动力学分析论文

动力学分析论文（通用12篇）

动力学分析论文 篇1

每个击球者都知道,在棒球棒的大头部分有一个点,当用这一点击球时转移的能量会达到最大.这一点为什么不在棒球棒的顶端呢?一个基于扭矩的简单解释似乎可以确定“最佳点”[1]应该出现在球棒的顶端,但是这与实际的经验不符.从击球者的角度看,最佳击球点应该是能打出本垒打——球以最快的速度离开球棒并且击球者的手几乎感觉不到振动和冲击.如果打在这个最佳点,球和棒的冲击将会导致棒比较小的振动,并把棒的能量尽量多的转移给球,使球能够快速飞出[2].相反,如果打在最佳击球点之外,球与棒之间的冲击力将会导致棒明显的振动,而且你的手常常会感到一阵疼痛.这样球就飞不远了,因为有相当一部分能量被贮存在棒的振动之中了.

1 模态分析

Howard Brody[3]已经证明手握棒球棒时明显增加了棒的阻尼,能使棒的自由振动很快地衰减掉.然而,手的作用不会很明显地改变球棒的固有频率和模态振型.因此,建立两端自由边界条件的有限元模型是符合实际情况的[4].

如图1所示,首先列出控制方程

设方程的解为

系统的解是无穷多个主振型的叠加,qn是幅值,yn(x)为振型值.

自由振动方程为

由于球棒的横截面是一个变截面,采用上述解析法求解比较困难,本文采用有限单元的方法来计算棒球棒的模态参数.根据实际球棒建立的有限元模型如图2,采用四面体单元划分网格.

普通木质(通常是木屑)球棒可以看成是各向同性材料,计算表明它的第一阶模态的节点在距球棒两端大约15 cm处,基频193Hz(见图3).第二阶模态的频率为663Hz,其中一个节点在从球棒中心朝手柄方向5cm处,另一个节点在距球棒末端大约12cm处,第3个节点在距手柄端5cm左右(见图4).第三阶模态频率为1269Hz(见图5).

2 最佳击球点的确定

强迫振动方程

将上式每项乘以yn(x),再沿全梁积分,可得

其中yn(xi)为某阶模态在击球点处相对应的振型值.

在模态坐标下,可知广义力

假设每次击打棒球时,作用力都相同.则由式(6)知每阶模态广义力Qn的大小与击球点处相对应振型值yn(xi)成正比.

球棒的前两阶模态是很容易被击打力激励出来的,这是因为球与棒之间的冲击力时间在1.5 ms左右(图6),大约是第二阶模态的周期.通过对冲击力的频谱分析,它的峰值在零处并慢慢衰减至1000Hz左右的地方.尽管更高阶的模态会被激起,但是它们的幅值相比一二阶模态会大幅减小,所以在这里忽略高阶模态的影响,我们只需讨论前两阶的模态,即击打棒球所引起的球棒振动可以看成是第一第二阶振型叠加的效果,即

由式(5)和(6)可知,qn (t)的大小与每阶模态的广义力有关,从而影响最终总的响应幅值.

因为广义力Qn与相对应的振型值yn (xi)成正比.每阶模态的广义力越大,所激起的相对应模态的幅值就越大.如果棒球打在一阶模态的节点1处(图8),此时振型值y1 (xi)为零,则一阶模态下的广义力也为零,从而计算得到激起的一阶模态幅值q1(t)也为零,因此不会激起一阶模态,只会激起第二阶模态.相同地,如果打在二阶模态的节点2处,将会激励出一阶模态而不会激出二阶模态.如果棒球打在其他地方,这两个模态都会被激起.由图8可知,在节点1和2之间区域之间,前两阶振型值yn(xi)都很小甚至在节点处为零,所以广义力都很小.越往节点1右侧或者越往节点2的左侧,前两阶振型值都有增大的趋势.因此距离节点1和2之间区域越远,得到的每阶模态的广义力就越大,从而激起的前两阶模态的幅值越大,影响击球质量.由此可以确定球击打在第一第二阶模态节点之间(距离球棒末端大约12～15 cm处)是最理想的,即所谓的击球最佳点(见图8).击打在这个区间,所激起的前两阶模态振幅都比较小,只会引起球棒比较小的振动并听到一声干净利落的击打声,这样能把棒的能量尽可能多的转移给球,使球能够快速飞出,让球员打出好成绩.而打在最佳击球点之外,球与棒之间的作用力将会导致球棒明显的振动,使你的手常常会感到一阵疼痛.这种情况球就飞不远了,因为有相当一部分能量被贮存在棒的振动之中了.

3 球棒“软木化”或金属球棒对最佳击球点的影响

给球棒“软木化”(在球棒头部掏出一个圆柱空腔,在里面塞入软木或橡胶,然后盖上木帽)或采用金属材料能够增加“最佳点”的击球效果.图9是3种棒球棒最佳击球区间的比较:一种木质材料,一种是铝合金材料还有一种是对棒球棒进行了“软木化”.“软木化”后最佳击球区间相比原来木质材料有所改善,而铝合金材料的球棒比前两种有更宽的击球范围.所以软木化和金属的球棒更适合于业余选手的使用,而美国职棒大联盟是禁止使用“软木化”或金属材料的棒球棒的,这显然增加比赛的难度.

虽然铝合金球棒有更宽的击球区间,但是它的阻尼相比木质的却小很多.当球击打到球棒上后,木质球棒的振动在一到二个周期内就会衰减掉,而铝合金的振动时间是木质材料的十倍之多[5,6].另外,铝合金球棒的振幅比木质球棒的大,所以虽然铝合金棒的击球区间比较大(见图10),但是如果打在最佳击球点之外,它的效果会更差,你的手会感到更加疼痛.现在铝合金棒球棒手柄都缠绕着橡胶,或者采用了一些新的技术来减小球棒的振动,所以现在的铝合金球棒比大多数木质的球棒使用效果好一些.

4 模态试验

本文应用LMS公司的模态试验软件对普通木质球棒进行模态分析,采用单点拾振多点敲击的锤击法测模态参数(见图11).试验结果的一阶和二阶频率分别是193Hz和650Hz.与数值分析的普通木质球棒结果比较吻合,其振型也和有限单元计算结果相似,如图12和图13所示.这验证了前面有限元模型的正确性.

5 结论

(1)振动理论计算结果表明,“最佳点”不出现在球棒的顶端,而是在第一、第二阶模态节点之间,这一区间是最理想的击球区域.

(2)球棒“软木化”或金属球棒相比普通木制球棒具有更宽的击球范围.这样就会降低比赛的技术性,所以美国职棒大联盟是禁止使用“软木化”或金属材料的棒球棒的.

(3)模态试验的结果验证了数值模拟的正确性,采用有限单元模型的数值模拟能为球棒振动分析提供参考.

参考文献

[1] Nathan AM.Characterizing the performance of baseball bats.American Journal of Physics,2003,71(2):134-143

[2] Van Zandt LL.The dynamical theory of the baseball bat. American Journal of Physics,1992,60:172-181

[3] Brody H.Models of baseball bats.American Journal of Physics,1990,58(8):756-758

[4] Nathan AM.Dynamics of the baseball-bat collision.American Journal of Physics,2000,68(11):979-990

[5] Fricke JR.Lodengraf damping - an advanced vibration damping technology.Sound and Vibration,2000,34(7): 22-27

[6] Cross R.The sweet spot of a baseball bat.American Journal of Physics,1998,66(9):771-779

动力学分析论文 篇2

摘要：从长期被石油污染的土壤中分离了一株优势菌,经鉴定为铜绿假单胞菌,研究了该菌株对蒽的降解性能,结果发现该菌株对蒽有良好的.降解效果.经过147h的降解,蒽的浓度从100 mg/L降至27.5 mg/L,降解了72.5 mg/L,降解率达72.5%,显示了极强的降蒽能力.同时,进行了动力学分析,结果表明蒽的残留浓度Y(mg/L)与时间t(h)符合方程Y=90.4322e(-0.0098)x.作 者：魏明宝 王纪军 刘海员 张腾 WEI Ming-bao WANG Ji-jun LIU Hai-yuan ZHANG Teng 作者单位：魏明宝,张腾,WEI Ming-bao,ZHANG Teng(郑州轻工业学院材料与化工学院,郑州,450002)

王纪军,WANG Ji-jun(郑州市市政工程勘测设计研究院,郑州,450023)

刘海员,LIU Hai-yuan(郑州中法供水有限公司,郑州,450002)

音乐表演紧张心理的动力学分析 篇3

一、表演者的生活空间

需求与紧张、紧张与目标、目标的吸引力与排拒力以及各种力的相互作用构成的动力场,被勒温称为“生活空间”④。在勒温看来,“紧张”始终处于一种系统之中,“生活空间”也就是“紧张”所处的系统,它可以划分为不同的区域,“生活空间的每一个区域,都会产生一定的疆界,由一个区域进入另一个区域称之为移动,而对生活空间中心理移动具有抗拒作用的疆界,便是一种阻碍”⑤。勒温的“生活空间”理论还指的是“一个人在某一时间内的行为所由决定的全部的事实”⑥,即某一时间内决定个体行为和心理活动的一切事实。存在于生活空间中的事实都将一定程度的影响个体当时的心理活动和行为。他用一个函数公式表达了人的行为和生活空间的关系:B=f?穴PE?雪=f?穴LS?雪。B指人的行为,P指人,E指环境,LS指生活空间,生活空间包括人与环境,行为就发生在其中,它既是人与环境的函数也是生活空间的函数⑦。该公式深刻地阐释人的行为(或心理活动)受到人与环境因素的共同影响。

音乐表演是时间的艺术,也是一门具有高度技巧性的表演艺术。表演者借助某类乐器或人声,来表达内心体验、抒发思想感情的创造性思维活动。“台上一分钟,台下十年功”,平时的千锤百炼化作瞬间,在整个音乐表演的动态流程中,紧张心理贯穿始终,要分析这个复杂的心理紧张系统,首先要先弄清表演者所处的“生活空间”。根据勒温关于生活空间的拓扑学描述,可以将表演者的生活空间划分为以下几个区域(如图一所示):

图一:对音乐表演过程的拓扑分析

P:后台准备 E:报幕入场 R:预备调整 PL:表演 F:结束退场

从中可看出,表演者要完成一次音乐表演需要经历诸多区域,每个区域中都包含了影响其当时心理活动和行为的因素,且各区域中其内在需求、心理紧张和欲求目标也有所不同。图中的PL区域,是两个区域间的疆界地带,若是表演中出现任何差错,如中途停顿、错音等,这疆界就成了阻碍,因此表演者能否顺利“通过”该疆界是音乐表演成功的关键。

根据勒温的公式可见,在音乐表演环节(即PL区域)中,导致表演者心理紧张的因素是多方面的:观众反映、乐曲难度、舞台环境、表演者自身心理素质等。任何一方出现异常,都有可能使表演者产生与之相应的行为。这种影响可能是积极的,也可能是消极的。表演者要尽可能的预见异常,尝试多种解决措施,以减少实际表演中由“生活空间”对自身行为产生的消极影响。

二、音乐表演中的心理紧张系统

近年来,在有关音乐表演的研究中,心理紧张问题越来越受到研究者的关注,分析心理紧张的原因、寻找紧张释放的对策是这类研究的主要内容。但由于音乐表演是独具个性的表演艺术,其个性化特征致使理论研究者在追寻音乐表演心理的普遍规律时有很大的难度。以往的相关研究虽具有一定的开创性,但都或多或少都犯了同一个错误:对“紧张心理”影响演奏的认识囿于消极的片面。事实上,心理学研究认为,适度的焦虑和紧张对集中注意力,提高效率,发挥技能是有一定积极作用的。

在勒温动力心理学中,“紧张”(tension,或译张力)是一个基本的动力概念,它和“需求”一样,都是人类行为的动力来源。当心理需求(准需求)打破了原有的内在心理平衡,就引起一定的心理紧张,“只要在一个人的内部存在一种心理的需求,也就会存在一种处于紧张状态的系统”⑧。使需求获得满足,让紧张得以释放,这其实也就为人的心理活动或行为提供了动力。“紧张”也有目标,当“实行了一种移动,或达到了一种目的即意味着紧张的解除”⑨,紧张的解除也就是达到所对应的目标。这目标,也具有力的性质,勒温称之为“引拒值(valence)”,正的引拒值具有吸引力,负的引拒值具有排拒力,它们和需求、紧张一样,也能推动人的行为。从勒温的心理紧张系统的观点来看,可见紧张并不是一种单纯焦虑或不愉快的心理状态,而是一种行为的准备或激发状态,也不是一种被动的寻求自我满足的能量,而是一种积极的趋向目标的动力。据此,再分析图一中表演者在各区域中相应的内在需求、心理紧张和欲求目标情况:为了完成好即将到来的任务(内在需求),打破了表演者原有的心理平衡,从而产生心理紧张,紧张又反过来形成一种动力,激励他实现目标,创造新的平衡。在这过程中,心理紧张和内在需求以及欲求目标是同时存在并作用于表演者的。如即将轮到“报幕入场”,打破了演奏者在后台准备时已建立的心理平衡,完成“入场”行为的需求使其不由自主地产生紧张,随着“报幕然后入场”,目标达到,紧张得以解决,又建立起一种新的平衡,但这平衡马上又被接下来即将到来的区域给打破了,如此循环,直至整个演奏结束,甚至从某种意义上说,即便结束了本次演奏,也孕育了下一个“心理紧张系统”,因为表演者会不由自主地将本次表现作为要超越的目标,“紧张”地准备下一次演出。在这些区域中,尽管各区域都有不同的心理需求目标,但就音乐表演整个过程来看,表演者有一个总的欲求目标,就是顺利而准确地完成演奏,获得成功的体验。尽管“顺利而准确”,对于不同人理解会有不同:如一般钢琴学员或许只要完整、流畅地演奏并尽可能表现某种情感就行;而对钢琴大师来说,可能不仅仅是流畅自如,更要有“游刃有余”的境界并能表现较高的艺术修养,但是,只要达到了各自的“欲求目标”,就都能体验到成功的意味。可见,针对个人情况,制定适当的欲求目标,从而产生相应的心理紧张系统,对音乐表演是大有益处的。

关于紧张目标,即引拒值与个体所处的紧张状态的关系,在勒温心理紧张系统理论中还有更丰富的内容:当个体处于紧张状态时,周围的某一与目标有关的区域便具有了相应的正的引拒值,产生吸引力,亦即成为心理紧张趋向的目标;反之,周围与目标无关的区域具有负的引拒值,产生排拒力,使得产生个体趋离该区域的行为。勒温阐述了这种心理动力的三种情景:“(1)吸引力与吸引力之间的冲突,即个体处于两种具有正的引拒力的目标之间;(2)排拒与排拒之间的冲突;(3)吸引与排拒之间的冲突,目标同时具有吸引力,也具有排拒力。”⑩

一些表演者在舞台上总是不能发挥自己应有的水平,有的用同样的曲目在某次登台时发挥得较好,而在另一次登台时却大不如前;而有些表演者则相反,他们在舞台上总是能展现精湛的技艺和优美的音乐,给观众以美的享受。这仍然和音乐表演中的心理紧张系统有关。在音乐表演中,表演者的目标除了“欲求目标”外,还可具体地分为有很多种,如满足观众审美需求、完成某个高难度技巧等。这些目标兼具阶段性和整体性特征,阶段性指的是某一目标只在演奏过程的某个阶段出现,如完成某个高难度技巧;整体性指的是某一目标贯穿演奏过程始终,如获得成功的体验。不同目标吸引演奏者“进入”不同的区域(见图二):

图二:对音乐表演心理紧张系统的向量分析

H=外壳,表示非心理因素 E-=环境 G=行为目标

S=行为系统区域 E1=表演者沉浸在音乐中的环境

E2=观众给予表演者的环境 G1=表演者期望实现的“欲求目标”

G2=表演者期望满足观众的审美需求

S1=表演者自身与音乐构成的表演区域

S2=表演者与观众、音乐构成的表演区域

图二中,表演者和环境共同组成了他的生活空间,心理紧张是区域S与周围的环境失去了平衡,并企图达到新平衡的一种状态。当表演者处于紧张状态时,S1或S2中的某一“适当”区域,便具有相应的引拒值,并形成趋向各自的目标(G)。如若表演者将目标对象转向观众,想着最大限度满足观众的审美需求,周围与观众有关的区域(S2),便有了正的引拒值,吸引表演者趋向该区域,观众的任何一个态度、反映都能影响表演者的心理活动和演出行为,尽管很多时候这种影响都是消极的。

以钢琴演奏为例,钢琴家之所以能成为“钢琴家”,不仅是因为他们具有高超的演奏技艺,还由于他们具有良好的演奏心理,能自然地控制演奏中的心理紧张系统,使内心始终保持好平衡状态。这种控制能力看起来像是与生俱来的,因为我们常常称一些临场发挥优秀的表演者(尤其是孩子)为“音乐天才(神童)”。然,通过用勒温动力心理学的心理紧张系统和生活空间理论来分析音乐表演中内隐的心理因素,可以看出“音乐天才(神童)”们“与生俱来”的心理控制能力并非深不可测,相反是“有法可循”的。

首先,演奏前调整好自己的“欲求目标”。目标过高,需求就越强,也就越紧张,演奏时承载的“力”就会超出负荷,最终达不到成功的体验;目标过低,则不利于发挥已有水平,表现平平,同样达不到成功的体验。其次,演奏中将目标集中在“欲求目标”上,尽量减少其他心理和环境因素的干扰。影响表演者的一个普遍环境和心理因素来自于观众,通常一个人弹琴和在朋友面前弹琴以及在很多陌生人面前弹琴,表演者的心理复杂程度是递增的。在音乐表演中学会控制和调节,注意将目标集中在自己的“欲求目标”上,排除来自观众等影响的其他心理需求,对于表演者来说非常重要。智利钢琴家克劳迪奥·阿劳曾说:“我总是努力保持独立,不受听众的影响。如果听众理解我的演奏,我高兴:如果不理解,我绝对不能让它影响自己。该怎样弹就照样弹下去。在音乐会上,最要不得的是虚荣心。举例来说,绝不能因为快速可能赢得听众的喝彩就采用不该用的快速。虚荣心破坏音乐和演绎者之间的整体关系。”{11}排除干扰、聚精会神,才能形成一个有助于音乐表演的生活空间。最后,演奏结束后要总结经验,在以后的演奏中不断加强和完善。勒温的“动态”平衡说明:一种平衡,既是一次活动的结束,也是下一次活动的准备或开始,也孕育着“紧张”的产生。无论这次音乐表演是成功还是失败,都要总结经验,全心投入下一次演奏。

勒温的生活空间和心理紧张系统建立在稳态的动力模式基础上。他认为,紧张是由心理需求打破了原来的平衡才引起的,紧张所激发的行为,不是为“避苦求乐”,而是为了获得新的内在平衡,而且“平衡”不只是静止,也蕴含着变化,体现为过程,是个动态的概念。这一理论对分析音乐表演的紧张心理有着积极意义:第一,丰富了音乐表演的科学性理论研究。音乐表演涉及的技术、心理等问题以及需要注意的方面是广泛而复杂的。以勒温的分析模式,较之以往的研究呈现这一内隐的心理因素的发展规律,“音乐表演艺术研究的科学性正体现在运用相关的科学原理对音乐表演艺术现象进行科学的分析上。能否注重学科研究的科学性,正是音乐表演艺术研究能否产生突破性进展的关键所在”{12}。第二,赋予“紧张”在音乐表演中新的意义,视“紧张”为获得表演成功的动力,有助于表演者形成良好的演奏心理。第三,本文的研究,另一方面也表明“运用相关的科学原理对音乐表演艺术现象进行科学的分析”是可行的,相信这样一来,音乐表演艺术各领域的研究定会更加科学化、系统化,也会取得更丰硕的成果。

①周海宏《对部分音乐表演心理操作技能的研究》,《中央音乐学院学报》1993年第1、2期。

②司徒璧春《音乐表演与心理控制》,《钢琴艺术》1997年第5期。

③高天《音乐家的舞台紧张以及音乐治疗的应用》,《中央音乐学院学报》1998年第2期。

④申荷永《论勒温心理学中的动力》,《心理学报》1991年第8期。

⑤申荷永《充满张力的生话空间——勒温的动力心理学》,武汉:湖北教育出版社1999年版第40页。

⑥?眼德?演库尔特·勒温《拓扑心理学原理》,高觉敷译,北京:商务印书馆2003年版第15页。

⑦同⑤,第43页。

⑧同⑤,第32页。

⑨同⑥,第176页。

⑩同⑤,第42页。

{11}?眼美?演戴维·杜巴尔《键盘上的反思——世界著名钢琴家谈艺录》,顾连理译,上海:百家出版社2001年版第5页。

{12}冯效刚《关于音乐表演艺术研究科学性问题的思考》,《南京艺术学院学报》2003年第1期。

吕华珍 浙江丽水学院艺术学院讲师

动力学分析论文 篇4

系统动力学 (SD) 是麻省理工学院福瑞斯特 (Forrester J.W.) 教授于1956年提出的, 是一门研究系统动态复杂性的科学。其产生的背景是在第二次世界大战以后, 随着工业化进程的推进, 一些国家的社会问题日趋严重, 比如城市人口剧增、失业、环境污染、资源匮乏等, 系统动力学正是基于这些问题应运而生。许多学者采用系统动力学方法来研究各国的社会经济问题, 涉及到经济、能源、交通、环境、生态、生物、医学、工业和城市等广泛的领域[1]。

中国于20世纪70年代末引入系统动力学理论, 国内部分学者参与了系统动力学在中国的应用研究工作, 王其藩、苏懋康、胡玉奎、许庆瑞、杨通谊、陶在朴等专家是系统动力学研究的先驱和积极倡导者[2]。经历了30多年的研究与发展, 系统动力学研究与应用在中国取得了飞跃发展, 并且在企业管理、城市规划、产业发展、科技管理、生态环保、海洋经济等应用领域取得了巨大进步[3]。

本文的目的是利用社会网络分析法来研究分析国内系统动力学的研究成果、研究热点和作者合作情况等, 为系统动力学的未来研究提供参考与指导。

1 数据来源与研究方法

1.1 数据来源

本研究的数据源选取CNKI中《中国学术文献网络出版总库》, 检索的条件主要限制如下:篇名=“系统动力学”, 时间跨度=2000-2014, 期刊来源=核心期刊, 精确匹配, 检索时间为2014年7月1日, 共检索到1288篇文献, 用SATI软件去重复后得到1283篇文献, 获得的全部文献的题录信息包括篇名、作者、机构、关键词、摘要、基金、刊名、年、期和分类号等以Endnote格式保存。本文后续的研究围绕1283条题录来展开。

1.2 研究方法及工具

本文的研究方法采用社会网络分析法, 主要研究工具包括:文献题录信息统计分析工具SATI和Ucinet软件。本文将CNKI中Endnote格式的文献题录信息导入SATI软件, 该软件通过对期刊全文数据库题录信息的字段抽取、频次统计, 生成的共现矩阵直接导入Ucinet软件进行处理分析。采用社会网络分析方法对表征文献外部特征的时间、作者、机构、研究主题等数据进行统计分析, 直观反映了系统动力学领域的成果数据及分布的基本状况、研究主题的分布等基本情况。

2 系统动力学的数据分析

2.1 系统动力学研究的成果年限分布

从图一数据可以看出, 国内系统动力学发文数基本呈逐年增长趋势, 特别是2005、2007、2012年的文献量增长速度较快, 其他年度的发文量增减不大, 趋于稳定的状态, 2014年69篇文献只是上半年数据。从2000—2014年发文量来看, 虽然系统动力学是个成熟的理论, 但是不同时期对其理论的运用情况不同, 这是由于政策、环境和关注度等方面的影响[4]。

2.2 系统动力学的共词分析

在共词分析中, 为了便于对共现频率的运算, 利用SATI软件生成共词矩阵, 由于受到网络结点的限制, 本文只对50个高频词进行共词分析, 形成一个50×50的共词矩阵。如表一所示, 该矩阵是对称矩阵, 表中对角线上的数值为该关键词在文献中出现总的频次, 表中非主对角线单元格上的数值为两个关键词共现的次数。同时出现在一篇文献中的两个关键词容易判断文章的主题脉络, 同时根据两两关键词出现频次的高低可以发现论文的研究热点。在表一中, 系统动力学出现674次, 通过组配与其他高频词在同一篇文献中出现的次数, 发现系统动力学与仿真共现的频次是70, 与模型共现频次是41, 表明共有70篇论文的关键词同时标引了系统动力学和仿真, 41篇论文的关键词同时标引了系统动力学和模型, 也就是有70篇文章的研究主题论述了系统动力学与仿真的关系, 41篇文章的研究主题论述了系统动力学与模型的关系。由此可以看出, 研究系统动力学与仿真、模型的文献有较多, 这是由于系统动力学理论在解决社会经济复杂问题方面发挥重要作用[5]。

2.3 系统动力学的共现网络分析

共现网络分析是文献集中的词汇对或名词短语共同出现形成一个共词网络, 显示这些词对的关系及其规律, 实现对学科结构、研究热点、学科发展动态的分析。图二中每个节点代表一个关键词, 点的大小表示关键词在社会网络中的中心度大小, 节点之间的距离反映两者之间的亲疏关系, 通过K-cores的分析, 红色的点所代表K值最大的关键词处于研究的核心位置, 也是系统动力学研究领域的热点与核心。

国内外共词网络都是以系统动力学、仿真和动力学为中心, 向四周辐射, 研究文献围绕系统动力学、仿真和动力学来展开。从图二可以看出, 国内系统动力学领域研究热点主要有:系统动力学、仿真、动力学、动力学分析、动力学特征、模拟、系统动力学模型、转子系统、稳定性、多媒体动力学、虚拟样机、非线性等[6]。

2.4 系统动力学的作者合作度网络分析

利用SATI软件统计作者发文量, 排名前五依次是:何芝仙、闻邦椿、桂长林、李震、秦大同, 他们的发文依次:16、13、11、10、8。可见, 这些作者是国内系统动力学领域的专家, 引领该领域的研究与发展。

笔者对1283篇文献数据进行过滤和整理后, 利用SATI软件生成50×50矩阵导入Ucinet软件中, 构建一个基于作者合作度的合作关系网络, 去掉没有连线的节点后, 如图三所示。作者合作关系网络图的节点间连线反映了作者之间的合作相关度, 可以看出, 图三网络中有三个较大的子网:第一团队:刘超、陆启超、张伟、曾鸣和李晨;第二团队:孙军、李震、桂长林和何仙芝;第三团队:张锁怀、谢友柏、朱爱斌和刘梦军, 代表这三个团队的作者相关度较高。这三个合作团队在系统动力学领域的研究中发挥主导作用。但从整体上来看, 作者合作图谱的连线稀疏, 网络中大多数节点之间没有连线, 关联程度非常低, 表明目前大多数作者不存在合作与交流情况, 国内系统动力学领域还没有形成一支成熟的研究队伍。

3 结束语

根据以上对国内系统动力学研究的分析, 结合近几年来系统动力学发展的现状, 通过社会网络分析方法分析国内系统动力学的研究成果并做出以下判断:

第一, 从文献数量来看, 国内学术界对系统动力学的关注度较高, 由于政策、环境和技术需要运用系统动力学来研究中国可持续发展问题:人口、自然资源和能源、生态环境、经济与社会等, 2005、2007、2012年文献量增长速度较快, 近年来, 系统动力学在中国可持续发展问题研究发挥重要作用。

第二, 国内系统动力学的研究热点主要有:系统动力学、仿真、模拟, 系统动力学模型, 动力学特征、非线性、转子系统、稳定性、虚拟样机, 动力学分析与非线性等。

第三, 国内系统动力学的研究前沿涉及供应链、水资源、旅游、人口、教育、保健、土地、贸易、竞争情报等相关问题, 未来系统动力学的研究将着力解决中国可持续发展问题。

第四, 从系统动力学作者合作情况来看, 国内系统动力学领域的作者合作度不高, 没有形成核心的合作团队, 未来需要系统动力学领域的专家及学者加强合作与交流, 系统动力学的研究成果才能更好地服务于能源、生态环境、社会与经济发展等问题。

参考文献

[1]De Mello F P.Boiler models for system dynamic performance studies[J].Power Systems, IEEE Transactions on, 1991, 6 (01) :66-74.

[2]Stott B.Power system dynamic response calculations[J].Proceedings of the IEEE, 1979, 67 (02) :219-241.

[3]王其藩.系统动力学[M].北京:清华大学出版社, 1994.

[4]许光清, 邹骥.系统动力学方法:原理、特点与最新进展[J].哈尔滨工业大学学报 (社会科学版) , 2006, 8 (04) :72-77.

[5]李纪岳, 陈志, 杨敏丽.粮食作物生产机械化系统动力学建模与仿真[J].农业机械学报, 2013, 44 (02) :30-33.

非线性动力学数据分析 篇5

刘愉

200921210001

时间序列分析是利用观测数据建模，揭示系统规律，预测系统演化的方法。根据系统是否线性，时间序列分析的方法可分为线性时间序列分析和非线性时间序列分析。

一、时间序列分析涉及的基本概念

对于一个动力系统，我们可以用方程表示其对应的模型，如有限差分方程、微分方

1、测量

程等。如果用Xt或X(t)表示所关心系统变量的列向量，则系统的变化规律可表示成

Xt1f(Xt)或

dXdtF(X)

其中X可以是单变量，也可以是向量，F是函数向量。通过这类方程，我们可以研究系统的演化，如固定点、周期、混沌等。

在实际研究中，很多时候并不确定研究对象数据何种模型，我们得到的是某类模型（用Xt或X(t)表示）的若干观测值（用Dt或D(t)表示），构成观测的某个时间序列，我们要做的是根据一系列观测的数据，探索系统的演化规律，预测未来时间的数据或系统状态。

2、噪声

测量值和系统真实值之间不可避免的存在一些误差，称为测量误差。其来源主要有三个方面：系统偏差（测量过程中的偏差，如指标定义是否准确反映了关心的变量）、测量误差（测量过程中数据的随机波动）和动态噪音（外界的干扰等）。高斯白噪声是一类非常常见且经典的噪声。所谓白噪声是指任意时刻的噪声水平完全独立于其他时刻噪声。高斯白噪声即分布服从高斯分布的白噪声。这类噪声实际体现了观测数据在理论值（或真实值）周围的随机游走，它可以被如下概率分布刻画：

p(x)dx1222exp(xM)22dx

（1）

其中M和均为常数，分别代表均值和标准差。

3、均值和标准差

最简单常用的描述时间序列的方法是用均值和标准差表示序列的整体水平和波动情况。（1）均值

如果M是系统真实的平均水平，我们用观测的时间序列估计M的真实水平方法是：认为N个采样值的水平是系统水平的真实反映，那么最能代表这些观测值（离所有观测值最近）的Mest即可作为M的估计。于是定义Dt与Mest的偏离为(DtMest),所以，使下面E最小的M的估计值即为所求：

N22E(Dtt1Mest)

（2）

1/11 经过求道计算，得到

M1NNestDtt

1（3）

即样本的均值即为系统真是均值的估计值。

（2）标准差

标准差代表了系统在均值两侧的波动情况。对时间样本有：

VtDtMest

（4）

为了分析所有时间上平均的波动情况，我们也可以尝试对波动取平均，即：

1NNt1(DtMest1)NNt1DtMest0

（5）我们发现，这样平均的结果是正负波动抵消了，波动的平均恒为零，为了避免这种情况，改用波动的平方的平均水平代替，即

21NNVtt121NN(Mestt1Dt)

（6）

2即为标准差。（3）均值的标准误差

我们用Mest估计M，存在一定偏差或不确定性，即：

MestMuncertainty

（7）

实际上，这种不确定性来自每次测量偏差的平均，通常每次测量偏差是服从高斯分布的，所以平均的不确定性计算得：

N

（8）

我们称之为均值的标准误差。

二、线性时间序列分析方法及模型举例

对于线性时间序列，主要的分析方法有：均值和标准差、线性相关分析和功率谱分析。

1、均值和标准差分析前面已经讲过；

例：模型一（模型本身是确定的（无外界干扰等随机波动），观测序列是真实值加上高斯白噪声；）

有限差分方程系统：xt1Axt，其平稳状态为xtA/(1)M；观测时间序列DtxtWt，其中，Wt 独立的服从均值为0，标准差为的高斯分布。从系统的差分方程我们可以看到，系统本身不受外界干扰，是确定性模型。所以观测得到时间序列的波动完全来自于测量过程。

对于上述模型，可以通过均值、方差的估计即可估计模型、作出预测。

2、线性相关分析

2/11 这种分析方法用于研究时间上相关的序列，即后一时刻的值完全或部分由前一时刻的或前几个时刻的值决定。在模型一中，我们假设Wt之间是独立的；当这种假设不成立时，取另一种极端，即后一时刻完全取决于前一时刻的值：

Vt1f(Vt)

（9）

我们以简单的线性函数为例：

Vt1Vt

（10）

如果结合完全独立的情形与式（10），则有以下情况：

Vt1VtW

（11）

ρ在-1到1之间取值，ρ越接近0，数据间越不相关；ρ接近1，表示线性正相关；ρ接近-1，表示线性负相关

通过时间序列的一系列观测值Dt减去均值得到Vt，我们可以通过以下公式计算相关系数，estt1N1Vt1VtVtVtt1N

1（12）

例：模型二（模型本身有不确定因素（外界干扰），观测序列是真实值加上高斯白噪声）

受外界因素影响的有限差分方程：xt1Axtvt，引入的vt是外界干扰造成的系统本身的波动，测量过程仍然像Model One一样，DtxtWt，这是如果做Vt1对Vt的变化图（见课本figure 6.7），发现二者之间有强烈的线性关系。对于这类模型，我们即可用线性相关分析来建模、预测。

如果将线性相关加以推广，可以得到自相关函数，它反映的是Vt与Vtk之间的关系：

R(k)t1NkVtkVtVtVtt1Nk

（13）

3、功率谱分析（1）傅里叶变换

对线性系统，一个信号可以分解成为不同频率的正弦波。

（a）频率为ω的正弦输入，它的输出也是同频率的正弦信号，但是幅度和相位可能发生改变。输出正弦波的振幅与输入正弦波的振幅满足：

Aoutput()G()Ainput()

（14）

输出相位相对输入相位在每个频率上有固定的偏移，即：

()output()input()3/11

（15）G()称为系统的增益，它在不同频率上通常不一样。()称为相移，在不同的频率成分通常相移也不同。

（b）线性叠加的输入的输出结果等于各个输入分别输入时的输出的叠加。把一个信号分解成不同频率正弦信号的方法即傅里叶变换。

特殊的，输入为白噪声时，Ainput()是一个与噪声标准差成正比的常数，与频率无关，即白噪声可以认为是所有不同频率成分信号之和，所以称之为“白”。（c）传输函数

如果已知输入和输出，可以得到：

G()Aoutput()Ainput()

()outp()inpu()utt

（16）

（16）中两个函数成为出传输函数，可以用于描述系统特性。

（d）功率谱

如果我们不能准确得到输入信号，但是我们知道或假设它是白噪声。则Ainput()就是常数，进而有：

G()constAoutput()

（17）

G()的平方称为功率谱。功率谱包含了与自相关函数完全一样的信息。事实上，功率谱就是自相关函数的傅里叶变换。尽管它们蕴含的信息是一样的，但不同形式使它们在分析数据时又具有各自的优势。所以有时使用功率谱来分析数据比用自相关函数更有优势。

三、非线性时间序列分析方法及模型

前面列举了一系列线性时间序列的分析方法，但是对于非线性系统，存在一种特殊的状态，即混沌状态，对于混沌状态的时间序列，我们无法用线性的分析方法区分。

例：第一章的有限差分方程：

xt1xt(1xt)

（18）

Dtxt

（19）

观测值即使不引入噪声，其时间序列也在不断波动，当=4时，系统进入混沌状态，用线性自相关函数分析，如图6.14，发现我们无法区分这个非线性模型与模型一。

我们需要探索一些分析非线性时间序列的方法。对于非线性时间序列分析，主要包括两部：重构系统动态模型和系统特征的刻画。

1、系统动态模型的重构：

（1）对于有限差分方程——构建return map

Return map 是观测值Dt1关于Dt的图像（回归曲线），反映的是xt1与xt的关系。（2）对于微分方程——重构相平面

一维高阶微分方程可以转化为多维一阶微分方程组，以二阶微分方程为例，4/11

dxdt22bx

（20）

转化为两个一阶微分方程组：

dxydtdybxdt

（21）

要做变量x与y的相平面，首先要做如下离散化和近似： 观测值D0,D1,，将x关于t的导数近似为：

dx(t)dtx(th)x(t)hdDtdtDthDthlimh0

（22）

其中h只能取整数，最小取1，事实上，h去较大值也可以得到合适得结果。重建相平面实际是做DthDthdxdt关于Dt的图，有时候，只可以只做Dth关于Dt的图。

dydt对于更一般的微分方程：

f(x,y),g(x,y)

（23）

虽然情况更复杂，但也可以通过这种方法重建相平面，图6.17-6.19可以说明这一过程的合理性。

（3）嵌入时间序列

对于更高维的时间序列（p维），需要用嵌入时间序列的方法构建相平面（相空间），p维的的嵌入时间序列构成如下：

Dt(Dt,Dth,Dt2h,,Dt(p1)h)

（24）

其中p是嵌入维数，h是嵌入延迟。

经过上述三种方法，可以基本得到模型的基本特征。

2、系统特征的描述：

在模型重构后，可以通过拟合等方式对系统特征做进一步刻画。

四、混沌时间序列的刻画

混沌定义：bounded, deterministic dynamics that are aperiodic and display sensitive dependence on initial conditions.根据定义中体现的混沌系统的特征，用时间序列分析的方法研究。

1、有界

有界的定义是当时间趋于无穷时，系统永远保持在有限空间内运动。这个定义直接用于时间序列分析并不是很有效，因为测量的时间序列是时间上是有限的，变化范围也是一定的。

在时间序列分析中可以用另一种方法研究系统是否有界——稳态，即时间序列在演化过程中是否体现了相同的行为特性。相似的行为可以用均值和方差衡量。一种常用的衡量方法是将时间序列等分（三分、四分或十分等等），计算每段的均值和方差是否相近或统

5/11 计意义上可以认为相同。

如果一个时间序列是分平稳的，我们可以通过对时间序列做一些变换使之平稳，如一阶差分或后一时刻与前一时刻相除等。

2、非周期

混沌的系统是非周期的，由于噪声因素，即使周期的序列也可能出现非周期，那么如何判定时间序列是否存在周期呢？对于一维时间序列或p维的嵌入时间序列 Dt，我们定义时间i和j的测量值之间的距离定义为：

i,j|DiDj|

（25）

严格的周期T定义是当|ij|nT,n0,1,2,时，i,j0，对于有噪声的时间序列，我们定义一个距离r，当i,jr时，我们就在坐标(i, j)处打点，我们将这样做出的图成为recurrence plots，它可以看出重建的轨线如何重复自身的演化。（图6.26和图6.27是r取不同值时的图，都可以看出系统的周期，图6.28和6.29是混沌的情形）。对于混沌的时间序列，图的形状可能和r的选取有关，于是定义出这样一个correlation integral：

C(r)numberoftimes|DiDj|rN(N1)

（26）

这是一个对于混沌系统很重要的指标，它的重要意义不在于某个r处C(r)的取值，而在于C(r)如何随r变化。

（1）对周期序列，r微小的变化不会引起C(r)明显的变化；

（2）对混沌序列，r微小的变化会使C(r)明显增大，即打点明显增多；（3）对于白噪声，r微小变化时C(r)增大更快。

事实上，C(r)与分形维数密切相关，取一点做参考点，随着r增加，距离参考点r范围内的点与rv成正比，其中v是系统，所以有：

C(r)Arv

（27）

A是比例常数，两边取log得到：

logC(r)vlogrlogA

（28）

所以，只要对log C(r)与log r拟合，即可推算出维数。用相关维数可以分析混沌时间序列的吸引子，当嵌入时间维数p≥2v+1时，可以重构出系统吸引子，有时候p≥v也足够了。

3、确定性

如果已知t时刻的值，在预测下一时刻值过程中没有随机因素，那么系统就是确定的，如模型一；如果混入了随机因素（外界干扰），则系统是不确定的。但是，在观测时间序列中，噪声是不可避免的，如果预测是完美的，就成系统完全确定，如果预测是好的但不完美，就说系统有一个确定成分。

假设观测数据最后时刻是T，我们可以用一下方法预测T+1时刻的值：（1）产生嵌入时间序列Dt；（2）找到时间T的嵌入点列：

DT(DT,DTh,,DT(p1)h)

6/11 找到其他的嵌入时间序列中与DT最接近的点Da；

（3）基于系统的确定性，Da+1可以看做是由Da预测出来的，所以将Da+1作为是T+1时刻的预测值，记PT+1。

另一种预测方法是用与DT最接近的K个点Dai的下一时刻Dai1的平均值作为T+1时刻的预测值，即：

T11KKDa（29）

ii1既然是预测，一定有预测误差，衡量预测误差，通常是将观测数据分为两半，用前一半数据预测后一半数据，后一半数据测量值与预测值比较，衡量预测误差，即：

1TT(Di1TkPTk)（30）

ε越小，说明预测越好，至于ε小到什么程度算预测足够好，可以与最差的预测（如所有观测值序列的平均值，丧失了所有时间信息，只保留了系统的平均水平）的误差做比较，lazy1TT(DTkk1Plazy)

（31）

当PlazyMest时，lazy其实就是时间序列的方差σ，所以用

22即可衡量预测误差的大小，比值越小越好。

4、对初值的敏感性

混沌系统的另一重要特征就是对初值敏感，衡量系统对初值的敏感性可以用Lyapunov指数，其计算步骤可以如下概括：

（1）在给定初值后，经迭代产生序列x0,x1,,xn1（2）计算每点处的斜率（3）计算李氏指数：

1n1t0dfnxt dx（4）当给定两个初始值x0，y0时，n步迭代后的值xn和yn的差距约为：

n1xnynt0dfdxxt|x0y0|

五、混沌和非线性的检测

混沌是一种复杂的现象，判定一个时间序列是否来自对非线性系统或混沌系统的观测，更严格的方法是假设检验。

1、零假设：数据来自线性系统

7/11 xt1a0xta1xt1a2xt2ap1xt(p1)vt

2、构造检验统计量：在零假设条件下用观测时间序列计算统计量，常用的三种统计量有：非线性系统的预测方差、李氏指数、相关维数等，当然还有一些其他的统计量也可以用来假设检验。

3、假设检验：在零假设下观测时间序列得到的检测统计量如果落在拒绝域内，则认为系统为非线性的或混沌的，否则接受原假设，认为是线性系统。

六、实例数据分析

P4.txt、TP8.txt是2个时间序列信号的数据文件，该数据的采样率是500Hz。试实现：

1、在时间轴上显示原始数据波形；

2、求每个信号的功率谱，在频率轴上显示结果，并对结果进行简单地讨论；

3、求每个信号的自相关函数，在时间轴显示结果，并对结果进行简单地讨论；

4、求2个信号的互相关函数，在时间轴显示结果，并对结果进行简单地讨论。分析结果：

1、时间轴上数据波形：

从时间序列上看，两组数据基本维持在一个平衡水平，但是都存在尖峰，从时间序列看不出更丰富的信息，需要用其他方法进一步分析。

2、功率谱：

功率谱的计算有两种方式：

（1）计算时间序列的自相关函数，再对自相关函数做傅里叶变换的幅度谱；（2）时间序列傅里叶变换的幅度谱的平方除以点数N。这里采用的第一种方法，结果如下图：

8/11

从两个时间序列的功率谱看，能量主要集中在了低频部分，高频部分能量分布极少，为了更清晰的看能量在低频的分布，我们截取0-20Hz部分的频率谱，如下图：

从图上可以看出，两个时间序列的低频成分中能量最大的频率大概都在1.7Hz左右，TP8的能量分布更集中，P4还有较多能量分布在0.5Hz左右。

3、自相关函数：

自相关函数反映的是t时刻与前t-k时刻记录值的关系，如果信号本身是周期的，其自相关函数保持与时间序列相同的周期，从下面两个序列的自相关函数图中，数据没有周期现象，而且相关函数随k增大很快降到0.2一下，并在-0.2和0.2之间震荡，TP8震荡的频率更高。

9/11

截取前1000个点，进一步观察：

从上图可以更好的体现出相关系数的变化，而且可以看出两个时间序列变化的一致性，TP8比P4相关程度衰减得更快。为了更好的研究两组数据的相关性，我们下面将做两组数据的相关函数。

4、两组数据的互相关函数：

10/11

截取两侧各500个点观察：

上图反映了两个时间序列数据的相关性，在k=0时，互相关函数最大，所以两个时间序列是同步的。

分析法在刚体动力学问题中的应用 篇6

[关键词]分析法 刚体动力学 应用 示例

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2015）09-0121-02

刚体动力学的求解问题，一直是大学物理教学中的重点[1]，也始终是大学生最感困惑的难点。如何解决好这一问题，保证对重点内容的理解与掌握，突破大学理工科低年级学生普遍存在的会听不会做的困扰？笔者在近几年的大学物理教学中积累了一些经验，即针对大学理工科低年级学生这一教学对象，以分析法为主，紧紧抓住牛顿运动定律这条主线，突出转动定律在刚体动力学问题中的核心地位，精选内容，通过典型实例剖析学生在求解这类问题时出现的错误，正反对比，举一反三，收到了好的效果。

所谓分析法，就是从整体到局部的逻辑思维方法，是把一个大的物理问题化整为零，各个击破，逐步引向待求物理量的思考方法。具体地说，就是在认真审题、分析题意的基础上，首先找出能直接回答待求物理量的物理规律及其公式，我们称之为原始公式。原始公式一般都是重要而基本的物理公式。正确地找出了原始公式，就有了正确的大前提。观察原始公式中包含哪些未知量，确定小前提，再列出表达这些未知量的物理方程。如果这些方程中仍然含有新的物理量，就再列出相应的表达式，这样按照一定的逻辑思维顺序链式分析、推演，环环相扣，直到待求物理量全部用已知量表达为止。对原始公式逐步分析、推演的过程，就是逻辑思维过程，是一个对物理内容再加工的过程，也就是逐步引向待求物理量的解决过程，经过这样的分析处理，复杂的动力学问题往往都能得到正确的解答。下面举两个实例具体说明。

例1 如图1，有一质量均匀分布的刚性圆柱体，用一水平外力F作用于圆柱体的上半部，使它在水平面上作无滑滚动[2]。F距圆心距离为a，问此时圆柱体所受静摩擦力方向如何？

讲评：初看此题，似乎极易回答。因而不少学生未做正确的分析与推理，便想当然地得出结论。常见答案有以下三种：第一种，因外力F水平向右，使整个圆柱体有向右运动的趋势，故圆柱体与地面的接触点A所受的静摩擦力水平向左；第二种，因外力F不通过圆柱体质心，故F对质心的力矩不为零，这个力矩使圆柱体沿顺时针方向转动，故接触点A相对于地面有向左运动的趋势，因而静摩擦力水平向右；第三种，因圆柱体作纯滚动，A点相对于地面的速度为零，无滑动趋势，故静摩擦力为零。

分析：以上三种解答都具有片面性，缺乏整体考虑。实际上水平外力F的作用效果有两个：一是使圆柱体有向右平动的趋势，二是使圆柱体有以过A点的直线为瞬轴沿顺时针方向转动的趋势。两种趋势并存，关键是要看哪种趋势占优势，才能确定摩擦力的取向。

再分析：外力F作用于圆柱体不同位置，产生不同的力矩，因而产生的角加速度不同。可能是平动趋势大于转动趋势，也可能是转动趋势大于平动趋势，亦或二者相抵消。这只能通过定量计算才能判别。为此需列出圆柱体的动力学方程求解。由题可确定刚体对质心轴的转动定律为原始公式。

解答过程：由于静摩擦力f的方向不能马上确定，但由其性质可知在此问题下只能是向左、向右或为零[3]。故先假定f水平向右，若解得f为正，则表明f的方向与所设方向一致；若为负，则与之相反。设向右为x轴正向，圆柱体半径为R、质量为m，则由质心运动定理及刚体对质心轴的转动定律可列出以下两式：静摩擦力的方向水平向左。

例2 如图2示，一半径为R、质量为m的均质圆盘置于粗糙的水平桌面上。现令其以初始角速度ω0自转，设圆盘与桌面间的摩擦系数为μ，求经过多长时间圆盘才停止旋转。

讲评：作为一个典型的传统问题[4]，本题常见的解答错误有两点：一是对力矩的求法，不少学生认为摩擦力为μmg，因而桌面对圆盘的力矩为M=rf=μmgr；二是因圆盘未固定于某一定轴，无法正确确定转动轴的位置。

分析：从整体来看，这是力矩对时间的累积，应该用转动定律求解。刚体对定轴的转动定律公式为原始公式。

再分析：刚体在粗糙水平面上旋转，圆盘质量均匀分布，因初始角速度ω0不为零，故圆盘在水平桌面上绕过质心且垂直于盘面的轴作虽无轴而有轴的转动，仍然是“定轴”转动，且各个质元对轴的摩擦力矩因其位置不同而不同。

解答过程：刚体绕定轴转动的转动定律M=Jα=J，故原始公式为Mdt=Jdω。式中J=mR2为圆盘绕通过质心且垂直于盘面的轴转动时的转动惯量。

现在来计算圆盘所受的摩擦力矩M。设圆盘密度为ρ，对任一小质元，其质量dm可表示为dm=ρrdrdθ，每个小质元所受到的摩擦力矩dM=rμgdm，因而圆盘所受的总摩擦力矩为此即为所求。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 教育部高等学校物理学与天文学教学指导委员会.大学物理课程教学基本要求[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 马文蔚.物理学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006，15.

[3] 漆安慎，杜婵英.力学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005，241.

[4] 程守诛，江之永主编，胡盘新等改编.普通物理学（第五版）（第一册）[M].北京：高等教育出版社，1997，191.

间断高速铣削动力学分析 篇7

高性能数控加工的实现是以切削稳定为前提的。目前, 连续切削的稳定性模型已经形成商业化软件, 但是间断切削与连续切削的动力学具有质的区别, 连续切削的稳定性分析模型不适于间断切削的稳定性分析。对于小宽径铣削 (间断切削) 的稳定性分析, Bayly等[1]把有限元思想引入到切削过程动力学模型的求解中, 建立了TFEA稳定性分析模型;文献[2,3]引入半离散和全离散的时滞微分方程的求解方法, 形成半离散时域稳定性分析模型;Altintas等[4]将方向因子傅里叶级数展开到0阶以上, 在满足小宽径铣削的切削条件下得出“多频解”, 但此模型与半离散时域稳定性分析模型一样需要较长的迭代时间, 实用性不强。

Davies等[5,6]考察切削过程动力学行为, 把间断切削过程主轴周期分为“自由振动”和“受迫振动”两阶段, 分析间断切削过程的稳定性。但该模型的建立过程是以“极小宽径”切削为前提的, 仅考虑法向方向振动的一维模型, 且该模型不能对不同的铣削方式 (顺铣和逆铣) 进行稳定性预测。

因此, 本文提出二维的稳定性分析模型, 考虑法向方向振动影响, 建立一个四维单变量的离散映射, 求解该离散系统的不动点, 在不动点处考察系统雅克比矩阵的特征值穿出单位圆的位置, 以分析判断系统不动点处失稳后发生的分岔类型, 并得出绘制系统稳定性叶瓣图的控制方程。通过试验验证了二维稳定性分析模型的可靠性, 在此基础上, 控制分岔参数, 通过相图和迭代解分析系统发生Second Hopf和flip分岔前后的动力学行为。

1 二维稳定性分析模型

在图1所示的铣削模型中, 记铣刀齿数为N, 其中x方向为进给方向, y方向为法向方向。把不同刀齿周期2个方向的振动位移x、y和振动速度vx、vy组合视为位置状态。$\overline{t}{}_i$为第i个刀齿周期开始切削的时刻, 位置状态记为:$[\overline{x}{}_i\overline{v}{}_i^x\overline{y}{}_i\overline{v}{}_i^y]{}^{\text{Τ}}$;ti为第i个刀齿周期刚离开切削的时刻, 位置状态记为: [xi v${}_i^x$yi v${}_i^y$]T;n为主轴转速, D为刀具有效直径;b为切削宽度;c为切入位置参数;φst、φex分别为切出切入角;kx、cx、ky、cy分别为刀具/工件切削系统的模态参数。

假设:①x轴和y轴方向分别具有柔度, 且不产生耦合, 工件假定为刚性;②切削接触时间独立于刀具运动;③切削力、进给力同瞬时切削厚度成正比;④切削接触时间相对于系统的特征响应时间很短;⑤切削接触时间相对于主轴周期或刀齿通过周期很短。

把一个切削周期分为“自由振动”与“受迫振动”两个阶段。第一阶段的初始位置状态为前一个切削周期的终止位置状态。第一阶段的终止位置状态为本切削周期第二个阶段的初始位置状态, 即是第二阶段方程求解的初始条件。第一阶段的映射反映了第一阶段与第二阶段初始位置状态之间的映射关系。一个切削周期的完整映射即是前后两个切削周期在离开切削时的位置状态之间的映射关系。

由此提出二维稳定性分析模型, 考虑x方向的振动影响, 则可以得出一个切削周期的完整映射和第一阶段的映射矩阵。一个切削周期的完整映射表示为

[xi v${}_i^x$yi v${}_i^y$]T=B[xi-1v${}_{i-1}^x$yi-1vyi-1]T+C (1)

式中, A${}_{ij}^x$、A${}_{ij}^y$分别为矩阵Ax、Ay 的第i、j个元素;矩阵Ax、Ay为切削过程第一阶段映射矩阵的块矩阵;Kt、Kc为平均切削力系数。

第一阶段的映射矩阵为

只需将Ax中切削系统动力学参数更改为y方向的参数即为Ay的表达式。则可确定式 (1) 在不动点处雅克比矩阵的特征方程

λ4-tr (B) λ3+b2λ2-b3λ+|B|=0 (4)

其中, b2为矩阵B的所有二阶主子式的和;b3为矩阵B的所有三阶主子式的和。本文考察系统的稳定性, 即考察特征值λ在单位圆上的穿出位置。对于稳定的离散系统, 所有的特征值λ满足|λ|≤1。在临界状态时, 有3种情况[7]:①存在特征值λ=1, 其他特征值的模小于1, 系统发生Tangent分岔 (也叫f old分岔或turning point) ;②存在特征值λ=-1, 其他特征值的模小于1, 离散系统发生f lip分岔 (或叫倍周期分岔) ;③存在特征值为共轭复数, 且模为1, 其他特征值的模小于1, 发生Second Hopf分岔 (或叫Neimark-Sacker分岔) 。对于式 (1) , 当存在特征值为1时, 就会有其他的特征值的模大于1, 即推广后的二维模型不存在Tangent分岔。分岔的发生有可能导致混沌, 混沌的出现意味着系统的“崩溃”, 对应系统x方向、y方向的位移和速度呈发散而无规律增长, 这将严重危害切削系统和工件表面切削质量。因此, 我们建立方程并绘制切削系统稳定性叶瓣图以便对是否出现该现象进行分析。

当λ=-1时, 特征值方程为

1+tr (B) +b2+b3+|B|=0 (5)

当λ λ*=1时, 式 (1) 有共轭特征值, 且模为1, 可得

通过数值的方法求解式 (5) 、式 (6) 。首先给定主轴转速范围, 代入式 (5) 、式 (6) 求解出临界切削深度。若存在多组解, 则择其最小的具有物理意义的大于零的解, 即可获得二维模型的稳定性叶瓣图。也可参照半离散时域稳定性分析模型的求解方法[5], 事先给定主轴转速和临界切削深度的范围, 推演求解雅克比矩阵的特征值, 择取其中模最大的特征值, 判断是否小于1, 小于1视为稳定, 否则不稳定。用MATLAB进行仿真分析, 此方法绘制叶瓣图仅需数秒的演算时间。

2 局部分岔

图2为试验系统 (具体参数见表1) 下, 切削宽度b=2mm时的稳定性叶瓣图。控制参数轴向切削深度a, 求解该离散系统的特征值变化, 如图3、图4所示, 对应的点分别在图2上用“·”和“○”区分开, 其中箭头表示控制参数a变化方向。如图3所示, 当主轴转速n=19 800r/min时, 随着切削深度的增加, 系统特征值首先存在一对模为1的共轭复数的位置穿过单位圆, 发生Second Hopf分岔。如图4所示, 当主轴转速n=22 800r/min, 系统特征值首先以-1的位置穿过单位圆, 发生flip分岔。

考察发生Second Hopf分岔前后的相图, 分析系统解的变化发现, 当n=19 800r/min、a=17.5mm时, 不动点是吸引的, 对应着Lyapunov指数小于0, 支撑着吸引子空间。系统的解的初始状态为振荡收敛, 渐进趋于稳定不动点, 表明切削过程是趋于稳定的, 如图5所示。稍微增大控制参数a, 当n=19 800r/min、a=18.0mm时, 不动点是不稳定的, 解呈现为不稳定周期点, 相图如图6所示。

考察发生f lip分岔前后的相图发现, 控制参数a从小增大, 靠近分岔值的时候, 不动点是稳定吸引的, 且越是靠近分岔点, 系统以周期2振荡趋向稳定不动点。当控制参数a超过分岔点, 发生倍周期分岔, 分岔出不稳定的2周期解。越远离分岔点, 解由周期2振荡发散越快。当n=22 800r/min、a=25.0mm时, 不动点是吸引的, 系统由周期2趋向稳定的不动点 (图7) 。但是相图呈直线状, 向中心振荡靠拢, 趋向不动点, 如图8所示。当n=22 800r/min、a=27.0mm时, 不动点是排斥的 (图9) , 相图也同样呈直线状, 由不动点振荡向直线两端不稳定发散, 如图10所示。

3 试验验证

试验机床为米克朗UCP710五坐标加工中心;工件材料为航空铝合金7075, 工件结构如图11所示;刀具直径为12mm, 悬伸长度为45mm;三向测力仪型号为Kistler 9265B。模态试验设备包括:Dytran5800B4力锤 (2.25mV/N) , 1个3035B1G (10mV/g) 加速度传感器, NI-USB9234集成数据采集卡以及CutPro 9.0V (加拿大MAL) 软件。

按照文献[8]的方法测定切削力系数, 通过槽铣试验, 设置不同的进给量, 同一主轴转速, 同一切削深度下, 进行多组切削试验, 并获取三向平均切削力, 根据平均力模型, 将其x、y、z三向平均力与进给关系变量拟合成直线, 由此获得平均切削力系数Kt、Kc, 试验结果如表1所示。把表1的参数代入二维稳定性分析模型, 取径向切削宽度b=2mm, 绘制稳定性叶瓣图, 如图12所示。同时在图12中, 把x与y两方向的动力学参数分别输入Davies模型, 绘制一维稳定性叶瓣曲线 (简称Davies-x与Davies-y) 。

值得注意的是, Davies模型是要求输入y方向的动力学参数, 本文为了分析, 故而也尝试采用x方向参数输入。

根据稳定性叶瓣图, 在稳定区域和不稳定区域分别选取参数, 进行试验验证。这里给出4个点的试验切削力合力时域信号及其FFT频谱:不稳定区处取A点 (主轴转速n=10 500r/min, 切削深度a=15mm) 与C点 (主轴转速n=12 600r/min, 切削深度a=15mm) , 稳定区域处取B点 (主轴转速n=11 500r/min, 切削深度a=15mm) 与D点 (主轴转速n=12 600r/min, 切削深度a=10mm) , 根据预测, A点与C点处, 切削加工应该是不稳定的, 切削加工表面质量不好;B点与C点处, 切削加工应该是稳定的。

利用三向测力仪采集切削过程的力信号, 分别进行FFT变换, 获得频谱, 并观察切削加工的表面质量。图13所示为A点试验切削力合力时域信号及其FFT频谱, 从图13中可看出, 频率成分除了刀齿通过频率fτ及其谐倍数频率外, 还存在比较强的倍周期分岔频率fHP=kfτ/2 (k=1, 2, 3, …) , 系统是不稳定的;图14所示为B点试验切削力合力时域信号及其FFT频谱, 切削过程中切削力信号频谱以刀齿通过频率fτ及其谐倍数频率为主, 刀具稳定切削。图15所示为C点试验信号, 切削力合力信号存在倍周期分岔频率, 切削过程振动比较大, 刀具呈不稳定状态;对于D点 (图16) 的试验信号, 切削过程频率成分以刀齿通过频率为主, 系统是稳定的。

把多组试验结果在图12中标出。“×”表示试验结果不稳定, “○”表示试验结果稳定。由试验结果分析可知, 切削深度a=15mm, 不同主轴转速n=10 500r/min、11 500r/min、12 600r/min下, 切削由稳定变为不稳定再变为稳定。A、B、C三个点的分析验证了二维模型与Davies一维模型在y方向动力学参数输入下的可靠性, 但对于D点的分析, 二维模型的预测是正确的, Davies一维模型在此失去了预测性。比较二维模型和Davies-x与Davies-y的稳定性叶瓣图曲线, 可以发现, 二维模型在一定程度上吸收x方向动力参数的影响, 叶瓣图曲线从“Davies-y”稍微偏向“Davies-x”。

4 结论

(1) 二维模型叶瓣图曲线介于一维模型下分别用x、y方向模态参数绘制的叶瓣图曲线之间, 但“紧贴”y方向模态参数下的叶瓣图曲线, 则相对于y方向, x方向的振动对系统稳定性的影响较小。

(2) 随着a的增大, 发生Second Hopf分岔前, 系统是稳定的, 解是振荡渐进稳定的, 越是靠近分岔值, 渐进速度越慢, 达到稳定需要的迭代次数越多, 即表现为较慢进入稳态切削;发生分岔之后, 系统是不稳定的。远离分岔值, 系统由不动点振荡发散开去, 且越远离分岔值, 系统越快不稳定发散, 即表现为切削过程振动幅值快速增大。

(3) 随着a的增大, 发生flip分岔前, 系统是稳定的, 解是振荡“跳跃”趋向稳定不动点的, 越是靠近分岔值, 趋向速度越慢, 达到稳定需要较多次的迭代, 即表现为缓慢“跳跃”进入稳态切削;发生分岔之后, 系统是不稳定的。远离分岔值, 系统由不动点振荡沿着相反的方向“跳跃”发散开去, 且越远离分岔值, 系统越快不稳定发散, 即表现为切削过程振动幅值快速增大。

摘要：基于间断切削过程动力学行为, 提出了间断切削的二维稳定性分析模型, 分析了间断切削过程在不动点处失稳后发生的分岔。通过相图和迭代解分析了发生Second Hopf和flip分岔前后系统的动力学行为。发生Second Hopf分岔的前后, 系统的解由渐进稳定到经分岔后渐进发散不稳定, 越靠近分岔值, 系统的迭代解越是缓慢渐进收敛或发散;发生flip分岔的前后, 系统的解由“跳跃”稳定到经分岔后“跳跃”发散不稳定, 越靠近分岔值, 系统的迭代解越是缓慢“跳跃”收敛或发散;对一维和二维稳定性分析模型进行仿真对比, 通过试验验证了二维稳定性分析模型的可靠性。

关键词：间断高速铣削,稳定性叶瓣图,分岔,动力学行为

参考文献

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[7] Kuznetsov Y A. Elements of Applied Bifurcation Theory[M].New York:Springer, 2004.

电力拖动系统动力学分析 篇8

在电力拖动系统中,电动机有不同的种类和特性,生产机械的负载性质也各不相同,运动形式各种各样,但从动力学的角度来看,它们都服从动力学的统一规律,所以在研究电力拖动系统时,必须先分析电力拖动系统的动力学问题。

1 电力拖动系统的运动方程式

1.1 单轴电力拖动系统运动方程式

单轴电力拖动系统就是电动机的轴与生产机械的轴直接连接的系统。作用在该连接轴上的转矩有电动机的电磁转矩、电动机的空载阻转矩及生产机械的负载转矩。设转轴的角速度为 ,系统的转动惯量为 ( 包括电动机转子、联轴器和生产机械的转动惯量 ),则根据动力学定律,可得到系统的运动方程为

式中, T为电动机的电磁转矩,单位为N·m ; TL为电动机的负载转矩,单位为N·m ; 为电动机轴上的总转动惯量,单位为kg·m2; 为电动机的角速度,单位为rad / s。

公式1称为单轴电力拖动系统的运动方程式,它描述了作用于单轴拖动系统的转矩与速度之间的关系,是研究电力拖动系统各种运动状态的基础。

在工程计算中,通常用转速n代替角速度Ω;用飞轮矩CD2代替转动惯量J。可得电力拖动系统运动方程式的实用形式

式中,CD2, 是系统转动部分的总飞轮矩,单位为N·m2;375=4gⅩ60(2π)是具有加速度量纲的系数。电动机和生产机械的CD2可从产品样本和有关设计资料中查到。

1.2 运动方程式中转矩正、负号的规定

在电力拖动系统中,随着生产机械负载类型和工作状况的不同,电动机的运行状态将发生变化,即作用在电动机转轴上的电磁转矩 ( 拖动转矩 ) TL和负载转矩 ( 阻转矩 ) 的大小和方向都可能发生变化。因此运动方程式中的转矩T和TL是带有正、负号的代数量。在应用运动方程式时,必须注意转矩的正、负号。一般规定如下 :

首先选定电动机处于电动状态时的旋转方向为转速n的正方向,然后按照下列规则确定转矩的正、负号。

(1)电磁转矩T与转速n的正方向相同时为正,相反时为负。

(2)负载转矩T ,与转速的正方向相反时为正,相同时为负。

(3)惯性转矩的大小及正、负号由T和TL代数和决定。

转速的正方向可任意选取,即选顺时针或逆时针,但工程上一般对起重机械选取提升重物时的转速方向为正,龙门刨床工作台则以切削时的转速方向为正。

2 电力拖动系统的运动状态分析

公式2描述了电力拖动系统的转矩与转速变化率之间的关系,由此式可知电力拖系统的转速变化率dn/dt ( 加速度 )是由T-TL决定的,T-TL 称为动态转矩,因此根据公式2可分析电力拖动系统的运动状态。

首先规定某一旋转方向为转速的正方向,即n>0。在此旋转方向下,根据公式2分析电力拖动系统的运动状态如下 :

(1)当T-TL>0时,dn/dt>0 ,系统处于加速运行状态,即处于动态过程。

(2)当T-TL<0时 ,dn/dt<0系统处于减速运行状态,即处于动态过程。

(3)当T-TL=0时,dn/dt=0 ,系统或以恒定的转速旋转或静止不动。即处于稳态。

由分析可知,当T-TL时,系统处于稳定运转状态。但当受到外界的干扰时,如负载转矩TL的增加或减小,电源电压的变化等影响时,平衡将被打破,转速将发生变化。对于一个稳定的电力拖动系统来说,当系统的平衡状态被打破后,应具有恢复新的平衡状态的能力,在新的平衡状态下稳定运行。

3 单轴与多轴电力拖动系统

齿轮机构的动力学特性分析 篇9

齿轮传动系统是目前最重要而且应用最广泛的机械传动机构,由于齿轮传动系统的工作状态的复杂性,使其力学行为和工作性能对整个机器有着重要的影响[1]。齿轮的模态分析是对掌握齿轮的结构振动特性的必要工作之一,通过模态分析可以避开这些结构或者传动部件的固有频率,最大限度地减少对这些频率的激励,避免共振发生。目前,关于齿轮的模态分析的例子数不胜数[2,3,4,5,6],但这些分析都是针对单个齿轮或者基于数值方法进行的,没有考虑齿轮之间的啮合关系,也就是轮齿之间的约束关系对系统的影响。因为齿轮的工作特性是以啮合为基础的,所以单一齿轮的分析已经不能满足分析的需要,本文以渐开线直齿圆柱齿轮副为研究对象,建立了啮合三维模型,分析其啮合状态下的特性,并且在其基础上建立了不考虑齿面间摩擦力的情况下齿轮传动系统的非线性动力学模型。

1齿轮的三维建模

此传动系统齿轮的参数如下:齿轮模数m=5 mm;大齿轮齿数z1=97,小齿轮齿数z2=20;压力角α=20°,大齿轮齿宽b=100 mm,小齿轮齿宽b=100 mm。使用参数化的方法绘制齿轮的三维啮合模型如图1所示。

将文件保存为IGS格式导入ANSYS有限元软件中进行动力学模态分析,如图2所示。齿轮啮合传动时轮齿之间是相互接触的,之间存在约束关系,也就是说啮合过程中随着啮合位置的改变啮合刚度是变化的,所以齿轮啮合模态分析是一种非线性的动态分析。在文中对齿轮进行啮合分析时主要考虑的情况是两个齿轮的啮合不是简单的装配过程中的啮合,在有限元分析中要考虑定义接触对。定义接触对的过程就是要保证齿轮的啮合过程。

2装配体的模态分析

首先对三维实体模型划分网格如图3所示。定义材料属性:弹性模量E=2.06×105MPa,泊松比μ=0.3,材料密度ρ=7.85×103kg/m3。

由于此传动系统是适合于高速重载工况,所以在分析时要考虑其在高速旋转情况下的模态。也就是有预应力模态分析,有预应力模态分析用于计算有预应力结构的固有频率和振型,小齿轮是主动轮,在进行模态分析之前,要先进行静力学分析,需要注意的是预应力选项必须打开。

然后重新进入solution,进行模态分析。求得的结果为:一阶固有频率为1493.3 Hz,二阶固有频率为1604.0 Hz,三阶为1683.0 Hz,四阶为1909.9 Hz,五阶为1972.3 Hz,六阶为2174.7 Hz,七阶为2876.8 Hz,八阶为3588.4Hz,九阶为4148.8 Hz,十阶为4155.6 Hz。

从各阶模态振型图上可以看出:一阶模态主振型如图4所示。表现为小齿轮基本没有振动,大齿轮的对折振动;二阶模态主振型如图5所示。表现为小齿轮基本没有振动,大齿轮上端、下端、右端的弯曲振动;三阶模态主振型如图6所示。表现为小齿轮基本没有振动,大齿轮的径向振动;四阶模态主振型如图7所示。表现为小齿轮和大齿轮的径向振动;五阶模态主振型如图8所示。表现为小齿轮基本无振动,大齿轮的右端弯曲摆动;六阶模态主振型如图9所示。表现为小齿轮基本没有振动,大齿轮的上端和下端对折振动;七阶模态主振型如图10所示。表现为小齿轮基本没有振动,大齿轮的扭转振动;八阶模态主振型如图11所示。表现为小齿轮基本没有振动,大齿轮的伞状对折振动;九阶模态主振型如图12所示。表现为小齿轮的弯曲振动,大齿轮的径向振动;十阶模态主振型如图13所示。表现为小齿轮的径向振动,大齿轮的扭摆振动。

3齿轮副的动态响应分析

在模态分析的基础上,建立了齿轮副的动力学模型,应用Newmark-β法对系统进行动态响应分析。文中分析了两种啮合刚度的主动轮、从动轮的位移、角位移和速度如图14和图15所示。

分析了两种阻尼的频谱如图16所示。

从图14中可以看出在开始运动时齿轮副在Y方向的振动比较剧烈,但是随着齿轮副的连续运转振动趋于稳定,并且振幅逐渐降低;而主动轮和从动轮的角速度变化趋势一致,方向相反,这与实际相吻合。图15为增大啮合刚度之后的位移图和速度图,从图中可以看出,随着啮合刚度的增加,Y方向的位移和速度会随着时间收敛更快,振动更加平稳;角速度的变化趋势较小,基本不受刚度的影响,图16为两种不同啮合阻尼时的频谱图,从图中可以看出,主动轮的频谱图在频率为2.8 Hz和4.4 Hz的时候出现了一个尖点,在4.4 Hz频率下,齿轮的振幅会更大,出现了2/3倍频,当阻尼增大时,只在4.4 Hz处出现了尖点,且振幅变小。

4结论

1)利用参数化方法建立了齿轮啮合的装配体模型,并对模型进行了模态分析,得出装配体齿轮的十阶固有频率和振型图。

2)在模态分析的基础上,应用Newmark-β法对齿轮副系统进行动态响应分析,得知系统的位移和速度会随着啮合刚度的增加而使系统趋于稳定。而随着阻尼的增加,频谱图的2/3倍频消失,只在4.4 Hz处出现尖点,系统的振幅减小,更快趋于收敛。

摘要：建立圆柱齿轮副三维啮合模型,通过定义接触对的方式对其进行有预应力的有限元模态分析;在模态分析的基础上,应用Newmark-β法分析了齿轮副在不同啮合刚度下的动态响应以及不同阻尼条件下的频谱变化,分析结果可为齿轮传动系统的优化设计提供有力的技术参考。

关键词：齿轮,动力学特性,Newmark-β法

参考文献

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[3]王富民,李捷,杨建伟,等.地铁齿轮箱箱体模态及谐响应分析[J].机械传动,2015,9(39):146-150.

[4]范江东,潘宏侠.齿轮箱箱体的有限元模态与实验模态分析[J].煤矿机械,2010(5):92-93.

[5]吴俊清.某军用发动机振动模态的实验研究与计算[J].兵工学报,2005,26(4):492-495.

配气机构动力学仿真分析 篇10

本文利用TYCON分析软件建立了某配气机构动力学分析模型, 对其动态特性进行了数值仿真。

1 动力学建模

1.1 仿真模型的主要参数

如下表1

1.2 T ycon模型

发动机配气机构是四气门机构, 由凸轮轴、挺柱、推杆、摇臂、气门桥、气阀、气门弹簧及弹簧锁夹、气门座等部分组成。根据发动机配气机构实体结构及零部件布置情况, 在TYCON中建立该发动机单个气缸的配气机构计算模型, 包括进、排气部分动力学模型, 动力学模型如图1所示。进、排气部分动力学所建模型相同, 只是在参数的输入上有所不同。

1.3 参数设置

配气机构计算模型需要设置的参数包括结构参数, 边界条件 (初始条件及边界条件) , 还有单元的刚度、质量及阻尼等参数。结构参数由图纸即可查到。边界条件由发动机的特性获得。刚度、质量等参数需要通过三维模型及有限元软件分析获得, 也可以通过实测方法获得。阻尼参数一般根据TYCON软件参数推荐值选取。这里相关单元质量及刚度参数通过三维模型及有限元软件分析获得的。

2 动力学仿真分析

2.1 评价准则

对于配气机构动力学所反映的动态性能, 凸轮接触应力和气门落座是两个重要的评价指标:

1) 凸轮接触应力。对于配气机构来说, 在额定转速以内不应使配气机构发生飞脱, 在发动机超速范围内, 适度的飞脱是允许的, 但飞脱的持续期应比较小, 并且不能造成很大的冲击。

2) 气门反跳和气门落座速度。对气门的动态升程来说, 在额定转速范围内不应发生气门反跳, 在发动机超速范围内, 仅允许适度的气门反跳。气门的落座力及落座速度值应该在可以接受的范围内, 由于落座力受气门座圈刚度和气门头部刚度的影响很大, 而这两个数值又不容易精确确定, 因此, 气门落座速度是比较可靠的评价指标。

2.2 进、排气部分动力学仿真结果分析

2.2.1 进气部分动力学分析

由图2可以看出, 气门落座力曲线可以看出, 气门落座力最大为665.482 N, 而气门弹簧预紧力为297.3 N, 气门落座力小于6倍弹簧预紧力。从曲线上可以看出气门没有发生飞脱和反跳现象。

由图3可以看出, 气门弹簧力曲线可以发现弹簧无并圈现象。

由图4可以看出, 凸轮与挺柱间接触应力曲线看出, 接触应力处于较高值工作区间较宽, 这样加剧凸轮与挺柱间磨损, 应该针对降低凸轮与挺柱接触应力进行进气凸轮型线优化设计。

2.2.2 排气部分动力学分析

由图5可以看出, 气门落座力曲线可以看出, 排气门落座力略有偏大, 但还是在允许的范围之内。

由图6可以看出, 气门弹簧力曲线可以发现弹簧无并圈现象。

由图7可以看出, 在整个凸轮型线工作范围内凸轮和挺柱间接触应力变化趋势, 最大接触应力没有超过允许的接触应力范围, 但接触应力大部分工作区间处于较高的范围, 这样会加剧凸轮与挺柱的磨损, 需要改进凸轮型线设计来解决。

3 结论

通过建立进、排气部分动力学模型, 进行动力学仿真计算和分析, 可以明确进气机构工作状况, 针对这些问题, 将通过改进进、排气凸轮型线设计来优化。

摘要：以某柴油机配气机构为例, 利用AVLTycon软件建立了该配气机构的动力学模型, 采用理论计算和仿真分析的方法确定了配气机构动力学模型的主要参数, 并对其动态特性进行了仿真分析, 得到了该配气机构存在的问题, 为配气机构动态性能的评价和下一步优化提供了依据。

关键词：AVLTycon,动力学,仿真分析

参考文献

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动力学分析论文 篇11

【关键词】金融危机 房地产经济 系统动力学

一、前言

作为我国经济发展的主要动力，房地产经济的发展情况一方面关系着国内房地产产业的发展情况和人民群众的住房情况，另一方面，对包括房地产产业在内的其他领域的发展也具有重要影响。面对金融危机的各种威胁和风险，如何准确把握房地产经济和谐发展的重要意义并通过建立房地产和谐发展的系统动力学模型来对房地产经济发展的影响因素进行分析，已成为房地产领域亟须面临和解决的问题。

二、金融危机背景下房地产经济和谐发展的重要意义

对金融危机对我国经济影响的逻辑顺序进行分析可知，其首先对我国的出口企业产生影响，而后对其他企业的发展情况产生影响，且对沿海地区的影响要比内地的影响严重；先对实体经济产生影响，后对国内金融系统产生影响。对我国而言，金融危机带来的住房按揭贷款风险很有可能比美国次贷危机的风险还还要高出许多，原因是，美国次贷危机的贷款人信用仍然是存在着等级之分的，但我国住房贷款中的按揭贷款者几乎不存在信用等级。虽然，在房地产价格持续上涨时，较高的房价可以将因信用缺乏的住房贷款的潜在风险进行掩盖，可一旦国内房价价格出现下跌或发生较大波动，潜在的风险必然会暴露出来[1]。因此，将房地产经济和谐发展作为房地產产业发展的核心目标，并通过建立房地产经济和谐发展的系统动力学模型来分析影响其和谐发展的因素，对于促进房地产产业的健康、稳定、持续发展具有重要的现实意义。

三、金融危机下房地产经济不和谐的原因

对金融危机下，房地产经济不和谐的原因进行如下分析：

首先，是房地产地位的重要性不和谐，据国家相关部门统计，2008年，市场中的房地产资本仅占到国内固定资产投资的24.8%，但投资对GDP的贡献却高达40.1%，说明了在不计入相关产业前提下，仅房地产产业便占据了国民经济生产总值的10.2%，而房地产对就业的贡献率也达到10.0%左右，即在金融危机来临时，房地产及其相关产业领域的社会就业问题必将更为突出。

其次，是房地产经济所受政策影响特性的不和谐。受到金融危机和美国次贷危机的影响，我国央行在2008～2009年度两次下调存款准备金率与居民、企业贷款利率，虽然，利率的下调并不针对房地产产业，但利率的下调无疑会增加市场中的货币投放量，同时，帮助房地产开发商缓解货币资金压力，从而降低其贷款成本。由此可见，金融危机客观上也会为我国房地产行业提供一个适当的喘息时间，简单来说就是，若未发生金融危机，则国家对房地产行业的政策并不会做出迅速且及时地调整。

最后，资金运作机制的不和谐也是房地产经济不和谐发展的另一影响因素。由于对于房地产而言，诸多项目得以通过和运行的背后，大都会存在地方政府在利益方面的驱动，而此种非市场化的投资方式，使得国家和中央政府只能通过行政手段进行制止，可实际出现的情况大都是“一管即死，一放即乱”，可见，投资资金运作机制的不科学，是导致房地产经济波动较差的根本原因。

在对房地产经济不和谐的原因进行了解和分析的基础上，下文则通过建立房地产经济系统动力学模型的方式，为促使房地产经济的和谐发展奠定良好基础。

四、房地产经济和谐发展的动力学模型

（一）系统动力学分析

房地产经济和谐的发展的系统动力学体系主要是由房地产经济、房地产产业和社会系统共同构成的一个较为复杂的动态系统，其通常具有多个层次，且每个从此具有不同的因素，不同的因素则会随着时间、空间的变化而处于不断的变化与发展过程中。首先，随着社会的不断发展，房地产产业的价格波动较小，此时，政策环境处于相对稳定的状态，中央以及地方政府关于利益的博弈并不明显。因此，房地产开发的价值链较短，房地产经济大都能够以和谐的态势发展，而房地产市场体系也得到了不断的完善，从而促进产业发展，即系统动力学模型的反馈效应。其次，房地产经济的和谐发展又要求房地产产业不仅要克服房地产要素市场，如能源市场、材料市场等制约因素，还要克服房地产体系完善程度对房地产经济发展的制约因素，即系统动力学模型的负反馈效应[2]。

（二）模型建立的意义

房地产经济和谐发展的系统动力学模型建立的主要目的是为了对以下几方面的问题具备更加深入的研究和理解，分别为：房地产价格波动、政策环境变化、中央和地方政府关于房地产经济所带来利益的博弈以及影响房地产经济和谐发展的其他问题；上述各方面因素对房地产经济和谐发展影响的权重问题；不同的组织状态，如房地产市场供应链的运作形式等，对房地产经济和谐发展的相关作用及影响；不同的技术环境以及社会经济的整体环境对房地产经济和谐发展的相关作用和影响[3]。从上述房地产经济和谐发展的系统动力学模型建立的意义角度出发，可进一步将房地产经济和谐发展的系统动力学模型描述成如图1所示的形式。

图1 房地产经济和谐发展的网状动力学模型

图1中，A和B分别表示材料的供应商与建筑上，C和D分别表示投资商与开发商，E表示代理客户，而F则表示房屋住户。由图1可知，不同级别和同一级别的材料供应商与建筑上和投资商、开发商、客户之间均存在着关于房地产的业务往来，通过科学地选择供应链中的不同企业，则能够达到房地产经济发展的不同效果。

五、结论

本文通过对金融危机背景下房地产经济和谐发展的重要意义进行分析，在对系统动力学模型的正反馈效应与负反馈效应做出探析和说明的基础上，对模型建立的意义展开了说明，并给出房地产经济和谐发展的网状动力学模型，通过模型分析可知，房地产经济和谐发展是由供应链中的各个单元以及外部社会环境、中央与地方政府的博弈和房地产价格波动等诸多方面因素共同决定的，因此，未来有必要也必须通过加强对房地产经济和谐发展的系统动力学模型的建设和分析力度，从而促进房地产产业的健康、持续发展。

参考文献

[1]肖元真，陈煦，包蕾.论金融危机背景下房地产和谐发展的市场导向和相关条件[J].攀登，2012，05（12）：82-85.

柔性悬吊平台光电系统动力学分析 篇12

随着人类探索宇宙的深入,光电系统在空间通信、观测、测量、勘探等方面的应用日益广泛。为扩大观测范围并减少大气对光束的吸收和扰动作用,需要把地基光电系统通过气球等载体移至高空[1,2,3]。为减少载体的运动对光电系统精密指向的影响,光电系统通常放置在通过柔性悬索与气球相连的平台上。柔性悬吊平台的运动与光电系统的转动不可避免的存在耦合,这些耦合降低了光电系统指向的精度。要提高系统的指向控制精度,首先要分析系统的动力学特性,建立其动力学模型。

以往的高空气球悬挂平台系统,设计目的大多只要求确定方位角,因而其动力学模型多采用单入单出线性模型。在文献[4]的大型球载太阳望远镜工程中,吊篮的方位控制采用控制力矩陀螺;望远镜相对于吊篮有赤经、赤纬两个方向的旋转自由度。设计控制系统时,该工程对各个运动自由度分别建立了单入单出线性模型,没有考虑各部件相对位置变化对系统惯量张量的影响。文献[5]研究了机载光电跟踪系统的姿态控制问题,采用三自由度刚体模型描述了机载光电系统的动力学模型。该模型把运动平台上光电系统视为一个刚体,忽略了各个轴系的动力学特性。

对于较大型的光电系统,例如柔性悬吊平台上的光电系统,各个轴系的动力学特性不可忽略,本文将其视为一个多刚体系统。多刚体系统的动力学分析有三种常用的方法:牛顿-欧拉法、笛卡尔法和拉格朗日法。牛顿-欧拉法是一种直观的矢量力学方法,该方法在处理刚体的受约束运动时非常繁琐。笛卡尔方法采用一个总体坐标系来描述刚体的位形,对复杂的系统建立约束方程个数偏多。拉格朗日方法以系统中多刚体间的运动约束,即铰的广义坐标描述刚体的位形。虽然这种方法的方程呈非线性,但所列方程个数最少,分析较为方便。

在柔性悬吊平台光电系统中,通常是通过控制铰的转动来控制视轴的指向,且铰的广义坐标容易获得。所以本文采用拉格朗日方法建立系统动力学模型,这将使状态变量与控制输入的关系明确,便于实施控制策略。

1 柔性悬吊平台上的光电系统结构

系统结构如图1所示,气球飞行在高空平流层,平台由一定长度的柔性缆绳悬吊在气球下方。平台上安装一个地平式光电经纬仪。高空气流引起的平台运动主要有两种方式,绕垂线的随机转动以及垂线-地平面内的摆动[1]。

为提高经纬仪的指向精度,平台上带有反作用飞轮组或控制力矩陀螺等动量交换装置构成的姿态稳定控制系统。

为了消除高空气流引起的气球绕垂线方向的缓慢旋转对平台的影响,吊绳和平台之间存在一个反捻机构。该机构既可以消除气球和悬吊平台之间的转动耦合,将吊绳扭转引起的扭矩降到一个相当的程度,又可以为该方向的动量交换装置卸饱和。

柔性悬吊平台上的光电经纬仪,由于各轴系转速较低,在运行过程中弹性形变较小。整个系统可视为三个相对运动的刚体[6],定义平台及底座为刚体B1,方位轴系为刚体B2,俯仰轴系为刚体B3,气球为参考物B0。由于处于平流层的气球其运动相对于大地较为平稳,整个系统可以等效为一个多刚体有根树系统。

2 柔性悬吊平台光电系统动力学方程

2.1 多刚体树系统拉格朗日分析方法[7]

多刚体树系统的拉格朗日分析方法通常要从以下几个方面进行:首先,采用拓扑构型描述各刚体的相互连接关系。常见的数学描述方法由关联矩阵、通路矩阵和内接刚体数组等;然后,根据各铰的相对运动关系建立系统的运动学方程;接着,分析各刚体的受力情况,建立约束力元和非约束力元的关联矩阵;再后,求取各刚体的增广体广义质量阵;最后,依据速度变分原理得到系统动力学微分方程。其中转动铰有根树系统的微分方程通常采用如下形式:

式中:为系统增广体广义质量阵,为铰的广义坐标二阶导数阵,为铰的约束库阵,为通路矩阵,为外力矩阵,为系统的惯量张量阵,为约束力元关联矩阵,为约束力矩矩阵。σ与ε的表达式如下:

式中:ω0为参考坐标系的绝对角速度矢量,ζ为刚体相对于内接刚体的角速度与内接刚体绝对角速度叉乘积组成的矢量矩阵,ωi为刚体绝对角速度。

2.2 系统参考基及各体坐标系的定义

系统参考基取当地地理坐标系,其基点取在悬吊系统质心C。

与刚体固联的各体坐标系如图2所示,按如下方式定义:分别以平台质心C1、方位轴系质心C2、俯仰轴系质心C3为基点建立平台体坐标系e1、方位轴系体坐标系e2、俯仰轴系体坐标系e3。其中e1和e2的基矢量e11和e12平行,沿方位轴线方向由平台指向俯仰轴线。e2和e3的基矢量e22与e23平行,沿俯仰轴线方向。e33沿视轴方向。

2.3 系统的拓扑结构

柔性悬吊平台上的光电系统由三个刚体构成。根据任务特点,主要保证系统指向精度的情况下,B1和载体间的运动约束可用一个三自由度的球铰H1表示。该铰的铰点位于B0下端。

地平式经纬仪的方位轴系相对平台有一个旋转自由度,旋转轴可抽象为一个转动铰H2;俯仰轴系相对于方位轴系有一个旋转自由度,旋转轴也可以抽象为一个转动铰H3。由于系统中只存在转动铰,因此拓扑构型可用图3所示的转动铰有根树系统来描述。

树系统通路矩阵用来表征铰和刚体的关联关系,其行号对应铰号,列号对应物体号。第i行第j列元素为-1时表征铰Hi在B0和Bj的通路上,且背离B0;为0时表征铰Hi不在B0和Bj的通路上。

约束力元矩阵表征铰上的约束力元与铰的关联关系。行号代表刚体标号,列号代表约束力元标号。本系统约束力元矩阵为

以上各式描述了系统的拓扑构型,明确了铰和刚体以及约束力元的关联关系。

2.4 柔性悬吊平台光电系统的运动学分析

2.4.1 平台坐标系与参考基之间的运动学关系

平台体坐标系相对于参考基的姿态可由卡尔丹角坐标描述。三次转动的旋转轴顺次为e11、e21、e31,转角顺次为α1,β1,γ1,虚球铰H1的方向余弦矩阵为

式中:1C=cosα1,C2=cosβ1,C3=cosγ1,1S=sinα1,S2=sinβ1,S3=sinγ1。

其旋转矢量在基中的表示为

该铰的旋转运动约束矩阵在基中的表示为

2.4.2 系统各部件之间的运动学关系

p2为方位旋转铰H2的铰轴单位矢量,在中的表示为

若H2的转角为α2。H2的方向余弦矩阵为

铰H2相对基的旋转运动约束矩阵为

p3为俯仰旋转铰H3铰轴单位矢量,在基中的表示为

若H3转角为β3,其方向余弦矩阵为

铰H3相对基的旋转运动约束矩阵为

2.4.3 系统的运动学关系描述

将系统的三个旋转运动约束矩阵转置后合成为一个分块矩阵,其在参考基中的表述为

此时各铰的旋转角合矢量:

2.5 系统广义质量阵

考虑到多刚体系统中某一刚体转动对其他刚体的牵连作用,引入增广体概念。在刚体Bi(i=1,2,3)的每个铰上各附加一个质点,其质量等于通过该铰与Bi连通的所有刚体质量之和,则刚体Bi与附加质点的组合称为刚体Bi的增广体,记做Bi*。首先,求取增广体Bi*关于刚体Bi的内接铰点的惯量张量,然后,在此基础上求系统的惯量张量阵,最后,根据各个铰对运动的约束情况以及铰和刚体的关联情况,求取系统的广义质量阵。

广义质量阵表征系统各旋转铰的角加速度合矢量q与施加在各个铰轴上的合力矩阵的关系,是分析系统约束力元与铰的旋转运动之间相互耦合关系的关键。其表达式如下:

2.6 系统动力学方程

三个刚体均受到的外力,其中悬吊平台B1在未施加姿态控制力矩时受到的外力矩为

式中:M1g为平台摆动后产生的重力矩;M1d为外部干扰力矩,对于平台而言主要为吊绳传递来的铅锤方向的风力矩,该力矩在反捻机构未启动时与柔性缆绳的扭转刚度和扭转角度相关,经反捻机构处理后,与反捻机构的残余力矩有关;M1f为空气阻尼力矩。

安装反作用飞轮或控制力矩陀螺等动量交换装置作为姿态控制机构后。定义飞轮阵列的总角动量h,考虑到飞轮对平台的影响,M1o中增加姿态控制装置的作用得到M1oh:

由于B2、B3体积较小,受到的风力扰动较小,M2o、M3o主要为平台结构配重不平引起的重力矩。系统外力矩矩阵为为

铰H2存在方位轴电机的驱动力矩和摩擦力矩构成的合力矩,记为约束力元M1τ;铰H3存在俯仰轴电机的驱动力矩和摩擦力矩构成的合力矩,记为约束力元M2τ。系统的约束力矩矩阵为:

式中:Miτf为库仑摩擦力矩和粘滞摩擦力矩的合力矩,Miτa为经纬仪指向控制电机产生的驱动力矩。

将以上各式带入式(1),即可推出柔性悬吊平台光电系统的动力学方程。

3 仿真实验

3.1 仿真系统

利用拉格朗日方法建立动力学模型,对图1系统进行仿真。地平式光电经纬仪的望远镜口径660 mm,垂直轴高1 530 mm,底座采用圆形,直径2 m。俯仰轴系和垂直轴系采用直流力矩电机驱动,平台上带有反作用飞轮阵列组成的姿态控制机构。指向控制和姿态控制都采用角位置-角速度双闭环PI控制器。缆绳和平台连接处存在反捻机构。平台重2 290 kg,关于其质心的惯量张量diag(2 729,1 394,1 394)kg·m2;垂直轴系重534 kg,惯量张量diag(235.08,280.62,280.62)kg·m2;俯仰轴系重405 kg,惯量张量diag(58.19,60.95,60.95)kg·m2;缆绳长度50 m;方位轴粘滞摩擦系数0.03,库仑摩擦力矩0.5 N⋅m,俯仰轴粘滞摩擦系数0.02,库仑摩擦力矩0.5 N⋅m;光电传感器精度3×10-5 rad;反作用飞轮动态不平衡力矩系数[8,9]1×10-6 kg·m2。其他条件介绍略。

根据系统动力学方程建立系统的仿真模型,如图4所示。仿真实验采用Matlab的Simulink工具箱实现,其中系统动力学模型采用S函数编写。

定义参考坐标系中的目标视线的表示方式[α20,β30],即相当于平台姿态角[α1,β1,γ1]=[0,0,0]时,经纬仪方位轴转过α20,俯仰轴转过β30的视轴矢量。此时视线矢量在参考基中的表示为

当平台姿态角不为零时,目标视线矢量在平台体坐标系中的表示为

定义体坐标系中平台目标视线表示方式[α21,β31],即平台姿态角不为0时,经纬仪方位轴转过α21,俯仰轴转过β31的视轴矢量。其中元素与视轴矢量的关系为

将体坐标中的目标视线与转轴的实际转轴转角相减,即可得浮动平台光电系统的脱靶量。

柔性悬吊平台的姿态角初值均为零。仿真实验主要考虑目标相对惯性空间静止状态下,外部干扰对视轴指向稳定的影响。

影响高空悬吊平台光电系统指向精度的主要因素有两个:绕垂线的随机转动和垂线-地平面内的摆动。仿真实验将从这两个方面分析外部扰动对视轴的影响。

3.2 绕垂线的随机转动对视轴稳定的影响

绕垂线的随机旋转,主要驱动因素是经过反捻机构解耦后的风力残余扭矩。实验中风力扰动力矩频率0.32 rad/s,幅值分别取1.5 N⋅m(反捻机构未解耦),0.1 N⋅m(不完全解耦),0.019 N⋅m(解耦后)。目标视线[α20,β30]分别取不同情况,测试在风力扰动残余力矩作用下,指向控制和姿态控制对视轴指向和姿态的稳定的影响。

平台无摆动或摆动幅度非常小的情况下,系统广义质量阵中表征平台在垂线轴上的旋转与该轴向上干扰力矩关系的元素为

表征铰H2的转动与该轴向上风力干扰力矩关系的元素:

表征铰H2的转动与该铰上约束力矩关系的元素:

由式(27)可以知道,系统在垂线方向的转动惯量在103 kg·m2量级,而风力力矩造成的角加速度较小。比较式(28)、式(29)可以知道,如果不施加视轴指向控制力矩,风力残余力矩小于铰H2上的摩擦力矩时,垂直轴系将随平台一起转动。

仿真实验首先测试了既未施加姿态控制也未施加视轴指向控制条件下,视轴的稳定误差和平台姿态角的误差。不同的视轴初值的情况类似,平台姿态角和视轴误差将单调发散。

仿真实验接着测试了不同的风力扰动力矩作用下,施加视轴指向控制、未施加平台姿态控制的情况时,视轴稳定误差和平台姿态角的误差。仿真数据显示,视轴的稳定误差不再发散。未解耦的情况下的指向控制精度在10-4 rad数量级,不完全解耦和完全解耦的情况下指向控制精度在10-5 rad数量级,与光电传感器的分辨率精度相当。与此同时,平台的姿态角的发散速度将加快。图5显示了目标视线[0,0]时,垂直轴向风力干扰力矩、视轴和姿态稳定误差的变化情况,视轴误差约为1.4×10-4 rad,摩擦力矩导致了视轴的抖动。不同的目标视线的情况与之类似。

仿真实验最后测试了风力扰动作用下,既施加视轴指向控制,也施加平台姿态控制时,视轴稳定误差和平台姿态角的误差。由于在高空悬吊平台系统中,姿态控制机构的正常工作依赖于反捻系统的解耦和卸荷,因而风力干扰力矩只取不完全解耦和完全解耦两种情况。图6显示了垂直轴向风力扰动力矩幅值0.1N⋅m时,同时施加姿态控制和视轴指向控制时的指向误差和平台姿态角。此时视轴误差<2×10-5 rad,摩擦力矩造成误差的抖动,本实验中由于飞轮的转速不高,飞轮动态不平衡力矩的影响非常小。仿真数据显示,针对不同的初值和风力干扰力矩,视轴的指向精度在10-5 rad数量级,与光电传感器的分辨率精度相当,但平台的姿态角不再发散。

可以得出:针对静止目标,在绕垂直轴向风力矩扰动作用下,反捻机构开启时,若指向控制系统跟踪系统能力强,平台不需进行姿态控制。

3.3 平台摆动对视轴稳定的影响

垂线-地平面内的摆动是高空气流紊乱导致截面很大的气球和截面很小的平台受力不同引起的。主要存在于气球上升阶段,在气球进入水平飞行阶段开始衰减。摆动的频率与缆绳的长度和平台以及气球的结构有关。仿真实验设置摆动干扰输入形式为平台的角加速度,幅值为0.010 6 rad,频率为0.442 7 rad/s。摆动干扰加速度施加15 s后消失,由于空气阻尼很小,平台的俯仰角维持振荡,振幅0.017 rad。仿真实验中假设悬吊平台无铅锤方向的转动,只在过H1铰点与e21轴平行的轴向上存在摆动,即α1=0,γ1=0。

考虑广义状态阵中相关的项:

可以发现广义质量阵不仅与光电系统各个部件的相对其质心的惯量张量有关,还与缆绳的长度和系统的质量有关。系统在关于摆动轴方向的转动惯量远大于关于垂直轴的转动惯量,本实验中所示系统在106kg⋅m2数量级。且β1≠0时,该轴向上将存在重力矩,其方向与β1相反,在一定程度上可以制止摆动。因而其受到扰动后的摆动幅度较小。但摆动引起的平台目标视线[α21,β31]则不可忽略。

目标视线[α20,β30],当β1≠0时,目标视线矢量在体坐标系e1中的表示为

由式(25)、式(26)可得:

随着β1发散振荡,中目标视线[α21,β31]将发生发散振荡,且互相耦合。

仿真实验测试了多种目标视线初值的姿态变化和视轴误差。图7显示了目标视线[0.5,0.5],没有施加姿态控制力矩时,平台摆动时的视轴误差、视轴控制力矩和平台姿态角的变化。根据式(32),摆动引起了方位角的偏差,进而产生了方位轴的指向控制力矩,反作用于平台,导致了平台绕方位轴的转动。图8显示了同时施加视轴控制和姿态控制时的视轴误差。对比两个仿真结果,施加姿态控制和未施加控制时仿真效果相同,指向控制精度都在10-4 rad。即针对静止目标,施加姿态控制对指向控制精度无影响。另外由式(32)、式(33)和图7可以发现:在平台摆动的情况下,将导致光电经纬仪方位角和俯仰角都发生变化,因而两个视轴都要施加指向控制。

4 结论

柔性悬吊平台上的光电系统,其动力学模型是一个非线性系统,各个部分的相对运动与平台姿态间存在较强的耦合作用。仿真实验发现,由于反捻机构的解耦作用,当方位轴跟踪控制能力强时未对平台进行姿态控制可以获得和平台进行姿态控制一样的指向精度。摆动轴上的转动惯量与缆绳长度的平方成相关,远大于关于绕垂线方向的转动惯量。摆动轴向上存在重力矩可以抑制干扰力矩。因而平台上的姿态控制机构对水平轴向的姿态角控制作用不大。摆动将导致目标的平台视线两个元素都发生变化,因而在平台摆动时需要对视轴指向的两个轴系进行联动控制。

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