圆的基本性质证明题（共2篇）
圆的基本性质证明题 篇1
圆的基本性质证明与计算
命题点1 垂径定理
例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）
A．AE>BE
B.＝
C．∠D＝∠AEC
D．△ADE∽△CBE
命题点2 圆周角定理
例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．
重难点1 垂径定理及其应用
例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；
图1
图2
图3
图4
探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；
(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．
【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）
A．4
B．2
C.D．2
【变式训练2】 【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10
cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16
cm，CD＝12
cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________
1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．
2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．
3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．
重难点2 圆周角定理及其推论
例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．
图1
图2
图3
【变式训练3】 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（）
A．58°
B．60°
C．64°
D．68°
【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为（）
A．15°
B．28°
C．29°
D．34°
1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．
2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．
3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．
在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．
注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．
重难点3 圆内接四边形
例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）
A．50°
B．60°
C．80°
D．90°
【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．
【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
【变式训练6】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________
1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．
2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ
能力提升
1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么（）
A．AB＝AC
B．AB＝2AC
C．AB＜2AC
D．AB＞2AC
2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为（）
A．2
B．2
C．4
D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为（）
A．7
B．6
C．5
D．4
4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（）
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）
A．15°
B．35°
C．25°
D．45°
6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为（）
A．30°
B．43°
C．47°
D．53°
7．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2
cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为（）
A．5
B．4
C．3
D．2
提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．
10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________．
11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60
cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30
cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm.12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；
(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；
(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．
参考答案
命题点1 垂径定理
例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）
A．AE>BE
B.＝
C．∠D＝∠AEC
D．△ADE∽△CBE
【答案】：D
命题点2 圆周角定理
例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．
【答案】：27°
重难点1 垂径定理及其应用
例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；
图1
图2
图3
图4
探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；
(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．
【答案】：（1）8,（2）
【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）
A．4
B．2
C.D．2
【答案】：D
【变式训练2】 【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10
cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16
cm，CD＝12
cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________
【答案】：2cm或14cm
1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．
2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．
3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．
重难点2 圆周角定理及其推论
例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．
图1
图2
图3
【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.【点拨】 连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．
【解析】 解：(1)连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．
∴BC＝OB＝4.(2)①连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.【变式训练3】 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（）
A．58°
B．60°
C．64°
D．68°
【答案】：A
【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为（）
A．15°
B．28°
C．29°
D．34°
【答案】C
1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．
2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．
3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．
在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．
注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．
重难点3 圆内接四边形
例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）
A．50°
B．60°
C．80°
D．90°
【答案】C
【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．
【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
【答案】B
【变式训练6】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________
【答案】n°
1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．
2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ
能力提升
1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么（）
A．AB＝AC
B．AB＝2AC
C．AB＜2AC
D．AB＞2AC
【答案】C
2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为（）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】D
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E
⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为（）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】C
4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（）
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
【答案】D
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）
A．15°
B．35°
C．25°
D．45°
【答案】A
6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为（）
A．30°
B．43°
C．47°
D．53°
【答案】C
8．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2
cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.【答案】10cm
8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴＝.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)连接CD.∵＝，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．
∴∠BDC＝90°.∴BC＝＝4.∴△ABC外接圆的半径为2.9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为（）
A．5
B．4
C．3
D．2
提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．
【答案】D
10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________．
【答案】
11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60
cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30
cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm.【答案】,12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；
(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；
(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．
【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2.在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝∠COH＝30°.(2)证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个．
因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个．
分式及其基本性质检测题 篇2
1. 在式子，，，，x2，中，分式的个数为（）.
A． 2B． 3
C． 4D． 5
2. 要使分式有意义，则下列说法正确的是（）.
A. x ≠ 0或y ≠ 0 B. x ≠ 0且y ≠ 0
C. x = 0或y = 0 D. x = 0且y = 0
3. 下列分式中一定有意义的是（）.
A． B．
C． D．
4. 下列各分式变形中一定正确的是（）.
A．= B．-=
C．= D．-=
5. 等式 = 从左边到右边的变形成立的条件是（）.
A. x ＞ 0B. x ＜ 0
C. x ≠ 3D. x ≠ 0
6. 将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，结果是（）.
A. B.
C. D.
7. 分式，-，，- 中，与分式相等的有（）.
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
8. 4个分式，，，中，最简分式有（）.
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
9. 下面4个约分中正确的个数有（）.
（1） = ；（2）= ；（3） = ；（4） = .
A. 0B. 1
C. 2D. 3
10. 分式与的最简公分母是（）.
A. 24a3b7B. 24a2b4c
C. 12a2b4cD. 12a3b7
11. 分式，，的最简公分母为（）.
A. （a2 - b2）（a + b）（a - b） B. （a2 - b2）（a + b）
C. （a2 - b2）（b - a）D. a2 - b2
二、填空题
12. 写出一个含有字母x的分式（不论x取任何实数，该分式都有意义，且分式的值为负）： .
13. 若使分式无意义，则x =.
14. 若分式 - 有意义，则x应满足的条件是 .
15. 已知分式的值为0，那么x += .
16. 若分式的值为整数，则整数x的值为 .
17. （1）分式的最大值是 .
（2）若 = ，那么 =.
18. 若等式 = 成立，则x的取值范围是 .
19. 把化成最简分式为 .
20. 分式，，的最简公分母为 .
三、解答题
21. （1）当x取何值时，分式的值为负数？
（2）当x取何值时，分式的值为非负数？
22. 若 ≤ 0，试化简｜a - 2｜ - ｜a + 3｜.
23. 已知分式的值为零，试求关于x的函数y = （a + 1）x +
（1 - a）的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积.
24. 已知x + y = 12， xy = 9，求的值.
25. 已知 == （z ≠ 0），求的值.
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