输油管的布置数学建模

2024-07-07

输油管的布置数学建模（精选7篇）

输油管的布置数学建模篇1

2010年全国大学生数学建模竞赛C题是“输油管的布置”，其关键问题是：(1)三家工程咨询公司对附加费用进行估计，分别为21、24、20(万元/千米)，由于这三家工程咨询公司资质不同，选择切合实际的附加费用才能给出输油管布置的最优方案;(2)针对题目的要求，可以建立管线费用不同的最优模型，而最终应给出管线费用统一的最优模型;(3)其最优方案还要考虑管线的美观性。文章选取中位数21(万元/千米)作为附加费用，建立了管线费用统一的最优模型，得到管线最少费用在区间[249.4422万元，252.8104万元]内，并考虑到管线与城区分界线以及铁路之间的布局的合理性、美观性与和谐性，确定出最优方案的其他三个选择方案。

（一）问题重述与模型假设

1. 问题重述

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用(以下简称管线费用)最省的一般数学模型与方法。要求：(1)针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形;(2)设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图1所示，其中A厂位于郊区(图1中的I区域)，B厂位于城区(图1中的II区域)，两个区域的分界线(以下简称城区分界线)用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离(单位：千米)分别为a=5, b=8, c=15, l=20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。公司一、公司二、公司三附加费用(万元/千米)估算结果分别为21、24、20，要求为设计院给出管线布置方案及相应的费用;(3)在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。

2. 模型假设和符号约定

根据题目的要求，有以下假设和符号约定：

(1)铁路为一几何线而不计宽度。设计路线时，不考虑管道转弯角度以及地面坡度，不考虑地质情况以及气候条件等影响;管线按直线铺设，除所给不同费用外，不再考虑其他费用，并约定管线建设费用简称为管线费用，两个区域的分界线简称为城区分界线，拆迁和工程补偿等附加费用简称为附加费用。

(2)λ表示附加费用，α表示输送炼油厂A的管线铺设费用，β表示输送炼油厂B的管线铺设费用，η表示共用管线的铺设费用。

(3) P表示炼油厂A和炼油厂B输送管线接点，如图5所示，Q表示车站，当PQ=0时，P点和Q点重合;F表示城区分界线与铺设管线的交点。

(4) x表示CQ的长度(千米)，y表示PQ的长度(千米)，z表示FE的长度(千米)，当y=0时，P点和Q点重合。

(5) S (x, y, z) 表示管线总费用，minS (x, y, z) 表示管线最少费用。

（二）模型的建立与求解

1. 附加费用λ按中位数选取

平均数分为算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数。而平均数又有简单平均数和加权平均数之分。若按简单算术平均数计算，λ≈21.6667。从本题可看到，使用加权算术平均数才能反映实际情况。但题目没有给出权数，若咨询公司按具有甲级资质、乙级资质定义权重分别为0.6和0.4(其他级别资质咨询公司权重忽略不计)计算，即，其中可反映乙级资质咨询公司的一般估算水平。λ的取值与中位数21很接近。从数据资料来看，极大值24影响了平均数λ，而具有甲级资质的咨询公司更具有权威性，因此λ取中位数21较合适，具有较高的代表性。

2. 最小管线费用模型的建立

(1) P点在矩形区域MGEC内

如果P点在矩形MGEC区域之外(见图2)，简单的计算就可以判断其之外任意一点建立模型，所用相应管线长度大于矩形内建立模型所用管线长度，使费用提高，所以P点在矩形区域MGEC内。

(2) P=Q，所有管线的铺设费用相同均为7.2(万元/千米)时的模型利用勾股定理容易得到(见图3)模型为：

用Mathematical软件计算得解为：

(3)输送A厂成品油每千米5.6万元，输送B厂成品油每千米6.0万元，附加费用取λ=21时的模型

得模型为：

用LINGO软件计算得解为：

(4)输送A厂成品油每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，附加费用λ=21，共用管线费用为每千米7.2万元，P, F, B三点在一直线上时的模型P点的情况有两种，见图4和图5。

得模型为：

用LINGO软件计算得解为：

(5)输送A厂成品油每千米5.6万元，输送B厂成品油每千米6.0万元，附加费用λ=21，共用管线费用为每千米7.2万元，P, F, B三点不在一直线上时的模型

P点的情况有两种，见图6和图7:

所以模型为：

其中27为管线6万元/千米和附加费用λ=21万元/千米两个费用之和。

用LINGO软件计算得解为：

从运行程序来看，所给的解也是全局解，也就是说对任意的x, y, z其解都是这个解，因此完成了题目所给问题3的最优解。

（三）模型的统一和λ取20、21、24以及按简单算术平均数21.6667计算的最优值列表

1. 统一模型

根据以上计算可知，可以把以上四个模型统一为模型：

其中α, β, λ, μ为参数。

当α=β=7.2, λ=μ=0, y=0时, 得到模型 (Ⅰ) ;

当α=5.6, β=6, λ=0, μ=7.2, y=0时, 得到模型 (Ⅱ) ;

当α=5.6, β=6, λ=21, μ=7.2, P, F, B三点在一直线上时，得到模型(Ⅲ)。

当α=5.6, β=6, λ=21, μ=7.2, P, F, B三点不在一直线上时，得到模型(Ⅳ)

如若再含有参数a、b、c、l，又可统一模型为：

2. λ取20、21、24、21.6667时的最优值列表和最优值所在的区间

由统一模型Ⅴ，使用LINGO软件，容易计算λ取20、21、24、21.6667时的最优值，其中21.6667是按简单算术平均数计算得出的λ值，列表如下：

根据题目要求和附加费用λ选取时的分析，附加费用λ应介于中位数和简单平均数之间，所以管线最少费用应在区间[249.4422, 252.8104]内。

（四）在λ=21时，其它最优方案的计算与分析

以上计算来看只考虑了问题的最优解，得到y=0.132千米，z=7.266千米，但是没有考虑管线和城区结合线以及与铁路之间的布局的合理性，美观以及与自然的和谐性。可以看到，y=0千米，z=8千米时比最优解更好，这时输油车站建在铁路线上。以下对四个特殊情况进行计算，并与λ=21时的最优解进行比较和分析。

1. y=0且BF与EF平行的情况

因为BF与EF平行，见如图8，所以z=8，应用最优模型Ⅳ，即

计算得：

min S (x, y, z) =251.139万元

这个结果比最优结果249.442万元多增加费用1.697万元。

2. y≥0且BF与EF平行的情况

因为BF与EF平行，见如图9，所以z=8，应用最优模型Ⅳ，即

计算得：

min S (x, y, z) =250.874万元

这个结果比最优结果249.442万元多增加费用0.432万元。

3. y=5且BF与EF平行的情况

因为BF与EF平行见如图9，所以z=8，应用最优模型Ⅳ，即

计算得：

min S (x, y, z) =261.462万元

这个结果比最优结果249.442万元多增加费用12.020万元。

4. x=0且BF与EF平行的情况

因为x=0, BF与EF平行，见图10，所以z=8，应用最优模型Ⅳ，即

计算得费用MimS (x, y, z) =262.782万元

这个结果比最优结果249.442万元多增加费用13.340万元。

5. 四种特殊方案的分析

从以上结果来看，方案1与最优结果比较仅仅增加费用不超过1.697万元，比最优方案花费增加不多，并且输油车站建在铁路线上，这是个不错的选择。方案2中y=0.467千米，可合并为方案1。若考虑管线与城区结合线和铁路之间的布局的合理性、美观以及与自然的和谐性，也可以选择方案3(图10)和方案4(图11)。因此方案1(图8)、3(图10)、4(图11)是最优方案的其他选择方案。

（五）模型的评估与分析

模型比较符合实际，直观，便与应用;2.得到统一模型Ⅴ和模型Ⅵ，使得模型Ⅰ，模型Ⅱ，模型Ⅲ，模型Ⅳ均为参数α, β, λ, μ取不同值的特殊情况;考虑了布局的合理性、美观性，给出了特殊情况下管道费用，并与最优解比较，确定出最优方案的其他选择三个方案;选取中位数21万元作为附加费用λ的值，与实际最优值最接近，但也会有一定的误差。

参考文献

[1]谢金星.优化建模与LINGO软件[M].北京:清华大学出版社, 2005.

[2]李静萍, 高敏雪.社会经济统计[M].北京:中国人民大学出版社, 2010.

[3]唐焕文.数学模型引论[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[4]姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[5]程理民, 等.运筹学模型与方法教程[M].北京:清华大学出版社, 2000.

输油管的布置数学建模篇2

现在的数学课堂教学中,一般都是老师教,课后批改作业;学生上课机械地听,下课后忙碌地做作业。学生天天做作业,老师天天批改作业,教师花费在批改作业的时间太多了,而学生完全处于被动地位。为了应付老师“批改”,学生天天忙于按时完成作业,不管对与错,草草了事,一大部分学生出现了抄袭、问答案或叫人代替做作业等不良现象。教师也只好“上当受骗”,由于时间紧,批改量大,教师批改作业常常用“√”或“×”等符号简单代过,学生由这些符号就能知道哪道题错了,但不知道错在哪里?得到的只是百思不得其解的信息,找同学或同桌抄答案应付了事。那么,如何让老师和学生从这艰苦的“束缚”中解脱出来呢?对作业的布置谈谈自己的认识和做法。

一，布置课前预习作业。预习作业的布置要以学生自主探索、自主学习的尝试,培养学生学习意识和习惯的重要方法为主。布置课前作业时,教师不再指导学生先怎样想、再怎样做,而是放手让学生自己选择自己喜欢的方式,进行预习例题、理解例题,在理解例题的基础上,充分发挥学生的主动意识和进取精神,运用所学知识,自主探究,去发现问题、提出问题、分析问题、解决问题,寻找数学规律的实践活动和创新的过程,让学生成为学习的主人,使学习过程变成学生主动性、独立性、个性化的体验过程。在课堂教学活动中,以开展小组合作学习为主体,整个过程是师生的有效互动和交往,共同发展的过程。学生在做预习作业时,遇到了难题,想法、体验、感受、见解,有许多话想说,因此,我在上课时,尽量安排8分钟～10分钟的时间,让学生交流学习的感受,体会和理解,交流学习方法。交流时让学生在小组上交流自己做作业的收获或遇到的问题,也可以找自己喜欢的学习伙伴,交流自己的心得体会,讨论在作业中所遇到的难题。而我深入学生中间或参与或点拨,在动态中组织全班学生交流的话题。

二，布置弹性作业。教师根据学生的数学知识与能力水平,把学生分成好、中、差三个等级,而课后作业针对三个等级也相应设计出弹性作业,分别是必做题、选择题、延伸题、附加题等。要求差等生只完成必做题,适当考虑选择题;中等生完成选择题,考虑延伸题;优等生完成延伸题,考虑附加题。让不同程度的学生学到不同的数学知识,完成不同的作业。

三，布置开放性作业。数学开放题是相对于条件完备、结论确定的封闭题而言的,是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。条件完备、答案固定在发展学生思维、提高学生素质方面带有一定的局限性,学生长期过分做封闭题,容易束缚学生思维的发展,往往形成定式思维,这对学生创新性思维的发展极为不利。因此在实际教学中,必须增强作业的开放性,适当设计一些开放题来充实作业题。由于开放题存在着多种可能性,这就给学生提供了多角度考虑问题的机会,在寻求答案的过程中,有利于培养学生思维的广阔性、应变性、发散性、独创性,在讨论推断可能正确答案和最优解法时,使学生能进行创造性复合思维,从而有利于培养学生创造性思维能力,使学生的个性素质和科学思维素质得以提高,从而形成学会求知的素质。

四，布置应用性作业。应用意识的薄弱,是当前数学教育的一个重要问题。在教学中,可以选择一些有典型意义的问题,回归生活、生产中的原型,给学生创设一个实际背景,让他们认真观察、收集数据,抽象图形,联想学生的知识和技能,来解决实际问题,从中体会数学来源于实践,培养学生阅读理解、抽象概括和分析问题的能力,有利于学生思想素质和智力素质的形成。

五，布置典型性作业。通过教学实践体会到,实施素质教育的大敌是学生作业负担过重。而作业负担过重的直接原因之一就是题海战,造成题海战的根本原因在于课堂效率低,作业量多杂而质差,缺乏典型性。教学中,教师要精心选择足够类型、形式多样和适当数量的材料,为学生布置一些典型性的作业题,让学生练一题而通一类,比如把条件、结论完整的题目改造成给出条件,先猜结论,再进行证明的形式;或给出多个条件,首先需要收集、整理、筛选以后才能求解或证明,打破条件规范的框框;再如要求多个结论或多种解法的题目,加强发散式思维的训练;也可以给出结论,让学生探求条件;或将题目的条件、结论进行拓展、演变,形成一个发展性问题,利用这些非常规的题目,作为常规题目的补充。

以下是我的整式乘法作业

I:14.1.1同底数幂的乘法

预习作业

1．同底数幂相乘，底数______，指数_______。

mn()2．a.a=a(a≠0,m，n都是整数)3．a()·a=a.（在括号内填数）

2m20034204．若10·10=102

3，则m=________。

5．x·x·xy=_________。6．2·8=2，则n=_________。

7．-a·（-a）=_________。3522n作业必做题一，计算

1． 102×10；

22．3×3×33

33． 100×104．(5．a2×102

111)×()2×()3 222·a6 ·b

3 ·(-a)·(-a)6．b57．-(-a)8．y2n·yn+1

选做题

1．a·a+a·a–a·a+a·a, 2．已知4×2×2a a+15n3n+2n+

42n+3

=2，且2a+b=8，求a的值，2n+

19b

3．已知n为正整数，试计算（-a）

×（-a）

3n+

2×（-a）。

II:14.1.2 幂的乘方14.1.3 积的乘方

预习作业

1.幂的乘方，底数不变，________.2.积的乖方，等于把积的每一个因式分别_______,再把所得的幂相乖。3.计算

n（1）（a）

(2)3

(3)

a作业必做题

332

5n+1

(4)

(6x2y5)2

教材P104

第1,2题

选做题 1．计算

(1)(x2)3(x4)3

(2)(a2)2a4(a2)4.2．用简便方法计算

(1)4

 0.25

;

8812 0122 011(2)3()

.3．若x2n2,求(3x3n)24(x2)2n的值．

III:14.1.4整式的乘法（第1课时。单项式相乘，单项式乘以多项式）

作业

必做题

教材P104-105

第3，4题选做题 1，计算(1)1x431y2(2xy2)(2x2y)(xy)3x2y2z

23(2)(a)2，已知ab21(2ab2)34ab2(7a5b4ab35)

22536，求ab(ababb)的值

3，已知：单项式

M、N满足2x(M3x)6x2y2N，求M、N。

IV:14.1.4 整式的乘法（第2课时。多项式相乘）

预习作业

1.多项式与多项式相乖，先用一个多项式的各项去乖以另一个多项式的_______, 再把所得的积相加。2.计算（1）（2m-3）（3m+1）

（2）(6x-5)(x-4)

（3）(a-5)(a+2)

（4）(3a-2b)(b-3a)-(2a-b)(3a+b)

作业必做题

教材P105第5、7、8、题.选做题

1.计算

（1）(a＋2b)(a－2b)(a＋4b)．（2）（x－2）（x+2）－（x+1）（x－3）（3）(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)2．先化简，再求值： x（x-1）+2x（x+1）－（3x-1）（2x-5），其中x=2． 3.若(x+mx-8)(x-3x+n)的展开式中不含x和x项,求m和n的值

浅析初中数学的习题布置篇3

【关键词】初中数学习题布置存在问题教学措施

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.06.180

数学是各科学习的基础，作为初中数学教学的重要组成部分，初中数学习题布置对于提高教师的教学水平、提高学生的数学成绩，有着十分重要的意义。初中数学教师需要提高对数学习题重要性的认识，提高作业布置的水平，做到习题布置具有针对性、实用性、合理性和发展性，以促进教学方法的改进，切实提高学生的学习水平。

一、初中数学习题布置的重要性

习题就是学生在学习一门课程期间，由教师或教材所提供的，给学生练习和实践的问题。这项定义体现了习题布置的目的，一是练习，二是实践，体现了知识和技能相统一的教学原则。通过练习，学生掌握知识和巩固知识；通过实践，学生学会运用知识，而它最重要的目的是实现学生的发展，以促进学生终身学习和终身发展的要求。习题布置，对教师掌握教学进度，提高学生的学习水平和能力水平，具有十分重要的意义，教师需要革新对数学习题的重要性的错误认识，重视数学习题布置，从而提高作业布置的水平，实现数学教学人文性和工具性相统一的教学目的。

二、初中数学习题布置存在的问题

目前，初中数学教学多侧重课堂教学质量，而对习题练习不够重视，不少教师将习题仅仅作为课堂教学的产物，而对习题的布置不够重视。布置的习题与教学进度联系不够密切；质量参差不齐，不能适合大多数同学的学习水平；习题的数量过大，增加了学生的负担；或者不注重习题的评价与反馈，导致教师不能很好掌握学生的实际学习情况，以调节教学进度，学生也在练习当中得不到提高。习题布置流于形式，严重制约了数学教学水平的提升。

三、初中数学习题布置的策略

首先，教师要密切配合教学进度布置作业。不少学生反应作业习题过易或过难，过易由于难度等级太低，远远落后于教学进度，过难则是由于超前于教学进度。这样的习题练习，不仅不能反映学生的知识掌握水平，而且还会使学生对数学产生不正确的看法，从而影响学生今后的学习。习题是对课堂教学的反馈，通过习题的训练，学生能进一步巩固在课堂上所学的知识，强化知识的运用，学会举一反三。教师也能够通过对习题的检查，掌握学生的学习进度，进一步调整自己的教学进度和教学重点，以提高教学质量。因此习题布置不仅要密切配合教师的教学进度，既要注重对新知识的巩固，也要侧重对旧知识的回顾，做到新旧知识融会贯通，以帮助学生构建完整的数学知识体系。

其次，教师需要提高习题的质量。目前的数学作业布置敷衍了事，流于形式，往往将同样的知识重复多次，“重复就是记忆的诀窍”，以实现帮助学生掌握知识的目的，但往往这种教育方式过犹不及。在大多数情况下，质量比数量更具有意义，能够发挥事半功倍的效果。因此教师所选择的习题，不仅要密切联系知识点，具有代表性和典型性，反应数学的基本原理，还要能够帮助学生做到举一反三，融会贯通。另外，数学习题的布置不能故步自封，按部就班地按照教材进行教学，而应该切实联系学生的实际情况和当代数学教学的新要求，提高习题的现代化，赋予习题以新的内涵，增进学生与数学之间的距离，培养学生应用数学知识的能力。而且习题布置需要具有一定的难度等级，既要符合大多数学生的能力水平和智力水平，又要满足少数同学深度学习的要求，更要注重习题的创新性，培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣。

再次，教师需要控制习题的数量。目前中国学生的作业完成时间普遍需要三个小时以上，对于即将中考和高考的学生来说，每天大约需要五个小时的时间，这严重影响了学生的身体健康和心理健康。因此作业减负成为教育界普遍关心的问题，数学作业的布置，更要体现这一趋势的发展，适当控制数学习题的数量，能够促进学生的身心健康发展。并且，就数学学科本身而言，教师应当将主要的精力放在课堂教学上，而不应该是通过题海战术来提升学生的数学水平，因此教师需要严格控制习题的数量，以减轻学生的学习负担，真正实现习题练习的发展性和评价性的教学目的。一般来说，数学习题以四十分钟到一个小时为宜，过少，则不能起到巩固知识的作用，过多则容易使学生对数学产生厌烦情绪，从而应付数学作业，敷衍了事，起到相反作用。另外，教师要要求学生在规定的时间内完成相应的作业，使其养成良好的数学学习习惯，培养学生的自控能力和自我检测能力，帮助学生提升自己。

另外，教师要创新数学习题的布置方式。摒弃传统的题海战术，提高习题的创新性和趣味性，以提高学生完成习题的积极性和主动性。就其形式而言，既可以通过书面方式完成，也可以通过口头形式完成，还可以通过实践方式完成，继而培养学生的表达能力、思维能力、合作能力和创新精神。就完成的主体而言，习题既可以通过独立完成，也可以通过小组合作完成，不仅要测试学生的知识掌握水平，更要测试学生能够运用知识解决问题的能力，做到掌握知识和技能学习相统一，以实现学生全面发展的需要。

最后，教师需要注重对习题的评价和反馈。教师需要定期检查学生的作业完成情况，认真修改学生的作业，对学生的知识掌握程度了如指掌，教师还要根据学生在习题练习中所体现出来的知识不足进行再教学，以真正发挥习题的作用。另外评价的方式可以多种多样，以教师对学生的评价为主体，再包括学生对教师的评价，还包括学生之间的相互评价，增加学生的主体性和积极性。评价的内容也要多种多样，既可以包括对学生的知识测评，也可以包括对学生的作业完成的认真程度，卷面是否工整，解题步骤是否科学，注重结果的同时，也注重对过程的评价。

输油管布置的优化模型篇4

关键词：输油管布置,费马定理,极值定理,最低费用

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油。油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。本文主要针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,以及考虑共用管线费用与非共用管线费用不相同的情形,提出适当方案,为实际工作者提供理论依据和参考。文献[1—3]分别介绍了数学建模的思想方法及建模案例。

1问题分析

本文以管线建设费用最少为目标函数,针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间距离的各种不同情形进行设计方案,考虑了共用管线与非共用管线每千米建设费用不同两种情形。将实际问题可转化为在坐标系上找一点使得该点到两厂的距离及其纵坐标之和达到最小,进而确定车站建立的位置,并求出输油管布置的最低费用,方法是通过建立直角坐标系,列出一个二元目标函数,转化为求二元函数的最小值问题。

2符号说明

a:炼油厂A到铁路线的距离(单位:千米);b:炼油厂B到铁路线的距离(单位:千米);c:炼油厂A到两区域分界线的水平距离(单位:千米);r:两炼油厂A、B间的水平距离(单位:千米);x:共用管道起点的横坐标;y:共用管道起点的纵坐标;c1:炼油厂A、B到两炼油厂AB结点所用管道每千米的费用(单位:万元/千米);z:铺设管线的总费用(单位:万元);Z:铺设管线的总长度(单位:千米);α:表示附加费用(单位:万元);c3:A、B两厂公用管道费用。

3模型假设

(1)假设在郊区铺设管线时忽略树木保护、群众反响等问题。

(2)假设管线在铺设过程中无任何油管损坏。

(3)不妨假设a≤b。

(4)在问题一中假设A、B两厂非公用管道的费用相同,设为c1万元/千米。

4模型建立与求解

如图(1)所示建立直角坐标系,在该模型中c1<c3,根据题意该问题转化为求费用目标函数的最小值问题,建立费用目标函数如下:

$\begin{array}{l} \min z = c_{1} (\sqrt{x^{2} + (a - y)^{2}} + \sqrt{(r - x)^{2} + (b - y)^{2}}) + c_{3} y (1) \\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{c_{1} x}{\sqrt{x^{2} + (a - y)^{2}}} + \frac{c_{1} (x - r)}{\sqrt{(r - x)^{2} + (b - y)^{2}}} = 0 。 \end{array}$

即 $\frac{a - y}{x} = \frac{b - y}{r - x}, θ_{1} = θ_{2}$ 。

求目标函数在0≤x≤r,0≤y≤a区域上的最小值。

情形1:在边界y轴上,即x=0,0≤y≤a时,代入方程(1)得:

$z (0, y) = c_{1} (a - y) + c_{1} \sqrt{r^{2} + (b - y)^{2}} + c_{3} y = c_{1} a + c_{1} \sqrt{r^{2} + (b - y)^{2}} + (c_{3} - c_{1}) y$ 。

$z^{'} (0, y) = \frac{c_{1} (y - b)}{\sqrt{r^{2} + (b - y)^{2}}} + c_{3} - c_{1} = 0$ 。

解得

$y = b - \frac{r (c_{3} - c_{1})}{\sqrt{2 c_{1} c_{3} - c_{3}^{2}}} ‚ z (0, 0) = c_{1} a + c_{1} \sqrt{r^{2} + b^{2}}$ 。

$z (0, a) = c_{1} a + c_{1} \sqrt{r^{2} + (b - a)^{2}} + (c_{3} - c_{1}) (b - a)$ 。当c3-c1>c1时,z′=(0,y)>0单调递增,在(0,0)点取最小值。

情形2:在边界FD上,x=r,0≤y≤a,代入方程(1)得:

$z (r, y) = c_{1} (\sqrt{r^{2} + (a - y)^{2}} + b - y) + c_{3} y = c_{1} b + c_{1} \sqrt{r^{2} + (a - y)^{2}} + (c_{3} - c_{1}) y$ 。

$z (r, 0) = c_{1} b + c_{1} \sqrt{r^{2} + a^{2}}$ 。

z(r,a)=c1b+c1r+c3a-c1a=c1(b+r-a)+c3a。

$z^{'} (r, y) = \frac{c_{1} (y - a)}{\sqrt{r^{2} + (a - y)^{2}}} + c_{3} - c_{1} = 0$ 。

解得: $y = a - \frac{r (c_{3} - c_{1})}{\sqrt{2 c_{1} c_{3} - c^{2}}}$ 。

再将点 $(r, 0), (r, a), (r, a - \frac{r (c_{3} - c_{1})}{\sqrt{2 c_{1} c_{3} - c_{3}^{2}}})$ 代入到z(r,y)中,确定最小值点。

若c3-c1>c1,即c3>2c1时,z′(r,y)>0,函数单调递增,则z(r,y)在点(r,0)处取得最小值。

情形3:在边界x轴即OD上,即0≤x≤r,y=0代入方程(1)得:

$z (x, 0) = c_{1} (\sqrt{x^{2} + a^{2}} + \sqrt{(r - x)^{2} + b^{2}})$ 。

$z (0, 0) = c_{1} a + c_{1} \sqrt{r^{2} + b^{2}} ‚ z (r, 0) = c_{1} b + c_{1} \sqrt{r^{2} + a^{2}}$ 。

$z^{'} (x, 0) = c_{1} (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} + \frac{x - r}{\sqrt{(r - x)^{2} + b^{2}}}) = 0$ 。

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \frac{r - x}{\sqrt{(r - x)^{2} + b^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{a}{x})^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{b}{r - x})^{2}}}$ ,即 $\frac{a}{x} = \frac{b}{r - x}$ 。

解之得: $x = (\frac{a r}{a + b})$ 。

代入得:

$z (x, 0) = z (\frac{a r}{a + b}, 0) = c_{1}$ $\sqrt{(\frac{a r}{a + b})^{2} + a^{2}} + \sqrt{(r - \frac{a r}{a + b})^{2} + b^{2}}$ 。

确定min $z (0, 0), z (r, 0), z (\frac{a r}{a + b}, 0)$ 得最小值,可确定最小值点。

情形4:在边界AF上,即0≤x≤r,y=a代入方程(1)得

$z (x, a) = c_{1} \sqrt{x^{2} + 0} + \sqrt{(r - x)^{2} + (b - a)^{2}} + c_{3} a = c_{1} x + c_{1} \sqrt{(r - x)^{2} + (b - a)^{2}} + c_{3} a$ 。

$z (0, a) = c_{1} a + c_{1} \sqrt{r^{2} + (b - a)^{2}} + r (c_{3} - c_{1}) (b - a)$ 。

z(r,a)=c1a+c1(b-a)+c3a=c1b-c3a。

$z^{'} (x, a) = c_{1} + c_{1} \frac{x - r}{\sqrt{(r - x)^{2} + (b - a)^{2}}} > 0$ ,单调递增,故在(0,a)处取得最小值

$z (0, a) = c_{1} a + c_{1} \sqrt{r^{2} + (b - a)^{2}} + r (c_{3} - c_{1}) (b - a)$ 。

情形5:在开区域AODF中,

$z = c_{1} (| A C | + | B C |) + c_{3} y = c_{1} | B E | + c_{3} y = c_{1} \sqrt{r^{2} + (b - 2 y + a)^{2}} + c_{3} y$ 。

$z^{'} (x, y) = \frac{- 2 (a + b - 2 y) c_{1}}{\sqrt{r^{2} + (b - 2 y + a)^{2}}} + c_{3} = 0$ 。

$2 c_{1} (a + b - 2 y) = c_{3} \sqrt{r^{2} + (a + b - 2 y)^{2}}$ 。

4c $_{1}^{2}$ (a+b-2y)2=c $_{3}^{2}$ r2+c $_{3}^{2}$ (a+b-2y)2。

$(a + b - 2 y)^{2} = \frac{c_{3}^{2} r^{2}}{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}, a + b - 2 y = \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}$ 。

$2 y = a + b - \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}, y = \frac{a + b - \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}}{2}$ 。

$\begin{array}{l} z_{\min} = c_{1} \sqrt{r^{2} + (a + b - a - b + \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}})} + \\ c_{3} \frac{a + b - \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}}{2} = c_{1} \sqrt{r^{2} + \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}} + \\ \frac{c_{3} (a + b - \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}})}{2} 。 \end{array}$

再计算最小值点(x,y):

直线BE的方程为y-b=k(x-r),

$k = \frac{a + b - 2 y}{r} = \frac{\frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}}{r} = \frac{c_{3}}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}$ 。

$\begin{array}{l} 将 y - b = \frac{c_{3}}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}} (x - r), \\ y = \frac{a + b - \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}}{2} 代入 ‚ \end{array}$

求得: $x = \frac{(a - b) \sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}} + c_{3} r}{2 c_{3}}$ 。

即(x,y)= $\frac{(a - b) \sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}} + c_{3} r}{2 c_{3}}, \frac{a + b - \frac{c_{3} r}{\sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}}}}{2}$

为区域内使原目标函数的最小值点,将车站建立在 $(\frac{(a - b \sqrt{4 c_{1}^{2} - c_{3}^{2}} + c_{3} r)}{2 c_{3}}, 0)$ 处,使得建设费用最省。在实际应用中,给定a、b、c、c1、c3的值后,代入到情形1—情形5中的各最小值表达式中,确定它的最小值。

参考文献

[1]汪国强.数学建模优秀案例选编.广州:华南理工大学出版社,2001

[2]张郭军.数学建模.北京:高等教育出版社,2003

输油管的布置数学建模篇5

作为学生，作业是学习最基本的活动形式，学生数学概念的形成、数学知识的掌握、数学方法与技能的获得、学生智力和创新意识的培养，都离不开作业这一基本活动，同时它也是检验课堂教学任务是否完成的直接反馈方式。新课程背景下的数学课堂教师也许花费更多时间组织交流，但我认为保证一定的课堂作业时间还是必要的。所以就要求我们教师在平时就必须要提倡“有效教学、有效作业”。科学适度，难度适中，数量适宜，优化作业的质量，向时间要效率。下面就如何布置和处理课堂作业谈谈一些自己的想法和做法。

一、作业设计，注重课前准备

总觉得课前的备课更多的是备上课如何上，而对于如何布置作业，布置什么作业相对来说化的时间要少一些，另一方面，对于布置的作业，较多地偏重作业使学生形成解题技能技巧的操练功能，重视作业的短期功利价值，不太顾及长远的教育价值。所以我们在备课时除了备如何上课外，还要更加细致地备学生的作业，不仅要对本节课有准备，还要对整章、乃至全册书的习题能够全面把握。

1、重视备“作业题型”

选择具有典型性和代表性。具有典型性的的作业，能够体现课程标准和教科书要求的基本知识和技能；具有代表性的作业，能够突出重点，突破难点。对于关键性的作业题，在课堂上集中力量讲好，布置作业时要求学生做好；对于难点作业，要对学生进行重点指导，多举例子，要求学生多作练习；对于一些容易混淆的知识，教会学生通过对比的方式加强练习，使学生弄清它们之间的区别和联系。除书本上较多的基础题外，教师适当补充一些新题型，以开阔学生眼界。

2、重视备“作业结构”

数学作业结构设置要具有科学性，做到合理搭配，作业才能科学有效。如：计算类与解决问题类适当搭配，书写类的与活动类的组合，基础型的与提高型的兼顾。如果课本中的作业较单一，教师在备课时要注意创造性的重组和改编。

3、重视备“作业形式”

数学作业形式要灵活，做到新颖多变，同时应具有一定的趣味性；既要有口算、填空、判断、选择、应用题和思考题类的题，也可设计游戏作业、情境作业、绘画式作业；完成形式也可由“独立”变为“合作”：如设计友情型作业，即“你出题，我来做”；当然也可由课堂引向课外，如：操作实践性作业、调查式作业、课题式作业。

4、重视备“作业要求”

明确具体要求，加强指导。学生完成作业的质量，与教师布置作业时能否清楚地提出具体要求有很大关系。如大题应怎样抄，要不要空行，格式如何，什么时间完成作业等等，都要详细向学生讲清楚，并提示学生做作业的先后程序，教给学生独立完成作业的方法，当然要求学生完成的作业教师要提前做一遍。

二、“统一作业”兼顾“分层作业”

传统的统一作业很难兼顾全体，长期的分层作业又会导致部分学生的心理差距，同时造成教师工作量大幅度的增加。因此我认为可以将两者相结合，根据课堂的具体实施交替使用。就分层作业而言谈谈一些具体做法。按照学生的课堂学习程度分成A、B、C三个不同的学习层次。A层多为书本最基础的知识。B层为一些稍灵活但又不难的题。C层这种练习类似于课本上的深化题，带有较强的综合性，主要由教师通过教辅等资料收集而来。针对你当堂课的学习状况及随堂练习的情况做出作业项目的选择。若学习上有一定困难，对课堂知识掌握得不是很好，对知识的运用也稍有欠缺。对这些学生教师不能要求太高，可选择A、B两项，让他们“跳一跳”就能尝到成功的甜头；而就课堂知识掌握得很牢固，已经能很灵活地运用所学的基础知识解决各种问题。针对这一层次的学生我们要让他“吃好”即让他有知识可学，有练习可练但又不应该是机械重复练，这类学生可选择B、C项。分层布置课堂作业则有效满足了优生自豪感，使其加倍努力学习，又增强了学困生的学习自信心，明确奋斗的近期目标。

三、高效批改，注重形式的多样性。

作业批改是教师的一项重要的、繁重的工作，尤其对于大班额、双班教学的教师，甚至是埋在作业堆里，没有足够的时间和精力去备课；如果不批改作业，则得不到应有的反馈，怎样解决这一矛盾呢?

1、课后全批精改。

这是一直以来我们大部分教师所采用的方法，在一定的时期发挥了一定的作用，但是在新课程下，也发现存在很多问题。（1）教师花费在评改作业上的时间过多。不能及时完成。（2）学生完全处于被动地位，使他们天天忙于按时完成作业，不管对与错。学生主动思考、自我检查的积极性受到压抑。

（3）师生双方获得的信息失真度很大。学生做作业，教师批改作业是课堂教学的延续，是师生双方获得信息的重要通道。可是我们经常发现有些学生作业很不错，但一考试成绩很差，因为学生为了老师“批改”只好抄袭作业，教师也只好“上当受骗”。由于时间紧，教师批改作业常用一些简单符号，学生由这些符号只能知道哪个题错了，但不知道错在哪里？得到的只是百思不解的信息。

2、随堂自批自改作业

这种方法反馈较快，新课后，简单的作业可当堂完成，采用集体讨论答案，当堂集中统一批改,立即订正反馈。

3、教师抽改和“小老师”批改相结合。

对于做作业速度快的同学（一般也是优等生）的作业，教师批，有错的发下去改，全对的留下。教师给每个全对的同学发三份后交上来的作业，要求是：把对的交给教师，以便再配发给三份作业；把有错的发下去改错。改错后给老师，旨在反馈教学情况。但“学困生”作业的批改是教师的专利。这些学生一般交的比较晚，由教师面批学生面改，及时辅导。这样做，一是利用了优等生的资源，调动了其积极性，使其具有成就感。二是节省了教师的时间和精力，从而及时反馈教学情况，及时辅导学困生，提高了课堂教学效率。

4、课代表向全班学生收集作业中出现的问题

汇集班上作业中出现的典型错题进行“会诊”，分析错误原因，提出正确答案供学生参阅，收集作业中做题方法新颖巧妙、思路简捷、一题多解等典型范例，及时向全班进行交流，还可以进行很好的记录。在教师的指导下，总结正反两种典型，向全班同学作交流，以达到消除错误，开阔眼界，巩固知识，掌握方法的目的

四、作业反馈，注重学生参与。

1、个别辅导让学生在思想上重视作业的订正。在教学实践中，我们发现很多学生喜欢去做新的题目，而对于作业的订正不够重视，即使订正也不纠其原因，只是把原题再做一遍，结果可能出现同样的错误又犯一遍。因此，要培养学生良好的反思意识和纠错意识，动笔订正前先找到错的原因，让他明白订正作业比做新题目更重要，因为作业的功能之一就是反馈知识的掌握情况，错题表示这块内容掌握不好，而新的题目也许本来就是会的，所以我们在做作业之前，应先将前面的作业订正好。

2、集体讲评

小学数学有效作业的布置研究篇6

一、当前小学数学作业布置存在的问题分析

1.数学作业的布置相对随意，作业量过大

目前小学数学教师缺乏对作业布置工作的重视，在布置过程中并没有结合课堂教授的内容来选取作业，而是随意要求学生完成课本中的练习题，这很容易导致学生所学的知识没有进行及时的积累，学生对知识的掌握能力较差。在大多数教师看来，要想提高学生的数学成绩，多做题是唯一的途径，因此在布置作业时经常不顾学生的能力和状况，布置的作业量过大，作业中包括多种类型的题目和内容。部分学生因为能力、时间有限，无法完成作业，会受到教师的批评，这就打击了学生学习数学的热情和积极性。

2.数学作业题型多次重复，未考虑学生的能力水平

教师在运用“题海战术”这一作业布置策略的过程中，没有对作业的题材和内容进行选取，学生的作业中存在很多重复性的题型。这种作业的实际作用并不大，只会占用学生的做题时间，耗费学生的精力，对提高学生的数学成绩没有太大的作用和效果。此外，一些教师也没有结合班级内学生的不同状况来布置作业，因为班级内学生的数学水平参差不齐，如果教师布置的作业难度过大，一部分学生根本无法顺利完成作业，会打击学生的信心；如果作业难度过小，能力较强学生的学习需求根本的达不到满足，布置作业的效果根本体现不出来。

二、小学数学有效作业的布置对策研究

1.作业的布置要达到巩固知识的目的，并遵循适量的原则

小学教师在布置作业的过程中，一定要结合数学课堂中教授的内容，根据课堂知识点对作业进行有针对性的设置，确保学生在完成作业的同时，巩固和加强对课堂知识的理解。同时作业的布置还要把握适量的基本原则，教师要摒弃原有的思想，认识到“题海战术”式作业给学生带来的不利影响，合理控制作业的完成时间，确保学生有更多的精力投入到课堂学习中，减轻学生的作业负担。数学作业的布置要实现当堂完成和同步讲解，即学生的作业量、完成时间和讲解时间要统一，避免作业的完成和讲解间隔过长时间，保证学生的错误能够得到及时的纠正，避免今后犯同样的错误，这样才能达到布置作业的目标。

2.确保作业题型的多样性，实现作业与生活的有机整合

小学数学教师还要对作业的内容进行严格的选取，不能使作业中存在大量重复性的题型，而是要尽可能地在作业中设置多种类型题材，使学生在巩固学习知识的基础上，能力向着多方面的方向发展。此外，数学作业不能让学生感到枯燥乏味，教师要保证数学作业的趣味性和实用性，可以将数学作业与学生的实际生活紧密地结合起来，转变学生对数学作业的看法，更加自主、积极地完成数学作业，提高自身的数学学习成绩。教师要围绕数学课堂的教学目标，将所学作业渗透到学生的生活中，利用生活中的事物和实例布置作业，让学生通过自己动手的方式完成作业，感受学习数学的快乐，获得真实的学习体验，树立正确的数学学习习惯。

3.结合学生的实际状况，合理的设置作业难度

因材施教也是小学数学教师布置作业的一个重要标准，教师一定基于整体的角度，合理选取作业的难易程度，应使课堂教学的重难点与作业难度保持一致，一方面要保证学生的学习需求能够得到满足，另一方面也要使学生的数学能力得到进一步的发展。针对水平一般的学生，教师可以布置较少量、难度较低的作业，而对于水平高的学生，作业布置的难度可以相对增大。只有作业布置的相对合理和科学，才能够增强学生的自信心，激发学习数学知识的热情，实现学生全面发展和个性化发展，提高数学学习效率。

就当前小学数学作业布置状况来看，其中仍存在一些不容忽视的问题，影响了数学教学质量，不利于学生数学学习成绩的提升。所以在今后的教学过程中，教师一定要提高对数学有效作业布置的重视，严格遵循作业的布置原则，对作业的题材、题量、难度等内容进行总体性的把握，让小学生通过完成数学作业的方式获得进一步的发展，发散数学思维，逐步提高对数学知识的记忆和运用能力。

数学作业布置有效性的策略篇7

减负增效历来是学校教学工作的重点，为此，有些学校采取了一系列措施：严格执行相关规定；严格控制学生用书，不增订和购置课外辅导书；严格控制考试测验次数；切实加强课堂教学管理，提高课堂教学有效性；利用学校网站，建立家校联系平台，作业布置网络化、透明化，接受社会、家长的共同监督等。

然而，书包重量减，知识量和难度不减，老师学生负担仍重，孺子还是俯首牛。于是有论者断言：“减负”是一个复杂的社会问题，光靠教育部门一厢情愿无法奏效。我们认为：此话有理。但是，“减负”问题首先是个教育专业问题，需要教育部门、校长、老师责无旁贷去积极解决，至少要在力所能及的一亩三分田上，找到症结，开出良方。

如何做到减负不减质，把减负的重点从数量上的减、形式上的限，转变到质量上的保证、效率上的提高呢？关键还是教师如何精心设计作业，做到作业设计的层次性，精炼性，趣味性，自主性，提高学生学习的兴趣。下面谈谈我校在精心设计作业上的一些做法。

一、注重作业布置的层次性

在作业布置时，分为四个层次：

1.基础练习——巩固知识。

2.变式练习——形成技能。

3.综合练习（探索性题）——提高能力。

4.开放练习（问题性题）——发展思维。

二、在注重层次的前提下，设计适量的、精炼的作业

即做到数量上和质量上的精炼，选择具有代表性、针对性的、典型性的题目，突出基本概念和基本原理，尽量避免繁杂难多一锅端，做到难度大的适当练，机械重复的要精炼。做到作业适量，符合学生特点和知识特点。以数学学科为例，如除法计算题布置：商中间有0。商末尾有0。商中间和末尾都有0。每种形式各一题，避免重复，提高效率。

三、与生活结合，设计趣味型作业，让学生成为学习的热情者

生活是学生学习数学的场所，也是学生运用数学解决实际问题的场所。兴趣是最好的老师，有了浓厚的兴趣，就会有强烈的学习动力。因此，我校依托拓展型课程，针对学生的身心特点、兴趣爱好来布置课外作业，让学生在做中学，玩中学。

1.内容设计体现趣味性

例如，在学习“元、角、分”之后的作业是办一个班级模拟超市，学生准备好物品，了解商品的价格，制作价格标签，大家可以当营业员或顾客。这样的课外作业布置，对学生来讲，花的时间肯定要多一点。但这是孩子感兴趣的，他们乐意做的事情，不会觉得是负担，效率就会高。

2.形式多样，体现趣味性

可以根据学科特点和内容特点、年级特点，设计除了书面作业外的口头作业、预习作业、实践作业等。如在上统计图时，结合拓展课程，让学生统计一个星期的家庭消费情况等实践活动。

而书面作业也可以设计多种，如数学作业可以是填空、判断、选择、测量、找“病人”、小制作、猜字谜等学生喜闻乐见的形式。

3.参与设计体现趣味性

布置课外作业时，可以根据课堂教学的内容，鼓励学生积极参与设计，激发学生的创新意识，变“要我做”为“我要做”，让学生在参与中获得知识。如我们学习了各种图形后，布置课外作业要求学生利用学过的图形设计各种形状的“七巧板”。

四、自主性课外作业，让学生成为学习的主动者

小学生好奇心强，富有挑战性，但持久性短，他们反感机械单一的课外作业，产生消极应付的心情。教师要根据学生的心理特点，针对不同层次的学生，作业的设计要灵活多样，让学生有一定的自主权。

1.“活”在自选上

课外作业的设计要体现“以人为本”的思想，学生可以根据自身的学习基础自由选择作业，把“选择权”还给学生，充分调动他们的学习积极性，发挥他们最大限度的自主性。

例如用五个2组成一个算式，请你在各个数字之间填上“+、-、×、÷、（）”，使每个等式成立，试一试，根据自己的能力，你能做出几题？

能做出1——3题的，你真行。能做出4--6题的，你真棒。能做出7—9题的，你好样的。

2.“活”在分层上

例如：学习长方形、正方形的面积后，布置的作业是：“我是一个小小设计员”。

a）量出自己房间的长和宽分别是多少米？算出面积是多少平方米？

b）你家客厅的面积是多少平方米？用了哪种规格的地砖？共用了几块地砖？

c）到买地砖的地方了解地砖的规格和价格，并做好记录。

d）假如有65平方米的客厅，要你铺地砖，根据自己的生活条件和自己爱好，你会怎样合理的设计呢？

此作业题，要求每个学生根据自己的能力，挑选作业。第一个要求是针对基础较差的学生提出，只要经过动手测量都能完成。第二个要求是对中等学生提出的，而第三、第四是针对学有余力的学生且喜欢搞调查的学生设计。作业不强求一致，而是根据学生的不同知识水平与能力来主动作业，不同层次的学生再达到不同要求中共同获得成功的体验。

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