全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第30讲生活中的数学(二)——地板砖上的数学

2024-07-23

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第30讲生活中的数学(二)——地板砖上的数学（精选3篇）

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第30讲生活中的数学(二)——地板砖上的数学篇1

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集

第三十讲生活中的数学(二)——地板砖上的数学

随着人们生活水平的提高，很多家庭都装修房子，其中铺地板砖就是一项重要的美化工作．当你看到地板砖展铺成美丽的图案时，你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢？如果你注意到的话，可能会对下面的简单分析发生兴趣．

地板砖展铺的图形，一般都是用几种全等的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化．但是作为基础还是用平面多边形展铺平面．有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的．例如，一个由正方形展铺的平面图案(图1－77(a))，如果对正方形用圆弧做一些变化(图1－77(b))，那么把以上两个图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了(图1－77(c))．

由于多边形是构成地板砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析．

例1 怎样以三角形为基础展铺平面图案．

分析与解三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点．由于三角形的三个内角和为180°，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角．如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角．因此，若把图1－78中的三角形的三个内角集中在一起，并进行轴对称变换或中心对称变换，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面．变换的方法见图1－79．

在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折．如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称变换，正、反两面就会明显地反映出来了．

由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图1－80．

例2 怎样以四边形为基础展铺平面图案？

分析与解由于四边形内角和为360°，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案．图1－81中的(a)，(b)，(C)，(d)分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案．

例3 怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？

分析与解用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个角的和应是360°．例如，正五边形一个内角为

正十边形一个内角为

如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，则其和为2×108°+144°=360°．但是它们并不能用来展铺平面．

如果用同种的正n边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了m个正n边形的角．由于这些角的和应为360°，所以以下等式成立

因为m，n都是正整数，并且m＞2，n＞2．所以m-2，n-2也都必定是正整数．所以当n-2=1，m-2=4时，则n=3，m=6；当n-2=2，m-2=2时，则n=4，m=4；当n-2=4，m-2=1时，则n=6，m=3．这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：

(1)由6个正三角形拼展，我们用符号(3，3，3，3，3，3)来表示(见图1－82)．

(2)由4个正方形拼展，我们用符号(4，4，4，4)来表示

(见图1－83)．

(3)由3个正六边形来拼展，我们用符号(6，6，6)来表示

(见图1－84)．

如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：(3，3，3，4，4)，(3，3，3，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)．这五种情况中，(3，3，3，4，4)又可有两种不同的拼展方法，参看下面六种拼展图形(图1－85)．

用三种正多边形展拼平面图形就比较难设计了．下面举出两例供同学们思考(图1－86)．

有兴趣的同学请自己构想出一两个例子．

练习二十三

1．试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案．

2．试用形如图1－87的图形拼展平面图案．

3．试用边长为1的正三角形、边长为1的正方形和两腰为

1、夹角为120°的等腰三角形拼展平面图案．

4．试用圆弧和多边形(多边形可以用圆弧割补)设计一种平面图案．

5．试用一个正方形，仿照图1－76(a)，(b)，(c)的变化方式，设计一种平面图案．

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第十二讲平行线问题

平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．

正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．

正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．

现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．

在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．

例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°

．

分析由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=

过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．

证过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以

∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．

因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以

又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以

∠3+∠4=∠CAE+∠CBF

说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”

由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．

例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．

分析本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即

∠A1+∠A2=∠B1． ①

猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．

证过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)．

因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而

∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，所以

∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．

说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有

∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．

(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．

进一步可以推广为

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋„-∠Bn-1+∠An=0．

这时，连结A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，„，Bn-1An(当然，仍要保持 AA1∥BAn)．

推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．

(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．

问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？

问题2 如图1－25所示．若

∠A1+∠A2+„+∠An=∠B1+∠B2+„+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？

这两个问题请同学加以思考．

例3 如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．

分析利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．

解过F到 FG∥CB，交 AB于G，则

∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．

因为 AE∥BD，所以

∠1=∠BFA(内错角相等)，所以

∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．

说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．

(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即

∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．

例4 求证：三角形内角之和等于180°．

分析平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．

证如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则

∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．

显然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

说明事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．

例5 求证：四边形内角和等于360°．

分析应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．

证如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．

∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．

由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D=360°．

说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．

(2)总结例

3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：

三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．

人们不禁会猜想：

五边形内角和=(5-2)×180°=540°，„„„„„„„„„„ n边形内角和=(n-2)×180°．

这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．

(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．

例6 如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．

分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．

证过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以

∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．

又∠1+∠2=180°，所以

∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．

A，B，C三点共线．

思考若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，„，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，„，n-1)．是否还有同样的结论？

例7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．

求证：∠3=∠B．

分析如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．

证因为∠1=∠2，所以

AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．

因为∠D=90°及EF⊥CD，所以

AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．

所以 BC∥EF(平行公理)，所以

∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．

练习十二

1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．

2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．

3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？

4．证明：五边形内角和等于540°．

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第十讲整式的乘法与除法

中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．

整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．

正整数指数幂的运算法则：

(1)aM· an=aM+n；(2)(ab)n=anbn；

(3)(aM)n=aMn；(4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)；

常用的乘法公式：

(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；

(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；

(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．

例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数．

解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有

(1-x)3=1-3x+3x2-x3，所以x2项的系数为3．

说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．

(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．

解原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)

=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)

=13x-7=9-7=2．

说明注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．

例3 化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．

解原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-

1+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n

=1+(-x)n．

说明本例可推广为一个一般的形式：

(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn．

例4 计算

(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；

(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．

分析与解(1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．

原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2

=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．

(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但

x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2

与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．

原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3

=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．

例5 设x，y，z为实数，且

(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2

=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，解先将已知条件化简：

左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．

所以已知条件变形为

2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，即

(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．

因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以

说明本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．

我们把形如

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．

多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．

例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．

解法1 用普通的竖式除法

解法2 用待定系数法．

由于f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首

r(x)= bx+ c．

根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得

x3-3x2-x-1

比较两端系数，得

例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．

解由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设

f(x)=x4+ax2-bx+2，假如f(x)能被x2+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即

1+a+b+2=0，①