等价思想

等价思想（共10篇）

等价思想 篇1

数学思想是数学的内在核心, 学习数学的关键也就在于把握好数学思想.唯有运用科学有效的数学思想进行数学理论和问题进行思考, 才能更好地把握住问题的关键.因此, 对职高学生而言, 学习数学也同样需要运用数学思维, 这样才能真正的掌握数学知识, 才能进入数学学习的语境.但是, 由于职高数学对职高教育而言, 并不是“专业”课, 因此其受重视程度并不如其他专业课程高.在职高数学的教育上, 存在一些问题, 特别是对数学思想教育方面有所忽略, 而在素质教育下, 对学生综合素质的培养有较高的要求, 从数学思想上进行教育正是培养学生综合能力的重要途径.

一、进行数学思想教育的必要性

数学思想作为数学教育的根本, 在职高数学教育中有着重要的作用.因为, 从学生发展的长远角度上看, 对学生进行数学思想的教育是学生发展和职业教育发展的双重需要, 具有一定的积极意义.等价转化思想的教育是数学思想教育体系的组成部分, 对职高数学教育也有其必要性.

1.适应素质教育发展的需要

职高教育虽然与普通高中教育有所区别, 但是同是我国教育体系的重要组成部分, 同样要以素质教育理念为发展方向.特别是在现代化建设进程进一步加快, 社会对技术型的人才需求量越来越大, 要求也越来越高.因此, 在素质教育观下, 从增强学生思维的角度去组织职高数学教育, 培养学生的思维能力, 也是职高教育的教学目标.

2.发展学生思维能力的需要

由于职高教育以技能教育为核心, 数学教育的地位不像在普通高中那么突出.但是, 数学是对学生思维能力的锻炼, 是帮助学生开动脑筋, 将理论转化为实践的一个重要途径.因此, 培养学生的思维能力, 也就是为学生的动手能力奠定基础, 毕竟没有灵活的思维, 学生很难在实践中取得好的成就.

二、等价转化思想在数学教育中的运用

等价转化思想在职高数学教学中的运用是多方面的, 但是无论是如何运用, 都是为锻炼学生的数学思维, 让学生在学习中能更迅速的解题, 获得更多的知识.以下是等价转化思想在职高数学中常见的几种用法.

1.全体与部分转化的策略

对大部分职高学生而言, 在面对数学问题时, 要直接依据问题所给的条件直接解题, 存在一定难度.而如果根据题目的特点, 避开从整体着手的思路, 把所要研究的对象进行分解, 化整为零, 各个击破, 有时候更容易促成问题的解决.这种转化的理论依据是:欲证A为真, 但A包括多种可能的情况;如果能一一证明, A在每一种情况下都为真, 则可得命题A仅是真命题.在国际数学领域颇有声望的抽屉原理, 在处理方法上, 渗透的方法就是这种化整为零, 分类出击的转化思想.而落实到实际的教学中, 这样的思想也一样有着积极的意义.如教师在引导学生推导余弦定理时, 可以把坐标原点分别选择在三角形的三个顶点, 而使问题迅速地获得解决.当然, 也可以反过来, 当有些类型的问题, 局部不易思考, 教师则可以引导学生着眼于整体, 让问题易于把握.以此题为例:若a, b, c都是奇数, 证明方程ax2+bx+c=0没有有理根.

解析 依据问题提供的条件和结构特征, 如果让学生从整体上直接入手进行解题, 那可能会存在一定的难度.因此, 教师可以引导学生从等价转化思想的角度出发, 根据题目信息化整为零促成问题的转化.

假设方程有有理根undefined既约) .在此, 可按p, q可能取的奇、偶分类, 将undefined代入方程undefined

(1) 设p, q都为奇数, 又a, b, c都是奇数, 结合※可得奇数+奇数+奇数=0, 这里显然是不可能的.

(2) 设p为偶数、q为奇数, 结合※有:偶+偶+奇=0, 这也是矛盾的.

(3) 设p为奇数、q为偶数, 结合※有左奇、右偶仍出现矛盾.

以此我们可以看到此题在上述每一类可能出现的情形中, 都是矛盾的, 则问题的整体上必然是矛盾的, 即是说方程ax2+bx+c=0在a, b, c都是奇数的情况下, 不可能有有理根.

以此为例, 教师可以通过引导学生将外部问题内化, 进而找到解题的方法.通过这样的引导, 可以让学生明白数学思想在数学学习中的作用, 也能从思维锻炼的角度, 让学生的思维能力得到更大的拓展.

2.特殊与一般的转化

从认知角度上看, 相对于一般而言, 特殊的事物往往更为人们所熟悉, 简单和直观也更容易被人们所接受.因而可以通过特殊去认识一般.当一般的问题难以解决或较为复杂时, 可以先退到特殊情况, 然后由特殊问题的结论, 排除不可能出现的结论, 得出正确的结论, 或者说由特殊问题的结论过渡到一般的结论.

三、结束语

总之, 数学思想是数学的灵魂, 只有掌握一定的数学思想才能真正了解数学, 才能在学习数学的过程中获得更深刻的认识.特别是对职高数学教育而言, 在数学思想乃至数学教育被忽略的情况下, 加强对学生数学思想的教育势在必行, 这是素质教育对职高数学教育的要求, 也是社会对技术型人才思想深度的要求.

浅谈高中数学的等价转换 篇2

关键词：高中数学；等价转换；思维

高中数学的知识点繁多，数学问题复杂多变，如果学生只是注重数学知识的学习，注重解题的结果，而忽视了对数学问题的解题技巧与方法的分析探索，他们很难学好高中数学。在高中数学的学习过程中，最常见的学习方式就是采用“题海战术”，学生通过多做题来巩固知识点，这种方法对于数学学习基础薄弱的学生比较适用，能够在一段时间内提高他们的数学成绩，但是对于那些学习成绩中等或是优秀的学生却没什么太大的帮助，大量的数学题反而会促使他们尽量采用最短的时间来完成每一道题，这就减少了学生在做题时思考的时间，有些学生在做题时几乎没有思考分析，只是按照惯性思维来解题，而使得解题过程烦琐复杂，造成学习效果不理想，同时也限制了学生思维能力的发展。这就要求学生在数学学习中不能一味地注重知识的学习，还要能够掌握数学问题的解题技巧与方法，并逐渐形成数学思维，从而提高学生的数学学习能力。而等价转换作为数学问题的一种重要解题思路，不仅能让学生将所学的知识进行灵活运用，巩固数学知识，还能够锻炼学生的思维敏捷性，有效地提高学生的思维能力。下面我就通过一些例子来分析等价转换在高中数学解题中的灵活应用。

一、掌握转换思想，提高转换的自觉性

高中数学问题中的转化思想都是师生在长期的数学教与学的实践过程中，在知识与方法的不断运用中总结出来的。如在立体几何中将空间问题转化为平面问题来求解等。通过对题目中的式子进行等价转换，可以将复杂的数学问题简单化，从而简化解题过程。因此，教师在课堂教学时要积极引导学生进行转换，使学生掌握等价转换的思想，提高转换的自觉性。

小结：三角函数的求值问题是几年来高考的重要考点之一，为了让学生熟练掌握并将其运用，教师在进行课堂教学时就要让学生积极动脑思考，并进行总结。由于三角函数部分的公式较多，对于这些公式，学生不能只知其一，不知其二。所谓“授人以鱼，不如授人以渔”，教师要将公式的推导过程向学生演示，或是让学生根据已知的公式自己进行推导，一方面可以加深学生對所学知识的印象，并将其进行巩固，另一方面，在推导过程中学生能逐渐提高逻辑性思维能力，并且若是学生没有记住这些公式，在需要用的时候，他们也可以自行推导，而不会觉得解题毫无头绪。

小结：由上题可知，教师在教学时不仅要让学生记住做题的思路，还要让他们能够将公式灵活进行运用。

结合我的教学经验，我觉得高中数学教师，尤其是高三数学教师，最好将数学的各部分知识以专题的形式进行讲解，以便于学生对每部分知识的整体掌握，并且由于数学知识的关联性，我们在讲解一道例题时，涉及的知识点会有很多，逐渐让学生对数学知识进行综合运用，使学生掌握转换的思想，提高转换的自觉性。另外，数学问题的灵活多变，使得每道题的解法不一，学生就可以开拓思路进行解题，并在不断思考中培养自己的数学思维，提高数学能力。

二、注重转化研究，实行转换的多样性

高中数学问题的灵活多变与各知识点间的相互联系，使得利用等价转换思想进行解题也具有相应的灵活性与多样性。利用等价转换解决高中数学问题，没有统一固定的一个解决模式，学生可以根据自己对所学数学知识的掌握与运用情况，选择适合自己的转换方法，从而使学生的解题效率大大提高。教师在进行课堂教学时，可以将一道题利用多种不同的转换思想来讲解，既将数学知识建立了联系，综合运用，又开拓了学生的解题思路，培养了学生的发散性思维，使他们能够从不同的角度、不同的方面出发，去解决问题，并在这个过程中逐渐提升自己的能力。

例3.设x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的范围。

【分析1】该题要直接求值比较复杂，但是通过变量替代，就能将复杂的问题简化。通过设k=x2+y2，再代入消去y，转化为“关于x的方程有实数解时，求参数k范围”的问题，该题就变得简单多了。在做题时要尤其注意其中的隐含条件，即x取值范围的确定。

小结：利用适当的三角函数进行代换，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质解决问题。可以大大简化解题的过程，并容易帮助学生理清思路，使学生将三角函数的知识与方程知识进行有机融合，有助于学生整体掌握数学知识，并开拓学生的思路，通过对各种转换思想的讲解与运用，学生能够将数学知识融会贯通，使其能够学会从不同的方面去思考并解决问题，从而提高学生的思维能力，提高数学分析与学习的能力，促进学生自身的发展与进步。

小结：由于等价转换时采用的思路相同，即将函数名化为同名，但是不同的转换过程与步骤，使得转换时采用的公式不同，实现了转换过程的多样性。

三角函数部分是高中数学学习的主要内容之一，其具有众多的公式，其中常用的有两角和与差、和差化积、积化和差、和差化积、万能公式等。利用三角函数的等价转换解题的关键是通过适当的三角代换，将代数表达转化为三角函数表达，进而把代数式的证明或解答转化为三角函数式的证明或解答，从而起到理顺思路、简化题目的作用。三角函数除了公式多之外，还有另外一个特点，就是三角函数值可以与实数值相联系，充分利用他们之间的等价关系，可以给我们解题带来方便，尤其是在遇到一些难以求值的三角函数时，利用特殊的三角函数值进行巧妙代换，能够大大地简化我们的解题过程。

以上两道例题都利用了数学知识之间的相互联系，以及转换思想的多样性，通过将题目进行不同的转化，开拓了不同的解题思路与方法。教师在教学时一定要着重培养学生的发散性思维，使其将转换思想灵活运用，提高学习能力。

三、遵循转换的原则性，做到解题的简捷性

在利用等价转换思想解高中数学题时，我们要注意转换的原则性，即将我们感觉陌生、复杂的数学问题转换为熟悉、简单的问题来处理，然后通过对数学知识的整体掌握和灵活运用，做到解题的简捷性。下面我举两个例子来简单说明一下。

小结：三角函数问题的解题方法不能拘泥于一种，学生在学习时要注意灵活运用。我们在求三角函数的问题时，有如下三个原则，我将其简称为“三看”，即一看角，尽量把角向特殊角或可计算的角转化；二看名称，尽量把一道等式化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切通过公式都转化为相应的弦，或把所有的弦都转化为相应的切；三看式子，看式子是否满足三角函数的某些公式，如果满足则可以直接使用，如果不满足则需要转化一下角或转换一下名称，再进行使用。

运用三角函数的特殊值代入的等价转换，能将复杂的问题简单化，并有助于明确解题思路，简化解题过程。要想让学生将其熟练运用，教师在进行数学题目的讲解时，就要注意将各部分的知识点串联起来，让学生对数学知识在脑中形成整体的框架，并能够根据题目的不同变化，选取合适的解题思路与方法，从而提高解题效率，提高学生对数学学习的兴趣，并更好地发散思维，进行研究探索。

小结：在我们求代数式的最值时有多种方法，如利用函数的单调性、数形结合等方法，以及运用不等式的定理公式。通过对题目的观察与分析，采用合适的解题方法，可以有效地简化解题过程，通过等价转换，将复杂的问题转换为简单易解的问题来

解决。

运用等价转换进行解题的关键一点就是尽可能将复杂问题简单化，通过对题目进行分析观察与思考，学生要能够采用最合适的转化思想，利用最短的时间解决问题，从而实现解題效率的最优化。我们都知道高中生的时间是很紧迫的，但正是由于学生的学习时间有限，精力有限，学生更要在做题时勤动脑思考，以达到举一反三，而不必通过大量的练习题来提高成绩。教师在课堂教学中要不断渗透数学解题的技巧与方法，从而使学生掌握解题的思路，并在练习与总结中实现解题的简捷性与准确性，有效地提高数学思维与学习能力。

四、重视转换的等价性，提高解题的正确性

等价转换最重要的一点就是要保证转换前后所表示的意义是一样的，即转换前后的式子互为重要条件。很多学生在进行转换时，由于对数学知识点的掌握不透彻，经常会造成转换后的结论与原式不相等，从而造成解题的错误。下面我们来看一道例题。

小结：该题的错解告诉我们，在进行转换时，一定要进行等价转换，如果将原题中自变量的取值扩大或缩小，都会造成解题错误。因此，等价转换的最基本也是最重要的一点，就是在进行转换时，一定要保证转换条件的等价性。

等价转换的前提条件就是等价，在进行转换时只有保证了转换的等价，才能保证做题的准确性，否则很容易因为开始转换的失误而使得解题结果错误。因此，学生在做题时，教师要进行指导，强调学生对转换的等价性引起注意，避免出现类似的错误，进而有效地提高数学学习成绩，提高对数学学习的热情与兴趣。

在高中数学的学习中，等价转换不仅仅是一种解题方法，还是一种重要的解题思想。利用等价转换对题目进行转化，可以有效地简化运算过程，而且能够帮助学生分析解题思路，培养学生的发散思维能力。在解高中数学题的过程中，学生通过灵活运用多种不同形式的等价转换，能够将复杂繁琐的数学问题进行有效简化计算，收到良好的学习效果，进而使学生不再畏惧数学的学习。所以教师在进行课堂教学时，要综合运用等价转换的各种解题思想与技巧，将数学知识进行有机结合，使学生能够将所学的知识熟练掌握，并能够融会贯通，将其综合运用，从而提高学生的学习兴趣与思维能力，促进学生数学学习能力的有效提升。

参考文献：

[1]张奠宙，郑振出.“四基”数学模块教学的构件：兼谈数学思想方法的教学[J].数学教育学报，2011（5）.

[2]张军旗.新课程背景下高中数学有效教学研究[D].信阳师范学院，2014.

[3]季素月.数学技能教与学的若干思考[J].数学教育学报，2003（2）.

[4]史亮.高中归纳课程教学研究[D].东北师范大学，2011.

等价转化思想在高中数学中的应用 篇3

一、不违逻辑, 力求简明

“等价转化”贵在“等价”.实施等价转化首先要保证新命题与原命题等价, 其次, 新命题要比原命题更简明清晰又常见熟悉.

故问题进一步转化为“混合组 (Ⅰ) 有唯一实数解时, 求a的范围”.这样, 问题得到较大简化, 考虑以下一些转化途径:

二、化生为熟, 推陈出新

在遇见新问题时, 就利用已有的认知去对比新事物和新问题, 设法将新问题的研究纳入已有的认知结构或模式中, 从而转化为较熟悉的问题.

三、巧用定义, 降低难度

在解一个问题觉得十分困难的时候, 不妨考虑相关定义的运用.有时运用定义进行命题的转化会使问题更明晰、更容易解决.

四、整体把握, 注意极端

解决一个数学问题既要从整体上出发, 把握全局, 也要善于从极端情况入手, 从局部出发, 寻找解决问题的途径.

能等价交换的并非只有高薪 篇4

这也意味着拿到手的工资只有在香港工作的1/2甚至1/3，而且还要负担一笔不菲的房租费用—在深圳工作其实相当不划算。

但梁键玮有自己的考虑，他非常明确自己想要进大公司。他曾经分别在十几个人的事务所、大型建筑公司以及设计院实习，“公司涉及的业务线越多，自己就更有机会学到其他领域的内容。”而作为全球最大的工程设计公司，AECOM的业务涵盖了建筑设计、景观规划、咨询等多个方面，刚好满足了他的这个需求。另外，与在香港工作大多是和港资背景的公司打交道不同，在内地“可以接触到更多类型的人”也是他所喜欢的。

“如果你要追求快速成长，就不能单纯看工资，你必须有权衡和取舍”—没有太多犹豫，2011年10月，梁键玮在深圳开始了自己的第一份工作。

他接的第一个活是给开发商做项目策划，目的是拿到地。当时他还算是一名“学徒”，由老板带着跟甲方沟通以及参与团队内的讨论。不过，这个持续了两个月的项目最后并没有做成，虽然政府觉得创意不错，但他们想让开发商顺便把周边的土地一并包下来做了，而开发商并不乐意—没谈拢，项目也就黄了。

“有中标的，就会有落标的。”梁键玮倒并不觉得特别遗憾，但他也确实感受到“建筑这个行业的负能量很大”：有时甲方对事务所提出的建议不太懂，就有可能会拼命批评你的创意，或者认为“不要太复杂，随便弄弄就行了”—这种情况下，设计师很容易焦虑。

梁键玮的解决办法是找一个释放的出口。他利用每周五下班后的时间，在公司内组织了一个“设计交流角”：最初是由他自己来分享一些技术性比较强的内容—比如“设计参数化”—国内用得相对少。出乎他的意料，虽然是Happy Hour时间，但来听的人竟也坐满了一整间四五十人的会议室，甚至还有人站着。那之后他要么是邀请其他同事讲课，要么干脆做成讨论的形式，相互聊一聊最近做了什么项目、遇到了什么样的问题。

“很多人刚从学校出来时会有很大的热情。但这种热情可能随着工作几年，因为遭遇的现实或被其他人打击而慢慢消退。”梁键玮说他做这个交流角的目的就是为了让自己和更多的人能保有这份热情，并且从思维的条条框框中抽脱出来。交流角到现在已经做了七八个月，他的下一个计划是和同事一起筹备参加深圳·香港城市/建筑双城双年展。

“责任感”是梁键玮经常提及的一个词。他自认是一个事业心很重的人，也抽空考取了绿色建筑师的资格认证（LEED AP ND），“我的工作是24小時制，除了睡觉基本上一直都在想。”而更长远一点，他希望在设计公司多积累一些经验之后—比如十年后，能有机会换到甲方工作。“开发商对于城市面貌的塑造能力更强。而且，对于怎么在拿到地的同时保证赚钱，它们都更有自己的平衡方式。”

矩阵秩的等价定义 篇5

矩阵的秩是线性代数的重要内容, 它不仅是矩阵的一个本质属性, 而且在解线性方程组、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面有着广泛的应用. 而线性代数课本中直接给出的定义比较抽象, 且不够简洁. 本文给出了矩阵的秩的两种等价的定义. 第一种定义是将《线性代数》 ( 同济大学应用数学系编, 第四版) 课本中给出的矩阵秩的定义进行了简化, 这也给出了求矩阵的秩的一种简捷的方法.线性代数中给出了用初等变换的方法求矩阵秩的方法, 若能证明矩阵经行初等变换后化成的行阶梯形矩阵中的非零行数是唯一确定的则可直接将这一非零行的行数定义为矩阵的秩, 这样定义不仅形象而且直接就有了矩阵秩的求法.然而课本中只是提到一句话说“由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的 ( 行阶梯形矩阵中非零行的行数也是唯一确定的) ”, 但对此结论并没有证明. 本文对这个结论给出了详细的证明, 进而给出了矩阵的秩的一种比较形象直观的定义. 为方便读者阅读, 下面首先给出本文用到的一些定义和符号.

定义1在m×n矩阵A中, 任取k行与k列 ( ( k≤m, k≤n) ) , 位于这些行列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式.

定义2设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D, 且所有r +1阶子式 ( 如果存在的话) 全为零, 那么D称为矩阵A的最高阶子式, 数r称为矩阵A的秩, 记作R ( A) .

定义3对于矩阵A, 若可在A中画出一条阶梯线, 线的下方全为零; 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元, 即非零行的第一个非零元, 则称A为行阶梯形矩阵.

定义4设A为行阶梯形矩阵, 若A的非零行的第一个非零元为1, 且这些非零元所在的列的其他元素都为零, 则称A为行最简形矩阵.

对于矩阵A, 我们用AT表示A的转置.

2. 主要定理及其证明

为给出矩阵的秩的等价定义, 我们需要先给出一些定理作基础.

定理1设m×n矩阵A的某个r阶子式D≠0, 而包含D的所有r + 1阶子式全为零. 证明矩阵A的秩为r, 即R ( A) = r.

证不失一般性, 不妨令A的r阶顺序主子式 ( 即A的前r行、前r列元素构成的r阶子式) 为D≠0, 于是A的前r行向量α1, α2, …, αr线性无关. 若能证明A的后m - r个行均是α1, α2, …, αr的线性组合, 则R ( A) = r. 为此, 作 ( r +1) ×n矩阵:

其中r +1≤i≤m. 只需证R ( Ai) =r, 即αi为α1, α2, …, αr的线性组合, i = r +1, …, m. 事实上, 我们把Ai按列分块得: Ai= ( β1, …, βr, βr + 1, …, βn) , 其中βj= ( a1ja2j…arjaij) T为r +1维列向量, j =1, 2, …, n. 由于r阶子式D≠0, 故β1, β2, …, βr线性无关. 由于题设含D的所有r +1阶子式全为零, 故对任一k ( = r +1, …, n) 恒有β1, β2, …, βr, βk= 0, 于是β1, β2, …, βr, βk线性相关, 但β1, …, βr线性无关, 故βk ( k =r +1, …, n) 均是β1, β2, …, βr的线性组合, 即β1, β2, …, βr是矩阵Ai的列向量组的极大无关组, 所以R ( Ai) = r. 因此, R ( A) =r.

注此定理给出了求一个矩阵的秩的简捷方法. 它的理论意义在于揭示了矩阵A的秩r仅与某个非零r阶子式D及包含D的所有r + 1阶子式全为零有关, 而无需要求A的所有r +1阶子式全为零这个强条件.

定理2任意矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.

则A已经是行阶梯形矩阵. 以下对A的行数m用归纳法, 并假设A≠O. 不妨设A的第1列元素不全为零, 否则考虑第2列, 以此类推. 通过对调行的变换, 不妨设a11≠0, 用-ai1/a11乘第1行加到第i行上去, i =2, 3, …, m,

由归纳假设可知, 总是可经有限次对B的 ( 也是对A1的) 行初等变换, 将B变成行阶梯形矩阵. 因此, 矩阵A经有限次的行初等变换即可变成阶梯形矩阵. 由行最简形矩阵的定义以及行最简形矩阵和行阶梯矩阵的关系可知在行阶梯矩阵的基础上再经过有限次的第二种和第三种行初等变换就可把矩阵A化为行最简形矩阵.

定理3每个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的.

数n用归纳法. 设n =1, 若A =O, 则A的行最简形矩阵就是A; 若A≠O, 则A的行最简 形矩阵是m×1矩阵 ( 1, 0, …, 0) T, 可见定理3成立.

假设定理对n = s ( s≥1) 成立. 考虑n = s +1的情形:设A = ( A1, as + 1) , 其中A1为m×s矩阵, as + 1为m×1矩阵.设矩阵A有2个行最简形矩阵C和D, 即A通过若干次行初等变换后变成矩阵C = ( c1, …, cs, cs + 1) = ( C1, cs + 1) 和矩阵D = ( d1, …, ds, ds + 1) = ( D1, ds + 1) , 其中C1和D1为m×s矩阵, cs + 1和ds + 1为m×1矩阵, 根据行最简形矩阵的性质知, C1和D1也是行最简形矩阵, 且A1通过若干次初等变换后可变成C1和D1, 根据归纳假设可知C1= D1, 因此只需证明cs + 1= ds + 1.

设C1和D1的非零行数为r, 为便于书写不妨设C =, 其中Er是r阶单位矩阵, P是r× ( n - r -1) 矩阵, α是r×1矩阵, β是 ( m - r) ×1矩阵, 若β是零向量, 则设α = ( λ1, …, λr) , 于是有cs +1= λ1e1+ … + λrer= λ1c1+ … + λrcr, 这里ei ( i = 1, …, r) 是第i个m维单位向量. 此式表明s个数组成的有序数组λ1, …, λr, 0, …, 0是向量方程的解, 又因为A通过若干次行初等变换变成矩阵C和矩阵D, 所以C也可经过若干次行初等变换变成矩阵D, 即向量方程同解, 从而有序数组λ1, λ2, …, λr, 0, …, 0也是向量方程的解, 故ds+1= λ1d1+ λ2d2+ … + λrdr= λ1c1+ λ2c2+ … +λrcr= cs +1. 若β不是零向量, 则由行最简形的定义可知α = 0, β = ( 1, 0, …, 0) . 根据C可经过若干次行初等变换变成矩阵D, 从而向量方程同解, 可知, 这里er +1是第r +1个m维单位向量. 因此, C = D, 每个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的.

定理4任意矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.

证由定理2可知任意矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 而由行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义可知同一个矩阵的行阶梯形矩阵和行最简形矩阵所含非零行的行数是一样的, 根据定理3, 每个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定, 故任意矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.

3. 矩阵的等价定义

定义1设m×n矩阵A的某个r阶子式D≠0, 而包含D的所有r + 1阶子式全为零, 则称矩阵A的秩为r, 即R ( A) = r.

矩阵的等价关系与分类 篇6

定义1.2:集合S的一个二元关系“~”称为等价关系, 若满足ⅰ) 反身性:x~xⅱ) 对称性:若x~y则y~xⅲ) 传递性:若x~y, y~z则z~x。

定理1.1:集合S的一个分类必决定S的一个等价关系。

定理1.2:集合S的一个等价关系必决定S的一个分类。

2 矩阵的等价关系

2.1 矩阵的相抵关系

定义2.1:如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B, 那么称A与B是相抵的。

定理2.1:任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是:1) A、B同型且秩相等;2) 存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。

2.2 矩阵的相似关系

定义2.2:对于n阶方阵A、B, 若存在一个可逆阵P, 使得P-1AP=B, 则称A与B相似。

由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件:两边乘的矩阵要互逆, 所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件, 将A与B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究, 即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。

定理2.2

即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。

也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件, 两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。

相似矩阵的性质:矩阵相似, 则它们的秩相等, 迹相等, 行列式相等, 特征值相等, 特征多项式也相等;它们还有相同的可逆性, 且可逆时它们的逆矩阵也相似。

注意, 两个同阶方阵如果它们可以对角化 (例如实对称矩阵) , 则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值 (或特征多项式相等) ;否则, 同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。

2.3 矩阵的合同关系

定义2.3:对于n阶方阵A、B, 若存在可逆阵P, 使得PTAP=B, 则称A与B合同。

两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。如果A是实对称矩阵, 则它一定能与对角矩阵合同。但合同一般是对于对称矩阵来说的, n阶对称矩阵必然有n个实特征根。如果两对称矩阵的不为零的特征根数相同, 并且正特征根数也相同, 那么两矩阵是合同的。反之, 如果两矩阵合同的话, 那么这两个矩阵不为零的特征根数相同, 并且正特征根数也相同。

定理2.3:在复数域上, n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r。

定理2.4:在实数域上, n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r、正惯性指数p、负惯性指数q和符号差s中的任意两个。

注意:合同与二次型有关, 同一数域上的二次型与对称矩阵之间一一对应, 因此矩阵合同一般针对的是对称矩阵。

2.4 矩阵相抵, 相似与合同之间的关系

(1) 相抵关系最弱。合同与相似是特殊的相抵关系, 若两个矩阵相似或合同, 则这两个矩阵一定相抵, 反之不成立。相似与合同不能互相推导, 但如果相似矩阵为正交相似, 合同阵为正交合同, 则相似与合同一致。

(2) 对于实对称矩阵, 特征值是相似的不变量, 秩和正惯性指数是合同关系下的全系不变量, 因此实对称矩阵相似则一定合同。

(3) 相抵, 相似与合同具有:反身性, 对称性, 传递性, 因此都是等价关系。

所以可以基于这三种等价关系对矩阵进行分类。

3 等价关系下的分类

结论1:m×n矩阵在相抵关系下可分为k+1类 (其中k=min{m, n})

结论2:所有n阶方阵, 在相似关系下有无限多个等价类。

结论3:在复数域上, n阶对称阵在合同关系下可分为n+1类。

由定理2.3和结论1的证明可得。

结论4:在实数域上, n阶对称阵在合同关系下可分为类。

证明:以选p, r为全系不变量为例来证明

当r=0时, p=0共1类

当r=1时, p=0, 1共2类

…

当r=n时, p=0, 1, …, n共n+1类

4 根据等价关系将矩阵分类的意义

矩阵的全体很复杂, 都是无限个矩阵, 我们要研究它自然就要选代表元, 这个代表元肯定是在某种意义下的代表元, 那么我们就需要给一个等价关系, 比如在相抵关系下, 可以通过研究相抵标准型这种结构简单的矩阵来研究整个类。

例:证明若n阶方阵A不可逆, 则必存在不为零的矩阵B, 使得AB=0

从此例可以看出对于一般矩阵A而言, B不好找, 但具有简单结构的相抵标准型满足条件的矩阵相对容易找, 这样就可以把复杂的问题简单化, 有利于我们研究。

参考文献

[1]姚慕生.高等代数学[M].上海:复旦大学出版社, 2008.

定积分的等价定义及其应用 篇7

定义1 设函数f( x) 在[a,b]上连续. 在区间[a,b]上任意插入n - 1个分点xi( i = 1,2,…,n - 1) ,并设a = x0, b = xn,则区间[a,b]分成n个小区间[xi -1,xi]( i = 1,2,…, n) ,各个小区间的长度为Δxi= xi- xi -1,在每个小区间上任取一点ξi( xi -1< ξi< xi) ,作函数值f( ξi) 与该小区间的长度Δxi的乘积f( ξi) Δxi( i = 1,2,…,n) ,并作和 ,如果不论对区间[a,b]怎样分法,也不论在区间[xi -1,xi]上点ξi怎样取法, 只要当λ→0时,和S总趋向于确定的常数I,那么称极限I为函数f( x)在区间 [a,b] 上的定积 分.即

当我们无法举例或举例困难时,就要以内涵先导方式给出定义,看下面的定义2.

定义2设函数y = f( x) 在闭区间[a,b]上连续,并且在此区间上F( x) 是f( x) 的任意一个原函数,我们把式子 叫作定积分,并且规定

显然这样的概念无法事先举出实例,这就是内涵先导式的概念. 定义1称为传统定义,定义2称为创新定义或牛顿—莱布尼兹定义. 两个定义具有怎样的关系呢?下面的两个定理说明了这个问题.

定理 1 设函数f( x) 在闭区间[a,b]上连续,函数 为区间[a,x]上按定Φ( x) = lim λ→0∑ i = 1 f( ξi) Δxi( x∈[a,b]) 为区间[a,x]上按定义1的方法取得的极限,则: ( 1) 对于区间[a,b]上的任意两点x1,x2( x1< x2) ,则在区间[x1,x2]上至少存在一点ξ,使得Φ( x2) - Φ( x1) = f( ξ) ( x2- x1) ; ( 2) 在闭区间[a,b]上Φ'( x) = f( x) ,即Φ( x) 是f( x) 的原函数.

证明( 1) 设R和r分别为f( x) 在闭区间[x1,x2]( x1, x2∈[a,b]) 上的最大值和最小值,对于区间[x1,x2]按定义1的分法( 分成k个小区间) 和ξi的取法,以及r≤f( x) ≤R x∈ [x1,x2(]) ,则有

( 2) 对于闭区间[a,b]上的任意一点x,当给出增量Δx(x + Δx∈ [a,b])时,根据本定理( 1) 的结果,在区间[x,x + Δx]上至少存在一点ξ,使得 因为当Δx→0时,ξ→x,则有 ,即Φ'( x) = f( x) . 所以在闭区间[a,b]上Φ( x) 是f( x) 的原函数.

定理2设函数f( x) 在闭区间[a,b]上连续,对于该区间[a,b]按定义1的方法取得的极限为

证明根据定理1( 2) 可知在闭区间[a,b]上 是f( x) 的原函数,根据定义2则有 显然Φ( a) = 0,

定理2说明了当函数f( x) 连续时,在闭区间[a,b]上传统定义与牛顿—莱布尼兹定义具有等价关系. 因此,我们完全可以以定义2作为定积分的定义. 两个定义各自具有不同的特点,定义1着重在方法上,具有抽象性的特点,适合于理论研究; 而定义2着重在计算和应用上,具有创新、简洁、实用的特点,两者在教学时间和难度上存在较大差距. 不同层次的学生其基础不同,思维能力不同,教学特点也不同,因此需要采用不同的定义方式,以利提高教学质量.

摘要：传统定积分的定义难度较大且过程复杂,应用价值也较低.基于应用目的,本文以内涵先导方式给出了定积分的创新定义,且将这一定义命名为牛顿—莱布尼兹定义.对于两个定义的关系文中采用独特方法给出了详细论证.与传统定义相比创新定义具有简洁、实用的特点,对于提高教学质量意义重大.

集合上的等价关系的构造 篇8

等价关系是在计算机科学中应用最为广泛的一类关系, 关于等价关系和划分的关系已有证明[1], 本文以二元关系为例, 给出了利用集合的划分得到等价关系定理的另一种证明, 并给出了例子说明其应用。

为方便起见, 先给出如下定义:

定义1 设A, B是任意两个集合, A×B的子集R称为从A到B的二元关系, 当A=B时, 称R为A上的二元关系, 若 (x, y) ∈R即称x与y有关系R, 记作xRy。

定义2 设R是集合A上的二元关系,

如果对任意x∈A必有xRx, 则称关系R在A上是自反的。

如果对任意x∈A, y∈A, 若有xRy必有yRx, 则称关系R在A上是对称的。

如果对任意x∈A, y∈A, z∈A, 若有xRy且yRz必有xRz, 则称关系R在A上是传递的。

定义3 设R是定义在集合A上的一个关系, 若R是自反的, 对称的和传递的, 则R称为等价关系。例如在平面三角形集合中, 三角形的相似关系是等价关系。

定义4 设给定非空集合A, 若有集合Sn={S1, S2, …, Sn}, 其中Si⊂A, Si≠Φ, (i=1, 2, …, n) , 且Si∩Sj=Φ (i≠j) , 同时有${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}S}{}_i=A$, 称S是A的划分。

2主要结果

定理1 给定集合A的划分S={S1, S2, …, Sn}, 由它确定的关系:R=S1×S1∪S2×S2∪…∪Sn×Sn是等价关系。

证明 因为$A={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}S}{}_i$, 对于任意x∈S必存在某个j>0例x∈Sj, 所以 (x, x) ∈Sj×Sj即 (x, x) ∈R, 因此R是自反的。

其次, 若有x, y∈A且 (x, y) ∈ρ, 则必存在某个j>0, 使 (x, y) ∈Sj×Sj, 故必有 (y, x) ∈Sj×Sj, 即 (y, x) ∈R, 因此R是对称的。

最后, 若有 (x, y) ∈R, (y, z) ∈ρ, 则必存在某个j>0, 使 (x, y) ∈Sj×Sj, (y, z) ∈Sj×Sj故必有 (x, z) ∈Sj×Sj, 即 (x, z) ∈R, 因此R是传递的。以上三点说明R是A上的等价关系。证毕。

例 设A={a, b, c, d, e, f}的一个划分, S={{a, b}, {c, d}, {e, f}}, 由S确定等价关系为R={a, b}×{a, b}∪{c, d}×{c, d}∪{e, f}×{e, f}={{a, a}, {a, b}, {b, a}, {b, b}, {c, d}, {d, c}, {d, d}, {e, e}, {e, f}, {f, e}, {f, f}}。

从上述定理可以看到, 给定集合上的任意一个划分必可在上构造对应于此划分的一个等价关系, 但是, 不同的划分可以构造不同的等价关系。

例如S′={{a, c}, {b, f}, {e, d}}也是A的一个划分, 由S′确定等价关系为R′={a, c}×{a, c}∪{b, f}×{b, f}∪{e, d}×{e, d}={{a, a}, {a, c}, {c, a}, {c, c}, {b, b}, {b, f}, {f, b}, {f, f}, {e, e}, {e, d}, {d, e}, {d, d}}, 显然两等价关系不同。

定理2 集合A上的等价关系R确定A的一个划分, 该划分就是商集$\frac{A}{R}$。证明参见文献[2]。

参考文献

[1]左孝凌.离散数学.北京:经济科学出版社, 2000

等价思想 篇9

就我们现在的认识水平来说，我认为第一位的不是研究意义交换法则，而是审议意义交换法则构建思路的合理性。也就是说，要首先研究有哪些语形-语义（模数）转换通道可以利用，以什么参照点（锚定点）为基础最有利于进行意义判定，以实现对价双方的意义价值相等。在这方面，传播学现在是百花齐放，没有定于一尊。下面我把传播学各家门派的“武功秘籍”，“翻译”成最前卫的行为经济学语言，介绍给大家。

交换对象：关于意义的载体

意义交换从表面上看，是语形与语形的交换；实质上是语形与语义之间的交换。这与等价交换是同一个道理，表面上是使用价值交换，实际上是使用价值与价值的交换。对传播学来说，语形体现一般价值，语义体现意义价值。

比较一致的意见是，语言、非语言构成意义的语形。其中，语言包括书面语言和口头语言，口头语言在表达生活世界的意义方面具有相当的重要性。非语言行为包括体态语言、空间关系等，体态语言对于下意识、无意识领域的意义表达具有不可替代的作用。伯德惠斯泰尔的《身势与语境》、艾克曼和弗瑞森的身势学理论，都对此进行了深入研究。根据这些理论，人们有意识地运用语言，而以无意识的方式表现非言语符码。

电子商务的意义交换，不可狭窄地理解为语言交换。实际上，通过视频进行的形象意义交换，对于个性化意义的确定具有重要意义。人们经常感觉网上购物与现场购物相比，若有所失，其中一个重要原因就是这种意义交换上的缺失。据爱德华·霍尔的研究，与阿拉伯人做生意，甚至连嗅觉都很重要。因此我们可以预见，未来电子商务将比现在更加注重非语言交流。多媒体在这里，不光涉及形式，更重要的是还关系到意义本身。

交换方向：关于语义的锚定

从意义的载体出发研究意义，还是从意义的赋予者出发研究意义，是接下来的选择。从经济学角度看，涉及的问题是意义交换原则中的交换方向。与等价交换从使用价值向一般价值的转化相比，等意义交换的交换方向，是将一般价值转换为意义价值。

传统符号学理论认为，语形与语义是完全无关的。语形是随意指定的，与所指无关；意义完全由言说的主体赋予。索绪尔和鲍德里亚在这方面的观点都比较极端。批评的意见指出，口头语言和视像语言就不符合这样的说法。斯图尔特认为，符号不是对真实事物的简单再现，而是人们出于传播和交流的需要，预先约定的有意义的假设。

如果加上语用的考虑，这种矛盾就会显得更加突出。话语理论，如维特根斯坦和奥斯丁的言语行为理论就非常强调对语言的实际使用。现象学倾向于以具体情景中的个性化体验，作为锚定价值的基准。后结构主义的德里达，坚决拒绝承认语言具有固定的意义，而坚信文本中存在多种具有替代性的意义，任何阐释都只能提供其中一种替代性的意义，倾向于根据语境来确定语义。

历史地看，语形在这里是一种寄托，是社会化理性价值的符号；语义作为意义的寄托，显示了个性化的趋向。按理说，单纯地锚定任何一方都是不全面的。鉴于这里谈的是意义交换，交换方向是将一般价值转换为意义价值，我们会更加注意个性化的锚定方向。在这方面，经济学中的期望理论，难得地与国际潮流接轨了一把。传播学这方面的理论，主要集中于信息接受理论，包括归因理论、社会判断理论和深思概率理论等。从个性化实践的角度看，现象学和后结构主义的观点，比较具有商业价值。不过我们不能过份强调解构的价值，毕竟大规模定制还是有别于定制的。

交换中介：关于意义的结构与规则

表现在语形和语义间的意义矛盾，可以说是社会化与个性化矛盾的反映。矛盾的解决，有赖于意义结构和规则的建立。如果说等价交换是以一般等价物为中介进行的交换，等意义交换就是以元数据为中介的交换。这是新交换原则的一个重要特点。

语义分析可以被理解为一种对语形的语义结构分析。语义结构成为语形与语义的转换通道，意义的交换就是在这里发生的。语义结构学是一门专门的学问，这里不展开，只强调一点，语义结构中最引人注目的，是本体论意义上的数据，即关于数据的数据，也就是元数据。从某种意义上说，元数据就是意义交换的“货币”。与货币相反的是，它通向意义的个性化，元数据分析是语义分析标准化的基础。我们需要特别注意的是，意义交换不是以语言符号为单位，而是以元数据为单位。元数据是意义本身的单位，EBMXL就属于这种元数据。在实践中，元数据方法在电子商务交换、知识管理和数据挖掘中，具有十分重要的商业价值。

规则被视为语形和语义间的联系纽带，话语受制于一定的规则，因为规则可以在人们进行个性化选择的同时保持一定的社会稳定性。维特根斯坦认为语言游戏的规则具有延展性和可变性。而在杰克逊和雅各布的观点中，规则被视为交流者在谈话过程中不断进行调和的产物。在实践中，可能并不像极端的后结构主义者如福柯所认为的那样，人们可以离开规则进行自由选择。在电子商务中，个性化选择与元数据标准化是相辅相成的，越是个性化，就越需要标准化，越是标准化，也就越有利于个性化。这是两个不同层次的问题。

交换价格：一词多义与一物多价

等价交换与等意义交换，同样表现为质的交换与量的交换两个方面。等意义交换中，相等的是意义价值，不等的是交换价值。从理论上说，使用价值和交换价值一样的同一种商品，对不同的人完全可能具有不同的意义价值；表现在价格上，等意义交换必然表现出一物一价的特点，而不是一成不变的均衡价格。

对于等价交换来说，均衡价格是唯一的，这主要是由于商品的同质性。这种同质性并不一定真的表示使用价值及商品消费者的偏好完全同质，而是说，商品和消费的质的差异性被取消了。在个性化经济中，通过等意义交换，商品和消费的质的差异性不仅不会被掩盖，反而会明显地呈现出来。相应的，商品价格的确定，也不是锚定在一般均衡点的价值上，而是锚定在个性化消费者的价值支点上，这看起来就好像分布在围绕价值上下波动的交换价值曲线的各个点上。这不是个性化的错误，而是由意义交换中，一词对多义这种语形与语义间的天然矛盾造成的。

等价线性无关组的一个性质 篇10

引理1设两个向量组等价,则任一组中的每一个向量都可以由另一组的向量线性表示。

引理2两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

引理3如果向量组α1,α2,…,αs线性无关,并且可由β1,β2,…,βt线性表出,则s≤t。

引理4向量组线性相关的充要条件为其中至少有一个向量能用其余向量线性表示。

2 推导过程

下面讨论两个等价的线性无关组A:α1,α2,…,αm与B:β1,β2,…,βm。

(1)B中至少有一个向量βi使向量组α1,α2,L,αj-1,βi,αj+1,L,αm线性无关。

若B中没有这样的向量βi,即对B中的任一向量βi都有α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm线性相关。由于α1,α2,…,αj-1,αj+1,…,αm这m-1个向量是线性无关的,而B中任一向量均可由α1,α2,L,αj-1,αj+1,L,αm线性表示,由引理3知B组的向量个数m≤m-1。这是不可能的。

可由β1,β2,L,βm线性表出。

对B中每一向量都可由A线性表示,讨论β1和βi,所以有:

且必有kij≠0,否则,若kij=0,βi与α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm线性相关,与上面推理矛盾。对(2)两边同时除以kij,将整理得到的αj代入(1)得:

即β1可由α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm线性表示。同样可以证β2,β3,…,βm均可用线α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm性表示。因此向量组α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm与向量组B等价。

3 结论

性质设有两个等价的线性无关组。

A:α1,α2,…，αm

B:β1,β2,…,βm。

则对A中任一向量αj,B中至少有一个向量βi可以代替向量αj使向量组α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm仍然线性无关且与向量组B等价。

由引理1知,

推论1若kir=0,(r=1,2,L,m)则βi不能代替rα。此时,

根据引理4得到向量组。

βi,α1,α2,…,αr-1,αr+1,…,αm线性相关。因此βi不能代替rα与A中其它向量一起组成与B组等价的向量组。

推论2若kir≠0,则向量组。

α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm与向量组B等价。βi用代替rα,并令:

将:

因为α1,α2,…,αr-1,αr,αr+1,…,αm线性无关,所以:

这就证明了α1,α2,…,αr-1,βi,αr+1,…,αm线性无关。再根据定理中的证明,

α1,α2,…,αr-1,βi,αr+1,…,αm与B等价。

由上述两个推论知这种代替不是随意的。

摘要：线性无关向量组以及向量组等价的概念在线性代数中占有重要的地位,对研究矩阵的初等变换和线性方程组的解有重要作用。本文讨论了两个等价的线性无关向量组,其中一组的一个向量能否用另一组的一个向量代替后仍与另一组等价。

关键词：向量组,等价替换

参考文献

[1]卢刚.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2005.