搞好二次函数复习

2024-10-17

搞好二次函数复习（精选3篇）

搞好二次函数复习篇1

一、问题提出

随着新课改的不断深入, “新课堂”确实出现了无限生机, 但我们仍发现了自己的一些问题。更多的学校还进行着传授式的教学, 师问生答的封闭式教学模式仍然根深蒂固。在这种模式里学生学习的基础知识与技能掌握的比较扎实, 但学生主动提问、探求创造的意识明显不足。尤其到了高年级的学生, 课堂上不愿主动举手, 不愿合作交流, 觉得这样做很麻烦, 更危险的是学生丧失了探究的能力。针对这种弊端, 我们老师应该及时更新自己的教学理念, 积极学习同行的经验, 对照他们在上课中的学生反映和老师们的评点做适当的调整。既研究问题的连贯性, 又备学生, 让学生一样能充满学习的活力, 充满探究的趣味, 充满大胆猜想小心验证的勇气和精神。在教给学生知识的同时, 更重要的是教给学生方法, 注重培养学生提出问题、解决问题的能力。

二、案例描述

问题:已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 如图1所示。

1. 观察图形你能得出那些信息?

生1:a>0。

师:你是怎么知道的?

生1:因为开口向上。

生2:c<0, 因为抛物线与y轴的交点在负半轴。

生3:b<0, 因为抛物线对称轴在y轴的右侧, 即而a>0, 所以b<0。

生4:b2-4ac>0, 因为抛物线与x轴有两个交点。

老师对学生的每一个结论都问一个为什么, 让学生知道每一个结论的缘由, 通过图形的特点对二次函数的性质做了简单的复习。与直接提问二次函数有哪些性质相比较, 把死记的东西融入在有意识的理解记忆中, 又进行简单的知识运用。同时也满足了不同层次学生的学习水平, 使每一位学生都有所收获, 使二次函数性质的复习显得不枯燥, 也更有效。

2. 若A (-1, 0) , B (3, 0) 顶点P (1, -4) , 如图2所示。

生5:对称轴是直线x=1,

生6:在对称轴的左侧y随x的增大而减小, 在对称轴的右左侧y随x的增大而减大。

生7:当x=1时, 函数有最小值是-4。

生8:可以求出二次函数的解析式。

老师让学生求出, 巡视并找出二次函数的解析式三种不同求法, 展示学生的作品, 让学生在享受成功的同时, 又复习了二次函数的三种解析。

生9:顶点式:y=a (x+m) 2+k (a≠0)

生10:交点式:y=a (x-x1) (x-x2) (a≠0)

生11:一般式:y=ax2+bx+c (a≠0)

老师让学生比较三种解题方法哪种更简单, 学生在比较中选择简便方法, 既避免了繁杂的计算, 又提高了解题的准确率与速度。

师:你能求出△A BC的面积吗? (学生很快地求出答案) 。

师:△A BP的底与高的的位置有什么特殊吗?

生12:底边在x轴上, 高就是P点的纵坐标的绝对值。

设计求△A BP的面积及三角形在坐标系中的位置这一问, 为下题求面积奠定基础。在坐标系中一般图形的面积, 总可以转化为求一些以x轴或y轴为底 (或平行x轴或y轴为底) 的三角形的面积或特殊的四边形, 渗透着从一般到特殊的辩证唯物主义思想, 是数学中常用的转化思想。另外, 不管怎样的班级, 学生总是参差不齐, 教学中教师应使基础一般的学生也有所收获。

3. 设抛物线与y轴交点为C。

现在让学生编题, 看谁编的题更精彩。学生编的题很多, 如:求三角形A CB面积;求三角形A O C面积;求三角形O BC面积;求三角形BCP面积;求四边形A CBP面积……

师:你们编的题都很棒, 为了能有效地利用图中的条件, 我选择了求四边形A CPB的面积。现在请你们帮我计算一下。

生13:过点P作PD⊥x轴于点D, 四边形A CPB面积=三角形A O C面积+梯形O CPD面积+三角形BD P面积。

生14:四边形A CPB面积=三角形A BC面积+三角形BCP面积。 (在计算三角形BCP的面积时候, 学生发现可不好求。老师提示这种方法一定是可行的, 而三角形BCP面积的求法具有一定的代表性, 不是直接就可以求出来的, 因此学生又投入了积极的探索过程中。)

生15:延长BP交y轴于点E, 先求出直线BP的解析式, 然后得到直线与y轴交点的坐标, 从而三角形BCP的面积=三角形BCE的面积-三角形CEP的面积。

生16:过点C作CF平行x轴交BP于点F。先求出直线BP的解析式, 然后令y=3得到F点的坐标, 从而得到:三角形BCP的面积=三角形BCF的面积+三角形CFP的面积。

生17:三角形BCP为直角三角形, 从而不添辅作线也可以计算。 (到此, 四边形A CPB的面积迎刃而解。)

4. 在抛物线上是否存在点Q, 使S△ABQ=10, 若存在, 求出点P的坐标;

若不存在, 请说明理由。

生18:因为三角形A BQ, 根据三角形面积公式得到高为5。令y=5, 解出相应方程的解, 有两个解;令y=-5, 相应方程无解。或直接与最底点比较发现与抛物线没有交点。综上所述, 存在2个点Q。

5. 点Q在抛物线上, 当S△ABQ满足怎样的情况时, 抛物线上的点Q有2个, 3个, 4个。

生19:三角形A BP面积为8, 所以当三角形A BP面积大于8时, 这样的Q有2个;当三角形A BP面积为8时, 这样的Q有3个;当三角形A BP面积小于8时, 这样的Q有4个。

三、实践反思

“授人以鱼, 不如授人以渔。”这是我们早就明白的道理, 然而在实践中却往往忘却。如果在教学中能为学生提供“做数学”的机会, 采取“先学后教, 先做后说”的教学策略, 让学生在学习过程中去充分展示个性, 去体验数学和理解数学, 那么就有利于开发学生的学习潜能, 促进学生主动发展。上述教学案例给人最大的感触就是教师诚心诚意地把学生看作是学习的主人, 以“做数学”为主旋律, 不断创设有意义的问题情境或数学活动, 激励学生自己去“做数学”, 让学生学会自主探索。

“做数学”是新课程倡导的一个重要理念, 它强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程, 强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性, 认为学生的实践、探索与思考是学生理解数学的重要条件。本课例以这一理论作指导, 教师始终把学生看成是知识的发现者、研究者、探索者, 把教学过程变成引导学生进行“再发现、再创造”的过程, 始终关注学生探究性学习, 让学生在学习活动中“做数学”。课始, 教师创设了一个从“做数学”的情境, 让学生自己探索所有的结果, 变单一为多向、变封闭为开放, 有效激发了学生主动参与探究的热情, 放手让学生尝试探索, 让“做数学”成为促进学生发展的原动力。课中, “三角形一定可以求的出来”。一石激起千重浪, 富有思考性挑战性的问题, 像磁铁般吸引了学生, 当学生发现不能直接求时, 学生强烈的认知冲突被激活。就在学生处于“心求通而未得, 口欲言而不能”的愤悱状态时, 想到常用的转化思想, 学生们个个情绪高涨, 跃跃欲试, 沉浸在探究的兴奋之中, 终于探索出三种算法。学生不仅获取了知识, 发展了能力, 而且还获得了积极的情感体验, 感受到成功的愉悦, 增强了自主学习和自主创新的意识。

总之, 教师在教学中能引发知识的认识冲突, 激活学生的思维, 让学生参与到操作之中。学生在操作活动中, 促使自己的认识结构进行调整、改组和重建, 建立起新的认识结构, 悟出许多精彩的算理、算法, 实现了认识上的飞跃、思维上的深化。

搞好二次函数复习篇2

18课时二次函数(二)

1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2.结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 3.会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。4.会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题。教学重点二次函数性质的综合运用教学难点二次函数性质的综合运用教法讲练结合教学过程

一、知识梳理: 1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y为0时的情况．

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）①当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，△>0；

②当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，△=0；

③当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，△<0.2.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决优化问题，这类问题实际上就是求函数最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；

二、经典考题剖析: 例题1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

①方程x2-6x＋8=0的解是什么？

②x取什么值时，函数值大于0？

③x取什么值时，函数值小于0？

解：（1）由题意，得x2－6x+8=0．则（x－2）(x－4）= 0，x1=2，x2=4．∴与x轴交点为（2,0）和（4，0）；当x=0时，y=8．∴抛物线与y轴交点为（0，8）；（2）抛物线解析式可化为y=x2－6x+8=(x-3)2-1；

∴抛物线的顶点坐标为（3，－1）

（3）如图所示．①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4．

②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0．例题

2、已知二次函数yx2(m2)xm1，(1)试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；(2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

分析：(1)要说明不论m取任何实数，二次函数yx2(m2)xm1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程x2(m2)xm10有两个不相等的实数根，即△＞0．

(2)两个交点都在原点的左侧，也就是方程x2(m2)xm10有两个负实数根，因而必须符合条件①△＞0，②x1x20，③x1x20．综合以上条件，可求得m的值的范围．

三、合作交流：

1、若二次函数y=-x+2x+k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程-x+2x+k=0的一个解x1 = 3,则另一个解x2 = _____。

2、抛物线y=kx-7x-7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是。

四、中考压轴题赏析：（分组合作）

已知：二次函数yx2(m1)xm的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点，2交y轴正半轴于点C，且x12x210。2（1）求此二次函数的解析式；

5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，2使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，说明理由。（2）是否存在过点D(0，-解：（1）∵x1+x2=10，∴（x1+x2）-2x1x2=10，根据根与系数的关系得：x1+x2=m+1, x1x2=m 222∴（m+1）2-2m=10，∴m=3，m=-3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴m = 3，∴所求抛物线的解析式为：y=x-4x+3；（2）假设过点D（0，-5）的直线与抛物线交于M（xM，yM）、N（xN，yN）两22点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．

5设直线MN的解析式：y=kx-，2则有：yM+yN=0，（6分）由得x-4x+3=kx-，并同类项得x2-（k+4）x+11=0，2移项后

合52∴xM+xN=k+4．

∴52yM+yN=kxM-+kxN-=k（xM+xN）-5=0，即k（k+4）-5=0，∴k=1或k=-5．

当k=-5时，方程x-（k+4）x+11=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，2522∴k = 1，3

∴直线MN的解析式为y=x-5，2∴此时直线过一、三、四象限，与抛物线有交点；

∴存在过点D（0，-5）的直线与抛物线交于M，N两点，与x轴交于点E．使得

2M、N两点关于点E对称．

点评：此题巧妙利用了一元二次方程根与系数的关系．在（2）中，将直线与抛物线的交点问题转化为根与系数的关系来解答，考查了同学们的整体思维能力．

五、反思与提高：

1、本节课主要复习了哪些知识，你印象最深的是什么？

2、通过本节课的函数学习，你认为自己还有哪些地方是需要提高的？

六、备考训练：