等价转化法（精选4篇）
等价转化法 篇1
将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题, 这是解数学题的思想方法之一, 也是解较难的排列、组合题的重要策略.有些排列组合题直接去求可能分类较复杂, 而若用它的等价命题去处理则简单得多, 以下举例说明.
1. 通过改变原先的排列模式进行转化
例1马路上有编号为1, 2, 3, …, 10的10盏路灯, 为节约用电又不影响照明, 可以把其中2盏灯关掉, 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏, 在两端的灯都不能关掉的情况下, 有多少种不同的关灯方法?
解析本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空当中插入3只熄掉的路灯, 故所求方法总数为C63=20种.
点评本题要是不改变原先的路灯排列模式, 十盏路灯不妨编号为①, ②, …, (10) , 再通过分类讨论:若关掉 (2) 号、④号, 则第三盏灯可为⑥, ⑦, ⑧, ⑨号四种;若关掉②号、⑤号, 则第三盏灯可为⑦, ⑧, ⑨号三种……总数有 (4+3+2+1) + (3+2+1) + (2+1) +1=20种.这种方法较繁琐, 而用等价命题法去处理就显得简捷多了.
例2甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛, 双方1号队员先赛, 负者被淘汰, 然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛, 负者又被淘汰, 一直这样进行下去, 直到有一方队员全部被淘汰时, 另一方获胜.假设每个队员的实力相当, 则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是多少?
解析先不加限制地安排甲队员, 由于甲队员先存在固定的位置, 所以甲队员在10名队员排列总共有A510种, 而甲5战到最后, 乙5最后一个被淘汰掉, 则前8个位置安排4个甲方队员即可, 有A48种排法, 故所求的概率为.
点评本题若采用直接方法去做, 因为人数较多分类排列复杂, 很难求解.而考虑到擂台赛必定每次要淘汰一名队员, 所以以上解法是通过转化为10名队员按照淘汰的队员顺序来重新排列, 如此处理思路就变得清晰、简单.
2. 通过建立新的思维模式进行转化
例3如图1, 是由12个小正方形组成的3×4矩形网络, 一质点沿网络线从点A到点B的不同路径之中, 最短路径有______条.
解析总览全局, 把质点沿着网图从点A到点B的最短路径要分为七步走, 其中四步向“右”, 三步向“下”, 不同走法的区别在于总共的七步中哪三步向下, 因此, 本题的答案是C37=35条.
点评本题最大的优点在于把质点的不同路径转化为四个“右”、三个“下”的不同排列问题, 改变了切入此题的思维模式, 问题得以轻松解决.
例4有A, B, C, D, E五人围成一个圆圈传球, 规定A先投, 且只能投给相邻的两人中的一人, 问:投十次又回到A的概率是多少?
解析记顺时针投一次为数+1, 逆时针投一次为数-1, 要使投十次后又传回到A, 则正负数相加为0, 即正负数各为5次, 有C510=252种传法, 外加连续顺时针或逆时针投+次也能传到A的手中, 共有254种传法.而每次投球都有顺、逆时针各两次传法, 投十次总共有210种传法, 因此, 所求概率为.
点评借助于数±1来表示顺、逆时针的传球方式, 改变了原来的思维模式, 使得传球问题变成了数±1的排列问题了, 解决起来当然快捷了.
3. 通过构造等价的几何模型进行转化
例5以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有___对.
解析以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有C84-12=58个, 每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线, 因此, 以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有3×58=174对
点评正方体中顶点连线的异面直线情况较多, 包括棱与棱、棱与面 (或体) 对角线、面对角线与面对角线、面对角线与体对角线等, 如果这样分类讨论很容易出现重选或漏选, 而用构造等价的几何模型——四面体, 就可容易找出异面直线对了.
例6圆周上有12个不同的点, 过其中任意两点作弦, 这些弦的圆内的交点个数最多是多少?
解析要使交点个数最多, 则只需所有的交点都不重合, 显然, 并不是每两条弦都在圆内有交点, 但如果两条弦相交, 则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点, 也就是说, 弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是一一对应的.因此, 只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数, 即C412=495 (个) .
点评本题构造了四边形, 以求得满足条件的交点, 使问题得到很好的解决;通过构造等价几何模型, 将复杂的问题转化为简单的问题.
在解决排列、组合问题中, 我们不但要学好、用好基本解题方法, 如直接计算法与间接计算法、分类法与分步法、元素分析法与位置分析法、捆绑法与插空法等等, 而且要充分发现和寻找题目的等价命题, 通过等价命题的转化使得复杂问题简单化、陌生问题熟悉化, 从而轻松解决较难的问题.
原命题和逆否命题的等价转化 篇2
1. 利用原命题和逆否命题的等价关系，转化判断命题的真假.
例1 写出命题“如果两个实数的乘积是有理数，那么这两个实数都是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四个命题的
真假.
思维展示 原命题是假命题，如3×27=9是有理数，但3和27都是无理数.
逆命题：如果两个实数都是有理数，那么这两个实数的乘积是有理数.它是真命题.
否命题：如果两个实数的乘积不是有理数，那么这两个实数不都是有理数.它的真假性如何判断呢？
直接判断有困难,看它的逆否命题(即前面的“逆命题”)的证明：设m，n是有理数，则m=qp，n=ba（p，q，a，b∈Z，ap≠0），则mn=qbpa，显然mn是有理数.由前述关系可知，“否命题”也是真命题.
逆否命题：如果两个实数不都是有理数，那么这两个实数的乘积不是有理数.同理可知，它是假命题.
学习体验 对于以否定形式出现的命题，推理证明感到困难时，变换角度，考虑其逆否命题，思维会显得简洁流畅.
2. 利用原命题和逆否命题的等价关系，转化判断条件和结论之间的关系.
例2 命题甲：x≠2或y≠3，命题乙：x+y≠5，则（）
A. 甲是乙的充分非必要条件
B. 甲是乙的必要非充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
思维展示 注意命题的叙述形式，转换角度，从逆否命题切入，则思路畅通.
“甲乙”，即“x≠2或y≠3x+y≠5 ”，其逆否命题为：“x+y=5x=2且y=3”，显然为假命题；同理，可判断“乙甲”为真命题，故选择B.
学习体验 本题初看会有茫无头绪之感，容易错选为C或D.解本题的关键：从反面入手，利用原命题与逆否命题的等价性.要对逻辑联结词“或”有深刻的理解，才能准确地写出相应的逆否命题.
3. 利用原命题和逆否命题的等价关系，简化构建不等式组，确定参数范围.
这是一类常见的综合题.
等价转化法 篇3
一、进行数学思想教育的必要性
数学思想作为数学教育的根本, 在职高数学教育中有着重要的作用.因为, 从学生发展的长远角度上看, 对学生进行数学思想的教育是学生发展和职业教育发展的双重需要, 具有一定的积极意义.等价转化思想的教育是数学思想教育体系的组成部分, 对职高数学教育也有其必要性.
1.适应素质教育发展的需要
职高教育虽然与普通高中教育有所区别, 但是同是我国教育体系的重要组成部分, 同样要以素质教育理念为发展方向.特别是在现代化建设进程进一步加快, 社会对技术型的人才需求量越来越大, 要求也越来越高.因此, 在素质教育观下, 从增强学生思维的角度去组织职高数学教育, 培养学生的思维能力, 也是职高教育的教学目标.
2.发展学生思维能力的需要
由于职高教育以技能教育为核心, 数学教育的地位不像在普通高中那么突出.但是, 数学是对学生思维能力的锻炼, 是帮助学生开动脑筋, 将理论转化为实践的一个重要途径.因此, 培养学生的思维能力, 也就是为学生的动手能力奠定基础, 毕竟没有灵活的思维, 学生很难在实践中取得好的成就.
二、等价转化思想在数学教育中的运用
等价转化思想在职高数学教学中的运用是多方面的, 但是无论是如何运用, 都是为锻炼学生的数学思维, 让学生在学习中能更迅速的解题, 获得更多的知识.以下是等价转化思想在职高数学中常见的几种用法.
1.全体与部分转化的策略
对大部分职高学生而言, 在面对数学问题时, 要直接依据问题所给的条件直接解题, 存在一定难度.而如果根据题目的特点, 避开从整体着手的思路, 把所要研究的对象进行分解, 化整为零, 各个击破, 有时候更容易促成问题的解决.这种转化的理论依据是:欲证A为真, 但A包括多种可能的情况;如果能一一证明, A在每一种情况下都为真, 则可得命题A仅是真命题.在国际数学领域颇有声望的抽屉原理, 在处理方法上, 渗透的方法就是这种化整为零, 分类出击的转化思想.而落实到实际的教学中, 这样的思想也一样有着积极的意义.如教师在引导学生推导余弦定理时, 可以把坐标原点分别选择在三角形的三个顶点, 而使问题迅速地获得解决.当然, 也可以反过来, 当有些类型的问题, 局部不易思考, 教师则可以引导学生着眼于整体, 让问题易于把握.以此题为例:若a, b, c都是奇数, 证明方程ax2+bx+c=0没有有理根.
解析 依据问题提供的条件和结构特征, 如果让学生从整体上直接入手进行解题, 那可能会存在一定的难度.因此, 教师可以引导学生从等价转化思想的角度出发, 根据题目信息化整为零促成问题的转化.
假设方程有有理根undefined既约) .在此, 可按p, q可能取的奇、偶分类, 将undefined代入方程undefined
(1) 设p, q都为奇数, 又a, b, c都是奇数, 结合※可得奇数+奇数+奇数=0, 这里显然是不可能的.
(2) 设p为偶数、q为奇数, 结合※有:偶+偶+奇=0, 这也是矛盾的.
(3) 设p为奇数、q为偶数, 结合※有左奇、右偶仍出现矛盾.
以此我们可以看到此题在上述每一类可能出现的情形中, 都是矛盾的, 则问题的整体上必然是矛盾的, 即是说方程ax2+bx+c=0在a, b, c都是奇数的情况下, 不可能有有理根.
以此为例, 教师可以通过引导学生将外部问题内化, 进而找到解题的方法.通过这样的引导, 可以让学生明白数学思想在数学学习中的作用, 也能从思维锻炼的角度, 让学生的思维能力得到更大的拓展.
2.特殊与一般的转化
从认知角度上看, 相对于一般而言, 特殊的事物往往更为人们所熟悉, 简单和直观也更容易被人们所接受.因而可以通过特殊去认识一般.当一般的问题难以解决或较为复杂时, 可以先退到特殊情况, 然后由特殊问题的结论, 排除不可能出现的结论, 得出正确的结论, 或者说由特殊问题的结论过渡到一般的结论.
三、结束语
等价转化法 篇4
一、等式型双变量存在性或任意性问题
1. 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”
此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域是g(x)的值域的子集”来求解参数的取值范围.
评注:如果将例1的条件改为“若存在x1∈[-1,1],对任意x2∈[0,2],都有f'(x1)+2ax1=g(x2)成立”,那么g(x)的值域是h(x)的值域的子集.另外,求解例1的变式的关键是要注意其中的量词.
二、形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”
此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域的交集不为空集”来求解参数的取值范围.
评注:上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型的中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
二、不等式型双变量存在性或任意性问题
1.形如“对任意x1∈A及x2∈B,都有f(x1)<g(x2)成立”
此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)max<g(x)min”或分离参数的办法来求解参数的取值范围.
例3 已知函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,若对于任意x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数k的取值范围.
另解:令φ(x)=8x2+16x,则对于任意x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],都有φ(x1)-k≤g(x2)成立,故k≥φ(x)max-g(x)min=120-(-21)=141,即k的取值范围是[141,+∞).
评注:若把变式中的“|f(x1)-g(x2)|<1”改为“|f(x1)-g(x2)|>1”,则可由f(x)min>g(x)max+1或f(x)max<g(x)min-1去求解实数a的取值范围.另外,在例3的变式中的绝对值符号内所涉及的是两个不同函数,若绝对值符号内所涉及的是同一个函数,那又该怎样转化呢?这方面可参看下文中的例6.
2.形如“存在x1∈A及x2∈B,使f(x1)<g(x2)成立”
此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)max<g(x)max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围.
例4 已知函数f(x)=7x2-28x-a,g(x)=2x3+4x2-40x,如果存在x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],使f(x1)≤g(x2)能成立,求实数a的取值范围.
另解:令φ(x)=7x2-28x,存在x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],使φ(x1)-a≤g(x2)成立,故a≥φ(x)min-g(x)max=-28-102=-130,即a的取值范围是[-130,+∞].
解析:根据例3的变式,
评注:若把变式中的“|f(x1)-g(x2)|<1”改为“|f(x1)-g(x2)|>1”,则可由f(x)max>g(x)min+1或f(x)min<g(x)max+1去求解实数a的取值范围.
3.形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立”
此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)max<g(x)max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围.
评注:在例5中既出现了“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立”类型,也出现了“存在x1∈A,对任意x2∈B,都有f(x1)<g(x2)”类型.此外,基于上述转化策略,若出现“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得k+f(x1)<g(x2)成立”类型,则应转化为“k<g(x)max-f(x)max”;若出现“存在x1∈A,对任意x2∈B,都有k+f(x1)<g(x2)成立”类型,则应转化为“k<g(x)min-f(x)min”;若出现“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)+g(x2)<0成立”类型,则应转化为“f(x)max<[-g(x)]max”.
4.形如“对任意x1∈A及x2∈A,都有|f(x1)-f(x2)|<M成立”
此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)在区间A上的最大值与最小值之差小于M”来求解参数的取值范围,当然,此种类型中的“M”可以是常数,也可以是关于参数的代数式.
变式1:已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(a<-1),若对于任意x1∈(0,+∞)及x2∈(0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立,求实数a的取值范围.