曲线参数模型（共9篇）
曲线参数模型 篇1
0 引言
中长期负荷预测是指1~10 a的月、季、年的负荷预测,它是电力系统进行电力规划、设计和投资的基础[1,2,3]。 中长期负荷预测主要包括用电量、最大负荷、负荷特性指标以及典型日时序、持续负荷曲线预测等。 国内外大量文献对用电量、最大负荷和负荷特性指标的预测方法进行了详尽的研究[4,5,6,7,8],并取得了较好的预测效果,而针对典型日负荷曲线的预测方法研究较少。 事实上,典型日负荷曲线的预测对于电源、电网优化具有重要意义,它是系统分配电量、审核调峰能力以及评估互联系统错峰调节效益的基础。
与短期日负荷曲线预测相比,中长期日负荷曲线的预测有以下特点:不同年份相同月份的典型日负荷曲线形状相似,变化规律相近;典型日负荷特性指标,如日负荷率 γ 和最小负荷率 β 能反映负荷曲线变化的形状和特点;用于预测的历史负荷曲线样本较少。 目前,中长期日负荷曲线除了采用人工按比例 进行编制 或历史数 据简单加 权累加的 方法[9,10]进行预测外,较为准确的方法是先预测典型日的最大负荷和负荷特性指标,如日负荷率 γ 和最小负荷率 β,然后选取一条已知负荷曲线作为参考曲线,认为待预测曲线与参考曲线形状接近,各时段具有相同的变化趋势,从而建立使待预测曲线满足负荷特性指标要求,并且形状与参考曲线形状最接近的数学规划模型。 文献[11]取待预测年前一年的典型日负荷曲线作为参考曲线,建立了使待预测曲线与参考曲线误差平方和最小的二次规划模型进行预测。 文献[12]用参考曲线从2个方向“夹逼” 待预测曲线,将预测模型转化为线性规划模型。 用上述方法进行预测的关键是选取一条合适的参考曲线。 文献中基于相似性“近大远小”的原则,一般选择待预测年前一年的典型日负荷曲线作为参考曲线。 文献[13]将历史典型日负荷曲线样本中不同年份、同一时刻的负荷数据构成时间序列,用支持向量机回归的方法分别对每个时刻点进行预测,得到预测曲线。 该方法预测结果受模型参数设置影响比较大。
函数型数据分析是加拿大统计学家J. O. Ramsay等在20世纪70年代提出的结合泛函分析、拓扑学与统计学的数据统计及处理方法[14]。 传统数据分析的观点是将历史数据视为变量在不同时刻点上的观测值按时间顺序排列构成的时间序列。 然而,处理的很多数据实际上是变量在某个观测区间上的重复观测值,例如日负荷数据。 基于函数型数据分析的观点,如果将观测区间内的一次观测数据视为整体,这些数据能构成一条曲线,即具有函数特征, 就称之为函数型数据。 利用函数型数据分析方法可以对无限维空间的曲线数据进行统计分析,更好地刻画数据变化的规律,挖掘出更多的数据信息,对一些建模问题的分析将更加全面、深刻[15,16]。 目前该分析方法已成功应用于气象学、生物力学、经济学以及短期电力负荷预测[17,18]。
本文基于函数型数据分析理论,提出了一种用于中长期日负荷曲线预测的新方法。 该方法首先将历史典型日负荷曲线视为函数型数据,基于非参数核密度估计方法,建立了函数型非参数回归预测模型。 然后在已知待预测典型日负荷特性指标的情况下,以函数型非参数回归预测方法所得预测曲线作为参考曲线,建立二次规划模型对该预测曲线进行修正,使修正后的预测曲线满足典型日负荷特性指标的要求。 最后利用某省级电网和美国PJM电力公司的负荷数据对所提的预测方法进行测试。
1 函数型非参数回归预测模型
1.1 函数型变量和数据
文献[16,19]中给出了函数型变量和函数型数据的定义:如果随机变量S在无限维空间(或函数空间)F上取值,则称该随机变量为函数型变量,函数型变量的观测值称为函数型数据。
电力系统的日负荷变化是一个连续的变化过程,对应连续变化的曲线,其本质具有函数特征,记录日负荷变化的日负荷曲线则为函数型数据。 从传统数据分析的角度来看,负荷变化是在实数空间R上取值的随机变量Z,它在时间t = 0到t = n T上的观测值是连续时间序列{Z(t),t∈[0,n T]}。 根据负荷变化的规律,通常选择1 d,即T = 24 h作为观测周期,那么{Z(t),t∈[0,n T]}就是在观测区间[0,T) 上的重复观测值,它可以按观测周期T划分为n个等长的观测段Si= {Si(t),t∈[0,T)},有:
基于函数型数据分析理论,观测段Si为函数型数据,由式(1)可将连续时间序列{Z(t),t∈[0,n T]} 转化为离散的函数型时间序列{S1,S2,…,Sn}。
通常情况下,电力系统的日负荷数据是在时间间隔相等的离散时刻点t1、t2、… 、tP(P为时刻数 ) 记录的观测值,常取的时间间隔有1 h(P = 24)、15 min (P = 96) 等 , 所以实际获得的日负荷变化的函数型数据为Si={Si(t1),Si(t2),…,Si(tP)}。
1.2 函数型非参数回归模型
设{(Xi,Yi),i=1,2, … ,n} 是空间F × R上的数据对,对Xi、Yi可以建立如下函数型回归模型[20]:
其中,解释变量Xi为函数型变量;响应变量Yi为实数变量;未知函数r为回归函数(或条件均值函数);误差项 εi为实数随机变量,满足E(εiXi) = 0( i), E(·)表示期望。
建立回归模型的关键是通过已知数据估计回归函数r。 本文基于非参数核密度估计技术,采用Nadaraya-Watson (N-W) 核估计方 法[16]对函数型 回归函数r进行估计,可得如下回归函数的估计式:
其中,K(·)为核函数,核函数的选择有多种,比如三角、高斯、均匀核函数等,通常选择高斯核函数;h为带宽,表示核函数在样本点附近的作用范围;D(·) 为半度量,是衡量2个函数型样本间的近似程度。
1.3 基于函数型非参数回归的预测模型
假设已知函数型时间序列{S1,S2,… ,Sn},预测Sn+1。 由1.2节可知 , 首先需要根据历史负荷数据 {S1,S2, … ,Sn} 构建数据对 (Xi,Yi) 估计回归函数r。 利用式(1)给出的函数型数据Si与时间序列{Z(t), t[0,n T]} 的关系 , 设a为确定的非负实数 , 令Xi= Si、Yi=Z (i T+a) (i=1,2, … ,n-1), 代入式 (3) 可得回归函数估计式:
由于实际获得的函数型数据样本是时间间隔相等的离散观测值Si= {Si(t1),Si(t2),… ,Si(tP)},所以日负荷曲线Sn+1(tm)的预测模型如式(6)所示:
由式(6)可知基于函数型非参数回归方法的日负荷曲线预测结果是历史日负荷曲线的加权平均, 其权重是通过非参数核密度估计方法进行计算,权重大小取决于历史日负荷曲线与待预测日前一日负荷曲线的近似程度。
2 预测模型在中长期日负荷曲线预测中的 应用
2.1 负荷数据的预处理
对历史典型日负荷曲线数据按式(7)做归一化处理:
其中,S(tm)为典型日负荷曲线各时刻的负荷值 ;Smax为典型日负荷曲线的最大负荷值;S*(tm) 为典型日负荷曲线经归一化处理后各时刻的数值,有S*(tm) [0,1]。
2.2 日负荷曲线的预测
将经过负荷数据预处理后的各历史典型日负荷曲线样本按时间的先后顺序构成函数型时间序列{S*i,i = 1,2,… ,n},其中S*i= {S*i(t1),S*i(t2), … , S*i(tP)}。 通过式 (6)的函数型非参数回归预测模型可以得到S*n + 1的预测曲线赞S *n + 1。
下文将重点介绍函数型非参数回归预测模型中半度量D和带宽h的计算。
2.2.1 半 度量 D 的 计算
在函数空间中需要引入半度量D来刻画空间中2个函数型数据之间的距离,判断它们的接近程度,本文是采用基于函数型主成分分析的半度量计算方法[16]。
对于函数型变量S的2个观测样本Si*(t)和Sj*(t),基于函数型主成分分析的半度量计算表达式如式 (8)所示:
由于变量S的协方差矩阵 Γ 和特征函数vk未知,而且电力系统的日负荷数据是时间间隔相等的离散观测值,所以用n个函数型数据样本估计协方差矩阵 Γ,令w=T / P,样本估计的协方差矩阵为:
D(S* i,S* j) =姨k =q 鄱 1乙m P = 鄱1 w(S* i(tm) -S* j(tm) )vk(tm )2≥(10)
其中,[v1(tm)]T、 [v2(tm)]T、 … 、 [vq(tm)]T分别为样本估计的协方差矩阵赞Γn的特征值λ1≥λ2≥…≥λq对应的单位正交特征向量。
2.2.2 带宽 h 的计算
带宽h在回归函数中起平滑作用,对回归函数的影响很大。 h越小,回归函数r赞(x)对于响应变量Yi的微小变动就越敏 感 ;相反 ,h越大 ,回归函数r赞(x)对响应变量Yi的微小变动就越不敏感。 为了使预测模型具有更好的效果,本文根据式(4)函数型非参数回归模型,采用交叉验证法[21]计算预测模型中的最优带宽hopt。 计算步骤如下 。
a. 在n个函数型数据样本中去除第j个样本 , 用剩下的n-1个样本对回归函数进行估计,可得:
c. 求解使 δCV(h) 最小的带宽即为最优带宽hopt:
2.3 日负荷预测曲线的修正
日负荷率 γ 和最小负荷率 β 是反映典型日负荷曲线变化形状和特点的负荷特性指标,它们可以通过中长期负荷特性的预测得到。 在已知待预测曲线的日负荷率 γ 和最小负荷率 β 的情况下,为了使预测曲线满足典型日负荷特性指标的要求,以2.2节函数型非参数回归预测方法得到的预测曲线赞Sn*+ 1作为参考曲线Sr*,建立使修正曲线Sf*与参考曲线误差平方和最小为目标函数,日负荷率 γ 和最小负荷率 β 为约束条件的二次规划模型对预测曲线进行修正。
为了使曲线的修正更准确,本文参考文献[11] 中二次规划的建模方法,引入灰色理论的基本思想, 首先对参考曲线数据S赞*n + 1(tm)进行如下的数据预处理,弱化原始数据的随机性。
a. 排序。 将赞Sn*+ 1(tm)由大到小排列成序列lr(k), 修正后的曲线S*f也相应排成序列lf(k), 记两序列对应的原始下标为hk,有:
其中,k= 1,2,…,P 。
b. 作差 。 分别将lr(k)、lf(k)序列相邻2项求差值,得到序列yr(i)、yf(i),有:
其中,i = 1,2,…,P - 1。
根据式(15),典型日负荷特性指标与yf(i)有如下关系:
经过数据处理后,预测曲线的修正模型可以转化为求使排序后的一阶差分序列误差最小的二次规划模型,如式(17)所示:
通过求解上述模型,得到最优解即yf(i)。 根据式(15)以及lf(1)=1、lf(P)= β 可求出经过排序后的序列lf(k)。 利用所记录的原始下标hk和式(14)还原得到修正后的曲线S*f。
已知待预测典型日的最大负荷Sfmax,可计算出经修正的实际典型日负荷预测曲线为Sf(tm) = S*f(tm)Sfmax。
基于函数型非参数回归模型的中长期日负荷曲线预测步骤如图1所示。
3 算例分析
本文采用中国某省级电网2000至2009年夏季典型日和美国PJM电力公司2002至2011年冬季典型日24点(P = 24)负荷数据[22]对本文所提预测方法进行研究分析。 这里假设2009年夏季典型日和2011年冬季典型日的日负荷率 γ、最小负荷率 β 和最大负荷已知,如表1所示。
同时,将本文预测方法与经典的中长期日负荷曲线预测方法,即文献[11]的二次规划预测方法和文献[12]的“双向夹逼”线性规划预测方法进行对比。
使用下述指标分析和对比不同预测方法的准确性。
a. 平均绝对百分比误差MAPE (Mean Absolute Percent Error):
b. 均方根差RMSE(Root Mean Square Error):
其中,St(tm)和Sf(tm)分别为实际负荷曲线和负荷预测曲线。
3.1 某省级电网夏季典型日负荷曲线预测
按照2节的步骤 以某省级 电网2000至2008年夏季典型日负荷曲线作为历史样本,对2009年夏季典型日负荷曲线进行预测。 通过对历史样本曲线进行交叉验证计算,可得函数型非参数回归模型中的最优带宽hopt= 0.197。 选择某省级电网2008年夏季典型日负荷曲线作为文献[11]方法和文献[12] 方法的参考曲线。 所得预测曲线和各点预测结果相对误差对比如图2和表2所示。
3种预测方法的预测效果比较如表3所示 。 由表3可知,本文提出的基于函数型非参数回归模型的预测方法对某省级电网2009年夏季典型日负荷曲线的预测结果在MAPE、RMSE和最大相对误差上均优于文献[11]和文献[12]的预测方法。
3.2 美国 PJM 电力公司冬季典型日负荷曲线预测
以美国PJM电力公司2002至2010年冬季典型日负荷曲线作为历史样本对2011年冬季典型日负荷曲线进行预测。 通过对历史样本曲线进行交叉验证计算,可得函数型非参数回归模型中的最优带宽hopt= 0.016 5。 选择PJM电力公司2010年冬季典型日负荷曲线作为文献[11]方法和文献[12]方法的参考曲线。 所得预测曲线和各点预测结果的相对误差对比如图3和表4所示。
3种预测方法的预测效果比较如表5所示 。 由表5可知,本文提出的基于函数型非参数回归模型的预测方法对美国PJM电力公司2011年冬季典型日负荷曲线的预测结果在MAPE、RMSE和最大相对误差上均优于文献[11]和文献[12]的预测方法。
3.3 算例结果分析
从表3和表5的预测结果对比可知,本文预测方法在总体预测误差指标上均优于文献[11]和文献[12]的预测方法。 在各点预测误差上,从表2和表4可知,在超过75% 的点上本文预测方法的预测精度均高于文献[11]和文献[12]的预测方法。 总体而言,本文预测方法的预测误差较小,相比文献[11] 和文献[12]中的方法有一定程度的提高。
本文的预测方法是从函数型数据的角度来分析具有相似性特征的典型日负荷曲线样本并建立预测模型,可以更好地挖掘和考虑典型日负荷曲线的变化规律。 本文采用不事先对变量之间关系作任何假定的非参数回归方法,模型基于样本数据,具有一定自适应性。 通常情况下,典型日的历史负荷曲线有形状相似、变化规律相近的特点,但是当历史数据中出现某些典型日负荷曲线的变化趋势与其他曲线的变化趋势有较大差别时,本文预测方法的预测精度会受到影响,预测误差将会增大。 相关的理论分析和处理方法将是下一步的研究重点。
4 结论
本文提出了一种用于预测中长期日负荷曲线的新方法。 该方法引入函数型数据分析理论,将典型日负荷变化视为函数型变量,从函数型数据的角度来分析具有相似性特征的典型日负荷曲线样本并建立预测模型,可以更好地挖掘和考虑典型日负荷曲线的变化规律。 在建立预测模型时,本文采用非参数回归的方法,不事先对变量之间的关系作任何假定,是基于样本数据进行建模,模型具有一定的自适应性。 相比于经典中长期日负荷曲线预测方法中仅以待预测年前一年的典型日负荷曲线作为参考曲线进行修正,本文是以函数型非参数回归预测模型的预测曲线作为参考曲线,参考曲线的获取上考虑了更多的历史负荷曲线样本以及样本之间的变化规律。 经过实际电网数据的仿真验证表明, 本文提出的预测方法预测精度较高,适用于时间跨度较长的中长期日负荷曲线的预测。
曲线参数模型 篇2
在开发路径插件时，需要解决以下问题：获得路径上某一点到路径起点的曲线长度;给定曲线长度，返回路径上点的位置，路径是由三次样条(Spline)组成的，三次样条就是最高次数为 3 的一元多项式。设样条为 P(t) = f(t), 只要知道 t 就可以得到具体位置的坐标、一阶导等信息。设样条曲线长度为 s，那么要求的就是 t-s 和 s-t 的关系。不幸的是，曲线长度的计算没有解析解，只有数值方法。数值方法不适用于游戏中的时时运算，对性能影响太大。但是，如果事先对 s-t 或 t-s 曲线采样，然后运行时找到最接近的采样数据，就可以计算出大概的结果了。这种办法有两个问题需要解决：如何采样;基于采样数据如何根据 t 计算 s 或根据 s 计算 t。
分析
多段样条组成的路径长度不同、参数不同，需要他们的采样和计算结果具有相同的误差范围，这样才能保证一个匀速运动的物体经过不同样条时看起来没有变速，所以必须引入一个误差的概念。采样时误差越小、路径越长，采样的数据量越大。关于计算，最开始想到的是最小二乘法进行曲线拟合。但后来发现，最小二乘法只能保证已知采样点处误差最小，而无法保证采样点之间的准确程度，甚至会出现不单调的情况。然后想到的是使用 Catmull-Rom 样条来平滑穿过这些点，但是同样不能保证单调，而且端点问题很难处理。
采样
最开始使用指定采样数量、等距离采样的方法。这种方法的缺点就是，无法控制误差。要考虑误差，就得关心曲线的变化过程。
以极小的 dt 来计算 s，同时判断当前 s 是否应该存储到采样表。如图，在相邻两个点之间，认为曲线是直线，那么在给定误差范围内，直线的斜率也是一个范围;然后计算下一个点处的 s，考虑直线斜率的范围，如果这个范围与之前的范围有交集，那么交集作为新的斜率范围;如果没有交集，那么前一点处应当添加新采样数据，采样值取斜率范围内的中点，然后重新计算新的斜率范围。
复制代码
Vector3 lastPoint = _c0, currentPoint;
Vector2 currentSample = Vector2.zero, baseSample = Vector2.zero, newSample;
float currentMaxSlope, maxSlope = float.MaxValue;
float currentMinSlope, minSlope = float.MinValue;
// 估算长度、分段数
for (int i = 1; i <= minSegments; i++)
{
currentPoint = GetPoint(i / (float)minSegments);
currentSample.y += (currentPoint - lastPoint).magnitude;
lastPoint = currentPoint;
}
int segments = Mathf.Clamp((int)(currentSample.y * segmentsFactor / _error) + 1, minSegments, maxSegments);
Listsamples = new List((int)(segments * 0.1f) + 1);
samples.Add(baseSample);
lastPoint = _c0;
currentSample = Vector2.zero;
for (int i = 1; i <= segments; i++)
{
// 计算长度
currentPoint = GetPoint(currentSample.x = i / (float)segments);
currentSample.y += (currentPoint - lastPoint).magnitude;
lastPoint = currentPoint;
// 计算斜率范围
currentMaxSlope = (currentSample.y + _error - baseSample.y) / (currentSample.x - baseSample.x);
currentMinSlope = (currentSample.y - _error - baseSample.y) / (currentSample.x - baseSample.x);
// 斜率范围无交集，需要添加记录采样
if (currentMaxSlope < minSlope || currentMinSlope >maxSlope)
{
// 添加上一个位置，取斜率范围平均值
newSample.x = (i - 1) / (float)segments;
newSample.y = (newSample.x - baseSample.x) * (minSlope + maxSlope) * 0.5f + baseSample.y;
samples.Add(baseSample = newSample);
// 重置斜率范围
maxSlope = (currentSample.y + _error - baseSample.y) / (currentSample.x - baseSample.x);
minSlope = (currentSample.y - _error - baseSample.y) / (currentSample.x - baseSample.x);
}
else
{
// 计算斜率范围交集
if (currentMaxSlope < maxSlope) maxSlope = currentMaxSlope;
if (currentMinSlope >minSlope) minSlope = currentMinSlope;
}
}
// 添加最后一个采样点
samples.Add(currentSample);
计算
采样过程已经保证了误差在指定值以下，所以计算时直接在两个采样值之间线性插值即可，
那么如何找到最接近的采样数据呢?这里使用的方法不是折半查找，而是先估计然后线性查找(如果需要更快的话，可以考虑把折半查找的“折半”换成“估计”)。
///
/// 根据参数 t 获取长度
///
public float GetLength(float t)
{
if (Utility.IsNullOrEmpty(_samples)) CalculateLength;
if (t >= 1f) return _samples[_samples.Length - 1].y;
if (t <= 0f) return 0f;
int index = (int)(t * _samples.Length);
Vector2 baseSample;
if (_samples[index].x >t)
{
while (_samples[--index].x >t) ;
baseSample = _samples[index++];
}
else
{
while (_samples[++index].x < t) ;
baseSample = _samples[index - 1];
}
return baseSample.y + (t - baseSample.x) * (_samples[index].y - baseSample.y) / (_samples[index].x - baseSample.x);
}
///
/// 通过长度获取位置(返回值为参数 t)
///
public float GetTimeAtLength(float s)
{
if (Utility.IsNullOrEmpty(_samples)) CalculateLength();
if (s >= _samples[_samples.Length - 1].y) return 1f;
if (s <= 0f) return 0f;
int index = (int)(s / _samples[_samples.Length - 1].y * _samples.Length);
Vector2 baseSample;
if (_samples[index].y >s)
{
while (_samples[--index].y >s) ;
baseSample = _samples[index++];
}
else
{
while (_samples[++index].y < s) ;
baseSample = _samples[index - 1];
}
return baseSample.x + (s - baseSample.y) * (_samples[index].x - baseSample.x) / (_samples[index].y - baseSample.y);
}
结果
曲线参数模型 篇3
1算例
有一条形基础, 宽度b = 5 m, 埋置深度d = 1. 5 m, 基底上作用着倾斜偏心荷载R = 1 000 k N / m, 其偏心距e = 0. 4 m, 与竖直线的倾角 β = 20°。地基土层和地下水位情况如图1所示, 土的压缩曲线如图2所示。求基础两侧的沉降量 ( 砂土层沉降不计) 。
采用分层总和法。将压缩层范围内地基分层, 计算每分层的压缩量, 然后累加得总沉降量[7]。
( 1) 条形基础可简化为平面问题。由于基底作用着倾斜偏心荷载, 则基底压强:
将基底压力分为均匀分布和三角形分布2部分, 其中竖直均布压力为:
三角形分布压力的最大强度为:
根据土层和地下水位情况, 取分层厚度Hi= 2. 5 m。
( 4) 基础两侧0及0'以下各分层面的竖向附加应力计算结果分别列于表1、表2。
注: Ksz、 ( σz) s为竖向均布压力; Ktz、 ( σz) t为三角形分布压力; Khz、 ( σz) h为水平分布压力。
注: Ksz、 ( σz) s为竖向均布压力; Ktz、 ( σz) t为三角形分布压力; Khz、 ( σz) h为水平分布压力。
各分层的平均自重应力和平均附加应力计算结果见表3。
( 5) 查取各分层初始孔隙比e1i和压缩稳定后孔隙比e2i ( 表4) 。
( 6) 基础两侧沉降量。
2有限元方法
2. 1切线弹性模量近似确定
切线弹性模量式中涉及到5个参数: φ, c, Rf, K, n。其中, φ, c可以根据直剪试验来确定。破坏比Rf是土体破坏时的应力差和极限应力差之间的比值。
压缩曲线e—p可由单向压缩试验获得, 在一定程度上体现了土体的非线性特性。因此, 可考虑用它来推估邓肯—张模型中的K和n两个参数。
吴心怡[8]根据不同应力状态下泊松比的平均值与土体孔隙比进行多元线性回归分析, 得到以下近似替代式:
可由e—p曲线上孔隙比e近似得到相应的泊松比 γ。
把e—p曲线划分为若干级增量, 对于某一级荷载增量 Δp来说: Δσ1= Δp; Δσ2= K0Δp; Δσ3= K0Δp。
由广义虎克定律, 求得轴向应变为:
式中, E0, γ0分别为K0状态下土体的弹性模量和泊松比。
单向压缩时无侧向应变, 则有:
式中, e0为初始孔隙比; Δe为相对于荷载增量 Δp的孔隙比变化量。
根据式 ( 3) 、 ( 4) 可得出K0状态下的弹模:
K0状态下的应力水平:
K0状态下邓肯—张切线弹性模量:
将式 ( 5) 、 ( 6) 代入式 ( 7) 可得不同应力状态下的初始弹性模量E _ i 。在双对数坐标中点绘出lg ( Ei/ Patm) —lg ( σ3/ Patm) ( Patm为大气压强) 直线, 由其截距和斜率, 就可确定出邓肯模型中参数K, n。
对黏土层A、B按照上述方法计算lg ( Ei/ Patm) —lg ( σ3/ Patm) 的值, 结果见表5。
绘出的黏土层A、B的lg ( Ei/ Patm) —lg ( σ3/ Patm) 直线如图3所示。
直线的截距为lg K, 斜率为n, 则黏土层A: K = 63. 1, n = 0. 59; 黏土层B: K = 46. 34, n = 0. 45。
2. 2切线泊松比的近似确定
切线泊松比随应力水平的增大而增大, 随围压 σ3的增大而减小。Daniel[9]据此提出了一种方法确定切线泊松比:
式中, S为单元应力水平; γi, γf分别为初始、破坏时的切线泊松比, 并假定破坏时的泊松比为0. 49。
初始泊松比 γi随围压变化有不同的值, 其表达式如下:
对于K0状态土体, 据式 ( 8) 有:
式中, γ0为K0状态的切线泊松比; S0对应于K0状态的应力水平。
将式 ( 11) 代入 ( 10) 得:
对黏土层A、B按照上述方法计算 γi—lg ( K0p / Patm) 的值, 结果见表6。
绘出的黏土层A、B的 γi—lg ( K0p / Patm) 直线如图4所示。
直线的截距为G, 斜率为F, 则黏土层A: G = 0. 17, F = 0. 073; 黏土层B: G = 0. 165, F = 0. 065。
2. 3有限元模型建立
( 1) 网格。选取水平方向尺寸125 m × 140 m, 用ABAQUS建立有限元模型如图5所示, 结点总数46 113, 单元总数40 768。地下水位以上无渗流, 网格类型为C3D8 ( 单元数10 304) ; 地下水位以下考虑渗流, 网格类型C3D8P ( 单元数30 464) 。
( 2) 材料。黏土层A、B数据见表7, 砂土层C数据未给出, 可按一般的砂土数据计算, 以减小对上下黏土层的形变影响, 但最终不计入总沉降量。其邓肯—张模型参数见表7。
( 3) 边界及荷载。底面固定3个方向, 侧面仅允许竖向位移, 排水面为地面。各土层的重力按体力施加, 基底部分总共划分为10列单元, 从左至右每一列基底压强分别为278. 1, 258. 1, 238. 1, 218. 1, 198. 1, 178. 1, 158. 1, 138. 1, 118. 1, 97. 7 k Pa。
( 4) 结果对比。读取基础两侧0及0'点一下各分层面的沉降各土层沉降, 并与理论解对比 ( 表8) 。
对比可知, 土层Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ沉降的有限元解均大于理论解。显然, 对于Rf, c, φ0, D四个变量的假设对于计算结果产生了一定影响, 并且这种影响是有规律性的。为了更直观地观察这种影响, 可单独拿出一土层对其邓肯—张模型参数的灵敏度进行分析。
3邓肯—张模型参数灵敏度分析
邓肯—张模型主要涉及8个参数, 针对软土沉降而言, 它们的影响程度是不同的[10]。在进行模型参数的灵敏度分析时, 采用变化某一参数而固定其余参数的方法, 找到各参数与沉降之间的关系。在此算例中, 只对未确定的4个参数: Rf, c, φ0, D进行灵敏度分析。
3. 1无渗流
取土层Ⅰ一土方, 长、宽均为5 m, 高度为2. 5 m, 材料为黏土A, 采用Duncan-Chang子程序[11,12,13], 荷载为顶部施加的向下压强, 大小为200 k Pa。网格划分为10 × 10 × 5, 网格类型C3D8。分别让Rf, c, φ0, D四个参数做 ± 20% 变化, 计算出对沉降的影响见表9。其中, 各参数的上下变化均以初始值为基础。
3. 2有渗流
取土层Ⅱ一土方, 规格及荷载与3. 1相同。网格类型C3D8P。材料为黏土B, 材料参数添加渗透系数[14,15]k = 0. 000 19。
同样, 让Rf, c, φ0, D四个参数做 ± 20% 变化, 计算出对沉降的影响见表10。
3. 3结果分析
不论是否考虑渗流, 只有Rf与沉降呈正比关系, 其他3项均呈反比关系, 但各参数影响的程度又不相同:
( 1) 无渗流。对沉降影响最大的参数为摩擦角 φ0, 最终沉降变化率绝对值在30% 以上; 其次为D, 最终沉降变化率绝对值在20% 以上; 第三为土体破坏比Rf, 最终沉降变化率绝对值在10% 以上; 最后为内聚力c, 基本无影响。
( 2) 有渗流。在同样的荷载条件下, 沉降水平整体上要远远小于无渗流的土体。Rf, c, φ0, D四个参数的灵敏度也小于无渗流的情况。其中对沉降影响最大的参数为摩擦角 φ0, 最终沉降变化率绝对值达到5% 以上, 其余3个参数影响较小, 均为5% 以下。另外, 渗透系数对沉降有较大的影响, 在0. 1k ~ 10k之间的某点, 地面沉降达到最大值, 此外k增大或减小都会使地面沉降减小。
据此, 可以通过土力学方法与有限元方法的计算结果的对比, 大致判断算例中Rf, c, φ0, D及k的假设值的准确度:
( 1) 土层Ⅰ无渗流, 有限元的计算值大于理论值, 可以考虑减小Rf或者增大 φ0, D的值。
( 2) 土层Ⅱ有渗流, 有限元的计算值大于理论值, Rf, c, φ0, D的影响均不大, 可以适当增大渗透系数k。
( 3) 土力学方法并未考虑土的渗流问题, 且分层总和法是以无侧向变形条件下的压缩量公式为基础的, 本身存在一定的误差。通过每个土层的沉降量对比, 2种方法的计算结果基本是吻合的。
4结语
曲线参数模型 篇4
海南环岛理论最低潮面形态曲线模型研究
在分析了海南海洋测量深度基准建立现状基础上,提出在海南建立环岛理论最低潮面形态曲线模型的概念,并分析了建立该模型的具体方法,对解决海洋测量深度基准问题具有一定的指导意义.
作 者：马凌会 MA Ling-hui 作者单位：黑龙江第三测绘工程院,黑龙江,哈尔滨,150086 刊 名：测绘与空间地理信息 英文刊名：GEOMATICS & SPATIAL INFORMATION TECHNOLOGY 年，卷(期)： 32(2) 分类号：P229 关键词：海洋测量 水下地形测量 理论最低潮面 深度基准面
铁路既有曲线参数优化方法研究 篇5
1线路曲线参数初选
1.1获取线路三维坐标
在线路外选取通视良好的位置进行全站仪设站, 在曲线两端的明显直线地段 (≥50m) 选定测量起点、终点, 按照20m (或30m) 间隔依次测量出整个曲线在任意坐标系下的坐标值 (xi, yi) , 直线地段至少两点以确定线路转角。
过数显轨距尺横梁上的倾角传感器测出小车的横向倾角, 配合两股钢轨顶面中心间的距离, 即可得到整个待测曲线从选定起点开始到终点的线路超高值[2], 如图1所示。
1.2平面线形分段
平面曲线由缓和曲线和圆曲线组成, 圆曲线段需设置超高, 利用缓和曲线来完成超高过渡, 因而标准线路超高值随里程成梯形分布。利用线路超高值进行平面线形分段, 相比用正矢进行分段, 其好处在于对超高数据可直接通过测量获得, 而无须任何换算[3]。
图2为根据青藏线某既有曲线的实测超高值得出的里程—超高图, 从图中可以看到, 虽然数据由于误差等原因出现波动, 但总体上既有线路外轨超高值随里程增大大致呈规律性 (梯形) 变化[3]。
由此, 可以进行平面线形分段:大致确定直线和缓和曲线的分界点 (ZH、HZ) 、缓和曲线和圆曲线的分界点 (HY、YH) ;选出测点所属特征段, 对每一特征段内所有测点进行整体最小二乘拟合;考虑到测量数据量大且当中可能存在的粗大误差或者异常值影响拟合结果, 采取3σ准则去除这些粗大误差或者异常值:
(1) 进行线性最小二乘拟合计算出直线y=ax+b的初值a, b。
(2) 按下式计算每一特征段内所有测点至对应拟合直线的距离di:
(3) 按下式计算标准偏差σ:
(4) 当di>3σ时, 认为该点为异常点, 可剔除;否则予以保留。
(5) 重复上述计算过程直至所有保留点的di满足要求以后再进行最小二乘拟合, 算出参数a, b值。
按照上述步骤, 对测得超高数据进行粗大误差去除后, 得到图3所示的超高变化图, 由图3就可以快速地判别出各特征段的分界点, 也可确定测点所属的特征段。
1.3初选曲线半径
在分段确定的圆曲线段内, 按照三点定圆的原理, 依次求出段内连续3点的半径和圆心坐标 (X0 i, Y0i) [4], 对求得的数据取算术均值即可作为初始半径和圆心坐标。对于初始半径的选择, 应尽量准确, 这样线路优化调整量就不会太大。为避免由于线路移位或者测量误差可能引起极端值的情况, 采用“5%截尾均值”的方法对求得半径数据进一步合理化。即将测得的所有半径按照从小到大的顺序进行排列, 剔除掉两端最小的5%和最大的5%的数据后计算其半径和圆心坐标均值, 并以此作为线路的初选半径R0和圆心坐标 (X0, Y0) 。
1.4选定初始缓和曲线长
由线路的初选半径R0和圆心坐标 (X0, Y0) , 初始缓和曲线长用下式来求得:
式中L为圆心与交点间的距离, α为既有曲线转角, 最后计算结果取10m的整倍数。
2曲线参数优化
2.1拨量计算
由曲线两端直线点坐标确定曲线交点坐标 (xp, yp) , 根据曲线半径R, 前、后缓和曲线长l01、l02等线形参数可以计算直缓点 (ZH) 、缓圆点 (HY) 、圆缓点 (YH) 、缓直点 (HZ) 四大桩点的里程和坐标[5]。
2.1.1圆曲线段拨量计算
式中 (x0, y0) 和R分别为圆曲线的圆心坐标和半径, (xi, yi) 为既有线圆曲线段测点坐标。ei出现正值表示内压, 负值表示外挑。
2.1.2缓和曲线段拨量计算
ZH—HY段测点的拨量用下式进行计算:
式中li为测点到ZH点的缓和曲线长, βi为测点的切线角, Y为测点的设计纵坐标值。
YH—HY段测点的拨量按照下式进行计算[6]:
式中α为交点后直线边的方位角, Vxi和Vyi分别为测点对应既有横、纵坐标和设计横、纵坐标的差值。
2.2参数优化
3算例
按照上述优化步骤, 编制相关的计算程序。以青藏线某既有铁路曲线为例, 既有曲线转角α=60°4′23″, 且始终保持优化前后都不变。通过计算得到的线路初选参数为R0=11995m, l01=l02=90m, 然后通过改变缓和曲线长和半径反复进行优化计算, 最终确定了曲线的最优参数 (如表1) 。表2给出了线路各特征段内的部分实测点坐标以及按照不同段内的拨量计算公式计算出的拨量。由表1、表2的计算结果与原设计要素对比表明, 采用本文的优化方法得到的优化参数, 在满足线形平顺等前提下, 拨量小且精度高。
4结语
采用本文所述方法进行既有曲线参数优化, 不仅算法简单, 速度快, 使用方便, 而且适合既有铁路的整正优化作业。
参考文献
[1]郭良浩, 刘成龙, 宋韬, 等.铁路既有线平面和竖面线形精确分段方法研究[J].铁道工程学报, 2014 (7) :48-52.
[2]郭建飞.标准轨距数显轨距尺的设计和实现[D].成都:西南交通大学, 2006.
[3]陈峰, 辜良瑶, 杨岳, 等.铁路既有线复测平面曲线优化方法[J].铁道科学与工程学报, 2012 (5) :90-95.
[4]李家稳, 陈峰, 张海燕, 等.坐标法优化拨距计算方法的研究[J].北方交通大学学报, 2004 (4) :34-36.
[5]王兆祥.铁道工程测量[M].北京:中国铁道出版社, 2012.
[6]丁克良, 刘成, 卜庆颢, 等.GPS RTK技术在铁路既有线勘测中的应用[J].中国铁道科学, 2005 (2) :49-53
圆锥曲线中参数范围的求解方法 篇6
圆锥曲线中求参数范围是一个重要题型, 也是高考命题的热点.解这类题不仅要求有扎实的基础知识, 而且还必须有灵活应变的能力.本文介绍几种方法, 供同学们参考.
一、巧用非负数的性质
例1 设动点P到点M (-1, 0) , N (1, 0) 的距离之差为2m, 到 x 轴、y 轴的距离之比为2, 求 m 的取值范围.
解析:由题意知, 点P不在坐标轴上, 根据点P到M (-1, 0) , N (1, 0) 距离之差为2m, 则0<2|m|<|MN|, 即0<|m|<1.
把 m 视作常数, 则点P的轨迹是以M、N为焦点, 实轴长为2|m|的双曲线 (顶点除外) , 轨迹方程为
由点P到 x 轴、y 轴的距离之比为2, 得
代入双曲线方程得
因为0<|m|<1, 所以1-5m2>0.
从而得 m 的取值范围是
点评:解此题的关键是:通过推理或运算求得
二、巧用二次函数的最值
例2 若椭圆
解析:易得线段AB的方程是 y=x+1 (x∈[1, 3]) , 椭圆与线段AB有公共点等价于方程组
当 x=1时,
即
因为 a>0, 所以
故所求 a 的取值范围是
点评:解此题的关键是用函数思想解题, 把方程视为函数, 用分离参数法, 把 a2 转化为 x 的二次函数, 通过配方求最值, 得到 a 的范围.
三、巧用点在圆锥曲线内 (外) 的充要条件
若规定圆锥曲线包含焦点的区域为内域, 同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为外域.点P (x0, y0) 在椭圆
例3 已知抛物线 y=ax2-1, 若使抛物线上总能找到两个不同的点, 使之关于直线 x+y=0对称, 试确定 a 的取值范围.
解析:设抛物线 y=ax2-1上两个不同的点P (x1, y1) 、Q (x2, y2) 关于直线 y=-x 对称, 于是, 有
由 (1) - (2) 得
因为 kPQ=1, 所以 a (x1+x2) =1,
即
因为P、Q两点关于直线 x+y=0对称, 知PQ的中点M在直线 x+y=0上, 设其坐标为M (x0, y0) ,
所以
M (x0, y0) 在抛物线 y=ax2-1的内部, 有
即
或
解得
所以 a 的取值范围是
点评:解此题用了点差法及轴对称的性质, 为用点在抛物线内的充要条件创造了条件.
四、用圆锥曲线几何量的范围
例4 已知双曲线
解析:易知F (2, 0) , l:
化简整理得
则椭圆的中心是
由0<e<1, 知
解得
点评:解此题的关键是用了椭圆离心率 e 的范围0<e<1, 并把 e 用 k 来表示, 建立了不等式, 求得 k 的范围.
五、用判别式的性质
这种方法是先建立一元二次方程, 再用判别式的性质建立不等式, 易求得范围.
例5 直线 l:
解析:由题意, 椭圆方程为
四个不同的点在以A为焦点, l 为准线的抛物线上, 该抛物线的方程为
y2=2px. ②
将②代入①整理, 得
于是椭圆上有四个不同点且横坐标大于0⇔方程③有两个正实根⇔
解得
故 p 的取值范围是
点评:根据题意, 通过运算或推理得含参数 p 的关于 x 的一元二次方程, 研究它有两个正根的条件, 得 p 的范围.
附练习题
椭圆C的方程为
河北省正定中学
曲线刚构桥参数敏感性分析 篇7
1998年, 挪威建成的森德大桥的主跨达到298 m, 这座桥梁也成为曲线刚构桥的里程碑, 该桥的设计方式、结构优化以及施工技术的创新成为以后曲线刚构桥发展的标杆。我国第一座曲线刚构桥是建造于20世纪90年代专门为铁路服务的板其二号大桥[1], 它的主跨径为72 m, 曲率半径采用的是450 m, 桥墩高为53 m。随着材料性能的逐渐增强, 施工技术的不断改进, 曲线刚构桥修建跨度也越来越大、桥墩也越来越高、曲率半径不断减小, 不仅在山区运用地越来越多, 而且跨江跨海的桥梁也多了一种选择, 所以说它的应用范围和发展前景是非常可观的。
然而曲线刚构桥也容易出现梁体开裂、墩身开裂和跨中下挠较大等问题。以下运用有限元软件Midas建立了曲线刚构桥的有限元模型, 分析有关计算参数对桥梁结构受力响应的敏感性, 分别计算了混凝土容重、弹性模量、预应力张拉力、混凝土相对湿度和曲率半径的变化对本桥受力的影响。
1 参数分析方法
以下采用单因素参数进行敏感性分析, 本方法最主要的就是选择控制目标, 一般通过设计或者施工图来确定。接下来选取特征参数及其变化范围, 最后根据选择的控制目标和影响参数因素, 建立两者之间的函数关系, 如式 (1) 所示, 式 (1) 中xn为特征参数:
下文参数分析选择如下特征参数[2,3,4]:混凝土的容重、混凝土弹性模量、预应力初张力、相对湿度和曲率半径。它的步骤包括:确定参数的上下波动变化范围, 下文采用的是上下波动10%;选择控制目标, 下文通过参数的控制分析主梁的最大挠度和最大应力, 前提是必须在同一荷载组合下;接下来就是分析各个参数对挠度和应力的影响程度大小, 以百分比来衡量, 通过比较其影响程度百分比, 可以确定其是主要的影响参数还是次要的影响参数。以下对曲线刚构桥几个重要设计参数进行敏感性分析。
2 工程实例
2.1 工程概况
以某预应力混凝土曲线连续刚构桥为工程背景。由于受到路线及地质条件限制, 该桥最终桥跨布置为 (15+55.5+145+55.5+15) m, 桥梁全长为293 m, 桥梁中心线曲线半径为600 m。该桥位于城市次干道上, 设计结构安全等级取为二级, 人群荷载:2.5 k N/m2。
主梁采用预应力混凝土箱梁, 单箱双室截面, 桥面设1.5%的双向坡。主梁两侧人行道均宽3.8 m, 设置2%的斜坡。桥面铺装采用8 cm厚钢筋混凝土+10 cm沥青混凝土铺装。桩基、承台采用C30混凝土;辅助墩墩身采用C40混凝土;箱梁、主墩采用C50混凝土。预应力钢绞线采用270级公称直径15.2低松弛预应力钢绞线。
2.2 计算模型
本大跨度曲线连续刚构桥结构计算分析运用有限元程序Midas进行建模。全桥三维有限元杆系模型如图1所示, 全桥共建立518个节点, 459个单元。一期恒载:梁体混凝土容重按26 k N/m3计;二期恒载:具体包括桥面铺装以及人行道铺装、人行道栏杆及防撞墩, 总计96 k N/m。收缩徐变:混凝土收缩徐变算法采用JTG D62—2004公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范[5]算法, 混凝土加载龄期按5 d计算, 构件的理论厚度算法按公路桥梁规范执行。汽车荷载:城—A级;人群荷载:2.5 k N/m2;温度荷载:整体升温20℃, 整体降温20℃;温度梯度荷载:竖向日照正温差计算温度基数的选取采用JTG D60—2015公路桥涵设计通用规范[6]中表4.3.10-3中的数值。分别取T1为14℃, T2为5.5℃, 反温差基数数值为正温差乘以-0.5;施工荷载:施工挂篮重按1 100 k N计。
本桥共设置24处一般支撑, 8处刚性连接以及8处弹性连接, 桩基采用节点线性弹性支撑, 墩底约束全部自由度, 墩梁刚接。边墩以一般支撑模拟, 约束全部自由度, 采用刚性连接。边墩与主梁之间相接采用弹性连接, 主墩与主梁以及承台的连接采用刚性连接。
全桥有限元模型如图1所示。
2.3 参数分析
参数分析选择如下特征参数:
1) 混凝土容重:混凝土容重的变化也就是桥梁结构自重的变化。本大跨径曲线连续刚构桥主梁运用的是C50混凝土, 它的容重设计值是按照25 k N/m3取值, 将容重值分别增大10%或者减小10%代入模型。
2) 主梁混凝土弹性模量:本曲线刚构桥主梁采用C50混凝土, 它的弹性模量设计值按照34 500 MPa取值, 将弹性模量值分别增大10%或者减小10%代入模型。
3) 预应力初张力:本曲线刚构桥主梁采用1860钢绞线, 预应力初张力设计值按照1 395 MPa取值, 将预应力初张力值分别增大10%或者减小10%代入模型。
4) 相对湿度:本曲线刚构桥主梁采用C50混凝土, 设计时相对湿度值按照70%取值, 将相对湿度值分别增大10%或者减小10%代入模型, 即将相对湿度63%时和77%时代入模型。
5) 曲率半径:本桥中心线曲率半径有两个, 250.5 m和600 m。本桥桥跨结构全长286 m, 其中近90%的桥跨结构位于曲率半径为600 m的曲线上, 因此, 本小节计算分析中将针对600 m曲率半径进行, 增加或者减少10%代入模型, 即以540 m和660 m建立模型。计算桥梁的挠度和应力值。并且分析比较两个值与原设计的设计值, 并分析比较这两个参数引起的变化有多大。
通过对本曲线刚构桥实例模型的分析, 分析了几个影响主梁线性状态的参数的敏感性, 分析的结构汇总如表1和表2所示。
从表1, 表2可以得出:曲线刚构桥主梁混凝土弹性模量对主梁挠度的影响最大, 混凝土的容重、曲率半径和预应力初张力的变化对本曲线刚构桥的挠度变化也有比较大的影响, 而混凝土的相对湿度则对挠度的影响很小。曲线刚构桥混凝土的容重对主梁应力的影响最大, 混凝土的弹性模量、曲率半径和容重对主梁应力的影响也差不多, 预应力初张力则相对小一些, 而混凝土相对湿度对主梁应力的影响来说是可以忽略的。
3 结语
通过分别计算混凝土容重、弹性模量、预应力张拉力、混凝土相对湿度和曲率半径的变化对曲线刚构桥受力的影响, 得出曲线刚构桥对混凝土容重、弹性模量以及曲率半径的敏感性较强。混凝土容重越小, 则挠度和应力越小, 混凝土容重越大, 则挠度与应力就越大。曲率半径越大, 则挠度和应力越小, 曲率半径越小, 则挠度与应力就越大。据此研究结果可以看出, 采用轻质高强材料以及尽可能大的曲率半径对有效提高曲线刚构桥的安全性是有益的。
摘要：通过建立曲线刚构桥的Midas有限元模型, 分析了有关计算参数对桥梁结构受力响应的敏感性, 指出对曲线刚构桥而言, 混凝土容重、弹性模量以及曲率半径的敏感性较强, 采用轻质高强材料以及尽可能大的曲率半径对有效提高曲线连续刚构桥的安全性是有益的。
关键词：曲线刚构桥,Midas,敏感性,曲率半径,弹性模量
参考文献
[1]陈俊真, 曾昭强, 许智焰.一座铁路预应力混凝土平弯桥——南昆铁路板其二号大桥[J].桥梁建设, 1997 (18) :125-126.
[2]李小柱.大跨连续刚构桥施工控制中的参数敏感性分析[D].西安:长安大学, 2008.
[3]雷忠伟.矮塔斜拉桥结构参数敏感性分析[D].哈尔滨:东北林业大学, 2015.
[4]王英, 孙利民.大跨连续刚构桥材料参数模态敏感性分析[J].广西大学学报 (自然科学版) , 2015 (1) :142-148.
[5]JTG D62—2004, 公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范[S].
曲线参数模型 篇8
关键词：楔横轧,内直角台阶,轧齐曲线,应用
在楔横轧生产中,常遇到带内直角台阶的阶梯轴。对于这种零件,在设计模具时,存在一个轧齐的问题,即模具的孔型需按轧齐曲线设计和加工才能轧出内直角台阶轴。
内直角台阶轧制过程可分为展宽、轧齐和精整三阶段。在模具展宽段,轧件形成非圆螺旋状斜台阶,再由轧齐段将其过渡为内直角台阶。需要指明的是轧齐段的过渡形式并非唯一,基于模具加工相对容易的考量,目前设计模具时普遍采用的方案是用与模具精整段内台阶相同的曲面去截止成形面,以达到逐步过渡的目的。这段曲面称之为轧齐曲面,它与轧辊基面的交线称之为轧齐曲线[1]。
1 轧齐原理及轧齐曲线方程的求解
轧齐曲线方程可以利用体积不变原理得到。该原理可描述为:在轧齐过程中任意位置,轧件螺旋斜锥体与内台阶之间的体积差恒等于轧件轴颈处还需伸长的体积[1]。由于精确求解比较困难,所得公式繁长,本节暂不考虑由成形面形成的螺旋体部分,这样在轧齐过程中任意位置的内台阶都将是回转体,根据这种简化的台阶模型导出的轧齐曲线称为简化轧齐曲线。
如图1所示正交坐标系xoy,过渡段由成形面ABD与垂直轧辊模具母线的轧齐曲面BB1D所组成。在平面坐标系xoy中轧齐曲线与轧齐曲面重合,B点为轧齐曲线的起始点,随着轧制的进行,轧齐曲线上点B1从B点向D点移动,轧件上已成形内直角台阶的高度由零逐渐增大并向外移动,同时成形面A1B1在轴向的投影t逐渐减小至零,直到内直角台阶完整成形。
简化轧齐曲线方程的理论依据是轧齐曲线上任一点B1,由它决定的A1B1C面绕轴心旋转一周形成的空心圆锥体体积VA1B1C,应等于CDEF面绕轴心旋转一周形成的圆柱体体积VCDEF,其数学表达式为
空心圆锥体
圆柱体
由此可得
在坐标系xoy中,对于轧齐曲线上任一点B1(x,y)的坐标,根据几何关系求得其参数方程为:
式中:α——成形角;
β——展宽角;
r0——轧前半径;
r1——轧后半径;
t——区间为[0,(r0-r1)cotα]。
由上可知,轧齐曲线上任一点B1的坐标是关于t的参数方程,故对t在区间内进行赋值,便可得到一系列B1点的坐标。
2 轧齐提前量的精确求解及其应用
轧件轧齐起始状态如图2所示。简化轧齐曲线因忽略螺旋体ABIHGJ的体积,只按空心圆锥体ABCIH计算轧齐提前量,计算结果必然偏小,所以按简化轧齐曲线设计的模具轧制时,轧件将出现未充满缺陷。由此可知对轧齐提前量的精确求解对于简化轧齐曲线的修正,具有非常重要的意义。
精确计算提前量的方法是ABC面绕轴心旋转一周形成的空心锥体体积加上ABIHGJ这块螺旋体体积VABIHGJ的两倍,应等于CDEF面绕轴心旋转一周形成的圆柱体体积V[2]CDEF。
假设轧件从轧齐起始状态继续旋转一个角度Φ,螺旋体ABIHGJ推进至NMIHKL,弧线UQ对应的弧度Φ1=π-Φ;UPQ面为滚动半径rk在螺旋体上的截面。
式中,rk=(r0+r1)/2。
当Φ=0时即可求得螺旋体体积
提前量S=(VABC+2VABIHGJ)/πr12
提前量的精确求解可以准确确定轧齐起始点B(x1,y1)位置,然后结合简化轧齐曲线参数方程,参数t取[0,(r0-r1)cotα-2],将起始B点和简化轧齐曲线连接即可得到一条相对准确的轧齐曲线。
3 轧齐曲线的实现方法
图1所示坐标系xoy中B1点的坐标体现在轧辊基面上是其相对O点的轴向和周向距离,在数控加工轧齐曲线时需建立以过O点的轧辊截面圆心为原点的空间坐标系XYZ,所以需对两坐标系进行转换,其解析表达式为:
X=Rcos(y/R)
Y=Rsin(y/R)
Z=x
式中,R=机床轧辊半径+点O处模具厚度。
根据轧齐曲线参数方程及坐标转换式,利用电子表格EXCEL可快速计算出轧齐曲线在轧辊基面上一系列点的坐标,将计算结果导入UG即可获得在轧辊基面的轧齐空间曲线,然后在相同坐标系中做以R1(R+r0-r1)为半径的柱体1,再将之前获得的轧齐空间曲线沿轧辊基面的法向投影至柱体1即可获得轧齐曲面,也即获得了轧齐曲面的空间模型,进而在数控机床上加工出模具的轧齐曲面。
4 常见轧齐缺陷分析与对策(轧齐曲线的修正)
在轧制生产中,若出现折叠缺陷,表明轧齐提前量过大,应将轧齐曲线收短;若轧件台阶出现倒角状轧痕或台阶厚度小(含厚度不均)等缺陷,这类缺陷均属未充满范畴,表明轧齐提前量不足,应将轧齐曲线修长。
根据缺陷的程度,可细分为全周和局部(小于半周)。全周缺陷的上下辊轧齐曲线均需修磨,局部缺陷的只需对一侧轧齐曲线修磨。修磨一侧轧齐曲线需要对上下辊进行一个判定。上下辊轧齐时按圆周之半互为前后,首先要确定缺陷在哪一侧轧辊轧制时产生,若缺陷为未充满,产生的原因在同侧模具,而对于折叠,原因则在另一侧模具。
针对折叠和未充满产生机理不同,其处理对策分别为:
(1)首先以折叠为例,具体处理步骤:(1)测量折叠起始段距直角台阶的轴向最大宽度。(2)取下模轧齐曲线偏离精整面轴向距离与折叠宽度相近点。(3)在与相近点轴向已展宽处做标记。(4)试轧后观察折叠与标记的相对位置,根据轧件旋向,若折叠与标记同位置或在其后,表明下辊轧制时出现折叠,则应收窄上辊轧齐曲线;若折叠在标记之前且小于半周,表明折叠由上辊轧出,则应收窄下辊轧齐曲线。
(2)未充满的产生机理主要是提前量不足,处理办法为:在下辊轧齐曲线起始段打标记,标记直接打在轧齐曲线上,试轧后观察标记与未充满处距离远近,若距离较近则修磨下辊轧齐曲线,增大轧齐提前量;若距离较远则修磨上辊轧齐曲线。
5 结束语
上述计算方法和经验在我公司工装设计、调试和生产中得到了重视和应用,新产品的开发速度取得很大提高。产品质量稳定,带来了较好的经济效益。
参考文献
[1]胡正寰,张康生,王宝雨,等.楔横轧零件成形技术与模拟仿真[M].北京:冶金工业出版社,2004.
曲线参数模型 篇9
平行分度凸轮机构通常用于两平行轴之间的分度传动。该类机构主动凸轮通常由两片同样的凸轮构成, 当主动凸轮旋转时, 其前后两侧廓线分别与从动盘上相应的滚子接触, 相继推动转盘分度转位或限位, 当主动凸轮圆弧轮廓线部分与滚子接触时, 转盘停止分度[1]。该类机构分度期运动规律可按要求设计, 与传统得槽轮、棘轮等间歇机构相比, 具有高转速、高分度精度、运行平稳、传递扭矩大等优点, 广泛用于食品、轻工、包装、制药、烟草、电子、化工等行业的生产机械中[2]。
平行分度凸轮机构的设计制造关键在于其高精度分度凸轮轮廓曲线的设计和加工。传统的分度凸轮设计方法精度低, 工作量大, 不能满足现代设计产品的更新换代要求。现提出并实现了分度凸轮轮廓曲线的数据采集方法, 设计的分度凸轮工作曲线CAD系统可以按照要求精度自动计算凸轮轮廓曲线的数据点, 对于提高分度凸轮机构的设计和制造精度, 缩短设计周期和提高产品品质等均具有重要的意义, 具有很大经济价值和实用价值。
1 平行分度凸轮轮廓曲线CAD数学模型
根据平行分度凸轮的基本原理, 推导平行分度凸轮工作曲线CAD数学模型, 设计中凸轮的理论轮廓线、实际轮廓线和安装相位角按以下公式计算[3]。
1) 凸轮理论轮廓线的计算公式为:
undefined
式中:xi, yi——与第i个转盘滚子所对应的有效凸轮理论轮廓线坐标;
H ——凸轮头数;
C ——凸轮与转盘间的中心距;
Rp ——转盘节圆半径;
θ ——凸轮转角;
φ ——转盘上第一个滚子的位置角, φ=φ10+φi;
φ10 ——转盘基准起始位置角;
φi ——滚子的角位移;
λ ——计算用辅助角, undefined。
2) 凸轮工作轮廓曲线的计算公式为:
undefined
式中:xki, yki——与第i个转盘滚子所对应的有效凸轮实际轮廓线坐标;
Rr——滚子半径;
α——压力角的计算值, undefined;
ω1——凸轮的角速度;
ω2——转盘的角速度。
3) 安装相位角的计算公式为:
H=1∶θp=180°-θf-2θ10
H≥2∶θp=360°-θf-2θ10
式中:θp——安装相位角, 是前后两片凸轮两条基准起始向径间的夹角;
θf——凸轮分度期转角;
θ10——凸轮的基准起始位置角。
分度凸轮工作曲线CAD系统, 将按输入的分度凸轮参数及上述计算公式计算出分度凸轮上每一点的理论的和实际的工作曲线坐标, 准确地绘制出相应的凸轮实际工作曲线, 并计算出凸轮安装相位角。
2 平行分度凸轮轮廓曲线CAD参数化软件设计
根据平行分度凸轮轮廓曲线CAD数学模型, 利用Visual Basic6.0编程, 开发了平行分度凸轮工作曲线CAD系统, 该系统以Windows XP操作系统为开发平台, 根据分度凸轮原始参数自动计算凸轮轮廓曲线的数据点[4]。
系统开发主要包括界面开发和程序实现两部分。系统总体框图如图1所示。
2.1 界面开发
该软件系统运行界面如图2所示。VB中包括很多现成控件, 系统包括多个标签 (Label) 、共计10个文本框 (Text) 用于原始参数的输入和采集的数据显示, 5个命令按钮 (Command) 包括清空、生成数据、保存数据、画图和退出系统, 4个通用对话框 (Common Dialog) 保存数据。
2.2 程序实现
由系统总体框图可见, 该系统主要包括:输入原始参数、生成数据、画图和保存数据四部分。
1) 输入原始参数到文本框.程序执行时将对应的文本框中的数据赋值给对应的变量, 例:C = Val (Text4.Text) , 将中心距赋值给了变量C。
2) 清空命令将输入原始参数文本框以及数据显示文本框清空.程序中只需将对应的控件的text属性值置空即可, 例:Text1.Text = “”。
3) 生成数据可以根据输入的分度凸轮原始参数, 一次计算出凸轮工作曲线的数据点以及安装相位角。按照前面的凸轮轮廓曲线的解析法以给定的精度要求自动计算出理论工作曲线和实际工作曲线, 该系统按照每一度生成一个数据点, 对于精度要求高的可以按照0.5°或者更小的间隔计算数据点。平行分度凸轮生成的数据点只有x, y坐标, 为了后续的分度凸轮CAD/CAM一体化设计做准备, 软件系统生成得数据点文件, 导入UG中进行凸轮实体建模, 还要加入z点坐标值, 将数据点都放置在z为零的xoy平面, 后续在z方向拉伸一定距离即可生成凸轮实体。输出的数据点显示在输出文本框中, 统一的在输出的数据点后面加上z 0.000, 输出数据到Text9文本框:Text9.Text = Text9.Text & Format (x, “0.000”) & “ ” & Format (y, “0.000”) & “ ” & “0.000” & Chr (13) & Chr (10) , xyz坐标值之间都间隔一个空格。例:39.161 34.689 0.000.最后计算出来安装相位角并输出。
4) 画图命令, 根据计算结果将凸轮工作曲线画出二维图形。在生成数据点的基础上将数据点按安装相位角一半位置 (即键槽位置) 的直线对称, 生成另一个凸轮的数据点, 然后将两片凸轮以不同的颜色按照装配的方式显示出来, 可直观的观看到装配后两片分度凸轮。
5) 保存文件, 将生成的数据点按照UG要求的格式一次性写入文本文件, 第一个文本文件保存原始参数, 然后每条轮廓曲线数据点都存一个文本文件。
6) 退出系统, 完成分度凸轮工作曲线数据点的自动计算。
3 设计实例
某自动化机械上分度凸轮机构上平行分度凸轮基本参数为中心距80mm, 凸轮头数2头, 转盘分度数为4, 分度期转角120°, 节圆半径26mm, 滚子半径10mm。
1) 运行分度凸轮曲线CAD系统, 输入基本参数。
2) 生成轮廓曲线数据。
3) 绘制出的凸轮工作曲线如图3所示。图示是两片分度凸轮装配后的视图, 键槽位置位于安装相位角的一半位置。
4) 保存数据点。4头的凸轮生成的数据点文件共4个, 第一个以文本格式保存分度凸轮的基本参数, 后面的3个文件分别保存分度凸轮工作曲线的数据点。
5) 退出系统。
4 结论
根据平行分度凸轮轮廓曲线数学模型, 利用VB编程实现了凸轮复杂工作曲线的数据点的自动采集, 轮廓图形的自动生成可以直观得检验分度凸轮轮廓曲线是否合理, 创建过程相对简单, 极大的提高了设计工作效率。后续结合UG等三维软件的二次开发, 构建分度凸轮实体模型, 用构建出来的实体模型在后续生成可控精度高的数控加工程序, 实现分度凸轮CAD/CAM一体化设计与制造, 这对提高分度凸轮设计制造精度, 缩短设计制造周期和提高产品品质等均具有重要的意义, 具有很大经济价值和实用价值。
摘要：根据平行分度凸轮的工作原理, 建立了平行分度凸轮工作曲线CAD数学模型, 采用Visual Basic6.0设计了平行分度凸轮工作曲线CAD参数化软件。该软件解决了设计人员复杂的计算, 缩短了设计周期, 提高了设计精度。
关键词：平行分度凸轮,工作曲线,CAD,软件设计
参考文献
[1]许洪基, 雷光.现代机械传动手册[M].北京:机械工业出版社, 2002.
[2]吴雪艳, 等.平行分度凸轮机构虚拟设计研究[J].机械设计, 2004 (6) :10-12.
[3]石永刚, 徐振华.凸轮机构设计[M].上海:上海科学技术出版社, 1999.