不等价条件

2024-09-22

不等价条件（精选6篇）

不等价条件篇1

一、预备知识

我们先来回顾下有关可测集的有关概念.

定义1 设E为Rn中任一点集, 对于每一列覆盖E的开区间 $\cup_{i = 1}^{\infty}$ Ii⊃E, 作出它的体积总和μ= $\sum_{i = 1}^{\infty}$ |Ii| (μ可以等于+∞, 不同的区间列一般有不同的μ) , 所有这一切的μ组成一个下方有界的数集, 它的下确界 (由E完全决定) 称为E的勒贝格外测度, 简称L外测度或外测度, 记为m*E, 即m*E= $\inf_{E \subset \cup_{i = 1}^{\infty} Ι_{i}} \sum_{i = 1}^{\infty}$ |Ii|.

定义2 设E⊆Rn, I为开区间, E⊆I, 而{In}是一串开区间, 且I-E⊆ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ In, 即I- $\sum_{n = 1}^{\infty}$ In⊆E, 称m*E=sup{|I|- $\sum_{n = 1}^{\infty}$ |In|}为E的内测度.

定义3 设E为Rn中任一点集, 如果对于任一点集T都有 $m^{*} Τ = m^{*} (Τ \cap E) + m^{*} (Τ \cap \bar{E})$ , 则称E是L可测的.这时E的L外测度m*E即为E的L测度, 记为mE.

二、等价条件

下面我们给出几个有关可测集的等价条件.

定理1 集合E可测的充要条件是对于任意 $A \subset E ‚ B \subset \bar{E}$ , 总有m* (A∪B) =m*A+m*B.

证明必要性:取T=A∪B, 则 $Τ \cap E = A ‚ Τ \cap \bar{E} = B$ , 所以 $m^{*} (A \cup B) = m^{*} Τ = m^{*} (Τ \cap E) + m^{*} (Τ \cap \bar{E}) = m^{*} A + m^{*} B .$

充分性:对于任意T, 令 $A = Τ \cap E ‚ B = Τ \cap \bar{E}$ , 则 $A \subset E ‚ B \subset \bar{E}$ , 且A∪B=T, 因此 $m^{*} Τ = m^{*} (A \cup B) = m^{*} A + m^{*} B = m^{*} (Τ \cap E) + m^{*} (Τ \cap \bar{E})$ .证毕.

定理2 设E为Rn中任一有界点集, 则

(1) E可测充要条件∀ε>0, ∃开集G⊇E, 使m* (G-E) <ε.

(2) E可测充要条件∀ε>0, ∃闭集F⊆E, 使m* (E-F) <ε.

证明 (1) 必要性:当mE<∞时, 对于任意ε>0, 存在一列开区间{Ii}, i=1, 2, …, 使 $\cup_{i = 1}^{\infty}$ Ii⊃E, 且 $\sum_{i = 1}^{\infty}$ |Ii|<mE+ε.令G= $\cup_{i = 1}^{\infty}$ Ii, 则G为开集, G⊃E, 且mE≤mG≤ $\sum_{i = 1}^{\infty}$ mIi= $\sum_{i = 1}^{\infty}$ |Ii|<mE+ε, 因此mG-mE<ε, 从而m (G-E) <ε.

当mE=∞时, E总可表为可数个互不相交的有界可测集的和;E= $\cup_{n = 1}^{\infty}$ En (mEn<∞) , 对每个En应用上面结果, 可找到开集Gn, 使Gn⊃En且 $m (G_{n} - E_{n}) < \frac{ε}{2^{n}}$ .令G= $\cup_{n = 1}^{\infty}$ Gn, G为开集, G⊃E, 且G-E= $\cup_{n = 1}^{\infty}$ Gn- $\cup_{n = 1}^{\infty}$ En⊂ $\cup_{n = 1}^{\infty}$ (Gn-En) .因此m (G-E) ≤ $\cup_{n = 1}^{\infty}$ m (Gn-En) <ε.

充分性:对于任何正整数n, 由条件存在开集Gn⊃E, 使 $m^{*} (G_{n} - E) < \frac{1}{n}$ .令G= $\cap_{n = 1}^{\infty}$ Gn, 则G是可测集, 又因 $m^{*} (G - E) \leq m^{*} (G_{n} - E) < \frac{1}{n}$ , 对一切正整数n成立, 因而m* (G-E) =0, 即M=G-E是一零测度集, 故也可测.由E=G- (G-E) 知E可测.

(2) 必要性:因为E可测, 所以 $\bar{E}$ 也可测, 所以对任意ε>0有开集 $G ‚ G \supset \bar{E}$ , 且 $m (G - \bar{E}) < ε$ .因 $G - \bar{E} = G \cap E = E \cap \bar{\bar{G}} = E - \bar{G}$ , 令 $F = \bar{G}$ , 则F是闭集, 且 $m (E - F) = m (G - \bar{E}) < ε .$

充分性:由条件对任何正整数n, 存在闭集Fn⊂E, 使 $m^{*} (E - F_{n}) < \frac{1}{n}$ .令F= $\cup_{n = 1}^{\infty}$ Fn, 则F是可测集且F⊂E.由于对一切正整数n, 有 $m^{*} (E - F) \leq m^{*} (E - F_{n}) < \frac{1}{n}$ .故m* (E-F) =0, 所以E-F是可测集.因此E=F∪ (E-F) 是可测集.证毕.

定理3 设E为Rn中任一有界点集, E是可测集的充要条件是∀ε>0, ∃开集G⊇E及闭集F⊆E, 使m (G-F) <ε.

证明必要性:设E可测, 即有m*E=m*E, 由m*及m*的等价条件, 有 $\inf {\frac{m G}{E} \subseteq G ‚ G$ 开集} $= \sup {\frac{m F}{E} \supseteq F ‚ F$ 闭集}.由上、下确界的定义知, ∀ε>0, ∃开集G⊇E, 使 $m G < m^{*} E + \frac{ε}{2} ‚ \exists$ 闭集F⊆E, 使 $m F < m_{*} E - \frac{ε}{2} .$

从而F⊆F⊆G, 且 $m G - m F < (m^{*} E + \frac{ε}{2}) - (m_{*} E - \frac{ε}{2}) = ε .$

而m (G-F) =mG-mF, 所以m (G-F) <ε.

充分性:设∀ε>0, ∃开集G⊇E及闭集F⊆E, 使m (G-F) <ε.

由于G⊇F, 从而mG-mF<ε.

又因 $m^{*} E = \inf {\frac{m G}{E} \subseteq G ‚ G$ 开集},

$m_{*} E = \sup {\frac{m F}{E} \supseteq F ‚ F$ 闭集},

于是由上下确界的意义知mF≤m*E≤m*E≤mG, 0≤m*E-m*E≤mG-mF<ε.

由ε的任意性, 有m*E=m*E, 即E可测.证毕.

参考文献

[1]程其襄, 张奠宙.实变函数与泛函分析基础 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2005:60-61.

[2]张喜堂.实变函数论的典型问题与方法[M].武汉:华中师范大学出版社, 2000:99-105.

[3]魏国强, 胡善文.实变函数与泛函分析学习指导[M].北京:高等教育出版社, 2005:50-52.

不等价条件篇2

随机线性系统依概率稳定的若干等价条件

在系统分析与设计时,需要对系统的动态行为有所了解.为此,讨论了It微分方程描述的线性随机系统依概率稳定性问题.借助Cauchy矩阵,利用测度的单调性与连续性,得到了该类系统在概率意义下的稳定性,包括稳定、一致稳定、渐近稳定和全局稳定的`若干充要条件,这些条件只与Cauchy矩阵的有界性和吸引性有关.

作者：廖伍代沈轶廖晓昕作者单位：华中科技大学控制科学与工程系刊名：华中科技大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY(NATURE SCIENCE)年，卷(期)：30(7)分类号：O231.13关键词：It 随机微分方程依概率稳定测度连续与单调

不等价条件篇3

一、均值不等式

1. a,b∈R,a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).

推论:a,b∈(0,+∞),a+b≥2(当且仅当a=b时取“=”).

2. 变形:对a,b∈R,积向平方和转化:a•b≤;对a,b∈R,积向和平方转化:a•b≤2.

注:这里有“最值定理”:若x•y∈(0,+∞),x+y=s,xy=p,则x+y≥2xy≤2.运用此定理求最值时必须具备“一正,二定,三相等”这三个条件.

3. a,b,c∈(0,+∞),a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取“=”).

推论:a,b,c∈(0,+∞),a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时取“=”).

4. 变形:对a,b,c∈(0,+∞),abc≤3.

二、巧用均值不等式求解最值问题

1. 变换

例1 实数a,b满足+=2,求a+b的最大值与最小值.

解 2=+≥,所以-≤a+b-7≤-+7≤a+b≤+7,当且仅当3(a-4)=4(b-3)时,等号成立.

综合条件,得a=4+,b=3+及a=4-,b=3-时,(a+b)max=+7,(a+b)min=-+7.

评析在例1的解题过程中,核心是对“若m,n∈(0,+∞),a,b∈R,则+≥(当且仅当an=bm时等号成立)”的讨论.这一变换不等式的运用,将两个孤立的变量联系起来,从而求得最值.此题出现的变换式较均值不等式本身变形较多,一般不易想到,这也就要求同学们在平时的阅读、解题中多尝试、多积累,必要的也要加以记忆,才能在万变的题海中以敏锐的嗅觉找出解题良策.

2. 拆项和添项

例2a 求函数y=(x∈R)的最小值.

解 y=+=++≥+2•≥•+=,当且仅当=,=,即x=0时,等号成立,所以ymin=.

例2b 已知x,y为正数且4x+y=30,求+的最小值.

解由条件1=(4x+y),

所以+=(4x+y)+≥+×

2=,当且仅当=,即x=5,y=10时,等号成立,此时+取得最小值.

评析在例2a的求解过程中,直接利用y==+≥=2,当且仅当=,即x2=-4时等号成立,是不可能实现的,也就是说等号不能成立.由本题出发,我们观察到在运用均值不等式出现等号不成立的情况下,拆项法可以快速解决此类问题,使不等式中的等号得以成立并取得相应的最值;对于添项法,这里我们着重介绍的是“1”的巧妙添加,运用三角函数中构造出的“1”或条件中给出的常数,将其乘在不等式的一侧,有时将有出其不意的效果.

3. 引参

例3 设0

解引入参数λ>0,有+(sinx+λcosx)=a+bλ+aλcotx+btanx≥a+bλ+2=(+)2,

于是有+≥=≥,当且仅当aλcotx=btanx①,sinx+λcosx=②时,取等号.

由①,tan2x=,

由②,sin2x+λ2cos2x+2λsinxcosx=1+λ2,即λ2sin2x+cos2x-2λsinxcosx=0,所以(λsinx-cosx)2=0,故tanx=.

所以+≥=(+),即当tanx=时,函数取得最小值ymin=(+).

评析本题借助求“y=+,a,b>0,0

三、延伸:巧用均值不等式的成立条件求解最值问题

均值不等式a+b≥2(a,b≥0)指出:若两正数和为定值,那么当且仅当两数相等时,成积取最大值.换言之,若两正数和为定值,当两数之差为零时,两数之积最大.由此我们想到若把一个正整数拆分成两个正整数之和,那么这两个整数之差越小(大数减小数),它们的乘积就越大.如x,y∈N,x+y=c,x-y=d(x≥y),xy=•=,易见d越小xy值越大.当d=0时xy取最大值,此即为均值不等式揭示的结论;若c不能分解为两个相等的正整数之和,当d=1时,xy取最大值.上述结论即是说当把一个正整数分解为相等或相邻的两个整数之和,它们的乘积最大.循此思路,若把一个正整数分解成若干个(个数不限)正整数之和,我们猜想:当这些被拆分的正整数越接近时它们的乘积越大,当它们相等时乘积最大.

例4 用长度分别为1,2,3,4,5的5根细棒围成一个三角形(允许连接但不许折断),求能够得到三角形的最大面积.

解由海伦公式,设三角形的半周长为l,则面积s=,当周长一定时,三边长越接近面积越大,当三边相等时面积最大.

所以面积最大的三角形的三边应该这样构成:1+4,2+3,5.从而smax=.

以上总结了一些求解最值的巧妙方法旨在帮助同学们系统归纳,拓展思维、灵活解题.当然求解最值还有其它的方法,如:不等式,函数单调性,数形结合等,本文就不再一一详解了,有兴趣的同学可以自己进行归纳、总结,锻炼自身的数学思维与解题能力.

1. 设a,b,c∈(0,+∞),试证:++的最小值为++.

2. 求函数f(x)=ex+e-x+(x∈R)的最小值.

3. 设三角形三边长分别为a,b,c且周长为p.求证:++≤.

1. 提示:恰当利用变式“若a,b>0,则≥2a-b当且仅当a=b时等号成立”.

不等价条件篇4

一、不等价条件对非货币性资产交换会计处理的影响

(一) 资产交换类型的认定

非货币性资产交换是相对与货币性资产交换而言的, 该交换一般不涉及货币性资产, 或只涉及少量货币性资产即补价, 通常是以存货、固定资产、无形资产、长期股权投资等货币性资产进行交换。对涉及少量货币性资产的交换是否以“非货币性资产交换”进行认定, 现行准则规定以补价占整个资产交换金额的比例即补价比率是否低于25%作为参考, 当比率低于25%时, 视为非货币性资产交换;高于25% (含25%) 视为货币性资产交换。其具体计算公式如下 (符合公允价值计量条件) :对支付补价方, 补价比率=补价/ (补价+换出资产公允价值) ;对收取补价方, 补价比率=补价/换出资产公允价值。

理论上从两方计算出的补价比率是相等的, 因为在等价交换条件下补价+支付补价方换出资产公允价值=收取补价方换出资产公允价值, 而在复杂的实际经济活动中, 交易双方受某些因素的影响, 如一方急需转出某项资产获得到对方的某项资产, 为使交换能够顺利实现, 大多数情况下收取补价方会做出让步, 即在这种情况下就会出现不等价的非货币性资产交换, 也就是说补价+支付补价方换出资产公允价值≠收取补价方换出资产公允价值≠支付补价方换入资产公允价值, 这时同一笔交易在计算补价比率时由于分子相同分母不同便会出现两个不同的结果, 进而可能一方认定为非货币性资产交换, 而另一方则认定为货币性资产交换。显而易见, 这种矛盾情形的出现影响了货币资产交换类型的认定。

(二) 换入资产成本的确定

根据企业会计准则规定, 非货币性资产交换具有商业实质, 并且公允价值能够可靠计量的, 应当以换出资产的公允价值和应支付的相关税费作为换入资产的成本, 除非有确凿证据表明换入资产的公允价值比换出资产的公允价值更加可靠。对涉及补价的情况, 对于支付补价方, 换入资产成本=换出资产公允价值+补价+应支付的相关税费;对于收取补价方, 换入资产成本=换出资产公允价值—补价+应支付的相关税费, 所以我国现行准则中换入资产公允价值以换出资产公允价值为基础, 即以“以出定入”的方法确定换入资产成本, 防止资产的虚增。

在等价交换下, 对支付补价方, 换入资产的公允价值=换出资产公允价值+补价;对收取补价方, 换入资产的公允价值=换出资产公允价值—补价, 但是在不等价交换条件下, 上述等式已不再成立, 若仍按“以出定入”方法核算, 换入资产成本确认的基础不再是换入资产的公允价值, 也就是说同一项资产发生转移后计算入账价值时的基础与该资产自身公允价值出现差异, 无法真实反映换入资产的真实市场价值, 违背会计信息的相关性原则, 同时对于该项换入的资产, 也影响后期计量的准确性。

(三) 非货币性资产交换损益的确认与计量

在以公允价值计量的情况下, 无论是否涉足补价, 只要换出资产的公允价值与其账面价值不等, 就会涉及损益的确认, 非货币性资产交换损益通常是换出资产公允价值与账面价值的差额, 通过非货币性资产交换予以实现, 具体如下:换出资产为存货的, 应视同销售处理, 按公允价值确认销售收入并相应结转销售成本;换出资产为固定资产、无形资产的, 换出资产公允价值与账面价值的差额计入营业外收入或营业外支出;换出资产为长期股权投资的, 换出资产公允价值与账面价值的差额计入投资收益。以上这部分损益是资产交换过程中发生的处置损益, 而在不等价交换条件下, 一般都是补价小于换入资产公允价值与换出资产公允价值的差额的情况, 少支付 (少收取) 的补价也会影响非货币性资产交换损益, 这部分损益是少收取补价方为保证交换的顺利完成、达到企业综合经济利益最大化而做出的让步, 与前面的处置损益具有本质不同, 该情形下少收取的补价具有债务豁免的性质。鉴于此, 现行准则未对这两类损益分别反映是不完善的, 无法对相关信息使用者提供更科学、有用的信息。

二、非货币性资产交换与债务重组的相似性分析

(一) 内在本质相似。

企业进行非货币性资产交换通常出于以下两方面的考虑, 一是资产重组, 二是一定程度上减少现金流出。企业决策者从自身经济利益出发, 通过交换可以实现资源的整合, 提高资产的效用。而债务重组中债务人可直接解除资金周转困难, 债权人也在该过程中将应收账款等债权性资产转换为现金、非现金资产等实物资产。故从本质上看, 两者都属于“资产重组”, 均可以实现资产的合理流动和重新整合。

(二) 计量属性相似。

现行会计准则规定债务重组中转出资产以公允价值计价, 而对非货币性资产交换换出资产视具体情形可能以公允价值计量, 也可能以账面价值计量。但随着市场经济的发展, 相应制度、体系的不断完善, 依赖于公平、成熟市场环境的公允价值不仅易于可靠地获取, 而且对价值信息的反映更加准确, 并且在公允价值计量属性快速发展的趋势下, 新准则将逐渐确立公允价值在非货币性资产交换中的计量主体地位。

而不等价条件下的非货币性资产交换中的根本在于少支付 (或少收取) 的补价, 即相当于一方对另一方债务的豁免, 这就进一步深化了不等价条件下非货币性资产交换与债务重组的相似性。通过对以上两者相似性的分析发现, 债务重组原理对完善非货币性资产交换会计处理具有重大借鉴意义。

三、利用债务重组原理对不等价下非货币性资产交换会计处理的完善

(一) 资产交换类型认定中所用“整个资产交换金额”的确定

由于在不等价条件下非货币性资产交换中的交易双方对“整个资产交换金额”的确认存在差异, 可能出现双方对资产交换类型认定相矛盾的情形。所以解决此问题的关键是保证“整个资产交换金额”的一致性。针对这一现象, 相关学者也曾提出过处理意见, 如运用统计思想规定以收取补价方换出资产的公允价值与支付补价方换出资产公允价值加上补价的和两数值的均值作为基础。笔者认为, 整个资产交换金额应当是收取补价方换出资产的公允价值与支付补价方换出资产公允价值加上补价的和两数值中的较高者, 一般情况下是收取补价方换出资产的公允价值, 从本质上看这才是交换过程中的实际总交换金额, 因为在不等价条件下补价小于应付补价 (在等价交换条件下支付补价方换入资产与换出资产公允价值的差) , 而少支付补价实质上是收取补价方做出的让步, 具有债务豁免的性质, 故补价是不公允的, 进而支付补价方换出资产公允价值与补价的和也是不公允的, 但收到补价方换出资产的公允价值并未受到任何影响。

(二) 换入资产成本以其公允价值为基础确定入账

不等价下的非货币性资产交换在具有商业实质且换入资产的公允价值能够可靠计量的情况下, 换入资产的入账价值一律按其自身公允价值入账, 不论换出资产公允价值是否能够可靠计量, 即放弃“以出定入”的方法, 这将使相关核算更加简捷与科学。原因是既然换入资产的公允价值已经能够可靠计量, 其入账成本自然应以其自身公允价值为基础, 而在不等价下由于补价的不公允导致支付补价方换出资产公允价值与补价的和不再等于换入资产自身的公允价值, 只有当换入资产的公允价值无法可靠计量才仍然以换出资产的公允价值为基础进行计量以规避换入资产价值突变的不合理情况。事实上现行准则规定债务重组中以非现金资产清偿债务时债权人对收到的非现金资产是以其公允价值入账, 这对不等价条件下非货币性资产交换中换入资产成本的确定方法的改善提供了科学、有据的理论基础。

(三) 确认不等价交换条件下非货币性资产交换利得或损失

针对前述的非货币性资产交换过程损益的确认与计量中的问题, 结合债务重组原理, 笔者认为应当将非货币性资产交换中的损益分为两部分分别进行记账。一部分是资产交换过程的处置损益即交换资产的公允价值与账面价值的差额, 计入当期损益, 换出资产为存货、固定资产、无形资产、长期股权投资的具体处理方法前文已述;另一部分损益是少支付的补价, 即不等价条件下的实付补价与等价交换条件下的应付补价的差额, 计入营业外收入或营业外支出, 明细科目为非货币性资产交换利得或损失, 鉴于债务重组中债务人以非现金资产清偿债务的, 债务人应当将重组债务的账面价值与转让的非现金资产的公允价值之间的差额确认为债务重组利得。通过分别核算企业会计信息更加清晰准确, 进一步符合会计信息质量的相关性和可理解性, 从而有利于信息使用者做出合理的经济决策。

四、完善后的不等价下非货币性资产交换会计处理案例运用

假设有A、B两个公司, A公司决定以账面价值为50万元、已计提折旧5万元、计提资产减值准备1万元、公允价值为60万元的固定资产机床一台与B公司持有的账面价值为40万元、公允价值为50万元的交易性金融资产进行交换。由于A公司急于处理该机床, B公司仅支付A公司5万元的补价。假定该交易具有商业实质, 暂不考虑相关税费。

该业务中“整个资产交换金额”为MAX[60, 50+5]=60万元, 对A、B两公司来讲, 补价比率均等于8.33% (5/60=8.33%) , 小于25%, 所以认定为非货币性资产交换。

A公司的会计处理如下:

B公司的会计处理如下:

参考文献

[1]刘金芹.浅析不等价交换条件下非货币性资产交换的会计处理[J].中国管理信息化, 2009 (13) .

[2]朱玉广.“非货币性资产交换”与“债务重组”[J].财会通讯, 2011 (13) .

[3]林宗纯.非货币性资产交换认定与计量之我见[J].财会月刊, 2011 (28) .

不等价条件篇5

在中学数学中,函数思想方法,主要体现在根据问题的需要,构造函数模型,从而将所给问题转化为函数问题,利用函数的性质( 如单调性、奇偶性、周期性、图像、最值等) 使问题得以解决. 下面就利用函数思想方法解决不等式问题举出两例:

例1设不等式mx2- 2x - m + 1 < 0对于满足m ≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.

从表面看,这是一个含参数m( - 2≤m ≤2) 的关于的一元二次不等式问题,实质上,本题通过变形化为关于m的一元一次不等式,且已知它的解集为[- 2,2],求参数的取值范围. 用分类讨论思想解法如下:

从以上解法看比较繁琐,利用函数思想可非常容易得出结论:

两种解法对照,显而易见,构造函数法要简明得多.

构造函数法,揭示了两个变量之间的本质联系. 即函数f( x) = ( x2- 1) m - 2x + 1当自变量m在[- 2,2]上取值时对应的函数值f( m) 都小于零( 函数图像在x轴下方) . 依据一次函数的单调性,只要m取两端点值时函数值f( 2) 和f( - 2) 小于零,即满足题意,所以解不等式组

即得出结论.

例2不等式x3-1/2x2-2x + c < c2对任意x∈[- 1,2 ]恒成立,求实数c的取值范围 .

这是一个求不等式中参系数问题,我们可通过构造函数,利用函数性质,将不等式转化得出结论.

解原不等式即为

当x变化时,y',y的变化情况如下表:

从表中可知f( x) 在[- 1,2]上最大值为2.

两个例题,从表面看是两个不同题型,但均可采用函数思想解答. 因为两个问题都反映两个变量间关系. 例1是已知不等式中参系数m的取值范围,求变量x的取值范围,将问题转化为已知函数定义域与函数值域,求待定系数x,不等式化归为关于m的一次函数,利用一次函数单调性得解; 例2是给定不等式中变量x的取值范围,求参系数c的取值范围,化归为函数后,求出函数在定义域内的最大值得关于c的不等式,使问题得到解决.

不等价条件篇6

(式中,In,I′n分别为两个刚体之间的压缩冲量和恢复冲量的大小,v1n,v2n分别是碰撞前两个碰撞点速度沿接触面公法线的投影,v′1n,v′2n分别是碰撞后两个碰撞点速度沿接触面公法线的投影)的等价性条件与外力有关[1].本文拟讨论上述两个公式的等价性条件与二刚体之间的摩擦力的关系,并且,只讨论二刚体的两体碰撞(不受外力作用).

1 碰撞各阶段,刚体角速度的变化

假设:(1)碰撞过程中,因为碰撞时间极短,以致两刚体位置的变化可以忽略不计[2],即刚体的角速度及其各点的线速度发生变化,但刚体的角位移及其各点的线位移为零;(2)碰撞过程中,两刚体之间只有一对接触点;(3)刚体之间存在摩擦力(静摩擦力或动摩擦力).

如图1所示,设系统中第k(k=1,2)个刚体的以质心Ck为原点的固连主轴坐标系为Ckxkykzk,主转动惯量为Ak,Bk,Ck.整个碰撞过程中:沿两个刚体表面的公法线的单位矢量为n,沿两个刚体表面的公切面且通过两碰撞点的任一单位矢量为τ,第k个碰撞点相对于所在刚体质心的位矢为rk.根据假设(1),在碰撞过程中,坐标系Ckxkykzk的各单位矢量和n,τ,rk方向不变.设第k个刚体在压缩过程和恢复过程中受到的压缩冲量和恢复冲量分别为Iknn,I′knn,摩擦力冲量分别为Ikττ,I′kττ.由欧勒动力学方程,对第k个刚体压缩过程,有

根据假设(2)可知:在碰撞过程中的任一极短时间内,刚体的角速度发生突变,但角位移可以忽略不计,也就是说,相对于Δωkz,Δωkx,Δωky来说,ωkzΔt,ωkxΔt,ωkyΔt以至于ωkyωkzΔt,ωkzωkxΔt,ωkxωkyΔt都可以忽略不计.于是,上边方程可以写为

3个方程两边分别除以Ak,Bk,Ck,然后相加,并且定义矢量

则上式可以写为

对第k个刚体的恢复过程,式(5)和(6)不变,但式(7)变为

在整个碰撞过程中,既然刚体位置的变化可以忽略不计,碰撞点对刚体质心的位矢rk始终不变,则恢复过程与压缩过程中的Jkn,Jkτ矢量相等.

设压缩阶段初,刚体1和2的角速度分别为ω01,ω02,压缩阶段末,二刚体角速度分别为ωm1,ωm2;压缩过程中,二刚体受到的压缩冲量分别为I1nn,-I1nn,摩擦力冲量分别为I1ττ,-I1ττ,二刚体上的碰撞点相对于自身质心的位矢分别为r1,r2.则,就压缩阶段的二刚体而言,式(7)可以分别写为

设恢复阶段末,刚体1和2的角速度分别为ω1和ω2;恢复过程中,二刚体受到的恢复冲量分别为I′1nn和-I′1nn,摩擦力冲量分别为I′1ττ和-I′1ττ.则,就恢复阶段中二刚体而言,式(7)可以分别写为

2 碰撞各阶段,两个碰撞点之间相对速度的变化现在对式(9)中两式分别矢乘r1和r2,有

(11)

设压缩阶段初,刚体1和2的碰撞点速度分别为v01和v02,质心速度分别为V01和V02;压缩阶段末,二刚体的碰撞点速度分别为vm1和vm2,质心速度分别为Vm1和Vm2.则用公式v=ω×r+VC改写式(11)二式左端,可以得到

此两式相减,整理得到

设刚体1和2的质量分别为m1和m2,且注意压缩阶段中两个质心的速度变化量分别为

则式(13)变为

其中,k是系统的折合质量.

同理,再设恢复阶段末刚体1,2的碰撞点速度分别为v1,v2,质心速度分别为V1,V2,并且注意恢复阶段中两质心的速度的变化量分别为

则由式(10)中两式可以得到

现在对式(14)两边先同时点乘n(注意(vm1-vm2)·n=0),再同时点乘τ,并且记

则得