一次函数的复习

一次函数的复习（精选12篇）

一次函数的复习 篇1

1 问题提出

复习课是一种重要的数学课型, 既要求梳理本章节完整的知识点、解题方法技巧, 又要求提高课堂参与度, 充分调动学生的学习积极性, 让学生在张弛有度的课堂氛围中实现知识的进一步建构.因而如何高效的进行复习课的教学就显得十分重要.而思维导图就有这方面的功能, 一方面能快捷地梳理方法与技巧, 另一方面可让学生的思维打开, 积极参与思维过程.一次函数是初中数学的核心内容之一, 是研究运动变化的重要数学模型, 知识点众多, 与方程、不等式等有着紧密的联系.如何将其蕴藏的知识、思想、方法及应用价值高效、清晰地在复习课上梳理出, 是数学复习课研究的一个重要话题.笔者应用思维导图于一次函数的复习中, 探索其知识间的逻辑结构, 挖掘其隐藏的思想方法结构, 从而促进学生对章节整体知识与方法体系的建构与理解.

2 基础性分析

2.1 《课标》中关于一次函数的内容要求

《义务教育课程标准》 (2011版) 中对一次函数提出了6个方面的要求, 诸如结合具体情境体会一次函数的意义, 能根据已知条件确定一次函数的表达式;会利用待定系数法确定一次函数的表达式;能画出一次函数的图像, 根据一次函数的图像和表达式y=kx+b (k≠0) 探索并理解k>0和k<0时, 图像的变化情况;理解正比例函数;体会一次函数与二元一次方程的关系;能用一次函数解决简单实际问题.这些要求对数学复习题起到目标导向作用, 是一次函数课有效开展的基本前提.

2.2 教材中关于一次函数的分析说明

一次函数位于北师大版八年级下册第4章, 学生是第一次接触函数, 充分考虑学生的接受能力, 从生动有趣的问题情景出发, 通过对一般规律的探索过程, 从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.又通过具有丰富的现实背景的例题, 帮助理解一次函数和正比例函数的概念, 为进一步学习一次函数图像与性质奠定基础, 最后在函数应用中形成用函数观点认识现实世界的能力与意识.而利用函数模型解决问题的方法也为后续学习反比例函数、二次函数奠定了基础.

2.3中考中涉及一次函数问题的考法分析

一次函数是中考必考内容之一, 题型多样, 形式灵活.近年来各地中考试卷, 加重了对其意义和性质的考察, 凸显了数形结合思想, 如2015四川眉山第9题, 2015山东潍坊第8 题, 2015湖南省常德市第5题, 2015浙江滨州第16 题, 2015 江苏无锡第13 题等;增强了应用用一次函数模型解决实际问题的能力的考察, 如2015湖北省武汉市第14题, 2015上海第11题, 2015江苏无锡第18题, 2015广东广州第14 题等;集中考查了与其他数学知识之间的内在联系, 如一次函数与方程、一元一次不等式、几何图形等的联系, 如2015四川泸州第10题, 2015江苏徐州第8题, 2015山东淄博第15题, 2015呼和浩特第21题等.

3 应用思维导图于“一次函数”的复习策略

为了让学生可以更好地参与课堂, 积极主动地去复习, 本节课决定采用教师宏观引导, 学生自己动手, 兵教兵的复习形式.

3.1 准备策略

上课之前, 安排学生完成以下任务:首先, 绘制思维导图, 教师布置任务, 让每个学生绘制思维导图, 主要从本章节涵盖知识点的角度绘制, 然后以4人小组形式 (小组在平时的学习中已提前分好) 进行分享、讨论、补充、梳理与整合, 形成全组共识的思维导图;其次, 对照知识点思维导图, 从中选取一到两个知识点 (根据各组时间安排) 进行认真细致的研究, 整理具体概念、性质、典型例题和解题方法;再次, 将讨论的内容制成PPT, 以便课堂上进行讲解与展示;最后, 教师课前对各个小组准备的内容先行检阅, 提出指导意见, 包括使知识点的整理更有层次性和针对性, 剔除同类型的过多或过难练习等.

3.2 绘制策略

3.2.1展示各组思维导图

上课开始, 使用投影仪展示各个小组绘制的思维导图, 教师对各个小组的成果进行充分肯定, 并进一步强调思维导图的绘制要点和注意事项.

3.2.2师生共同绘制思维导图

在学生绘制的基础上, 教师从一个角度出发, 带领学生一起再次绘制思维导图.此举既可以帮助学生熟悉思维导图的绘制技巧, 又起到引领示范作用.首先给出图1, 导引本章节涉及知识点分支, 让学生根据自己绘制的思维导图进行填充, 对比起初绘制的思维导图, 进行整合或细化, 进一步形成图2.在图2的基础上, 对每一部分的知识点进行梳理, 可以参照自己及小组梳理的导图, 全班一起分析整理, 形成的图3是经过充分的研讨、分享、达成共识的基础上由学生整理出来.

3.3 练习策略

对照思维导图4个知识点, 小组上台展示准备好的知识要点与典型例题PPT.

3.3.1 巩固基础

教师:对于第一个知识点函数, 哪个组的同学上台进行展示?

第3小组学生1上台展示了他们小组整理的函数的定义, 表示方法 (略) , 并给出了小组总结的典型例题, 并进行了讲解.

例1 小刚以400 米/分的速度匀速骑车5分钟, 在原地休息了6分钟, 然后以500米/分的速度骑回出发地, 下列函数图像能表达这一过程的是 ( ) .

例2如图4, 数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围, 则这个函数解析式 () .

(A) y=x+2 (B) y=x2+2

教学说明这两道题是在第3小组同学找到的4道题目中教师帮助选择出来的, 例1考查函数图像法表示的变量之间的关系, 例2选自2015年四川广安中考题, 考查自变量的取值范围, 与不等式结合在一起, 题目灵活, 综合性强.

3.3.2 加深理解

学生1:大家做的不错.我们小组还总结了一般函数自变量的确定方法与大家一起分享.考查函数自变量的范围, 一般从3个方面考虑: (1) 当函数表达式是整式时, 自变量可取全体实数; (2) 当函数表达式是分式时, 考虑分式的分母不能为0; (3) 当函数表达式是二次根式时, 被开方数为非负数.

教师:第3小组同学太棒了, 总结的很全面.同学们可以适当做记录.

3.3.3 联系拓展

学生2:我们组也准备的是函数这一部分的内容.既然第3小组同学讲完了, 我们认为有必要检验大家的学习效果.

于是展示了一道关于函数自变量取值范围的题目.在大家解答后, 学生2 对给出问题做了简单讲解.

例3在函数中, 自变量x的取值范围是_____.

3.3.4 画龙点睛

最后, 教师不失时机的补充:在刚才解答的第3个问题中, 出现了与自变量有关的两个代数式.如果在一个函数关系式中, 同时有几种代数式, 函数的自变量的取值范围应该是各种代数式中自变量取值范围的公共部分.接着, 对剩下的3个知识点仍然采取了学生讲解、学生补充、学生检验、教师适当总结的方式, 同学们回答问题踊跃, 课堂气氛热烈.

3.4 拓展策略

在学生展示交流结束后, 教师准备了两道综合性题目进行延伸拓展提高.第1题考查了一次函数与一元一次不等式的关系, 利用一次函数的图像来解不等式.第2题考查一次函数图像的应用, 难度较大, 因为课堂时间关系, 在一起分析了解题思路后, 留作作业, 让学生继续思考.

例4 若函数y=kx-b的图像如图5所示, 则关于x的不等式k (x-3) -b>0的解集 ( ) .

(A) x<2 (B) x>2 (C) x<5 (D) x>5

例5 (2015年山东潍坊) “低碳生活, 绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受, 越来越多的人选择骑自行车上下班.王叔叔某天骑自行车上班, 从家出发到单位过程中, 行进速度v (米/分) 随时间t (分钟) 变化的函数图像大致如图6 所示, 图像由3 条线段OA, AB和BC组成.设线段OC上有一动点T (t, 0) , 直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s (米) .

(1) 当t=2分钟时, 速度v=____米/分, 路程s=____米;当t=15分钟时, 速度v=____米/分, 路程s=____米.

(2) 当0≤t≤3和3<t≤15时, 分别求出路程s (米) 关于时间t (分钟) 的函数解式.

(3) 求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t.

3.5 小结策略

1) 本节课你有什么收获?学生们畅所欲言, 有的从知识结构方面, 有的从单一的知识点方面, 还有的从解题角度, 解题方法入手进行了小结.

2) 请尝试将你在这节课中解决问题学到的方法绘制成思维导图.

4 教学反思

回顾这节课, 相较于平时老师讲学生听的复习课而言, 教学效果更加良好, 学生的学习兴趣强、课堂参与度高.

4.1 利用思维导图辅助复习课教学的优点

加里·D鲍里奇在《有效教学方法》一书中提到, 教师进行有效教学至关重要的5种教学行为是:“清晰授课、多样化教学、任务导向、引导学生投入学习过程、确保学生成功率”.而思维导图的引入恰好满足了这些要求.它采用师生共同教学的方式, 提前给学生布置学习任务, 促进学生良好学习习惯的养成, 让学生学会自己梳理与总结知识点, 在课堂上又采取互教互助, 教师点拨引导, 让学生去探索思考, 发展学生的思维品质.而在绘制思维导图的过程中, 学生对章节知识点之间的主次结构, 互相关系在发散联想的基础上又有了进一步的梳理, 以彩色的图像的形式加深了印象, 引发创作及整理的兴趣, 激发学生进一步学习的欲望.

4.2 课堂上要注意教师引导的精准恰当

从教师的一言堂变为学生的众言堂, 百花齐放, 精彩纷呈, 让学生来展示, 当小老师, 对于教师的课堂掌控能力、学生的表达力, 思维的深刻性都有着更加高的要求.需要教师提前了解学生的整体情况, 高屋建瓴, 恰到好处的点拨与指导, 才能让课堂更加高效.而教师的导应导在何处?笔者认为, 首先要导在知识结构构建处.能够在学生理解的基础之上看到不同知识之间的联系, 开阔学生的思维, 培养发散式的解题思维品质.其次, 导在知识困惑处.在学生基础知识与技能掌握后, 还应教给学生分析问题的方法, 解题的思路等.最后, 导在知识提升处.如何让不同程度的学生都有相应的收获, 就需要教师设置不同层次的问题来实现, 通过巧问、巧引, 让学生可以每节课都“跳一跳, 摘到桃”, 对学生的探索和发现给予充分的鼓励和肯定, 提高学生学习的信心.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年版) [S].北京:人民教育出版社, 2012.

[2]马复.数学 (八年级上册) [M].北京:北京师范大学出版社, 2013.

[3]加里·D鲍里奇.有效教学方法[M].南京:江苏教育出版社, 2002.

[4]刘璐.导在何处导向何方:例谈学案教学中教师的指导作用[J].中国数学教育, 2014, (7-8) :34-37.

一次函数的复习 篇2

课题：《二次函数》第二课时（教学反思）

（课型：复习课）

“二次函数的应用”是九年级数学课程中的难点内容，与生活实际密切联系，学生对生活中的“二次函数”感知颇浅，针对学生的认知特点，设计时做了如下思考：

一、按知识发展与学生认知顺序，设计教学流程：首先由一道简单的二次函数引例帮助学生复习了有关二次函数的图像及其性质，从而才能函数应用上运用自如，如鱼得水；借助问题链复习旧知，辅之基本图形夯实基础；

二、教学过程中注重引导学生对数学思想的运用和理解：如课后练习题运用数形结合的思想，让学生掌握二次函数的图像性质；

三、教学过程中注重引导学生多动手多思考，小组合作：如例题3画二次函数的图像，让学生先自己动手画，然后小组进行交流讨论，最好老师点评，起到很好的效果．

在课堂教学中，我注意倾听学生的发言，特别是对于插话的内容，帮助他们澄清错误概念，提醒他们重视推理的前提，引导他们挖掘隐含条件，启发他们总结解题规律，掌握变换的方法，使大家主动探索中发现问题，解决问题，从而学到思想、学到方法，在教学中药重视学生之间、师生之间的讨论和交流，教师学会察言观色及时得到反馈信息，利用生成资源查漏补缺，来达到教学目的．

这堂课老师教得轻松，学生学得愉快，每个学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学习的过程充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考和勇于探究，形成良好的学习品质．由于这堂课活动大，热热闹闹中，胆大、性格开朗的学生特别活跃，也容易引起老师的注意，而对那些胆小性格较内向的学生就注意不够．个别理解能力和接受能力慢一些的学生，给予他们的帮助还不到位，这些学生课后作业完成不够．

一次函数复习课教学反思 篇3

这节课的教学任务基本完成，后面一些习题时间不够用，留做家庭作业了。从本节课的设计上看，将一次函数的知识复习的很全面，讲解透彻，条理清晰，系统性强，讲练结合，训练到位，一节课下来后学生在基础知识方面不会有什么漏洞。因为复习课的课堂容量比较大，需要展示给学生的知识点比较多，训练题也比较多，所以我选择在多媒体上课，这样可以将题目在大屏幕上展示。为了让学生节省复习时间，课前的工作全由教师完成，我认真备课，查阅资料，搜集有针对性的训练题，看了近几年的期末考试题，学生只要课堂上能按照教师的思路去做就很高效了。我自认为这样，学生对于这节课的知识一定会掌握的很全面，以至于在考试中得心应手。

但是，课后我也感觉到这节课确实有一大部分学生注意力涣散，没有全身心地投入到学习中去。以致于面对简单的问题都卡，思维不连续。纠其原因，是我没有把学生学习的积极性充分调动起来，学生没有发挥出学习的主动性。而且我布置的习题太多，形式死板，学生容易疲劳，导致注意力涣散。刚开始还很有积极性，可由于题量过大，后半节课，学生懒得动笔，动脑。

课后，我进行了反思，这节课教师的主体性过大，从习题的设计，到讲解，似乎都是我一手包办，学生只是负责做题，改题。我想如果课前先把所有的复习任务都交给学生完成，教师指导学生浏览教材、查阅资料归纳本章的基本概念、基本性质、基本方法，并收集与每个知识点相关的有针对性的问题，或者可以自己编题，同时要把每一个问题的答案做出来，尽量要一题多解。再由小组长组织小组成员汇编，在汇编过程中要去粗取精。课堂就是以小组为单位学生展示自己的舞台，在这个舞台上学生是主角，在这个舞台上学生可以成果共享，在这个舞台上学生收获着自己的收获。台上他们是主角，台下他们也是主角。

期末复习繁忙，所以能包办的我就一律代做，以为这就是帮学生减轻负担，学生自己去做的事是少了，可是需要学生被动记忆的知识多，教师把一节设计的井井有条，想要学生在这一节课里收获更多，但被动的学生并没有全身心的投入到学生中去，降低了课堂效率，最后教师减轻学生的课后负担的想法还是落空了。

通过这节复习课的教学让我从另一个角度体会到了减轻学生负担的深刻含义，不单指减少学生课后学习的时间，更重要的是提高学生学习的质量、效率，我的这节课失败之处就是过分的注重了前者，而忽略了实效性。那么在今后的复习课教学中我要多思多想、多问多听（问问老师、听听学生的想法），力求在真正减轻学生负担的基础上打造高效课堂。

反思这节课，我决定将一次函数复习课重新再上一节，课前我将这章的知识点，如定义，图象及其性质，实际问题等，分几块交给小组，每组汇编一个知识点的习题，然后整合一起。同学们积极的准备，查看参考书，还有同学上网回家查阅，同学们将自己平时不会的掌握不好容易出错的题整理到一起。课上，同学们积极主动的参与，我只是起到了个引导者的作用。四十五分钟很快就过去了，同学们没有像上节课那样感到疲劳，而是很轻松的完成了这节课的学习任务，而且收获的也更多了。

一节课结束或一天的教学任务完成后，我们应该静下心来细细想想：这节课总体设计是否恰当，教学环节是否合理，教学手段的运用是否充分，重点、难点是否突出；今天我有哪些行为是正确的，哪些做得还不够好，哪些地方需要调整、改进；学生的积极性是否调动起来了，学生学得是否愉快，我教得是否愉快，还有什么困惑等。把这些想清楚，作一总结，然后记录下来，这样就为今后的教学提供了可资借鉴的经验。经过长期积累，我们必将获得一笔宝贵的教学财富。

一次函数复习课 篇4

本课是基于清华同方知好乐“电子书包”1对1数字化环境下, 学生个性化学习的一节复习课.学习内容是人教版八年级下册“一次函数”的复习课.

课前, 林老师精心设计了一次函数复习课学案, 制作了一次函数复习课微课.学生在课前用“电子书包”打造的虚拟课堂进行自主复习本节课相关知识点, 并利用电子书包交流平台与同学交流, 增强学习效果.老师实时把控学生的作业情况, 以便课堂上进行有针对性地讨论讲评.

课堂上林老师通过电子书包多媒体的解析功能, 利用微课、音频、动画、图片等多种媒体的配合展现, 使学生更自主、更有兴趣进行学习, 极大地提高了课堂效果, 实现了学生的个性化学习.学生利用电子书包做题, 哪道题错误率最高, 教师通过电子书包的一体机实时掌握, 从而有针对性地讲题, 实现高效率的课堂.

林老师的这个初中数学复习课教学案例, 打破了传统数学复习课堂上教师一言堂的束缚、改变了因题海战役而显得枯燥无味的现状, 让学生在合作中、趣味中不断地展示自我.

【案例亮点】

亮点1:课前先学应用微课, 基础薄弱的学生可“笨鸟先飞”

对基础薄弱的学生而言, 只看课本、导学案对知识的理解会有困难, 若这时有“老师”适时地给予辅导, 将会大大树立其学习的信心.

本节课, 林老师预先将本章复习课录制成微课的形式, 让学生“哪里不懂点哪里”, 一遍没看懂可多看几遍, 提供个性化先学辅导.

亮点2:以学定教, 技术促教

本节复习课教师通过对学生的作业反馈, 实时检测及时反馈了解学情, 确定教学的内容.利用电子书包的微课素材, 学生可以反复学习, 让部分基础不好的学生学习不再吃力.利用“电子书包”做一些动手仿真实验, 让学生在“玩”中学, 既直观, 又记忆深刻.

亮点3:课堂应用微课, 让自主学习不再盲目, 展示形式更多样

本节课, 林老师将拓展练习中的第2题录制成微课.改变传统的“教→学”为“技术支持的学→教”, 进行“知识传授”与“知识内化”两个认知环节的优化, 大大提升了学生自主探索学习能力.在课堂上, 不会做题的学生可以观看教师录制的微课实现1对1的辅导学习, 让后进生也有机会上台展示自己, 极大地提高了他们的学习积极性.

亮点4:课后作业应用微课, 实现个性化的一对一辅导

课后, 学生可以继续上电子书包进行学习“一次函数”相关知识点的复习微课, 实现个性化的一对一辅导.

【教学反思】

在2015年11月29日我有幸在肇庆端州中学上了一节人教版数学八年级下《一次函数》的复习课.在上课之前, 我很迷茫过, 苦苦思索这节复习课我该如何上, 如何上数学复习课能让课堂教学更有效.在富丽中学陈晋威老师和“电子书包”技术员婷如的帮助下, 我成功地完成了这节公开课.下面我对这节课的教学设计、教学过程和教学效果做如下反思.

1. 借助“电子书包”的在线测评, 来确定教学内容.

在本节课上课之前, 我通过电子书包发布本节课的“课前先学学案”.

电子书包能够即时地将学生的解题结果进行动态数据反馈, 让我在课前第一时间把握全班学情, 了解每个学生的学习状况, 从学习者的角度出发, 针对学生存在的问题及时调整教学, 确定教学的内容。

2. 借助“电子书包”的微课教学, 来提高学习效率。

满堂灌的教学模式已经不适应素质教育的要求, 学生渴求自主学习而不是被动接纳.在本节复习课中, 我将课堂典型例题录制成微课, 在例题中设置题目的“分层提示”, 让学生“哪里不会点哪里”, 使学生从“要我学”转变为“我要学”, 极大地提高了课堂学习效率。

3. 借助“电子书包”的仿真实验, 来优化学习效果.

在本节复习课中, 我利用“电子书包”做动手仿真实验, 让学生在“玩”中学, 极大地优化了学生学习效果。

例如, 在讲解一次函数y=kx+b的图象和性质时, 我设计让学生控制k、b值, 观察图象如何变化, 让学生直观感受k是如何控制直线的倾斜程度、b是如何控制与y轴的交点的.利用电子书包展示动手仿真实验, 让学生既直观, 又记忆深刻。

本节复习课借助现代信息技术, 利用电子书包实现双课堂教学, 让学生在自主、合作、探究等多样化的学习方式背景下学习, 在网络环境下学习, 从不同角度、不同层面实现学生个性化学习, 实现教师多元化、移动化教学.

课堂教学是一门遗憾的艺术.反思教学, 我发现自己对微课制作、电子书包云平台的操控还有待加强.今后我会在教学中在不断反思、总结、提升。

【专家点评】

对于电子书包这一网络新技术, 林老师在教学设计、微课制作、课堂控制等方面都应用地很好。

利用电子书包, 使学生“仿真”听课, 对一些较难的问题, 在电子书包的教学设计中进行重点设计, 从学习者的角度出发, 针对学生的问题及时调整教学, 确定教学内容, 并将课堂上的案例制成微课, 在题目中设置“分层提示”, 实现个性化教学。

电子书包中的“仿真实验”让学生动手实践, 使学习游戏化、竞赛化, 使学习生动活泼, 吸引学生的注意力, 亲临其境, 全神贯注投入学习中, 借助于电子书包, 使教学形象直观, 学生印象深刻。

总之, 本案例通过电子书包多媒体的解析功能, 互联网的高速信息传递功能, 用微课、音频、动画、图片等多种媒体的融合展现, 实现个性化的教学, 提高教学效果。

———知好乐教研团队:梁锦鹏

一次函数复习导学案 篇5

一、【使用说明】本节为复习第十三章而设计，见学习目标。

二、【学习目标】

①结合具体情境体会一次函数的意义，根据条件确定一次函数表达式。

②会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx＋b（k≠0）探索并理解其性质（h＞0或b＜0时，图象的变化情况）。③理解正比例函数。

④能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

⑤能用一次函数解决实际问题。

【学法指导】自主探究法

三、【自主学习】已知一次函数y=-2x-6。

（1）当x=-4时，则y=，当y=-2时，则x=；

（2）画出函数图象；

（3）不等式-2x-6>0解集是_____,不等式-2x-6<0解集是_____；

（4）函数图像与坐标轴围成的三角形的面积为；

（5）若直线y=3x+4和直线y=－2x－6交于点A,则点A的坐标______；

（6）如果y 的取值范围-4≤y≤2,则x的取值范围__________；

（7）如果x的取值范围-3≤x≤3,则y的最大值是________,最小 值是_______.。已知一次函数y=x+m和y=－x+n的图象交于点A（－2，0）且与y轴的交点分别为B、C两点，求△ABC的面积.四、【合作探究】

1、已知：一次函数的图象经过点（2，1）和点（－1，－3）．

（1）求此一次函数的解析式；

（2）求此一次函数与x轴、y•轴的交点坐标以及该函数图象与两坐

标轴所围成的三角形的面积；

（3）若一条直线与此一次函数图象相交于（－2，a）点，且与y轴

交点的纵坐标是5，•求这条直线的解析式；

（4）求这两条直线与x轴所围成的三角形面积．

2．已知一次函数的图像交x轴于点A（-6，0），交正比例函数于点B，若B点的横坐标是-2，△AOB的面积是6，求：一次函数与正比例函数的解析式。

3．某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出：每份说明书收1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份说明书收2.5元印刷费，不收制版费。

（1）分别写出两个印刷厂的收费y甲、y乙（元）与印刷数量x（份）

之间的函数关系式；

（2）在同一坐标系中作出它们的图像；

（3）根据图像回答问题：

①印刷800份说明书时，选择哪家印刷厂比较合算？

②该单位准备拿出3000元用于印刷说明书，找哪家印刷厂印制的说明书多一些？ 321

2五、【课堂测试】

1、已知一次函数y1axb与y2bxa，它们在同一坐标系中的图象如图，可能是y

xxxA

B CD2、若一次函数y2x4的图象与x轴交于A点，A点的坐标为与y轴交于B点，B点的坐标为，O为原点，则的△AOB面积为xy0，当xy0。

3、直线y3(2x)8与y轴的交点的纵坐标是，交点到x轴的距离是

4、若要使函数ymx(4m3)的图象过原点，m应取，若要使其图象和y轴交于点(0,5)，m应取

5、已知：一次函数的图象如图所示，求此函数的解析式。

5、两条直线yk1x与yk2xb交点为A（-1，2），它们与x轴围成的三角形的面积为，求两直线的解析式。

“函数”复习专题 篇6

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

3. 已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图像与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（ ）.

A. x1=1，x2=-1 B. x1=1，x2=2 C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=3

4. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息. 已知甲先出发2s，在跑步的过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的函数关系如图所示，给出以下结论①a=8，②b=92，③c=123，其中正确的是（ ）.

A. ①②③ B. 仅有①②

C. 仅有①③ D. 仅有②③

10. 随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水，某市对居民用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示. 图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元），请根据图像信息，回答下列问题：

（1） 该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按______元收取，超过5吨的部分，每吨按______元收取；

（2） 请写出y与x的函数关系；

（3） 若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？

11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B.

（1） 求抛物线的函数表达式；

（2） 经过点B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴的一个交点为N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；

（3） 若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

函数的零点在高考复习中的应用 篇7

如: (1) 求函数y=3x-2的零点。

(2) 求证:函数y=2x2-3x-7有两个不同的零点。

(3) 判断二次函数y=x2-2x-1在区间 (2, 3) 上是否存在零点。

析:考虑到“一次函数”和“二次函数”都是最基本而且重要的整式函数, 只要围绕定义及图像特征采取求方程的解的方法即可解决。如:在 (1) 中, 令y=0, 得x=, 即函数y=3x-2的零点就是;在 (2) 中, 同样的令y=0, 要证明函数有两个零点, 即证明方程有两个不同的实数根, 通过计算“△”的值, 发现△>0, 从而得出函数有两个零点的结论; (3) 令y=0, 用一元二次方程的求根公式求根, 然后考虑“根”与区间 (2, 3) 之间的位置即可得到答案。显然, 用以上的方法不可能解决所有的函数的零点问题, 有时即使可以解决, 解方程也会很繁琐。因此, “教材75页”介绍了判定函数有零点的一条重要的定理 (零点存在性定理)

若函数y=f (x) 在区间[a, b]上的图像是一条不间断的曲线, 且f (a) ·f (b) <0, 则函数y=f (x) 在区间 (a, b) 上有零点。围绕“存在性定理”的应用, 在解决具体问题时, 本人在平时复习过程中通过不断的探讨、摸索, 归纳出一套较为成功的解题方略, 愿与大家分享。

一、直接应用解决简单问题

如:求证函数f (x) =x3+x2+1在区间 (-2, -1) 上存在零点。

析:因为f (-2) =-3<0, f (-1) =1>0而且函数f (x) 在区间[-2, -1]上是不间断的, 所以函数f (x) 在区间 (-2, -1) 上存在零点。

练习:函数f (x) =x3+x2-1在区间 (0, 1) 上有零点吗?

思考:如果实数x0是二次函数y=f (x) 的零点, 且m<x0<n, 那么f (m) ·f (n) <0一定成立吗?

显然, 这是不一定成立的, 如:假设f (x) =x2, 则有x0=0∈ (-1, 1) 零点, 而f (-1) f (1) <0却是不成立的。

由此可知, 存在性定理仅仅是从正面检验 (或验证) 函数在给定的区间是否有零点, 且零点的个数可能不唯一的依据。

练习:在下列函数中零点所在的区间大致是[1, 2]上的是:

二、应用在综合题中

例1函数f (x) =x2+ (m2+2) x+m在 (-1, 1) 上的零点个数有_____个?

【分析】要分析一元二次函数x2+ (m2+2) x+m=0在给定区间上的零点个数, 即分析方程在所给定区间上根的个数。但是如果从这方面入手, 那就要利用求根公式先求出根, 然后判断其大小, 很明显, 这样做的话计算量会比较大。在这样的情况下, 可以考虑数形结合, 函数零点的另一层含义就是函数的图像与轴的交点。在已知函数是一元二次函数的情况下, 可以看出函数的开口是向上的, 对称轴x是直线, 完全位于区间 (-1, 1) 的左边, 或者说区间完全在对称轴的右边, 根据函数的单调性, 在此区间上函数是增函数。因而, 在此区间上, 要么没有零点, 要么只能有一个零点, 关键在于区间端点的函数值的正负。

所以, 在此区间上有且只有1个零点。

例2若函数f (x) =2ax2+2x-3-a在区间 (-1, 1) 上有且只有一个零点, 求实数a的取值范围。

[分析]含参数系数的整式函数判断零点的问题应该围绕最高次项系数的值是否为0展开, 至于在给定的闭区间[a, b]上探讨零点问题, 本人认为最好是解决在区间端点a, b处是否满足题意, 然后使用“存在性定理”解决问题更为合理方便。如果直接考虑在[a, b]上的零点, 则难免在解决问题的过程中出现遗漏, 同时也增加解题难度。解决此题的常用思路有:分类讨论、数形结合等。具体解答如下:

(1) 当a=0时, f (x) =2x-3, 令f (x) =0, 则x=∈[-1, 1], 不合题意, 舍去。

(2) 当a≠0时, 如果f (-1) =0, 则a=5, 经验证不合题意, 舍去;如果f (1) =0, 则a=1, 经验证符合题意;又考虑到x∈ (-1, 1) , 再分正负进行讨论, 并使用数形结合。

但是, 事实上, 不需要对正负进行讨论, 可直接考虑如下:

因为函数图像的对称轴为x=-, 所以

例3若函数f (x) =2ax2+2x-3-a在区间[-1, 1]上有零点, 求实数a的取值范围。

分析可以注意到, 本题与例2仅一词之差, 但在解答处理方面则提升了很大的难度, 正面分析的话, 有零点包含这样几方面的含义: (1) 有且只有1个零点; (2) 有零点但是有两个不同的零点。对于第一方面的问题就是例2的解答, 而第二方面的问题则意味着端点函数值同号且对称轴在-1与1之间, 结合这两方面的答案就是本题的最终答案。具体解答如下:

当a=0时, 同例2。

当a≠0时, 如果f (-1) =0, 则a=5, 经验证合题意;如果f (1) =0, 则a=1, 经验证合题意;再考虑到x∈ (-1, 1) , 以下分正负进行讨论: (i) 若a>0, 因为-<0, 所以可以考虑从反面求解, 即用“求补法”。

由得a<1时无零点, 所以a≥1时有零点。

(ii) 若a<0, 则同样用“求补法”解答如下:

综合上述, a≥1或即为所求的取值范围。

【评注】通过对这些题目的分析, 我们将得到启示:在高考的审题中, 一定要审清题意, 抓住关键的表述, 定不可草率马虎。

摘要：普通高中课程标准实验教科书 (江苏版-必修一) 中在研究“函数与方程”时首先提出“函数的零点”这一概念。利用此定义可以比较容易地解决日常生活中常见的一些初等函数是否存在零点的问题。

专题复习:函数 篇8

同学们在复习“函数”时, 应整体把握知识间的内在联系, 形成良好的知识结构图.现将知识结构框图列出:

要在理解的基础上熟记这四种函数的定义、图象和性质, 正确熟练地掌握用待定系数法求函数关系式、用描点法画函数图象、用配方法求抛物线的顶点坐标及对称轴, 要充分运用数形结合的思想研究解决有关函数的问题.

从考查同学们的学习水平来看, 中考中函数的考查可以归纳为以下几方面:

一、直接考查函数的有关概念和性质

函数有关概念和性质是中考中重要的考查内容, 对其考查都借助函数的图象来呈现.

例1 (2007金华) 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图, 则下列结论 (1) k<0; (2) a>0; (3) 当x<3时, y1

A.0 B.1 C.2 D.3

分析:借助图象考查函数性质是中考的常见考法.对一次函数y=kx+b (k≠0) 的性质要有透彻的理解, 要明白k及b的几何意义, 即k>0 (k<0) 函数增 (减) 且函数图象经过一、三 (二、四) 象限, b是一次函数与y轴交点的纵坐标.应选B.

例2 (2007常州) 若二次函数y=ax2+bx+a2-2 (a, b为常数) 的图象如下, 则a的值为 () .

分析:本题考查了函数两种表达形式之间的联系, 实质上是考查函数图象与函数关系式中系数的关系, 体现了“数”与“形”之间的联系.从图象上来看, 函数图象经过原点, 所以a2-2=0, 再根据函数图象开口向上得, 选D.

例3如图, A、B是双曲线y=的一个分支上的两点, 且点B (a, b) 在点A的右侧, 则b的取值范围是

分析:此题考查了反比例函数性质, 由反比例函数图象知k>0, 再根据性质得b<2.

例4 (2009包头) 如图, 已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A, 与x轴相交于点C, AB⊥x轴于点B, △AOB的面积为1, 则AC的长为_______ (保留根号) .

分析:此题考查的重点是点与函数图象的关系, 这里的点是以隐蔽的方式给出的.此题综合了三个知识点, 即勾股定理、解方程组、反比例函数比例系数的几何意义.解决此题的关键是利用k的几何意义求出k=2.

略解:由, 得, (舍去) 得AC=

二、灵活考查函数关系式的建立和转化能力

对函数的三种表达形式 (函数关系式、图象、表格) 的理解及相互转化, 是中考必考的内容, 其考法丰富多彩, 灵活多样.

a.考查对函数图象的理解

例5 (2007镇江) 一杯水越来越凉, 则可以表示这杯水的水温T (℃) 与时间t (分) 的函数关系的图象大致是 () .

分析:此题考查了同学们对函数图象意义的理解, 水越来越凉表明水的温度随着时间的推移越来越低, 选D.解决此类问题需根据具体背景, 从整体上把握两个变量之间的关系, 并借助函数图象解释或验证两个变量之间的变化关系.

例6 (2009黄冈) 小高从家门口骑车去单位上班, 先走平路到达点A, 再走上坡路到达点B, 最后走下坡路到达工作单位, 所用的时间与路程的关系如图所示.下班后, 如果他沿原路返回, 且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致, 那么他从单位到家门口需要的时间是 () .

A.12分钟B.15分钟

C.25分钟D.27分钟

分析:此题从定量的角度考查了同学们对函数图象的认识.解决此题的关键是弄清楚回程中走平路、上坡路、下坡路对应的速度不变, 走上坡路、下坡路的路程发生了变化.选B.

b.考查利用图象表达函数关系的能力

例7 (2009怀化) 小敏家距学校1200米, 某天小敏从家里出发骑自行车上学, 开始她以V1的速度匀速骑行了600米, 遇到交通堵塞, 耽搁了3分钟, 然后以V2的速度匀速前进一直到学校 (V1

分析:本题以同学们的生活问题为背景, 考查将实际问题转化为图象的能力.解决问题的关键是根据V1

例8 (2009重庆) 如图, 在矩形ABCD中, AB=2, BC=1, 动点P从点B出发, 沿路线作B→C→D匀速运动, 那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是 () .

分析:解决此题的关键是通过点的运动, 寻找运动中的不变量, 进而建立函数式, 再把函数关系转化为图象.注意点是要对BC、CD段进行分类讨论.在BC段的函数关系式是S=x, 在CD段的函数关系式是, 应选B.

c.考查函数表达形式之间的转化能力

例9 (2007常州) 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:

二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=, x=2对应的函数值y=_______.

分析:本题以表格的形式将函数与自变量的对应关系呈现出来, 重点考查同学们利用平面上的点之间的对应关系确定函数关系式的能力, 同时也考查了二次函数的重要性质———“对称性”.解决此题的关键是明确纵坐标相同的点为“对称点”, 由对称点很容易找到对称轴x=1, 由对称轴找到横坐标为2的点的对称点为 (0, -8) , 得y=-8.

例10 (2007绍兴) 绍兴黄酒是中国名酒之一.某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒, 再将瓶装黄酒装箱出车间, 该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示.某日8:00～11:00, 车间内的生产线全部投入生产, 图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况, 则灌装生产线有______条.

分析:本题以三个函数图象呈现三种具体要求, 对同学们的读图、识图能力, 根据函数解析式进行转化的能力, 以及运用一次函数的知识解决实际问题的能力都进行了重点考查.从图3中发现瓶装黄酒每小时增加100瓶, 由此设灌装生产线为x条, 则得方程650x-750 (26-x) =100, 解之得x=14, 即灌装生产线有14条.

三、综合考查函数、方程与不等式之间的联系

函数与方程、不等式之间存在内在联系, 求函数图象上点的坐标、根据已知条件求函数的解析式、确定函数的取值范围等等都要用到方程或不等式的知识, 也都是基本的考试内容.

例11 (2009武汉) 如图, 直线y=kx+b经过A (2, 1) , B (-1, -2) 两点, 则不等式x>kx+b>-2的解集为____.

分析:本题以一次函数图象为载体, 以读图、识图为前提, 通过直线的位置关系, 获得不等式的解集, 较好地体现了一次函数、方程与不等式之间的关系.填-1

例12 (2008南京) 已知二次函数y=x2+bx+c中, 函数y与自变量x的部分对应值如下表:

(1) 求该二次函数的关系式;

(2) 当x为何值时, y有最小值, 最小值是多少?

(3) 若A (m, y1) , B (m+1, y2) 两点都在该函数的图象上, 试比较y1与y2的大小.

分析:本题主要考查点: (1) 考查了待定系数法, (2) 考查了二次函数的最值问题, (3) 考查了函数与不等式之间的联系, 利用作差法来比较y1与y2的大小, 或利用函数的性质来比较.

略解:易得 (1) 二次函数关系式为y=x2-4x+5.

(2) 因为y=x2-4x+5= (x-2) 2+1, 所以当x=2时, y有最小值, 最小值是1.

(3) 因为A (m, y1) , B (m+1, y2) 两点都在函数y=x2-4x+5的图象上,

所以, y1=m2-4m+5, y2=m2-2m+2.

y2-y1= (m2-2m+2) - (m2-4m+5) =2m-3.

所以, 当2m-3<0, 即m<时, y1>y2;

当2m-3=0, 即m=时, y1=y2;

当2m-3>0, 即m>时, y1

四、灵活运用函数知识及思想方法解决问题

a.解决几何中的最值问题

例13 (2007常州改编) 已知, 如图, 正方形ABCD的边长为6, 菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上, AH=2, 连接CF.

(1) 设DG=x, 用含x的代数式表示△FCG的面积;

(2) 求出△FCG的面积的最大值和最小值.

分析:此题以几何、函数知识为背景, 重点考查了同学们的逻辑推理与合情推理能力.从当年考生的答题情况来看, 此题是比较难的.

解决此题的关键是发现该几何图形中蕴含的对称性.同学们在几何学习中要善于感知图形的整体性质.

略解: (1) 作FM⊥DC, M为垂足, 连接GE,

在△AHE和△MFG中, 又有∠A=∠M=90°, HE=FG,

∴△AHE≌△MFG.

∴FM=HA=2, 即无论菱形EFGH如何变化, 点F到直线CD的距离始终为定值2.

因此S△FCG=×2× (6-x) =6-x.

(2) 由于点G在边DC上, 因此菱形的边长至少为DH=4.

当菱形的边长为4时, 点E在AB边上且满足AE=, 此时, 当点逐渐向右运动至点B时, HE的长 (即菱形的边长) 将逐渐变大, 最大值为.

此时, DG=, 故0≤x≤.

而函数S△FCG=6-x的值随着x的增大而减小,

因此, 当x=时, S△FCG取得最小值为;当x=0时, S△FCG取得最大值为6.

b.解决生活中的应用问题

生活中的某些变量之间的关系, 单凭文字描述不足以说清其变化的基本规律, 而函数是刻画变量问题最为有效的数学工具, 因此, 借助函数模型能更清楚地认识变量之间的关系.

例14 (2007厦门) 某种爆竹点燃后, 其上升高度h (米) 和时间t (秒) 符合关系式h=v0t+gt2 (0

(1) 这种爆竹在地面上点燃后, 经过多少时间离地15米?

(2) 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内, 判断爆竹是上升, 或是下降, 并说明理由.

分析:此题的背景贴合生活实际, 又与二次函数知识相结合, 充分体现了应用函数解决生活中的现象和问题的指导思想.解决第 (2) 题的关键是确定对称轴的位置.

略解: (1) -5t2+20t=15 (0

(2) h=20t-5t2=-5 (t-2) 2+20.

当t=2时, 爆竹达到最高点, 所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内, 爆竹是上升的.

例15 (2009烟台) 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出, 平均每天能售出8台.为了配合国家“家电下乡”政策的实施, 商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元, 平均每天就能多售出4台.

(1) 假设每台冰箱降价x元, 商场每天销售这种冰箱的利润是y元, 请写出y与x之间的函数关系式 (不要求写自变量的取值范围) ;

(2) 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元, 同时又要使百姓得到实惠, 每台冰箱应降价多少元?

(3) 每台冰箱降价多少元时, 商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

分析:此题是典型的以销售为背景的二次函数应用题.解决此类问题时应注意以下三点: (1) 耐心读懂文字; (2) 弄清问题背景; (3) 分清数量关系, 建立模型.

解: (1) 根据题意, 得y= (2400-2000-x) (8+4×) ,

即y=-x2+24x+3200.

(2) 由题意, 得-x2+24x+3200=4800.

整理, 得x2-300x+20000=0.解这个方程, 得x1=100, x2=200.

要使百姓得到实惠, 取x=200.所以, 每台冰箱应降价200元.

(3) 对于y=-x2+24x+3200.

当x=-时,

y最大值= (2400-2000-150) (8+4×) =250×20=5000.

例16 (2009青岛) 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售, 对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1 (元) 与销售月份x (月) 满足关系式y1=-x+36, 而其每千克成本y2 (元) 与销售月份x (月) 满足的函数关系如图所示.

(1) 试确定b、c的值;

(2) 求出这种水产品每千克的利润y (元) 与销售月份x (月) 之间的函数关系式;

(3) “五·一”之前, 几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

分析:此题与上例的本质相同, 给出的情景不同.本题给出了函数关系式与图象两种形式, 要处理的信息较复杂.最值问题需结合实际, 利用函数的性质来解决, 这是此题的新颖之处.

略解: (1) 由题意:

∵a=-<0, ∴抛物线开口向下.

在对称轴x=6左侧y随x的增大而增大.

由题意x<5, 所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.

最大利润=-

以上对近几年来中考中的函数试题进行了分析, 同学们从中应该了解函数考查的主要目标了.从命题的角度来看:第一类试题是考查函数的基本性质, 函数各种形式 (关系式、图象、列表) 之间的内在转换;第二类试题主要是数学建模问题 (以生活中的实际问题或几何问题为背景) ;第三类试题主要利用函数作为“桥梁”沟通数学知识之间的内在联系, 有较强的综合性.试题涉及的思想方法主要是“数”与“形”之间的相互转换.

从命题趋势来看, 考查目标不会有所变化.函数的基本性质与基本概念的考查主要是采用填空或选择题的形式;中档题中主要考查函数基本性质及函数关系式的建立;在压轴题中函数试题有两类: (1) 与实际问题有关, 这是新课程倡导的理念之一; (2) 以函数作为主干, 加强数学知识之间的联系, 综合考查同学们分析问题、解决问题的能力.

一次函数的复习 篇9

以下是本人对高三函数单元教学习题课设置的“一题多变”教学案例.

【例】 已知两函数m (x) =8x2+16x-k, n (x) =2x3+5x2+4x, 其中k∈R.

(1) 对任意x∈[-3, 3], 都有m (x) ≤n (x) 成立, 求k的取值范围;

(2) 存在x∈[-3, 3], 使m (x) ≤n (x) 成立, 求k的取值范围;

(3) 存在x∈[-3, 3], 使m (x) =n (x) 有解, 求k的取值范围;

(4) 对任意x1、x2∈[-3, 3], 都有m (x1) ≤n (x2) , 求k的取值范围;

(5) 对任意x1、x2∈[-3, 3], 对任意x1总存在x2满足m (x1) =n (x2) , 求k的取值范围.

解析: (1) 设f (x) =n (x) -m (x) =2x3-3x2-12x+k, 问题转化为x∈[-3, 3]时, 使函数h (x) ≥0恒成立, 故f (x) min≥0.令f′ (x) =6x2-6x-12=0, 得x=-1或2.所以函数f (x) 在区间[-3, -1]单调递增, 在区间[-1, 2]单调递减, 在区间[2, 3]单调递增.因为f (2) =-20+k, f (-3) =k-45,

故f (x) min=-45+k, 由k-45≥0, 得k≥45.

(2) 据题意, 存在x∈[-3, 3], 使m (x) ≤n (x) 成立, 即为f (x) =n (x) -m (x) ≥0在x[-3, 3]有解, 故只需f (x) max≥0.由 (1) 知f (x) max=k+7, 于是k≥-7.

(3) 设f (x) =n (x) -m (x) =2x3-3x2-12x+k, 当x∈[-3, 3]时, 由 (1) 知f (-1) =7+k, f (2) =-20+k, f (-3) =k-45, f (3) =k-9, 故f (x) min=-45+k, f (x) max=7+k.所以-45+k≤0≤7+k, 得-7≤k≤45.

(4) 对任意x1, x2∈[-3, 3], 都有m (x1) ≤n (x2) 成立, 由于两个函数的自变量不一定相同, 即x1, x2的取值在[-3, 3]上具有任意性, 因而要使原不等式恒成立的充要条件是:函数m (x) 的最大值小于或等于函数n (x) 的最小值.而由n (x) =2x3+5x2+4x, 知n′ (x) =6x2+10x+4=0, 得$x=-\frac{2}{3}$或-1, 函数n (x) 在区间$[-3‚-\frac{2}{3}]$单调递增, 在区间$[-\frac{2}{3}‚-1]$单调递减, 在区间[-1, 3]单调递增, 易求得函数n (x) min=-21.

而函数m (x) =8x2+16x-k, 其对称轴x=-1, 所以m (x) max=m (3) =120-k, 所以120-k≤-21,

即k≥141.

(5) n (x) =2x3+5x2+4x, 由 (4) 易得函数n (x) min=-21, 函数n (x) max=111, 故-21≤n (x) ≤111.

又m (x) =8x2+16x-k, x∈[-3, 3], 由 (4) 得m (x) max=m (-1) =-8-k, 所以-8-k≤m (x) ≤72-k, 由任意x1总存在x2满足m (x1) =n (x2) , 说明函数m (x) 在区间[-3, 3]的值域为n (x) 在区间[-3, 3]的值域子集, 即有-8-k≥-21且72-k≤111, 所以-39≤k≤13.

点评:本题的五问, 表面形式非常相似, 究其本质反应的问题却不同: (1) 是含参不等式恒成立的问题; (2) 是含参不等式存在性的问题; (3) 是含参方程有解的问题; (4) 是不同函数取不同变量恒成立的问题; (5) 是两函数取不同值时存在性的问题.在解题中均是利用函数的单调性、最值、数形结合等方法求解.

一次函数的复习 篇10

一、明确复习重点

（一）要深入研究《考试说明》

数学高考对知识的要求由低到高分为“了解”、“理解”和“掌握”三个层次.《考试说明》指出：“对基本知识和基本技能的考查，既注意全面又突出重点，对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保持较高的比例，并达到必要的深度.”通过对《考试说明》研究，三角恒等变换内容已淡化，三角函数的类型也只是正弦、余弦、正切，而三角函数的图像、倍角公式和正余弦定理依然是不变的重点，图像可以适当关注对称性和周期性.

（二）要深入分析历年高考试题

1.新课标近五年高考理科三角函数试题分析：

2.新课标近五年高考文科三角函数试题分析:

通过分析，我们可以看出，三角函数题目大多以容易或中等难度的题为主，从题型设计来看，大致是2道小题1道大题(或3道小题);从考查内容来看，主要考查对三角函数有关概念、性质的理解，对基本公式的运用.具体主要有三类：(1)三角式的化简与求值;(2)三角函数的性质与图像;(3)解三角形及其应用.值得指出的是，新课标卷17题多是以解三角形的实际应用出题，但综合各省市试题来看，多以三角函数结合解三角形，可能还结合平面向量.解这类题目，要利用平面向量的运算，用三角公式将函数式化为标准形式：y=Asin(ωx+准)+B，或y=Acos(ωx+准)+B，然后结合正余弦定理做出解答.

所以，在二轮复习中我们既要加强对《考试说明》的学习，又要加强对高考试题的分析.《考试说明》是高考命题的依据，而高考试题是《考试说明》要求的具体化.

二、强化基础知识

二轮复习要在形成知识体系上下工夫，注重知识的不断深化，新知识应及时纳入已有知识体系，关注知识之间的内在联系，使模糊的清晰起来，缺失的填补起来，杂乱的条理起来.应构建知识网络，网络应当是立体的、交叉的，单一的线状连接难以适应变化.

高考数学历来注重基础知识和基本技能的考查，虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容，不会直接考查课本上的原题，但高考试题大多能在课本上找到它的“根”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.比如2009年新课标文理17题是解三角形的应用，为必修五1.2例2的变式，而2012年的17题更是课本常见的解三角形题型.虽然现在高考试题力求体现新课改理念，但不论怎么新，解题的数学模型仍要以课本上重点数学知识为基础，所以夯实基础仍是重中之重，扎实的数学基础是成功解题、获取高分的关键，要防止忽视基础、专攻难题的不良倾向，真正做到：基本概念清晰明了，基本运算熟练正确，基本方法运用得当，书面表达规范准确.

三、提炼思想方法

怎样有效提高学生的解题能力?现在提倡高效课堂，有些老师往往着眼于多举例子，似乎学生做题越多越高效.我认为，不着重启发学生思路、推进其思维过程的课堂就不是高效课堂.只有让学生的“脑”和“手”都动起来，并使之在数学方法上有了突破，在数学思维能力上有了提升，才能称为高效.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是加强学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.因此，在二轮复习时应对高中数学涉及的四种主要思想方法即“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”进行专题研究，并在解题活动中注意提炼，而这些思想方法在各内容中侧重点各有不同.比如三角函数中公式及性质之类的内容较多，“等价转化”和“数形结合”的思想在三角函数这章中贯穿始终.

例如：若动直线x=a与函数f (x) =sinx和g (x) =cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(B)

分析：将两点之间的距离转化为三角函数的最值求解，而转化为三角函数的过程则运用了差角正弦公式的转化，体现了转化和数形结合的思想.

四、加强专题训练

高考命题强调全面考查考生的数学能力.在二轮复习中我主张将历年高考试题按内容分类，经过筛选组成专题让学生练习.但选题时做到既要纵选，又要横选.例如，我在编三角函数资料时，除了把本省近五年高考三角函数试题编出来给学生练习外, 还选一些外省的比较新颖的试题让学生练习.例如：(2010年重庆卷文15)如题(15)图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为

通过专题训练，使学生学会综合运用所学数学知识、思想和方法对新的信息、情境和设问进行分析(下转第12页)(上接第6页)与加工，独立思考，研究探索，解决问题，增强实践能力和创新意识.有利于学生了解认识新形势下高考试题，适应高考新要求.

五、注重引导学生进行总结与反思

每次考试或练习，教师讲评后要引导学生及时总结反思，总结试卷中试题涉及的知识点，采用了哪些解题方法，反思自己错误的原因，要把当时解题思路的误区进行剖析，并补充好的解法.

例如：已知求tanα的值.

【错点分析】本题利用平方关系求出sinα-cosα的值，再通过解方程组的方法可解得sinα、cosα的值.但在解题过程中忽视了sinαcosα<0这个隐含条件来确定角α范围，主观认为sinα-cosα的值可正可负从而造成增解.

平时做练习题时，我都要求学生把选择题和填空题的主要过程写在试卷上，一是节省草稿纸，高考只一张草稿纸，养成只用一张草稿纸的习惯;二是等以后复习时能知道当时自己的思路误区在哪里，让学生养成整理“错题集”的习惯.只有这样不断地反思，才能真正做到：退一步———触发灵感，进一步———认清本质，串一串———融会贯通，议一议———豁然开朗，从而提高练习的实效.

三角函数复习体会 篇11

一、要理解记忆公式

三角函数部分公式比较多，学生记忆起来困难比较大，应该在教学过程中注意公式推导和公式与公式之间的互相推导。

二、要立足课本，夯实基础，突出重点

对于课本典型例题与习题，重视领悟蕴含其中的思想方法，做完题后，要仔细进行反思，就能体会到三角恒等变形的主要途径——变角、变函数、变结构。这样进行以点带面的复习，复习的重点应是三角函数的性质，并突出把握考查的两个重点：一是三角恒等变形及其应用，二是三角函数的图象与性质，在全面复习的基础上，查找自己的薄弱环节，有针对性的查缺补差，完善知识网络与认知结构。

三、要重视方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=sin2θ+cos2θ=tanx·cosx=tan45°等。②项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2θ+2cos2θ=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，等。③降次与升次。④引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin（θ+α），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tanα确定。

2.证明三角等式的思路和方法。①思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。②证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。对三角函数试题中的选择，填空题，复习中要掌握其常用方法，如数形结合法，验证法，特例法，淘汰法与直接法，充分运用数形结合的思想，把图形和有机地结合起来，一方面利用函数图象与三角函数线，加深对三角函数性质的理解；另一方面利用三角函数的性质描绘图象，揭示图形的代数本质。

在教学过程中，做完题后，要及时进行反思、一题多解，做一题便将关联的知识与基本方法重温一遍，重点的知识更为突出，知识间的联系更为清晰，掌握的数学思想方法更为完善，日积月累，自己的水平与能力就会逐步得到提高。

例：已知函数y=cos2x +sinx·cosx+1（x∈R）

求（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y= cos2x +sinx·cosx+1= （cos2x+1）+（2sinx·cosx）

+ = （cos2x+sin2x）+ =（cos2x·sin +sin2x·cos ）+ =

sin（2x+ ）+所以y取最大值时，只需2x+ = +2kπ，（k∈Z），即x= +kπ，（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x= +kπ，k∈Z}。

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：①把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数y=sin（x+ ）的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（2x+ ）的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变），得到函数 sin（2x+ ）的图像；④把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y= sin（2x+ ）+ 的图像。综上得到y=cos2x+sinx·cosx+1的图像。

说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx，cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+α)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

四、易错问题辨析

由于三角函数一章的性质多样，图象变换复杂，再加上运用公式进行恒等变形所带来的定义域的改变，常常会引起解题的失误，下面就一些常见易错问题进行分析。

在解题过程中，学生经常忽略正切函数定义域。

例：函数y=sinx（1+tanx·tan ）的最小正周期，忽视了定义域的限制，导致出错。注意挖去（kπ+ ，0）、（2kπ+π，0），则可得所求函数的周期为2π。

五、要加强对三角函数应用的训练

课本安排了解斜三角形的应用举例和实习作业，涉及到测量与航海等实际问题，其立意突出数学的应用，应通过组合与整合，将三角函数，平面向量，解斜三角形形成一个知识板块来复习，一些考生应用意识淡薄，不能以角为自变量建立三角函数关系式求解，思维受阻，近几年高考中以三角函数为背景的三角函数试题已形成了一个亮点；另外，三角形形状的判定，三角函数中的探索性问题都涉及到综合应用，复习中要充分利用这些素材，以三角函数的恒等变形与平面向量为工具，进行综合应用训练，不断提高分析和解决问题的能力。

函数复习总动员 篇12

1. 函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线,选择、填空、解答三种题型每年都有,函数题的身影频现,而且常考常新.近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了.

2. 对于函数部分考查的重点为:函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性和函数的图象;指数函数、对数函数的概念、图象和性质;应用函数知识解决一些实际问题.

3. 导数部分:导数的基本公式,复合函数的求导法则;可导函数的单调性与其导数的关系,求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

二、考试要求

见教学大纲(或考试大纲),这里略.

三、命题特点

纵观近年来高考试题,函数试题有如下特点:

1. 全方位.近几年来的高考题中,函数的所有知识点都考过.

2. 多层次.在每年高考题中,函数题低档、高档难度都有,且选择、填空、解答题型齐全.

3. 巧综合.近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透,加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度.

4. 变角度.加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度,从而使函数考题显得新颖、生动、灵活.

四、主要考点及突破策略

1. 函数的概念型问题

(1)深化对函数概念的理解,明确函数三要素的作用.

(2)系统归纳求函数定义域、值域、解析式的基本方法.

(3)通过对分段定义函数,复合函数,抽象函数等的认识,进一步体会函数关系的本质.

例1下列表格中反映的量,能表示x是y的函数的是()

解析:(A)中对于y的每一个值,虽然x是y的平方根,但有两个值对应,所以,x不是y的函数;(B)中当y=1时,x=0或4,不唯一,所以x不是y的函数;(C)中给y一个值2,x有唯一值与之对应,所以x是y的函数;(D)中给y一个值,x有5个值与之对应,不唯一,故x不是y的函数.综上分析,应选(C).

例2 (2010年湖北文)函数的定义域为()

(A)(,1)(B)(,+∞)

(C)(1,+∞)(D)(,1)∪(1,+∞)

解析:由log0.5(4x-3)>0,知0<4x-3<1,可解得.故(A)正确.

例3 (2010年重庆文4)函数

的值域是()

(A)[0,+∞)(B)[0,4]

(C)[0,4)(D)(0,4)

解析:因为4x>0,所以0≤16-4x<16,

,选(C).

例4 (2010年陕西文10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()

(A)(B).(C)(D)

解析:法1:特殊取值法,若x=56,y=5,排除(C)、(D),若x=57,y=6,排除(A),所以选(B).

法2:设x=10m+α(0≤α≤9),0≤α≤

6时,,当6<α≤9时,,所以选(B).

2. 函数的性质

函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.

1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性.

2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法.

3. 用运动变化的观点分析问题,提高用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.

例5 (2010年重庆理数5)函数f(x)=

的图象()

(A)关于原点对称

(B)关于直线y=x对称

(C)关于x轴对称

(D)关于y轴对称

解析:,

所以f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.

答案:(D)

例6 (2009年山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()

(A)f(-25)

(B)f(80)

(C)f(11)

(D)f(-25)

解析:因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).又因为f(x)在R上是奇函数,则f(0)=0,得f(80)=f(0)=0 f(-25)=f(-1)=-f(1).而由f(x-4)=-f(x)得f(1 1)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)>f(0)=0,所以-f(1)<0,即f(-25)

评注:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.

例7 (2010年天津卷理)设函数f(x)=

若f(a)>f(-a),则实数a

的取值范围是()

(A)(-1,0)∪(0,1)

(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)

(C)(-1,0)∪(1,+∞)

(D)(-∞,-1)∪(0,1)

解析:由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论.

,或

或或-1

答案:(C).

评注:函数求值问题一直是高考常考不衰的题型,它在高考中的突出地位应引起高度重视.有关函数求值问题,大多是通过利用函数的奇偶性或周期性,将未知值转化为已知值问题.

3.函数的图象

以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法.

(1)描点法.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式、导数等理论和手段,是一个难点.

(2)图象变换法.

在高中,主要学习了三种图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换.

①平移变换.

函数y=f(x+a)(a≠0);

函数y=f(x)+b(b≠0).

②伸缩变换.

函数y=Af(x)(A>0,A≠1);

函数y=f(ωx)(ω>0,ω≠1).

③对称变换.

应熟悉y=f(x)的图象与下列函数图象间的关系:

y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|.

例8已知函数.

其中

,

f2(x)=-2x+2,在直角坐标系中,作出y=f(x)的图象.

解:如图1,函数f(x)的图象是由f1(x)的图象——抛物线弧及f2 (x)的图象——一条线段组成的.

说明:作不熟悉的函数图象,可以变形成基本函数再作图,但要注意变形过程是否等价,要特别注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.

例9已知f(x+199)=4x2+4x+3(x∈R),那么函数f(x)的最小值为______.

分析:由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大,但这里我们注意到,y=f(x+199)与y=f(x),其图象仅是左右平移关系,它们取得的最大值和最小值是相同的.由y=4x2+4x+3=4(x+)2+2,立即求得f(x)的最小值,即f(x+199)的最小值是2.

说明:函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的,是“互相利用”关系,函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途.

五、函数综合应用

函数的综合应用是在系统复习函数有关知识的基础上进行的综合应用.

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题.运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓;掌握有关函数知识是运用函数思想的前提;提高用初等数学知识方法研究函数的能力,树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键.

例10已知函数f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数是()

(A)0 (B) 1

(C)0或1 (D)1或2

分析:这里首先要识别集合语言,并能正确把集合语言转化成熟悉的语言.从函数观点看,问题是求函数y=f(x),x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化).不少学生常误认为交点是1个,并说这是根据函数定义中“唯一确定”的规定得到的,这是不正确的.因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的.这里给出了函数y=f(x)的定义域是F,但未明确给出1与F的关系,当1∈F时有1个交点,当1∉F时没有交点,所以选(C).

函数、方程、不等式是相互联系的.对于函数f(x)与g(x),令f(x)=g(x),f(x)>g(x)或f(x)

例11 (2010全国卷Ⅰ理)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是.