动力和静力分析

2025-01-06

动力和静力分析（精选5篇）

动力和静力分析篇1

1. 引言

钢筋混凝土梁构件在当今土木工程中应用相当广泛。随着时代的发展与社会的进步, 特别是近十年来, 高层建筑大量兴建, 对结构的可靠性提出了更高的要求。由于钢筋混凝土结构 (主要是钢筋混凝土梁) 在实际工程中除承受本身、上部结构及设施等恒载外, 还要承受各种活载, 因此, 对钢筋混凝土梁结构, 除进行静力试验与分析 (计算机仿真) 研究外, 还有必要进行动力研究[1]。本文通过建立钢筋混凝土梁的有限元模型对其进行静力和动力分析[2]。

2. 计算模型

矩形截面钢筋混凝土简支梁, 配有受拉主筋、受压钢筋、箍筋, 载荷以及截面尺寸如图1和图2所示, 支座距离梁边缘距离为1 2 5 m m。

2.1 材料性能

2.1.1

混凝土材料见表1。

2.1.2 钢筋

钢材的屈服准则选用双线性随动强化材料 (B K I N) [3]。所有钢材, 包括梁中纵向主筋、横向箍筋和钢支座垫板均采用理想弹塑性模型, 其应力-应变曲线见图3, 材料常数由表2给出。

2.2 有限元模型的建立

2.2.1 单元划分

由于钢筋混凝土简支梁形状规则, 因此在A N S Y S程序中采用了映射划分, 所有实体单元都是正六面体单元。在加载点和支座处均加设25mm厚的钢垫板, 以避免出现局压破坏。另外, 在加载点和支座处的网格进行了细分, 以避免应力集中。模型的单元网格图见图4。

2.2.2 约束条件

根据对称性, 可取图1中的1/2模型进行有限元分析。相应的在ANSYS计算模型中的边界约束条件如图4所示。

3. 有限元计算与分析

3.1 静力分析

在本算例中, 采用集中力加载, 即在加载点垫板中心施加一竖向荷载。

3.1.1 荷载—位移曲线

从图5, 图6可以看出, 曲线形状能基本反映钢筋混凝土适筋梁剪切破坏的受力特点。而且荷载-跨中挠度曲线与钢筋混凝土梁的弯剪破坏形态非常类似, 即当跨中弯矩最大截面的纵筋屈服后, 由于裂缝的开展, 压区混凝土的面积逐渐减小, 在荷载几乎不增加的情况下, 压区混凝土所受的正应力和剪应力还在不断增加, 当应力达到混凝土强度极限时, 剪切破坏发生[4]。

表3为理论计算结果与ANSYS程序计算结果的对比, 从表3中可以看出, ANSYS程序计算的跨中最大弯矩值与理论计算值比较接近, 最大剪力比理论计算结果要低。而且, 在纵筋屈服时刻, 有限元计算得到的梁跨中最大挠度值比理论计算值略小, 原因可能是由于未充分考虑钢筋-混凝土之间的粘结滑移作用。

3.1.2 钢筋应力发展曲线

从图7和图8中可以看出, 受拉钢筋和受压钢筋的应力发展曲线都基本符合钢筋的屈服准则, 即双线形随动强化准则 (B K I N) 。

3.2 动力分析

实际结构总是受到随时间变化的载荷作用, 当这种动载荷与静载荷相比不占主要地位时, 其影响可以忽略不计, 只需对结构做静力计算。但是对受到显著动载荷作用的结构则不然, 如房屋受到地震作用, 船舶受海浪作用, 桥梁受车辆作用等, 这时必须进行动力分析。某些结构虽然受到动载荷作用并不显著, 但由于荷载的频率和结构某一阶固有频率相接近, 会引起结构显著的振幅, 在其内部产生很大的动应力, 以至结构破坏或产生不允许的变形, 这时也必须进行动力分析[5]。

在ansys中, 结构的固有振动特性分析又称为模态分析。这种分析用于确定结构的固有频率和振型, 其分析结果可作为瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析等其他动力分析的基础。

采用子空间迭代法提取前六阶结构自振频率f, 其数据如表4所示。前六阶模态振型如图9-图14所示。

从得出的振型图 (图9-图14) 可以看出, 第一, 二阶振型主要以弯曲为主。其中, 第一阶是平面外弯曲, 第二阶是平面内弯曲;第三, 四阶模态振型是梁的扭转变形, 而第五, 六阶模态振型主要是以梁的弯曲变形伴随着扭转变形为主。

4. 结论

通过对钢筋混凝土简支梁的有限元静力和动力分析, 根据直观的曲线, 表格和图形可以清晰地看出钢筋混凝土简支梁在集中力作用下的受力情况, 并得到结构的固有振动特性, 如固有频率和振型等, 同时为混凝土梁结构的动力响应计算和分析打下基础。这些分析对于结构的设计和后续的分析校核都很有意义。通过有限元软件进行各种模态分析必将取代传统的计算方法, 使结构分析设计跨入一个新的时代。

摘要：为了更好地分析钢筋混凝土梁受集中荷载作用下的受力情况, 利用通用有限元分析软件ANSYS10.0, 对一钢筋混凝土简支梁进行静力和动力分析。分析结果显示ANSYS10.0能较好地模拟工程实际中的钢筋混凝土梁, 真实地反映其破坏的典型力学特征。

关键词：钢筋混凝土梁,有限元,应力,动力分析

参考文献

[1]程耿东.基于功能的结构抗震设计中一些问题的探讨[J].建筑结构学报.2000, 21 (1) :40243.

[2]郝文化.ANSYS土木工程应用实例[M].北京:中国水利水电出版社.2005.752120.

[3]白葳.通用有限元分析ANSYS8.0基础教程.北京:清华大学出版社.2005

[4]康谷贻.混凝土结构设计原理.中国建筑工业出版社.2004

[5]ANSYS结构有限元高级分析方法及范例应用.中国水利水电出版社.119-1212006

动力和静力分析篇2

把预应力技术引入网架结构而形成的新型预应力大跨度空间结构称为预应力网架。预应力网架同普通网架相比具有节约钢材、减少室内冗余空间、增加跨度等优点, 经济效益非常显著。近十余年, 我国对预应力网架结构形式的探讨相当活跃。既对国外已应用的新结构体系进行研究和改进, 又开发了自己创新的结构形式。有预应力盆式网架、拉索法预应力组合网架、预应力空腹网架等。

本文采用ANSYS有限元分析软件建立预应力网架模型, 对网架在预应力下进行静力分析, 并和普通网架进行对比, 观察网架在预应力下的变形、位移和内力的特点。

1 网架有限元模型的建立

1.1 模型的简化与假设

1) 拉索、网架均为理想弹性体;2) 网架节点均为空间铰接节点, 其刚度影响可忽略, 杆件只承受轴向力;3) 网架变形均为小变形, 忽略几何非线性的影响;4) 预应力索为理想柔性体, 不能受弯或受压, 只能受拉, 按索单元考虑, 忽略其非线性特性。

1.2 模型的建立

模型采用2.7m×2.7m的正放四角锥网架, 上弦四点支撑, 网格尺寸为0.3m×0.3m, 网架高度为0.1m。网架杆件均采用φ17×1.7钢管, 预应力索采用2φ5钢绞线。在网架下弦平面内布置对角线索, 用定义初始应变的方法对索施加预应力。普通网架的模型同上述预应力网架, 除去预应力索。

在ANSYS中建立的有限元模型如图1所示:

2 静力分析

2.1 单元、材料及实常数的确定

网架杆件采用link8单元, 这种三维杆单元是沿轴力方向的拉压单元, 每个节点有三个自由度, 本单元不承受弯矩。拉索采用link10单元, 该单元是一个轴向仅受拉或仅受压杆单元, 它可以很好的模拟索的静力问题, 每个节点也有三个自由度。有限元模型种, 需要定义材料的密度、弹性模量、泊松比。

实常数对于link8单元需要输入截面积, 对于link10单元除输入截面积外还需要输入初始应变。

2.2 施加载荷

对模型上弦节点施加竖直向下的0.5KN的集中力, 对预应力网架的两根索施加3KN的预应力 (建模时给索赋予了等值的初始应变) 。

2.3 计算结果处理与分析

2.3.1 预应力网架的变形

经过ANSYS模拟分析后, 网架的变形如图2所示, 由图2可知该预应力网架的挠度在中部达到最大, 向四周逐渐减小, 支座位移为零, 支座附近出现Z轴正方向的位移, 这基本符合网架的位移变化形态。

2.3.2 预应力网架的节点位移和单元内力

现提取预应力网架上弦对角线节点位移和相对应的同普通网架节点进行对比, 结果如图3所示。

分别取预应力网架和普通网架的三组单元应力进行比较, 列入表1中, 三组单元分别为上弦杆、下弦杆和腹杆。

从图3可知, 虽然预应力并没有根本改变网架的位移变化形态, 但预应力却明显减少了网架的挠度。网架跨中最大挠度对比看, 普通网架为46.15mm, 而预应力网架只有35.58mm, 它比普通网架挠度减少网架的节点位移明显变小;预应力网架的单元内力同普通网架相比, 它比普通网架挠度减少23%。通过表1和表2可知, 不论是上弦杆、下弦杆还是腹杆, 预应力网架的绝大多数杆件应力都小于普通网架杆件应力, 即施加预应力后绝大部分杆件都变为卸载杆, 对网架整体都产生了卸载效应, 当然预应力网架的杆件应力分布规律还基本上与普通网架相似。

3 动力分析

在结构动力学分析中, 模态理论分析是基础在结构动力学分析中, 模态分析理论是基础, 它主要用于计算模型固有模态的两个基本参数:固有频率和模态振型。它们表明了系统自由振动的特性, 对于给定的系统, 其振型向量的比值与固有频率都取决于系统物理参数, 是系统固有的。如果知道了结构的固有频率, 便可以在设计与改进时使结构的固有频率避开其在使用过程中的外部激振频率。

ANSYS具有强大的模态分析功能, 它提供了包括Sus pace (子空间法) 、Reduced (缩减法) 、Damped (阻尼法) 等7种模态提取方法。本文采用LANB法计算预应力网架的前12阶固有频率, 并且与普通网架进行对比, 如图4所示:

通过图4, 我们可以发现预应力网架的固有频率除第一阶少有差别之外, 其它阶频率跟普通网架频率几乎相等, 这说明, 该预应力网架的振动特性跟普通网架相差不多。

现提取该网架的前四阶阵型图, 观察其振动情况, 如图5所示:

通过前四阶振型图可知, 预应力网架振兴主要为竖向振型, 在中部的中间交点处及靠近支座的一排连接杆上动应力较大, 这与普通网架的振动特点也基本上相同。

4 结语

通过以上分析可知预应力网架的内力分布规律和变形规律同普通网架基本相同, 网架在施加上预应力以后网架挠度明显减小, 杆件内力进行了重分配, 大部分杆件内力减小。总之通过以上的静力分析可知在网架上施加预应力可提高网架刚度, 减少网架高度, 进而达到节约钢材、增加网架跨度、减少室内冗余空间等经济效益。

而在动力特性方面, 预应力网架的固有频率以及振兴特点跟普通网架差别甚小, 这说明预应力对网架的模态分析影响很小。

摘要：空间网架结构是杆件按照一定的规律布置, 通过节点连接而成的网格状空间杆系结构。因其具有重量轻、跨度大、整体刚度好、抗震性能好、造型美观、现场施工周期短、可工业化生产等优点, 在大跨度工业厂房、候机楼、体育馆等各类建筑中获得了广泛的应用。

关键词：网架,静力,内力,振型频率

参考文献

[1]陆赐麟, 尹思明, 刘锡良.现代预应力钢结构 (修订版) [M].北京:人民交通出版社, 2007.

[2]蒋红旗, 刘玉.基于ANSYS的空间网架结构静力和动力分析[J].钢结构, 2008.

[3]郝文秀, 徐晓, 刘京红, 白顺果.斜拉局部3层网架结构静力及动力特性分析[J].四川建筑科学研究, 2007.

动力和静力分析篇3

悬索结构在外荷载作用下结构会产生较大的变形。此时, 传统结构的小变形分析理论将不再适用, 必须考虑大变形的影响, 即结构平衡方程应建立在变形后的位形上。考虑大变形后的结构平衡方程和几何方程都将是非线性的, 这就是悬索结构的几何非线性问题。几何非线性问题主要是研究物体的运动关系即应变与位移间的非线性关系, 它通常分为大位移大应变和大位移小应变两个方面, 悬索结构在外荷载作用下的变形属于大位移小应变情况。

悬索结构除了应变位移关系呈非线性外, 其应力应变关系即本构关系也是非线性的, 因此悬索结构是既具有几何非线性又具有材料非线性的双重非线性结构。如果同时考虑双重非线性进行悬索结构的分析将是非常困难的。

1 悬索结构的几何非线性有限单元法[1]

1.1 基本假定

索的计算模型采用两节点直杆单元模型, 其基本假定如下:

(1) 索单元只能承受拉力而不能承受任何弯矩和压力, 即索无抗弯刚度。

(2) 索单元拉应力沿轴向大小不变, 且变形前后截面积保持不变。

(3) 索单元除自重外, 仅受节点荷载的作用。

(4) 属于大位移小应变问题。

(5) 索是理想线弹性材料, 受拉时其应力应变关系符合虎克定律。

1.2 悬索结构的几何非线性有限元方程[2]

采用U.L.描述的几何非线性有限元方程。

设结构从0时刻到t时刻的所有力学变量均已知, 现在求t+Δt时刻结构的状态, 根据虚位移原理有:

∫tV{δundefinedε}T{undefinedS}dtV=δundefinedW (1)

应力增量{tS}和应变增量{tε}存在如下关系:

{tS}=[tD]{tε} (2)

式中, [tD]为材料本构关系矩阵。

于是结构增量形式的平衡方程为:

∫tV{δtε}T[tD][tε]dtV+∫tV{δtη}T[tτ]dtV

=δundefinedW-∫tV{δie}T[tτ]dtV (3)

单元位移增量列阵为: {tu}[N]{tu}e (4)

式中, [N]为单元形函数矩阵。

则单元应变增量列阵为:

undefined

;{δtη}=[ttBNL]{δtu}e (6)

式中, [ttBL]、[ttBNL]分别为线性应变位移转换矩阵和非线性应变位移转换矩阵。

把式 (4) 、 (5) 、 (6) 代入式 (3) 中整理得:

([ttKL]e+[ttKσ]e+[ttKU]e) {tu}e={undefinedR}e-{ttF}e (7)

[ttKL]e=∫tV[ttBL]T[tD][ttBL]dtV (8)

[ttKσ]e=∫tV[ttG]T[ttM][ttG]dtV (9)

undefined

{ttF}e=∫tV[ttBL]T{tτ}dtV (12)

式中, [ttKL]e、[ttKσ]e、[ttKU]e分别为单元线性刚度矩阵、几何刚度矩阵和大位移刚度矩阵。{t+ΔttR}e为t+Δt时刻的单元等效节点荷载向量, {ttF}e为t时刻的单元等效节点力向量。{tτ}、[ttM]分别为t时刻的单元柯西应力向量和相应的柯西应力矩阵。

最后U.L.描述的增量形式的几何非线性有限元方程为:

([ttKL]e+[ttKσ]e) {tu}e={undefinedR}e-{ttF}e (13)

上述方程通过坐标转换矩阵将其转换到整体坐标系下, 并把整体坐标系下的单元有限元方程进行组装, 得到结构总的几何非线性有限元方程为:

([ttKL]+[ttKσ]) {tu}={undefinedR}-{ttF} (14)

令[ttK]=[ttKL]+[ttKσ], 则上式变为:

[ttK]{tu}={undefinedR}-{ttF} (15)

式中, [ttK]为结构的总刚度矩阵, 包括线性刚度矩阵和几何刚度矩阵。

1.3 索单元刚度矩阵[3]

任一索单元, 它的两个节点分别是i和j, 整体坐标系为O-XYZ, 单元局部坐标系为i-xyz, x的正方向规定为由i到j。

设局部坐标系下索单元节点的坐标向量和位移增量列阵分别为:

{x}e={xiyizixjyjzj}T (16)

{u}e={uiviwiujvjwj}T (17)

则单元中任一点的坐标和位移增量均可由下式唯一确定:

{x}=[N]{x}e;{u}=[N]{u}e (18)

式中, {x}={x y z}T;{u}={u v w}T, [N]为形函数矩阵。

undefined;undefined (20)

undefined (21)

式中, L为索单元的长度。

由式 (4) 可知, 一维索单元的线性和非线性应变增量分别为:

undefined;undefined

将式 (18) 代入式 (22) 得:

undefined (23)

[ttBNL]=[ttA][ttG] (24)

undefined (25)

undefined

(26)

由于索是理想线弹性材料, 所以它的本构关系矩阵为:

[tD]=[E] (27)

式中, E为索的弹性模量。

式 (9) 中的Cauchy应力矩阵为:

式中, tσ为t时刻索单元中的Cauchy应力。

将式 (23) - (28) 分别代入式 (8) 、式 (9) 中, 即可得到索单元在局部坐标系下的单元线性刚度矩阵[ttKL]e、几何刚度矩阵[ttKσ]e为:

式中, A为索单元的截面积。

2 索单元的松弛处理[4]

对于两节点直杆索单元, 只能承受轴向拉应力, 如受到轴压力, 则索单元松弛, 刚度退化, 初始预应力损失。在悬索结构分析时, 首先假定未出现索松弛, 计算索单元的内力, 判断索内力是否大于0。若索内力大于0, 则不作处理;若索内力小于或等于0, 则此索元发生松弛, 就要修改其刚度矩阵, 以消除或减小其刚度对结构整体刚度的贡献, 一般将现刚度乘以折减系数, 置索单元刚度为较小值。从计算稳定、收敛速度等方面考虑。

[ttK]s=α ([ttKL]+[ttKσ]) (31)

式中, [ttK]s为松弛索单元的刚度矩阵, α为刚度折减系数。

3 非线性有限元法找形[5]

由于悬索结构的初始平衡状态是纯力学平衡问题, 与结构所用材料的特性无关, 因此在总刚度矩阵形成中可只形成几何刚度矩阵, 而置线性刚度矩阵为零 (即将索单元的应力应变关系矩阵[tD]都设为0) , 并不考虑外荷载作用 (即{undefinedR}=0) , 则非线性有限元法找形的基本方程为:

[ttKσ]{tu}=-{ttF} (32)

在找形分析中, 可通过将索材的弹性模量乘以一个折减系数λ来实现 (即减小索单元的应力应变关系矩阵[tD]) , 则相应的非线性有限元法找形的基本方程为[6]:

(λ[ttKL]+[ttKσ]) {tu}=-{ttF} (33)

4 结论

对悬索结构的找形基本理论、方法进行了讨论, 特别是针对非线性有限单元法的基本理论、方法进行了理论方面的探讨。工程实践表明, 非线性有限元法对于几何大变形的柔性结构体系来说, 是一种非常有效的求解方法。

参考文献

[1]沈祖炎, 高振锋, 张其林.索网结构几何非线性分析的增量理论[J].同济大学学报, 1996, 24 (6) :357-362.

[2]Maurin B, Motro R.The surface stress density method as a formfinding toolfor tensile membrane[J].Engineering structures, 1999, 20 (8) :712-719.

[3]M.R.Barnes.Form finding and analysis of tension structures bydynamic relaxation[J].Ph.D.thesis.The City University London, 1999, 14 (2) :89-104.

[4]金问鲁.悬挂结构计算理论[M].杭州:浙江科学技术出版社, 1981.

[5]沈世钊, 徐崇宝, 赵臣.悬索结构设计[M].北京:中国建筑工业出版社, 1997.

动力和静力分析篇4

新型预应力单层柱面网壳结构是一种在单层柱面网壳上增加一定的撑杆和预应力索体系后形成的新型大跨度空间钢结构[1]。单斜杆型单层圆柱面网壳当跨度较大时受力性能受到自身刚度和承载力限制, 此时主要的承重构件为其横向主拱杆件, 位移是结构最主要的控制指标。当在此单层柱面网壳上的适当位置增加撑杆和预应力索体系形成新型结构之后, 单层柱面网壳依靠预应力索—撑杆体系的空间整体协调作用, 在承受全跨均布竖向节点荷载时, 受力性能显著增强, 相比原结构刚度和承载力都有较大的提高。在承受半跨均布竖向节点荷载下, 该新型结构的受力性能较原结构也有一定的改善, 但刚度和承载力的提高程度不如仅承受全跨均布荷载时显著, 结构杆件仍有较大的强度潜力。本文针对该新型结构的受力特点, 在保证撑杆和预应力索体系及结构整体稳定性[2]的前提下, 分析了特定参数下新型预应力单层柱面网壳结构在不同竖向荷载工况作用下矢跨比、撑杆高度等结构参数的变化对结构静力状态受力性能的影响, 较深入地研究其最大位移和最大应力的变化规律。

1 有限元模型的建立

按照文献[1]中的结构参数利用有限元软件ANSYS建立完全相同的新型预应力单层柱面网壳结构模型见图1 (图中隐去网壳斜杆) 。拉索、撑杆、横向主拱之间均假定为铰接。结构沿单层柱面网壳两纵边三向固定铰支。计算中考虑几何大变形非线性和应力刚化的影响。

2 静力特性与参数分析

在结构不同矢跨比时的网壳节点上, 在仅结构两侧索系的撑杆长度从2.1 m变化到5.1 m时的网壳节点上, 在结构中部和两侧撑杆高度同时变化的网壳节点上, 分别施加递增的全跨和半跨竖向均布节点荷载, 最大正负位移和最大应力指标的变化趋势如图2~图6所示。

2.1 矢跨比对结构静力特性的影响

分析可知在全跨均布荷载下矢跨比对结构静力性能的影响极大, 结构的最大正位移和最大应力是主控指标, 随着结构矢跨比的递增, 结构的承载能力急剧减小。在半跨均布荷载下, 总体上看结构在矢跨比不同时对半跨均布节点荷载的抵抗能力比较接近, 但矢跨比在0.3左右为最优, 受力性能较好, 起控制作用的位移指标相对最小。需要注意的是, 在完全相同的荷载值作用下, 矢跨比为0.5时的结构比不同矢跨比时更早表现出结构的非线性特征。由此可知, 矢跨比较大对结构的各项受力性能均不利。

2.2 仅两侧撑杆高度改变对结构静力特性的影响

保持结构中部撑杆长度不变时仅改变两侧撑杆的长度, 相当于改变侧杆与中杆长度的比值。在全跨均布荷载下, 随着侧杆长度递增, 结构的最大位移和最大应力指标在荷载值较小时改善不多, 在荷载值较大时却呈现较大幅度提高。但当侧杆的长度增加到一定值时, 即当侧杆长度达到中杆最大长度的1.2倍及以上时, 单纯增加侧杆高度对结构各项指标的改善作用就不再那么显著。在半跨均布荷载下, 结构受力状态较为不利些, 最大正位移在结构的正负位移指标中起主控作用, 通过增加侧杆长度对结构受力性能的改善作用有限并不明显, 尤其对最大应力指标影响不大。

2.3 同时改变中部撑杆和两侧撑杆长度对结构静力特性的影响

如图6所示有三种结构不同的撑杆工况 (中杆图中只注明最大长度) , 各工况设置参数为:中杆由两侧向中部分别为1.8 m, 3 m, 3.6 m, 3.9 m, 侧杆为2.7 m;中杆为1.8 m, 3 m, 3.6 m, 3.9 m, 侧杆为3.9 m;中杆为2.1 m, 3.6 m, 4.8 m, 5.4 m, 侧杆为3.9 m, 在全跨或半跨均布荷载下, 在侧杆长度不变时再增加中杆的长度对结构受力性能的改善很少。在全跨荷载下, 结构的最大正位移在荷载值较大时有一定改善, 只增加中杆长度有利于控制结构竖直向下的正向位移, 但对结构最大应力的降低作用不及只增加侧杆长度时那么明显。同理计算分析可知, 单纯增加中杆长度不能起到抵抗半跨荷载的作用, 在半跨荷载下, 随着撑杆长度的增加, 最大应力呈增加趋势但增幅很小。

3 结语

1) 新型拉索—单层柱面网壳结构的矢跨比不宜定的过大, 取0.3较为合理。2) 当结构以位移为主要控制指标时, 在半跨均布竖向节点荷载下, 增加中部撑杆的长度并不能提高结构抵抗半跨荷载作用的能力, 但两侧撑杆高度的增加使结构的正负位移指标皆有一定程度的减小, 故可通过增加两侧撑杆高度改善结构在半跨荷载作用下的静力特性。3) 当结构以位移为主控指标时, 在全跨均布竖向节点荷载下, 在一定范围内无论随着两侧撑杆长度还是中部撑杆长度的增加, 正位移指标都呈降低趋势, 但荷载较小时负位移指标略微增加, 此时竖直向上的节点位移为主控指标;荷载较大时, 负位移方呈减小趋势, 此时竖直向下的节点正位移为主控指标。4) 两侧撑杆长度的增加使得结构在全跨均布荷载下最大应力指标始终呈降低趋势, 但在半跨均布荷载下却呈增加趋势。中部撑杆长度的增加对结构杆件应力状态的影响不大。

摘要：利用大型有限元软件ANSYS建立了新型预应力单层柱面网壳结构的有限元模型, 分析了特定初始参数下新型预应力单层柱面网壳结构在不同竖向荷载工况作用下矢跨比、撑杆高度等结构参数的变化对结构静力特性的影响, 较深入地研究了结构大节点位移和大应力的变化规律, 以供参考。

关键词：新型预应力单层柱面网壳结构,参数,变化规律

参考文献

[1]王秀丽, 徐英雷, 张宪江.新型拉索—单层柱面网壳结构性能初探[A].刘锡良.第七届全国现代结构工程学术研讨会论文集[C].北京:工业建筑出版社, 2007:367-373.

[2]徐英雷, 王秀丽.新型拉索—单层柱面网壳结构的稳定性和参数分析[J].四川建筑科学研究, 2010, 36 (2) :88-91.

[3]尹德钰, 刘善维, 钱若军.网壳结构设计[M].北京:中国建筑工业出版社, 1996.

[4]赵建伟.某单层球面网壳结构设计[J].山西建筑, 2012, 38 (21) :48-50.

[5]JGJ 61-2003, 网壳结构技术规程[S].

动力和静力分析篇5

关键词：有限单元,非对称有限元公式,高阶完备性,强迫振动

在过去的几十年中,有限单元法已经广泛地应用于科学和工程领域。但是,采用传统的等参单元经常遇到困难。例如,传统的等参单元在畸变网格时产生精度下降的问题。为了改善有限元的精度,学者们在此方面进行了大量的研究工作。

Wilson等[1]引入内部参数,提出了著名的四节点四边形非协调Q6单元。Taylor等[2]随后对其修改提出了QM6单元,使其能够严格通过分片检验。近些年出现的无网格法由于不需要网格离散问题域并且具有高精度和应力连续的特点,吸引了学者的兴趣,涌现了许多种类型的无网格法[3],有无网格伽辽金法,无网格点插值法等。但是无网格法的形函数不具有Kronecker-delta性质因而直接施加本质边界条件比较困难。

由Rajendran[4]提出的FE-LSPIM四边形单元属于杂交单元,该单元综合了有限元法和无网格法的优点。但是它在施加整段边界需满足的位移条件时不方便,需要用罚函数法或拉格朗日乘子法。根据非对称公式,US-FE-LSPIM四边形单元分别由四节点等参形函数插值的位移函数和FE-LSPIM四边形单元形函数插值的应力函数作为检验函数和试函数而构成。它能方便地施加整段边界的位移条件,同时保留了FE-LSPIM 四边形单元的优点。本文将其应用于分析二维固体的静力和强迫振动问题。

1 US-FE-LSPIM四边形单元

1.1 FE-LSPIM 四边形单元的形函数单元内位移u写成

u(x,y)=N′ue (1)

式(1)中, $Ν^{´} = [\begin{matrix} Ν_{1} & Ν_{2} & Ν_{3} & Ν_{4} \end{matrix}]$ ;Ni,i=1,2,3,4是四边形等参元形函数。

$u^{e} = {\begin{matrix} u_{1} (x, y) & u_{2} (x, y) & u_{3} (x, y) & u_{4} (x, y) \end{matrix}}^{Τ} (2)$

ui(x,y),i=1,2,3,4,为节点位移函数,在该节点处等于其位移值,即:ui(xi,yi)=ui,i=1,2,3,4。位移函数ui(x,y)由i点的支持域内的节点值运用最小二乘点插值法(LSPIM)得到,

ui(x,y)=Φiui;i=1,2,3,4 (3)

式(3)中 $Φ_{i} = [\begin{matrix} Φ_{1}^{i} & Φ_{2}^{i} & Φ_{3}^{i} & \dots & Φ_{Ν}^{i} \end{matrix}], i = 1, 2, 3, 4$ ; $u_{i} = [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} & \dots & u_{Ν} \end{matrix}]^{Τ}$ 。

其中Φi是LSPIM法的关于节点i的形函数矩阵,ui是节点i支持域内节点的位移参数向量,N是节点i支持域内的所有节点数。对于该单元内的其他节点,N可能不同。一个单元所有节点支持域的合集构成了一个单元的支持域Ω。

节点支持域和单元支持域的定义如图1所示。

节点位移函数可以写成下列形式:

$\underset{Ν \times 1}{u_{i}} = \underset{Ν \times 8}{Ρ} \underset{8 \times 1}{a} (4)$

式中

$u_{i} = [\begin{matrix} u_{i} & u_{2} & u_{3} & u_{4} & \dots & u_{Ν} \end{matrix}]^{Τ}$ ;

$a = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & \dots & a_{8} \end{matrix}]^{Τ}$ 。

记单元的第一个节点记为节点i。由于传统的最小二乘近似使得节点i的位移近似值不等于该点的位移值,即ui≠p(xi,yi)a,导致位移条件施加比较困难。故为了使节点i的位移近似值等于该点的位移值,采用文献[4]方法,利用方程(4)中的第一个方程解出a1,再从方程(4)其余的方程中消去a1,整理可得

ui(x,y)=Φiui (5)

则LSPIM的节点形函数Φi可写成:

$\underset{1 \times Ν}{Φ_{i}} = [1 - (\underset{1 \times 7}{\bar{q}} \underset{7 \times (Ν - 1)}{\bar{Q}} \underset{(Ν - 1) \times 1}{1}) | \underset{1 \times 7}{\bar{q}} \underset{7 \times (Ν - 1)}{\bar{Q}}] (6)$

式(6)中 $\bar{q} \equiv \bar{q} (x, y) = \bar{p} (x, y) - \bar{p} (x_{i}, y_{i})$ ;

$\bar{p} (x, y) = [\begin{matrix} x & y & x^{2} & x y & y^{2} & x^{2} y & x y^{2} \end{matrix}]$ ;

$\bar{p} (x_{i}, y_{i}) = [\begin{matrix} x_{i} & y_{i} & x_{i}^{2} & x_{i} y_{i} & y_{i}^{2} & x_{i}^{2} y_{i} & x_{i} y_{i}^{2} \end{matrix}]$

$\bar{Q} = (\bar{Ρ}^{Τ} \bar{Ρ})^{- 1} \bar{Ρ}^{Τ}$ 。

$\begin{array}{l} \bar{Ρ} = [\begin{matrix} x_{2} - x_{i} & y_{2} - y_{i} & x_{2}^{2} - x_{i}^{2} & x_{2} y_{2} - x_{i} y_{i} \\ x_{3} - x_{i} & y_{3} - y_{i} & x_{3}^{2} - x_{i}^{2} & x_{3} y_{3} - x_{i} y_{i} \\ x_{4} - x_{i} & y_{4} - y_{i} & x_{4}^{2} - x_{i}^{2} & x_{4} y_{4} - x_{i} y_{i} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{Ν} - x_{i} & y_{Ν} - y_{i} & x_{Ν}^{2} - x_{i}^{2} & x_{Ν} y_{Ν} - x_{i} y_{i} \end{matrix} \\ \begin{matrix} y_{2}^{2} - y_{i}^{2} & x_{2}^{2} y_{2} - x_{i}^{2} y_{i} & x_{2} y_{2}^{2} - x_{i} y_{i}^{2} \\ y_{3}^{2} - y_{i}^{2} & x_{3}^{2} y_{3} - x_{i}^{2} y_{i} & x_{3} y_{3}^{2} - x_{i} y_{i}^{2} \\ y_{4}^{2} - y_{i}^{2} & x_{4}^{2} y_{4} - x_{i}^{2} y_{i} & x_{4} y_{4}^{2} - x_{i} y_{i}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ y_{Ν}^{2} - y_{i}^{2} & x_{Ν}^{2} y_{Ν} - x_{i}^{2} y_{i} & x_{Ν} y_{Ν}^{2} - x_{i} y_{i}^{2} \end{matrix}] 。 \end{array}$

1为所有元素均为1的列向量。Φi(i=1,2,3,4)均可求出,则根据节点域中节点在单元支持域中的位置,可组装成相应于单元支持域的LSPIM单元形函数矩阵Φ。

设单元支持域Ω内的节点数为M,1≤N≤M,则方程(3)就可以写成单元支持域的形式:

$\begin{array}{l} u^{e} = {\begin{cases} u_{1} (x, y) \\ u_{2} (x, y) \\ u_{3} (x, y) \\ u_{4} (x, y) \end{cases}} = {\begin{cases} Φ_{1} u_{1} \\ Φ_{2} u_{2} \\ Φ_{3} u_{3} \\ Φ_{4} u_{4} \end{cases}} = \\ [\begin{matrix} Φ_{1}^{1} & Φ_{2}^{1} & Φ_{3}^{1} & Φ_{4}^{1} \\ Φ_{1}^{2} & Φ_{2}^{2} & Φ_{3}^{2} & Φ_{4}^{2} \\ Φ_{1}^{3} & Φ_{2}^{3} & Φ_{3}^{3} & Φ_{4}^{3} \\ Φ_{1}^{4} & Φ_{2}^{4} & Φ_{3}^{4} & Φ_{4}^{4} \end{matrix} | \begin{matrix} Φ_{5}^{1} & \dots & Φ_{Μ}^{1} \\ Φ_{5}^{2} & \dots & Φ_{Μ}^{2} \\ Φ_{5}^{3} & \dots & Φ_{Μ}^{3} \\ Φ_{5}^{4} & \dots & Φ_{Μ}^{4} \end{matrix}] {\begin{cases} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \underline{u_{4}} \\ u_{5} \\ ⋮ \\ u_{Μ} \end{cases}} = \underset{4 \times Μ}{Φ} \underset{Μ \times 1}{u} (7) \end{array}$

Φ是相应于单元支持域的LSPIM单元形函数矩阵,u是单元支持域内所有节点的x方向的位移向量。对于节点i,如果节点j不在节点i的支持域中,那么Φ $_{j}^{i}$ 等于零。方程(7)中Φ的前四列为该单元的四个节点,其他列则是该支持域内的其他点。

将方程(7)带入式(1)得:

u(x,y)=N′(Φu)=(N′Φ)u=Ψu (8)

从方程(8)中,可以得到FE-LSPIM四边形单元形函数的形函数矩阵:

$\underset{1 \times Μ}{Ψ} = \underset{1 \times 4}{Ν^{´}} \underset{4 \times Μ}{Φ} = [\begin{matrix} Ψ_{1} & Ψ_{2} & Ψ_{3} & Ψ_{4} \end{matrix} | \begin{matrix} Ψ_{5} & \dots & Ψ_{Μ} \end{matrix}]$ (9)

1.2 US-FE-LSPIM四边形单元公式

线弹性体在平衡状态下的虚功方程为:

∫ΩδεTσdΩ-∫ΩδuTbdΩ-∫ΓδuTtdΓ=0 (10)

b为体力,t为面力,δu是虚位移场,δε是相应的虚应变场,σ为真实的应力场。

对于一个完整的二次位移场,位移可以写成:

u(x,y)=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2 (11)

v(x,y)=b1+b2x+b3y+b4x2+b5xy+b6y2 (12)

根据高阶单元形函数完备性条件的要求[5],为了重构式(11)、式(12)表示的位移域,形函数S须满足下列方程:

$\sum_{i = 1}^{n} Ν_{i} x_{i}^{p} y_{i}^{q} = x^{p} y^{q}$ ;p,q=0,1,2 (13)

由于Ψ[4]函数的重构性, FE-LSPIM四边形单元形函数Ψ能满足式(13)中所有方程。但是常规的四边形等参元形函数只在方程组(13)中的p,q取0或1时,才能成立。

方程(10)中的虚位移可以是任意的,只要它满足本质边界条件和域内连续性条件。常规的四边形等参元形函数插值的位移、应变是个合适的选择。相对于FE-LSPIM 四边形单元,选择式四边形等参元形函数插值的位移、应变作为检验函数能够直接在整段长度的边界上施加位移,而不需要用罚函数或拉格朗日乘子法。

则式(10)可写成

$\begin{array}{l} A_{e = 1}^{Κ} (\int_{Ω (e)} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} \bar{B}^{Τ} σ d Ω^{(e)} - \int_{Ω^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} Ν^{Τ} F d Ω^{(e)} - \\ \int_{Γ^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} Ν^{Τ} t d Γ^{(e)}) = 0 (14) \end{array}$

式(14)中, $A_{e = 1}^{Κ}$ 表示单元的累加。σ是真实的应力。

在传统的伽辽金法中,σ是由等参元插值表示的 $\bar{σ}$ 替代,则方程(14)可以改写成

$\begin{array}{l} A_{e = 1}^{Κ} (\int_{Ω^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} \bar{B}^{Τ} \bar{σ}^{(e)} d Ω^{(e)} - \int_{Ω^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} Ν^{Τ} \bar{F}^{(e)} d Ω^{(e)} - \\ \int_{Γ^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} Ν^{Τ} \bar{t}^{(e)} d Γ^{(e)}) = 0 (15) \end{array}$

从方程(15)的左边减去方程(14)的左边,并且面力和体力的分布完全由等参元形函数插值得到,则面力和体力项等于零。整理得

$A_{e = 1}^{Κ} [\int_{Ω^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} \bar{B}^{Τ} (\bar{σ}^{(e)} - σ^{(e)}) d Ω^{(e)}] = 0 (16)$

这个等式在全局层次上成立,但在单元层次上不一定成立。这是由于等参元形函数不能满足高阶单元完备性的要求。这导致了传统的单元在网格畸变时产生较差的结果。为了改善单元的性能,使用非对称有限单元的概念[6],选择FE-LSPIM四边形单元形函数插值的应力函数作为试函数。即

$\overset{\land}{σ}^{(e)} = D \overset{\land}{ε}^{(e)} = D \overset{\land}{B} \overset{\land}{u}_{Μ}^{(e)} (17)$

将式(17)代入式(16)得,

$A_{e = 1}^{Κ} [\int_{Ω^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} \bar{B}^{Τ} D L (\overset{\land}{u}^{(e)} - u^{(e)}) d Ω^{(e)}] = 0 (18)$

由于FE-LSPIM四边形单元形函数能够在单元任何一点中准确地重构单项式基{1,x,y,x2,xy,y2,x2y,xy2}中的任何一项,则 $\overset{\land}{u}^{(e)} - u^{(e)} = 0$ 。这样式(18)就能在单元层次上成立。这是比用四节点等参元形函数插值作试函数更好的选择。则将FE-LSPIM四边形单元形函数插值的应力函数代入方程(14)可得

$\begin{array}{l} A_{e = 1}^{Κ} (\int_{Ω^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} \bar{B}^{Τ} D \overset{\land}{B}^{(e)} \overset{\land}{u}_{Μ}^{(e)} d Ω^{(e)} - \int_{Ω^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} \times \\ Ν^{Τ} F^{(e)} d Ω^{(e)} - \int_{Γ^{(e)}} δ \bar{u}_{n}^{(e)^{Τ}} Ν^{Τ} t^{(e)} d Γ^{(e)}) = 0 (19) \end{array}$

系统方程则为

KU=F (20)

式(20)中 $Κ = A_{e = 1}^{Κ} (\int_{Ω^{(e)}} B^{Τ} D \overset{\land}{B} d Ω^{(e)})$ ;

$F = A_{e = 1}^{Κ} (\int_{Ω^{(e)}} Ν^{Τ} F^{(e)} d Ω^{(e)} + \int_{Γ^{(e)}} Ν^{Τ} t^{(e)} d Γ^{(e)})$ 。

1.3 强迫振动的US-FE-LSPIM单元离散形式

由哈密顿原理可得运动方程:

$Μ \ddot{u} + C \dot{u} + Κ u = F (21)$

式(21)中, $Μ = \sum_{e = 1}^{n} \int_{Ω^{(e)}} Q^{Τ} ρ Q d Ω^{(e)} (22)$

M质量矩阵, Q是式(6)中元素组成的2×2M矩阵。C为阻尼矩阵,本文取瑞利阻尼:

C=αM+βK (23)

式(23)中α,β是瑞利阻尼系数。

运动方程(21)的求解有多种方法,本文采用Newmark方法,求解参数取α=0.25, δ=0.5。

2 数值算例

2.1 静力问题Cook悬臂梁

如图2所示,右端边界受剪力P=1 N作用的变截面悬臂梁。采用2×2,4×4,8×8的网格划分模型。泊松比μ为1/3,弹性模量E=1 Pa。图中长度单位为米。A点的位移,表1所示。其它类型单元的结果亦列于表中。从表1中可以看出,US-FE-LSPIM单元具有很高的精度,显示了良好的收敛性。

2.2 动力问题简支梁

如图3(a)所示单位厚度简支梁,长L=48 m,高D=12 m,弹性模量E=1×106 Pa, 泊松比μ=0.3,ρ=200 kg/m3,采用图3(b)3×10畸变网格划分。瑞利阻尼系数α=0.005,β=0.272。考虑以下两种工况:

(1)在梁的上端中点A受一正弦周期荷载F=10 000sin(ωt)。其中ω=0.7,作用时间t=50 s,时间步长取Δt=0.1 s,图4(a)绘出了有阻尼时Q4单元(四边形等参元)、QM6单元和本文单元计算的简支梁下端中点B的位移响应,参考值取采用8×28规则网格划分Q4单元计算的位移响应。从图上可以看出,在畸变网格下,US-FE-LSPIM单元依然保持具有良好的精度,非常接近参考值,结果优于Q4单元和QM6单元。

(2)A点受一抛物线F=-400(t-5)2+10 000作用。作用时间t=10 s,时间步长Δt分别取0.01 s,0.25 s,0.5 s,1 s。US-FE-LSPIM单元计算的B点位移响应绘于图4(b)。从图4中可以看出时间步长的改变,对计算精度影响不大。

3 结论

本文根据非对称有限单元公式,推导出US-FE-LSPIM四边形单元的公式并将其用于二维固体的静力和强迫振动分析。通过推导的公式及典型算例可以得出:(1)分析静力问题时该单元在稀疏网格下具有较高的精度;(2)对于强迫振动问题,网格畸变和时间步长对精度的影响不大,单元的表现优于Q4单元和QM6单元。与FE-LSPIM四边形单元相比,该单元不需要通过使用罚函数法或拉格朗日乘子法使得整段边界满足位移边界条件。

参考文献

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[6] Rajendran S,Liew K M.A novel unsymmetric 8-node plane elementimmune to mesh distortion under a quadratic displacement field.In-ternational Journal for Numerical Methods in Engineering,2003;58(11):1713—1748

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