二次函数判别式

二次函数判别式（共6篇）

二次函数判别式 篇1

我们在画二次函数的图像时,二次函数与x轴的交点( 如果Δ≥0) 、与y轴的交点以及y轴的交点关于对称轴的对称点和二次函数的顶点是非常重要的,一般我们需要作出上面五个点( 若全部存在) 就可以大致画出函数的图像,进而可以分析问题,我们不妨将二次函数的这五个点称为二次函数的关键点. 本文将讨论这些关键点所组成的图形与二次函数的系数以及判别式的关系.

我们先证明下面一个比较有用的结论.

已知: 抛物线y = ax2+ bx + c ( a≠0) 与x轴两交点A( x1,0) ,B( x2,0) ,求证: 其中Δ =b2- 4ac) .

证明∵抛物线y = ax2+ bx + c( a≠0) 与x轴两交点A( x1,0) ,B( x2,0) ,

∴x1,x2是一元二次方程ax2+ bx + c = 0的两个根.

由韦达定理得: x1+ x1= -b/a,x1x1=c/a.

1. 二次函数图像与x轴两个交点以及与y轴的交点组成的三角形

结论1 : 抛物线y =ax2+ bx + c( a≠0) 与x轴两交点A( x1,0) ,B( x2,0) ,与y轴交于点C. 若△ABC是直角三角形,则ac = -1.

证明易知△ABC是直角三角形时,只有∠ACB =90°,点A( x1,0) ,B( x2,0) 在原点两侧.

∵∠ACB = 90°,OC⊥AB,∴OC2= OA·OB.

∵点C的坐标为( 0,c) ,∴c2= | x1x2| .

由韦达定理得x1x2=ca< 0.

结论2: 抛物线y = ax2+ bx + c( a≠0) 与x轴两交点A( x1,0) ,B( x2,0) ,与y轴交于点C. 若△ABC是等边三角形,则ac = -3.

证明易知△ABC是等边三角形时,点A( x1,0) ,B( x2,0) 在原点两侧且关于y轴对称,

∴抛物线y = ax2+ bx + c的对称轴为y轴,即b = 0.

∵△ABC是等边三角形,∴

∵点C的坐标为( 0,c) ,

2. 二次函数图像与x轴两个交点以及顶点组成的三角形

结论3: 抛物线y=ax2+ bx + c( a≠0) 与x轴两交点A( x1,0) ,B( x2,0) ,顶点为点E.若△ABE是直角三角形,则Δ=4.

证明易知△ABE是直角三角形时,只有∠AEB =90°,根据对称性得△ABE是等腰直角三角形. 过点E作EF⊥x轴,垂足为F,∴EF =(1)/(2)AB.

∵点E为抛物线y = ax2+ bx + c的顶点,

∴点E的坐标为 ,即 (-b/2a,- Δ/4a).

∴Δ = 4或Δ = 0( 舍去) .

结论4: 抛物线y=ax2+ bx + c( a≠0) 与x轴两交点A( x1,0) ,B( x2,0) ,顶点为点E.若△ABE是等边三角形,则Δ=12.

证明同上易知△ABC是等边三角形时,

∴Δ = 12或Δ = 0( 舍去) .

3. 二次函数图像与y轴的交点、y轴的交点关于抛物线对称轴的对称点以及顶点组成的三角形

结论5: 抛物线y =ax2+ bx + c( a≠0) 与y轴交于点C,点C关于抛物线对称轴的对称点为点D,顶点为点E,若△CDE是直角三角形,则b = ±2.

证明易知△CDE是直角三角形时,只有∠CED =90°,根据对称性得△CDE是等腰直角三角形. 过点E作EF⊥CD,垂足为F.

∵抛物线y = ax2+ bx + c与y轴交于点C,点C关于抛物线对称轴的对称点为点D,

结论6: 抛物线y =ax2+ bx + c( a≠0) 与y轴交于点C,点C关于抛物线对称轴的对称点为点D,顶点为点E,若△CDE是等边三角形,则

证明同上,∵△CDE是等边三角形

以上问题,如果抛物线y =ax2+ bx + c五个关键点都存在的情况下,以上六个真命题的逆命题也是成立的,不再赘述.

二次函数判别式 篇2

【关键词】函数项级数；；和函数；非一致收敛；判别

【中图分类号】O173

一，函数项级数的相关知识

函数项级数在收敛时是函数的一种表示方法，这种表示方法可以从更深刻的背景上描述一个函数的性态：连续性，可积性，可微性等。在有了函数项级数的知识后，就存在了讨论如何通过无穷多个函数的叠加来产生新函数以及研究这样产生的新函数的性质的可能性，而函数项级数的一致收敛性和非一致收敛性在其中起了关键作。

定义：设{ }是定义在数集D上的一个函数列，表达式 称为定义在D上的函数项级数，简记为 ， 称 为函数项级数 的部分和函数列。

若 ，数项级数 收敛，即部分和 ，

当 时极限存在，则称级 在点 收敛。若在 处， 均收敛，则称函数项级数 在D上收敛。

级数 在D上每一点 与其对应的数项级数 的和 构成一个定义在D上的函数，称 为级数 的和函数，即 = 。

二，非一致收敛的定义

若 ，则称函数项级数

在D上非一致收敛。

三，引进非一致收敛的意义

函数列理论中的重要问题是{ （x）}的相关性质（连续性，可积性，可微性等）在极限过程中是否依旧保持？而在函数项级数中，即 确定的和函数s（x）是否有有限和的相关性质，即：

⒈若

则

即 函数项级数的求和符号与极限符号能否交换？

⒉若对任何正整数n， 在 上均黎曼可积，则和函数s（x）是否在 上也黎曼可积？若此时可积，

即 函数项级数的求和符号和积分符号能否交换？

⒊若对任何正整数n， 在 上可导，则s（x）在 是否可导？

即 函数项级数的求和符号与导数运算能否交换（逐项可导）？

上述三种情形在 收敛的情况下并不一定成立，进而猜测，在附加一定的充分条件下使上述结论成立，因此引进了收敛性较强的一致收敛，从而深入研究和函数的相关性质。综上，如何判别函数项级数的非一致收敛就变成一个重要且亟待解决的问题。

四， 非一致收敛的判别方法

1.函数项级数非一致收敛的 定义

，则函数项级数在区间D上非一致收

敛。

例1.试讨论函数项级数 的敛散性。

解： 当 时，有

S（x）= ， 取 ，无论n取多大，只要取 ，就有 =

，综上，由非一致收敛的定义知

非一致收敛。

2.确界法

若函数项级数 的余项为 ，且 =

，则函数项级数在D上非一致收敛。

例2.求证函数项级数 在 上非一致收敛。

证明：因为 ，则有s（x）= ，又因为

，即 在 上非一致收敛。

3.利用柯西收敛准则

（1）柯西收敛准则否定形式： 在D上非一致收敛

，使 。

（2）柯西收敛准则推论1的逆否命题：若函数列 非一致收敛于0，则函数项级数

非一致收敛。

（3）柯西收敛准则推论2：若函数项级数 在区间D上点点收敛，且在区间D上 存在一点列 ，使 ，则函数项级数 在区间D上非一致收敛。

例3.讨论函数项级数 在 上的一致收敛性。

解：取 ，从而使得

。综上，由柯西收敛准则知函数项级数 在 上一致收敛。

例4.讨论 在 上的一致收敛性。

解：显然函数项级数 在 上点点收敛，又知， ，有 ，则由柯西收敛准则的推论2知 在 上非一致收敛。

例5. 证明：函数项级数 在区间 上非一致收敛。

证明：函数项级数 在 上点点收敛，取 ，此时有

，所以， 不趋于0，则由柯西收敛准则的推论2知 在区间 上非一致收敛。

4.利用和函数的不连续性

若连续函数项级数 在区间D上点点收敛于和函数s（x），且存在 ，使s（x）在

处不连续，则函数项级数 在区间D上非一致收敛于s（x）。

（1）此方法在和函数比较容易求得的情况下应用简便。

例6. 证明：函数项级数 上非一致收敛。

证明：由题知 ，且 ，当x=1时， ，

，而 ， 在

x=1处不连续，而 在区间上连续，综上，函数项级数 上非一致收敛。

5.利用端点发散性判别

若函数项级数 在区间 上点点收敛，但在左端点 处发散，

且 在左端点 处右连续，则函数项级数 在 上非一致收敛。

证明：假设 在 上一致收敛，则

，则在上式中，令 ，得 ，再由柯西收敛准则知 收敛，这与已知矛盾。即得函数项级数 在 上非一致收敛。（定义域为 的情况，同理可证）

例7.讨论函数项级数 在区间 上的一致收敛性。

解：显然函数项级数 在区间 上点点收敛，且每一项均在x=1处连续，而函数项级数 在x=1处，即数项级数 发散，故该函数项级数在区间 上非一致收敛。

例8.讨论函数项级数 在区间 上的一致收敛性。

解： 显然函数项级数 在区间 上点点收敛，且每一项均在x=0处连续，而函数项级数 在x=0处发散， 故该函数项级数在区间 上非一致收敛。

例9.证明：函数项级数 在区间 上非一致收敛。

证明：假设 在区间 上一致收敛，则将区间 看成 ，则由

，知数项级数 收敛，显然矛盾。综上，函数项级数 在区间 上非一致收敛。

五，小结

在判别非一致收敛的过程中，某一种方法对某一类函數项级数较为简便，非一致收敛的判别往往与函数项级数的某种特殊性相关，以某端点的性质最为常见。实际上，对函数项级数的非一致收敛性的证明除了以上较常用的详细介绍的五种方法外还有多种方法，如：①若连续函数项级数 在区间D上点点收敛于s（x），且 ， ，有 ，则函数项级数 非一致收敛于s（x）。 ②设对任意的自然数n，函数 在区间D上都是单调增加（或单调减小）的，如果存在数列 ，使级数 发散，则函数项级数 在区间D上

非一致收敛。 ③设对任意的 ， 为单调数列，如果存在数列 使 不存在，或者 存在但不为0，则函数项级数 在区间D上非一致收敛。

【参考文献】

[1] 同济大学大学数学系.高等数学（下册）第7版.[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 薛志纯.高等数学.[M].背景：清华大学出版社，2008.

[3] 同济大学大学数学系.高等数学习题全解指南.[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 张选群.医用高等数学.[M].北京：人民卫生出版社，2013.

[5] 李忠.高等数学.[M].北京：北京大学出版社，2009.

二次函数判别式 篇3

二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 若有a<0, a+c>b, 则有b2-4ac>0.如果该结论恒成立, 那么此条件也是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 是否有两个不相等的实根的充分条件.

二、结论证明

本文主要运用中学数学中的两种常用证明方法 (数形结合、不等式中的放缩法) 给予证明.

解析:若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 与轴有两个不同的交点圳△>0圳一元二次方程有两个不等的实根.下面将运用此思想对上述条件给予证明.

证明: (1) 当a>0, c<0时有:

由a>0可知, 二次函数开口向上

c<0可知, 二次函数图像与轴交于负半轴 (如下图) y

由上图可知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴有两个不同的交点

(2) 当a>0, c=0时有:

(3) 当a>0, c>0时有:

由二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的顶点坐标公式

由此可得:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 顶点坐标的符号为 (-, -) , 顶点落在平面直角坐标系的第四象限内 (如下图) :

结论:

(1) 在二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中, 若有a>0, a+c0;

(2) 在方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 中, 如果a>0, a+c

三、结论应用

应用上述结论解题, 可快速、准确的得出结论

例1.下列方程中有实数根的是 ( )

解析:本题的常用解法是利用根的判别式解题, 或者利用上述结论解题, 下面是两种解题过程的比较:

法一:利用根的判别式

C:△=b2-4ac=32-4×1×1=5 (有根)

法二:利用上述结论

C:a+c=1+1=2

故选C

例2.下列关于x的一元二次方程中, 有两个不相等的实数根的方程是 ( )

法一:利用根的判别式

法二:利用上述结论

故选D

例3.下列关于x的一元二次方程中, 有两个不相等的实数根的方程是 ()

法一:利用根的判别式

法二:利用上述结论

故选D

通过上述解题过程的对比, 在解题过程中, 只要满足上述条件, 可以简便的得到准确答案。

四、结论总结

关于实函数零点的若干判别法 篇4

1利用函数的单调性判断函数零点的个数

定理1:如果函数f (x) 在闭区间[a, b]连续单调且f (a) f (b) ＜0, 则f (x) 在[a, b]内有且仅有一个零点。

证明 (略) 。

例1:判断函数f (x) =ex-x-2在开区间 (1, 2) 内是否有零点?如果有零点, 它有几个零点?

解:由于f (x) =ex-x-2在[1, 2]连续可导且

则f (x) 在[1, 2]上单调递增, 由定理1知f (x) 在 (1, 2) 有且仅有一个零点。

2利用微分中值定理与函数的次数判断函数零点的个数

证明 (见[1, 2, 3]) 。

3利用儒歇定理判断函数零点的个数

定理3:假设。

由儒歇定理可知, 利用一些简单的解析函数可以判断比较复杂的解析函数在某区域的零点个数。

我们根据实函数与解析函数的关系与性质, 也可以利用儒歇定理来考虑某些实函数根的个数问题。

解:利用介值定理判断。

将原函数放在复平面上考虑.作代换, 原函数变为

说明:对于某些实变函数, 由介值定理可判断在给定的区间根的最少个数.再结合函数的单调性、微分中值定理与系数以及复变函数中的儒歇定理, 可以确定在给定区间根的具体个数。每一门学科都有规律, 这种规律需要总结与归纳。找到这些规律与学习方法, 发挥主观能动性, 学好高等数学就不难了。

摘要：主要利用函数的单调性、函数微分中值定理与次数以及结合解析函数的儒歇定理讨论实函数在某区间根的个数。该文给出这三种解题方法, 来说明如何在高等数学的教学中培养学生的类推与归纳总结能力, 谨仅供教学参考。

关键词：单调性,次数,儒歇定理

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]陈纪修, 淤崇华, 金路.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 1999.

[3]刘玉琏, 傅沛仁.数学分析讲义[M].4版.北京:高等教育出版社, 2003.

[4]谭小江, 伍胜健.复变函数简明教程[M].北京:北京大学出版社, 2006.

[5]张锦豪, 邱维元.复变函数论[M].北京:高等教育出版社, 2001.

二次函数判别式 篇5

一、极点的乘除判别法

1. 极点的乘判别法

设函数f (x) 在u (x0, δ) 存在一阶导数f' (x) 且f' (x0) =0, 若f' (x) 可以分解成为两个函数的乘积, 即f' (x) =g (x) h (x) , 其中g (x0) =0, h (x0) ≠0且函数h (x) 在x0点连续, 则: (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, x0是f (x) 的极点; (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, x0不是f (x) 的极点.

证明由题知h (x0) ≠0, 不妨设h (x0) >0.又由于h (x) 在x0点连续, 则根据连续函数的局部保号性有:δ1 (δ1<δ) , x∈ (x0-δ1, x0+δ1) , 有h (x) >0. (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, δ2>0, 使g (x) 在 (x0-δ2, x0) 和 (x0, x0+δ2) 内符号相反.取δ3=min{δ1, δ2}, 则f' (x) =g (x) h (x) 在 (x0-δ3, x0) 和 (x0, x0+δ3) 内的符号相反.故x0是函数f (x) 的极点. (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, δ4>0, 使g (x) 在 (x0-δ4, x0) 和 (x0, x0+δ4) 内符号相同.取δ5=min{δ1, δ4}, 则f' (x) =g (x) h (x) 在 (x0-δ5, x0) 和 (x0, x0+δ5) 内的符号相同.故x0不是函数f (x) 的极点.

同理可证当h (x0) <0时, 命题仍然成立.

2. 极点的除判别法

设函数f (x) 在u (x0, δ) 存在一阶导数f' (x) 且f (x) 在x0点连续, 若f' (x) 可以分解成为两个函数的商, 即f' (x) =h (x) /g (x) , 其中g (x0) =0, h (x0) ≠0且函数h (x) 在x0点连续, 则: (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, x0是f (x) 的极点; (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, x0不是f (x) 的极点.

注极点的除判别法的证明类似于极点的乘判别法的证明, 它主要用于判别一阶导数不存在的点是否为极点.

二、拐点的乘除判别法

1. 拐点的乘判别法

函数f (x) 在u (x0, δ) 存在二阶导数f″ (x) 且f (x) 在x0点连续, 若f″ (x) 可以分解成为两个函数的乘积, 即f″ (x) =g (x) h (x) , 其中g (x0) =0, h (x0) ≠0且函数h (x) 在x0点连续, 则: (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, x0是f (x) 的拐点; (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, x0不是f (x) 的拐点.

证明由题知h (x0) ≠0, 不妨设h (x0) >0.又由于h (x) 在x0点连续, 则根据连续函数的局部保号性有:δ1 (δ1<δ) , x∈ (x0-δ1, x0+δ1) , 有h (x) >0. (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, δ2>0, 使g (x) 在 (x0-δ2, x0) 和 (x0, x0+δ2) 内符号相反.取δ3=min{δ1, δ2}, 则f″ (x) =g (x) h (x) 在 (x0-δ3, x0) 和 (x0, x0+δ3) 内的符号相反.故x0是函数f (x) 的拐点. (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, δ4>0, 使g (x) 在 (x0-δ4, x0) 和 (x0, x0+δ4) 内符号相同.取δ5=min{δ1, δ4}, 则f″ (x) =g (x) h (x) 在 (x0-δ5, x0) 和 (x0, x0+δ5) 内的符号相同.故x0不是函数f (x) 的拐点.

同理可证当h (x0) <0时, 命题仍然成立.

2. 拐点的除判别法

设函数f (x) 在u (x0, δ) 存在二阶导数f″ (x) 且f (x) 在x0点连续, 若f″ (x) 可以分解成为两个函数的商, 即f″ (x) =h (x) /g (x) , 其中g (x0) =0, h (x0) ≠0且函数h (x) 在x0点连续, 则: (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, x0是f (x) 的拐点; (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, x0不是f (x) 的拐点.

注拐点的除判别法的证明类似于拐点的乘判别法的证明, 它主要用于判别二阶导数不存在的点是否为拐点.

例1判别x0=0是否为函数f (x) =的拐点.

解显然, f″ (x) 在x=0处不存在, 从而应用该推论可得:h (x) =x-1, g (x) =且g (0) =0, h (0) ≠0, h (x) 在x=0点连续.故x<0时, g (x) <0;x>0时, g (x) >0.即g (x) 在x=0点左右两侧异号.故x=0点为该函数f (x) 的拐点.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.

二次函数判别式 篇6

一、统计分析

1. 样本及数据选择。

选取截至2007年12月31日全部的1 635家上市公司作为样本, 其中:非ST股公司1 459家、ST股公司176家 (包括所有ST股公司、SST股公司、*ST股公司以及S*ST股公司) 。

为了对上市公司的财务状况进行准确的判断, 应全面引入上市公司财务报表中的指标。因此, 本文将上述上市公司2007年度财务报表指标按长期偿债能力、短期偿债能力、股东获利能力、现金流量能力、发展能力、盈利能力以及营运能力分为七大类, 共69个。其中, 利息保障倍数、资产报酬率、总资产净利润率 (ROA) 、流动资产净利润率、固定资产净利润率、净资产收益率 (ROE) 、主营业务收入增长率、应收账款周转率、存货周转率、应付账款周转率、营运资金 (资本) 周转率、现金及现金等价物周转率、流动资产周转率、固定资产周转率、长期资产周转率、总资产周转率、股东权益周转率、资本保值增值率、资本积累率、固定资产增长率、总资产增长率以及净利润增长率均采用“A”类算法, 即合并会计报表指标。

由于大量公司特别是ST股公司缺乏负债与权益市价比率、营运资金、市盈率、股利分派率、留存收益率、普通股获利率、本利比、P/CF (年末股价/每股经营性现金流) 、P/S (年末股价/每股营业收入) 以及每股现金净流量这十个指标的数据, 为保证统计方法的正常应用以及判别函数的判别性能, 分析时将不引入这十个指标。因此, 实际应用指标数量为59个。

2. 统计方法描述。

本文将1 635家上市公司按其股票是否被列入ST股分为两类, 即非ST股公司与ST股公司。通过对两类公司财务指标的对比分析, 选择两类公司之间差异显著的指标建立判别函数, 以力求减少分析中涉及的指标数量, 从而判断非ST股公司是否存在因财务失败而被列入ST股公司的潜在风险, 并对判别函数进行检验。

首先, 由于分析中涉及的财务指标数量较多, 为了减少工作量、降低分析难度, 同时保证分析的准确性以及指标筛选的科学性, 先对所有涉及的指标进行方差分析, 剔除在非ST股公司与ST股公司两类公司之间差异不显著的指标。

其次, 将所有上市公司按照沪市A股、沪市B股、沪市A股ST股、沪市B股ST股, 以及深市A股、深市B股、深市A股ST股、深市B股ST股的标准分为八类。

最后, 从每类中选取60%的上市公司的财务指标作为样本建立Fisher判别函数, 以判断哪些公司存在潜在的财务失败风险。用每类中余下的40%的上市公司的财务指标检验判别函数的性能。

为了方便非统计专业的读者理解, 下面简要解释一下用到的各种统计方法。 (1) 方差分析。方差分析是检验多个样本均值间是否存在显著差异的一种多元统计分析方法。在两种以上不同事物的特点可以用一种或多种变量描述时, 就可以运用方差分析方法计算这些变量的均值, 比较不同事物的变量均值是否具有显著差异, 从而判断不同的事物是否存在显著的差异。 (2) 判别分析。判别分析是多元统计中判别样品所属类型的一种常用方法。判别分析是根据观察或测量到的若干变量值, 判断研究对象所属的类别。在进行判别分析时, 应首先掌握观测对象所属的类别, 以及可以体现观测对象特点的变量值。再根据已掌握的数据建立判别函数, 用以判断观测对象所属的类别。常用的判别分析方法主要有:距离判别、Fisher判别、Bayes判别、逐步判别。本文应用的是逐步判别法。

3. 方差分析。

由于已知两类公司在财务指标上应该具有显著的差异, 因此在对两类公司的所有财务指标进行方差分析时, 如果两类公司某个指标的均值差异不显著, 就可以认为这个指标在判断公司是否存在财务风险时的作用是不显著的, 因此可以认为该指标是可以被剔除的。相反, 若某个指标的均值在两类公司中的差异显著, 就应该认为这个指标在判断公司是否存在财务风险时起到关键作用, 因此应当保留。

在对所有变量进行方差分析后, 剔除了23个均值在两类公司之间差异不显著的指标, 只将余下的36个差异显著的变量保留到其后的分析中 (由于篇幅有限, 在这里仅列明被剔除的指标) 。

4. 训练样本与测试样本的公司数量分布。

由于判别函数在建立之后需要通过检验以验证其性能, 因此应在建立函数之前将所有样本按一定比例分开, 将一部分作为建立判别函数的依据, 并用另一部分检验判别函数的性能。本文将这两部分按60%与40%的比例分开, 详细数量分布见表2。

5. 判别分析。

进行方差分析之后, 用保留的财务指标作为自变量进行逐步判别分析。加入变量的F值概率为5%, 移出变量的F值概率为10%。由于数据缺失值的存在, 判别分析仅针对980个训练样本中的931家数据完整的上市公司进行, 其分析结果见表3。

表3为逐步判别后建立的Fisher线性判别函数系数表, 其中第一列为判别函数的自变量, 第二列为非ST股公司判别函数的各项系数, 第三列为ST股公司判别函数的各项系数, 故可知判别函数分别为:

非ST股公司判别函数=-12.796+11.227×所有者权益比率+26.896×流动资产比率-0.001×有形净值债务率+0.721×速动比率-18.784×营运资金对资产总额比率-1.81×每股收益+0.946×每股公积金+1.466×每股未分配利润+14.385×营业毛利率-15.169×资产报酬率A+3.936×总资产净利润率 (ROA) A+0.519×流动资产净利润率A+0.487×净资产收益率 (ROE) A+0.023×现金及现金等价物周转率A+1.688×总资产周转率A

ST股公司判别函数=-16.936+14.262×所有者权益比率+29.505×流动资产比率-0.028×有形净值债务率+1.257×速动比率-23.59×营运资金对资产总额比率+1.187×每股收益+0.509×每股公积金-0.172×每股未分配利润+11.124×营业毛利率-36.959×资产报酬率A-5.848×总资产净利润率 (ROA) A+2.376×流动资产净利润率A+0.86×净资产收益率 (ROE) A+0.046×现金及现金等价物周转率A+0.755×总资产周转率A

在建立了判别函数之后, 首先用训练样本中上市公司的财务指标对此判别函数进行检验, 结果见表4。

由表4可知, 上述两个判别函数在判别训练样本中上市公司财务指标时的正确率达到了94.6%[ (812+69) ÷ (831+100) ×100%]。其中:在831家参与计算的非ST股公司中仅有19家被判别函数错误地判断到ST股公司中, 其判断的正确率为97.7%;在100家参与计算的ST股公司中有31家被判别函数错误地判断到非ST股公司中, 其判断的正确率为69%。

再用余下40%的上市公司的财务指标来检验该判别函数的性能。由于数据缺失值的存在, 判别函数仅对655个测试样本中的618家数据完整的上市公司进行判别, 结果见表5。

由表5可知, 上述两个判别函数在判别测试样本中上市公司财务指标时的正确率达到了93.4%[ (541+36) ÷ (552+66) ×100%]。

二、结论分析

1. 判别函数可以在很大程度上降低财务分析的难度, 缩短投资者的决策时间。

从方差分析以及判别分析中不难看出, 虽然上市公司财务报表中的指标繁多, 但在财务状况良好的公司和存在潜在财务失败风险的公司中具有显著差异的财务指标不过36个, 而在这36个指标中被用于判别公司是否存在潜在财务失败风险的只有15个。因此, 当投资者面对上千家上市公司的财务报表时一般只需要对其中的关键性指标进行分析就可以得出正确的结论。这样, 一方面降低了投资风险;另一方面, 减少了投资者的决策时间。

2. 判别函数具有良好的预警性能。

为了进一步了解判别函数的性能, 在此对所有测试样本中被误判的非ST股公司与ST股公司截至2007年年底的实际经营情况进行进一步分析。通过分析, 在11家被误判的非ST股公司中有9家公司均存在一定的经营问题。而在30家被误判为非ST股公司的ST股公司中, 有8家公司的经营状况在其后出现了明显改善。

通过以上分析可以看出, 在被误判的公司中, 有一定数量的公司的确存在着财务状况恶化或财务状况改善的事实。因此, 这类公司不应当作为被误判公司。特别是对于被判为ST股公司的9家非ST股公司来说, 判别函数的确起到了对上市公司财务状况进行预警的作用。而对于8家被判为非ST股公司的ST股公司来说, 判别函数也会为投资者提供一定的参考价值。因此, 可以认为判别函数具有良好的预警性能。

3. 判别函数依然存在一定的误判率。

从判别分析的结果中可以发现两个特点。首先, 模型对非ST股公司与ST股公司的判别均存在着一定的误判率。其次, 非ST股公司判别的误判率明显低于ST股公司。第一个特点的出现是由于判别函数的性质造成的。建立判别函数的目的在于通过少数具有代表性的变量判别观测对象所属的类别。因此, 在用少数具有代表性的变量描述整体观测对象的过程中必然会出现一定量的信息损失, 从而造成判别函数性能的下降。并且, 在被判别到非原始类的公司中存在着一定数量的出现财务状况变化的非误判公司。这些因素都会导致误判率的存在。同时, 任何判断都不可能100%正确, 如果将误判率控制在可以接受的范围内, 判别函数就是可以接受的。

第二个特点主要由三方面原因导致。第一, 由于非ST股公司的数量远远多于ST股公司, 这就使得统计分析过程中ST股公司的样本量大大少于非ST股公司, 而样本量的大小对判别函数的性能有着一定程度的影响, 因此导致对ST股公司的误判率较高。第二, 上市公司为了规避摘牌风险, 吸引投资者投资, 大多会对其公布的财务报表进行粉饰。而ST股公司又是上市公司中摘牌风险最高的公司, 所以其粉饰财务报表的问题尤为严重。这也是造成对ST股公司误判率较高的主要因素之一。第三, 由于ST股公司多为经营业绩不好的小规模公司, 所以其股价更容易被游资和庄家所控制, 而非对公司真正业绩的反映, 这就势必会影响股东获利能力方面的指标。而在判别函数中, 每股收益、每股公积金、每股未分配利润又是重要的自变量。所以, 判别函数对ST股公司的正判率难免会受到一定影响。

综上所述, 由于建立判别函数的主要目的是帮助投资者特别是非专业投资者对非ST股公司的投资进行预警, 即利用判别函数对公司进行判别。若非ST股公司被判为ST股公司, 即使其最终未被定为ST股公司, 也说明公司现阶段的财务状况已出现危险信号, 存在潜在的财务失败风险, 应给予重视。因此, 虽然该模型在判断ST股公司上略有缺陷, 但是其对非ST股公司的正判率极高, 而对非ST股公司的判断正是建立判别函数的初衷, 因此认为该模型可以应用于对上市公司是否存在潜在的财务失败风险的预警。

摘要：本文运用SPSS软件对上市公司年度财务报表进行方差分析和判别分析, 建立了针对上市公司财务状况的预警指标, 预测非ST股公司是否存在因经营不善而被列入ST股公司的潜在风险, 为缺乏财务专业知识的投资者做出正确的投资决策提供一定依据。

关键词：ST股公司,非ST股公司,方差分析,判别分析

参考文献

[1].刘李胜.上市公司分析——一种基于新理论和事实的分析框架.北京:中国时代经济出版社, 2009

[2].卢纹岱.SPSS for Windows统计分析.北京:电子工业出版社, 2005