创意折叠桌（精选4篇）
创意折叠桌 篇1
0 引言
如今,伸展与折叠已经成为家具设计行业一个最佳创意理念。折叠桌因其空间占用面积小、并且便于操作而深受消费者的热捧与喜爱。因此对于既能满足基本生活需求又能节约空间的家居产品的探究就具有着现实性的重大意义。本文主要针对2014年全国大学生数学建模B题中平板折叠桌进行了最优化设计的研究处理分析。折叠桌的桌腿由若干长木条组成,对称分为2组,各用钢筋固定,并且沿桌腿有开槽以保证桌腿滑动的自由度。通过对开槽长度以及桌角边缘线的动态变化进行研究,在此基础上考虑折叠桌稳定性来约束优化。本研究旨在为折叠桌的优化设计提供更为周全的优化思路,在简单的考虑取材少的优化基础上,要同时保证折叠桌的稳定性和实用性。
1 模型准备
1.1 符号说明
在此,给出研究中需要用到的符号说明,具体如表1所示。
1.2 模型假设
1)假设钢筋为理想的不可发生形变的刚体,同时忽略钢筋的直径大小及重力;
2)假设所有木条紧密排列,没有间隙并且是光滑的;
3)折叠桌高度对称且只考虑等分的木条数为偶数的情形;
4)假设折叠桌未变形前钢筋位于凹槽的一端,展开后位于凹槽的另一端以保证桌子成型后的最佳稳固性。
2 模型建立
2.1 研究思路
对于折叠桌的最优化设计,首先需要确定圆形折叠桌弯折处的木条铰链的位置情况。如图1所示,为了保证折叠后桌面呈现圆形,必须使铰链弯折点分布在桌面圆周上,这样就需要确定最外侧的木条铰链弯折点。找到那些相对位置不变的点的关系以及关键节点之间的相对运动轨迹,从而描述折叠桌的动态变化过程。该动态变化过程可如图2所示。通过钢筋质点相对桌面弯折点的运动轨迹、每根木条与钢筋相交位置的运动轨迹、每根木条在折叠过程中转动的角度等方面的分析,建立折叠桌的动态变化模型,进而求出开槽长度,以及做出对桌脚边缘线的数学描述。关键在于对折叠桌的稳定性进行受力分析,并以此为基础求出受力表达式。折叠获得最优化在于木条长度最短,开槽长度最小,承受力最大,因此将这3部分组合即可得到最优化设计的目标方程。
2.2 折叠桌的开槽长度
分析思路:钢筋与2根木条中间形成的开槽保证了折叠桌的流畅折叠,开槽的长度决定了折叠桌的稳固性,所以需要研究每根木条之间开槽的尺寸加工参数。由于在桌子折叠过程中每根木条上铰链处的点的水平相对位置是不变的,故可以把铰链弯折点投影到一个平面上。在折叠过程中若把钢筋质点看作不动点,则相当于铰链弯折点向上沿圆周转动。在此以钢筋质点为坐标原点,平行于桌面的方向为x轴正方向,垂直于桌面向上的方向为y轴正方向,建立直角坐标系。其中,Pi表示折叠前第i根木条铰链弯折点位置,P'i表示折叠后第i根木条铰链弯折点位置,即铰链弯折点由Pi转动到P'i,mi表示钢筋在桌腿上的位置点到铰链连接点的距离,即|OP'i|的长度,di表示折叠后第i条铰链弯折点与折叠后第1条铰链弯折点投影在同一平面上的距离,即|P'1P'i|的长度。
转动过程的与钢筋质点G的相对位置示意如图3所示。
要计算开槽长度,需要先计算出折叠前钢筋在每一根木条上的初始位置。由于每根木条上铰链弯折点的水平相对位置在折叠过程中相对桌面是不变的,即|PiP1|=|P'iP'1|,其中i=2,…,n,钢筋是固定在桌腿最外侧的2根木条上,也就是第1根木条转动前后钢筋固定点和铰链弯折点距离不变,即|OP1|=|OP'1|,在折叠桌高度已知且达到稳定的情况下,旋转角度θ也为已知,由余弦定理可知:
由此可得第i根木条相对于钢筋的运动轨迹即为开槽的长度,记为,则
记|OPi|为mi,|OP'i|为ui,有:
其中,mi2=m12+di2-2m1dicosθ,
将第i根木条转动的角度记为θi,由图3可得:
而在△OP1Pi中利用余弦定理
即可求出∠PiOP1,故可得:
2.3 折叠桌取材长度
折叠桌的构成材料主要是长木板,长木板在折叠桌成型后取材最小表示为折叠桌的桌腿长度最短。
在折叠桌的最优化设计分析中,因为折叠桌的高度对称,在此仅以长木条的一半以及平板的四分之一去研究问题,即:
其中,ri表示构成桌面的第i根木条的一半;li表示第i根桌腿的长度。
2.4 折叠桌稳定性分析
结构的稳定性是指结构在载荷作用下维持其平衡形式的能力。要使得折叠桌具有良好稳定性,就必须分析折叠桌桌腿以及钢筋质点的受力关系。折叠桌折叠后,就可以直观看到在所有的桌腿中处于最外侧的4根桌腿承受着来自桌子和桌子上所放物品的重力之和G,而除此之外的桌腿承担着沿桌腿方向的拉力并且通过力的传递最后还是由最外侧的桌腿来承担所有的重力。受力分析如图4所示。
折叠桌成型后共有桌腿40根,其中每条桌腿分担(FG=G/40)的重力,方向竖直向下。由图分析沿桌腿方向受力为(FN=G/40 sinθi)。桌腿受到来自钢筋的支持力为(FG'),方向竖直向上,钢筋承受来自第i根桌腿的压力为(F'N),方向沿着桌腿向下。通过受力分析可知,对于钢筋质点而言将同时受到2方面的力,一是受到第i根桌腿的压力,同时又受到第一根桌腿提供的支持力FN。由力的传递可知,第一条桌腿承受的通过钢筋质点传递的第i根桌腿的压力为FN。因此第一根钢筋受到的力来自10根桌腿总和为
2.5 建立目标函数
折叠桌的最优化设计要使得长方形材料的取材长度最小、木条的开槽长度最小和桌子的稳定性最好,即桌腿能够承受的压力最大,在此简化为第1根桌腿承受的来自桌子及重物的压力。综合以上约束条件可以得到:
目标函数:
约束条件:
3 模型求解
编写Matlab程序,设置值L=70,h=3,W=2.5,R=40,r1=5,求出对于桌高70 cm,规格直径80 cm的情形,确定最优设计加工参数平板长度至少为162 cm,即尺寸为162 cm、80 cm、3 cm的平板通过切割可以折叠成所需尺寸的圆桌。具体设计参数如下:以平板左下角长度方向为x轴,宽度方向为y轴建立坐标系,则桌腿上4个钢筋固定点的坐标为(38,0),(38,80),(124,0),(124,80),每根桌脚长度、木条的开槽长度、桌腿旋转角度如表2~表4所示。由于对称性,这里只显示一半的加工参数,其他值由此推算。
(单位:厘米)(Units:cm)
(单位:厘米)(Units:cm)
(单位:度)(Units:degree)
4 结束语
本文在折叠桌最优化设计的目标函数中加入开槽长度以及稳定性的分析,使得折叠桌的设计更趋于合理化,这一设计理论与实际相结合,通过MATLAB将该方案部署实施编程,后期只需要输入已知参数智能程序就可以得到相应设计参数。在家具设计行业将这一方案运用实际,那么所设计的折叠桌就不仅仅满足客户任意设定的折叠桌高度和桌面形状,而且仍可以具有优质的承重能力,也更加符合桌子该有的实用性。
摘要：创意平板折叠桌方便、简单并且极大地节约了空间,越来越受到消费者喜爱,因此对折叠桌的研究具有现实意义。文章利用相对位置不变的性质描述了钢筋质点运动轨迹,将三维转二维平面分析得到开槽长度,在此基础上求出平板折叠桌的桌腿在伸展前后旋转的角度。其次对桌腿和钢筋质点进行受力分析,最终以桌腿开槽长度最小,木板取材最少,折叠桌稳固性最好为目标函数约束优化设计并用Matlab编程求解。
关键词：质点,相对位置,稳定性,优化,Matlab
参考文献
[1]韩佳成,EMBRICQS R V.平板折叠边桌[J].设计,2012(8):24.
[2]苏金明,阮沈勇.MATLAB实用教程[M].北京:电子工业出版社,2005.
[3]刘金春.结构力学[M].武汉:华中科技大学出版社,2008.
[4]王沫然.MATLAB与科学计算[M].北京:电子工业出版社,2003.
[5]侍冰雪,朱家明,朱韶东,等.创意平板折叠桌优化设计方案[J].浙江科技学院学报,2014,26(6):429-435.
创意平板折叠桌的最优设计 篇2
关键词：空间的思想,空间曲线方程模型,整合、转化思想,单目标线性优化模型
1 引言
本文研究的是2014年全国大学生数学建模竞赛B题[1]。随着人口数量的逐年增长, 有限的空间资源越来越宝贵, 因此对于既能满足生活及审美需要又能节省空间产品的探究有着深远意义。
某公司生产一种折叠桌, 桌面呈圆形, 桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成, 分成两组, 每组各用一根钢筋将木条连接, 钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上, 并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度[2]。问题一, 给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm, 每根木条宽2.5cm, 连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置, 折叠后桌子的高度为53cm。建立数学模型描述此折叠桌的动态变化过程, 给出此折叠桌的桌腿木条开槽的长度设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题二, 在保证折叠桌稳固性好、加工方便、用材最少的前提下, 对于桌高70cm, 桌面直径80 cm的情形, 讨论长方形平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等最优设计加工参数。问题三, 根据所建模型当客户任意设定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状, 以椭圆为例给出最优设计加工参数。
2 模型建立与求解
2.1 折叠桌动态变化的几何模型
首先讨论折叠桌的动态变化过程, 将其中的一个三角形抽象出来进行分析, 分别以第i、i+1根桌腿从桌子边缘到钢筋的长度以及第i和i+1根桌腿之差, 即ai、ai+1和bi+1为三角形的三条边。此时的角度αi+1是指桌子在撑开过程中第i+1根桌腿与桌面的夹角。每根桌腿与桌面之间的夹角αi+1与钢筋所在位置的关系可表示如下:
由此建立平板折叠桌每根桌腿中钢筋位置距桌面边缘距离随着每根桌腿与桌面之间夹角的变化的空间曲线方程模型:
根据递推的原理可求得其余的桌腿中钢筋位置距桌面边缘的距离随角度变化的动态过程。
将平板划分为四个对称的区域[3], 只需计算出其中一个区域的十条桌腿长度即可。以下为桌子折叠前的示意图:
图2中, 在中, AB的长度为圆的半径r, 即AB=AF=r=25cm, CF的长度为桌腿宽的一半, 即CF=1.25cm, 由勾股定理有。
由几何关系可得最长桌腿的长度l0为平板长度a的一半与BC的差值, 即。
以此类推, 可依次求得最长到最短10根桌腿长度为
其中, li为第i根桌腿的长度, d为桌腿的宽。
从而相邻两条桌腿之差为
由相似三角形的性质得桌子折叠后高度为桌子撑开时垂直高度的一半, 即h/2, 又钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上且与桌面形成线面平行, 故由勾股定理有
式中, 表示该开槽所在桌脚与最长桌脚的长度差值。
通过如上讨论和分析得到桌子在完全撑开后该模型可表示如下:
此时桌腿与桌面之间的夹角是一个定值, 在计算最长桌腿与水平面的夹角时可先计算其与竖直方向的夹角, 再加上90°即为所求角度, 如下图:
其中, 。
由以上模型结合MATLAB软件[4]求解出相关数据如下表:
单位:cm
以钢筋与桌子边缘交点O为原点, 钢筋所在竖直面为xOy面, 平行于平板宽的方向为x轴, 平板长的方向为y轴, 垂直于平板的方向为z轴, 建立空间直角坐标系如下图:
将每个桌腿开槽相对于钢筋的运动分解为两个方向的运动, 一个方向是在xOy平面上的上下移动, 如图中点a、b、c、d、e、f、g、h、i、j平移到点a*、b*、c*、d*、e*、f*、g*、h*、i*、j*所在位置的过程, 上下移动的距离即为每个木板上开槽的长度;另一方向是桌脚在yOz平面上以a*、b*、c*、d*、e*、f*、g*、h*、i*、j*位置的点为圆心进行旋转, 旋转角度就是桌子完全立起来时每个桌腿与竖直方向的夹角.可得桌脚边缘线是由钢筋的运动曲线在y轴方向上平移最长桌腿长度的一半得到的.最终形成的曲线在xOy平面上的投影曲线中各点的横坐标即每个桌腿宽度的中点距桌子边缘的距离, 即
纵坐标为开槽长度的数值大小, 即
竖坐标为桌子撑开时钢筋所在位置到桌子边缘的距离在竖直方向上的投影, 即z=aisinθ, 其中, θ指桌子撑开时桌腿与水平面的夹角.代入在上述几何模型中求得的数值运用MATLAB软件进行曲线拟合可得参数方程:
其中, t为离散变量, 取值1, 2, 3, …, 10。
用MATLAB软件对三个参数方程分别进行曲线拟合如下[5]:
三次拟合的可决系数分别为1、0.9986和0.9998, 说明拟合度很好。由此可得, 从长到短十根桌脚的桌脚边缘线的方程为:
用MATLAB软件画出桌子撑开时其中从长到短十根桌腿的桌角边缘线在空间中的图像如下:
图8中, 曲线上的点距离xOy平面越来越远, 说明随着桌腿从长到短, 开槽长度越来越长, 钢筋在该开槽里的运动轨迹越长。
2.2 对于给定的设计要求确定最优加工参数
根据物理知识分析可得当桌面与桌子的四条腿连线正方形相切时为桌子的稳固性临界态, 且由几何知识得, 此时桌子在给定高度和半径的前提下所用材料最少。
通过以上分析和讨论可建立以桌腿长度为决策变量, 使用材料最少为目标函数的单目标线性规划模型[6], 其中, 约束条件有两类:一类是稳固性的约束;另一类是开槽长度的约束[7], 所建模型如下:
目标函数:
约束条件:
其中, z表示长方形平板的体积, n为桌面半径与第1根桌腿的插值长度, λ为钢筋距底端占整条卓腿长的比例, l0*是稳固性临界状态下支撑腿的长度。
运用LINGO软件解得:长方形平板尺寸为169.8457cm×80cm×3cm, z=82005.94cm3, l0*=72.43285cm。
首先运用几何知识求解临界状态下支撑桌腿的长度解得l0=72.4279cm。
而临界状态下不是最优解, 最优解为
假设钢筋的位置在从底端起占整条桌腿长比例为λ处, 分别以支撑腿、相邻桌腿从桌子边缘到钢筋的长度和这两根桌腿之差, 即hλ、l0λ和b1为三角形的三条边作出下图:
根据余弦定理, 得
运用MATHEMATICS软件求解得:λ=0.7748。求得开槽长度xi, 结果见下表:
单位:cm
2.3 对于任意的设计要求确定最优加工参数
在桌子未撑开时, 以矩形材料的中心为原点、水平面为xOy面、竖直方向为z轴建立空间直角坐标系。从y Oz平面的方向看, 对于最长的桌腿l0而言, 有
桌子完全展开后钢筋在开槽中的位置与桌面边缘线的距离可分解为横轴、纵轴和竖轴三个方向上的距离可表示为空间曲线方程模型如下:
在用户给定桌子的高度、厚度及桌面边缘线的形状的情况下, 将这些参数代入模型即可求得桌子撑开时钢筋与桌面边缘线的距离ai, 即
根据空间曲线方程模型, 设计桌面边缘线的形状为椭圆, 其中椭圆的长短轴分别120cm和90cm, 桌子高度为100cm。运用MATLAB软件作出桌面边缘线为椭圆时桌子撑开的动态变化图如下[8]:
运用MATLAB软件计算桌腿上的开槽长度分别为: (单位:cm) 0.0107、0.0451、0.1115、0.2290、0.4399、0.8381、1.5948、2.8701、4.6657、6.9128、9.5781、12.6694、16.2243、20.3083、25.0235、30.5308、37.1024、45.2677和56.3817。
3 评价与推广
参数计算通过计算机编程实现, 减少了计算的复杂度, 提高了结果的科学性。根据杠杆原理并结合生活常识分析折叠桌的稳固性, 并将其量化成最长桌腿的桌脚间距离与桌面半径之间的等量关系, 使稳固性这一抽象概念更加具体。但该模型在对折叠桌的稳固性进行分析时, 只考虑最外侧四条桌腿对稳固性的影响, 并未考虑其它桌腿对稳固性的影响, 结果不具有普遍性。
该模型可推广至平面设计、城市规划等领域中, 相关圆形、椭圆桌面各参数的讨论也可以应用于分析桌面为正多边形或不规则多边形时各参数的变化情况。
参考文献
[1]中国工业与应用数学学会.2014年全国大学生数学建模竞赛[EB/OL].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/93b5f5d9986693c2ebd67962cdc7d9df.html, 2014-9-12/2010-09-12.
[2]韩佳成.平板折叠边桌[J].设计, 2012, (8) :24.
[3]穆玉杰.图形显示中的几何变换[J].纯粹数学与应用数学, 1993, 9 (2) :1-8.
[4]马明书, 孟燕玲, 朱霖霖.三维抛物型方程的一个高精度恒稳定的PC格式[J].纯粹数学与应用数学, 2009, 25 (3) :459-463.
[5]陈杰.MATLAB宝典[M].北京:电子工业出版社, 2010.
[6]胡运权.运筹学教程[M].北京:清华大学出版社, 2012.
[7]徐语论, 赵德芬, 王薇.由任意初始点求解离散型约束全局优化问题[J].数学杂志, 2011, 31 (3) :539-546.
最优创意平板折叠桌的探究与设计 篇3
1 设计思路
从稳定性好, 制造简单这两个方面进行一系列假定出发, 确保模型在这两部分最优化的情况下建立;再建立基于给定折叠桌边缘线的最优加工参数模型, 从桌面点与桌脚边缘线上的点在投影面上的关系, 推导出折叠桌桌面边缘线函数与桌脚边缘线函数之间的关系, 进而建立函数恒等式, 再根据凹槽长度大于等于零这一约束条件, 对于任意给定的钢筋位置, 求出所对应的最短平板长, 节省材料方面达到最优。
2 方案准备
2.1 主要符合的说明
2.2 模型的基本假设
1) 本文设定, 当折叠桌在未变形前, 钢筋位于凹槽的一端, 变成桌子后, 钢筋位于凹槽另一端, 这样保证了桌子成型后的最佳稳定性。
2) 取最省用料的情况, 即桌面的形状与平板相切或者与平板重合, 这保证了纵向的材料最省。
3) 设定加工的难度大小只与开槽的长度有关, 当最短的木条凹槽的长度最短时, 其加工起来最方便。
4) 钢筋所在G点把最外侧木条长度比分为1:n-1。
3 模型的建立
在这里, 只为求距离参数, 所以不考虑函数值正负号问题, 一律取绝对值。同时, 六边形表示任意桌面形状, 这里用在二维坐标系中的给定的桌面边缘线f (x) 描述。
运用几何知识得
将模型准备中的代数式代入方程得:
又有桌脚边缘线函数为
那么, 将由桌边边缘线函数求解得的A点的空间坐标, 代入桌脚边缘线函数, 以ki≥0为约束条件, 即可在给定高度、桌边边缘曲线进而桌脚边缘曲线的情况下, 求出平板长度与钢筋位置的函数关系, 再通过此关系, 可以当平板长度最短, 即在横向最省材料的情况下, 钢筋的位置。
此方案中的平板尺寸、钢筋位置、开槽长度即为在尽量满足顾客期望形状下, 各个参数的最优设计方案。
4 实例分析
4.1 设定基本参数
设定每张平板被20条木条所截, 平板的长度为a, 宽为b, 由于桌面形状大小确定, 为保持宽方向材料充分利用, 故桌面图案均包含或者与桌边缘相切。
4.2 设计创意平板折叠桌
由模型设定出不同的f, g函数和一定的高值, 即可得到不同的创意平板折叠桌。
1) 假设f呈现抛椭圆形状, g也呈现抛物线形。
桌脚边缘线的方程为:z=g (x, y) =a0x2+b0y=3.5x2-10.2y
将各已知量代入方程, 由约束条件计算得, 当n∈ (2.5', 4.9) 之间时, 满足约束条件, 由此将其等分成五分, 分别算出其对应的a值
由结果可知, 当n为3.46时, 其矩形的长为129.73cm, 此时最满足用料最省, 故此时为最优解。
运用M A TLA B对画出九张动态变化图如下
2) 假设f呈现双曲线的形状, g呈现抛物线形。
桌脚边缘线的方程为:z=g (x, y) =a0x2+b0y=6.5x2-18.2y
将各已知量代入方程, 由约束条件计算得, 当n∈ (1.8', 3.7) 之间时, 满足约束条件, 由此将其等分成五分, 分别算出其对应的a值。
由结果可知, 当n为3.32时, 其矩形的长为119.74cm, 此时最满足用料最省, 故此时为最优解。
运用M A TLA B对画出九张动态变化图如下
5 模型的误差分析与优缺点
5.1 误差分析
1) 在实际平板加工过程中, 在切割每个桌腿时, 受加工精度影响, 且为了保持接触面双面砂光滑动自如, 会产生一定的木条间隙 (如图5) 。在模型的建立过程中, 均忽略了因空隙导致的木条参数的变化, 产生了一定的误差;
2) 在求解有关钢筋位置问题时, 忽略钢筋体积, 将钢筋视作质点, 产生一定的误差;
3) 在数据处理过程中, 取不同位数有效值, 代入计算, 对结果产生一定的误差。
5.2 模型的优点
1) 问题模型建立过程, 二维空间与三维空间图结合, 使得问题求解和结果分析更加具体形象;
2) 运用多阶段图示意动态变化过程, 给出多个创新设计想法, 验证模型的切实可靠性;
3) 按照需要求解的问题灵活选取数据, 确保计算结果的准确性;4) 研究问题时循序渐进, 在求解的过程中慢慢进步, 逐步完善。
5.3 模型的缺点
1) 求解平板尺寸等问题时忽略了实际加工时产生的木条间缝隙, 这样得出的数据难免会有些误差, 有些没有考虑到的因素;
2) 研究平板折叠过程时, 将模型进行一定的简化, 部分情况时忽略厚度, 会产生一定的误差。
3) 研究折叠桌的稳定性, 机械结构并未进行全面深入的研究。
摘要：针对越来越多的客户对个性化的时尚平板桌的需求, 本文在保证平板折叠桌在稳定性, 加工易两方面最优化基础之上, 使用空间解析几何、动态模拟、投影面降维分析、函数系统仿真等方法, 通过构建折叠桌桌面边缘线函数曲线与桌脚边缘线函数曲线之间关系的函数恒等式, 建立了给定折叠桌边缘线的最优加工参数模型。并举出椭圆和双曲线的创新桌面设计的实例验证。
关键词：创意平板折叠桌,最优加工参数模型,投影面降维分析,MATLAB
参考文献
[1]全国大学生数学建模竞赛组委会.2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题[EB/OL]. (2014-09-11) [2014-09-15].
[2]韩佳成, Robert Van Embricqs.平板折叠边桌[J].设计, 2012.
[3]英英.基于MATLAB的图形图像处理系统的实现[D].内蒙古大学, 2013.
[4]曹高飞.基于MATLAB的图像增强教学演示系统的设计与实现[D].电子科技大学, 2013.
空间节约型创意折叠桌的设计模型 篇4
2014年全国大学生数学建模竞赛的B题是关于平板折叠桌的创意设计问题[1]。该题的研究原型来源于Robert van Embricqs设计的创意组合折叠餐桌[2]。本文就是在此题的基础上, 对折叠桌的加工参数进行进一步分析, 同时考虑稳固性和加工方便等因素, 建立符合实际生产的定制家具设计模型。
1 研究思路
现有一款创意平板折叠桌, 桌面呈圆形, 桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板 (图1) 。平板尺寸为120cm×50cm×3cm, 每根木条宽2.5cm, 连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置, 折叠后桌子的高度为53cm。桌腿由若干根木条组成, 分成两组, 每组各用一根钢筋将木条连接, 钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上, 并且沿木条的空槽来保证滑动的自由度。
本文以此平板折叠桌为研究对象, 有如下问题需要解决:
(1) 建立模型描述此折叠桌的动态变化过程, 给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述, 便于参数设计。
(2) 考虑稳固性、加工方便等因素, 讨论符合折叠桌实际生产的最优加工参数。
(3) 为打开定制家具的市场, 迎合不同客户需求。根据客户要求的折叠桌类型, 给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。
2 创意折叠桌参数及加工的建模分析
2.1 模型假设
(1) 假设折叠时钢筋紧贴开槽底端, 平铺时钢筋紧贴开槽顶端;
(2) 假设主要受力的是最外侧的四根桌腿, 忽略其他内侧桌腿的受力情况;
(3) 假设木条与圆桌面之间的交接处无间隙;
(4) 假设不考虑木条之间的摩擦力。
2.2 模型的建立及求解
2.2.1 给定平板尺寸时的折叠桌参数计算
2.2.1. 1 模型准备
Step1.求桌腿长度
根据平板尺寸及木条宽度, 该折叠桌由20根木条组成。由于对称性, 以木条KI为例, 取圆弧的中点F到L点的长度为该桌腿的长度。由勾股定理, 可以求得组成桌腿的每一段木条的长度。
根据所得数据, 利用Excel对木条长度作图得示意图 (图3) :
Step2.运用三角函数[2]求最外侧桌腿的旋转角度
下面以最外侧桌腿为例, 简图如图3所示,
假设OA为最外侧桌腿, 在平板折叠为桌子的过程中, 木条从OA运动到OA, 旋转的角度为∠AOA。
由Step1.可以知道OA的长度, 又因为桌子高53cm, 每根木头厚3cm, 则地面到桌子下沿的高度为50cm, 即桌子的实际高度为50cm, 即OH=50cm, 由反三角函数公式:
可以求得角度∠A OH=23.5°, 从而求得∠AOA=66.5°, 即当平板折叠成桌子时, 该木条旋转了66.5°。
Step3.求各木条旋转角度
由于钢筋穿过每一根木条, 因此最终状态时所有的木条都必定垂直通过钢筋所在的平行线。每一根桌角木条的旋转中心已知, 因此可以通过旋转中心以及穿过的钢筋所在平行线的点求出每一根木条的旋转角度。设xi为第i根桌腿木条的钢筋穿过点与旋转原点之间的水平位移, 倾斜角为θ, 此时,
2.2.1. 2 模型建立与求解
以A为原点, AB为x轴, AD为y轴, 过A点作垂直于面ABCD的直线作为z轴, 建立空间直角坐标系如图4所示:
以每一根木条的折点作为圆心, 在坐标系上作每一根木条末端点的运动轨迹方程如下:
运用MATLAB软件对以上方程进行拟合, 得木条的运动轨迹曲面, 如图5所示。
由于开槽是为使得折叠桌灵活展开而设计的[3], 桌面未打开时钢筋处于开槽的 (最接近桌面中心) 最上端;桌面完全打开后, 钢筋处于开槽的最下端。
由于钢筋MM′的位置是固定不变的, 因而, 每根木条的钢筋点位置到折点 (圆心) 的垂直距离都是相等的。图中B点为钢筋运动的终态位置, 假设钢筋运动的始态位置在G点, 则由以下算式:
开槽长度=终态钢筋所处位置-始态钢筋所处位置
可求得BG=O B-O G。同理, 求得每一根木条的开槽长度。
以桌面左上角为坐标原点, AB方向为x轴正方向, AD方向为y轴正方向, 垂直地面向上为z轴正方向, 建立空间直角坐标系。然后进行三维空间中的桌角边缘线曲线拟合, 用MATLAB加以实现, 得到该拟合曲线所在曲面 (图7) 。对该曲面进行XOZ平面上的投影。
此时决定系数R2=1, 说明所有的点都在该曲面上。对XOZ平面上的投影进行曲线拟合得到图8, 此时决定系数为0.999, 拟合效果良好。
因此, 该桌脚边缘线的表达式为:
2.2.2 最优参数设计模型的建模及求解
根据与家具生产商的交流沟通以及物理的相关知识, 只要桌子重心不超过桌角所围成的矩形区域, 桌子就不会翻倒。本文以桌子四脚与地面围成的矩形面积大于桌子的面积为约束条件:
为避免开槽的长度长于桌脚长度, 设置约束条件为:
建立最终的线性规划模型:
(1) 桌子长度L=80.67×2=161.3
(2) 钢筋位置为最外侧桌腿的中点;
(3) 开槽长度
2.2.3 定制型模型展示
2.2.3. 1 菱形折叠桌
假设该菱形折叠桌要求的桌高为70cm, 对角线的长度为80cm。根据原来的模型求得, 需要153.8×80×3cm的长板来进行设计。
根据给定尺寸以及几何分析可以得到每根桌腿的长度以及运动轨迹方程, 根据相似三角形的原理可以求得菱形的桌腿长度。为了更好地展示该折叠桌的运动过程, 本文运用MATLAB软件对此加以实现, 得到相应的动态图如图10所示:
2.2.3. 2 心形折叠桌
假设客户要求定制的心形的桌子高度为50cm, 木板的尺寸保持原尺寸不变, 计算原理同上, 假设心形折叠桌的桌面简图如图11所示:
根据规划模型进行求解, 并运用MATLAB软件对此过程加以实现, 得到相应的动态图如图12所示:
3 模型改进
在初步的制造过程中我们发现该设计存在不小的缺陷。当桌子承受的压力过大时, 桌脚与地面的摩擦力会小于水平方向上的分力, 导致桌子有展开的趋势。
为了解决此问题, 我们在原设计上进行了改进, 在连接处加了四根可动的钢条固定, 经实际测试着实能大大提高最大承受压力。
目前, 本文所研究的创意平板折叠桌投入生产, 生产制造出的桌子如图13所示。
参考文献
[1]2014高教杯全国大学生数学建模竞赛B题http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/93b5f5d9986693c2ebd67962cdc7d9df.html
[2]中国设计之窗http://www.333cn.com/industrial/sjxs/133003.html