时,y=-x2+x有最大值.∴当h′h=12,即β在α、γ两平面的中间时,S△BEM最大．

点拨要证明线段之比相等,一般可以转化为平行线问题,而求解面积的最值问题,一般可将面积表示为某一变量的函数,利用函数知识求解最值问题。

牛刀小试

1. 如图,在三棱锥PABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,

D、E分别是BC、AC的中点,F为PC上的一点,且PF∶FC=3∶1．

(1) 求证：PA⊥BC；

(2) 试在PC上确定一点G,使平面ABG∥平面DEF；

(3) 求三棱锥PABC的体积．

2. 如图,在三棱锥VABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ0<θ<π2．

(1) 求证：平面VAB⊥平面VCD；

(2) 试确定角θ的值,使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．

满盈者，不损何为？慎之！慎之！——朱舜水

【参考答案】

1. (1) 在△PAC中,∵PA=3,AC=4,PC=5,

∴PA2+AC2=PC2,

∴PA⊥AC，又AB=4,PB=5,PA=3,

∴在△PAB中,同理可得PA⊥AB，

∵AC∩AB=A,∴PA⊥平面ABC，

∵BC平面ABC,

∴PA⊥BC.

(2) 如图所示，取PC的中点G,连接AG,BG,

∵PF∶FC=3∶1,∴F为GC的中点.

又D、E分别为BC、AC的中点,

∴AG∥EF,BG∥FD,

又AG∩GB=G,EF∩FD=F,

∴面ABG∥面DEF,

即PC上的中点G为所求的点.

(3) VPABC=5394．

2. (1) ∵AC=BC=a,∴△ACB是等腰三角形,又D是AB的中点,∴CD⊥AB,

又VC⊥底面ABC.∴VC⊥AB.

于是AB⊥平面VCD.

又AB平面VAB,∴平面VAB⊥平面VCD．

(2) 过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H,则由(1)知CH⊥平面VAB.

连接BH,于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.依题意∠CBH=π6,所以在Rt△CHD中,CH=22asinθ；

在Rt△BHC中,CH=asinπ6=a2,∴sinθ=22.

∵0<θ<π2,∴θ=π4．

故当θ=π4时,直线BC与平面VAB所成的角为π6．

面面垂直性质定理篇4

【学习目标】

1．掌握平面与平面垂直的性质定理；平面与平面垂直的性质编辑：

2.能运用平面垂直的性质定理解决一些简单问题；

3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

【学习重点】掌握平面与平面垂直的性质定理并能运用解决一些简单问题

【数学思想】转化的思想

【知识回顾】

1.两个平面互相垂直的定义：

2.两个平面互相垂直的判定定理：符号表示：

【新知导航】

线面平行面面平行线面垂直面面垂直（面面垂直判定定理）

面面垂直线面垂直？

【探究1】黑板所在平面与地面垂直，你能否在黑板上画几条与地面垂直的直线？你为什么这么画？你能归纳总结出这些直线有什么共同点吗？

【探究2】下图正方体中，平面ADD1A1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，平面ADD1A1内的直线A1A与平面ABCD垂直吗？

A1B

1探究结论：（）

【新知学习】两个平面互相垂直的性质定理

定理的证明：（由文字语言转化为符号语言证明）已知：求证：证明：

【探究3】过平面外一点作已知平面的垂线，你能做出几条来？

探究结论（）【尝试练习1】如图，已知平面,,，直线a满足a,a，试判断直线a与平面的位置关系.【尝试练习2】如图，已知平面平面，平面平面，a，求证：

a.【课堂小结】

1、请归纳一下本节课你学习了什么性质定理，其内容各是什么？

2、类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？

【达标检测】

1、下列命题中，正确的是（）

A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直

D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.2、已知直线l,m，平面,，且l,m，给出下列命题：（1）//lm（2）lm//（3）l//m（4）l//m其中正确的命题是

BCAB

3、在三棱锥P—ABC中，平面PAB平面PBC，求证：PA面ABC，4、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN面A1DC，求证：（1）MN//AD1

面面垂直习题课篇5

一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，1．如图1，在正方体ABCDAAC交BD于点O，求证：AO1BC11D1中，1平面MBD．

证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．

1323a，MO2a2． 2492222AMa．∵AO

在Rt△AC中，∴MMO2AM1111142设正方体棱长为a，则A1OA1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．

又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面性质性质

推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，BBC，CAE．

∴SABC．∵A∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴B∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． ∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC． ∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10．如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析: ①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: ①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A ∴SC平面ANM ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

求证：平面MND⊥平面PCD 【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

12CD ［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—42 求证：平面MNF⊥平面ENF．

【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145 ∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—45（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF 又AE

12CD12CD，∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC=PDCD8423，2226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=23

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，1BD＝2a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′．设MN交AE于P，a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

1又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，3∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

1∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa224＝×．

面面垂直的判定定理-最全面总结篇6

知识点1：二面角及其平面角

1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.2）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为、的二面角记为 -l- ．

3）二面角的平面角的定义

1定义：在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面  和 内，从点 O 分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．则 ∠AOB 叫做二面角 -l- 的平面角.2二面角的大小

二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 二面角的两个面重合： 0°；

② 二面角的两个面合成一个平面：180°；

③平面角是直角的二面角叫直二面角．

二面角的范围：[ 0°, 180°]．

知识点2：两个平面垂直的判定定理

1）两个平面垂直的定义：两个平面互相垂直两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作⊥.2）两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.知识点3：二面角的平面角的做法

第1页

知识点4：面面垂直的性质定理

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（面面垂直，则线面垂直）考点1：面面垂直的判定定理的应用

例1.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面

PBC.考点2：求二面角的大小

例2.在正方体ABCDA1BCD中，找出下列二面角的平面角： 11

1（1）二面角D1ABD和A1ABD；

（2）二面角C1BDC和C1BDA.考点3：线线、线面、面面垂直的相互转化

例3.在正方体ABCDA1BCD中，已知P,Q,R,S分别为棱AD,AB,AB,BB1的中点，求证平面PQS⊥平111111

1面B1RC

.3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB 第2页

于点F，求证：

（1）AE⊥平面PBC；（2）平面PAC⊥平面PBC；（3）PB⊥EF

同步练习：

1.如图，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．

求证：AESB，AGSD．

2.如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EF//

CD，AMEF．求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线．

3.如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD平面ABC；

(2)若ABBC，求证：BD面SAC．

第3页

4.如图所示，平面平面，l，在l上取线段AB4，AC，BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，AC3，BD12，求CD长．

5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面

EFD.16.（2012全国）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AA1，D是棱AA1的中点

2（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

（3）求二面角A1BDC1的大小。

A11

第4页 D

7.（2009全国）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1

（1）证明：AB=AC

（2）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

8.（2010全国）如图,四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，DA E

BA1 C1 AB=BC=2，CD=SD=1

（1）证明：SD平面SAB

（2）求AB与平面SBC所成角的大小．

垂直与平行评课稿篇7

一、找准知识起点，充分发挥学生的想象能力

直线的基本特征和角的认识是《垂直与平行》这节课的已有知识经验。黄老师正是牢牢抓住了这个起点，展开精彩的课堂。从一开始充分想象无限大的平面——通过再次想象看似不相交实际相交的两条直线——两条平行线永不相交现象的想象。只有帮助学生找准了基准点，才能使孩子带着相应的参照物去想象。

不过这里有一个小小的想法，即在让学生用卡纸动手折而找平行的时候，还可以让学生继续通过想象，如果对折，再对折……经过无数次的对折，想象那时还会平行吗？平行线会怎样？可以让学生再次的想象，而上升到理性思维。

二、以学生为主体，关注学生的情感体验，让孩子们始终处于积极的学习态度中。整节课，始终以学生的亲手作品为学习素材，使孩子们在学习中增加了亲切感，提高了主动探究的意识。学生的作品，学生自己来探究、分类、解决，挖掘隐藏着的新知识。

一节课的成功与否，需要得到学生的友好配合。黄老师的课堂更加关注了这点信息，面对有些孩子冲动的回答而得到老师、同学的否定时，马上请上更加有说服力的学生来解释而得到大家都满意的答案时，此时的皮老师是多么的细心谨慎，她不忘那个刚刚以失落的情绪而坐下的那个孩子，很关心地问了一句“你现在明白、理解了吗？”直至那个孩子微笑着向老师点头表示肯定时才开始下一个教学环节。一句轻声的问候，从此拉近了师生间的距离，使那些孩子重新以积极的态度和大家一起来学习探究新知识。我想，在关注知识目标的同时，更应该注重学生的情感态度，有了积极的态度，学习才能有激情，智慧的火花才能会不断的被绽放。

三、善于捕捉生活中的已有信息。

垂直与平行现象在生活中应用比较广泛，所以在教学中皮老师充分唤起学生的生活经验，让学生通过动手折去寻找信息，用心观察生活中的现有信息等学习活动参与其中。哪怕是最后一分钟的揭题，从字里行间也流露出垂直与平行现象，让学生的求知欲望再次上升到高潮，正节课的学习，环环紧扣，始终使学生处于高涨的学习状态中。

sql习题课篇8

（1）学生表student由学号（sno），姓名（sname），性别（ssex），年龄（sage），所在系

（sdept）5个属性组成，记做student（sno，sname，ssex，sage，sdept），其中主码为sno，学生的年龄在15到45岁之间，性别默认值为“男”。

（2）课程表course由课程号（cno），课程名（cname），先修课程（cpno），学分（ccredit）

4个属性组成，记做course（cno，cname，cpno，ccredit），其中主码为cno。

（3）学生选课sc由学号（sno），课程号（cno），成绩（grade）3个属性组成，记做sc（sno，cno，grade），其中主码为（sno，cno）。成绩在0到100之间，默认为空值。

请用SQL语言实现下列操作：

（1）建立上述3张表。

（2）查询以“MIS”开头，且倒数第二个汉字为“系”字的课程的详细情况。

（3）查询选修了课程的学生人数。

（4）查询性别为男，课程成绩及格的学生信息及课程号、成绩。

（5）查询与“钱恒”在同一个系学习的学生。

（6）查询选修了课程名为“信息系统工程”的学生学号、姓名和所在系。

（7）查询其他系中比CS系所有学生年龄均大的学生名单，并排序输出。

（8）查询所有未修1号课程的学生姓名。

（9）查询选修了“数据结构”课程的学生的学号、姓名。

（10）查询选修了课程1或者选修了课程2的学生。

（11）查询计算机科学系的学生与年龄不大于19岁的学生的交集。

（12）查询选修课程1的学生集合与选修课程2的学生集合的差集。

（13）查询平均成绩大于85分的学号、姓名、平均成绩。

（14）查询各不同平均成绩所对应的学生人数（给出平均成绩与其对应的人数）。

摄影测量习题课篇9

2.航摄像片的内方位元素有（5）个，它的作用是（6）。

3.相交直线的中心投影一般是（7），4.（9）叫主核面,在一般情况下,左、右主核面（10）重合的。

5.摄影测量的三个主要阶段？各有什么特点？

6.简述航空摄影测量过程？

7.航空摄影与航空摄影测量区别？

8.什么是合点？怎样确定空间直线的合点？

9.什么是中心投影的三点共线？什么是中心投影？

10.什么叫立体像对的相对方位元素？它有哪几种确定两像片相对位置的方法？

11.像空间坐标系和像空间辅助坐标系有什么关系？

12.主核面有几个？垂核面有几个？

13.双像解析摄影测量的三种解法？

14.什么叫单像空间后方交会？对参加单像空间后方交会的点有什么要求？

15.什么叫空间前方交会？请写出空间前方交会公式推导过程。

16.计算地面点坐标、模型点坐标的主要步骤有哪些？

16、什么叫单像空间后方交会？计算时需要哪些起始数据？解算哪些未知数？

17、什么叫双像空间前方交会？画出双像空间前方交会的计算流程图。

18、写出双像前方交会的计算公式，说明式中各符号的含义。

19、什么是解析相对定向？解算时需要地面控制点吗，为什么？

20、写出绝对定向的数学模型，并说明绝对定向计算时需要哪些起始数据，解算哪些未知数？起始数据又如何得到？解算时至少需要几个地面控制点？

21、双像解析摄影测量有哪三种方法？写出其中一种方法的步骤及所用到的数学公式。（公式不用线性化）

22、像对立体观察的条件是什么？最难解决的是哪一个？一般用什么方法解决？

23、恢复立体像对的相对方位能建立起几何模型吗？这个模型有什么样的特点？

24.什么叫绝对定向元素？有哪几个？哪个决定了模型的大小？

25.什么是像片重叠？为什么要求相邻像片之间以及航线之间的像片对要有重叠？

26．摄影测量中为什么常把像空间坐标系变为像空间辅助坐标系？

27为什么外方位角元素有三种不同的选择？

28.立体像对双像前方交会的目的是什么？

29双像解析摄影测量有哪三种解析方法？各有什么特点？

30.量测型摄影机和非量测型摄影机的主要区别？

31.已知像片重叠度为60%，旁向重叠度为30%，求像幅18x18cm2和23x23cm2的航片，其航向重叠和旁向重叠长度为多少？

32.单张像片能确定点的空间位置吗？试着从共线条件方程角度来解释。

33．什么叫重心坐标？什么叫重心化坐标？绝对定向计算采用重心化坐标有什么优点？

34.假设某一航摄像片相对于所取像空间辅助坐标系S-uvw的外方位角元素值=5°，=3°，=0°，试计算两坐标系间旋转矩阵中的九个元素

数学习题课教学反思篇10

一、精选习题。课前针对某一知识点广泛收集某类习题，在这些习题中精选具有代表性的习题，明确习题所考察的知识点、方法、能力、技巧和数学思想等，将精选习题由易到难编排成学案，注意不能贪多一节课三至五道大题。

二、学生完成学案。先给学生大约15分钟的时间独立完成学案，写出解题过程。然后在独立思考的基础上与组内学生交流解题过程和方法，不会的学伴互助，同时找出共同存在的问题，等待与全班同学交流。

三、解决问题。在上面交流过程中，各小组出现的问题和好的解题方法技巧以及多种解法，教师收集到一起，由各小组派代表展示全班学生共同分享，出现的问题集思广益解决问题，此时提升学生解决问题的能力，并将知识深化拓广，拓宽学生思维。

报关单填制习题课篇11

1资料一：青岛富士家俱有限公司（海关注册编号 3702230523）凭手册 C42185100156进口红橡木皮和樱桃木皮。(分列手册4、2项)运输工具于05年9月5日申报进境，并且委托青岛大华物流有限公司（海关注册编号 3702980196）于次日持入境货物通关（编号 ***）和濒危物种允许进口证明书（编号

2005CN/IC/1004/PH）向青岛大港海关(4227)报关。

运保费：1800美元

法定计量单位：千克

资料二：

Expeditors International Ocean

BILL OF LADING

资料三：INV0ICE

资料4：

PACKING LIST

中华人民共和国海关进口货物报关单

预录入编号：海关编号：

下略