跳扩散过程

2024-06-30

跳扩散过程（共5篇）

跳扩散过程篇1

1 引言

自我国采取以市场供求为基础、参考一篮子货币且有管理的浮动汇率制度以来, 伴随着国际贸易和国际融资规模的大幅度增加及近期人民币的大幅升值, 汇率风险陡然加大, 已成了国家、企业和个人共同关注的焦点。因此, 探讨其时间序列运行规律不仅能使我们成功地把握其运行趋势, 而且为进一步设计更有效的汇率衍生产品[1,2]、运用衍生产品规避汇率风险提供理论基础, 于是, 有关人民币汇率波动问题成了当今学术界与实务界研究的热点[3,4]。

对人民币汇率波动问题的探讨一般从模型入手, 基于时间序列的汇率模型的研究主要有两类:随机扩散模型[5,6]和计量模型[7,8,9,10] (含自回归整合移动平均ARIMA模型、自回归异方差ARCH) 模型、广义自回归异方差GARCH模型等) 。当把随机扩散模型利用Euler公式离散化后, 这两类模型在本质上可达成一致[1], 但是, 由于随机扩散模型在汇率衍生产品定价方面较其他理论模型更为简易可行, 且理论相对成熟[11,12], 因此, 基于随机扩散模型的汇率研究更显重要。

以往的研究中, 大多用到了汇率收益呈正态分布的假设, 如随机扩散模型和ARCH模型都是以收益率服从正态分布为基础的, 但由于汇率经常受到外在因素的冲击, 外汇市场汇率会产生大幅度的变化, 即发生所谓的“跳跃”现象, 会导致收益率分布出现“尖峰厚尾”特征。另外, 众多国外学者的研究也表明, 货币汇率收益率波动的确存在非线性跳变现象[1,6,8,14], 那么汇改后的人民币汇率收益率波动应该具有怎样的非线性跳变特征, 成了我们必须尽快解决的关键问题。

本文以人民币/美元汇率为例, 通过对汇率日数据的分析, 发现汇改后人民币/美元汇率收益序列存在明显的“尖峰厚尾”现象。据此, 引进跳-扩散过程 (jump-diffusion process) , 建立了汇率收益率波动模型, 并利用Euler方法对模型进行离散, 给出了模型参数的极大似然估计方法。利用人民币/美元的日汇率数据, 给出了模型的具体参数估计值, 并与实际观测数据进行比较, 得出用跳-扩散过程拟合人民币汇率比用无跳随机扩散过程拟合能更好地解决“尖峰厚尾”问题, 且拟合效果更好。

2 人民币汇率收益率波动统计特征

本文采用国外官方网站OANDATUUT提供的外汇数据 (见http://www.oanda.com) [1,5,12,13,14], 因此, 本文采用跳-扩散过程考察人民币汇率收益率波动规律。

以人民币/美元的汇率收益率为例进行讨论 (其收益序列图和频数直方图见图) 。图1表明人民币/美元的汇率收益序列具有很强的波动性, 且相应汇率收益序列明显不符合正态分布。

利用跳-扩散过程描述金融序列, 前提条件是序列之间必须具备独立性。下面考察人民币/美元汇率收益序列之间的相互独立性, 为此给出它们各自的汇率收益率的自相关函数 (ACF) 及偏自相关函数 (Partial ACF) 。从图中可以看出, 人民币/美元的汇率收益率不呈现明显的相关和偏相关特征, 序列的自相关系数和偏自相关系数均落入随机区间, 表明该收益序列之间相互独立, 因此可以引进跳-扩散过程模拟汇率收益率波动变化过程, 具体描述见第3节。

3 基于跳-扩散过程的汇率收益率波动模型的描述

自Merton (1976) 提出了用跳-扩散过程描述金融序列[13]后, 越来越多的实证研究发现汇率的波动变化过程在存在连续变化因素的同时也存在跳跃的现象发生, 且研究结果[8,14]显示用跳-扩散过程拟合汇率波动变化有较好的拟合效果, 进而可较好地解决汇率收益率波动的“尖峰厚尾”特征。实际上, 汇率发生跳跃现象的原因主要是由于外在因素——重大信息的到达造成的, 而重大信息的到达是一个计数过程, 一般采用泊松过程来捕捉和刻画, 因此在考虑汇率收益率波动的连续变化因素 (由维纳过程刻画) 的同时, 引入泊松过程刻画跳跃变化因素, 即由一个维纳过程与一个泊松过程的混合过程来描述汇率收益率波动变化过程, 具体描述如下:

依然采用Pt表示人民币汇率中间价格, 且满足如下跳-扩散过程:

$d l n Ρ_{t} = μ d t + σ d B_{t} + \ln (η_{Ν_{t}}) d Ν_{t} (2)$

其中, Bt为标准维纳过程[15];ln (ηNt) dNt表示收益率的跳跃项;{Nt:t≥0}为一计数过程, 是一强度为λ且与Bt相互独立的泊松过程, 表示从0到t时刻的跳跃次数;{ηj, j=1, 2, …, Nt}是一独立同分布的对数正态随机变量序列, ηj表示第j次的跳跃幅度, 同时{ηj, j=1, 2, …, Nt}独立于{Nt:t≥0}及{Bt:t≥0}, 且满足:

这里, 为均值为方差为正态分布。

经过变换, 式 (2) 又可写为:

$d l n Ρ_{t} = (μ + λ μ_{η}) d t + σ d B_{t} + [\ln (η_{Ν_{t}}) d Ν_{t} - λ μ_{η} d t] (4)$

根据Ito引理[14]可得

$Ρ_{t} = Ρ_{1} \exp ((μ + λ μ_{η}) t + σ B_{t}) \prod_{j = 1}^{Ν_{t}} η_{j} (5)$

定义1 由于式 (1) 等号左边dlnPt=ΔlnPt=lnPt-lnPt-Δt, 当Δt=1时dlnPt=Rt, 变为汇率收益率的自然对数形式, 于是, 称式 (2) 为基于跳-扩散过程的汇率收益率波动模型。

定义2 式 (1) 中若去掉ln (ηNt) dNt, 则为无跳随机扩散方程, 即dlnPt=μdt+σdBt.

第2节的讨论表明, 人民币汇率收益率序列存在“尖峰厚尾”特征, 且收益率序列之间存在独立性, 因此采用上述跳-扩散过程来描述人民币汇率收益率的波动变化。

4 模型的离散化及参数估计

本节采用Euler方法[16]对跳-扩散过程加以离散, 并基于极大似然估计方法对跳-扩散过程的参数进行估计, 具体如下:

设步长为Δt, 利用Euler方法对式 (5) 离散化得

$Ρ_{t} = Ρ_{t - Δ t} \exp (μ Δ t + σ \sqrt{Δ t} ε_{t}) \prod_{j = 1}^{n (t)} η_{j} (6)$

其中, 表示区间的跳跃次数。

记RΔtt∶=ΔlnPt=lnPt-lnPt-Δt, 则

$R_{t}^{Δ t} = Δ \ln Ρ_{t} = (μ + λ μ_{η}) Δ t + σ \sqrt{Δ t} ε_{t} + Δ J_{t}^{*} (7)$

其中, $Δ J_{t}^{*} = \sum_{i = 1}^{n_{t}} \ln (η_{i}) - λ Δ t μ_{η}$ , 且满足

$\begin{array}{l} E (Δ J_{t}^{*}) \\ = E (\sum_{j = 1}^{n_{t}} l n (η_{j})) - λ Δ t μ_{η} \\ = E (E (\sum_{j = 1}^{n_{t}} l n (η_{j}) | n_{t})) - λ Δ t μ_{η} \\ = E (n_{t} μ_{η}) - λ Δ t μ_{η} \\ = 0 \end{array} (8)$

在nt的条件下, ΔJ*t服从正态分布, 即

$Δ J_{t}^{*} ~ Ν ((n_{t} - λ Δ t) μ_{η}, n_{t} σ_{η}^{2}) (9)$

于是, 在nt的条件下Yt的条件分布依然是正态分布且满足:

${\begin{cases} E (Δ \ln (Ρ_{t}) | n_{t}) = (μ + λ μ_{η}) Δ t + (n_{t} - λ Δ t) μ_{η} \\ = μ Δ t + n_{t} μ_{η} \\ V a r (Δ \ln Ρ_{t} | n_{t}) = σ^{2} Δ t + n_{t} σ_{η}^{2} \end{cases} (10)$

记RΔt1, RΔt2, …, RΔtn在t1, t2, …, tn时刻的观测值分别为r1, r2, …, rn, 参数集Θ={μ, μη, λ>0, σ>0, ση>0}, 则RΔtt的对数似然函数表示为

$\begin{array}{l} \ln (L (Θ)) \\ = \sum_{i = 1}^{n} l n f (r_{i}; μ, μ_{η}, λ, σ, σ_{η}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} l n (\sum_{j = 0}^{\infty} Ρ (n_{t} = j) f_{Ν} (r_{i}; μ Δ t + j μ_{η}, σ^{2} Δ t + j σ_{η}^{2})) \end{array} (11)$

其中, fN为正态分布, $Ρ (n_{t} = j) = \frac{(λ Δ t)^{j}}{j!} \exp (- λ Δ t)$ 。

于是, 所求参数的极大似然估计值Θ*满足

$Θ^{*} ∶ = \underset{Θ}{\arg \max} \ln (L (Θ)) (12)$

由于当Δt很小时, 泊松过程至多发生一次“跳”。在这里, 假定人民币汇率一天之内最多只发生一次“跳”, 因此

$\begin{array}{l} f (r_{i}; μ, μ_{η}, λ, σ, σ_{η}) = (1 - λ Δ t) f_{Ν} (r_{i}; μ Δ t + j μ_{η}, σ^{2} Δ t) \\ + λ Δ t f_{Ν} (r_{i}; μ Δ t + j μ_{η}, σ^{2} Δ t + σ_{η}^{2}) (13) \end{array}$

代入式 (11) 可计算得出参数Θ={μ, μη, λ>0, σ>0, ση>0}的极大似然估计值。

注:当Δt=1时RΔtt=Rt, 即为日汇率收益率。

5 拟合结果分析

本节针对拟合汇率收益率这一目的, 分析跳-扩散过程的汇率收益率模型与真实汇率数据的拟合情况, 并进一步与无跳随机扩散过程的拟合效果进行比较。

首先利用式 (11) , 采用极大似然估计方法, 借助于Matlab 7.0编程对跳-扩散过程的参数进行估计, 估计结果见表2。

模型中表示跳跃强度的参数λ=0.0087614, 表明2005年7月21日至2008年4月15日这一段时间内人民币/美元的汇率大约发生了9次跳跃。利用模型估计的参数值, 将其带入跳-扩散过程, 模拟生成收益数据序列, 然后进行分析, 具体如下:

①利用Q-Q图来进行分析, 图3给出了模拟生成收益数据和的实际收益数据蹬Q-Q图, 可以看出, 图3近似为一条直线, 说明用带跳的扩散过程模拟出的汇率数据分臣与真实数据的分布情况基本一致, 故运用的汇率收益率波动模型有效。

②计算跳-扩散过程模拟所得人民币/美元的汇率收益序列的峰度与偏度, 所得结果为:Kurtosis=190.1276, Skewness=-0.1012, 由此可以看出, 收益模拟序列的峰度和偏度分别接近真实收益序列的峰度和偏度, 从而说明跳-扩散过程也可以很好地描述汇率收益序列的“尖峰厚尾”特征。

③从残差序列 (模拟值减去真实值) 的自相关性函数 (见图4) , 误差项的波动属于随机误差, 从而证明跳-扩散过程描述汇率收益序列有效。

④用平均绝对误差来比较分析跳-扩散过程和无跳随机扩散过程 (见定义2) 对实际真实数据的拟合效果 (见表3) , 由表3可以看出, 用跳-扩散过程模拟的数据与真实数据的平均绝对误差很小, 且明显小于用无跳随机扩散过程模拟的数据与真实数据的平均绝对误差, 说明跳-扩散过程拟合汇率收益序列比较接近观测值, 表明拟合效果较好, 并且其效果要好于用无跳扩散过程拟合汇率收益率。

5 结束语

本文通过对人民币汇率自然对数收益序列的讨论, 得出收益率波动存在“尖峰厚尾”特征。在跳-扩散过程的基础上, 讨论了人民币汇率的收益率波动问题。通过对基于跳-扩散过程的汇率收益率波动模型离散化, 给出了具体的模型参数估计方法, 并利用人民币/美元的实际日汇率数据进行实证分析, 得出用跳-扩散过程拟合人民币汇率收益率波动比用无跳随机扩散过程拟合能更好地解决“尖峰厚尾”问题, 且拟合效果更好。本结论和方法适应于人民币对其它货币汇率的研究, 该模型不但描述了汇率收益率的波动规律, 而且利用该模型对汇率期权及其它汇率衍生产品定价更加方便, 它可以为汇率衍生产品定价提供坚实的理论基础。

跳扩散过程篇2

关键词跳跃扩散过程；信用风险；最优投资策略；有效边界

中图分类号 O221 文献标识码 A

Optimal Portfolio Selection for Containing Credit Risk in a Jump-Diffusion Market

ZHANG Lin,GUO Wen-jing

(School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing，Jiangsu 210046)

Abstract Assume that an investor can allocate his wealth dynamically between a risky stock, whose price follows a jump-diffusion process, and a risky bond, whose price is subject to negative jumps due to its credit risk. Its price contains discontinuous sample paths, so it is subject to the compound Poisson process. The optimal investment strategy under the mean-variance principle was studied by the stochastic control approach. The closed and explicit formulas for the optimal investment strategy and the efficient frontier were derived. Finally, the effects of default intensity, the expected rate of return and the wealth target onoptimal investment strategy were analyzed by numerical examples.

Keywords jump-diffusion process; credit risk; optimal investment strategy; efficient frontier.

1 引言

在现有的文献中，研究最优投资决策问题时，通常假定风险资产（股票）的价格服从连续的扩散过程［1-6］.但大量的金融实证研究表明：风险资产的价格路径不是扩散过程，而是在连续中伴随有跳跃，如股票价格受到突然的冲击而出现剧烈波动，风险资产的收益率的边际分布呈现出尖峰厚尾性.为了更接近于实际市场，Merton(1976)最早提出用跳跃扩散过程来拟合风险资产的价格过程.跳跃扩散过程的引入在很大程度上解释了风险资产价格路径的不连续性，同时也解释了尖峰厚尾的特性.

另外，在投资对象中，通常假定债券是无风险资产［4-7］，但在实际金融市场中，债券的价格会受到各种突发情况的影响受到损失，如没有按时支付利息等.因此，本文考虑的债券不是无风险的，而是有违约风险的资产，本文用复合泊松分布［8］来描述其价格过程.

考虑两个资产，一个是股票型资产，其价格过程假定为跳跃扩散过程，另一个是有违约风险的债券.本文采用均值方差模型准则来选择最优投资策略，通过最优控制方法求解模型，解得最优投资策略及有效边界的解析表达式.

2 模型

假定投资市场有1支股票，其价格过程服从随机微分方程：

dS(t)=μS(t－)dt+σS(t－)dW(t)+S(t－)dJ(t)，（1）

其中，μ和σ是常数.{W(t);t≥0}是一个标准布朗运动.J(t)是强度为λ的泊松过程，表示可能发生的跳跃.

另一个投资机会是有信用风险的债券，它的价格服从随机微分方程：

dB(t)=rB(t－)dt－B(t－)dQ(t)，（2）

其中，Q(t)是一个复合泊松过程，即

Q(t)=∑N(t)i=1Yi，（3）

其中，{N(t);t≥0}是一个简单的强度为γ的泊松过程，{Yi;i≥1}是一个独立同分布随机变量，并且也独立于泊松过程.Yi是第i次违约时，债券随机损失的价格百分比.债券的价格非负，并且假定P(0≤Y1≤1)=1.复合泊松过程Q(t)和布朗运动W(t)是相互独立的.

令wt为t时刻投向股票上的投资量，X(t)是投资者t时刻财富.其中初始财富为X(0)=x，这样财富过程可表示微分方程.

dX(t)=［X(t)r+(μ－r)wt］dt+wtσdW(t)+

wtdJ(t)－［X(t)－wt］dQ(t). （4）

投资者的目标是在实现终期财富的预定目标水平为b的情况下使得风险最小，因此建立均值方差模型为

min wVarX(T)，

s.t. E［X(T)］=b. （5）

由文献［6］式（2），令Y(t)=X(t)－(b－m)，其中m∈R+.式（5）等价于二次控制问题:

min wE［12Y(T)2］. （6）

那么方程（4）就变为：

dY(t)=［Y(t)r+(μ－r)wt+(b－m)r］dt+

wtσdW(t)+wtdJ(t)－

［Y(t)+(b－m)－wt］dQ(t)，

Y(0)=y=x－(b－m).（7）

3 最优投资策略

由于某种原因跳跃因素的存在，跳跃扩散过程的关于投资选择的均值-方差模型中，满足跳跃扩散过程的验证性定理的证明参考文献［5-6］，在此验证定理的基础上，应用动态规划原理，求解模型来得到最优投资策略w的解析式.

定义称wt为允许的，若wt为Ft－可料过程且

E(∫T0||wt||2dt)＜

引理1假定z(t,x)关于t在时间区间［0,T］上连续可微，关于x在区间(0,

)上二次连续可微，并且是下面变分问题的凸解［5-6］：

inf w{Awz(t,x)+L(t,x;w)}=0,z(T,x)=Ψ(T,x(T))，（8）

w*∈arg sup {Aπz(t,x)+L(x;π)}，（9）

则z(t,x)就是值函数，i.e.z(t,x)=g(t,x)，且w*就是最优控制问题（4）~（5）的最优解.

下面将利用引理1来得到最优投资策略的表达形式.令

g(t,y)=min wE［12(Y(T))2］. （10）

根据引理1，该问题的最优控制必须解HJB方程：

gt(t,y)+min w{［yr+(μ－r)wt+(b－m)r］gy+

12w2tσ2gyy+λ［g(t,y+wt)－

g(t,y)］+γ［E［g(t,y－(y+(b－m)－

wt)Y1)］－g(t,y)］}=0,

g(T,y)=12y2=0 （11）

猜想式（11）的解有如下形式

g(t,y)=12P(t)y2+Q(t)y+R(t).（12）

将式（12）代入式（11）计算整理得

12P′(t)y2+Q′(t)y+R′(t)+

12P(t)min w(λ+γEY21+σ2){wt+

{(μ－r+λ+γEY1)［P(t)y+Q(t)］－γEY21P(t)［y+(b－m)］}22P(t)(λ+γEY21+σ2)

+P(t)ry2+Q(t)ry+(b－m)r［P(t)y+Q(t)］+

γ［12P(t)y2E(－2Y1+Y21)－P(t)(b－

m)yE(Y1－Y21)+12P(t)(b－m)2EY21

－Q(t)(b－m)EY1－Q(t)yEY1］=0，（13）

其中，P′(t)、Q′(t)、R′(t)分别表示函数P(t),Q(t),R(t)的一阶导数.

容易验证若P(t)、Q(t)、R(t)满足

12P′(t)+［r+12γE(－2Y1+Y21)－

(μ－r+λ+γEY1－γEY21)22(λ+γEY21+σ2)］P(t)=0,

P(T)=1,（14）

Q′(t)+［r－γEY1－

(μ－r+λ+γEY1)(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2］Q(t)+［(μ－r+λ+γEY1－γEY21)γEY21λ+γEY21+σ2+

r－γE(Y1－Y21)］(b－m)P(t)=0,

Q(T)=0.（15）

R′(t)=［－12AeA(T－t)+BeB(T－t)+

(μ－r+λ+γEY1)22(λ+γEY21+σ2)eG(T－t)］(b－m)2,

R(T)=0.（16）

则方程（13）有唯一最优控制

w*t=－(μ－r+λ+γEY1)［y+Q(t)P(t)］－γEY21［y+(b－m)］λ+γEY21+σ2.（17）

常微分方程（14~16）有唯一解

P(t)=eA(T－t),

Q(t)=(b－m)eB(T－t)(eD(T－t)－1),

R(t)={－12［1－eA(T－t)］+［1－eB(T－t)］+

1G(μ－r+λ+γEY)22(λ+γEY21+σ2)［1－eG(T－t)］}•

(b－m)2.

则 Q(t)P(t)=(b－m)(1－e－D(T－t)),

A=2r+γE(－2Y1+Y21)－

(μ－r+λ+γEY1－γEY21)2λ+γEY21+σ2,

B=r－γEY1－

(μ－r+λ+γEY1)(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2,

D=r－(γEY1－γEY21)+

γEY21(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2,

G=－γEY21+(γEY21)2－(μ－r+λ+γEY1)2λ+γEY21+σ2.

归纳以上讨论，有以下结论成立：

定理1 对给定的参数m∈R+和期望财富E［X(T)］=b，最优控制问题（6）的最优控制为

w*t=

-(μ－r+λ+γEY1)［y+(b－m)(1－e－D(T－t))］－γEY21［y+(b－m)］λ+γEY21+σ2. （18）

为了得到最优控制问题（5）的最优解，根据Lagrange对偶定理，只需对参数m∈R最大化最小方差，即

max m{min wVar［X(T)］} ,（19）

即

min w12Var［X(T)］=min wE{12［X(T)－b］2+

m［EX(T)－b］}=min wE［12(Y(T))2－12m2=

g(0,y)－12m2=12P(0)(x－(b－m))2+

Q(0)(x－(b－m))+R(0)－12m2=

12eAT［x2－2x(b－m)+(b－m)2］+(eAT－

eBT)［x(b－m)－(b－m)2］

－A(b－m)2(1－eAT)+B(b－m)2(1－eBT)+

(μ－r+λ+γEY1)22(λ+γEY21+σ2)(b－m)21G(1－eGT)－12m2.（20）

当

m*=－(xeBT－b)(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)+b（21）

时式(12)取最大值.

定理2 对给定的参数m∈R+和期望财富E［X(T)］=b，最优控制问题（5）的最优控制为

w*t=

-(μ－r+λ+γEY1－γEY21)x－(xeBT－b)(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)(1－eGT)e－D(T－t)λ+γEY21+σ2 .（22）

4 有效边界

把式（21）代入式（20），可以得到

Var［X(T)］=eATx2－

(xeBT－b)2(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)－b2.（23）

根据有效边界定义，可以有以结果，即有效边界由下式给出

E［X(T)］=

xeBT(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)+(λ+γEY21+σ2)G

+（μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)(μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)+(λ+γEY21+σ2)G•

（eATx2-Var［X(T)］-

(xeBT)2(λ+γEY21+σ2)G(μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)+(λ+γEY21+σ2)G）12，

可以看到互助基金定理不成立.

5 数据模拟

下面通过一些数据实例证实含有信用风险的最优投资组合策略随着各因素的预期值变化而变化的动态性质.

假设证券市场可供投资两种证券，一种股票，一种有违约风险的债券.市场系数给定如下λ=1，r=0.1，μ=0.3，σ=0.6，初始时间t=0，投资期为T=1（年）.

最优投资策略的动态性质：

为了讨论各因素对最优投资策略的影响，设期望收益b=3.5，x=1.5，分别探讨违约强度γ和违约损失率EY1以及EY21对最优投资策略的影响.按照γ、EY1、EY21的不同取值根据公式（22）计算得到对应的投资策略见表1.

同理，给定违约强度γ=1，违约率EY1=0.01以及EY21=0.003，按照r，b，x的不同取值，根据公式（22）计算对应的策略见表2.

表1表明违约强度γ，违约损失率EY1越大，分配于股票上的投资量就越多，这意味着投资者要减少投资于含有信用风险债券.而对于EY21则相反，EY21越大，分配于股票的投资量是越小的.

表2表明含信用风险债券的收益率r以及初始财富x越大，则分配于股票上的投资量越少，这说明投资者将更多的资金用于购买债券.而目标财富b越大，分配于股票上的投资量越多，意味着投资者要想获得更多的收益，则需要投资在股票上更多的资金.

6 结论

本文讨论了有信用风险资产的最优投资策略的选择问题，在均值-方差准则下，通过最优控制原理得到了最优投资策略及有效边界的解析形式.最后通过数值例子分析了违约强度、债券预期收益率以及目标财富对最优投资策略的影响.文章结论也可以拓展到有大量的股票和债券下情况.

参考文献

［1］ S BROWNE. Optimal investment policies for a firm with a random risk process: exponential utility and minimizing the probability of ruin［J］. Mathematics of Operations Research,1995,20（4）:937-958.

［2］ X Y ZHOU, D LI. Continuous-time mean-variance portfolio selection: a stochastic LQ framework ［J］. Applied Mathematics & Optimization,2000,42（1）:19-33.

［3］ X LI, X Y ZHOU, A EBLIM. Dynamic mean-variance portfolio selection with no-shorting constraints［J］. SIAM Journal of Control and Optimization,2002,40(5):1540-1555.

［4］ H L YANG, L H ZHANG. Optimal investment for insurer with jump diffusion risk process［J］. Insurance: Mathematics & Economics,2005,37（3）:615-634.

［5］郭文旌.跳跃扩散股价的最优投资组合选择［J］.控制理论与应用,2005,22(2):171-176.

［6］郭文旌,李心丹.最优保险投资决策［J］.管理科学学报,2009,12(1):118-124.

［7］ S BROWNE, S. Optimal growth in continuous-time with credit risk［J］. Probability in the Engineering and Informational Sciences,1999,13:129-145.

［8］史蒂文E.施里夫. 金融随机分析［M］.2版，上海：上海财经大学出版社.2008.

跳扩散过程篇3

可转换债券 (简称可转债) 是一种带有期权性质的企业债券, 它赋予投资者可选择将债券持有至到期日, 获得本金和利息, 也可以在约定的时间将债券转换为发行企业的股票的权利。企业发行可转债实际上等于同时售出了自己企业股票的看涨期权, 从而降低了企业的融资成本。中国的可转债市场从2002年开始复苏, 到2003年逐渐得到投资者的认可, 现已成为证券市场的重要组成部分, 其定价问题也日显重要。

最早对可转债定价问题进行研究的是Ingersoll[1,2]以及Brennan和Schwartz[3], 这些模型认为可转债的市场价值是普通债券与权证市场价值之和, 在可转债一次性完全转换为股票的情况下, 研究了可转债定价问题。周海林和汪寿阳利用测度变换的方法对上述模型做了进一步的研究, 在无风险利率随机变动的情况下, 得到了可转债价格的显式解[4]。万建平和陈旭研究了在lévy条件下可转债的定价问题, 并给出了近似表达[5]。朱丹和杨向群在跳扩散违约风险的模型下为可转债进行了定价[6]。上述研究中, 部分以企业价值作为标的变量, 建立可转债定价模型, 但其中参数难以确定, 可操作性较差;部分则假定股票价格服从与现实不符的连续变化的扩散过程;部分则未考虑企业违约风险。其它研究多集中在可转债的特殊条款之上。

S.G.Kou[7]以及S.G.Kou和Hui Wang[8]指出以双指数跳扩散过程描述股票价格, 能够较好地拟合和刻画股票收益率分布的非对称尖峰厚尾特征, 并给出了标准欧式期权的显式解。邓国和则给出了市场结构风险下双指数跳扩散期权的显式解[9]。杜澄楷就中国市场对双指数跳扩散期权定价模型进行了实证研究[10]。这些研究表明在中国金融市场中双指数跳扩散期权定价公式要比Black-Scholes期权定价公式更为贴近现实。

本文在此基础上研究股票价格服从双指数跳扩散过程以及存在企业违约风险的可转债定价问题, 通过引入服从双指数跳扩散过程的股票价格作为标的物, 使模型贴近现实中的金融市场;通过引入服从扩散过程的企业价值, 考虑企业违约风险。

2 可转债定价模型

2.1 模型假设

假设投资市场受到两种不确定性来源的影响, 它们分别由两个在带流的概率空间 (Ω, F, (Ft) 0≤t≤T, P) 上相互独立的标准Brown运动 (W1t, W2t, t∈[0, T]) 来表示, 这两个风险源来自股票价格和企业价值的随机特性。假设股票价格服从双指数跳扩散过程, 由Merton[11]可知股票价格服从跳扩散过程的市场是不完全的, 在市场中存在不唯一的等价鞅测度, 因此未定权益的价格取决于等价鞅测度的选取。T.Chan给出了如何选取等价鞅测度的方法, 不失一般性, 假设P即为风险中性鞅测度[12]。市场参与者即可转债持有者和企业获得的信息流由σ-代数流 (Ft, 0≤t≤T) 表示。

①市场为有效、无摩擦的市场, 有两种资产:一种为无风险资产, 利率为常数r;另一种为可转债。S0为企业发布可转债之后其股票的初始价格。股票价格St满足以下随机微分方程:

$\frac{d S_{t}}{S_{t -}} = r d t + σ_{1} d W_{t}^{1} + d (\sum_{i = 1}^{Ν (t)} (V_{i} - 1)) (1)$

②A0为企业发布可转债之后的初始资产价值。因为企业价值不像股票价格变化那么明显、迅速, 所以认为企业价值At是连续变化的, 并且满足以下方程:

$\frac{d A_{t}}{A_{t -}} = r d t + σ_{2} d W_{t}^{2} (2)$

其中, σi (i=1, 2) 为相应价格过程的波动率, N (t) 为强度参数为λ的Possion过程。{Vi}为独立同分布 (i.i.d.) 的非负随机变量序列, 且γ (γ=logVi) 服从非对称的双指数分布, 密度函数为:

$\begin{array}{l} f_{γ} (y) = p \cdot η_{1} e^{- η_{1} y} 1_{{y \geq 0}} + q \cdot η_{2} e^{η_{2} y} 1_{{y < 0}}, \\ η_{1} > 1, η_{2} > 0 \end{array}$

其中, p, q≥0 (p+q=1) 分别表示股票价格向上、向下跳跃的概率。

③存在企业违约风险, 不失一般性, 本文采用实际应用中较为普遍的信用监控模型 (KMV) [13], 其基本假设是:当企业价值AT低于某一固定水平A′时, 企业将发生违约行为, 即当AT<A′时, 企业违约。K代表可转债的本金与利息之和, 依据KMV模型, 本文假设企业只有在资不抵债的情况下, 才会发生破产违约行为, 此时A′应满足条件:A′<K.当企业破产违约时, 可转债持有者是企业唯一的债权人, 因此获得企业全部价值。

当AT≥A′时, 企业不会违约, 若可转债转换为股票的价值低于K, 持有者将兑换可转债获得本金与利息;若可转债转换为股票的价值高于K, 持有者将把可转债转换为企业股票。

2.2 定价公式的数理推导

在上述模型假设条件下, 假定可转债的转换以及企业的违约行为只能发生在到期时刻T, 可转债的到期收益BT表示如下:

$B_{Τ} = {\begin{matrix} Κ, & n S_{Τ} < Κ, A_{Τ} \geq A^{'} \\ n S_{Τ}, & n S_{Τ} \geq Κ, A_{Τ} \geq A^{'} \\ A_{Τ}, & A_{Τ} < A^{'} \end{matrix} (3)$

其中, n为可转债与股票的转换比例。式 (3) 可改写为

$B_{Τ} = {\begin{matrix} n m a x (S_{Τ} - \frac{Κ}{n}, 0) + Κ, & A_{Τ} \geq A^{'} \\ A_{Τ}, & A_{Τ} < A^{'} \end{matrix}$

P为风险中性鞅测度, 则对市场中任意资产关于无风险利率贴现后的价格过程为鞅, 由此在任意t (t∈[0, T]) 时刻, 可转债价格Bt为

$\begin{array}{l} B_{t} \\ = e^{- r (Τ - t)} \cdot E^{Ρ} ((n m a x (S_{Τ} - \frac{Κ}{n}, 0) + Κ) 1_{{A_{Τ} \geq A^{'}}} \\ + A_{Τ} 1_{{A_{Τ} < A^{'}}} | F_{t}) \end{array}$

则在0时刻, 可转债价格B0为

$\begin{array}{l} B_{0} \\ = e^{- r Τ} \cdot E^{Ρ} ((n m a x (S_{Τ} - \frac{Κ}{n}, 0) + Κ) 1_{{A_{Τ} \geq A^{'}}} \\ + A_{Τ} 1_{{A_{Τ} < A^{'}}}) \end{array}$

下面求解可转债价格B0, 可设B0=I1+I2+I3, 其中, $Ι_{1} = n e^{- r Τ} \cdot E^{Ρ} (\max (S_{Τ} - \frac{Κ}{n}, 0) 1_{{A_{Τ} \geq A^{'}}})$ 为可转债隐含的看涨期权价值, I2=e-rTKP (AT≥A′) 为可转债隐含的普通债券价值, I3=e-rTEP (AT1{AT<A′}) 为企业违约时可转债的价值。

由It $\hat{o}$ 定理[14], 结合式 (2) , 得

$A_{t} = A_{0} \exp ((r - \frac{1}{2} σ_{2}^{2}) t + σ_{2} W_{t}^{2}) (4)$

则由W2T服从正态分布N (0, T) 得

$\begin{array}{l} Ρ (A_{Τ} \geq A^{'}) \\ = Ρ (\log \frac{A_{Τ}}{A_{0}} \geq \log \frac{A^{'}}{A_{0}}) \\ = Ρ (\frac{W_{Τ}^{2}}{\sqrt{Τ}} \geq \frac{\log \frac{A^{'}}{A_{0}} - (r - \frac{1}{2} σ_{2}^{2}) Τ}{σ_{2} \sqrt{Τ}}) \\ = 1 - Ν (d_{1}) \end{array}$

此处, $d_{1} = \frac{\log \frac{A^{'}}{A_{0}} - (r - \frac{1}{2} σ_{2}^{2}) Τ}{σ_{2} \sqrt{Τ}} ‚ Ν (d_{1})$ 为标准正态分布在d1处的数值。由此得

$Ι_{2} = e^{- r Τ} Κ (1 - Ν (d_{1})) (5)$

类似式 (5) 推导过程, 由式 (4) 易得

$Ι_{3} = A_{0} Ν (d_{1} - σ_{2} \sqrt{Τ}) (6)$

在I1中, $\max (S_{Τ} - \frac{Κ}{n}, 0)$ 这部分价值可以看作是一个以ST为标的物, 以 $\frac{Κ}{n}$ 为执行价格, T时刻到期的欧式看涨期权多头。其在0时刻的价值为

$c (S_{Τ}, \frac{Κ}{n}, Τ) = e^{- r Τ} \cdot E^{Ρ} (\max (S_{Τ} - \frac{Κ}{n}, 0))$

由Brown运动W1t, W2t (t∈[0, T]) 相互独立, 可知St和At是相互独立的随机过程, 易得

$Ι_{1} = n c (S_{Τ}, \frac{Κ}{n}, Τ) (1 - Ν (d_{1})) (7)$

其中 $c (S_{Τ}, \frac{Κ}{n}, Τ)$ 为[9]和杜澄楷[10]中的算例分析, 给定参数:S0=50;r=0.05;T=0.5;p=0.4;σ1=0.15;A0=55;K=102。

为了评价模型的性能, 说明企业违约风险和双指数跳扩散过程对可转债价格的影响, 将数值算例分为以下三个步骤。

第一个步骤就是分析企业违约风险对可转债价格的影响。图1为可转债价格B0关于A′的图像, 这里设η1=η2=5, λ=3, σ2=0.1, n=1.67, A′∈[50, 70], 可转债价格B0随A′的增大而减小, 这是因为随A′增加时, 企业破产违约风险增大, 从而导致可转债价格下降。

第二个步骤是分析双指数跳扩散过程对可转债价格的影响。图2为可转债价格B0关于强度参数λ的图像, 这里设η1=η2=5, σ2=0.1, A′=40, n=1.67, λ∈[0, 6], 可转债价格B0随λ增大而减小, 这是因为λ增加时, 可转债隐含的欧式看涨期权价值增加, 从而导致可转债价格增加。

图3为可转债价格B0关于跳跃均值倒数η1、η2的图像, 这里设σ2=0.1, λ=3, A′=40, n=1.67, η1∈[2, 10], η2∈[1, 9], 可以看出, 可转债价格B0随η1、η2变化而变化的趋势。也表明了在可转债隐含的欧式看涨期权是实值期权的情况下, 股票价格向上跳跃的幅度越小或向下跳跃的幅度越大, 到期时行权的可能性也就越小, 从而可转债价格B0随η1增大而增大, 随η2增大而减小。

第三个步骤就是分析转换比例n和企业资产价格波动率σ2对可转债价格的影响。在图4、图5中实线为本文可转债定价结果, 虚线为不含跳扩散过程的可转债定价结果。图4为可转债价格B0关于转换比例n的图像, 这里设η1=η2=5, λ=3, A′=40, σ2=0.1, n∈[1, 7], 可转债价格B0随转换比例n的增加而大幅增加, 这是因为隐含的欧式看涨期权的价值在大幅增加。可以看出随着转换比例n增加, 本文可转债定价结果与不含跳扩散过程的可转债定价结果的差异在逐渐加大, 这是因为双指数跳扩散过程下看涨期权的增加幅度要大于不带跳扩散过程的看涨期权增加的幅度。

图5为可转债价格B0关于企业价值波动率σ2的图像, 这里设η1=η2=5, A′=40, λ=3, n=1.67, σ2∈[0.1, 0.5], 可以看出, 当σ2增加且σ2≤σ1=0.15时, 可转债价格B0几乎稳定不变;当σ2增加且σ2>σ1=0.15时, 可转债价格B0大幅降低。由于股票价格一般较企业价值波动剧烈, 一般认为σ2>σ1.可以看出随着σ2增加, 本文可转债定价结果大于不含跳扩散过程的可转债定价结果, 且差异几乎保持不变, 这是因为带双指数跳扩散过程的看涨期权价值要大于不带跳扩散过程的看涨期权价值, 并且当σ2增加时, 看涨期权价值保持不变。

4 结论

本文探讨了存在违约风险情况下的可转债定价问题, 通过引入符合实际的服从双指数跳扩散过程的股票价格, 建立了可转债定价模型, 得到了可转债价格的显示解;通过引入服从扩散过程的企业价值, 考虑了企业违约风险;分析了相关参数对价格的影响。最后, 本文认为股票价格存在跳过程以及企业违约风险是可转寨定价时不可忽略的因素。

跳扩散过程篇4

可转换公司债券(简称可转债)是一种兼具债性和股性的信用衍生产品。具有违约风险的可转债定价模型有两类:一种是基于期权定价理论的结构化模型,另一种是基于强度理论的简化模型。Merton(1974)[11]以Black和Scholes(1973)[2]的期权定价理论为基础,建立了基于公司价值的结构化方法。假设违约是内生的,并假设公司价值是连续变化的动态过程,当公司价值低于某个临界值时发生违约。由于公司资产和收益波动性不易观察,资产估值相当困难,结构化模型在实际应用中受到限制。简化模型开始于Jarrow和Turnbull(1995)[8]及Duffie和Singleton(1999)[5]等的研究,该模型不考虑公司资产和违约之间的关系,放弃了对公司价值的假设,将违约和回收率看作外生变量,违约过程是由强度过程决定的不可预测的泊松事件,违约的不可预料性更加接近于现实。

Goldman(1994)[6]将可转债视为普通债券和看涨期权的组合,利用二叉树模型来计算可转债的理论价值,假设可转债的价值变动来源于公司股价的不确定性,并采用经过信用风险调整的贴现率对未来现金流进行贴现。但是,该模型假设股票价格服从对数正态分布,未将违约回收率加入到股价变动中。针对该问题, Tsiveriotis和Fernandes(1998)[13]将可转债视为标的股票的衍生品,将可转债价值分解为虚拟的债券部分和股权部分。债券部分由于息票和本金的支付取决于发行者可以利用的现金流,存在违约风险,贴现率为在无风险利率的基础上加上一个信用价差;股权部分价值为可转债转股获得的收益,由于发行者一直能够发行或交易自己的股票,不存在违约风险,贴现率为无风险利率。Ayache等(2003)[1]在此基础上进一步扩展,允许违约发生时股票价格和回收率的多种变化形式。此后的研究大多在这两个模型基础上进行实证检验,或者加入利率、汇率、风险强度过程、波动率等随机因素扩展到双因子甚至是多因子模型。

国内近几年关于可转债定价的研究, 赖其男等(2005)[15]从国内外可转债定价的发展演进提出适合我国的可转债定价思路; 张国永等(2006)[19]提出信用风险模型下基于Black-Scholes模型的可转债定价; 孟卫东等(2008)[16]采用最小二乘蒙特卡洛方法为具有信用风险的可转债定价; 宋殿宇等(2011)[17]研究了双指数跳扩散过程下具有违约风险的可转债定价问题; 其它相关的研究还有杨大楷等(2001)[18],等等。

实践表明,许多金融变量如利率、汇率、股价等的变化路径并非是连续的,而是带有一定的跳跃性。Merton(1976)[12]最早提出股票价格服从跳-扩散过程的期权定价模型,其中扩散部分表示股票价格的连续变动,跳部分用泊松过程表示,表示股票价格的不连续变动,一般指一些重大信息的到达对股票价格的影响。Zhou(2001)[14]假设公司价值服从跳-扩散过程,提出具有违约风险的债券定价的结构化模型。Kou(2009)[9]进一步假设公司价值服从双指数跳-扩散模型来讨论信用价差的变化形式。但是,Zhou(2001)[14]、Kou(2009)[9]都是基于结构化模型研究具有违约风险的债券定价问题,本文试图研究简化模型下可转债的定价,并假设股票价格服从跳-扩散过程。

实际上,在简化模型中,如果状态变量是股票价格,关于违约强度的描述可以嵌入到股价的动态变化中,在股价的动态变化过程中表现为一个向下跳跃的停止泊松过程。在现实的金融市场上,股票价格不仅仅有突然向下变动的趋势,对于利好消息的冲击也会发生突然的向上跳跃。因此本文在Ayache等(2003)[1]简化模型的基础上结合Merton(1976)[12]跳-扩散模型,提出股票价格服从跳-扩散过程时可转债的定价模型,简称跳-扩散简化模型。

可转债的转股特性使得它与发行公司股票之间有一种自然的联系。本文以股性偏强的可转债为例,将可转债价值拆分为虚拟的债券部分和股权部分价值之和,给出了三种违约回收率下的定价模型,采用Crank-Nicolson有限差分法构造跳-扩散简化模型数值解法,对可转债债性和股性部分进行量化分析。结论表明:在其它条件不变时,采用面值回收率时的定价结果最高;股票的动态变化加入跳泊松过程时降低了可转债各部分的价值和总价值;跳参数对可转债定价有显著影响。

2 违约风险简化模型

假设公司只发生一次违约事件,违约发生时公司重组或合并。简化模型中一般用停时τ表示违约时间,任意时刻的资产价格依赖于在该时刻违约发生与否。本文综合Merton(1976)[12]跳-扩散模型和Ayache等(2003)[1]违约风险简化模型,假设在风险中性世界中股票价格的动态变化为:

$\begin{array}{l} d S_{t} \\ = S_{t -} [(r + p (1 - \tilde{D}_{t -}) η - λ γ - q) d t + σ d W_{t} \\ - η d \tilde{D}_{t} + (Y - 1) d Ν_{t})] \end{array} (1)$

其中, St为t时刻的股票价格, St-为股票价格路径的左连续过程, 即如果t时刻股票价格发生跳跃, St-为跳跃发生前瞬间的股票价格。r为无风险收益率, q为红利率, Wt为风险中性测度下的标准布朗运动, σ为股票价格连续变化的标准差, Nt为泊松过程。假设Wt、Nt、Dt相互独立, Y-1为股票价格发生跳跃时的跳跃幅度, 服从对数正态分布,且γ=E[Y-1], λ为泊松过程的强度,即单位时间内跳跃发生的概率。 $\tilde{D}_{t} = D_{t \land τ}$ 为停止泊松过程,满足t<τ时, $\tilde{D}_{t} = 0$ ,否则 $\tilde{D}_{t} = 1 ‚ p$ 为停止泊松过程 $\tilde{D}$ t的强度。 $r + p (1 - \tilde{D}_{t -}) η - λ γ - q$ 表示股票价格的瞬时期望回报,保证股票在风险中性世界中仍然能获得无风险收益率。在违约发生时刻τ,股票价格下降到原来的1-η(0≤η≤1),即违约发生后股价在一个较低的水平上变动。

首先构造投资组合:买入一份以股票为标的衍生证券,并卖空β份股票,Π=V-βS表示投资组合价值,其中V=V(S,t,T)表示以股票为标的衍生品价格,T表示到期时间。违约没有发生时,在[t,t+Δt]时间内,该投资组合的价值变化为:

$\begin{array}{l} d Π^{+} \\ = d V_{t} - β (d S_{t} + q S_{t} d t) \\ = V_{t} d t + V_{S} S_{t -} [(r + p η - λ γ - q) d t + σ d W_{t} + (Y - 1) d Ν_{t})] \\ + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} V_{S S} d t + (V (S Y, t) - V (S, t) + V_{S} S_{t} (Y - 1)) d Ν_{t} \\ - β S_{t} [(r + p η - λ γ - q) d t + σ d W_{t} + (Y - 1) d Ν_{t})] \\ - β q S_{t} d t \end{array}$

选取β=VS,则

$\begin{array}{l} d Π^{+} = (V_{t} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} V_{S S}) d t + (V (S Y, t) - V (S, t) \\ + V_{S} S_{t} (Y - 1)) d Ν_{t} - V_{S} q S_{t} d t \end{array}$

假设企业违约时,债权人能够获得一定的补偿,即回收率或回收价值,分别用R和Rt表示。此时投资组合的价值变化为:

$\begin{array}{l} d Π^{-} = (R_{t} - V (S_{t -}, t)) - V_{S} (S (1 - η) - S) \\ = R_{t} - V (S_{t -}, t) + V_{S} S η \end{array}$

在[t,t+Δt]时间内,违约发生的概率为pdt,因此, dΠ=(1-pdt)dΠ++pdtdΠ-. 根据Merton(1976)[13]的假设,由于跳跃部分大多由公司内部自身因素造成,假定跳风险与市场无关,为非系统性风险。于是当资产组合消除了布朗运动带来的不确定性之后,该投资组合的预期收益为无风险利率,即

$\begin{array}{l} E (d Π) = r Π d t = r (V - V_{S} S) d t \\ = (1 - p d t) [(V_{t} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} V_{S S}) d t \\ + E (V (S Y, t) - V (S, t) + V_{S} S_{t} γ) d Ν_{t} - V_{S} q S_{t} d t] \\ + p d t [R_{t} - V (S_{t -}, t) + V_{S} η] \end{array}$

整理得

$V_{t} + (r + p η - λ γ - q) S V_{S} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} V_{S S}$

-(r+p+λ)V+pRt+λE[V(SY,t)]=0 (2)Merton(1976)[12]跳-扩散模型;③当λ=η=0时,即债券具有违约风险,但违约的瞬间股票价格不发生变化,股票价格不存在其它跳过程。如果违约发生后,债券持有人不能收到任何补偿,即R=0,模型与Tsiveriotis和Fernandes(1998)[13]一致,记为TF模型;④当λ=0时,即债券具有违约风险,但股票价格不存在其它跳过程,允许违约的瞬间股票价格下降一定的比例,违约发生后,债券持有人收到一定比例的补偿,与Ayache等(2003)[1]一致,记为AFV模型。

3 跳-扩散简化模型可转债定价

假设将可转债拆分为虚拟债券部分和股权部分之和,分别用B和C表示,可转债总价值V=B+C. 边界条件为:

$V (S, t = Τ) = F + \max (κ S - F, 0) = \max (κ S, F) (3)$

即到期时可转债价值为转换价值和面值中较大者,其中B和C分别满足

$\begin{array}{l} B (S, Τ) = F \\ C (S, Τ) = \max (κ S - F, 0) \end{array}$

在考虑可转债的回售条款时,约束条件为:

$V \geq \max (B_{p}, κ S) (4)$

其中, Bp为可转债的回售价格。在回收期内任意时刻, 如果触发回售条款, 当可转债价值大于等于回售价格时, 回售才会发生。

在考虑可转债的赎回条款时,约束条件为:

$V \leq \max (B_{c}, κ S) (5)$

其中, Bc为可转债的赎回价格。即在赎回期内任意时刻, 如果赎回价低于转股价, 投资者会在赎回日之前行使转股权。

企业违约时债权人获得的回收率对于可转债定价具有重要影响。回收率主要包含三种形式,分别为市值回收率(Recovery of Market Value, RMV, Duffie和Singleton(1999)[5])、面值回收率(Recovery of Face Value, RFV, Merton(1974)[11])和国债回收率(Recovery of Treasury, RT, Jarrow和Turnbull(1995)[8])。对于可转债来说,违约发生时,可转债持有者在转股和接受公司的补偿之间选择,回收价值为max(κSt(1-η),Rt),其中κ表示可转债的转换比率。

市值回收率将回收率定义为债券违约前市场价值的一部分,可转债对应债券部分和股权部分的回收价值分别为RBτ-和max(κS(1-η)-RB,0)。相应的,可转债定价方程(2)拆分为两个方程:

$\begin{array}{l} B_{t} + (r + p η - λ γ) S B_{S} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} B_{S S} \\ - (r + (1 - R) p + λ) B + λ E [B (S (1 + γ), t)] = 0 (6) \\ C_{t} + (r + p η - λ γ) S C_{S} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} C_{S S} - (r + p + λ) C \\ + p m a x (κ S (1 - η) - R B, 0) + λ E [C (S (1 + γ), t)] = 0 (7) \end{array}$

面值回收率下回收率被视为外生的,是债券面值的一部分,一旦罚生违约,投资者获得面值一定比例的补偿按债券面值回收时,回收价值为Rτ=RF,其中F表示债券面值。将式(7)中B用F替换,即可得到可转债两部分的定价方程。

国债回收率仍然假设回收率是外生的,违约发生时投资者获得无违约风险的相同债券市场价值的一部分,回收价值Rτ=RP(τ,T),其中P(t,T)是到期日为T的无违约债券在t时刻的价格。对可转债定价来说,将式(7)中B用P(τ,T)替换,同时增加一个关于P(t,T)的方程

$\begin{array}{l} Ρ_{t} + (r - λ γ - q) S Ρ_{S} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Ρ_{S S} \\ - (r + λ) Ρ + λ E [Ρ (S Y, t)] = 0 (8) \end{array}$

4 Crank-Nicolson有限差分数值计算

4.1 数值计算方法

本文采用Crank-Nicolson有限差分法进行数值计算,在跳-扩散简化模型下对方程进行离散化时涉及到的一个问题是对跳跃部分的处理。假设Y-1为非随机的,取值为γ,则

$E [V (S Y, t)] = V (S (1 + γ), t) R (9)$

考虑息票的支付和应计利息的作用,期末条件为V(S,t=T)=max(κS,F+kT),设t为当前时刻,tp为上次付息日,tn为第n次付息日,kn为第n次的利息,kT期末的利息支付,应计利息为

$A c c Ι (t) = k_{n} \frac{t - t_{p}}{t_{n} - t_{p}} (10)$

回售和赎回价格的全价为

$\begin{array}{l} B_{c} (t) = B_{c}^{c l e a n} (t) + A c c Ι (t) \\ B_{p} (t) = B_{p}^{c l e a n} (t) + A c c Ι (t) (11) \end{array}$

以RMV时为例,采用Crank-Nicolson有限差分对式(5)离散化,得到

$\begin{array}{l} \frac{B_{i, j} - B_{i, j - 1}}{Δ t} + \frac{(r + p η - λ γ - q) i Δ S}{2} \frac{B_{i + 1, j - 1} - B_{i - 1, j - 1}}{2 Δ S} \\ + \frac{(r + p η - λ γ - q) i Δ S}{2} + \frac{B_{i + 1, j} - B_{i - 1, j}}{2 Δ S} \\ + \frac{1}{4} σ^{2} i^{2} Δ S^{2} \frac{B_{i + 1, j - 1} - 2 B_{i, j - 1} + B_{i - 1, j - 1}}{Δ S^{2}} \\ + \frac{1}{4} σ^{2} i^{2} Δ S^{2} \frac{B_{i + 1, j} - 2 B_{i, j} + B_{i - 1, j}}{Δ S} \\ - \frac{1}{2} (r + (1 - R) p + λ) (B_{i, j - 1} + B_{i, j}) \\ + \frac{1}{2} λ (B_{i (1 + γ), j - 1} + B_{i (1 + γ), j}) = 0 \end{array}$

整理得到

$\begin{array}{l} - a_{i} B_{i - 1, j - 1} + (1 - b_{i}) B_{i, j - 1} - c_{i} B_{i + 1, j - 1} \\ = a_{i} B_{i - 1, j} + (1 + b_{i}) B_{i, j} + c_{i} B_{i + 1, j} + \frac{λ Δ t (B_{i (1 + γ), j} + B_{i (1 + γ), j - 1})}{2} \end{array}$

其中

$\begin{array}{l} a_{i} = \frac{1}{4} Δ t [σ^{2} i^{2} - (r + p η - λ γ - q) i] \\ b_{i} = - \frac{1}{2} Δ t [σ^{2} i^{2} + r + (1 - R) p + λ] \\ c_{i} = \frac{1}{4} Δ t [σ^{2} i^{2} + (r + p η - λ γ - q) i] \end{array}$

对于最后一项Bi(1+γ),j的计算,本文采用加权跳矩阵的形式。假设γ≤0.5,由于(i+γi)不一定正好在离散化的整数点上,构造一个跳加权矩阵J,选取离(i+γi)最近的两个整数点取值,进行加权平均,权重分别为(i+γi)距离最近的两个整数点的距离。C增加了一项 $\frac{1}{2} p \max (κ i Δ S (1 - η) - R B_{i, j}, 0) Δ t$ ,采用同样的离散化方式,将计算出的B值代入离散化的C里面即可。

本文主要研究股价的动态变化特别是跳跃对可转债定价的影响,假定利率、波动率和违约强度均为常数,根据Tsiveriotis和Fernandes(1998)[13]、Ayache等(2003)[1],选取参数使可转债处于实值状态(见表1)。

4.2 不同回收率下的定价结果

首先计算跳扩散简化模型下可转债虚拟债券和股权部分的价值以及可转债价值。表2给出了三种回收率下的计算结果。

可以看出,采用面值回收率(RFV)时定价结果最高,市值回收率(RMV)的定价结果最低,国债回收率(RF)与市值回收率的结果相差很小。究其原因在于违约时如果按面值回收,债券面值是固定数值,而按市值和按国债价值回收时,回收债券本身受股票价格变动的影响,价值偏低。因此,相同的市场环境中,投资者更倾向于选择按面值回收的可转债投资。另外,由表2还可以看出,回收率实际影响的是可转债虚拟债券部分的价值,对股权部分的价值没有影响。

4.3 不同回收率下定价结果比较

保持其它参数取值不变, λ=0时对应AFV模型; λ=η=0时对应TF模型(2)。

图1、图2、图3反映了不同回收率下可转债各部分价值和总价值随股价的变动情况,其中股票价格的取值4～80。

当可转债处于实值状态时,随着股票价格的变化,三个模型计算出来的价格变化保持一致。其中,跳-扩散简化模型得到的可转债虚拟债券部分和股权部分价值及可转债的总价值最低,TF模型的计算结果最高,原因在于跳-扩散简化模型下股价波动率更大,当把可转债各部分的价格都看作关于标的股票的衍生证券时,可转债各部分价格会受到股价波动的影响,TF模型和AFV模型中的股价波动要小一些,因此定价稍高。同时,由于TF模型假设违约发生瞬间股票价格保持不变,定价结果最高。可转债处于虚值状态时,可转债债性偏强,研究股价的动态变化对可转债价值的影响意义不大,在此不详细讨论。

4.4 敏感性分析

由表2、图4可以看出,股票价格越高,股权部分价值越高,所占比重越大,虚拟债券部分价值越低,所占比重越低。随着股价的增加,各部分价值所占比重趋于平稳。

观察图5,股价在36附近可转债价格最高,可转债价格最高时对股价的变化最不敏感,股价低于或高于这一点时,可转债价格对股价的变化越来越敏感。据此,可转债投资者可以确定一个最优转股价格,当股价上升到这一点时,立即转股最优,这也说明并不是股价越高,可转债价值越大,可转债价值是在风险和收益之间权衡的结果。

表3表示其它参数不变,改变转股价格时市值回收率下对应的各部分价值。可以看出转股价格越低,即转换比率越高,股权部分价值越高,所占比重越大,转股价格的变化对债券部分价值没有影响。

表4进一步给出跳参数对可转债价格的影响。单位时间内违约概率越大,即p越大,虚拟债券部分价值越低,股权部分价值越高,可转债价格呈下降趋势;违约时股票价格下降越多,即η越大,债券部分价值越低,但是股权部分价值和总价值在中间某一点达到最低;股票跳跃发生的可能性越大,λ越大,虚拟债券部分和股权部分价值越低;跳跃幅度越大,即γ越大,股权部分和总价值越低,债券部分价值变化不大。

图6表示可转债价格随时间的变化趋势。可转债价格和虚拟债券部分价格在付息日会下降,两个联系付息日之间债券价格是增的,股权部分价值随时间呈下降的趋势。

已有大多数关于可转债的定价模型得到的结论都是市场价格低于理论价格,因此本文的模型可以部分解释定价的低估现象。另外,由于我国发行的可转债股性偏强,深入探讨股票的动态变化对可转债定价的影响有一定的实际价值。本文的跳-扩散简化模型对解决我国股性偏强的可转债定价问题也具有很好的借鉴作用。目前我国发行可转债的公司大都是信用评级比较高的公司,违约可能性较小,但是央行在2010年工作会议上已经透露将研究中小企业可转换债务融资工具,因此T研究具有违约风险的可转债定价在我国具有现实意义。

5 结论

本文在简化模型基础上研究股价服从跳-扩散过程时股性偏强的可转债定价问题,对可转债债性和股性部分分析表明加入跳过程降低了可转债的价格,从而可以部分的解释可转债市场价格低于理论价格的原因。本文的跳-扩散简化模型对解决我国可转债股性偏强的定价问题具有很好的借鉴作用,也为中小企业发行可转债提供可参考的定价模型。

跳扩散过程篇5

Sh ibor是央行稳步推进利率市场化改革, 提高金融机构自主定价能力, 指导货币市场产品定价, 完善货币政策传导机制而培育的中国货币市场基准利率体系。自2007年央行推出shibor利率后, 在央行进8年的积极培育下, 已基本确立了shibor利率在我国货币市场的基准利率地位, 并逐渐成为传导货币政策、反映市场利率变动的重要指标, 并在市场化利率形成机制中发挥重要作用。同时, 市场上发展和创新了一大批以Shibor为基准金融产品。大量债券交易、存款、贷款、贴现和理财类产品定价逐步与Shibor挂钩。目前, 金融机构市场成员交易层面已有部分金融产品定价与Shibor相挂钩:衍生品市场利率互换、远期利率协议;货币市场同业借款、同业存款、货币互换、理财产品等;债券市场以Shibor为基准浮动利率金融债券、企业债券、企业短期融资券, 以Shibor为基准的票据转贴现、票据回购等;以Shibor为定价及交易基准的金融产品越来越多, 如债券买卖、票据贴现、个人及机构理财产品, 最终, 银行存贷款利率定价也与Shibor相挂钩。

因此, 随着越来越多地的产品与Shibor挂钩, 我们应积极培育我国商业银行金融衍生产品的自我定价能力, 让Shibor真正在我国金融自由化和利率市场化改革进程中起到货币政策利率传导的主导与核心作用。以Shibor为标的的金融衍生产品定价问题成为越来越多学者的研究对象。要做到这一点, 我们首先要研究Sbibor及其本身的利率期限结构, 对其进行利率建模, 从而能够有效刻画出其利率期限结构动态变化的特征, 进而对利率的未来变动进行科学的预测, 这样不管是对以Shibor为标的的金融衍生产品定价, 还是利率市场化条件下以Shibor作为货币市场基准利率风向标的金融风险管理都起着极其重要的作用。

二、shibor利率模型的选择

由于金融市场兴起较早而且比较完善, 国外在利率方面的研究已经发展到了相当高的水平。在利率动态模型方面, 单因素利率模型主要有Merton (1973) 、Vasicek (1997) 、CIR (Cox, Ingersoll和R oss) (1985) 、和CKLS (Ch an, Kar oly i, Longstaff和Sander s) (1992) 等。其中, CKLS模型为不同的利率期限结构建立了一个共同框架利率模型, 单其利率模型只描述了利率漂移项的均值回复特性与利率扩散项的水平效应。Merton (1976) 在标准布朗运动中加入跳跃因素来对金融市场中存在的不连续动态变化进行描述。随后也有国外学者, 如Das (2002) , Chen&Scott (2002) 等人为在模型中加入随机波动率更贴近现实, 包含了更多的利率资产波动率时变特征。

回顾传统的利率模型, 我们知道它们都假设利率服从连续扩散过程。但是大量的实证研究表明, 现实情况中利率经常会出现突然的跳跃和巨幅的震荡, 与传统假设相违背。Das把Vasieck模型扩展到跳跃扩散模型, 并通过实证表明跳跃过程能捕捉连续模型无法解释的利率特征, 认为加入随机波动了更贴近现实。Jarrow等发现跳跃行为能很好地解释“波动率微笑”之谜。Ahn和Thompson认为利率的样本轨迹存在非连续性特征, 由此提出了利率期限结构的跳跃扩散模型。Johannes提出了一个关于跳跃行为的统计检验量, 并发现三个月的短期国债利率存在显著的跳跃行为。因此, 我们可以这样认为:在shibor利率模型中加入跳跃项能够更好地刻画和解释实际中的利率波动情况。

本文借鉴潘璐 (2011) 所用的CKLS-SV-Jump模型:

其中, corr[d Z1, t, d Z2, t]=0, J1, t~N (ψ1, γ12) , J2, t~N (ψ2, γ22) , q1, t, q2, t分别服从频率为λ1*和λ2*的泊松分布, 其中, Pr{q1, t=1}=λ1Δt, Pr{q1, t=0}=1-λ1Δt, Pr{q2, t=1}=λ2Δt, Pr{q1, t=0}=1-λ2Δt。该模型在扩散模型的基础上加入了跳跃项, 其实证研究证明该模型能很好地刻画利率的均值回复、水平效应、跳跃的特征。

三、MCMC参数模拟方法

(一) 马尔可夫链模拟

在介绍马尔可夫模拟之前, 先回顾马尔可夫过程。考虑一个随机过程{Xt}, 假定每个Xt都在空间Θ上取值, 如果h>t当时, 随机过程{Xt}满足P{Xh|Xs, s≤t}=P (Xh|Xs) , 则称过程{Xt}为马尔可夫过程。即马尔可夫过程满足这样的性质:给定Xt的值, Xh (h>0) 的值不依懒于Xs (s<t) 的取值。

MCMC方法构建的基础是Cliffor d-H ammer sley理论, 该理论认为基于参数的后验信息P (θ|x, y) 和状态变量的后验信息P (x|θ, y) , 即可唯一确定联合后验分布。而MCMC方法要求从联合后验分布中中抽取样本, 因此我们根据Clifford-Hammersley理论, 可以分别从参数的后验信息p (Θ|x, y) 和状态变量的后验信息p (x|Θ, y) 中抽取样本, 通常参数和状态变量其各自的后验分布都是比较容易得到的。由贝叶斯原理, 参数的后验分布可以写成参数的先验分布、似然函数和某个常数的乘积形式。MCMC方法的核心就在于将高维度的联合分布p (Θ, x|y) 分解为低维度的p (x|Θ, y) 和p (Θ, x|y) , 然后再从这两个分布中分别取样。

由于运用MCMC参数估计方法前需要对模型进行离散化, 因此, 我们接下来对欧拉离散法进行了介绍。

(二) 欧拉离散法

接下来对CKLS-SV-Jump模型进行离散化, 可以得到:

进一步可以得到下式:

最终我们整理成下式:

因此, 我们可以将rt+Δ基于rt的条件分布和θt+Δ基于θt的条件分布表示为:

其中, {εt}~iid.N (0, 1) ;{Jt}~iid.N (0, 1) 。

(三) Gibbs抽样

Gibbs抽样方法是MCMC方法中应用最广泛的一种抽样方法, 是用来获取一系列近似等于指定的多维概率分布的观察样本的方法。Gibbs抽样是单元素Metropolis-Hastings算法, 在Gibbs抽样中, 可能难以抽取, 而Metropolis方法具有很大的灵活性, 它可取为易于抽取的分布。

在足够的燃烧期后, Gibbs序列才能收敛到一个独立于初始值的平稳分布, 能否得到这个平稳分布是Gibbs抽样的关键。由于燃烧期内产生的参数值是不平稳的, 因此要放弃燃烧期内产生的样本。如果我们进行了n次抽样, 燃烧m次, 那么就将序列X (m+1) , X (m+2) , …, X (n) 作为马尔可夫链的实现值, 进行后续的参数估计和统计描述工作。

在Gibbs抽样中, 一个比较困难的事情是判断上述迭代过程是否收敛到均衡状态。不少作者都建议用的某些特征来判断。最常用的是观察遍历均值是否收敛来判断。比如在由Gibbs抽样得到的链中, 每隔一段距离计算一次参数的遍历均值, 未使用来计算平均值的变量近似独立, 通常可每隔一段取一个样本, 当这样得到的均值稳定后, 可认为Gibbs抽样收敛。

(四) Metropolis-Hastings算法

1953年, Metr opolis等人提出了一种构造转移核的方法, 该方法此后被Hastings加以推广, 形成了Metropolis-Hastings方法。具体思路如下:

MH算法的思想是构造一个以目标分布π (x) 为极限分布的Mar k ov链。任选一个不可约转移核概率p (·, ·) 以及一个函数a (·, ·) , 0<a (·, ·) ≤1, 对任一组合 (x, x') (x≠x') , 定义

则p (x, x') 形成一个转移核。

假设卡尔可夫链在时刻t处于状态x, 即X (t) =x, 则首先由q (·|x) 产生一个潜在的转移x→x', 然后根据概率a (x, x') 决定是否转移。即在潜在转移点x'找到后, 以概率a (x, x') 接受x'作为卡尔可夫链在t+1时刻的状态值, 以1-a (x, x') 拒绝转移到x', 即马尔可夫链在下一时刻的状态值仍为x。也就是说, 如果置X (t+1) =x', 我们就称之为“接受建议”;否则就称为“拒绝建议”。在实际计算中以概率a (x, x') 接受x', 可以这样实现:从U (0, 1) 产生一个随机数u, 如果u≤a (x, x') , 则置X (t+1) =x';否则置X (t+1) =x。

因此, 在有了x'后, 我们可以从[0, 1]上均匀分布抽一个随机数u, 有

这里, 分布q (·|x) 称为建议分布。由于我们的目标是使后验分布成为平稳分布, 所以在有了q (·|·) 后, 我们要选择一个a (·, ·) 使相应的p (x, x') 以π (x) 为其平稳分布, 我们通常选择

因此也有

该式产生的马尔可夫链是可逆的, 即π (x) p (x, x') =π (x') p (x', x) , 且π (x') 是该式确定的马尔可夫链的平稳分布。

(五) MH随机游走采样法

如果M-H算法中的建议函数q (x, x') 满足1、对称性q (x, x') =q (x', x) ;2、q (x, x') 仅与x'-x有关, 即q (x, x') =q (|x'-x|) , 那么算法就演变为通常意义下的随机游动采样法。最常见的一种随机游动采样法以正态分布, 即q (x'-x) =φ (x'-x) 为建议函数。

这里是任意一种多维正态分布的密度函数, 也就是说x'~N (x, Σ) 。其中, x为当前状态值, Σ是任意的正定矩阵。在实际计算中, 由于要求Σ是正定矩阵, 所以常取为Σ=σI, σ是一个参数。这时候, 如何选取建议函数的方差σ是影响算法效率的主要因素。对于一维情况, 就是要选择一个合适的σ值, 而对于多维情况, 我们需要确定给一个合适的正定方差矩阵Σ。一般认为在模拟多维正态随机数时, 如果调整σ的值使得在整个模拟过程中建议被接受的比例为20%左右, 则将得到比较好的模拟效果。

随机游动采样法是M-H算法中较为常用的一种形式, 们已经看到对于随机游动采样法而言, 如何选择建议函数的方差成为影响算法效率的主要因素, 对于一维情况, 就是要选择一个合适的σ值;而对于d>1的多维情况, 我们需要一个合适的正定方差矩阵Σ。在选择σ的过程中, 根据关于采用多维正态作为提议函数的随机游动采样法的一些理论结果, 一般认为如果目标分布是d维的且各分量之间独立, 则调整接受概率到0.234左右将最大限度地优化随机游动采样法的效率, 并且接受概率0.234与目标分布的具体形式无关。

基于这样的想法, 我们尝试构造一种自适应算法来寻找合适的提议函数的方差。大致的思想是让接受比率落入一个可以接受的范围内, 比如区间[a-ε, a+ε]。以一维的情况为例, 先给定一个初值σ0, 用这个值产生一条链, 来估计接受比率P0。若P0在给定的区间[a-ε, a+ε]中, 则符合要求, 算法停止;反之, 则以为中心做一次随机游动, 得到一个σ1, 再计算P1是否满足要求, 以此类推, 直至找到合适的σ值。具体实现步骤如下:

1) 给定σ一个初值σ0, 置n=0;

2) 以N (Xi-1, σn) 为建议函数, 用随机游动采样法产生一条长度为m的马尔可夫链;

3) 计算第2步中产生的马尔可夫链接受新状态的比率Pn;

5) 如果n>2且|Pn-a|<|Pn-1-a|, 则置σ=σn-1;

6) 从N (σn, σ) 中产生一个随机数, 记为σn+1, 置n=n+1, 转入第2步。

其中, 步骤5的判断是为了保证接受比率Pn要优于Pn-1, 即σn至少不会比σn-1坏;第6步中σ的选取没有固定的规律可循, 主要是看对初始σ0的估计是否接近于合适的σ值。若估计σ0与σ较为接近, 则σ可选择得小一些;若估计σ0与σ相差较远, 则σ可选择得大一些;对于d>1的多维情况, 如果要确定一个任意的正定矩阵∑, 则要确定d2个参量, 显得有些麻烦。更多情形下, 我们取∑=σI。这样一来要确定的参数就只有一个, 同时上述算法也可以用于多维情形, 只需在6步中“以N (Xi-1, σn) 为建议函数”改为“以N (Xi-1, fnJ) 为建议函数”即可。

四、模型参数估计结果

(一) 模型的先验分布

贝叶斯学派认为, 在进行观察以获得样本之前, 人们对θ也会有一些知识。因为是在试验观察之前, 故称之为先验知识。因此, 贝叶斯派认为, 应该把θ看作是随机变量。θ的分布函数记为H (θ) , θ的密度函数记为h (θ) , 分别称为先验分布函数和先验密度函数, 两者合称为先验分布。在MCMC方法中, 待估参数的先验分布的设定将会对该方法运行效率产生很大影响。本文为了方便起见, 参照了Siddhartha Chib, Federico Nardari和Neil Shephard (2002) 和潘璐 (2011) 设定的参数先验分布。根据共轭理论, 参数有相同的后验分布和先验分布。

(二) 抽样方法

波动率状态变量的完全联合后验分布可以表示为:

其中,

所以, 我们得到:

因为上述分布是不可识别的, 所以我们无法使用Gibbs抽样方法, 而需要使用Metropolis抽样方法进行抽样。而且由于它的复杂形式, 在没有采取近似处理的情况下, 用但不Metropolis方法是无法直接进行抽样的。因此, 根据Jacquier, Polson和Rossi (1994) 的研究成果, 我们采用随机游走Metropolis算法。因为我们可以对满条件分布p (r|rt-Δ, rt+Δ, Θ, r) , 尤其是它的尾部进行很好的近似。在上式中, 第一项是对数正态分布, 第二项是倒Gamma分布, 所以满条件分布p (r|rt-Δ, rt+Δ, Θ, r) 的建议分布可以很好地由某个合适的倒Gamma分布来近似。我们设这个建议分布为q (θt) , 真正的条件密度函数为π (rt) =p (r|rt-Δ, rt+Δ, Θ, r) 。

具体地, 我们将CKLS-SV-Jump模型的MCMC算法分解成以下步骤:

……

第十二步:利用Metropolis-Hastings自适应算法从p (r|rt-Δ, rt+Δ, Θ, r) 中抽取θt。

其中第十二步又可以分为以下几步:

(1) 给θ设定一个初始值θ0, 置t=0;

(2) 以N (rt-Δ, θt) 为建议分布, 用随机移动M-H算法产生一条长度为的马尔可夫链;

到此为止, 完成第一轮迭代过程。接下来, 利用新的参数作为初始值, 重复以上步骤, 得到更新参数, 重复前面的步骤次, 直至各参数和波动率潜在变量θt的模拟轨迹收敛为止, 得到一系列的随机抽取。我们可以认为 (αm*, βm*, ρm, ψ1, m, ψ2, m, γ21m, γ22m, λ1, m, λ2, m, υm, φm, τm2, θm) 渐进等价于参数估计值, 然后把收敛时的模拟值作为对各参数和潜在变量θt的估计值。

(三) 数据选择

【跳扩散过程】推荐阅读：

扩散模型10-17

扩散模式10-21

扩散控制07-04

扩散机理07-11

扩散参数07-27

离子扩散07-30

扩散吸收08-26

信息扩散10-03

风险扩散10-06

大气扩散12-08