待定参数法

待定参数法（共3篇）

待定参数法 篇1

引言

在现有的多媒体教学和商业PPT展示中激光笔的作用仅仅局限在指示与翻页作用的局限下, 我们项目组对激光的作用进行了延伸性的研究, 提出了一种基于图像捕捉的多媒体远距离操控的研究, 研究项目中, 由于机械安装或是非可控因素的干扰, 采集到的图像与原图像相比不可避免的会有轻微倾斜与旋转, 而对摄像机进行必要的标定和将采集到的红外激光点在图像校正的技术上进行相应的坐标转换是项目总最为关键的一部分。

1 图像变形校正

要实现对激光点的准确定位, 必须对摄像头采集到的图像进行边界提取, 可以通过设定阈值来实现, 继而可得激光点相对边界的坐标, 但如果摄像机拍摄得到的图像本身就有一定的线性倾斜形变, 即有原来的竖直线变成了倾斜线, 有原来规则的长方形平面变成了菱形平面[1], 如图1所示, 那么我们得到激光点相对坐标就无法代表激光点原本的几何位置信息, 如果我们能先对摄像头进行标定[2], 得到倾斜后的图像与原图像的坐标转换关系, 就可以将提取到的相对坐标还原回真实物理坐标。

通过大量查阅资料, 目前图像倾斜角检测的方法最典型的, 最流行的主要分为三大类:Hough变换法[3]、投影变换法和Fourier变换法。

其中, Hough变换是将图像中的共线点变换到参数空间中为一簇相较于某点的直线。若能在参数空间中检测出该交点P, 即局部最大值[3], 可以有效识别直线, 它的优点是受噪声曲线间断的影响较小, 但其巨大的运算量成为图像处理的一个瓶颈。

另外, 投影变换法是指沿着某一个特定方向, 统计出黑像素点的个数的统计图, 可以计算出图像的水平倾角和垂直倾角, 算法简单, 但是基于投影法的倾角检测算法需要通过比较投影统计值来确定倾斜的角度, 导致计算需要量非常大, 并随倾角的增大。

上述几种为了更好的实现系统的准确定位与控制, 并建立在不过多占用CPU处理时间的基础上, 在大量查阅资料建立起摄像头标定模型的基础上, 笔者在下文中针对项目组系统创新性的提出了一种基于待定参数法的摄像头标定与坐标转换方法。

2 摄像头标定模型与坐标转换

如图1所示的图形倾斜形变模型可以分解为如图2、3的水平倾斜和垂直倾斜。

在水平倾斜的情况下, 图像不存在, 错位偏移, 只是被测对像平面的水平轴X'和图像平面X轴有一定的倾斜角a, 只要求取水平倾斜角度a, 将图片旋转-a角度实现图像的水平校正, 其中旋转公式为式1;在垂直倾斜的情况下, 这是的倾斜实际上是同一行间像素的错位偏移, 只要检测到垂直倾斜角度, 再进行错位偏移校正即可, 转换公式为式2

将两式进行矩阵相乘后可得到图一所示的旋转模型-式3。

这种情况下, 若要求得坐标转换模型, 则需要通过Hough变换法、投影变换法或者Fourier变换法来求得两个角度, 计算量大, 严重影响系统运行速度。但笔者发现, 由于是二维转换, 上诉的矩阵模型可抽象成带四个待定参数的方程组, 若能在安装投影仪和摄像头初期, 或者是在系统需要校准的时候对摄像头进行标定, 理论情况下, 只需采集四组对应坐标, 即可通过高斯迭代法, 求二元一次方程, 这极大的减少了程序的算法复杂度, 优化了程序, 使运算更快速。

进入摄像头标定模式后, 在投影仪中投影出长宽已知, 格点边长已知的棋盘图样, 如图4右所示, 采集整幅图像, 经过滤波去噪处理后, 通过逐行逐列扫描检测边缘跳变, 可以辨识棋盘角点坐标, 为增强参数的可靠性, 系统标定时会采集相对多的数据, 通过与实际几何图像的坐标意义对应关系求出适应不同环境的参数a、b、c、d。从而有效的实现了系统的倾斜变形还原。

3 结束语

笔者针对项目组的系统建立了固定参数模型, 为适应不同环境投影仪上的摄像头的倾斜程度不一, 可在系统中加入摄像头标定, 将坐标转换参数设为可调, 根据不同的环境参数只需标定一次即可投入使用, 若因后期非确定因素干扰导致的环境参数变动而使系统定位不准确, 只需进入校准模式, 重新标定摄像头, 调整可调参数并保存即可。实验证明, 此方法在适应不同的倾斜程度上有良好的校正效果。

摘要：文章提出的图像校正模型建立在摄像头采集图像并捕获红外激光点的基础上, 在分析讨论了几种经典图像校正方法后, 提出了一种简单易行的基于待定参数法的图像校正的坐标转换公式, 并进行了理论性分析与验证。

关键词：图像校正,坐标转换,摄像头标定,待定参数法

参考文献

[1]张广军.机器视觉[M].北京:科学出版社, 2004.

[2]杨必武, 郭晓松.摄像机镜头非线性畸变校正方法综述[J].中国图像图形学报, 2005, 10 (3) :269-274

[3]孙丰荣, 刘积仁.快速霍夫变换算法[J].计算机学报, 2001, 24 (10) :1102-1109.

待定参数法 篇2

采用概率密度函数(probability density function,PDF)来描述湍流场中物理量的湍流脉动,是湍流燃烧和湍流多相燃烧数值模拟中的一种重要方法[1,2,3,4].通过求解PDF输运方程可得到湍流燃烧中各变量的联合概率密度函数[5,6],但其计算量较大,尤其是在涉及复杂化学反应机理、变量数目较多的情况下,计算量就更大.应用PDF的一种较为简便的方法是,预先设定湍流燃烧场中某一变量PDF的函数形式,如对瞬时气体温度和组分浓度等标量的PDF可设定为截尾Gauss分布或β函数分布等[7,8,9,10].截尾Gauss分布在物理上较为合理,但其中的待定参数较难以确定,这使得截尾Gauss分布的应用受到限制.已有文献较少有关于截尾Gauss分布中待定参数求解的报导.本文在文献[11]的基础上进一步探讨了截尾Gauss分布的性质,并据此构造了一种求解其中待定参数的方法.

1 截尾Gauss概率密度函数的性质

对湍流燃烧中的任一瞬时标量f,如气体组分质量分数和归一化的温度等,取值范围均在0∼1之间.按截尾Gauss分布给出的f的概率密度函数为

其中µ和σ为待定参数,它们确定了截尾Gauss分布函数的具体形式;H(ξ)为Heaviside台阶函数,ξ0时有H(ξ)=1,ξ<0时则有H(ξ)=0;δ(0)和δ(1)分别表示在f=0和f=1处的δ函数,常数A和B分别取为

由式(1)可得到f的一阶矩和二阶矩分别为

利用f的概率密度函数求出的统计值和g应该与求解f的一阶矩和二阶矩输运方程得到的结果一致.因此在给定和g的条件下,待定参数µ和σ可通过式(4)和式(5)求出.

按误差函数的定义,有

令

于是式(2)∼式(5)可写为

式(10)和式(11)即为通过和g求解待定参数µ和σ的代数方程组.显然,此方程组是非线性的,需要采用迭代法如牛顿迭代法等[12]求解.在求解之前,有必要先了解该非线性代数方程组的一些性质.

当µ=0.5时,从式(11)可得到

图2给出了µ=0.5时g随σ的变化曲线.如该图所示,g随σ逐渐增大.将式(12)中erf(x)和exp(-x2)进行Taylor展开,可得到当σ→∞时,有g→gmax=0.25.这表明当值取0.5时,g的取值比0.25小,µ和σ才是有解的.当取其他值时,g能够取到的最大值显然也应该小于0.25(见图1(b)),下面对其具体取值进行分析.

从而

图3显示了等值线向直线式(16)逼近的过程.可见如果g足够大,满足方程(10)和(11)的(µ,σ)必定满足式(16),从而使方程组(10)和(11)转化为仅包含单个变量的方程,其求解就变得简单了.

2 待定参数的求解

(1)计算的等值线,如=0.1等;

(2)沿等值线上各点计算g,插值得到所要求(,g)的解(µ,σ);

(3)将(µ,σ)代入式(11),验证精度.

步骤(2)和(3)都是易于实现的,步骤(1)中等值线的计算方法则有很多[13,14,15],这里采用张瑞超等[15]的方向一致的等高线提取算法.其核心思想是通过相邻点(i,j)和(i+∆i,j+∆j)的记号来确定等值线要穿过的边界及其方向(等高线跟踪时的遍历方向),计算过程中不断更新(i,j)和(i+∆i,j+∆j)的值来遍历等高线.等高线穿过每个格网(4个相邻节点围成的矩形)时有如图4所示的一些可能性.

图4中,记号“+”,“–”和“0”分别表示节点值大于、小于或等于待生成等高线的高程值,被等高线分开的两侧节点值一侧必比等高线的高程值大,而另一侧必比等高线的高程值小.图4(a)∼图4(c)代表等高线从格网的两条边穿过的情形,图4(d)∼图4(f)则代表等值线从节点穿过其他节点和边的部分情形.实际上,如果穷举等高线从节点穿过的可能情形,将使问题变得更加复杂.可采取一个简单的办法来避免等高线从节点穿过,如果节点值与等高线高程值相等,将节点值人为增加或减去一个小量,使得该节点的记号变为“+”或“–”.如此等高线从节点穿过的情形将转化为从格网的边穿过,即图4(a)∼图4(c)所示的3种情形.

的等值线计算可按照下列步骤进行:

(1)计算所有(µ,σ)节点上的;

(2)各节点值减去待求等值线的高程值,若节点值为0,则令其为10-10;

(3)在边界上确定等值线起点,根据等值线遍历方向,确定i,j,∆i,∆j的值;

(4)按照文献[15]中算法,遍历等值线,直到等值线到达其他边界.

3 计算结果

从表2可以看到,利用上述方法求出的µ与σ检验计算和g的绝对误差均在10-5以下,且绝大部分在10-6以下.更为重要的是,尽管表2仅给出了部分结果,但建立的表格能够足够的密集,和g的间距均可以达到0.001,使得即使采用简单的双线性插值,其精度也可满足要求.

4 结论

待定参数法 篇3

关键词：形式,待定,技能,素质,思维方法

数学知识具有很强的工具性与广泛的实用性, 在教学与实践中仅满足于“拿来”会用是远远不够的, 这种“求其然, 不求所以然”的惯性思维, 对于培养良好的思维素质和解决实际问题的能力无疑有害。若能长期积累一些数学基本知识, 掌握一些数学基本方法, 适当追究其“根源”, 对于高职生的技能、素质培养十分必要。

所谓“形式与待定法”即:在明确一个问题的结论形式下, 将其用数学的式子表述出来, 再去用数学的方法来确定。常微分方程中的二阶线性常系数齐次方程的“特征方程—特征根法”、有理函数的“部分分式法”、求拟合曲线等等都是典型的例子。许多人觉得这很简单, 但在一定情况下的普遍适用性却常会被遗忘或忽略。

在教学过程中, 我们许多人都遇到过这样的问题:

(1) 这一常用公式是如何得出的呢?它实质上是非等差、等比数列{i2}的前n项求和公式, 用数学归纳法容易验证它的正确性。若再进一步问, 可能困难就更大了。

(2) 在微分的近似应用中:由函数极限无穷小的关系:f (x+Δx) -f (x) =f' (x) Δx+o (Δx) [其中o (Δx) 是Δx的高阶无穷小量, 是因函数f (x) 不同而异的一般表达式, f' (x) Δx叫函数f (x) 的微分]得到的近似公式:f (x+Δx) -f (x) ≈f' (x) Δx, Δx取值越小越精确, 但对一些函数来说在Δx还不算大时, 往往就得不到满意的精度, 当时微分刚学了一部分, 学生还远没有接触到级数, 甚至我们一些学生在校期间不可能接触到。那么, 如何使学生适当进一步地了解问题是什么原因引起的?如何克服这一不足呢?

针对这些问题, 我们利用“形式与待定法”来讨论。

一、关于

的解析

1.

=? (k∈N) 的形式确定。事实上, 由两项式的展开式知:

说明k+1次式能由k次以下式表出, 对上式两边求和得:

上式实际上是求的递推式, 使用时比较繁乱。但我们可以由 (1) 、 (2) 两式, 观察出以下两个事实并通过数学归纳法验证其成立:

(1) (k∈N) 的求和结果是一个k+1次的多项式;

(2) (k∈N) 的求和结果中均含有n (n+1) 这一因式;

因为当k=1时, 上述两个事实显然均成立;假设k时上述两个事实成立;

当k+1时, 因为有

由这一递推关系不难看出上述两个事实也都成立;

这就告诉了我们的求和结果所具有的形式特点。

2.

的求和结果的待定:

下面先看看的求和结果的待定:

根据上述讨论结果:是三次多项式且含有因式n (n+1) , 所以设其求和结果形式为: (n+1) (an+b) , 其中a、b为待定常数;

两边代入n=1可得:1=2 (a+b) ;代入n=2可得:5=6 (2a+b) 解联立方程组得到:;

若改进其形式设法还能降低解方程组的麻烦, 做法如下:

设=n (n+1) [p+q (n-1) ]其中p、q为待定常数, 它仍是三次多项式的一种一般形式, 但求待定常数却很容易, 在这一形式下:

令n=2并由 (3) 得:q=

显然待定的求和结果时, 完全类同于的确定方法, 设它的求和结果形式为:, 在方程的两边分别代入n=1, 2, 3, ......, k-2得到待定方程组, 确定出多项式系数ai (i=1, 2, 3......, k-2) , 最终得出求和结果。我们利用这种做法可以得到:

这一问题利用“形式与待定法”得到了较好的处理。

二、关于微分近似公式进一步精确化的解析

由f (x+Δx) -f (x) =f' (x) Δx+o (Δx) 得到的近似公式f (x+Δx) -f (x) ≈f' (x) Δx, 误差来自于忽略去的高阶无穷小量o (Δx) ;若改写Δx为h, 近似公式变形为f (x+h) -f (x) ≈f' (x) h, 将h当成变量, x当成半变量 (即先看成常量, 讨论完成后再看成变量) , 这相当于用h的一次函数f' (x) h来近似函数[f (x+h) -f (x) ];如果将误差中的二次式“找回”, 则就会减少误差, 提高精度, 所以提高了精度的近似式的形式为:

f (x+h) -f (x) ≈f' (x) h+ph2[p为待定常数];

为了确定待定常数p, 上式的两边均对变量h求两次导, 并代入h=0得:;从而利用“形式与待定法”得到较好的近似公式:

我们可以不断地利用“形式与待定法”“找回”三次式、四次式等等得到进一步的近似公式。这些近似公式有:

实际上, 这就是后面应学的函数的泰勒公式。这些近似公式适应于任意具有相应阶导数的函数, 当h取值相同时, 由f (x+h) -f (x) ≈f' (x) h+容易看出f (x) 是不同的函数时, 近似公式f (x+h) -f (x) ≈f' (x) h的精度主要取决于|f" (x) |的大小, 这个数值越大, 引起的误差就越大, 它也是函数增减快慢的标志性数据。这就是为什么使用同样的近似公式f (x+Δx) -f (x) ≈f' (x) Δx不同的函数有不同的精确度的原因。

上述的两个问题是在数学教学中遇到的, 本身并不复杂, 引用它们仅为解析“形式与待定法”, 可以看到“形式与待定法”的使用关键是要设法知道问题的确切形式, 这种方法还广泛地用于初等数学、高等数学及其他学科的诸多问题中。只要我们在教学与实践中做个有心人, 就不难掌握数学的一些基本技能, 提高自己的应用能力与综合素质。

参考文献

[1].欧阳光中, 朱学炎, 秦曾复.数学分析[M].上海:上海科学技术出版社, 1982 (12)

[2].郭大钧.大学数学手册[M].济南:山东科学技术出版社, 1985 (9)