参数分布模型（精选9篇）
参数分布模型 篇1
0 引言
距离保护的性能对电力系统的安全稳定运行有着重要的影响。现有距离保护存在如下问题:1)采用集中参数模型,对于超、特高压长距离输电线路而言,其分布参数特性使传统距离保护的测量阻抗与故障距离不成正比。虽然对于超/特高压长线而言,并联电抗器有效的补偿了输电线路分布电容电流,对特高压线路差动保护、距离保护都有不同程度的改善。但其仅补偿了工频电流的一部分,且对故障初期非工频分量的补偿效果有限。因此,仍需要研究采用分布参数模型的距离保护[1,2]。2)由于受对端系统助增的影响,耐过渡电阻能力差[3,4,5,6]。
现有距离保护多采用集中参数模型,文献[7]采用RL集中参数线路模型,利用解微分方程计算故障等值阻抗。该算法忽略了线路分布电容的影响,对于高压长距离输电线路分布电容产生的高频分量使阻抗计算出现较大误差,将会导致距离保护暂态超越。文献[8]提出了一种基于工频量补偿算法的长线距离保护,但该方法将故障点与整定点之间的线路等效为R-L集中参数模型,仍然存在模型误差,且耐过渡电阻能力差。
文献[9]在贝瑞隆模型基础上,提出了一种基于沿线电压分布的故障测距方案,利用故障电流电压计算沿线电压分布,通过寻找电压幅值最小点确定故障位置。文献[10]对该方案原理进行了实测并研制了测距装置。文献[11]提出在时域下利用暂态量计算电压分布,通过寻找电压幅值最小点距保护安装处的距离构成距离保护。文献[9-11]利用贝瑞隆模型进行故障计算,从而考虑了分布电容的影响,但上述文献都未对方案的有效性进行原理性分析,如未深入研究造成电压幅值最小点与故障点位置偏差的因素。并且上述文章仅考虑了金属性故障的情况,耐过渡电阻能力低;需要从输电线路保护安装侧向另一侧计算沿线电压分布,对采样频率要求高,计算量大。
为了解决上述问题,本文提出了一种利用电压分布的距离保护新方法,并对其有效性进行了原理性分析。本文的方法:1)能够计及输电线路的参数分布特性,原理不受线路分布电容的影响,适用于超、特高压长距离输电线路;2)利用线路末端两点电压幅值构造保护判据,计算量小,易于实现。同时给出了提高耐过渡电阻能力的改进方案,使得保护方法具有很高的耐过渡电阻能力。数字仿真数据及现场录波数据仿真都验证了本方法的有效性。
1 保护原理推导
本章将介绍基于电压分布的距离保护新原理,为了方便理解,原理推导部分先以R-L模型进行分析,进而运用到分布参数模型,仿真验证采用分布参数模型。
1.1 原理分析
系统发生单相金属性接地故障(fR=0),故障网络模型和故障分量网络模型[12]如图1所示,相量图如图2所示。
图2中,为正常运行时的负荷电流,为M端故障电压、电流。为故障分量电流。MO为计算得沿线电压分布。从图2中可以看出,对于金属性故障,电压降落与故障电压反向。故障点的电压为零,O点即为故障点,在该点处电压幅值最小,故障点后电压幅值持续上升。
根据以上分析可知,沿线电压幅值在故障点处达到最小且等于零,故障点后电压幅值持续上升。同样的,利用故障分量电流计算得到的电压分布为MF,它的电压分布最小点对应的电压不为零,但最小点对应的电压向量与故障分量电流同相位,该最小点的位置也能够反映故障点的位置。
结论,在金属性故障情况下,无论是全量电流计算得电压分布还是故障分量电流计算得电压分布,它们的最小点的位置都能够反映故障位置,进而可以用于构造新保护原理。
系统单相金属性故障沿线电压分布如图3所示。其中,图3(a)为区外故障沿线电压分布,图3(b)为区内故障沿线电压分布。F为区内故障点,F′为区外故障点,P为整定点。实线为故障电流计算的电压分布;虚线为故障分量电流计算的电压分布。
从图3可以看出,对于区外和区内金属性故障,电压分布分别在故障点F′和F点取得最小值。考虑到整定点处电压分布对于区外故障呈下降趋势;而对于区内故障呈上升趋势。因此,可根据整定点处电压分布趋势判别区内、外故障。以上分析了金属性接地故障时电压分布特征,当输电线路经过渡电阻故障时,由于过渡电阻的存在,故障点处电压幅值不再为零。因此有必要分析此时的沿线电压分布特征。
图4为系统经过渡电阻单相接地故障相量图。
图4中为突变量电流,为故障支路电流,θ为故障电流与故障分量电流的夹角。
当假设线路阻抗角与系统阻抗角相等时,同相位。并且,过渡电阻通常为纯阻性,有故障点电压与故障支路电流同相位。因此,同相位。
由前面的分析可知,电压沿线分布最小值与电流相位有关。从图中可以看出,故障电流计算得沿线电压分布为MF,在方向达到最小点,而不是在达到最小点。也就是说,点A为电压分布MF的最小点,而不是故障点F。为了使得电压分布在故障点达到最小值,需要利用与故障点电压同相位的故障分量电流。利用故障分量电流计算得电压分布MD在故障点取得最小值,与故障点电压同相位。因此,沿线电压分布MD反应故障位置的信息,可以用来判别区内、外故障。
为了更清楚地展示基于全量电流的电压分布和基于故障分量的电压分布中,幅值最小点的位置与故障点位置的关系及其影响因素,图5给出了线路全长90%处经过渡电阻故障情况下,在送端和受端分别利用故障全电流和故障分量电流计算得电压分布与故障点位置的关系。从图5(a)可以看出,对送端而言,用全量电流计算得到的电压分布中,电压分布最小点出现在故障点以近;从图5(b)可以看出,对于受端而言,用全量电流计算得到的电压分布中,电压分布最小点出现在故障点以远。也就是说,利用全量电流计算得到的电压分布其最小点位置与故障点的关系取决于潮流的大小和方向。而利用故障分量电流计算得到的电压分布中,电压分布最小点和故障点重合。
综合矢量图图2和图4,并分别结合其电压分布图3和图5可以看出,无论金属性接地还是带过渡电阻接地故障,故障分量电流对应的电压分布的最小点都能够指示故障点的位置。
图3和图5所示的故障分量电流决定的电压分布能够反映故障点的位置,且故障点以近电压呈现下降趋势,故障点以远电压分布具有上升趋势,因此,可以利用线路末端电压分布的变化趋势构造距离保护。
1.2 分布参数模型下的应用
对于分布参数模型,可由下式计算沿线任意一点的电压电流。
补偿后的电压计算公式如下:
其中,θ为故障电流与故障分量电流的夹角。
在实际系统中,相间会存在耦合,而以上分析适用于每一序分量,因此本方法适用于三相系统。对带并联电抗器的线路而言,在已知电抗器电流的情况下,与本文分析一样。
2 保护处理流程
2.1 保护判据
根据上述分析可知,电压分布能够反映故障点的位置,且故障点以近电压呈现下降趋势,故障点以远电压分布具有上升趋势。当发生区外故障时,位于故障点前的整定附近的电压分布呈下降趋势;当发生区内故障时,位于故障点后的整定点附近的电压分布呈上升趋势。
为了有效地利用上述分析的电压趋势差异构造区内、外故障的识别判据,现将区内、区外及整定点处故障时线路末端电压分布示于图6。其中,实线为线路90%处,即保护整定点故障时沿线电压分布;点划线为线路80%处,即区内故障时沿线电压分布;虚线为线路100%,即区外故障的沿线电压分布。
从图6可以看到,线路整定点处发生故障时,线路全长80%处的电压和100%处的电压相同。而区内故障时,线路全长80%处的电压低于线路100%处的电压,即Ul>U0.80l。区外故障时线路80%处的电压高于线路100%处的电压,即Ul
其中:l为线路全长;Ul为线路100%处电压幅值;U0.80l为线路80%处电压幅值。
需要说明的是,本文仅给出了一种利用电压幅值变化趋势的判据形式,所有能够利用该趋势的判据,都能够用来实现输电线路的距离保护。
2.2 保护处理流程(图7)
距离保护处理过程如下。
1)故障发生后,以突变量电流作为保护启动元件
其中:Img为M端故障分量电流幅值;In为额定电流幅值。当故障分量电流满足式(4)时,判断线路发生故障,保护启动。
2)利用保护安装处电流、电压,结合故障选相结果,对故障相求出线路80%、100%处电压幅值并判断是否符合判据(3)。
3)根据2)中计算电压幅值满足保护动作判据,则保护动作跳闸;否则,保护不动作。
3 保护理论误差分析
前面的分析可知,本方法是利用故障支路的阻性特征,即故障点电压与故障支路电流同相位实现区内、外故障判别。因此,所有影响故障支路电流相位计算的因素都会造成误差。
首先,由于本端电气量仅能反映本端对故障点的注入电流,因此,两端对故障支路注入电流相位的差异会引入误差。而两端对故障支路注入电流的差异取决于两端系统阻抗角的差异,因此有必要分析系统参数差异带来的误差。
另外,由于传输线的分布特性,故障点电流与本端电流相位存在差异,而本方法利用本端故障分量电流进行相位补偿,其不一定能够真实反映故障支路电流相位,存在误差。
鉴于上述原因,有必要对上述两种误差源带来的误差进行理论分析。
3.1 系统阻抗引入误差
在实际系统中故障支路电流受两端系统电流注入,用本端故障分量电流代替故障支路电流,存在一定的误差。并且本端故障分量电流与故障支路电流的相位差取决于两端系统阻抗角。
对图1(b)所示的故障分量网络分析可知,故障支路电流与本端故障分量电流的关系为
式中:ZL为线路总阻抗;ZM、ZN分别为M、N侧系统阻抗;ZL-x为对端到故障点的阻抗。
实际系统中,一般情况下系统阻抗角大于线路阻抗角。当近端故障时,故障支路电流相位超前本端故障分量电流,计算故障距离大于实际故障距离;当远端故障时,故障支路电流相位滞后本端故障分量电流,计算得故障距离小于实际故障距离。
图8为系统经过渡电阻故障时理论误差分析相量图。
图8中:α为故障电压与故障电流的夹角;β为故障电压与故障分量电流的夹角;γ为故障分量电流与故障支路电流的夹角。计算误差为
其中:Actual loc.为故障距离;Computed loc.为计算得故障距离;Line length为线路全长。可以看出,误差仅与故障分量电流与故障支路电流的夹角γ有关,而与过渡电阻大小无直接关系,因此本方法具有很高的耐过渡电阻能力。
3.2 线路模型引入误差
在分布参数线路中由于分布电容的影响,会使得本端电流超前于故障支路电流而引入误差。
但在实际系统中,分布电容电流对电流相位影响很小,特别是对装设有补偿电容器的系统,分布电容电流引入的相位差可以忽略。因此,本方法适用于分布参数模型。
4 仿真验证
4.1 数字仿真数据验证
对本文提出的分布参数模型下利用电压分布的距离保护进行仿真验证。利用EMTP建立750 k V分布参数线路系统模型,并结合Matlab进行仿真验证,线路采用分布参数模型,采样率为2 kHz。仿真模型如图9所示,系统及线路参数如表1所示。
对给出的750 kV系统分布参数模型,在350 km处经300Ω过渡电阻单相接地故障进行仿真,计算得补偿后的沿线电压分布如图10所示。从图中可以看出,电压幅值最小点出现在故障点,可用判据(3),正确判定为区内故障。
对全线0～400 km分别经0～300Ω过渡电阻故障进行仿真验证,结果如表2所示。表中,“+”表示为区内故障保护动作,“-”表示为区外故障保护不动作。由表2分析可知,分布参数模型下保护范围可以达到线路全长的90%。
图11为在350 km处经0～300Ω过渡电阻故障时,分布参数模型下利用补偿后电压分布得到电压幅值最小点及其与实际故障距离的偏差。可以看出,利用补偿后电压分布的距离保护偏差随着故障过渡电阻的增大变化不明显,即使故障发生在保护整定点fR=300Ω时仍可准确判断为区内故障。
为了进一步说明本方法的有效性,将本保护方法与现有距离保护方法,如测量阻抗法、解微分方程法,在不同故障情况下做了仿真对比,仿真结果如表3、表4所示。
从表3、表4中可以看出,本文所提出的保护方法误差远小于传统距离保护,因此本方法性能更好。
4.2 现场录波数据验证
为了说明本保护方法的有效性,利用750 kV系统现场录波数据进行验证。750 kV系统参数如表5所示,采样率为3.2 kHz。在距保护安装处77.8 km发生单相接地故障(2012-4-16,10:42:45),录波数据如图12所示。
线路77.8 km处单相经过渡电阻故障沿线电压分布如图13所示。从图中可以看出,故障点处电压最小,并且可由判据(3)正确判定为区内故障。
为了进一步说明本方法的有效性,将本保护方法与现有距离保护方法对录波故障做了仿真对比,仿真结果如表6所示。
从表6中可以看出,本文所提出的保护方法误差小于传统距离保护,本方法性能更好。
5 结论
本文在分布参数模型基础上提出了一种利用电压分布实现距离保护的新方法,提高了距离保护在长距离输电线路、高过渡电阻情况下的保护性能。研究了保护误差的影响因素。
由于利用分布参数模型,本保护方法适用于超、特高压长距离输电线路。由于利用故障分量电流,本方法具有很高的耐过渡电阻能力。本保护方法原理简单,采样率低,易于实现。数字仿真数据及现场录波数据验证了本保护的有效性和实用性。
参考文献
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参数分布模型 篇2
一类分布参数系统的反馈能稳性
研究了一类分布参数系统在有限维输出反馈下的指数能稳性,用构造有限维观测输出反馈控制器的方法,得到这一类系统反馈指数能稳的.充分条件.
作 者：陈显强 赵怡 作者单位：陈显强(广东广播电视大学,理工部,广东,广州,510091)赵怡(中山大学,数学系,广东,广州,510275)
刊 名：控制理论与应用 ISTIC EI PKU英文刊名：CONTROL THEORY & APPLICATIONS 年，卷(期)： 20(6) 分类号：O175 O231 关键词：反馈指数能稳性 非线性性 分布参数系统 有限维输出反馈控制器参数分布模型 篇3
一个随机场X={Xi, i∈S}, 令S={1, 2, …, n}且S是有限位置的集合, 对于每一个位置i, 我们令pi (xi|x (i) ) =pi (xi|xj, j≠i) 是完全条件分布, 也即当事件{xj=xi, j≠i}时, xi的条件密度就会被给出, 在这里我们使用记号:xi={xj, j≠i}.在这篇文章中, 我们介绍了Besag在1974年介绍的自动模型[3], 知道了这种模型的特例是在下面两个假设下所构造的:第一, 位置间的独立性是两两独立的;第二, 完全条件属于一些指数族.这种自动模型的特例包括Poisson自动模型[2], Gamma自动模型等.但是这种模型具有较大的局限性:指数族涉及的参数大于1, 而且对于模型来说, 也需要满足可积条件, 就像作者指出的, 很多模型如Possion模型都没有实际意义, 因为在相邻位置间可积条件确保的仅仅是空间竞争, 然而大部分需要的是空间合作.
在论文的第二部分, 我们主要讨论了一个多维参数指数族, 根据所分析的bate条件分布自动模型, 我们给出了多参数Fisher Z条件分布自动模型, 这一模型[1]在实际问题中具有很重要的实践意义.
2. 多参数Fisher z条件分布自动模型
Besag在1974年提出, 很多单参数自动模型在相邻位置间需要空间竞争, 但是在很多空间系统中, 空间竞争这种特性往往是不足够的, 相邻位置间还需要空间合作, 通过多参数自动模型如:Fisher Z条件分布自动模型, 我们能得到解决这一问题的方法.
首先Fisher Z分布族在 (0, +∞) 上的密度函数是:
其中参数a>0, b>0
这是因为:
而且能量函数Q可以写成:
根据定理1我们知道如果能量函数Q (x) 满足可积条件, 那么这个模型就被定义了。下面我们主要来验证一下Q (x) 是满足可积条件的.
我们知道Fisher Z分布的自然参数是由下面的等式所给出:
Ai (x (i) ) =≠AAii, , 1 (x2 (x (i) ) (i) ) ≠=≠mi+ni+jj∑∑≠≠ii{fiju (xj) +eijv (xj) }{ciju (xj) +dijv (xj) }≠ (2.1)
在Fisher Z分布密度函数中, 定义区间为 (0, ∞) = (0, 1) ∪[1, ∞) , 因为我们讨论的是有限维的, 所以在此仅讨论定义区间在 (0, 1) 的密度函数.
因为m>0, n>0定义了Fisher Z分布的参数空间, 所以对所有的i和x (i) ∈ (0, 1) n-1
现在我们讨论一下不等式 (2.2) :
因而不等式 (3.2) 的充分条件为:
同理可得, 不等式 (3.3) 的充分条件为:
在这些条件下, Fisher Z条件分布族{pi (xi|x (i) ) , i∈S}处处很好地被定义了.下面的一个命题显示这些条件也能够确保能量函数Q (x) 的存在.
命题1:假设对所有的i, j∈S, 条件 (3.4) , (3.5) 都满足, 然后
1.Fisher Z条件分布族{pi (xi|x (i) ) , i∈S}处处很好地被定义
2. 能量函数Q (x) 满足可积条件 (2.5) .
则, (3.1) 定义了Fisher Z条件分布自动模型.
参考文献
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参数分布模型 篇4
时滞分布参数系统的指数渐近稳定性
基于Lyapunov稳定性理论,利用辅助函数方法研究由变时滞分布参数控制系统所导出的滑动模运动方程的.指数渐近稳定性问题,获得了一类滑动模运动方程指数渐近稳定的充分条件,建立了滑动模运方程解的指数渐近稳定性定理.这就为研究时滞分布参数系统的变结构控制问题奠定了理论基础.
作 者：崔宝同 邓飞其 王伟 刘永清 作者单位：华南理工大学自动化科学与工程学院,广东,广州,510641刊 名：系统工程与电子技术 ISTIC EI PKU英文刊名：SYSTEMS ENGINEERING AND ELECTRONICS年，卷(期)：200325(5)分类号：O29 O175.21关键词：分布参数系统 指数渐近稳定性 滑动模方程 时滞
海杂波复合K分布模型的参数估计 篇5
大量实例表明, 当雷达分辨力较低或在大的观测角下, 海杂波的幅度分布可用瑞利分布表示, 但在高分辨率雷达低擦地角情况下, 海杂波的幅度分布不再服从瑞利分布, 此时可用对数正态分布、韦布尔分布等来拟合。但对窄脉冲雷达的测量与分析发现海杂波幅度会出现很长的拖尾情况, Jakeman和Pusey第一次将K分布模型[1]用于海杂波模型研究。
针对海杂波K分布模型, 为能得到精确的统计模型, 其关键在于对模型的参数进行最优估计。目前常用的有效估计方法包括最大似然法、矩估计法[2]、神经网络估计法等。其中最大似然法的精度最高, 但其模型解析式较难获得。而神经网络法估计结果虽精确, 但收敛时间较长, 需要多次迭代, 不适用于实时计算。因此在工程上大都采用运算相对简单、适用性较广的矩估计法, 它计算简单且能达到一定的精度。国外的V.Anastassopou los等人提出了高阶矩估计法估计参数[3], 而这些方法仅仅是在矩估计的基础上, 对多参数进行优化, 并没有从根本上解决全局搜索的非线性问题。因此本文将从不依赖于非线性模型表达式的参数估计出发, 寻求一种解决海杂波模型参数估计的方法。
遗传算法 (GA) 是模拟遗传选择和生物进化过程的计算模型, 是基于自然选择和基因遗传学原理的有导向随机搜索算法。同时它具有全局搜索能力强、计算简单、鲁棒性强、并行处理及高效实用等显著特点。本文在两参数的K分布参数估计过程中, 建立非线性最优化模型, 利用GA对杂波幅度模型的参数进行优化计算, 并用Matalab实现了所提出的方法。
1 K分布参数估计
1.1 复合K分布模型
复合K分布模型是基于广义Gamma分布模型提出的复合分布模型的一种应用[4]。在这种模型中, 海杂波回波的幅度被描述为两个因子的乘积, 第一部分是斑点分量 (即快变化分量) , 它是由大量散射体的反射进行相参叠加而成的, 符合瑞利分布。第二部分是基本幅度调制分量 (即慢变化分量) , 它反映了与海面大面积结构有关的散射束在空间变化的平均电平, 具有长相关时间, 服从Gamma分布。
K分布的概率密度函数为:
式中:Γ (·) 为Gamma函数, Kv-1 (·) 为v-1阶第二类修正Bessel函数, a为尺度参数, v为形状参数。对于大多数海杂波, 形状参数的取值范围为0.1<ν<∞, 当ν→∞时, 杂波的分布接近于瑞利分布。而对于高分辨率低擦地角的海杂波ν的值在0.1到3之间。图1、图2给出了K分布概率密度随尺度参数a、形状参数v的变化情况。
1.2 统计量估计法
由K分布模型表达式可得K分布的r阶矩如下式所示:
由Gamma函数的性质:
可得:
由式 (4) 可知, 矩估计法只需计算多组zr。而对于实测海杂波观测样本{xi;i=1, 2, …, N}, 其K分布的k阶样本矩为:
用随机样本矩代替总体矩, 并进行反变换即可求取参数a和v。
1.3 最小误差逼近法
最小误差逼近法是采用误差最小的原则[5]来确定K分布的两个参数。海杂波序列xi的实际分布频率Fi定义为组距内海杂波出现次数Nvi与海杂波序列长度Ny的比值为:
若记第i个海杂波的K分布模型概率密度值为fi, 定义目标函数:
根据实测数据取Ny=900, 对于给定任意ε, 需要满足此方法的流程如图3所示, 通过迭代得到K分布的两参数a和v。
2 遗传算法参数估计
2.1 遗传算法基本原理
遗传算法 (GA) 是一种以自然选择和遗传理论为基础, 将生物进化过程中适者生存规则与群体内部染色体的随机信息交换机理相结合的搜索算法[6]。遗传算法把问题的解表示成染色体, 在算法中即是以二进制编码串。并在执行遗传算法之前, 给出一群染色体, 即是假设解。然后把这些假设解置于问题的环境中, 并按适者生存的原则, 从中选择出较适应环境的染色体进行选择, 再通过交叉、变异的过程产生更适应环境的新一代染色体群。通过不断的进化, 最后收敛得到最适应环境的染色体, 即问题的最优解。
2.2 遗传算法参数估计步骤
遗传算法流程如图4所示。其过程包含:
1) 设定终止条件、交叉概率和变异概率。
2) 编码:将a1, v1, …, ak, vk按各自需要的精度用二进制串表示, 然后将其连接成一个单一的L位二进制串。
3) 产生初始种群:随机产生n个L位的二进制串。
4) 确定适应函数:参数搜索范围可以选择参数的经验区间[7], 针对高分辨率低擦地角的海杂波的情况, 文章中参数搜索范围选用经验区间[0, 5]。适应度函数的选择是遗传算法用于参数估计的重点, 好的适应度函数可以减少计算量以及计算时间, 确保得到全局最优的搜索结果。并计算初始种群每个染色体的适应度值和适应度概率。
5) 产生子代个体:根据适应度概率从种群中选择S个染色体进行交叉和变异, 产生子代个体。
6) 选择:将适应度概率最大的个体作为当前最优个体, 并保留;本文直接选取交换后的群体中具有最大适应度的前N个个体作为下一代进行繁殖。这一步骤的存在使得当前群体是所有搜索过的解之中最优的前N个的集合。
7) 交叉:以概率fi/∑fi从种群中选出n个串 (父串) , 以概率pc (交叉概率) 在一随机位置进行交换, 按它们的适应值从大到小排序, 取前面一半为新一代解群。
8) 变异:在新的种群中挑出一个个体, 在一随机位置进行变异。在群体中随机选择一定数量个体, 对于选中的个体以概率pm (变异概率) 随机地改变串结构数据中某个基因的值。计算子代个体的适应度值和适应度概率。
9) 判断是否满足要求, 若满足结束算法, 否则转5) 继续。
2.3 遗传算法的改进
为改善遗传算法的实际性能[8], 将从编码方案、适应度函数标定等方面入手进行算法改进。
编码是遗传算法应用需要解决的首要问题, 也是设计遗传算法的一个关键步骤。编码的好坏直接影响算法中选择、交叉、变异等遗传运算。传统的编码采用二进制0、1字符构成的固定长度串, 它的缺点之一是具有较大的汉明距离, 因为在某些相邻整数的二进制代码之间有很大的差别, 比如用4位二进制编码7和8时, 分别为0111和1000, 此时若要实现从7到8的改变, 必须改变所有编码位, 这种缺陷使得遗传算法的交叉和变异难以跨越, 降低了遗传算法的搜索效率。
为此本文采用格雷码, 使得相邻整数之间汉明距离都为1, 能有效避免这一缺陷。格雷码的特点是任意两个连续的整数所对应的编码之间仅有一位编码不同, 其余均相同。把二进制码b1b2…bn转换成对应的格雷码a1a2…an, 采用下式完成变换任务:
经仿真表明遗传算法采用格雷码具有提高遗传算法的局部搜索能力、利于实现交叉、变异等遗传操作、符合最小字符集编码原则以及便于利用模式定理对算法进行理论分析等优点。
同样, 适应度函数的标定也是整个算法的关键。适应度函数是根据目标函数确定的用于区分群体中个体好坏的标准, 是进行自然选择的唯一依据。因此在函数的设计上必须满足计算量小、通用性强等原则。为此本文中选择实测数据密度函数曲线与理论模型概率密度函数之间距离的倒数为适应度函数。此外, 为避免收敛过早和除法运算出错, 在分母上进行加1处理, 如下式所示:
3 仿真研究
3.1 仿真结果
实验海杂波实测数据来自CSIR (The Council for Scientific and Industrial Research) 组织的网站http://www.csir.co.za/small_boat_detection/mtrials02.html, 提供的数据已被归一化成标准的数据。
算法中编码长度L将决定解的精度, 仿真中兼顾运算量, 选择L=16。初始种群N取值较小虽然可以提高算法速度, 但是容易降低种群的多样性, 容易引起算法早熟, 出现假收敛, 文中选取N=60。不同于传统优化方法, 遗传算法很难明确地搜索终止准则, 因此需要最大代数T来终止算法, 根据多次实验数据收敛结果, 终止进化代数T=50。图5是海杂波数据用改进遗传算法对K分布模型参数进行估计的适应度值和种群平均值的变化情况, 从中可以看出在起始的1~20代中, 适应度值以及种群平均值快速收敛, 而在其后的20~50代中两者变化缓慢直至平稳, 此时算法终止, 得到最佳适应度。
为体现改进遗传算法用于海杂波K分布模型参数估计的有效性及适应非线性系统模型的优点, 实验分别采用矩估计法、最小误差逼近法以及改进遗传算法进行参数估计并分析研究。图6是改进遗传算法得到的优化曲线与实测数据, 图7是矩估计法得到的优化曲线与实测数据, 图8是最小误差逼近法得到的优化曲线与实测数据。
摘要：海杂波幅度分布特性对雷达海面目标检测与识别、信号处理以及性能评估均有重要意义。在高分辨率雷达中, 复合K分布模型对海杂波的实测数据具有很好的拟合效果。采用粒子群优化算法进行海杂波模型的参数估计, 重点研究粒子群算法中的惯性权重和学习因子的选择以及边界问题的处理, 并利用CSIR组织公布的雷达实测数据进行仿真, 估计结果通过均方差检验评估参数估计效果, 结果表明:粒子群优化算法具有良好的适应性和估计精度, 验证了改进算法的有效性。
关键词：雷达,海杂波,K分布模型,粒子群优化
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参数分布模型 篇6
高压直流输电在远距离大容量输电和电力系统联网方面具有显著优点,它将在中国西电东送和全国联网工程中发挥重要作用。目前,葛洲坝至南桥、天生桥马窝至广州北郊、三峡至常州、三峡至广州以及舟山和嵊泗等高压直流输电工程已投入运行,还有一些直流输电工程正在建设或在计划建设之中[1]。
高压直流输电线路输电距离较远,容易受天气及地理条件的影响,输电线路故障是导致直流系统停运的一个主要原因[2]。高压直流线路保护应能检测到线路上任一点可能发生的各种故障,并能有效地清除故障。目前,高压直流线路保护普遍以行波保护作为主保护。当直流线路发生故障时,从故障点到两端换流站会分别反射不同的故障电压、电流行波,据此可以检测故障。同时,高压直流线路保护采用低电压保护、纵差保护等作为行波保护的后备保护[3,4,5,6,7]。现有保护没有明确的整定原则,一般情况下依靠仿真来提供整定值。此外,行波保护存在可靠性问题,且高阻情况下无法动作,而直流线路纵差保护不满足速动的要求,因此,有必要研究新的直流线路保护。
距离保护具有保护范围稳定、不受运行方式影响的优点,在交流输电线路保护中具有优良的性能。其实,距离保护只需要区分区内、区外故障,无需在全线范围内准确测距。经分析发现,距离保护正确动作的条件是:测距误差不大于故障距离与整定距离之差[8]。文献[8]基于分布参数模型,得出了补偿电压、电流的频域表达式,并提出了基于工频量补偿算法的长线距离保护。由文献[9]可以得到利用线路首端电压、电流计算沿线电压、电流分布的时域表达式,据此可以得到补偿算法的时域表达式。虽然该算法是为交流输电线路设计的,但该距离保护原理也同样适用于直流输电线路。
本文根据直流输电线路具有明显的边界特征,提出一种基于分布参数模型的距离保护时域算法。针对直流线路较长,近端测距误差较大,保护可能拒动的问题,提出了两段式距离保护的解决方法。
1 保护原理
1.1 直流输电线路距离保护Ⅰ段
直流输电线路两端直接连接有平波电抗器,其电感量一般较大。对于直流输电线路保护来说,区内、区外故障具有明显的边界。为保证保护动作的选择性,直流输电线路距离Ⅰ段整定为线路全长。
如图1所示,将线路用贝瑞隆模型来模拟,通过线路首端即保护安装处m测得的电压、电流量(u,i),补偿计算得到直流线路末端n的电压、电流量(u′,i′),线路末端到故障点之间的线路用RL模型来模拟。补偿电流、电压可由下式求得[10,11]。
式中:um和im分别为保护安装处的电压、电流;u′和i′分别为补偿电压、电流,即计算得到的线路末端电压、电流;R为线路单位长度的电阻;lset为整定距离;v为线路波速度;Zc为线路的特征阻抗。
当距保护安装处lf远处发生故障时,可由下式通过时域方程利用最小二乘算法得到故障距离:
式中:Rf′为等效过渡电阻;ig′为补偿电流故障分量。
保护动作判据为:
1.2 误差分析
由式(2)可以得到线路故障点处电压与线路末端补偿电压、电流的关系式为:
假设线路发生的是金属性短路故障,即u(lf)=0,对式(5)进行拉普拉斯变换,可以得到测量阻抗与故障距离的关系式为:
式中:
由式(3)得到的测量阻抗与故障距离计算值x的关系式为:
进而得到测距误差与故障距离的关系式为:
给定线路参数R=0.013 3Ω/km,L=0.847mH/km,C=0.01297μF/km,线路长度为1000km,可以得到如图2所示的故障距离与测距误差的关系。
由图2可知:
1)距离Ⅰ段提高了直流线路末端附近的测距精度,正方向区外故障时能够可靠不动作,满足保护选择性要求;
2)线路中部及远端故障时,测距误差在容许范围之内,能够可靠动作;
3)线路近端故障时,测距误差超出了容许误差,距离Ⅰ段可能拒动。
1.3 直流输电线路距离保护Ⅱ段
为了满足保护可靠性要求,使保护范围为线路全长,可以在线路近端增设一个补偿点,并以此构成直流输电线路距离保护Ⅱ段,整定距离为线路全长的30%。补偿点电压、电流计算以及保护动作判据与距离Ⅰ段类似。图3给出了lset=300km时的测距误差曲线。
由图3可以看出:
1)当lset=300km时,提高了线路近端的测距精度,距离整定点越近,测距误差越小;
2)距离Ⅱ段对于其保护范围内(线路全长的30%)发生的故障能够可靠动作;
3)保护范围之外发生故障时,故障点距离整定点越远,距离Ⅱ段测距误差越大,但该误差为正误差,测距结果大于整定距离,距离Ⅱ段不会误动。
1.4 保护逻辑
鉴于以上分析,直流输电线路距离保护采用两段式保护原理。距离保护Ⅰ段和Ⅱ段配合,当直流输电系统故障时,在保证选择性的前提下,可靠地反应于直流线路故障,正确动作。保护逻辑见图4。
2 算法实现
双极直流输电系统如图5所示,保护安装处得到的是两极的电压量和电流量,首先要利用文献[10]中的变换矩阵,将两极电压和电流转化为相互独立模量,采用贝瑞隆分布参数线路模型分别计算出补偿点处的模电压和模电流。
线路故障后,存在如下关系:
式中:j取值为0或1,分别表示各个模分量;uj′和ij′分别为补偿点处j模电压和电流;rj和lj分别为j模系统中单位长度的电阻和电感;lf为保护安装处到故障点的距离;ufj为j模系统中故障点处的电压。
对于图5所示的直流输电系统,若正极线路发生接地故障,整定点处正极电压,将式(9)代入,整理可得:
式中:uJP′和iJP′分别为整定点处的正极电压和电流;i0′为整定点0模电流;Rf′为等效故障接地电阻;
对于高压直流输电线路,发生双极故障时,就取1模分量,则故障定位方程为:
式(10)和式(11)中未知数仅有故障距离lf和等效过渡电阻Rf′,在2个不同的时刻,分别建立2个独立的微分方程,就可以求解故障距离。为了提高计算精度,可以利用最小二乘法求解冗余方程组,得到故障距离。
3 仿真计算
±500kV双极直流输电系统的仿真模型如图5所示。线路全长1 000km,采用贝瑞隆模型,用PSCAD进行电力系统仿真,用MATLAB进行算法仿真。在PSCAD仿真时,数据采样频率为10kHz,故障发生在t=0.5s时刻,整个仿真时间为1s。
利用PSCAD数据输出功能得到整流侧直流线路电压、电流的测量值,用相模变换矩阵提取模量,分别用1模和0模数据计算补偿点的电压、电流模量,算法中lsetⅠ=1000km,lsetⅡ=300km,经过相模反变换得到相量,利用补偿算法得到故障距离,作为保护动作依据,总数据窗时长为20ms。
为了验证算法的有效性,故障考虑了双极直流输电系统正极线路区内故障、末端故障以及正向区外平波电抗器后故障;接地过渡电阻考虑0Ω,15Ω,30Ω。
表1~表3给出了在不同故障距离、过渡电阻下的测距结果及保护动作情况,其中,“+”表示动作,“-”表示不动作。
由表1可以看出:直流线路远端发生故障时,距离Ⅰ段测距精度高,能够正确动作,距离Ⅱ段判为区外,可靠不动作;线路近端故障时,距离Ⅰ段拒动,但此时,距离Ⅱ段测距误差小,能够正确动作;通过Ⅰ段和Ⅱ段的配合,该距离保护能正确反应于直流线路内部故障。由表2可以看出:距离Ⅰ段提高了线路末端故障时的测距精度,有效防止了保护超越。由表3可以看出:区外故障时,距离Ⅰ段和距离Ⅱ段判定结果都为区外,保护可靠不动作。
由表1~表3可以看出:故障点过渡电阻对于该距离保护的测距结果有一定影响,随着过渡电阻的增大,测距误差有所增加。基于该算法的保护,其耐过渡电阻能力有待进一步研究和提高。
4 结语
本文给出了一种基于分布参数模型的高压直流输电线路时域保护算法,提出了两段式距离保护原理,使保护能在全线范围内快速、正确动作。仿真结果表明,该方法在直流线路区内故障时可靠动作,线路末端以外故障时可靠不动作。该方法所需数据窗短,有效提高了保护动作速度,可靠性高。
摘要：对于距离保护而言,没有必要全线准确测距,只要边界准确,能正确区分区内、区外故障即可。文中针对直流输电线路两端连接有平波电抗器,具有明显的边界特征,提出一种高压直流输电线路距离保护时域算法。该方法建立在分布参数模型基础上,通过保护安装处的电压、电流量,计算得到线路末端的电压、电流量,再应用微分方程算法计算出故障距离,以此作为保护动作依据。针对直流线路近端故障时,测距误差大且保护可能拒动的问题,提出了两段式距离保护的解决方法。仿真表明,基于该算法的保护可以正确辨别区内、区外故障,在全线范围内动作快速、可靠。
关键词：高压直流,距离保护,分布参数,时域
参考文献
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参数分布模型 篇7
输电线路两端采样的同步精度影响线路纵差保护的性能,特别是严重影响线路故障测距的精度[1,2]。目前,常用的输电线路采样同步方法主要有:基于GPS卫星基准时钟的同步方法[3,4],基于数据通道的同步方法[3,5,6,7,8,9,10,11]和基于输电线路模型的同步方法[3,12]。由于安全上的原因,电网一般不主张采用基于GPS卫星基准时钟的同步方法。虽然基于数据通道的同步方法现已普遍采用,但也存在影响同步精度的因素(如数据通道传输时间不一致等)。基于输电线路模型的同步精度受输电线路模型精度的影响,传输线长线路模型和贝瑞隆模型是精度较高的两种输电线路模型,但其实现的同步精度仍不理想(详见本文的仿真结果)。
文献[13]提出了一种输电线路的分布参数电路模型,其模型构建精度相比长线路模型和贝瑞隆模型要高。基于文献[13]提出的输电线路分布参数电路模型,本文就输电线路的采样同步方法进行研究。
输电线路采样同步方法在实现方法上可分为采样数据修正法和采样时钟校准法。就输电线路模型而言,采样时钟校准法可避免线路故障对采样同步的影响,但随着线路两端采样时钟误差的增加,将产生采样同步偏差,影响采样的同步精度。由此,需要对输电线路两端的采样时钟进行同步校准,本文将提出一种基于输电线路分布参数电路模型的采样同步校准方法。
1 输电线路两端的采样同步与同步偏差
1.1 采样同步与同步偏差
线路两端的采样需同频同步进行。采样脉冲由装置自身晶振分频产生,若线路两端的每个采样脉冲在同一时间轴上严格对齐,则采样是同步的。
由于产生采样脉冲的晶振随着工作老化会引起累计误差[14],导致输出频率的漂移。晶振偏移必然会引起分频的采样脉冲偏移,由此线路两端的采样会错位。图1为两端不同步采样的示意图,其中Δt为线路两端采样错位的时间,即采样偏差时间。
在同步端超前基准端采样时,若将同步端的第1个采样脉冲在时间轴上推迟Δt,之后保持原有采样频率,则实现了两端数据的同步采样。在采样偏差存在时,同步端根据基准端的采样调整自身采样脉冲输出,即可实现线路两端同步采样。
1.2 基于输电线路模型的采样同步校准原理
依据给定的输电线路模型,由线路一端(基准端)的电压电流采样值计算线路另一端(同步端)的电压电流值,将同步端的电压电流采样值与电压电流计算值(由基准端计算的)进行对比分析。若二者相同,则线路两端的采样同步;若二者不相同,则线路两端的采样存在同步偏差[3,12]。将计算的采样偏差时间用于同步端采样脉冲校正,就可实现输电线路的采样同步校准。
该采样同步校准方法的准确性依赖于线路模型的准确性。现有的输电线路模型主要有长线路模型、贝瑞隆模型等。长线路模型在建立线路微元的微分方程时忽略了二阶无穷小项,贝瑞隆模型在无损线模型中串联集中电阻来替代线路有损分布模型[15],故长线路模型和贝瑞隆模型存在构建误差,文中稍后的仿真给出了长线路模型和贝瑞隆模型的计算误差,其误差尚不能满足高精度的线路同步采样需求。由此,有必要寻找更精确的线路模型,进行输电线路的同步采样校准方法研究。
2 基于分布参数电路模型的采样同步校准
2.1 线路分布参数电路模型
文献[13]提出了一种输电线路的分布参数电路模型,输电线路由无穷的微元级联构成(见图2),模型算式如下。
式中:inj(t)是由线路M端t时刻的电压电流采样值计算出的N端电流计算值;r、l、c和g分别是输电线路单位长度的等效电阻、电感、电容和电导;x是输电线路的长度;um(i)和im(i)分别表示M端采样电压和采样电流对时间的i阶导数。
在线路正常时,由线路M端t时刻的电压电流采样值计算出的N端电流计算值inj(t)与N端t时刻的电流采样值in(t)相差甚小[13]。
2.2 基于分布参数电路模型的采样同步校准方法
在线路两端采样装置正常运行期间,线路两端的采样序列同步。在线路两端出现采样偏差时,其基于分布参数电路模型的采样同步校准方法如下(在以下的分析中,t表示采样序列点)。
依据线路分布参数电路模型算式(1),由线路基准端(M端)电压电流采样值im(t)和um(t),计算同步端(N端)的计算电流inj(t),并将计算结果传送到N端,在系统正常运行时,inj(t)应与N端相同采样序列点的电流采样值in(t)几乎相等。将两个几乎相等的in(t)和inj(t)进行相位比较,根据二者的相位差计算出采样偏差时间。由此同步端调整其采样脉冲输出,实现采样的同步校准。
在稳态运行情况下,线路电流可表达为:,其中I为电流有效值,ω为电流角频率,ϕ0为初相位,Ts为采样间隔。对于两相邻采样序列点t0和t1有
展开后有
整理式(4)和式(5)得到电流在采样序列点t1的相位
因为之间的相位差表征了线路两端的采样错位情况,所以由式(6)计算出电流在采样序列点t1的相位ϕn(t1)和ϕnj(t 1),并根据ϕn(t1)和ϕnj(t 1)计算线路两端的采样偏差时间。因2π相位对应了一个工频周期的时间,所以线路两端采样偏差时间计算式为
在线路两端采样装置初始化阶段,由于尚未建立采样同步基准,线路两端的采样序列不同步,N端的采样电流in(t)与接收的计算电流inj(t)之间可能出现一个较大的随机偏差。图3中in(t)与inj(t)之间存在Δt1的偏差。
为实现此随机偏差的采样同步校准,需要找到采样电流in(t)与计算电流inj(t)尽量相等的序列点,再按前面的方法进行采样同步校准。由于正弦函数值具有双值性,不能由单点的in(t)和inj(t)值确定相等的序列点,此时可使用多点in(t)、inj(t)信息,找到两序列的变化趋势,确定相等的序列点,并依据式(6)和式(7)计算出偏移时间。
3 仿真试验分析
本文参照实际电网参数,建立一长度为500 km的750 kV超高压输电线路仿真模型,如图4所示。采用ATP仿真系统获取线路两端的采样数据,仿真中设置的采样率为4 kHz。
计算中采用函数拟合方法处理式(1)中的电压电流微分项。为作比较,文中分别采用长线路模型、贝瑞隆模型和分布参数电路模型按式(6)计算N端的计算电流inj(t)和采样电流ni(t)的相位,依据式(7)计算出线路两端的采样偏差时间。计算了线路N端超前M端1～125μs采样的125组算例,表1列举了部分计算结果。
对于N端采样电流序列in(t)与计算值序列inj(t)存在的大偏移的情况,计算了in(t)超前inj(t)1ms到19 ms大偏移情况,表2列出了部分偏移计算结果。
由于输电线路参数会随线路所处环境、气候等因素发生改变,为分析线路各种参数变化对采样偏差时间计算结果的影响,文中计算了线路电阻、电抗、电容在±15%变化时的情况。表3总结了线路N端超前M端125μs采样时,各种试验条件下的采样偏差时间计算结果。
仿真结果分析:
1)三种模型中,分布参数模型的计算精度最高,在元件参数准确时,采样偏差时间计算能够达到1μs的精度,且计算结果不随采样偏差时间大小改变;
2)线路元件参数改变对三种线路模型的采样偏差时间计算结果均有影响。电阻和电感变化对计算结果影响较小,在±15%变化下,分布参数电路模型计算的误差不超过4μs。线路电容变化对计算结果影响较大。在此情况下,若能采用在线辨识输电线路分布参数的方法,则可减小线路参数变化引入的计算误差。
4 结语
针对输电线路的采样同步问题,本文提出了一种基于输电线路分布参数电路模型的采样同步校准方法。该方法具有如下的特点:
1)该方法可在系统正常运行情况下实现采样同步校准,不受系统故障状况的影响;
2)该方法可在线路两端出现任意采样偏差情况下进行采样同步校准,不需其他方法辅助;
3)该方法不受制于数据通道传输时间的一致性,可在光纤自愈环网中应用;
4)该方法的采样同步精度高,可应用于输电线路光纤纵差保护,特别适用于线路故障测距。
摘要：针对输电线路存在的采样不同步问题,总结了现有处理方法的特点,提出了一种基于输电线路分布参数电路模型的采样同步校准方法。在系统正常运行时,线路基准端根据其电压电流采样序列,通过线路分布参数电路模型计算出线路同步端的电流,并将计算结果发送给同步端。线路同步端通过比较其采样电流序列与基准端传来的计算电流序列之间的相位,计算出同步端相对于基准端的采样偏差时间。此后同步端调整其采样脉冲输出,完成采样同步校准。仿真分析表明该方法能准确计算线路两端的采样偏差时间,验证了该方法的可行性。
参数分布模型 篇8
有限混合分布[1]提供了为众多随机现象建立统计模型的数学基础。由于该分布的灵活性, 无论在理论上还是实践上都受到人们的极大关注。事实上, 在过去的几十年里, 有限混合模型的应用范围和潜力得到广泛认可。混合模型已成功被应用到天文学、生物学、遗传学、医学、精神病学、经济学、物理学、社会科学等领域。在这些应用中, 有限混合模型支撑着各种统计技术, 包括聚类分析、判别分析、模式识别和生存分析等。混合分布模型的提出是为了解决如何在大量的数据中发现有用的信息、模式和知识这一问题, 而传统的单一分布很难有效地解决这个问题。不同的混合分布模型应用于不同的领域, 其中混合泊松分布在医学领域有广泛应用;混合指数分布在工程领域里有一定应用;而混合正态分布应用最广, 因为许多随机现象在样本量足够大时都可以用正态分布逼近, 并且混合正态分布模型也具有灵活、高效的拟合能力。
近年来, 越来越多的学者致力于用EM算法来解决混合模型参数估计问题。Gelffrey[2]利用EM算法对有限正态混合模型进行了讨论, 并给出了具体例子;凌燕[3]用不同的方法对不同情况下的混合分布模型的参数进行了估计;谢勤岚[4]介绍了混合模型极大似然参数估计的EM算法实现;张香云等[5]用EM算法推导出了隐Markov模型中参数的迭代公式;温艳清[6]对区间型Weibull分布使用EM算法进行了极大似然估计。本文针对混合正态分布模型, 将混合分布观测数据视为不完全数据, 通过数据扩张达到简化似然函数的目的。最后利用EM算法进行极大似然估计, 并且在得到相应迭代公式后, 进行了数值模拟。
1 EM算法及其性质
1.1 EM算法
EM算法由Dempster[7]等人提出, 是一种从不完全数据求参数的极大似然估计的迭代算法。该算法的每一次迭代由两步组成:第一步是求对数似然函数的条件期望 (E步) , 第二步是最大化E步计算所得的条件期望 (M步) 。该算法利用数据扩张, 将比较复杂的似然函数最优化问题化成一系列比较简单的函数优化问题。
形式上, 我们有两个样本空间X、Y, 以及从X到Y的一个多对一映射x→y (x) 。其中x= (x1, x2, …, xn) 是不能被观测到的, 被称为“完全数据”。我们只能观测到Y里的y= (y1, y2, …, yn) , 也就是所谓的“不完全数据”。设参数Ψ∈Ω, x的密度函数为fc (x|Ψ) , 则y的密度函数为:
这里的X (y) ={x∶y (x) =y}。
我们想用极大似然法估计参数Ψ, 也即对Ψ∈Ω, 使g (y|Ψ) 极大化。做法是令x= (y, z) 来表示y的完全数据, 其中z= (z1, z2, …, zn) 表示不可观测数据或缺失数据, 即将yi, i=1, …, n用缺值扩张为xi= (yi, zi) 。由于在统计问题中, 极大化不完全数据的密度函数g (y|Ψ) 要比极大化完全数据的密度函数fc (y|Ψ) 难很多, EM算法就是试图对AΨ∈Ω, 使lnfc (y|Ψ) 极大化。但是x不能被观测到, 从而就不知道1nfc (y|Ψ) , 所以我们用1n fc (x|Ψ) 在给定y和Ψ (k) (第k步Ψ的迭代值) 下的条件期望来代替。
更具体地说, 设Ψ (0) 是Ψ的初值, 则在第一次迭代中, E步需要计算:
Q (Ψ;Ψ (0) ) =EΨ (0) {lnfc (x|Ψ) |y}
M步则需要关于Ψ最大化Q (Ψ;Ψ (0) ) , 也就是求Ψ (1) , 使得对所有的Ψ∈Ω, 有:
再次执行E步和M步, 但是这次用Ψ (1) 的当前值来代替Ψ (0) 。在k+1次迭代时, E步和M步可以被定义如下:
E步:计算Q (Ψ;Ψ (k) ) , 其中Q (Ψ;Ψ (k) ) =EΨ (K) {lnfc (x|Ψ) |y}。
M步:求Ψ (k+1) ∈Ω, 使Q (Ψ;Ψ (k) ) 极大化, 即对所有的Ψ∈Ω, Q (Ψ (k+1) ;Ψ (k) ) ≥Q (Ψ;Ψ (k) ) 。
如此形成了一次迭代Ψ (k) →Ψ (k+1) 。将上述E步和M步进行迭代直至|Ψ (k+1) -Ψ (k) |或|Q (Ψ (k+1) ;Ψ (k) ) -Q (Ψ (k) ;Ψ (k) ) |充分小时停止。
1.2 EM算法的性质
简单和稳定是EM算法的最大优点, 以下定理[7]表明, 利用EM算法所得到的估计序列具有良好的收敛性, 且收敛到g (y|Ψ) 的最大值。估计序列为Ψ (k) , k=1, 2, …, L (Ψ|y) =lng (y|Ψ) 。
定理1 EM算法在每次迭代后均提高后验分布密度函数值, 即:
定理2 (1) 如果g (y|Ψ) 有上界, 则L (Ψ (k) |y) 收敛到某个L*; (2) 如果Q (Ψ;θ) 关于Ψ和θ都连续, 则在关于L的很一般的条件下, 由EM得到的估计序列Ψ (k) 的收敛值Ψ*是L的稳定点。
2 混合分布参数估计的EM算法
设混合正态分布模型的密度函数为:
以下根据两个正态分布混合建立模型, 利用EM算法对未知参数Ψ进行估计。
如果一组数据样本y= (y1, y2, …, yn) 来自于正态分布N (μ1, σ2) 与N (μ2, σ2) 的混合, 混合比为π与1-π, 且0<π<1, 则Ψ= (π, μ1, μ2, σ2) 为未知参数, 我们的目的是求Ψ的极大似然估计。设两重混合正态分布的概率密度函数为:
得到其似然函数:
对以上似然函数取对数得:
由于
很难用数值方法直接得到解, 下面我们用EM算法来进行分析。
引入潜在变量z= (z1, z2, …, zn) , 其中z1, z2, …, zn相互独立, 且
满足
这样, yi有如下条件分布:
yi|zi=1□N (μ1, σ2) , yi|zi=0□N (μ2, σ2) 。
设x= (y, z) , 则xi= (zi, yi) 的似然函数为:
对上式取对数并去掉与参数π, μ1, μ2, σ2无关的量, 则:
设在第k+1步迭代中, 有估计值Ψ (k) , 由EM算法的E步和M步得到新的估计值Ψ (k+1) 。
在E步中, 令
容易验证, 其中
在M步中, 解
得:
3 EM算法的随机模拟
下面用R统计软件分两种情形对EM算法进行随机模拟。
第一种情形:建立混合模型0.6N (0, 1) +0.4N (8, 1) , 分别产生100个和200个来自该混合模型的随机数, 然后取两组不同的初值:π (0) =0.4, μ1 (0) =-1, μ2 (0) =7, σ2 (0) =0.1和π (0) =0.8, μ1 (0) =3, μ2 (0) =10, σ2 (0) =4进行数值模拟, EM算法参数估计值结果如表一所示。
第二种情形:建立混合模型0.6N (0, 1) +0.4N (2, 1) , 分别产生100个和200个来自该混合模型的随机数, 也是取两组不同的初值:π (0) =0.5, μ1 (0) =-1, μ2 (0) =1, σ2 (0) =0.1和π (0) =0.7, μ1 (0) =1, μ2 (0) =3, σ2 (0) =2进行数值模拟, EM算法参数估计值结果如表二所示。
EM算法的收敛性和有效性从表一和表二可以明显看出。首先, 不论参数初值如何选取, 相同的样本容量得到的估计值几乎相同, 也就是说由EM得到的估计序列Ψ (k) 的收敛值Ψ*是L的稳定点。其次, 随着样本容量的增加, 迭代次数也在逐渐增加, 参数的估计值越接近于真值。最后, 由表一、表二对比可以看出, 当μ1和μ2的距离越远时, 迭代次数越少, 收敛速度越快;当μ1和μ2的距离越近时, 迭代次数越多, 收敛速度越慢。
参考文献
[1]McLachlan G J.Finite Mixture Models[M].New York:Wiley&Sons, Inc, 2000.
[2]McLachlan G J.The EM Algorithm and Extensions (Second Edition) [M].New York:Wiley&Sons, Inc, 2008.
[3]凌燕.混合模型中的参数估计问题[D].上海:华东师范大学, 2006.
[4]谢勤岚.基于EM算法的混合模型的参数估计[J].计算机与数字工程, 2006, 34 (12) :42-44.
[5]张香云, 张秀伟.基于EM算法隐Markov模型参数估计[J].大学数学, 2008, 24 (03) :53-56.
[6]温艳清.EM算法的一个应用[J].山东理工大学学报 (自然科学版) , 2012, 26 (06) :66-68.
[7]Dempster A P, Laird N.Maximum Likelihood from Incomplete Data via EM Algorithm[J].J.Royal Statistical Society Series B, 1977, (39) :1-38.
[8]肖枝洪, 朱强.统计模拟及其R实现[M].武汉:武汉大学出版社, 2010.
疲劳寿命分布参数估计方法对比 篇9
疲劳寿命具有较大的分散性,一般认为,在指定应力水平下,疲劳寿命服从威布尔(Weibull)分布[1]。用Weibull分布描述寿命的分散性时,需要用参数估计方法得到分布参数,再由分布参数得到任意概率下的应力寿命曲线,供结构疲劳寿命分析使用。所以分布参数估计结果的准确性对寿命分析结果的准确性有着重要的影响。
对Weibull分布,常用的参数估计方法有极大似然法、最小二乘法和矩估计法等,Whittaker在为波音公司确定材料寿命分布形状参数时采用了头两序数法[2]。对同一个寿命数据样本,这些方法往往会给出不同的结果,让疲劳分析工作者难以抉择。
本文结合大量的数值试验,对极大似然法、最小二乘法和头两序数法估计结果的精度进行了对比,指出了它们各自适用的情况。
1 参数估计方法
1.1 Weibull分布
双参威布尔分布的概率密度函数为:
式中:α为形状参数,决定了分布密度函数曲线的形状,β为尺度参数,在疲劳分析中也称为特征寿命。
概率分布函数为:
1.2 极大似然法
参数估计的极大似然估计方程为[2]:
式中:Ni是各试件的寿命值,n是试件总数。先用数值迭代解法由式(3)解出α值,再由式(4)求出β值。
1.3 最小二乘法
将寿命数据从小到大排序得:N1≤N2≤...≤Nn,由式(2)得:
式中,F(Ni)=i/(n+1)。将式(6)代入式(5),得:
yi=a+bxi
通过最小二乘线性回归,解得系数a,b为[3]:
a,b得到后,由式(6)计算得分布参数估计值为:
α=b
β=exp(-a/b)
1.4 头两序数法
该法在进行严密的推导后,得到分布参数估计值计算式为[2]:
式中,κ是中间量,N1和N2分别是寿命数据中的最小值和次小值。
2 不同估计方法对比
给定Weibull分布的分布参数,这里设定为α=4,β=180000,利用MATLAB软件产生符合该分布的寿命数据样本。样本容量n从2变化到20,每个样本容量下分别进行Nsample=1,5,20,50和1000次抽样,Nsample为抽样次数。单个样本容量下,每次抽样后,用上述3种估计方法对样本进行参数估计(这里只估计形状参数值)。对极大似然法或最小二乘法,得到估计值αj,对头两序数法,得到估计值κj,j=1,2,...,Nsample。抽样次数达到Nsample后,将每次的估计值αj或者κj放在一起,对它们求期望,计算式为:
每个抽样次数下,都会得到一个估计值的期望E(α)或者E(κ)。E(α)或者1/E(κ)是形状参数估计结果,将它们与给定分布参数值α=4进行对比,根据差异大小判断估计方法优劣。
样本容量n从2变化到20,抽样次数分别为1,5,20,50和1000时,各种估计方法的估计结果与设定值的对比如图1-5所示。
3 讨论与结论
(1)由图1可以看出,当抽样次数(即样本个数)很小时,头两序数法估计结果的波动很大,所以该种情况下不宜用头两序数法进行估计,极大似然法和最小二乘法的表现稍好。
(2)由图1-4可见,当样本容量很小时,不论抽样次数大小,极大似然法和最小二乘法的估计结果均有较大偏差,头两序数法的估计结果较好。
(3)由图1-4也知,随着抽样次数和样本容量的增加,3种方法的估计结果均越来越稳定,且接近设定值。最小二乘法的结果稍好于其他2种方法。抽样次数达到50次时,结果基本稳定。
(4)由图5可知,当抽样次数足够大时,头两序数法估计结果准确度最高,最大似然法估计结果偏大,最小二乘法估计结果偏小。
参考文献
[1]高镇同,熊峻江.疲劳可靠性[M].北京:北京航空航天大学出版社,2000.
[2]WHITTAKER I C,BESUNER P M.A reliability analysis approach to fatigue life variability of aircraft structures[R].AD853263,1969.