材料代换

材料代换（共7篇）

材料代换 篇1

摘要：为加快项目的施工进度, 缩短采购周期, 通过对中美两国关于消防管道、管件的相关标准的比较分析, 得出可以进行材料代换的结论。

关键词：中国,美国,消防管道,球墨铸铁,代换,比较

0 前 言

某项重大工程由中方公司总包, 委托美国西屋公司设计, 仍由中方公司负责施工。但在施工过程中发现地下消防管道系统是按美标设计的, 由于管道及管件材料量较少, 采购难度很大, 根据项目要求, 针对此问题进行材料代换的可行性研究。

1 中美球墨铸铁管道及管件的对比

根据材料代换要求, 材料代换必须至少满足下面三个条件中的两个:①在中国市场上没有合格的供货商;②运输时间太长, 无法满足施工进度要求;③供货数量太少, 供货商不愿提供。

针对消防系统管道及管件的设计情况, 承包商对所有达到美标各项要求的国内铸铁生产厂家进行了调研, 反馈情况为国内无厂家按美标AWWA C151/A21.51-2009生产, 且国外厂商因数量太少而不愿提供, 即满足①、③条件, 因此可以开展管道及管件材料的代换可行性研究。

代换原则:代换材料的性能应与设计材料等同或高于设计材料。

代换注意的方面:机械性能、化学成分、几何形状、试验与测试等。

根据以上代换原则, 从以下五个方面进行比对分析。

1.1 机械性能比较

通过以上对机械性能的比较, GB/T 13295-2008在抗拉强度上略逊于AWWA C151/A21.51-2009和AWWA C153/A21.53-2006, 偏差为1.5%; GB/T 13295-2008在屈服强度上略好于AWWA C151/A21.51-2009和AWWA C153/A21.53-2006偏差为7%;延伸率两者一致。因此, 从机械性能上认为可以代换。

1.2 化学成分比较

球墨铸铁主要特征是其金相结构中碳被球墨化成为团状, 其牌号标明的是机械强度, 由于各个企业铸造球墨铁的工艺和配方不同, 化学组份也会有很大的差异, 对于使用者来说, 重要的是机械特性。因此, 国标中球墨铸铁件没有规定严格的化学成分, 只规定了力学性能。美标也如此, 没有固定化学成分。所以, 省略化学成分比较。

1.3 管道与管件的外形尺寸比较

通过对中美两国球墨铸铁管道、管件 (包括弯头、大小头、三通、承套) 的比较, 外形出入很大, 特别是管件, 充分表现出两国标准的差异性。而这些差异性已超出现场材料代换的范围, 必须与设计人员讨论研究, 并进行合理评估, 协商决定材料代换的可行性。

1.4 冲击试验对比

美标AWWA C151/A21.51-2009要求按照ASTM E23进行Charpy 冲击试验, 对于在21±6 ℃下进行冲击试验, 缺口冲击试件折算合格值最小为9.49J。

国标GB/T 13295-2008中不要求进行冲击试验。为达到美标要求, 厂家特别按照ASTM E23进行Charpy 冲击试验, 测试结果如表3。

通过冲击试验数据, 认为国产球墨铸铁管道及管件已达到AWWA C151试验标准要求。

1.5 其他要求比较 (标准直管允许压力)

国标GB/T 13295-2008中未对覆土厚度做出要求, 因此覆土厚度将按照美标AWWA C151/A21.51-2009标准规定执行。

2 设计方意见

针对消防地下预埋管道及管件的代换申请, 设计方给出了若干意见, 主要包括:①覆土厚度的性能按第五种覆土参数执行, 相应选取国产管道;②认可国产SBR材质的垫片;③认可国产N1型接口压兰;④认可按照AWWA C151进行测试;⑤可石油沥青对国产管道进行防腐处理。

3 总 结

通过对中美两国标准的分析, 认为按国内GB/T 13295-2008标准生产的铸铁管道及管件能满足AWWA C151/A21.51-2009 Ductile-Iron Pipe, Centrifugally Cast球墨铸铁管道和AWWA C153/A21.53-2006 Ductile-iron Compact Fittings for Water Service球墨铸铁管件的性能要求, 对消防系统的地下预埋管道及管件进行国产化代换是可行的。但在代换过程中, 必须注意中美标准不一致的情况, 特别是管件形式、试验标准, 对于在中国规范中不作要求的内容要完全依照相关美国标准的要求执行。在管道及管件代换过程中, 取得设计方的支持与配合是必要的, 这样可以保证代换的正确性, 从而减少不必要的工作。管材代换施工必须有相应的设计变更或升版图纸或技术规范作为依据。管道及管件代换可以节约时间、减少费用, 并提高国产化率, 但务必把安全放在第一位, 一切以安全为中心, 在安全的前提下进行材料代换才能保障项目的顺利进行。

参考文献

[1]GB/T13295-2008, 水及燃气管道用球墨铸铁管、管件和附件[S].

[2]AWWA C151/A21.51-2009, Ductile-Iron Pipe, CentrifugallyCast[S].

[3]AWWA C153/A21.53-2006, Ductile-Iron Compact Fittings forWater Service[S].

“黄金代换”及其应用 篇2

消去等式两边的m得到:GM=gR2

该式称为“黄金代换”.其中G为万有引力常量, R为天体半径, M为天体质量, g为天体表面的重力加速度.

在一般讨论和计算时可认为, 在地球表面上的物体受到的重力和地球对它的万有引力差别很小, 由于在解答有关天体运动问题时使用率相当高, 人们习惯称之为黄金代换式.本文简单介绍一下它的有关应用.

一、推导第一宇宙速度

设质量为m的人造地球卫星在近地表面轨道绕行的速度为V, 则该卫星靠地球对它的引力提供其圆周运动的向心力, 若设地球质量为M, 半径为R, 万有引力恒量为G, 则有, 将黄金代换式代入上式中可得V=, 它是地球表面卫星的最小发射速度和最大环绕速度.

天体运动本身比较复杂, 中学物理只要求学生对天体运动有一定的认识, 能够定量计算理想状态下的天体运动.因此, 黄金代换在理想状态下的天体运动计算就显得很珍贵, 可以在有限的已知量中计算看似毫无关系的其他物理量.

二、确定其他天体的半径

例1:据报道, 最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星, 其质量约为地球质量的6.4倍, 一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N.由此可推知, 该行星的半径与地球半径之比约为 ()

解析:由题意知g'=1.6g, 由黄金代换g=得, 解得R'=2R, 故选B.

三、估算人造卫星的最小周期

设人造卫星在半径为r的轨道上运行的周期为T, 则有, 将黄金代换式g=, 有R=r代入其中得最小周期

四、确定卫星的高度

例2:有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度.已知该单摆在海平面上的周期为T0, 当气球停在某一高度时, 测得该单摆的周期为T, 若把地球视为质量均匀分布的半径为R的球体, 则气球此时离海平面的高度h=______.

解析:设离海平面h高处的重力加速度为g', 由黄金代换g=得gR'=g' (R+h) 2.又单摆的周期为, 同一单摆在不同高度处有T2g'=T02g, 整理得

五、确定同步卫星的高度

地球同步卫星相对于地面是静止的, 与地球自转具有相同的周期.由于它是靠万有引力提供其圆周运动的向心力, 故只能定位于赤道上空某一特定高度处.若设其距地心的高度为r, 地球自转角速度为ω, 则有, 将黄金代换式有ω==入其中得r=, 代入相关数据得r=4.24×107m, 于是卫星距地的高度为h=r-R=3.6×107m.

六、研究卫星的发射和回收

例3:实践证明飞船的运动也遵从开普勒三定律, 实施“神舟六号”飞船的主操作手卢志峰完成操作后, 飞船速度降低并转移到与地球表面相切的椭圆轨道运动.40多分钟后, 飞船成功落地.设飞船先在半径为r的圆轨道绕地运动, 地球半径为R, 地球表面重力加速度为g, 若不计空气阻力, 试给出飞船在返回时运行时间的表达式?

解析:飞船进入大气层后, 在不考虑空气阻力的情况下沿椭圆轨道着陆.设飞船在椭圆轨道上的运行周期为T0, 运用开普勒第三定律得

万有引力提供向心力, 而飞船在转移轨道只运动了上图中实线这半个周期, 因此t=, 再联立黄金代换式g=G

天体运动是中学物理综合性很强的一部分内容, 综合了力学、运动学的相关知识, 如果考虑到地磁场的影响, 那就还有电磁学的内容.由于天体运动只能通过模拟, 或者展开想象来显现物理过程和现象, 这对中学生已经就是一个难点。掌握天体运动, 对其他物理知识也能起到很好的巩固.

用三角代换解决递推问题 篇3

一、求递推数列的通项公式

例1.已知数列{an}中,a1=2,,求{an}的通项公式.

解:令an=tanθ,

例2.已知数列{an}、{bn}满足，且

求数列{an}、{bn}的通项公式.

同理可得

由此猜想:

下面用数学归纳法证明:

(1)当n=1时,猜想显然成立;

(2)假设当n=k(k∈N)时命题成立,即

即当n=k+1时,命题成立,

根据(1)、(2)知对任意n∈N*,得

二、证明不等篇式

例3.已知数列{an}和{bn}满足

求证:对任意非负整数n，有

证明:令

则，因此由数学归纳法可证明,同理可得.

由于,当x∈(0,)时,有sinx

从而，有

三、求迭代函数

记f(n)(x)为f(x)的n次迭代函数.

例4.设f(x)=2x2-1(1≤x≤1),求f(n)(x).

解:设x=cosα,则α=arccosx,

f(1)(x)=f(x)=2cos2α-1=cos2α=cos(2arccosx)

同理可得f(2)(x)=cos(22arccosx),

f(3)(x)=cos(23arccosx),

用数学归纳法可证得:f(n)(x)=cos(2n arccosx).

四、解递推方程

例5.设f(x)=x2-2,试证对任意正整数n,方程f(n)(x)=x的根全是相异实数.

证:先看f(n)(x)=x且x∈[-2,2]时的情形,

当x∈[_2,2]时,令x=2cost,t∈[0,π],

则，

同理可得,,

用数学归纳法可证得:,

于是方程f(n)(x)=x(x∈[-2,2])变为

即2cos(2nt)=2cost,t∈[0，π],

解方程,得.

所以方程f(n)(x)=x在x∈[-2,2]中有2n个不同的实数根

由于f(n)(x)是2n次多项式,方程f(n)(x)=x最多有2n个实数根,故方程的所有根全是相异实数.

五、解决综合问题

例6.三元数组(xn,yn,zn)n,x∈n*由下列关系式确定:

(1)求证:上述作三元数组的过程可以无限继续下去;

(2)能否在某一步,得到的三元数组(xn,yn,zn)满足等式xn+yn+zn=0?

证明:(1)由递推关系式知,只须证明在任何一步所得到的三个数中都不可能出现1或-1.

假设xn+1=±1,则,即,解得xn为无理数,这不可能,所以xn+1≠±1,同理可得yn+1≠±1,zn+1≠±1

(2)因为x1,y1,z1≠0由递推关系式易知

下面用数学归纳法证明:xn+yn+zn=xnynzn·①

当n=1时,猜想显然成立;

假设当n=k(k∈N*)时,等式①成立,

即xk+yk+zk=xkykzk,

令xk=tanα,yk=tanβ,zk=tanγ,

从而a+β+γ=0,或αt+β+γ=±π,

故tan2α+tan2β+tan2γ=tan2αtan2βtan2γ

又xk+1=-tan2α,yk+1=-tan2β,zk+1=-tan2γ,

所以xk+1+yk+1+zk+1=xk+1yk+1zk+1

由上可知,对一切正整数n,等式①成立.

高中数学变量代换解题方法的研究 篇4

一、将变量代换解题方法应用到高中数学中的意义

在高中数学教学中发现, 具有一定的难度的数学知识占据较大部分, 由于数学知识本身就具有较强的逻辑性, 很容易在学习中遇到学习障碍, 更会降低学生学习兴趣, 为解决此类问题, 高中数学在教师应打破常规教学模式, 应用新型教学方法, 如变量代换解题方法, 并将其运用到现实教学中。

在利用变量代换解题方法的过程中, 最重要的部分就是让学生掌握代换方法, 随着变量代换解题方法的运用, 不仅让复杂的解题思路变得简单化, 还有效降低了解题难度, 让学生可以顺利解决问题, 调动了学生学习数学知识的兴趣。但同时也要注意到一些高中数学知识内容还存在难度较高的题目, 学生自主解题能力较差, 因此, 教师在日常教学中应多应用变量代换解题方法, 引起学生的学兴趣[1]。在教学中发现, 利用变量代换解题方法解决相对复杂的不等式知识效果很好, 由此可见, 正确运用变量代换解题方法可以有效提升学生的解题速度。

二、不同变量代换解题方法在高中数学中的运用

1. 三角变量代换

对于三角变量代换解题方法来说, 多用于解决积分, 在现实生活中的运用也十分广泛, 它主要是利用了三角恒等知识来解题的[2]。利用三角变量代换就是用合适的三边代换或三角代换, 让代数问题变为三角函数问题, 这样既能简化证明, 还可以顺利将问题解决。

如已知a+b≤r (2a+b) , (a, b为任意数) , 求r的取值范围。

为解决该问题, 教师可以先与学生共同分析题目, 让学生根据现有条件并结合所学知识解题, 在学生自行解题以后, 教师再对其解题中存在的不足进行讲解。该题目的解题思路很清晰, 可以先让不等式两端分别除以b, 进而取得a/b+1≤r[2 (a/b) +1], 然后运用变量代换, 取得a/b= (1/2) tanz (0<z<90°) , 学生在看到该步的时候就会知道接下来该如何解题, 最后得知r≧3。这样就完成了解题。

2. 函数变量代换

函数应该是很多高中学生最不愿学习的内容, 其原因在于函数知识过于抽象, 不易理解, 这些都是影响解题难度的重要因素, 这样一来就使很多学生不了解应该怎样解题, 经常会增加不必要的解题步骤, 影响了学生解题速度与准确性。同时, 不少函数题目并不是单纯的仅有一种等式, 基本都是涵盖了多种等式知识, 这也是学生在学习数学知识中最常见的问题。为提升学生的函数解题速度, 教师就要发挥自身的引导作用, 让学生快速掌握解题技巧, 尤其是要注意变量代换解题方法的运用, 这样不仅可以让函数等式更为简化, 还可以有效降低解题难度, 让学生对函数知识学习产生兴趣。

3. 导数变量代换

导数也是高中学生重点学习内容之一, 通过对数学知识研究可以发现, 每种数学知识都不是独立存在的, 都与其他知识相关联, 具有一定的高效与统一性, 要解决好数学问题, 就要注意与各个知识的联系, 将所有知识综合在一起。对于导数知识学习来说, 最重要的就是认识到学习的意义所在, 不仅要认识到几何意义, 还要认识到物理知识。很多学生在学习这部分知识的过程中所了解到的基本都是表面知识, 很少设计深层次研究, 更无法全面深入的分析, 这样并不利于解题的顺利进行。针对这种情况, 教师在让学生运用导数变量代换解题方法的过程中国, 应注意以下几个问题:第一, 具有函数性质的导数;第二, 具有隐函数的导数;第三, 积分函数导数[3]。

通过以上研究得知, 变量代换解题方法是高中数学解题中一种较为有效的方法, 不仅可以有效提升学生的解题速度, 还能让学生对数学知识学习产生兴趣。本文研究了将变量代换解题方法运用到高中数学教学中的意义, 并提出了三种变量代换解题方式, 希望能为高中数学教师带来有效参考, 做好高中数学教学工作。

摘要：高中数学一直是学生学习遇到问题最多的部分, 由于高中数学是高考主要科目之一, 所以, 怎样做好高中数学教学就成为所有高中数学教师重要研究问题。在实际教学中发现, 很多学生都不能正确理解与学习函数知识, 更不了解解题方法, 针对这种情况, 不少高中数学教师将变量代换解题方法应用进来, 有效提升了学生快速解题能力。本文将从将变量代换解题方法应用到高中数学中的意义入手, 重点研究不同变量代换解题方法在高中数学中运用的方式。

关键词：高中数学,变量代换,解题方法

参考文献

[1]沈小芳.代换法在高中数学解题中的应用[J].考试周刊, 2015, 25:38-39.

[2]李玉莲.代换法在高中数学解题中的巧妙应用[J].数理化学习, 2015, 06:8.

材料代换 篇5

二、简单无理式积分的一类有用的变量代换

于是,

是t的代数有理式, 可以积分为有限形式.

于是,

是t的代数有理式, 总可以积分为有限形式.

是t的代数有理式, 总可以积分为有限形式.

解法1 (用三角代换) :

解法2 (用欧拉第一代换) :

解法3 (用本文的代换) :

验算同解法1.

解法1 (用三角代换) :

该积分要用万能代换化成代数有理式才有可能积分出来, 此处略 (见附录) .

解法2 (用欧拉第二代换) :

该积分积出来也非易事 (见附录) , 此处不再继续计算下去.

解法3 (用本文的代换) :

本例已凸显出本文所给代换的优势.

三、结论

三角代换是处理简单二次根式积分常用的工具, 但是, 三角代换只能将简单无理式化为三角有理式, 如果不像例1那样凑巧的话, 化成三角有理式后, 有时还不得不使用万能代换将其化为代数有理式.本文所给出的一类代换则可直接将某些简单无理式的积分直接化为代数有理式的积分.

变量代换在中学数学解方程的应用 篇6

变量代换又称换元法、辅助元素法.通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来, 隐含的条件显露出来, 或者把条件与结论联系起来变为熟悉的形式, 把复杂的计算和推证简化.

1.局部换元

又称整体换元法, 是在已知或者未知中, 某个代数式几次出现, 而用一个字母代替它从而简化问题, 有时候要通过变形才能发现.

分析:本题若直接求y在x的某个取值范围的单调性, 难度很大, 但仔细观察题目结构x2+4%姨 , 出现二次, 用局部换元法, 令t= x2+4%姨 , 则原方程变为常见的函数, 通过观察图像很容易得出F (t) 的单调性.

小结:观察题目结构, 找出可换元的对象是局部换元法的关键, 以下题型常常用到局部换元法:1F (f (x) ) =g (x) , 通常令t=f (x) , 再用t表示x, 即x=h (x) , 再把t=f (x) 和x=h (x) 代入F (f (x) ) =g (x) 中达到换元的目的, 得到F (x) 的解析式.

2根式函数F (x) =f (x) +g (x) , 其中f (x) 或g (x) 为根式函数.若f (x) 和g (x) 之间存在某种联系, 则令t=f (x) (或t=g (x) ) ;若需去除根号, 则将t=f (x) (或t=g (x) ) 两边平方, 化为关于t的两次函数.

2.三角换元

应用于去根号, 或者变换为三角形式易求时, 主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.

例2:已知x2+y2-2x-2y+1=0, 若x, y为实数时, 均有x+y-k≥0, 求k的最大值.

分析:所给的方程为圆方程, x, y互相影响, 为两个变量.本题看似很难下手, 但因为圆方程有三角函数表示形式, 利用三角变换x-1=cosθy-1=sin≥θ, 则x+y-k≥0就变为cosθ+sinθ+2-k≥0, 只有θ为一个自变量, θ∈[0, 2π], 则易求k的最大值.

小结:三角换元常常应用在解答圆, 椭圆, 双曲线等几何方程的问题上, 常见的三角换元方法:1若x2+y2=a2, 则可作变

需根据题目注意以上变换θ的取值范围.

3.均值换元

当题目中的题设条件出现类似于x+y=2k的条件时, 我们就可以把x, y分别设为x=k+t, y=k-t (k, t均为实数) 解题, 这种换元法就叫做均值换元法.

例3:△ABC的三个内角A, B, C满足A+C=2B,

分析:由已知“A+C=2B”和三角形内角和为180°的性质, 可得A+C=120°B=60∈°则进行均值换元, 设A=60°+αC=60°-∈α, 再代入可求cosα, 即cosA-C2.

小结:均值换元法常常容易被中学生忽视, 但是在解决某些问题时, 运用均值换元法可以高效、便捷地解答题目.题目中若出现形如a1+a2+a3+…+an=k, 往往作均值换元an=a0+tn, an-1=

无论在中学数学教材、训练复习题还是在中、高考真题中, 我们都能看到变换法的广泛应用.熟悉掌握各种变换方法有利于学生快速、便捷地解答题目.数学家说“数学解题的本质就是把一个未解决的问题转化成一个已经解决的问题”, 把未知问题和已知问题联系起来是数学家波利亚在著作《怎样解题》中所强调的.我们只有有意识地应用数学思想方法分析问题、解决问题, 形成数学能力, 提高数学素质, 才能具有数学的头脑和眼光.

参考文献

[1]汤永东.变换思想在初中数学教学中的应用[J].浙江省象山县高塘学习.

对等价无穷小代换求极限的探讨 篇7

常用的等价无穷小:

分析显然本题利用洛必达法则求解得到的结果是正确的. 解法2中, 尽管当x→0时, sinx ~ x, 但x - sinx ~ x x不成立, 错误在于忽略了等价无穷小在和差中不能直接替换这一性质.

例1给我们提出了一个问题: 什么情况下可以利用等价无穷小代换来求解呢?课本中强调: “等价无穷小代换法则只在乘除情况下可以使用, 在和差情况下不能随意使用”, 下面对这一结论进行进一步探讨.

定理1设α, β, α', β', γ为自变量在同一变化过程中的无穷小量.

( 1) 若α ~ α', 则limαγ = limα'γ;

( 2) 若α ~ α', β ~ β', 且limα'/β'存在,

则limα/β= limα'/β';

( 3) 若α ~ β, β ~ γ, 则α ~ γ.

定理说明求两个无穷小量之比的极限时, 分子分母可用等价无穷小量来替换, 选择恰当的无穷小量进行替换, 可以使计算简便.

定理2设α, β, γ, α', β', γ' 为自变量在同一变化过程中的无穷小量.

( 1) 若α ~ α', β ~ β', 且limα/β= c ( c≠ - 1) , 则α +β ~ α' + β';

( 2) 若α ~ α', β ~ β', 且limα/β= c ( c≠1) , 则α - β~ α' - β'.

( 2) 证明方法与 ( 1) 类似, 从略.

定理3设α, β, α', β' 为自变量在同一变化过程中的无穷小量.

( 1) 若α ~ α', β ~ β', 则limαβ= lim (α') β';

( 2) 若α ~ α', 则ln ( 1 + α) ~ ln (1 + α') ;

( 3) 若α ~ α', γ ~ γ', 且limγ = ∞, 则lim (1 + α) γ=lim (1 + α') γ'.

从以上定理和例题的分析中可以看出, 利用等价无穷小替换的方法解决函数极限问题, 可以使计算更加简便. 但需要注意的是应用上述定理是要建立在各项都是在某个变化过程中的无穷小这个基础上, 并且在使用定理之前一定要判断清楚题目适用于哪种类型的法则, 如果不满足上述几种法则的要求, 可通过分解、通分等方法把所求极限等价变形为满足法则要求的极限函数, 再进一步求解.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社, 2001.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.