台风债券定价

台风债券定价（共4篇）

台风债券定价 篇1

一、引言

台风是影响我国社会和人民生活的主要自然灾害之一, 给人民生活和社会发展带来巨大损失。多年来, 如何有效分散台风风险、弥补台风造成的经济损失一直是社会各界努力解决的问题。台风灾害损失幅度大的特点使得仅仅依靠保险市场已无力分散这部分巨大的损失, 进而学者们把目光转向了资金实力雄厚、分散能力更强的资本市场。台风债券是一种保险连接证券, 其付息或者还本与事件发生与否及损失程度相连, 即只有当灾害发生且造成损失满足触发条件时, 债券投资者才会损失利息或本金。作为一种巨灾衍生产品, 台风债券相当于在资本市场与保险公司之间签定的一份再保险合同, 有利于保险公司利用较为成熟的再保险方面的经验进行市场操作, 受到保险公司的欢迎, 同时因为具有明显的零贝塔特性, 台风债券等巨灾债券的产生丰富了资本市场的投资选择, 受到广大投资者的追捧。

本文在借鉴前人研究的基础上, 首先对我国台风损失分布进行拟合, 在对台风直接经济损失分布和年台风发生次数分布拟合的基础上, 建立台风年聚合损失模型。分析比较了现有债券定价模型, 以WANG双因素定价变换模型为基础, 利用拟合的结果, 对我国台风债券的定价进行实证分析, 同时根据实证结果为我国台风债券的发行提出了相关的政策与建议。

二、我国台风损失分布拟合

(一) 台风直接经济损失分布的拟合

1.数据的收集

为准确估计我国台风巨灾损失发生的概率, 本文收集了我国1991~2011年全部台风损失数据作为分析样本, 剔除掉0值个体, 为了消除时间对损失额价值的影响, 选择了比CPI指数更为合理的GDP平减指数将损失数据调整到以2011年为标准的水平上。

2.描述性统计分析

为我国1991~2011年台风损失的统计分布见表1。

3.台风直接经济损失的选择与拟合

由表1可知, 台风直接经济损失样本数据偏度为4.775, 分布为左偏斜, 峰度30.113, 数据集中于单侧极端, 尾部分散。

假设直接经济损失为连续型变量, 选取帕累托分布、伽马分布、对数正态分布、威布尔分布, 利用SPSS制作P-P检验图, 结果如图1所示。

注:上左为对数正态分布, 上右为伽马分布, 下左为帕累托分布, 下右为威布尔分布。

根据P-P检验图的结果可知, 伽马分布与威布尔分布的拟合效果较好, 进一步采用极大似然估计法估计参数, 借助K-S法进行拟合优度检验, 确定最适合概率分布函数, 结果见表2。

由表2可知, 伽马分布拟合优度检验效果最好, K-S检验5%的显著性水平上P值=0.7214>0.05, 确定伽马分布Gamma (0.8413, 64.7553) 为直接经济损失的统计分布。

(二) 台风年损失次数分布

1.数据的收集与参数估计

精算学中通常用泊松分布来描述台风发生次数的概率分布, 本文采用1991~2011年我国的年台风次数对其参数λ进行极大似然估计。设每年发生台风次数的变量为T, 则λ的极大似然估计值为

2.拟合优度检验

采用卡方检验法对我国年台风次数变量服从泊松分布进行假设检验, 得其卡方检验值为6.667, 而在5%显著水平下自由度为5的卡方分布的临界值为11.0705, 因6.667<11.0705, 故接受原假设, 认为我国年台风次数变量服从泊松分布 (4.87) 。

(三) 台风年聚合损失模型

在计算出我国个体台风损失分布以及年台风损失次数分布的基础上构建我国的年台风损失聚合模型, 设S为我国年台风总损失变量, 则

其中L1、L2、Ln代表年内每次台风所造成的直接经济损失值, 独立同分布, 对它们进行n重卷积得

三、台风债券定价研究

(一) 模型的选择

本文对台风债券的定价研究是与台风的发生情况相联系, 所以采用保险精算定价法。基于保险精算角度的巨灾债券定价模型包括Kreps模型、LFC模型、Wang两因素模型、Christofides模型。总体而言, Wang双因素模型在精确度上要优于另外三个模型 (田玲2006, 谢世清2011) , 其主要通过对参数不确定性和概率变化来刻画风险。同时, Wang双因素模型对于风险细分层次价格可以计算, 该模型的实用性较强。考虑到我国的实际情况, 本文选取Wang双因素模型来对台风债券进行定价。

Wang (2000) 首先提出了Wang变换公式, 即

式中Φ表示标准正态分布的分布函数, S (x) =Pr{X>x}为损失超越曲线, 它表示巨灾债券所承担的巨灾损失。对于一个给定的具有客观的损失超越曲线S (x) 的损失变量X来说, Wang变化产生了一条经过“风险调整”后的损失超越曲线, 或者说是一条价格曲线。变化后的分布包含了风险附加, 即Wang变换对原有分布进行了分布调整。

鉴于参数不确定性的因素始终存在, Wang (2004) 遵循用t分布代替具有未知参数的标的正态分布的统计抽样理论, 对经验估计的S (x) 进行参数不确定性调整, 即

式中Ψ是自由度为K的t分布。t分布调整能够反映出即使两端的概率密度快速增加, 二中间的密度相对不变, 即增加了标的的分布的峰度, 从而能够反映巨灾债券购买者害怕非预期损失大又期望得到非预期的高回报这样的心理状态。将式 (1) 与式 (2) 相结合, 得到Wang双因素模型, 即

(二) 我国台风债券的定价

Wang双因素模型中调整参数 (λ, k) 的确定是建立在以往巨灾债券产品的数据基础之上的, 我国巨灾数据资料尚不能满足要求, 故采用Wang双因素模型对美国1999年巨灾债券市场的数据拟合值:λ=0.453, k=5。

台风债券的价格。发行台风债券的保险公司面临10亿元、20亿元和50亿元的巨额巨灾赔付的概率等于我国一年内发生的台风总损失大于100亿元、200亿元及300亿元的概率。根据我国年聚合台风损失生存分布, 其实际概率值应分别为0.0067、0.0533、0.047。然而, 根据Wang双因素变换后我国年聚合台风损失生存分布概率值分别为0.0107、0.0632、0.0512, 较真实值明显增加。

四、结语

本文通过对我国1991~2001年全部台风损失数据的收集与处理, 对我国台风直接经济损失分布和年台风发生次数进行拟合。通过结果来看, Gamma分布对我国台风直接经济损失拟合效果较好, 这一点同李永 (2012) 等人的研究的结果相一致。本文进一步构建出了我国的年台风聚合损失分布模型并从精算学角度出发, 结合文中提出的台风巨灾债券产品, 对我国实际年台风聚合损失的生存分布采用Wang双因素概率变换, 从而求得该台风债券的最终券息率, 为我国发行巨灾台风债券提供参考。

参考文献

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台风债券定价 篇2

随着我国金融市场的发展，以及投资者对金融风险承载力的增强，发行企业债券成为企业融资的重要渠道。因此，对其进行合理有效的定价已经成为金融业研究的热点问题之一。由于处于起步阶段，信用体系尚不健全，我国企业所发债券多要求进行信用增级以降低信用风险，如设置偿债风险准备金、第三方担保、流动性支持、政府偿债基金等，其中以第三方担保尤为常见。然而，随着担保债券的发行越来越普遍，涉及的金额越来越大，其中蕴含的风险是不容忽视的。特别地，由于担保企业与发债企业之间具有违约相关性，从而可能导致他们企业违约时间的聚集性，加大了企业债券违约时的损失，识别和防范各种信用风险成为投资者和债券发行企业面临的重要问题。

目前，研究信用风险相关性的方法一般有两种：基于结构化模型的方法和基于简化模型的方法。前者是指基于企业价值的模型，它直接模拟企业价值的动态过程，并假设其依赖于一组共同的状态变量，企业间的违约相关性决定于企业价值的动态演变规律。后者是直接对企业违约强度过程建模，其相关性来自于违约强度过程之间的相互依赖联系。因为企业价值通常是不知道的，所以基于简化模型方法在真实市场中更实用，使用起来也更灵活。

在简化模型下，Jarrow等（2001）建立的违约传染模型，成为当前处理违约相关性的主流模型框架之一。在这种模型下，违约的相关性来自于企业的直接联系（如担保与被担保、互相持有债券、上游和下游企业等），一个企业的违约将改变与之相关的企业的违约概率，甚至会使某些企业破产。其中Jarrow等（2001）模型的特点是：假设一个企业违约使得另一个企业违约强度增加的数量是固定不变的。然而，现实中一方违约事件的发生，对另一方违约强度的影响往往是随时间而呈现出一定的连续非线性变化。也就是说，随着时间的推移，违约方对其影响越来越弱、直至逐渐消失。为此，本文采用一指数类型的衰减函数来表示一方的违约对另一方违约强度的影响，建立了单向指数衰减违约传染模型。

在债券定价研究方面，Lando等（1998）给出了标准的简化模型，通过利用Cox过程对违约强度进行建模，考虑了相关的衍生证券定价问题，但其在模型中未考虑交易对手的风险。Jarrow等（2001）在存活企业的违约强度中直接引入其他企业违约的影响，刻画了违约聚类现象，得到了企业间存在单向依赖关系时债券的定价公式。Collin-Dufresne等（2004）进一步研究了企业间存在相互依赖关系时债券的定价。以上文献的研究均集中在信用债券的定价研究上，而担保债券的定价研究文献相对较少。国内的任学敏等（2009）在第三方担保的情况下，使用简化模型对企业债券进行了定价，但其模型忽视了担保企业与发债企业之间的违约相关性，且未给出债券担保合约的定价。Bao等（2010）以及林建伟等（2009）利用Jarrow等（2001）的违约相关性模型研究了双方互相担保企业债券的定价，然而其市场利率为常数的假定显然与现实不符，另外他们同样未讨论债券担保合约的定价问题。

针对上述研究的缺陷，本文在简化模型框架下，考虑交易对手违约风险，基于Jarrow等（2001）的单向违约传染模型（原生—从属模型），构建更符合实际的单向指数衰减违约传染模型，得到发债企业与担保企业违约时间的联合条件概率密度函数。从而利用这一模型对担保债券及债券担保合约进行定价，且对合约中存在的交易对手违约风险进行分析，为我国金融创新提供理论支持和实证参考。

2 模型框架的建立

设赋有信息流的概率空间（Ω，F，{F}0≤t≤T,Q）描述[0,T]时间段上的所有不确定性，其中Ω表示样本空间，FT=F,Q为（Ω，F）上Harrison等（1979）意义下相对于真实概率测度的唯一等价鞅测度，即在此测度下以无风险利率折现的不支付红利的证券价格为鞅，且市场是完备的。

在（Ω，F，{F}0≤t≤T,Q）上，定义X=(XLando等（1998）的Cox框架来定义企业i的随机违约时间τi:

式中，λsi为企业i违约时间的强度过程，满足是Ft可测的鞅，Ei是相互独立的单位指数随机变量，并独立于经济状态随机变量X.

σ-域流F是由经济状态随机变量和两个企业的违约信息生成的：

其中，FtX=σ（Xs,0≤s≤t),Fti=σ（Nsi,0≤s≤t）。

记

其中的H0A(H0B）包含了状态变量的所有信息和企业B(A）的违约信息。在域流为的Hti不确定性体系中，可以选择一个在0时刻关于Hi0可测、非负的过程λit，满足对任意的t∈[0,T]，使得一个非齐次泊松过程Nti以λti为强度过程，这意味着可以假设企业i的违约强度过程依赖于其他企业的信用状态，则企业i关于H0i的条件生存概率和非条件生存概率为：

企业A、B违约时间的相关性表现在违约强度的相关性上。合约到期前，若发债企业A违约，但是担保企业B没有，由于承担部分偿债责任，其自身的违约风险会增大；而担保企业B违约，对发债企业A的影响甚微。因而企业A的违约强度只依赖于自身和宏观经济因素，而企业B的违约强度不但受自身和宏观经济因素的影响，还依赖于发债企业A过去是否违约。因此，定义发债企业A与担保企业B的违约强度过程为：

式中，a0、a1、b1、c1均是非负实数，1{·}是示性函数。其中a0、a1是反映自身和宏观经济对企业违约的影响因素；在t时刻，企业A一旦发生违约，企业B的违约强度λtB会有一个跳跃，从a1增大为a1+b1，但企业A的违约对企业B违约强度的影响会越来越弱，随着时间推移会消失，参数c1反映了这种减弱的速度，当c1=0时，此模型就为Jarrow等（2001）中的原生—从属模型。另外，参数b1是传染风险因子，反映交易对手违约时的冲击强度，若b1=0，说明两企业是违约独立，任何一方的违约对另一方都没有影响。

为便于下文分析，假设市场短期利率rt为唯一的宏观经济状态变量，即FtX=Ftr，且与违约强度独立，在等价鞅测度下利率服从CIR模型[8]:

其中，a、b、σ是常数，满足2ab≥σ2,Wt是概率空间（Ω，F，{F}0≤t≤T,Q）上的标准布朗运动。定义货币市场账户：

则关于在时间T支付1美元与企业债券有相同到日的无违约零息债券（相当于国债）在时间t的价格为：

其中，Et表示在等价鞅测度下关于信息流Ft的条件期望算子。由Cox等（1985）得上式满足如下偏微分方程：

解得其仿射结构解为：

式中A(t,T）和A(B,T）分别满足：

其中

3 测度变换

本节采用Collin-Dufresne等（2004）提出的测度变换方法来计算两企业违约时间τA和τB的联合条件概率密度函数。定义新测度Pi(i=A,B），使得企业i在T时刻以前违约的概率在测度Pi下为零。测度Pi关于Q的拉东—尼柯迪姆（Radon-Nikondym）导数定义为：

其中，Pi是依赖企业i的概率测度，在[0，τi）上关于测度Q绝对连续，在[τi，+∞）上与Q几乎处处相等。ZTi是关于FT的Q-鞅，在[0，τi）上几乎处处严格为正，在[τi，+∞）上几乎处处为零。为了在测度Pi下进行计算，令Fi=(Fti)t≥0为（Ft)t≥0在Pi下零测集上的扩充。在新概率测度PA(PB）下，企业B(A）的违约强度为a1(a0），这样，新测度的引入就避免了企业A和企业B间违约强度的传染效应。利用Shreve(2004）中拉东—尼柯迪姆（RadonNikondym）导数过程定理：EPi[Y]=EQ[YZT]，得两企业违约时间（τA，τB）的联合分布为：

上式分别令t1=0和t2=0得企业B与企业A的边际生存概率：

另外，通过式（12）对t1,t2求偏导，即可得违约时间（τA，τB）的联合密度函数f(t1,t2），进而（τA，τB）关于信息流Ft的条件概率密度函数为：

4 担保债券的定价

利用单向指数衰减违约传染模型及测度变换，此节考虑担保债券的定价问题。在上述债券担保合约的定义下，假定发债企业A一旦违约，将采用等价债券回收（Recovery of Treasury），也就是说，债券违约后按等价无违约风险债券（到期日、等级和面椎均相同）价值的一定比例清偿（设这个比例为R∈[0,1]）。同时，假定担保企业B在自身没有违约的情况下，企业A违约后，所需承担的偿债责任为等价无违约风险债券价值减去回收值以外的部分(1)，即（1-R)p（τA,T）。故考虑担保合约风险下，企业债权人在债券到期日期的收益包含以下三种情况：(1)若发债企业A在债券到期日之前没有违约，则债券持有人收益1美元；(2)若发债企业A在债券到期日之前（包括到期日）违约，但担保企业这时还没有违约，则债券持有人在到期日仍然可收益1美元；(3)若发债企业A在债券到期日之前（包括到期日）违约，但担保企业B这时已经违约，则债券持有人在债券到期日只能收益R美元。而资产定价的基本准则是收益与风险的权衡，因此综合以上三种情形可得担保债券的定价公式满足：

利用违约强度模型及条件概率密度函数解得担保债券的定价公式：

特别地，当t=0时，担保债券的价格为：

从经济学直觉上讲，尽管债券的市场发行价格V(t,T）与b1有关，但是其变化关于b1是不敏感的。因为由式（5b）可知，b1对担保企业违约强度的影响只有在发债企业违约之后才起作用，而此时债券担保合约已经终止。

为了下面交易对手风险分析的需要，这里也给出相对于担保债券而言无担保债券（即信用债券）的定价公式。不考虑第三方担保情况下，零息信用债券是发行者在到期日支付1美元面值的一份债券，它可能在到期日之前违约，故这种情形债券的定价只需考虑企业自身的违约风险及市场利率风险。假定无担保关系与有担保关系两种情况下，债券有相同的到期日及回收率，且由式（5a）、（5b）知无担保关系时企业A、B的违约强度分别满足：

因此，企业A发行到期日为T的零息信用债券在t时刻的定价模型为：

然后，根据Jarrow等（2001）和Lando等（1998）关于信用债券的定价公式，解得

上式说明信用债券的价格包含两部分：第一部分是确保得到R美元，贴现到t时刻；第二部分是可违约事件发生时剩余的1-R美元，贴现到t时刻。特别地，当t=0时，得

5 债券担保合约的定价

本节给出交易对手风险下时间点t所对应的担保价值，即通常意义上的债券担保合约的（理论）价格。根据前文对企业间合约的假设，在确定债券担保合约价格时，企业若忽略对方企业的信用风险，假设对方信誉完美，会在现实中产生严重的问题。因为公平的担保价格，对发债企业而言，可以减轻企业的融资压力；同时，对担保企业而言，既是正常经营管理的前提，也是生存发展的基础。

为计算公平的担保费，假定签订债券担保合约不需要费用，由前文定义的传染模型，发债企业A的固定费息支付在时刻t市场价值为当发债企业A违约时，担保企业B的允偌支付在时刻t的市场价值为因此，由无套利原理知，公平担保费c应满足：

特别地，当t=0时，公平担保费为：

一般来说，在合约到期之前，交易双方任何一方的违约都将导致合约的终止，而发债企业支付给担保企业的担保费是在合约签订之日就商定好的，故在表达式（23）中，尽管c与b1有关，但其关于b1的变化是不敏感的。

如果不考虑担保企业违约，即假定担保企业是无违约的，则债券担保合约的价格珋c由下式确定：

定义担保费价差为担保企业无违约和有违约情况下债券担保合约价格之差：

直观的说，如果担保企业存在违约风险，那么对于发债企业而言，与担保企业无违约相比，支付少的担保费给担保企业是合乎逻辑的，因此，担保费价差是严格为正的。与担保企业有违约的情况相比，当a1=b1=0时，即为无违约情形。因此将a1=b1=0代入式（23）即得发债企业在无对手违约情况下债券担保合约的价格：

下面对企业间由于存在单向担保关系而引发的交易对手风险进行分析。

6 交易对手风险分析

前面在考虑市场风险及信用风险下，分别给出了无违约风险债券、担保债券、信用债券及债券担保合约的理论定价模型。事实上，从发债企业角度，由于担保企业B替企业A增信发债，由式（8）、式（15）及式（19）显然可得：

该不等式表明，相比无担保情况，债券通过担保机构的担保，降低了债券的信用风险，提高了企业发行的债券价格，从而降低了企业的融资成本，但由于担保企业存在违约风险，担保债券的价格比等价无违约风险债券价格低。

从担保企业角度，由式（13a）得在面临发债企业违约风险情况下，担保企业的违约概率为：

无担保关系下，由式（4b）、式（18）得企业B违约概率珚P满足：

根据有担保和无担保关系时担保企业违约强度的模型式（5b）和式（18），可知有担保关系时企业B的违约强度λtB大于无担保时企业B的违约强度因此，有担保关系时企业B违约概率P[τB<t]大于无担保关系时企业B违约概率珚P[τB<t]。这一点也充分说明，实际中，担保企业在提供担保缓解发债企业融资难业务时，也承担了由于发债企业违约而可能引发的传染风险。尤其是在较坏的金融环境下，一旦发债企业信用级别下降或破产，担保企业违约的可能性（即违约概率）将大幅增加，信用水平也大幅下降，导致加速其破产，两方面形成了博弈。

下面将对已有的理论模型进行数值模拟，从直观上来反映交易对手风险对担保债券的定价及债券担保价值的影响。其中除图中标注外，利率模型和违约强度模型中的参数选取为：a=0.01,b=0.02,r0=0.04，σ=0.015,R=0.3,a0=a1=0.2,b1=0.15,c0=c1=0.1,T=10。

图1是从发债企业角度，模拟担保企业的固有风险对企业债券定价的影响。显然如图1，债券价格是关于担保企业固有风险a1的减函数，a1越大，即担保企业信用风险越大，债券价格越低。故发债企业在寻求担保企业担保发债时要慎重考虑，尽量避免由于担保企业的违约而带来损失。

图2、图3与图4分析了企业A与B的违约风险对担保债券及债券担保合约价格的影响。其中图2模拟了担保费价差的期限结构；图3模拟了债券担保合约价格关于担保企业B固有风险a1的曲线；图4模拟出了债券担保合约价格关于发债企业A固有风险a0的曲线。如图2，跟直觉一致，担保费价差是严格大于0的，说明在债券担保合约中，担保企业的违约风险不可忽略，会估高担保费用，加重企业融资负担。同时，从图不难发现，影响债券担保合约价格的风险因素中，发债企业本身的风险相比于担保企业的风险更重要。如图3，由于发债企业愿意支付一个更低的担保价格来应对担保企业更高的信用风险，债券担保价值随着担保企业信用质量（a1代表）的下降而呈递减趋势。与其他信用风险因素类似，债券担保合约价格与发债企业自身的违约风险密切相关，如图4，若担保企业给定，发债企业A信用越差，企业A债券的担保价值就越高，因为担保企业需要一个高的风险溢价来应对自身所面临的担保风险，这显然与市场规律是一致的。

7 结论

本文在简化模型框架下，考虑到企业自身的信用风险、交易对手风险及利率风险，研究了基于风险中性下担保债券这一企业债务融资工具的定价模型，且给出了债券担保合约的公平定价模型。在此基础上，定量分析了交易对手风险对担保债券的价格及担保价值的影响，其结论对促进债券市场的发展和优化金融市场结构有着明显的现实意义。

本文假设企业违约时的回收率为常数，然而，雷曼倒闭、通用破产等金融危机以来的信用事件所揭示的回收率急剧下降的现实与固定的常数回收率假设并不一致，因此，后续研究可考虑将回收率有固定常数拓展为随机情形。本文假定违约强度是一个关于时间t的确定的函数且和利率是独立的，因此，为完善和拓展本文理论，贴近现实市场环境，考虑违约强度是一个随机过程，且与市场利率存在相关性是一个有意义的问题。

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可转换债券定价研究与实证分析 篇3

8.中石化转债的市场定价与套利机会。中石化转债的估算价值等于普通债券部分的价值与认购权证部分价值之和, 即:S=D+C=73.61+25.38=98.99 (元)

中国石化原股东的可转债网上认购价格为100元, 表面上看这笔帐是亏了, 但考虑到分离式可转债在上市首日, 其权证一般都以涨停报收, 而同时A股市场的低迷表现使得债券市场备受青睐, 08石化债也理应高价开盘。市场调研机构也给出了石化可转债分离上市后存在约10%的套利机会。

从3月4日的市场表现来看, 08石化债和石化CWB1均以超出理论价值的价格开盘, 08石化债开盘于76.01元, 石化CWB1开盘于3.567元。如果投资者在开盘时卖出, 其理论收益为每股=76.01+3.567 10.1=112.0367 (元) , 即如果中石化的投资者认购成功, 套利水平约为12%。

四、结束语

使用Black-Scholes模型给可转换债券的转换权定价, 主要有以下两个方面的不足:Black-Scholes模型假定存在着无风险利率, 而且无风险利率不变, 但在债券市场中利率风险巨大;Black-Scholes模型假定价格波动率不变, 但债券价格的波动率与偿还期的长短有很在关系, 在接近偿还期时, 价格风险降低。

摘要：可转换债券作为一种新的融资工具, 不仅为公司融资提供了一个新渠道, 也为投资者提供了新的投资品种, 为证券公司的证券承销业务增加了一个新的利润增长点, 丰富了我国证券市场的产品, 有利于推动我国证券市场的发展。其定价是否合理在很大程度上决定了可转换债券市场能否正常运行。鉴于此, 本文通过采用Black-Scholes模型给出了可转换债券的定价公式, 并以中石化可转换债券为例, 进行了实证分析。

关键词：可转换债券,Black-Scholes模型,期权定价,自由边界

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[3]赵忠, 谢家平.我国可转换债券的定价研究[J].河南财政税务高等专科学校学报, 2007.

[4]华夏证券研究所.可转换债券定价理论分析[N].中国证券报, 1998.

[5]陈学军.考虑违约风险的可转换债券定价新模型[J].价值工程, 2007 (6) .

台风债券定价 篇4

关键词：公司债券,Vasicek模型,利率期限结构,实证研究

0 引言

近几年,我国债券市场发展迅速,仅2016年第一季度,债券市场发行规模合计81 759.72亿元,较上季度增长11.85%,较上年同期增长超过100%。2015年,我国债券市场发行各类债券16.82亿元,同比增长53.13%,其中,公司债的发行增长较为突出。2015年,我国公司债券市场共发行公司债券940期,募集资金规模为12 615.49亿元,同比分别增长80.77%和362.01%。面对迅速发展的公司债券市场,我国公司债券的研究相对不足,这就要求对公司债券定价的分析更加深入。

研究债券价格的关键在于研究债券未来收益率,也就是远期收益率。而利率期限结构理论正是人们研究收益率的主要理论之一,现代利率期限结构理论研究主要以利率期限结构模型为工具[1]。其中,Vasicek模型的结构较为简单,估计比较方便,该模型被广泛运用于资产定价、风险管理等领域[2]。因此,本文希望以沪深交易所交易的公司债券为研究对象,借助Vasicek模型的理论,比较模型与实际价格的差别,从而对公司债券定价问题给出合理化的答案。

1 模型与分析方法介绍

1.1 利率期限结构理论。

利率期限结构所描述的是在某一时刻,债券的到期收益率与其到期期限之间的关系,它反映了时间因素对收益率曲线变化的影响[3]。通常,以时间为变量的收益曲线形状大致分为四种情况,即向上倾斜,向下倾斜,凹凸形以及平坦直线形状。利率期限结构作为资产定价、金融产品设计、套利、利率风险管理及投资等的理论基础,一直是金融研究的主要领域[4]。

20世纪70、80年代,西方各国放松了利率的管制,实行了利率市场化后,利率开始具备了随机性。为了研究利率市场的随机行为,人们引入了随机微积分方程。随机期限结构模型就是通过构建某一时点的利率随机微分方程,描述利率与期限的不确定函数关系,由此对债券进行定价。主要的随机期限结构理论分为均衡模型和无套利模型两大类。其中,均衡模型又被分为单因子模型和多因子模型,两者的区别主要在于影响利率因子的个数。单因子模型结构较为简单,它将收益率曲线看作单一变量的函数。同时,单因子模型理论的假设也较为严格,例如:它从理性人的角度出发,认为市场投资者是风险中性的。

常见的单因子模型主要包括:Merton模型、Vasicek模型和Cox-Ingersoll-Ross模型(简称CIR模型)。以下将会对Vasicek模型进行介绍,并应用该模型解决利率期限结构问题。

1.2 Vasicek模型及参数估计。

Vasicek模型[5]由Vasicek在1977年提出,他引入随机微分方程描述瞬时利率,并首次提出了短期利率具有均值回复的特性。即:

式中,k代表均值回复速度,θ代表利率的长期均值水平,σ代表利率的瞬时波动率。在这个式子中,该模型理论认为d W服从维纳过程(又称“布朗运动”),即代表服从正态分布,d W为Δt→0时的极限形式。

在式(1)中,作为漂移项代表了单位时间的回复期望,当rt大于或者小于θ时,rt会按照k的速度向长期均值θ回复。但是,由于整个利率的变化过程受到σd W的扰动,drt呈现出随机性,其幅度为维纳过程的σ倍。

对式(1)进行离散化处理得:

其中,ΔW服从均值为0,方差为1的标准正太分布。根据实际情况,将式(2)改写成回归方程,如下:

可以看出式(3)实际是一个自回归数为1位的时间序列模型。令α=kθ,β=1-k,εt+1=σΔW。其中,残差项εt+1的方差所以,只需要估计出α、β的数值以及残差项εt+1的标准差即可得到模型的参数。

1.3 利率期限结构估计。

Vasicek模型理论认为T时刻支付的零息债券在t时刻的贴现因子为:

最后,整个期限结构就可以表述为:

有了当天的r t2 2,结合式(3)所估计得到的参数k、θ以及σ,就可以估计出利率期限结构R t,2T2与剩余期限T-t的关系。

1.4 债券价格估计。

传统的债券价格理论认为债券价格按照各期现金流的贴现加总确定当期债券的价格,即计算公式为:

其中,P表示当期的债券价格现值,Ci表示第i期的利息费用,Ri表示第i期的贴现率,ti表示从发行到付息的时间,n表示付息期数。

通常通过预测或者观察市场的远期利率来求得下一期的年收益率,即假设已知i期的即期收益率为Ri,估计ti至ti+1一年的远期收益率为ftiti+1,得出以下方程:

因此,通过得到的Ri+1,就可以对i+1期的零息债券进行贴现计算,求得债券当期的现值。

当估计出了站在ti时刻,ti+1到期的远期利率即可以求出1美元零息债券在ti时刻的远期债券价格,即:

其中,表示远期债券的价格。Vasicek模型考虑了连续复利的情况,根据模型理论,用式(4)乘以零息债券的票面价格,就可以估计在t时刻的债券价值。

在下面的实证部分,本文将通过公司债券的历史数据结合上面的模型理论对公司债券的利率期限结构和债券价格进行估计,并对剩余期限不同的公司债券价格进行比较。

2 实证研究

2.1 数据搜集及处理。

本文以交易所上市的公司债券为例,选用的样本为11徐工01和11中利债,两只债券的剩余期限分别约为半年和一年,债券评级分别为AAA和AA+,按年付息,且上一期付息结束。样本数据均为两只债券2015年6月29日至2016年6月28日交易所收盘价的到期收益率,均为245个数据。以上数据均来自Wind数据库。

本文通过EViews软件分别对样本数据进行处理,令Δrt+1=rt+1-rt,并通过下面的图1与图2来显示Δrt+1序列的趋势图。观察下图可以看出,选用数据的Δrt类似白噪声过程,即符合平稳的随机过程特征。

2.2 回归估计与协整检验。

按照式(3)的模型,结合样本数据,采用最小二乘法对样本数据进行回归处理,结果如表1所示。

通过表1的回归结果可以看出,11徐工01债和11中利债的的T检验值与回归方程的F值都较高,参数均显著,调整后的拟合优度较高。

下面对模型进行单位根检验,图3与图4为式(3)模型经过回归处理后的残差序列趋势图。

根据图3和图4,可以看出两只债券的残差序列均无趋势项和截距项,对残差序列进行单位根检验,结果如表2、表3所示:

根据表2和表3的检验数据,两只债券在ADF检验下的T值都较大,P值较小。模型在1%显著水平下T值也非常显著,说明残差序列是平稳的,即不存在单位根。因此两只债券的式(3)模型均存在协整关系。

2.3 Vasicek模型的确定。

根据得到的结合上文理论,可以求出参数k、θ以及σ,如表4所示。

根据表4所得到的各参数值,可以得到以下公司债券的Vasicek模型形式:

两只债券样本数据的均值分别为3.0313%和4.9174%。从Vasicek模型的长期均值来看,两只公司债的θ值分别为2.9946%和4.8957%,与实际情况较为符合,且波动率较小。

2.4 债券价格的确定。

由于两只公司债券的剩余期限都在一年之内,且均结束了上一期付息,到期日将一次还本付息,所以可以把两只债券看成面值为本息和的零息债券,按照Vasicek模型进行贴现,预测结果如表5所示。

表5中,实际价格采用的是当天的收盘价格。从上面的表3来看,对于剩余期限较长的11中利债的估值误差较小,估计价格与实际价格较为相符,平均价格误差在0.12元左右。而剩余期限较短的11徐工01债的估值存在较大偏差,且估值普遍高于实际价格2.6元左右。这与Vasicek模型在国债定价中的情况恰好相反———随着剩余期限增加,国债的定价误差越大[6]。

在运用模型对样本观察的5个交易日内,11中利债当天的盘中价格多次高于估计价格,最终回落。5个交易日中,最高成交价格曾为101.79元。也就是说,仅对于这5天,如果投资者在低于当日估计价格的位置买入11中利债,在高于或者等于估计价格的位置卖出,投资者均可以获利。

最后,对Vasicek模型所估计得R t,!T"与实际收益率进行比较,结果如图5和图6。观察可知,虽然11徐工01债的估计收益率与实际收益率均呈现相同的向下趋势,但前4个交易日,误差扩大,最大误差达到15个基点。7月5日,实际利率出现反弹,呈现向估计收益率回归的趋势;而11中利债的估计收益率与实际收益率拟合较好,误差较小,且呈现相同的趋势。投资者可以参考Vasicek模型的估计,在盘中公司债券市场收益率低于模型估计收益率时候,卖出债券,在实际收益率高于模型估计收益率时候,买入债券,以此来获利。

3 总结

本文首先对Vasicek模型理论进行了简单的梳理,然后提出了对公司债券的研究方法,并对两只交易所公司债券进行了实证分析,并估计出两只债券的利率随机动态模型以及模型相关参数,最后将模型应用于两只债券的定价,检验结果总结如下:(1)从样本数据来看,两只债券的Vasicek模型估计效果都是显著的,也没有出现参数不显著的状况,长期均值和波动率也基本符合现实。(2)就本文选用的两只样本债券来看,剩余期限约为半年的11徐工01债的价格误差明显大于剩余期限为一年的11中利债价格误差。显然,Vasicek模型对于剩余期限非常短的债券的价格估计存在缺陷。(3)从两只债券的估计收益率与实际收益率比较来看,11徐工01债也显示出较大估计误差,实际收益率普遍低于Vasicek模型估计的收益率,而11中利债的估计误差较小。这可能是因为11徐工01债券的信用状况为AAA级,信用状况良好,市场认为到期偿付没有违约风险,所以给予较低的信用利差。

综上所述,Vasicek模型对利率走势的确定和公司债券投资方面均具有一定的参考作用。同时,通过实证检验,发现Vasicek模型也存在缺陷。公司债券实际上是一种信用债券,信用风险对定价也起到重要的作用,单从利率期限结构的角度研究仍然不够全面。在今后的研究中应该对模型进行修正,比如修改模型波动率常数的设定,将信用风险等其他市场因素等考虑进模型中,等等,利用更为复杂的定价模型对公司债券价格研究的效果可能更好。

参考文献

[1]唐革榕.我国利率期限结构的静态拟合实证研究[D].厦门:厦门大学,2006.

[2]文忠桥.基于一种修正Vasicek模型的国债定价研究[J].山东财政学院学报,2014(2):5-13.

[3]周荣喜,杨丰梅.利率期限结构模型:理论与实证[M].北京:科学出版社,2011.

[4]林海.利率期限结构研究评述[J].管理科学学报,2017(2):79-98.

[5]Vasicek O.An equilibrium characterization of the term structure[J].Journal of Financial Economics,1977,5(2):177-188.