初三二次函数综合题（通用8篇）
初三二次函数综合题 篇1
1、24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2(1xc经过A(2,0)，B(1,n)，C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC的长；
（3）求OAB的度数．
2、23．已知抛物线yx2bx1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点.直线ykxm
经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）。
（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；
（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，当．．
x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值3、24．已知：二次函数y=ax2-x+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=，且图象向右平移一个单位后
21经过坐标原点O.（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC的外接圆圆心D的坐标及⊙D的半径；
（3）设⊙D的面积为S,在抛物线上是否存在点M，使得S△ACM=
求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.125S，若存在，4、25．已知抛物线经过点 A(0, 4)、B(1, 4)、C(3, 2)，与x轴正半轴交于点D.（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E, 使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC, 与BE、CE分别交于
点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△EFG.设P（x, 0）, △EFG与四边形FGCB
重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.5、24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标 为（0，3）．
（1）求抛物线及直线AC的解析式；
（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO＝∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛
物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点 Q的横坐标x的取值范围）．
x6、24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y
4x6与x轴、y轴的交点分
别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出QAQ的取值范围.7.24．（本小题满分7分）
如图，抛物线yax
OBOC3OA．
bx3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且
（I）求抛物线的解析式；
（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
（III）直线y
3x1交y轴于D点，E为抛物线
顶点．若DBC，CBE,求的值．
8.24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线ykx1交抛物线于点C2,3．（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）若直线ykx1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线ykx1顺时针 旋转90得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求APE的面积；
（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9.25.在平面直角坐标系中，抛物线yaxbxc的对称轴为x=2,且经过B（0，4），C（5，9），直线BC与x轴交于点A.（1）求出直线BC及抛物线的解析式.（2）D（1，y）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M、N，且MN=2，点M
在点N的上方，使得四边形BDNM的周长最小，若存在，求出M、N两点的坐标，若不存在，请说明理由.（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直
线BC距离为P．
10.25．如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，点B的坐标是(3,1)，点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处．（1）若点P在一次函数y2x1的图象上，求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线yax2图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．
yA
D
P
x
O
C
O
C
x
B
yA
B
yA
B
x
O
C
（第25题图）（第25题备用图1）（第25题备用图2）
11.24.（本小题7分）抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不
存在，请说明理由.12.24.已知抛物线yx2bxc经过点A(0,5)和B(3,2)点.(1)求抛物线的解析式;(2)现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问当P在运动过程中，是否存在P
与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若Q的半径为r，点Q在抛物线上，当Q与两坐标轴都相切时，求半径r的值.
初三二次函数综合题 篇2
一、阅读理解型
参考以上定理和结论, 解答下列问题:
设二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图象与x轴的两个交点A (x1, 0) , B (x2, 0) , 抛物线的顶点为C, 显然△ABC为等腰三角形.
(1) 当△ABC为等腰直角三角形时, 求b2-4ac的值;
(2) 当△ABC为等边三角形时, b2-4ac求的值。
解: (1) 当△ABC为等腰直角三角形时, 过C作CD⊥AB于D, 则AB=2CD.
点评:本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质, 抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理, 综合性较强.
二、知识交汇型
例2 (2012山东省潍坊市中考) 如图, 已知抛物线与坐标轴分别交于A (-2, 0) 、B (2, 0) 、C (0, -1) 三点, 过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D) (0, -2) 作平行于x轴的直线l1、l2.
(1) 求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2) 求证以ON为直径的圆与直线l1相切;
(3) 求线段MN的长 (用k表示) , 并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长。
解: (1) 设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)
(2) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) 因为点M、N在抛物线上,
如图, 设ON的中点为E, 分别过点N、E向直线l1作垂线, 垂足分别为P、F,
所以以ON为直径的圆与直线l1相切。
(3) 过点M作MH⊥NP交NP于点H, 则MN2=MH2+NH2= (x2-x1) 2+ (y2-y1) 2
又y1=kx1, y2=kx2, 所以 (y2-y1) 2=k2 (x2-x1) 2, 所以MN2= (1+k2) (kx-x1) 2;
所以MN2=16 (1+k2) 2, 所以MN=4 (1+k2)
延长NP交l2于点Q, 过点M作MS⊥交l2于点S,
即MN两点到l2距离之和等于线段MN的长。
点评:本题考察了二次函数的知识、直线与圆的位置关系、勾股定理、一元二次方程等知识, 综合性较强。
三、新定义型
例3 (2012四川宜宾中考) 给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点, 且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行, 就称直线与抛物线相切, 这条直线是这条抛物线的切线。有下列命题:
其中正确命题的是 ()
A. (1) (2) (4) B. (1) (3) C. (2) (3) D. (1) (3) (4)
分析:根据二次函数的性质与根的判别式对各小题进行逐一分析即可。
故选B。
点评:本题考查的是二次函数的性质及根的判别式, 熟知二次函数的性质是解答此题的关键。
四、存在探索型
例4 (2012浙江省温州市中考) 如图, 经过原点的抛物线y=-x2+2mx (m>0) 与x轴的另一个交点为A。过点P (1, m) 作直线PM⊥x轴于点M, 交抛物线于点B。记点B关于抛物线对称轴的对称点为C (B、C不重合) 。连结CB, CP。
(1) 当m=3时, 求点A的坐标及BC的长;
(2) 当m>1时, 连结CA, 问为何值时CA⊥CP?
(3) 过点P作PE⊥PC且PE=PC, 问是否存在m, 使得点E落在坐标轴上?若存在, 求出所有满足要求的m的值, 并定出相对应的点E坐标;若不存在, 请说明理由。
分析: (1) 当m=3时, 易得y=-x2+6x;分别令y=0, x=1易得A、B的坐标。由B, C关于对称轴对称, 易得BC=4。 (2) 构造相似三角形, 可算出m值。 (3) 分情况讨论点E在x轴上或y轴上.
解: (1) 当m=3时, y=-x2+6x,
令y=0, 得-x2+6x=0, ∴x1=0, x2=6∴A (6, 0)
当x=1时, y=5, ∴B (1, 5)
∵抛物线的对称轴为直线x=3,
又∵B, C关于对称轴对称, ∴BC=4.
(2) 过点C作CH⊥x轴于点H (如图1) , 由已知得∠ACP=∠BCH=90°, ∴∠ACH=∠PCB,
∵抛物线的对称轴为直线x=m, 其中m>1,
又∵B, C关于对称轴对称, ∴BC=2 (m-1) ,
∴B (1, 2m-1) , P (1, m) ∴BP=m-1
又∵A (2m, 0) , C (2m-1, 2m-1) , ∴H (2m-1, 0) ,
(3) ∵B, C不重合, ∴m≠1.
(I) 当m>1时, BC=2 (m-1) , PM=m, BP=m-1.
(i) 若点E在x轴上 (如图2) ,
∴m=2, 此时点E的坐标是 (2, 0) .
(II) 当0
(ii) 若点E在y轴上 (如图4) ,
过点P作PN⊥y轴于点N, 易证△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1,
∴1-m=1, ∴m=0 (舍去) 。
综上所述, 当m=2时, 点E的坐标是 (2, 0) 或 (0, 4) ;
点评:本题以二次函数图象为载体, 结合一元二次方程、相似三角形与全等问题;考查了初中数学的主要知识:函数与方程, 考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力, .试题由易到难, 层层递进, 具有一定的梯度, 难度较大。
五、猜想、证明型
例5 (2012年吉林省) 问题情境
如图, 在x轴上有两点A (m, 0) , B (n, 0) (n>m>0) .分别过点A, 点B作x轴的垂线, 交抛物线y=x2于点C, 点D.直线OC交直线BD于点E, 直线OD交直线AC于点F, 点E, 点F的纵坐标分别记为yE, yF。
特例探究
填空:
归纳证明
对任意m, n (n>m>0) , 猜想yE与yF的大小关系, 并证明你的猜想。
拓展应用。
(1) 若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2 (a>0) ”, 其他条件不变, 请直接写出yE与yF的大小关系。
(2) 连接EF, AE, 当时S四边形OFEB=3S△OFE S四边形OFEB=3S△OFE, 直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状。
分析:【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】 (1) 的特殊情况, 因此以【拓展】 (1) 为例说明前三小问的思路:已知A、B的坐标, 根据抛物线的解析式, 能得到C、D的坐标, 进而能求出直线OC、OD的解析式, 也就能得出E、F两点的坐标, 再进行比较即可.最后一小题也比较简单:总结前面的结论, 能得出EF∥x轴的结论, 那么直角梯形OFEB的面积和△OFE的面积比例关系, 能判断出EF、OA的比例关系, 进而得出m、n的关系, 再对四边形OFEA的形状进行判定。
解:特例探究
当m=1, n=2时, A (1, 0) 、B (2, 0) 、C (1, 1) 、D (2, 4) ;
则:直线OC的解析式为:y=x;直线OD解析式为:y=2x;
∴F (1, 2) 、E (2, 2) ;即yE=yF=2.
同理:当m=3, n=5时, yE=yF=15.
归纳证明
猜想:yE=yF,
证明:yD=n2, yc=m2, 则, C (m, m2) , D (n, n2)
OD的解析式为y=nx;OC的解析式为y=mx
E在OC上, 横坐标为n, 当x=n时, yE=mn, F在OD上, 横坐标为m, 当x=m时, yF=mn
∴yE=yF
拓展应用
(1) 设yD=an2, yc=am2, 则C (m, am2) , D (n, an2)
OD的解析式为yOD=anx, yOC=amx
当x=n时, yE=amn;当x=m时.yF=amn, ∴yE=yF
(2) ∵四边形OFEB是直角梯形, EF=n-m, OB=n, BE=mn
又S四边形OFEB=3S△OFE
可得, EF=m, OA=m, ∴EF‖OA且EF=OA.∴四边形OFEA是平行四边形。
点评:本题主要考查的是一次函数解析式的确定和二次函数的性质、图形面积的解法、平行四边形的判定等知识, 综合性较强, 本题由特殊到一般、由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度, 对于基础知识的掌握是解题的关键。
六、运动型
(1) 当t为何值时, PQ∥BO?
(2) 设△AQP的面积为S,
(1) 求S与t之间的函数关系式, 并求出S的最大值;
(2) 若我们规定:点P、Q的坐标分别为 (x1, y1) , (x2, y2) , 则新坐标 (x2﹣x1, y2﹣y1) 称为“向量PQ”的坐标。当S取最大值时, 求“向量PQ”的坐标。
(2) 本问关键是求出点P、Q的坐标.当S取最大值时, 可推出此时PD为△OAB的中位线, 从而可求出点P的纵横坐标, 又易求Q点坐标, 从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后, 代入“向量PQ”坐标的定义 (x2﹣x1, y2﹣y1) , 即可求解。
答案:解: (1) ∵A、B两点的坐标分别是 (8, 0) 、 (0, 6) , 则OB=6, OA=8,
如图 (1) , 当PQ∥BO时, AQ=2t, BP=3t, 则AP=10﹣3t.
(2) 由 (1) 知:OA=8, OB=6, AB=10.
(1) 如图 (2) 所示, 过点P作PD⊥x轴于点D, 则PD∥BO,
浅谈二次函数综合题的解题小策略 篇3
1. 以坐标系为桥梁，运用数形结合思想
纵观最近几年黑龙江省二次函数综合题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是建立点与数即坐标之间的对应关系。一方面可用代数方法研究几何图形的性质；另一方面又可借助几何图形直观得到某些代数问题的答案。比如通过在函数图像中构造三角形（特殊的四边形）来增加题目难度，不但可以考查大家对函数知识的掌握程度，还能够通过增加几何的内容让同学们将代数与几何相结合，来考查同学们利用已知知识解决复杂难题的能力。
2. 以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想
直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图像。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如利用待定系数法来确定函数解析式，往往需要根据已知条件列方程或方程组解之而得。解题时同学们要细心计算，千万不要疏忽大意，方程计算的每一步都要认真检查，这对最后解答的正确至关重要。对方程解答熟练的同学在运算过程中就凸显优势。
3. 利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想
分类讨论思想可用来检测大家思维的准确性与严密性，涉及这种思想的试题常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考查。有些问题，如果不注意对各种情况进行分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观最近几年黑龙江省二次函数综合题，运用分类讨论思想解题已成为新的热点。例如二次函数中关于函数图像开口方向的问题要考虑两种情况；二次函数中有关三角形相似的情况要考虑到三种情况并根据条件进行取舍等，这些基本的情形都是大家在做题时应该考虑到的，同学们要将基本知识点记牢才不会留下疏漏。
4. 综合多个知识点，运用等价转换思想
初中数学中的转换思想大体包括由已知向未知的转换，由复杂向简单的转换，而解答二次函数综合题，更要注意不同知识点之间的联系与转换。一道二次函数综合题一般是融代数、几何于一体的综合试题，解答它更重要充分利用转换的思路。它是对同学们综合能力的一个全面考查，所涉及的知识面广，解题所使用的数学思想方法也较全面。为了提高二次函数综合题的得分，考试中还需要同学们具有一种分题、分段的得分策略。通常情况下，一道综合题的前两问，大多数同学都能答出来的，不要对它们心生畏惧，一般前两个问题是考查对基础知识的运用，最后一问才是比较复杂的部分，但无论试题难易都不要放弃，心态放平和，耐心计算肯定有收获。
总之，二次函数是初中阶段数学学习的主要内容，是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念，解决其问题与其他数学知识有着广泛的联系。三角形全等和相似、平行四边形、三角函数和勾股定理等几何知识，待定系数法、分类讨论、平移变换、割补法、运算推理等重要的数学思想方法都是应该重点掌握的。
初三数学二次函数知识点 篇4
值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，
正无穷);②[t，正无穷)
奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。
周期性：无
解析式：
①y=ax^2bxc[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;
⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0);
Δ=0，图象与x轴交于一点：
(-b/2a，0);
Δ<0，图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)^2k[顶点式]
此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X1X2)/2当a>0且X≥(X1X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤(X1X2)/2时Y随X
的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。
26.2用函数观点看一元二次方程
1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。
2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
26.3实际问题与二次函数
初三二次函数综合题 篇5
专题17二次函数的面积问题
【考点1】二次函数的线段最值问题
【例1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．
【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为；
；（3）．
【分析】
（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）过点D作轴于E，则．求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；
（3）设平移后抛物线的解析式，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式．
【详解】
（1）在中，令，则，解得，∴．
令，则，∴．
设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为．，∴抛物线顶点坐标为
（2）如图，过点D作轴于E，则．
∵，∴，设点P的坐标为，则点D的坐标为，∴．
∵，∴，∴，∴，∴．
而，∴，∵，由二次函数的性质可知：
当时，的最大值为．，∴．
（3）设平移后抛物线的解析式，联立，∴，整理，得：，设，则是方程的两根，∴．
而A为的中点，∴，∴，解得：．
∴抛物线的解析式．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
【变式1-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】
（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把代入中，得
解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵，∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，∵，∴，解得，∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，则有
整理得，∵，∴，解得，当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；
（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．
【详解】
解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.∵直线OB的解析式为y=﹣x，故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，当n=时，S△OPB的最大值为．
此时y=﹣n2+2n=，∴P（，）；
（3）∵直线OA的解析式为y=x，∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，联立，∴﹣（x﹣a）2+a=x，∴x1=a，x2=a﹣1，即C、D两点间的横坐标的差为1，∴CD=．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.【考点2】二次函数的面积定值问题
【例2】已知二次函数．
（1）图象经过点时，则_________；
（2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面积是与m无关的定值，S△AMN＝.【解析】
【分析】
（1）将点代入二次函数解析式即可求出m；
（2）求出二次函数的对称轴为x＝m，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可求出m的取值范围；
（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN的面积是与m无关的定值．
【详解】
解：（1）将点代入可得：，解得：m=4；
（2）二次函数的对称轴是：x＝m，∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，∴m≥2；
（3）的面积是与m无关的定值；
如图：顶点A的坐标为（m，−m2＋4m−8），△AMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B，∵tan∠AMB＝tan60°＝，∴AB＝BM＝BN，设BM＝BN＝a，则AB＝a，∴点M的坐标为（m＋a，a−m2＋4m−8），∵点M在抛物线上，∴a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8，整理得：，解得：a＝或a＝0（舍去），∴△AMN是边长为的正三角形，∴AB=3，S△AMN＝，与m无关.【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．
【变式2-1】（2020·湖南九年级其他模拟）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）﹣；（2）y＝﹣或y＝﹣；（3）是定值，理由见解析．
【分析】
（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）
①，可得抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，可知△＝0，得b2﹣16c＝0
②，由①②解方程组即可解决问题．
（3）的值是定值．不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝，推出|x1﹣x2|＝＝
＝，把
＝2a（2c﹣b）代入上式化简＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═
•CD•＝
•4＝8•，由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）由题意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+，∵y＝x2﹣2x+
＝（x﹣1）2﹣，∵a＝1＞0，∴x＝1时，y有最小值，最小值为﹣．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）
①
∴抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，∵抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，∴△＝0，∴b2﹣16c＝0
②
由①②可得b＝﹣2，或，∴反比例函数的解析式为y＝﹣或y＝﹣．
（3）是定值．理由如下：
不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由
得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，|x1﹣x2|＝
＝
把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，∵AB∥PC，∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，∴＝8，的值是定值．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积．
【变式2-2】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，解得：，故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去负值），经检验m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
【考点3】二次函数的面积最值问题
【例3】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1
（2）（，）；
（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x轴交AC于点P＇，则P＇（n，﹣n+1），得出PP＇＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为（，﹣），又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x轴交AC于点P＇，则P＇（n，﹣n+1），∴PP＇＝﹣n2+n，S△ABP＝OB•PP＇＝﹣n＝﹣，∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），设Q（，m），①当AQ为对角线时，∴R（﹣），∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；
②当AR为对角线时，∴R（），∵R在抛物线y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
【变式3-1】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【分析】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过，∴
∴
∴
（2）设，将点代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点，则
由铅垂定理可得
∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，故点E（1，−3），综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式3-2】（2020·江苏宿迁·中考真题）二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．
(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24)
【分析】
(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，把A，B两点坐标代入，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；
(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD，设D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案；
(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，求出M(，)，ME=，由面积公式可求出n的值，则可得出答案．
【详解】
(1)将A(2，0)，B(6，0)代入，得，解得，∴二次函数的解析式为；
∵，∴E(4，)；
(2)如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB=CD，设D(4，m)，当时，∴C(0，3)，∵=，由勾股定理可得：
=，解得m=3±，∴满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3-)；
(3)如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，于是直线CQ的解析式为：，当时，∴M(，)，ME==，∵S△CQE=S△CEM+S△QEM=，∴，解得或，当时，P(10，8)，当时，P(，24)．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10，8)或(，24)．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
【考点4】二次函数面积的其它问题
【例4】（2020·辽宁鞍山·中考真题）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．
（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________；
②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，求的最小值．
【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由见解析；（2）
【分析】
（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；
②根据（1）中同样的证明方法求证即可；
（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．
【详解】
解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点E在线段BC的延长线上时，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；
（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四点共圆，∵四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，∴M也是EF中点，∴M是四边形BCHF外接圆圆心，则GM的最小值为圆M半径的最小值，∵AB=3，BC=2，设BE=x，则CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF=，∴EF=
=
=，设y=，当x=时，y取最小值，∴EF的最小值为，故GM的最小值为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键．
【变式4-1】（2020·湖北中考真题）已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积；
（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，,【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；
（2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．
【详解】
（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中，解得，当时，y=4，（2）
令或x=3
设BC的解析式为
将点代入，得，解得，设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，将点E坐标代入中，得，把x=m代入
即
解得m=2或m=-3
∵点E是BC上方抛物线上的点
∴m=-3舍去
∴点
（3）过点A作AN⊥HB，∵点
∵点，点
设，把（-1，0）代入，得b=
设点
过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR
且点S的坐标为
若
在和中，或
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．
【变式4-2】（2020·山东日照·九年级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣5)；（3）存在，点E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11)
【分析】
（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式；
（2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；
（3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解．
【详解】
解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（2）△ACD周长能取得最小值，∵点A（﹣2，0），点B（8，0），∴对称轴为直线x＝3，∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，∴0＝8k﹣8，∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，当x＝3，y＝﹣5，∴点D（3，﹣5）；
（3）存在，∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，如图，∵△ACE与△ACD面积相等，∴DE∥AC，∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，∴﹣5＝﹣4×3+n，∴n＝7，∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，联立方程组可得：，解得：，∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．
【点睛】
本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键．
1．（广东梅州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上．
（1）b
=_________，c
=_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【答案】（1），（-1,0）；（2）存在P的坐标是或；（3）当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）
【分析】
（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标；
（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；
（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为．
∵令，解得：，∴点B的坐标为（﹣1，0）．
故答案为﹣2；﹣3；（﹣1，0）．
（2）存在．理由：如图所示：
①当∠ACP1=90°．由（1）可知点A的坐标为（3，0）．
设AC的解析式为y=kx﹣3．
∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0，解得k=1，∴直线AC的解析式为y=x﹣3，∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3．
∵将y=﹣x﹣3与联立解得，（舍去），∴点P1的坐标为（1，﹣4）．
②当∠P2AC=90°时．设AP2的解析式为y=﹣x+b．
∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3，∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3．
∵将y=﹣x+3与联立解得=﹣2，=3（舍去），∴点P2的坐标为（﹣2，5）．
综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．
（3）如图2所示：连接OD．
由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中点．
又∵DF∥OC，∴DF=OC=，∴点P的纵坐标是，∴，解得：x=，∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．
2．（2020·湖北武汉·九年级一模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D
(，－)，经过点C
(0，－1)，且与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)．
(1)
求抛物线的解析式：
(2)
P为抛物线上一点，连CP交OD于点Q，若S△COQ＝S△PDQ，求P点的横坐标；
(3)点M为直线BC下方抛物线上一点，过M的直线与x轴、y轴分别交于E、F，且与抛物线有且只有一个公共点．
若∠FCM＝∠OEF，求点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2－3x－1；（2）P的横坐标为；（3）点M的坐标为(，－)或(2，－2)
【分析】
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）联立方程组求解即可；
（3）根据直线EF与抛物线只有一个公共点求出M点横坐标，设直线CM的解析式为y＝－x－1，与抛物线联立，即可求出结论．
【详解】
(1)∵抛物线的顶点为D
(，－)，设抛物线的顶点式为y＝a(x－)2－，把C
(0，－1)代入，得a(0－)2－＝－1，解得a＝．
∴抛物线的解析式为y＝
(x－)2－．
亦即：y＝x2－3x－1．
(2)
连OP、DP、CD，由S△COQ＝S△PDQ，得S△OCD＝S△PDC，则CD∥OP．
由C
(0，－1)、D
(，－)，可得直线CD为y＝－x－1．
则直线OP的解析式为y＝－x．
与抛物线的解析式联立，得点P的横坐标为（舍去负值）．
(3)
设直线EF为y＝kx＋b，与抛物线y＝x2－3x－1联立，得x2－(k＋3)x－1－b＝0，∵直线EF与抛物线只有一个公共点，∴x1＝x2＝－＝
(k＋3)．
即M点横坐标xM＝
(k＋3)．
∵∠FCM＝∠OEF，可得CM⊥EF，故可设直线CM的解析式为y＝－x－1，与抛物线联立，得：xM＝
(3－)．
于是得：
(k＋3)＝
(3－)．
解得k＝1或2．
∴点M的坐标为(，－)或(2，－2)．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，二次函数性质，待定系数法求解析式．
3．（2020·广东九年级一模）如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF∶S△CDF＝3∶2时，求点D的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）(1，4)或(2，3)
【分析】
（1）c＝3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，即可求解；
（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2，则OF∶FD＝3∶2，DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，则DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，即可求解．
【详解】
解：（1）∵OB＝OC＝3．
∴c＝3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；
（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交AB于点M，S△COF∶S△CDF＝3∶2，则OF∶FD＝3∶2，∵DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，则DM＝CO＝2，由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x＋3，设点D(x，﹣x2＋2x＋3)，则点M(x，﹣x＋3)，DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，解得：x＝1或2，故点D(1，4)或(2，3)．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，准确计算是解题的关键．
4．（2020·福建南平·九年级二模）已知抛物线y＝﹣（x+5）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）直接写出点B、C的坐标；（用含m的式子表示）
（2）若抛物线与直线y＝x交于点E、F，且点E、F关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为时，求m的取值范围．
【答案】（1）B（m，0），C（0，）；（2）；（3）0＜m≤．
【分析】
（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣5或m，即可求解；
（2）设点E，F的坐标分别为（a，），（﹣a，），将点E、F的坐标，代入二次函数表达式即可求解；
（3）分﹣5≤t≤0、0＜t≤m，两种情况分别求解即可．
【详解】
解：（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣5或m，故：B（m，0），C（0，）；
（2）设点E，F的坐标分别为（a，），（﹣a，），代入，得，解得：（m﹣5）a＝a，∵a≠0，∴m＝6，∴抛物线的解析式为；
（3）依题意得A（﹣5，0），C（0，），由m＞0，设过A，C两点的一次函数解析式是y＝kx+b，将A，C代入，得
解得
∴过A，C两点的一次函数解析式是，设点P（t，0），则﹣5≤t≤m（m＞0），∴M（t，），N（t，）．
①当﹣5≤t≤0时，∴MN＝＝，∵，∴该二次函数图象开口向下，又对称轴是直线，∴当时，MN的长最大，此时MN＝，②当0＜t≤m时，∴MN＝＝，∵，∴该二次函数图象开口向上，又对称轴是直线，∴当0＜t≤m时，MN的长随t的增大而增大，∴当t＝m时，MN的长最大，此时MN＝，∵线段MN长的最大值为，∴，整理得：，由图象可得：≤m≤
∵m＞0，∴m的取值范围是0＜m≤．
【点睛】
本题考查二次函数图象性质、与x轴、y轴交点坐标、一次函数图象性质、原点对称、线段最值、分类讨论法等知识，是重要考点，综合性较强，掌握相关知识是解题关键．
5．（2018·四川眉山·中考真题）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为
：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG•AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；
P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
6．（2018·湖南怀化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．（2020·四川中考真题）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N
（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4
【分析】
（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．
【详解】
（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面积为2，即，∴OC=1，∴C（0，1），将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），∵矩形PGHQ为正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，∵A（﹣1，0），设AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题．
8．（2020·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：：
（3）点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（，）.【分析】
（1）将配方后可得顶点M的坐标，利用求出点A的坐标后代入即可求出b的值；
（2）先求出平移后的直线CM的解析式为y=-x，过点D作DH⊥直线y=-x，得到直线DH的解析式为y=2x-4，根据求出交点H（1，-2），分别求得DH=，DM=，根据sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角与内角的关系得到结论；
（3）过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，先求出AB=，根据得到∠BAO=∠AFE，设GF=4a，则AE=EF=3a，证明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再证△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，将x=代入中，得y=，即可得到点E的坐标.【详解】
（1）∵=，∴顶点M的坐标为（3，-3）.令中y=0，得x1=0，x2=6，∴A（6,0），将点A的坐标代入中，得-3+b=0，∴b=3；
（2）∵由平移得来，∴m=-，∵过点M(3，-3),∴，解得n=，∴平移后的直线CM的解析式为y=-x.过点D作DH⊥直线y=-x，∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0，∴k=-4，∴直线DH的解析式为y=2x-4.解方程组，得，∴H（1，-2）.∵D(2，0)，H(1，-2)，∴DH=，∵M(3，-3)，D（2,0）,∴DM=，∴sin∠DMH=，∴∠DMH=45°，∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，∴；
（3）存在点E，过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，∵A(6，0)，B（0,3）,∴AB=.∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，∴∠BAO=∠AFE，∴AE=EF，∵，∴，设GF=4a，则AE=EF=3a，∵EQ⊥x轴，∴EQ∥OB，∴△AEQ∽△ABO，∴，∴，∴AQ=a，∴AF=a.∵∠AFE=∠PFG，∴△FGP∽△AEQ，∴,∴FP=a，∴OP=PG=，∴+a+a=6,解得a=，∴AQ=,∴OQ=，将x=代入中，得y=，∴当时，存在点E，使得，此时点E的坐标为（，）.【点睛】
此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数平移的性质，两个一次函数交点坐标与方程组的关系，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质定理，是一道抛物线的综合题，较难.9．（2020·福建厦门一中九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为平行四边形，点A在y轴上且在B的下方，B(0，3)，且点C，点D在第一象限．
（1）若点A(0，1)，点D(2，2)，求点C的坐标；
（2）若点C在直线y＝0.5x+3上，①若CD＝BC，点D在抛物线y＝x2﹣x+3上，求点C的坐标；
②若CD＝BC，抛物线y＝x2﹣ax+4﹣a经过点D、E，与y轴交于点F，若点E在直线BD上，求的最大值．
【答案】（1）D(2，4)；（2）①C(3+，)或(3﹣，)，②
【分析】
（1）由点A、B的坐标知，AB＝3﹣1＝2＝CD，即可求解；
（2）①作BH⊥CD于H，则D（m，m2﹣m+3），则CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，则1+（）2＝（﹣m+3）2，即可求解；
②利用CD＝CB，求出m＝1或m＝1﹣a，再分m＝1、m＝1﹣a两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）由点A、B的坐标知，AB＝3﹣1＝2＝CD，故点D（2，4）；
（2）如图，设C（m，m+3），则D（m，m2﹣m+3），①作BH⊥CD于H，则D（m，m2﹣m+3），则CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，∴1+（）2＝（﹣m+3）2，m＝3±，故C（3+，）或（3﹣，）；
②∵y＝x+3，BH＝m，∴BC＝m．
CD＝CB＝m，又CD∥y轴，∴D（m，m2﹣am+4﹣a），由点B、D的坐标得，直线DB解析式：y＝x+3，解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a，整理得：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0，即[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0，解得：x＝m或x＝，即，而CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，且CD＝CB，∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，整理得：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0，[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0，解得：m＝1或m＝1﹣a．
（I）当m＝1时，C（1，），D（1，），F（0，4﹣a），xE＝1﹣a，则S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（a2﹣a），而S▱ABCD＝BH•CD＝1×＝，故S△DEF﹣S▱ABCD＝（a2﹣a）﹣＝（a﹣）2﹣，∵＞0，故S△DEF﹣S▱ABCD没有最大值；
（II）
当m＝1﹣a时，C（1﹣a，），D（1﹣a，2a+1），则F（0，4﹣a），xE＝1，而S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（a2﹣a），S▱ABCD＝BH•CD＝（1﹣a）•（1﹣a）＝（1﹣a）
2，∴S△DEF﹣S▱ABCD＝﹣（a2﹣a）﹣（1﹣a）
2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤，∴S△DEF﹣S▱ABCD的最大值为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
10．（2020·河南九年级二模）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A＇D＇∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A＇D＇与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A＇D＇交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A＇D＇上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D＇在抛物线外．）
【答案】（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．
【详解】
试题分析：（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．
（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，则以作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．
试题解析：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，∵△CDA≌△AOB，∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=OA+AD=3，∴C（-1，-3）．
将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=x2+bx+c，解得
b=，c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．
（2）设lBC：y=kx+b，∵B（-2，0），C（-1，-3），∴，解得，∴lBC：y=-3x-6，设M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），∵xM=xN（记为x），yM≥yN，∴线段MN长度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），∴当x=-时，线段MN长度为最大值．
（3）答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．
分析如下：
如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，∵OB=2，OA=1，∴AC=AB==，∴BC=，∴BQ=CQ=，∵∠BAC=90°，∴点B、A、C都在⊙Q上．
①P在抛物线外，如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D
∵BC为直径，∴∠BPC=90°
∵BD′与y轴平行
∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点
∴PD∥x轴
易得PC=1，PB=3，PA=2
∴BP+CP=AP．
②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，∵AC=AB=，∴AP=，∵BP+CP=BC=，∴BP+CP=AP．
③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，如图4，在PC上取BP=PT，∵BC为直径，∴∠BPC=90°
∴△BPT为等腰直角三角形
∴∠PBT=45°=∠1+∠2
∵∠ABC=∠3+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴
∵PC=PT+CT
∴PC=PT+PA=PB+PA
∴PC-PB=PA
同理，如图5，也可得PB-PC=PA．
考点：二次函数综合题．
11．（2020·湖北武汉·九年级其他模拟）抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于另一点，过点作轴于点，过点作交于点．求证：轴；
（3）如图2，为抛物线上两点，直线，交轴于点，，求面积的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）的最小值为1．
【分析】
（1）把点，代入解析式构建方程组求解即可；
（2）由题易得，设，则，然后根据在平面直接坐标系里两条直线平行时，进行求解即可；
（3）设直线的解析式为：，直线的解析式为，直线的解析式为，由题意得，进而可得，然后把三角形的面积表示出来利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
（1）∵过，∴解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）当时，．∴
设，则，∴，．
∴，∴，∵，∴设，则，．
∴．
设直线，∴，∴．
由得
∵，∴轴．
（3）设直线的解析式为：，由得，．
∴，∴．
设直线的解析式为，同理可得：，∴．
设直线的解析式为，由得．
∴，．
∵，∴，，∴直线．
不论为何值，当时，∴直线过点．
∵，∴轴，∴的最小值为1．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合，关键是根据题意得到二次函数的表达式，然后利用一次函数的知识点进行求解问题即可．
12．（2020·广东深圳·九年级其他模拟）如下图，抛物线与轴正半轴交于点，过点作直线轴，点是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交直线于点，连接并延长交轴于点，过点作轴，垂足为，连接．设．
（1）请直接写出点坐标并求出的最大值；
（2）如图1，随着点的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；
（3）连接，如图2，则当点位于何处时，点到直线的距离最大？请你求出此时点的坐标．
【答案】（1）A点坐标为，4；（2）不会发生变化，理由见解析，；（3）点坐标为
【分析】
（1）根据P点的坐标得到，根据即可得到结果；
（2）由（1）知：，，根据计算即可；
（3）取的中点，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，得矩形；连接，得到，在根据题意得，联立方程计算即可；
【详解】
解：（1）A点坐标为．
∵，∴点坐标为
∴．
又，．
∴．
∴．
∴的最大值为4．
（2）的值不会发生变化理由如下：
由（1）知：，．
所以，，．
又，．
∴，∴．
（3）如下左图，取的中点，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，得矩形；连接．
易得，∴．
∴．
由（2）知，．
∴．又，∴点的坐标为．
即，直线绕定点在旋转．
如上右图，表示的任一位置，长是点到它的距离．则，∵，∴的最大值等于．
显然，获得最大值的条件是．
∵此时，易得，此时，从而，得．
∴此时，点坐标为
∴直线的解析式为：．
由得，（舍）．
故，此时点坐标为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，准确计算是解题的关键．
13．（2020·广东九年级一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）点在轴上，直线将三角形面积分成两部分，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）根据对称轴直线求出b，把点代入抛物线解析式求出c，即可求出抛物线解析式，根据抛物线对称性和抢救车点B坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）作出直线与交于点，过作轴，与轴交于点与轴交于点，得到进而得到，根据直线将面积分成两部分，分别得到或两种情况，分别求出Q横坐标，进而求出Q坐标，直线CQ解析式，即可求出点P坐标．
【详解】
解：由题意得：，解得：，则此抛物线的解析式为；
抛物线对称轴为直线，横坐标为横坐标为，把代入抛物线解析式得：，设直线解析式为，把坐标代入得：
即
直线解析式为
（2）作出直线与交于点，过作轴，与轴交于点与轴交于点，可得，点在轴上，直线将面积分成两部分，或，即或，或，当时，把代入直线解析式得：
此时，直线解析式为，令，得到，即；
当时，把代入直线解析式
得：，此时，直线解析式为，令得到
此时，综上，的坐标为或．
【点睛】
本题为二次函数综合题，综合性强，难度大．熟练掌握二次函数性质，深刻理解坐标系内求点的坐标方法，添加辅助线构造相似是解题关键．
14．（2020·湖北九年级一模）如图．抛物线交轴于两点．其中点坐标为，与轴交于点．
求抛物线的函数表达式；
如图①，连接．点在抛物线上﹐且满足．求点的坐标；
如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点，求的值．
【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）8
【分析】
（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值．
（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论．①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB构造等腰△ABH，作BH中点G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．②若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H＇，求得直线AH＇的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．
（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x＝−1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM＋DN为定值．
【详解】
解：抛物线经过点
解得
抛物线的函数表达式为
①若点在轴下方，如图1
延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点
当，解得
中，为中点，即
在中，中，即
设直线解析式为
解得
直线
解得（即点），②若点在轴上方，如图2，在上截取，则于关于轴对称
设直线解析式为
解得
直线
解得（即点），、综上所述，点的坐标为或
为定值
抛物线的对称轴为，直线
设
设直线解析式为
解得
直线
当时，设直线解析式为
解得
直线
当时，为定值．
【点睛】
本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．
15．（2020·贵阳清镇北大培文学校九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】（1）；（2），时有最大值；（3）或或或．
【分析】
（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM＋S△OBM−S△AOB即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
【详解】
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：，将，三点代入函数解析式得：，解得，所以此函数解析式为：；
（2）∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，∴点的坐标为：，∴
∵，当时，有最大值为：．
答：时有最大值．
（3）设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，∴的横坐标等于的横坐标，又∵直线的解析式为，则．
由，得，解得，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，代入得出为．
由此可得或或或．
【点睛】
本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．
16．（2020·山东烟台·九年级其他模拟）如图，抛物线y=ax2+x+c的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C（0，-2），连接AC．点P是x轴上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD=BE时，求AD+AE的最小值；
（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）4；（3）存在，点P的坐标为（-5，0）或（，0）或（，0）或（-1，0）．
【分析】
（1）将A、C两点代入，利用待定系数法求得抛物线的表达式；
（2）由AD=BE，将AD+AE转化为BE+AE，通过两点之间线段最短即可得解；
（3）分情况讨论，AC为平行四边形的对角线、AQ为对角线、AP为对角线三种情况讨论．
【详解】
（1）将A（-3，0），C（0，-2），代入y=ax2+x+c得，解得，∴抛物线的表达式为；
（2）令，解得x=-3或1，∴点B的坐标为（1，0），当AD=BE时，AD+AE=BE+AE，∴当A、E、B三点共线时，BE+AE最小，最小值为AB的长，∴当AD=BE时，AD+AE的最小值为AB=1-(-3)=4；
（3）存在．设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，），①若AQ为平行四边形的对角线，则PA=QC，QC∥x轴，如图①，∴-3-m=0-n，解得n=-2或0（舍去），∴m=-5，∴点P的坐标为（-5，0）；
②若AP为对角线，则AC=PQ，如图②所示，即m-n=3，解得n=-1+或-1-，∴m=2+或2-，∴点P的坐标为（2+，0）或（2-，0）；
③当AC是平行四边形的对角线时，则AQ=PC，如图③，即m-（-3）=0-n，解得n=-2或0（舍去），∴m=-1，∴点P的坐标为（-1，0）．
综上所述，点P的坐标为（-5，0）或（2+，0）或（2-，0）或（-1，0）．
【点睛】
本题是二次函数的综合应用题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，平行四边形的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．第(3)问需分类讨论，以防遗漏．
17．（2020·河南九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
（1）求，的值．
（2）点为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一动点，当时，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）的值为，的值为；（2）与之间的函数关系式为；（3）存在满足题意的点，点的横坐标为或．
【分析】
（1）本题根据题意得出点B、点C坐标后，将点代入二次函数解析式即可求解．
（2）本题首先利用函数解析式表示P点坐标，继而分别求解PK、AK长度，进一步以正切三角函数作为中介求解OD，最后利用边长关系即可求解本题．
（3）本题首先根据已知求解△APQ的面积，继而求解点D坐标与直线AP解析式，进一步分类讨论点Q所在位置，求解手段是做辅助线并利用函数表示MQ距离，继而利用割补法表示△APQ面积，最后根据限制条件确定最终答案．
【详解】
（1）∵，∴，．
将点，代入抛物线中，得，解得，∴的值为，的值为．
（2）由第一问可知抛物线的解析式为．
∵点为第－象限内抛物线上一点，且横坐标为，∴．
∵，∴．
过点作轴于点，如下图所示，则．
当时，即，解得，．
∴，即．
∴．
∵，即，∴．
∴．
∴与之间的函数关系式为．
（3）存在．
由题意易得，∴．
∵，∴．
∴．
∴，．
由可知点的横坐标为9，故易得直线的解析式为．
由题意，可知点的位置需分以下两种情况进行讨论．
①当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线，交于点，如下图3所示：
设，则．
∴．
∴．
其中是P点横坐标，是A点横坐标．
∴的最大值为72．
∵，∴在直线下方不存在满足题意的点．
②当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴的平行线，交于点，如下图2所示：
设，或，则．
∴．
∴，解得，．
综上所述，存在满足题意的点，点的横坐标为或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，难度较高，待定系数法求解函数解析式需要熟练掌握，对三角函数的基本概念要清楚，该知识点通常作为边长比例关系的媒介，涉及动点问题需要分类讨论．
18．（2020·山东九年级一模）已知，抛物线y＝-x2
+bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．
（1）直接填写抛物线的解析式________；
（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.求证：MN∥y轴；
（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG
•CH为定值.【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解．
【分析】
（1）把点C、D代入y＝-x2
+bx+c求解即可；
（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；
（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．
【详解】
详解：（1）∵y＝-x2
+bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），∴,解得：.∴y=-x2+x+2；
（2）
设直线PM的解析式为：y=mx，直线PC的解析式为：y=kx+2
由
得x2+（k-1）x=0,解得：，xp=
由
得x2+(m-1)x-2=0，即xp•xm=-4，∴xm==.由
得xN==xM,∴MN∥y轴.（3）设G（0，m）,H（0，n）.设直线QG的解析式为，将点代入
得
直线QG的解析式为
同理可求直线QH的解析式为；
由
得
解得：
同理，设直线AE的解析式为：y=kx+4，由，得x2-(k-1)x+2=0
即xDxE=4，即（m-2）•（n-2）=4
∴CG•CH=（2-m）•（2-n）=4.19．（2020·重庆八中九年级一模）如图，抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．
（1）求△ACD的面积；
（2）如图，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；
（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）24；（2）最大值为，点P（﹣3，﹣）；（3）存在，点M的横坐标为﹣﹣或2﹣2．
【分析】
（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，再用待定系数法求得AC的解析式，进而求出点N、D的坐标，再根据三角形的面积公式求出结果；
（2）证明EF+FG即为EP的长度，即可求解；
（3）分∠BNM为直角、∠MBN为直角，利用三角形全等即可求解．
【详解】
解：（1）令x＝0，得，∴C（0，﹣6），令y＝0，得，解得，∴A（，0），点B（，0），设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为：，∵，∴D（，），过D作DM⊥x轴于点M，交AC于点N，如图，令，则N（，），∴，∴；
（2）如图，过点D作x轴的平行线交FP的延长线于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：，∴tan∠FDH＝2，则sin∠FDH＝，∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°，∴∠FDH＝∠FPG，在Rt△PGF中，PF＝＝
＝FG，则EF+FG＝EF+PF＝EP，设点P（x，），则点E（x，），则EF+FG＝EF+PF＝EP＝，∵﹣＜0，故EP有最大值，此时x＝﹣＝﹣3，最大值为；
当x＝时，故点P（，）；
（3）存在，理由：
设点M的坐标为（m，n），则，点N（0，s），①当∠MNB为直角时，如图，过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，∴∠GMN＝∠BNH，∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，∴△NGM≌△BHN（AAS），∴GN＝BH，MG＝NH，即且，联立并解得：（舍去正值），故，则点M（，）；
②当∠NBM为直角时，如图，过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，同理可证：△MHB≌△BGN（AAS），则BH＝NG，即，当时，解得：（舍去正值），故，则点M（，）；
综上，点M的横坐标为或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题．
20．（2020·天津中考真题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点．
（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标；
②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2）①点F的坐标为或；②当m的值为或时，MN的最小值是．
【分析】
（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；
（2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点.过点A作于点H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，可求出m的值，进一步求出F的坐标；
②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值.【详解】
解：（1）当，时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点，．解得．
抛物线的解析式为．，抛物线的顶点坐标为．
（2）①∵抛物线经过点和，，即．，．
抛物线的解析式为．
根据题意，得点，点．
过点A作于点H．
由点，得点．
在Rt中，，．，．解得．
此时，点，点，有．
点F在y轴上，在Rt中，．
点F的坐标为或．
②由N是EF的中点，得．
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上．
由点，点，得，．
在中，．
当，即时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为，解得；
当，时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为，解得．
当m的值为或时，MN的最小值是．
【点睛】
初三化学第七单元综合检测题 篇6
1.下列物质的燃烧产物，不会污染空气的是
A.柴油 B.氢气 C.硫 D.煤
2.下列燃料属纯净物的是
A.甲烷 B.天然气 C.石油 D.煤
3.下列气体与空气混合后遇明火，可能发生爆炸的是
A.氧气 B.氮气 C.甲烷 D.二氧化碳
4.人们在工作、生活中，为了防止事故，常采用一些安全措施，下列措施安全的是
A.到溶洞探险打灯火照明
B.掏空沼气池前进行灯火试验
C.到小煤窖挖煤用火把照明
D.厨房内煤气泄漏打开排气扇通风
5. 点燃的火柴竖直向上，火柴梗不易继续燃烧，其原因是
A. 火柴梗温度达不到着火点 B. 火柴梗着火点较高
C. 火柴梗潮湿不易继续燃烧 D. 火柴梗接触氧气少
6. 环境保护是我国的一项基本国策，空气的净化越来越受到人们的关注。下列每组气体中，三种气体都属于空气污染物的`是
A.SO2、N2、NO2 B.CO2、CO、N2
C.SO2、CO、NO2 D.CO、H2、CH4
7. 汽油属于易燃物，敞口放置一瓶汽油，虽然与空气接触，但并未燃烧，这是由于
A.汽油具有挥发性 B.汽油的着火点较低
C.与汽油接触的氧气少 D.周围环境温度低于汽油的着火点
8. 山西省发生三起假酒中毒事件，其中死亡2人，1人双眼失明。有些假酒是用工业酒精勾兑而成，这样的假酒含有的有毒物质是
A.水 B.甲醇 C.乙醇 D.碳酸
9. 我国“神州三号”宇宙飞船使用的燃料是偏二甲肼(化学式为C2H8N2)。下列说法正确的是
A. 偏二甲肼是由碳、氢、氮元素组成的
B. 偏二甲肼中含有氮气
C. 偏二甲肼的相对分子质量是27
D. 偏二甲肼中碳、氢、氮三种元素的质量比为1：4：1
10. 下列情况下所采取的灭火方法，不恰当的是
A.电器因短路起火时，用水浇灭
B.酒精灯不慎打翻起火，用湿抹布扑盖
C.炒菜时油锅着火，立即盖上锅盖
D.用液态二氧化碳灭火器扑火图书档案等火灾
11. 当打开一个装有液态空气的容器盖，并将一根烧着的木条置于容器口上方时，观察到的现象是
A.熄灭 B.燃烧得更旺
C.先燃烧得更旺后熄灭 D.无明显现象
12. 北京奥运会的主题是“科技奥运、人文奥运、绿色奥运。”为了办成绿色奥运会，下列做法不可取的是
A.关闭所有的化工企业
B.用天然气逐步取代民用燃煤
C.提高污水处理率
D.降低机动车辆的尾气污染
13. 下列化学反应中能产生吸热现象的是
A.镁条与稀盐酸反应
B.碳与二氧化碳反应
C.碳酸钙与盐酸反应
D.木炭与氧气反应
14. 一种作为绿色能源的物质X，其燃烧的化学反应方程式：
X + 3O2 点燃 2CO2 + 3H2O 中，根据质量守恒定律判断X 的化学式为
A. CH3OH B. CH4 C. C2H5OH D. H2
15. 机动车尾气排出的氮的氧化物，是城市空气污染源之一。其中有一种含氮约为46.7% ,它是
A. N2O B. NO C. NO2 D. N2O5
二、填空题(26分)
16.(14分) 有三瓶无色、无气味的气体A、B、C，它们分别是氢气、一氧化碳、甲烷中的一种。点燃气体，用干燥的冷烧杯罩在火焰上方，在B、C火焰上方的烧杯内壁上有水珠出现，而在A火焰上方的烧杯内壁上没有水珠。燃烧后，分别向烧杯中注入澄清石灰水，振荡，A、B杯内的石灰水变浑浊，C杯内没有变化。则
A是 ，B是 ，C是 。
试写出实验中所有反应的化学方程式：
;
;
;
。
17.(12分) 火柴是生活的必需品。火柴头上深色物质的主要成分是KClO3、MnO2、S和Sb2S3(硫化锑)，火柴盒侧面涂有一层红褐色物质(红磷和玻璃粉)。划火柴时，发生氧化反应引燃木条，请写出其中反应的化学方程式。
(1)KClO3在一种催化剂的作用下，借助摩擦产生的热量放出氧气，同时生成氯化钾：
，
(2)红褐色物质(红磷)和氧气反应，并产生白烟：
，
(3)硫和氧气反应：
。
三、计算题(6分)
初三二次函数综合题 篇7
二次函数是初中数学的重点内容之一,也是学生学习中的难点之一,这部分内容知识点丰富、题型多样、应用广泛、题目灵活、涵盖面广,是中考命题中题量比较大的一个模块,也是中考命题的热点.二次函数问题的解决关键是图像顶点坐标!掌握二次函数顶点坐标可以解决很多与二次函数有关的中考题,事半功倍、快速入题,使问题简单化、程序化.下面以2010年部分省市中考题为例对二次函数中顶点类考题做一归类分析.
题型1由抛物线的顶点坐标得到二次函数的性质.
由抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(可以得出抛物线的对称轴是直线,函数的最大(或最小)值是,抛物线的增(减)区间是.
例1 (金华市)已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,顶点坐标为(2,一3),那么该抛物线有().
(A)最小值一3 (B)最大值一3
(C)最小值2 (D)最大值2
解析因为开口向下,所以二次函数应该有最大值,又根据顶点坐标知道,函数的最大值是顶点纵坐标一3.故选择B.
题型2求抛物线的顶点坐标.
求抛物线的顶点坐标的方法很多,最常见的有3种方法:配方法、公式法、代入法,在具体题目中灵活选择,选择最佳方法解决问题.
例2 (兰州市)二次函数y=—3x2-6x+5的图像的顶点坐标是().
(A)(-1,8)(B)(1,8)
(C)(-1,2)(D)(1,-4)
解法1 (公式法)a=—3,b=-6,c=5,用抛物线的顶点坐标公式,,顶点为(—1,8),选择A.
解法2 (配方法)
因为抛物线y=a(x+h)2+k(a≠0)的顶点是(—h,k),所以本题中顶点为(-1,8),选择A.
解法3 (代入法)a=—3,b=—6,c=5,用抛物线的顶点坐标公式,x=—1时,y=—3(—1)2—6(—1)+5=8,顶点为(一1,8),选择A.
总结1)这3种方法各有优劣,公式法是一种程序化的方法,思路明晰、清楚,但在求纵坐标时运算量稍大,要运算准确,避免出错.配方法思路简捷,运算量较小,但是对数学基础较弱的同学来说配方是一个难点,容易配错.代人法将公式法和函数求值结合在一块,它的运算量和思维量适中,符合大多数同学的认知水平,不失为一种通法.
2)配方法的步骤:①给一次项和二次项添括号;②提出二次项系数;③括号内添常数项,括号外减常数项;④写成y=a(x—h)2+k的形式(顶点式).
题型3利用抛物线的顶点坐标解决二次函数图像的平移问题.
我们知道,抛物线的形状、开口方向只与a的值有关系,所以二次函数图像在平移时,形状开口方向不变,只是顶点的平移.将平移前后两个顶点坐标的关系分析清楚,求出平移前后顶点坐标即可以解决问题.
例3 (兰州市)抛物线y=x2+bx+c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为y=x2—2x—3,则b,c的值为().
(A)b=2,c=2 (B)b=2,c=0
(C)b=—2,c=—1 (D)b=—3,c=2
解析因为y=x2+bx+c的顶点坐标是(),利用代入法,y=:x2—2x—3的顶点坐标是(1,—4),由题意知道,点()向右平移2个单位再向下平移3个单位是点(1,—4),那么,,解方程组得,b=2,c=0,故选择B.
例4 (西安市)已知抛物线C:y=x2+3x—10,将抛物线C平移到C'.若两条抛物线C,C'关于直线x=1对称,则下列平移方法中正确的是().
(A)将抛物线C向右平移个单位
(B)将抛物线C向右平移3个单位
(C)将抛物线C向右平移5个单位
(A)将抛物线C向右平移6个单位
解析利用代入法,y=x2+3x-10的顶点坐标是(),此点在直线x=1的左侧,且到直线x=1的距离是,那么C'的顶点在直线x=1的右侧,到直线x=1的距离也是,则C,C'之间的距离是5.故选择C.
例5 (台州市)如图1,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x—m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为一3,则点D的横坐标最大值为().
(A)—3 (B)1 (C)5 (D)8
解析当C的横坐标有最小值一3时,抛物线顶点在A(1,4)点处,抛物线对称轴为x=1,点C为(一3,0).因为C,D关于抛物线对称轴为x=1对称,所以,CD=8;当顶点在B(4,4)点处时,D的横坐标有最大值,抛物线对称轴为x=4,此时仍然有CD=8,,所以D(8,0),选择D.
题型4利用抛物线的顶点坐标研究最优化问题.
二次函数的顶点特征在实际生活中应用非常广泛,特别是最大利润、最小成本、最大面积、最小周长等最优化设计问题,更是与顶点坐标息息相关、密不可分.许多中考题都是紧紧围绕该点设计问题.
例6 (南通市)如图2,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B,C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(Ⅰ)求y关于x的函数关系式;
(Ⅱ)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(Ⅲ)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
分析(Ⅰ)利用EF⊥DE得到∠DEC=∠BFE,Rt△BFE∽Rt△CED,由比例式建立y关于x的函数关系式;
(Ⅱ)将m的值代入(I)中的函数关系式,配方化成项点式后求最值;
(Ⅲ)逆向思考,当△DEF是等腰三角形,因为DE⊥EF,所以只能是EF=ED,再由(I)可得Rt△BFE≌Rt△CED,从而求出m的值.
解(Ⅰ)在矩形ABCD中,
所以在Rt△BFE中,
又EF⊥DE,∠BEF+∠DEC=90°,所以
即
(Ⅱ)因为当m=8时,
所以当x=4时,y的值最大,最大值是2.
(Ⅲ)由,及,得
因为△DEF中∠FED是直角,所以要使△DEF是等腰三角形,则EF=ED,此时,Rt△BFE≌Rt△CED,所以
当EC=2时,m=CD=BE=6;
当EC=6时,m=CD=BE=2.
即m的值应为6或2时,△DEF是等腰三角形.
点评在几何图形中建立二次函数关系式,再通过顶点纵坐标求出y的最大值,是最优化问题解决的基本模式,也是数学建模的常模.注意运用“相似法”、“面积法”与“勾股法”建立有关等式,从而转化为函数关系式是关键.这也是中考试题中的热点.
例7 (青岛改编)某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=—10x+500.
(Ⅰ)设李明每月获得利润为ω(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(Ⅱ)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
分析类似于例6求出ω关于x的(二次)函数表达式,再通过二次函数顶点坐标解决问题.
解(Ⅰ)由题意,得
因为a<0,,所以当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润,最大利润2250元.
(Ⅱ)由题意,得
解方程得
所以李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.
以上实例足以表明,利用坐标顶点解决二次函数问题其主要特点:一是可使复杂的问题,化为简单问题;二是将比较难的问题,化为容易的问题.
初三二次函数综合题 篇8
关键词：二次函数；存在性；数形结合
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）16-081-02
二次函数与三角形、四边形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在，某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。
探究一、二次函数与三角形的结合
例1、如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.
分析：
（1）抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点B的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点的坐标吗？ （2）要求抛物线解析式应具备哪些条件？ 由a=1，A（-3，0），B（1，0）三个条件试一试； （3）根据 列出关于x的方程，解方程求出x的值； （4）如何用待定系数法求出直线AC的解析式？ （5）D点的坐标怎么用x来表示？ （6）QD怎样用含x的代数式来表示？ （7）QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？ 解：（1）由题意知：点A与点B关于直线x=-1对称，A（-3，0），∴B（1，0）.
（2）①当a=1时，则b=2，把A（-3，0）代入 中得c=-3，
∴该抛物线解析式为 ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）.
②∵A（-3，0），C（0，-3），则直线AC的解析式为y=-x-3.
设点Q为（a，-a-3），点D为（ ， ），
∴
当 时，QD有最大值，其最大值为 。
探究二、二次函数与四边形的结合
例2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上的一动点。
（1）求这个二次函数的解析式.
（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
分析：
（1）图中已知抛物线上几个点？ 将B、C的坐标代入求抛物线的解析式； （2）画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？ （3）由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求△BPC的最大面积.
解：（1）将B、C两点的坐标代入 ，得 ，解得
∴这个二次函数的解析式为 。
（2）假设抛物线上存在点P（x， ），使得四边形POP′C为菱形，连接PP′交CO于点E，∵四边形POP′C为菱形，∴PC=PO，PE⊥CO，∴OE=EC=32，∴P点的纵坐标为 ，即 ，解得 ， （不合题意，舍去）。∴存在点P（ ， ），使得四边形POP′C为菱形。
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F，设P（x， ），由 得点A的坐标为（-1，0），∵B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，-3），∴直线BC的解析式为：y=x-3，∴Q点的坐标为（x，x-3），
∴AB=4，CO=3，BO=3， ，
∴当x=32时，四边形ABPC的面积最大.，此时P点的坐标为（ ，四边形ABPPC的最大面积为 。