初三函数复习

初三函数复习（精选6篇）

初三函数复习 篇1

函数是初中数学的核心内容.其地位和作用主要体现在如下两个方面:函数是最有效的与变化过程相关的数学刻画与表示, 其本身的应用已极为广泛;初中数学的大多数问题, 如方程问题、不等式问题、几何量的关系问题, 特别是与运动相关的几何问题, 都或明或暗与函数有关, 可以说函数是“代数”的灵魂.

同学们在复习“函数”时, 应整体把握知识间的内在联系, 形成良好的知识结构图.现将知识结构框图列出:

要在理解的基础上熟记这四种函数的定义、图象和性质, 正确熟练地掌握用待定系数法求函数关系式、用描点法画函数图象、用配方法求抛物线的顶点坐标及对称轴, 要充分运用数形结合的思想研究解决有关函数的问题.

从考查同学们的学习水平来看, 中考中函数的考查可以归纳为以下几方面:

一、直接考查函数的有关概念和性质

函数有关概念和性质是中考中重要的考查内容, 对其考查都借助函数的图象来呈现.

例1 (2007金华) 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图, 则下列结论 (1) k<0; (2) a>0; (3) 当x<3时, y1

A.0 B.1 C.2 D.3

分析:借助图象考查函数性质是中考的常见考法.对一次函数y=kx+b (k≠0) 的性质要有透彻的理解, 要明白k及b的几何意义, 即k>0 (k<0) 函数增 (减) 且函数图象经过一、三 (二、四) 象限, b是一次函数与y轴交点的纵坐标.应选B.

例2 (2007常州) 若二次函数y=ax2+bx+a2-2 (a, b为常数) 的图象如下, 则a的值为 () .

分析:本题考查了函数两种表达形式之间的联系, 实质上是考查函数图象与函数关系式中系数的关系, 体现了“数”与“形”之间的联系.从图象上来看, 函数图象经过原点, 所以a2-2=0, 再根据函数图象开口向上得, 选D.

例3如图, A、B是双曲线y=的一个分支上的两点, 且点B (a, b) 在点A的右侧, 则b的取值范围是

分析:此题考查了反比例函数性质, 由反比例函数图象知k>0, 再根据性质得b<2.

例4 (2009包头) 如图, 已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A, 与x轴相交于点C, AB⊥x轴于点B, △AOB的面积为1, 则AC的长为_______ (保留根号) .

分析:此题考查的重点是点与函数图象的关系, 这里的点是以隐蔽的方式给出的.此题综合了三个知识点, 即勾股定理、解方程组、反比例函数比例系数的几何意义.解决此题的关键是利用k的几何意义求出k=2.

略解:由, 得, (舍去) 得AC=

二、灵活考查函数关系式的建立和转化能力

对函数的三种表达形式 (函数关系式、图象、表格) 的理解及相互转化, 是中考必考的内容, 其考法丰富多彩, 灵活多样.

a.考查对函数图象的理解

例5 (2007镇江) 一杯水越来越凉, 则可以表示这杯水的水温T (℃) 与时间t (分) 的函数关系的图象大致是 () .

分析:此题考查了同学们对函数图象意义的理解, 水越来越凉表明水的温度随着时间的推移越来越低, 选D.解决此类问题需根据具体背景, 从整体上把握两个变量之间的关系, 并借助函数图象解释或验证两个变量之间的变化关系.

例6 (2009黄冈) 小高从家门口骑车去单位上班, 先走平路到达点A, 再走上坡路到达点B, 最后走下坡路到达工作单位, 所用的时间与路程的关系如图所示.下班后, 如果他沿原路返回, 且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致, 那么他从单位到家门口需要的时间是 () .

A.12分钟B.15分钟

C.25分钟D.27分钟

分析:此题从定量的角度考查了同学们对函数图象的认识.解决此题的关键是弄清楚回程中走平路、上坡路、下坡路对应的速度不变, 走上坡路、下坡路的路程发生了变化.选B.

b.考查利用图象表达函数关系的能力

例7 (2009怀化) 小敏家距学校1200米, 某天小敏从家里出发骑自行车上学, 开始她以V1的速度匀速骑行了600米, 遇到交通堵塞, 耽搁了3分钟, 然后以V2的速度匀速前进一直到学校 (V1

分析:本题以同学们的生活问题为背景, 考查将实际问题转化为图象的能力.解决问题的关键是根据V1

例8 (2009重庆) 如图, 在矩形ABCD中, AB=2, BC=1, 动点P从点B出发, 沿路线作B→C→D匀速运动, 那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是 () .

分析:解决此题的关键是通过点的运动, 寻找运动中的不变量, 进而建立函数式, 再把函数关系转化为图象.注意点是要对BC、CD段进行分类讨论.在BC段的函数关系式是S=x, 在CD段的函数关系式是, 应选B.

c.考查函数表达形式之间的转化能力

例9 (2007常州) 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:

二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=, x=2对应的函数值y=_______.

分析:本题以表格的形式将函数与自变量的对应关系呈现出来, 重点考查同学们利用平面上的点之间的对应关系确定函数关系式的能力, 同时也考查了二次函数的重要性质———“对称性”.解决此题的关键是明确纵坐标相同的点为“对称点”, 由对称点很容易找到对称轴x=1, 由对称轴找到横坐标为2的点的对称点为 (0, -8) , 得y=-8.

例10 (2007绍兴) 绍兴黄酒是中国名酒之一.某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒, 再将瓶装黄酒装箱出车间, 该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示.某日8:00～11:00, 车间内的生产线全部投入生产, 图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况, 则灌装生产线有______条.

分析:本题以三个函数图象呈现三种具体要求, 对同学们的读图、识图能力, 根据函数解析式进行转化的能力, 以及运用一次函数的知识解决实际问题的能力都进行了重点考查.从图3中发现瓶装黄酒每小时增加100瓶, 由此设灌装生产线为x条, 则得方程650x-750 (26-x) =100, 解之得x=14, 即灌装生产线有14条.

三、综合考查函数、方程与不等式之间的联系

函数与方程、不等式之间存在内在联系, 求函数图象上点的坐标、根据已知条件求函数的解析式、确定函数的取值范围等等都要用到方程或不等式的知识, 也都是基本的考试内容.

例11 (2009武汉) 如图, 直线y=kx+b经过A (2, 1) , B (-1, -2) 两点, 则不等式x>kx+b>-2的解集为____.

分析:本题以一次函数图象为载体, 以读图、识图为前提, 通过直线的位置关系, 获得不等式的解集, 较好地体现了一次函数、方程与不等式之间的关系.填-1

例12 (2008南京) 已知二次函数y=x2+bx+c中, 函数y与自变量x的部分对应值如下表:

(1) 求该二次函数的关系式;

(2) 当x为何值时, y有最小值, 最小值是多少?

(3) 若A (m, y1) , B (m+1, y2) 两点都在该函数的图象上, 试比较y1与y2的大小.

分析:本题主要考查点: (1) 考查了待定系数法, (2) 考查了二次函数的最值问题, (3) 考查了函数与不等式之间的联系, 利用作差法来比较y1与y2的大小, 或利用函数的性质来比较.

略解:易得 (1) 二次函数关系式为y=x2-4x+5.

(2) 因为y=x2-4x+5= (x-2) 2+1, 所以当x=2时, y有最小值, 最小值是1.

(3) 因为A (m, y1) , B (m+1, y2) 两点都在函数y=x2-4x+5的图象上,

所以, y1=m2-4m+5, y2=m2-2m+2.

y2-y1= (m2-2m+2) - (m2-4m+5) =2m-3.

所以, 当2m-3<0, 即m<时, y1>y2;

当2m-3=0, 即m=时, y1=y2;

当2m-3>0, 即m>时, y1

四、灵活运用函数知识及思想方法解决问题

a.解决几何中的最值问题

例13 (2007常州改编) 已知, 如图, 正方形ABCD的边长为6, 菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上, AH=2, 连接CF.

(1) 设DG=x, 用含x的代数式表示△FCG的面积;

(2) 求出△FCG的面积的最大值和最小值.

分析:此题以几何、函数知识为背景, 重点考查了同学们的逻辑推理与合情推理能力.从当年考生的答题情况来看, 此题是比较难的.

解决此题的关键是发现该几何图形中蕴含的对称性.同学们在几何学习中要善于感知图形的整体性质.

略解: (1) 作FM⊥DC, M为垂足, 连接GE,

在△AHE和△MFG中, 又有∠A=∠M=90°, HE=FG,

∴△AHE≌△MFG.

∴FM=HA=2, 即无论菱形EFGH如何变化, 点F到直线CD的距离始终为定值2.

因此S△FCG=×2× (6-x) =6-x.

(2) 由于点G在边DC上, 因此菱形的边长至少为DH=4.

当菱形的边长为4时, 点E在AB边上且满足AE=, 此时, 当点逐渐向右运动至点B时, HE的长 (即菱形的边长) 将逐渐变大, 最大值为.

此时, DG=, 故0≤x≤.

而函数S△FCG=6-x的值随着x的增大而减小,

因此, 当x=时, S△FCG取得最小值为;当x=0时, S△FCG取得最大值为6.

b.解决生活中的应用问题

生活中的某些变量之间的关系, 单凭文字描述不足以说清其变化的基本规律, 而函数是刻画变量问题最为有效的数学工具, 因此, 借助函数模型能更清楚地认识变量之间的关系.

例14 (2007厦门) 某种爆竹点燃后, 其上升高度h (米) 和时间t (秒) 符合关系式h=v0t+gt2 (0

(1) 这种爆竹在地面上点燃后, 经过多少时间离地15米?

(2) 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内, 判断爆竹是上升, 或是下降, 并说明理由.

分析:此题的背景贴合生活实际, 又与二次函数知识相结合, 充分体现了应用函数解决生活中的现象和问题的指导思想.解决第 (2) 题的关键是确定对称轴的位置.

略解: (1) -5t2+20t=15 (0

(2) h=20t-5t2=-5 (t-2) 2+20.

当t=2时, 爆竹达到最高点, 所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内, 爆竹是上升的.

例15 (2009烟台) 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出, 平均每天能售出8台.为了配合国家“家电下乡”政策的实施, 商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元, 平均每天就能多售出4台.

(1) 假设每台冰箱降价x元, 商场每天销售这种冰箱的利润是y元, 请写出y与x之间的函数关系式 (不要求写自变量的取值范围) ;

(2) 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元, 同时又要使百姓得到实惠, 每台冰箱应降价多少元?

(3) 每台冰箱降价多少元时, 商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

分析:此题是典型的以销售为背景的二次函数应用题.解决此类问题时应注意以下三点: (1) 耐心读懂文字; (2) 弄清问题背景; (3) 分清数量关系, 建立模型.

解: (1) 根据题意, 得y= (2400-2000-x) (8+4×) ,

即y=-x2+24x+3200.

(2) 由题意, 得-x2+24x+3200=4800.

整理, 得x2-300x+20000=0.解这个方程, 得x1=100, x2=200.

要使百姓得到实惠, 取x=200.所以, 每台冰箱应降价200元.

(3) 对于y=-x2+24x+3200.

当x=-时,

y最大值= (2400-2000-150) (8+4×) =250×20=5000.

例16 (2009青岛) 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售, 对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1 (元) 与销售月份x (月) 满足关系式y1=-x+36, 而其每千克成本y2 (元) 与销售月份x (月) 满足的函数关系如图所示.

(1) 试确定b、c的值;

(2) 求出这种水产品每千克的利润y (元) 与销售月份x (月) 之间的函数关系式;

(3) “五·一”之前, 几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

分析:此题与上例的本质相同, 给出的情景不同.本题给出了函数关系式与图象两种形式, 要处理的信息较复杂.最值问题需结合实际, 利用函数的性质来解决, 这是此题的新颖之处.

略解: (1) 由题意:

∵a=-<0, ∴抛物线开口向下.

在对称轴x=6左侧y随x的增大而增大.

由题意x<5, 所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.

最大利润=-

以上对近几年来中考中的函数试题进行了分析, 同学们从中应该了解函数考查的主要目标了.从命题的角度来看:第一类试题是考查函数的基本性质, 函数各种形式 (关系式、图象、列表) 之间的内在转换;第二类试题主要是数学建模问题 (以生活中的实际问题或几何问题为背景) ;第三类试题主要利用函数作为“桥梁”沟通数学知识之间的内在联系, 有较强的综合性.试题涉及的思想方法主要是“数”与“形”之间的相互转换.

从命题趋势来看, 考查目标不会有所变化.函数的基本性质与基本概念的考查主要是采用填空或选择题的形式;中档题中主要考查函数基本性质及函数关系式的建立;在压轴题中函数试题有两类: (1) 与实际问题有关, 这是新课程倡导的理念之一; (2) 以函数作为主干, 加强数学知识之间的联系, 综合考查同学们分析问题、解决问题的能力.

摘要：我刊2009年9月～10月合刊、11月～12月合刊的数学栏目已为同学们复习了如下数与式, 方程 (组) , 不等式 (组) , 三角形、四边形, 全等形和相似形, 圆, 概率与统计.“函数”部分历来是中考复习的重点内容, 本期的“重点辅导”栏目和你一起对此进行梳理和解析.

初三函数复习 篇2

在新课程中，教学过程要符合学生学习过程，学生在学习过程中应该以探究、实践、合作学习为重，要善于引导学生积极参与教学过程中的探讨活动，让学生在动手实践、自主探究与合作交流的过程中来学习数学。教师的教学活动要能激发学生探求新知识的兴趣和欲望，逐步培养他们提问的意识，鼓励学生多思考。同时还要关注他们在数学学习过程中的变化和发展，关注学习方法与习惯的养成。

在初中一元二次方程和二次函数学习的基础上，教学中通过比较一元二次方程的根与对应的二次函数的图象和x轴的交点的横坐标之间的关系，给出函数的零点的概念，并揭示了方程的根与对应的函数的零点之间的关系。然后，通过探究介绍了判断一个函数在某个给定区间存在零点的方法和二分法。并且，教科书在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔。

三角函数复习体会 篇3

一、要理解记忆公式

三角函数部分公式比较多，学生记忆起来困难比较大，应该在教学过程中注意公式推导和公式与公式之间的互相推导。

二、要立足课本，夯实基础，突出重点

对于课本典型例题与习题，重视领悟蕴含其中的思想方法，做完题后，要仔细进行反思，就能体会到三角恒等变形的主要途径——变角、变函数、变结构。这样进行以点带面的复习，复习的重点应是三角函数的性质，并突出把握考查的两个重点：一是三角恒等变形及其应用，二是三角函数的图象与性质，在全面复习的基础上，查找自己的薄弱环节，有针对性的查缺补差，完善知识网络与认知结构。

三、要重视方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=sin2θ+cos2θ=tanx·cosx=tan45°等。②项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2θ+2cos2θ=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，等。③降次与升次。④引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin（θ+α），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tanα确定。

2.证明三角等式的思路和方法。①思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。②证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。对三角函数试题中的选择，填空题，复习中要掌握其常用方法，如数形结合法，验证法，特例法，淘汰法与直接法，充分运用数形结合的思想，把图形和有机地结合起来，一方面利用函数图象与三角函数线，加深对三角函数性质的理解；另一方面利用三角函数的性质描绘图象，揭示图形的代数本质。

在教学过程中，做完题后，要及时进行反思、一题多解，做一题便将关联的知识与基本方法重温一遍，重点的知识更为突出，知识间的联系更为清晰，掌握的数学思想方法更为完善，日积月累，自己的水平与能力就会逐步得到提高。

例：已知函数y=cos2x +sinx·cosx+1（x∈R）

求（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y= cos2x +sinx·cosx+1= （cos2x+1）+（2sinx·cosx）

+ = （cos2x+sin2x）+ =（cos2x·sin +sin2x·cos ）+ =

sin（2x+ ）+所以y取最大值时，只需2x+ = +2kπ，（k∈Z），即x= +kπ，（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x= +kπ，k∈Z}。

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：①把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数y=sin（x+ ）的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（2x+ ）的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变），得到函数 sin（2x+ ）的图像；④把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y= sin（2x+ ）+ 的图像。综上得到y=cos2x+sinx·cosx+1的图像。

说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx，cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+α)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

四、易错问题辨析

由于三角函数一章的性质多样，图象变换复杂，再加上运用公式进行恒等变形所带来的定义域的改变，常常会引起解题的失误，下面就一些常见易错问题进行分析。

在解题过程中，学生经常忽略正切函数定义域。

例：函数y=sinx（1+tanx·tan ）的最小正周期，忽视了定义域的限制，导致出错。注意挖去（kπ+ ，0）、（2kπ+π，0），则可得所求函数的周期为2π。

五、要加强对三角函数应用的训练

课本安排了解斜三角形的应用举例和实习作业，涉及到测量与航海等实际问题，其立意突出数学的应用，应通过组合与整合，将三角函数，平面向量，解斜三角形形成一个知识板块来复习，一些考生应用意识淡薄，不能以角为自变量建立三角函数关系式求解，思维受阻，近几年高考中以三角函数为背景的三角函数试题已形成了一个亮点；另外，三角形形状的判定，三角函数中的探索性问题都涉及到综合应用，复习中要充分利用这些素材，以三角函数的恒等变形与平面向量为工具，进行综合应用训练，不断提高分析和解决问题的能力。

“函数”复习专题 篇4

1. 观察下列四个函数的图像,将它们的序号与下列函数的排列顺序:正比例函数、 一次函数、二次函数、反比例函数,对应正确的是( ).

A. ①②③④B. ②③①④C. ③②④①D. ④②①③

2. 抛物线y=x2-1的顶点坐标是( ).

A. (0,1) B. (0,-1) C. (1,0) D. (-1,0)

3. 已知二次函数y=2x2+9x+34,当自变量x取两个不同的值x1、x2时,函数值相等,则当 自变量x取x1+x2时的函数值与( ).

A. x=1时的函数值相等B. x=0时的函数值相等

C. x=1/4时的函数值相等D. x=-9/4时的函数值相等

4. 若抛物线y=x2+2x+a的顶点在x轴的下方,则a的取值范围是( ).

A. a>1 B. a<1 C. a≥1 D. a≤1

5. 二次函数y=x2-2x+1与x轴的交点个数是( ).

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图像可能为( ).

二、细心填一填(共6小题,每题4分,共24分)

7. 将抛物线y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是________.

8. 若将二次函数y=x2-4x+5,配方成为y=(x+k)2+h的形式(其中k,h为常数),则y=______.

9. 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,其对称轴为直线x=1,若与x轴的一个 交点为B(3,0),则由图像可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是______.

(第 9 题)

(第 12 题)

10. 如图,把抛物线y=1/2x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0), 它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=1/2 x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为______.

11. 已知点A(1,5),B(3,-1),点M在x轴上,当AM-BM最大时,点M的坐标为______.

12. 如图,两个反比例函数y=1/x和y=-2/x的图像分别是l1和l2. 设点P在l1上,PC⊥x轴, 垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为______.

三、用心做一做(共5个题,共52分)

13. (10分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图,根据图像解答下列问题:

(1) 写出方程ax2+bx+c=0的两个根.

(2) 写出不等式ax2+bx+c>0的解集.

(3) 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.

(第 13 题)

14. (10分)如图,二次函数y1=-x2+2图像向右平移1个单位得到y2. 回答下列问题:

(1) y2图像的顶点坐标________;

(2) 图中阴影部分的面积______;

(3) 若再将y2绕原点O旋转180°得到y3,则y3的开口方向 ______,顶点坐标______,并求y3的解析式.

(第 14 题)

15. (10分)如图,P为抛物线上对称轴右侧的一点,且点P在x轴上方,过点P作PA垂直x轴于点A,PB垂直y轴于点B,得到矩形PAOB. 若PA=1,求矩形PAOB的面积.

16. (10分)如图,直线y=k1x+b与双曲线y=k2/x相交于A(1,2),B(m,-1)两点.

(1) 求直线和双曲线的解析式;

(2) 若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x1<x2<0<x3,请直接写出y1, y2,y3的大小关系式;

(3) 观察图像,请直接写出不等式k1x+b>k2/x的解集.

17. (12分) 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点坐标分别是A(-1,0),B(3,0),C(0,3).

(1) 求抛物线的解析式,及顶点D的坐标;

(2) 若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标;

(3) 若点P是抛物线在第一象限上的一个动点 ,过点P作PQ∥AC交x轴于点Q,当点P的坐标为_______时,四边形PQAC是平行四边形;当P点的坐标为_______时,四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果,不写求解过程).

(第 17 题)

参考答案

1. C 2. B 3. B 4. B 5. B 6. A

7. y=(x+4)2-2

8. y=(x-2)2+1

9. x<-1或x>3 10.(27)/2 11.{ 7/2 ,0} 12.9/2

13. (1) x1=1,x2=3 (2) 1<x<3 (3) x>2

14. (1) (1,2) (2) 2 (3) 向上,(-1,-2),y=(x+1)2-2

15. 矩形PAOB的面积为(1+ 21/2 )

16. (1) 双曲线的解析式为:y=2/x , 直线解析式为y=x+1;(2) y2<y1<y3;(3) x>1或-2<x<0.

初三数学知识点总结：反比列函数 篇5

反比例函数的定义

定义：形如函数y=k/x(k为常数且kne;0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质

函数y=k/x 称为反比例函数，其中kne;0，其中X是自变量，1.当kgt;0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当klt;0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.kgt;0时，函数在xlt;0上同为减函数、在xgt;0上同为减函数;klt;0时，函数在xlt;0上为增函数、在xgt;0上同为增函数。

3.x的取值范围是： xne;0;y的取值范围是：yne;0。

4..因为在y=k/x(kne;0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴 5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

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函数与方程思想二轮复习直播 篇6

高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题、三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等.函数与方程思想在高考中，无处不在，填空题与解答题中都会出现，是高考数学最最重要的思想方法之一.

方法指要

1.函数与方程思想的含义

（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

（2）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就化为不等式f（x）>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题的方法是十分重要的.

（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及到二次方程与二次函数的有关理论.

（4）立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

典例精析

一、利用函数与方程的思想解决方程根的问题

例1（1）如果方程cos2x-sinx+a=0在（0，π2]上有解，则a的取值范围是.

（2）函数f（x）=lnx-x2+2x（x>0），x2-2x-3（x≤0）的零点个数为.

分析：（1）可分离变量为a=-cos2x+sinx，转化为确定的相关函数的值域.

（2）转化为方程的根的个数或两个函数的图象的交点问题.

解：法1：设f（x）=-cos2x+sinx（x∈（0，π2]）.

显然当且仅当a属于f（x）的值域时，a=f（x）有解.

因为f（x）=-（1-sin2x）+sinx=（sinx+12）2-54，

且由x∈（0，π2]知sinx∈（0，1].易求得f（x）的值域为（-1，1].

故a的取值范围是（-1，1].

法2：令t=sinx，由x∈（0，π2]，可得t∈（0，1].

将方程变为t2+t-1-a=0.

依题意，该方程在（0，1]上有解.

设f（t）=t2+t-1-a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t=-12，

如图所示.

因此f（t）=0在（0，1]上有解等价于f（0）<0，f（1）≥0， 即-1-a<0，1-a≥0，所以-1

故a的取值范围是（-1，1].

（2）当x≤0时，f（x）=x2-2x-3，

由f（x）=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3.

因为x≤0，所以x=-1.此时函数f（x）只有一个零点.

当x>0时，f（x）=lnx-x2+2x，

令f（x）=0，得lnx=x2-2x，如图，分别作出函数y=lnx与y=x2-2x（x>0）的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f（x）有两个零点.

综上知，函数f（x）的零点有三个.

解后反思：方程有解问题一般有两种解法：一是通过参变量分离，转化为函数的值域问题；二是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.

二、利用函数与方程的思想解决不等式恒成立问题

例2设函数f（x）=cos2x+sinx+a-1，已知不等式1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是.

分析：本题中先利用参数a表示出最大值与最小值，其最大值小于或等于174，最小值大于或等于1，这样就满足了题目中的不等关系，从而求出参数的取值范围.把恒成立问题转化为最值问题是常用的思想方法.

解：f（x）=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-（sinx-12）2+a+14.

因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=12时，函数有最大值f（x）max=a+14，

当sinx=-1时，函数有最小值f（x）min=a-2.

因为1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，

所以f（x）max≤174且f（x）min≥1，

即a+14≤174，a-2≥1，解得3≤a≤4，

所以a的取值范围是[3，4].

解后反思：（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）>0或f（x）<0恒成立，一般可转化为f（x）min>0或f（x）max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.

三、利用函数与方程思想求解数列中的最值问题

例3（1）已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.则{an}前n项和Sn的最大值为.

（2）已知向量a=（2，-n），b=（Sn，n+1），n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{anan+1an+4}的最大项的值为.

分析：（1）先列出关于a2和a5的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差，写出an.再求前n项和Sn，整理成关于n的二次函数，求其最大值.（2）先求数列{an}的通项公式，再将anan+1an+4表示成关于n的函数，并求其最大值.

解：（1）设{an}的公差为d，由已知条件，

a1+d=1，a1+4d=-5，解出a1=3，d=-2.所以an=a1+（n-1）d=-2n+5.

于是，Sn=na1+n（n-1）2d=-n2+4n=4-（n-2）2.

所以n=2时，Sn取到最大值4.

（2）依题意得a·b=0，即2Sn=n（n+1），Sn=n（n+1）2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）2-n（n-1）2=n；

又a1=1，因此an=n，

anan+1an+4=n（n+1）（n+4）=nn2+5n+4=1n+4n+5≤19，

当且仅当n=4n，n∈N*，即n=2时取等号，因此数列{anan+1an+4}的最大项的值是19.

解后反思：数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：

（1）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.

（2）数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an-1≤an，an≥an+1或an-1≥an，an≤an+1求解.

（3）数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值即可求解.

四、利用函数与方程思想求解解析几何中的方程，定值与最值问题

例4平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设椭圆E：x24a2+y24b2=1，P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求△ABQ面积的最大值.

分析：（1）建立关于a，b，c的方程，进而求出a，b；（2）（i）对点P坐标舍而不求，并设|OQ||OP|=λ，求出Q点坐标，进而代入椭圆E方程，利用方程思想求出λ；（ii）把△ABQ面积表示成关于某个变量的函数，进而求出该函数的最大值.

解：（1）由题意知2a=4，则a=2，

又ca=32，a2-c2=b2，可得b=1，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1.

（2）由（1）知，椭圆E的方程为x216+y24=1，

（i）设P（x0，y0），|OQ||OP|=λ，由题意知Q（-λx0，-λy0）.

因为x204+y20=1，且（-λx0）216+（-λy0）24=1，即λ24（x204+y20）=1，

所以λ=2，即|OQ||OP|=2.

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）.

将y=kx+m代入椭圆E的方程，

可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，

由Δ>0，可得m2<4+16k2，①

则有x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，

所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），

所以△OAB的面积S=12|m||x1-x2|

=216k2+4-m2|m|1+4k2

=2（16k2+4-m2）m21+4k2

=2（4-m21+4k2）×m21+4k2.

设m21+4k2=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程，

可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，

由Δ≥0，可得m2≤1+4k2.②

由①②可知0

因此S=2（4-t）t=2-t2+4t.

故S≤23，当且仅当t=1，即m2=1+4k2时，S取得最大值23，

由（i）知，△ABQ的面积为3S，

所以△ABQ面积的最大值为63.

解后反思：在解析几何中，方程问题和定点定值问题，一般采用方程思想求解，而最值问题常常采用函数思想.值得关注的是，解析几何中的最值是高考的热点，也是难点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

（作者：宋涛，如皋市第一中学）