柔性振动（精选6篇）
柔性振动 篇1
摘要：对柔性转子系统动力学研究进行了回顾,综述了柔性转子主动振动闭环控制系统中作动器、控制器控制律设计研究的现状与进展,对柔性转子主动振动控制技术的发展趋势进行了展望。
关键词：柔性转子,振动主动控制,转子动力学,作动器,控制器
0引言
转子是各种泵、航空发动机、旋转电动机、燃气轮机及压缩机等旋转机械的核心部件。众所周知,由于转子自重产生的轴挠度及难以避免的转子质量偏心,导致转子旋转过程中产生与转速同频的离心力,从而激发转子的不平衡振动,导致旋转机械动态性能和安全运行性能恶化。采用不平衡补偿技术使转子绕其几何中心回转以抑制不平衡振动是转子动力学的重要课题。工程上,一般将工作转速(远)低于转子一阶弯曲临界转速的转子称为刚性转子,而将工作转速超过(或接近)转子一阶弯曲临界转速的转子称为柔性转子。随着航空、电力、石化等工业的飞速发展,各种旋转机械向高速、高功重比方向发展[1],其中,为了限制转子重量和线速度、减小离心力,高速转子一般采用细长型的“柔性转子”,工作转速往往高于其一阶、二阶(甚至二阶以上)临界转速,在启动、加速、减速、停车过程中,柔性转子通过临界转速时将引发剧烈的共振,抑制高速柔性转子通过临界转速的振动控制研究成为高速旋转机械发展的关键技术之一。
转子系统的共振振幅与其阻尼成反比,与其不平衡量、临界转速成正比,目前,转子系统振动的被动控制主要有两种方法[2]:1) 采用笼条式、钢环式弹性支承结构以降低支承刚度,进而降低转子系统的临界转速;2) 采用挤压油膜阻尼器(SFD)增大支承阻尼。但高速柔性转子系统在过临界转速时,往往有多阶振动模态被激起[3,4],仅靠一个振动被动控制装置无法通过选择刚度、阻尼参数有效抑制所有被激发的振动模态。
振动主动控制能克服振动被动控制的局限,较灵活地适应外界干扰和系统不确定性,具有在线性、快速性、效果好、稳定性、智能性等特点,已成为国际振动工程界的研究热点[5,6,7]。振动主动控制包括开环和闭环两类控制,其中,闭环控制应用广泛。振动主动控制闭环控制利用加速度、位移、速度等传感器[8]检测被控对象的振动信息传至控制器,控制器实现所需的控制律,其输出为作动器(执行器)的指令,作动器输出主动控制力作用于被控对象以抑制其振动。振动主动控制在机械工程领域中开展较早的正是转子振动控制[9,10,11],其主动控制力的作用为[11]:引入足够的模态阻尼,抑制各种干扰激发的振动,防止转子系统失稳;改变临界转速,使之远离工作转速;补偿不平衡力。目前,抑制柔性转子通过临界转速的非线性振动主动控制研究已成为转子动力学的研究热点之一[4]。
本文在回顾柔性转子系统动力学研究的基础上,综述了柔性转子主动振动闭环控制系统中作动器、控制器控制律设计研究的现状与进展,对柔性转子主动振动控制技术的发展趋势进行了展望。
1柔性转子系统动力学研究
分析计算转子弯曲临界转速、不平衡响应和稳定性是转子动力学研究的基本问题,所采用的计算方法主要有传递矩阵法和有限元法两大类。
传统的Prohl传递矩阵法用于转子临界转速计算具有易编程、运算速度快、占用内存小等优点,但运算精度随试算频率提高而降低。1978年出现的Riccati传递矩阵法在保留传统传递矩阵法优点的同时,提高了计算精度和数值稳定性[1]。基于有限元法可建立起符合实际转子结构和运行状态的力学模型,获得高精度的数值计算结果。有限元分析软件ANSYS中的通用结构力学分析模块既可将转子系统简化为梁结构,也可直接利用三维实体单元建模进行转子动力学有限元计算[15,16]。文献[15]进行了计算陀螺力矩效应及支撑刚度、阻尼影响的柔性转子临界转速有限元计算研究,并与改进的传递矩阵法进行了比较。文献[17]计算了磁力轴承的线性支撑刚度,基于有限元理论建立了计算磁力轴承刚度影响的高速电机磁力轴承-转子系统动力学方程,并计算了转子的1-3阶临界转速。
转子平衡是转子平稳运行的关键。刚性转子的动平衡可采用通用动平衡机在低于一阶临界转速的低速下进行;为了改善柔性转子在临界转速附近的振动,使其能够平稳越过临界转速,柔性转子动平衡需在临界转速附近进行,其平衡方法主要有模态平衡法(即振型平衡法)、影响系数法[14,15],其中,影响系数法是目前主要的平衡方法。高转速下柔性转子的动力特性必与轴承、轴承座、旋转机械的基础的动力特性耦合,建立正确的转子-轴承-基础整体非线性力学模型是计算转子不平衡响应的前提。早期研究中,对实际转子系统作了许多简化,没有考虑各种因素的综合影响,如Jeffcott转子模型,所得分析结果不能充分反映实际柔性转子系统复杂的动力学性质。文献[18]给出了综合考虑转轴质量、扭转变形及刚性圆盘宽度影响的柔性转子系统动力学模型,应用多柔体系统动力学理论和有限元方法推导了柔性转子系统在不平衡质量影响下的动力学控制方程。文献[19]建立了磁力轴承柔性有质转子系统综合考虑陀螺、阻尼、轴-径向动力耦合及机械-电磁-控制系统耦合等影响的动力学模型,应用坐标轮换-可行方向-拟牛顿法复合寻优方法对磁轴承柔性转子系统进行了系统响应最佳工作区寻优。文献[20]联合应用Solid Works,ANSYS,ADAMS建立了柔性磁悬浮转子模型,在此基础上,采用基于接口的方法在ADAMS与MATLAB环境下建立了磁悬浮柔性转子机电一体化联合仿真模型。流体动压滑动轴承转子系统振动的早期研究中,常基于轴颈中心在其平衡位置附近作小运动的假设,采用近似线性油膜力模型进行分析,但实际转子系统在经过临界转速时要处理的是大幅振动问题并不满足小运动的假设,有鉴于此,文献[21]建立了左、右对称布置的单盘柔性转子-轴承系统计算模型,研究了非线性油膜力和轴承外弹性阻尼对流体动压滑动轴承转子系统振动特性的影响。
高转速、高功重比、柔性转子是近代高速旋转机械的设计趋势,其在提高旋转机械性能的同时也引发了严重的失稳现象,转子系统稳定性分析是近代转子动力学的重要研究内容之一。引起转子失稳的主要因素有[1,14]:油膜力、密封力、内腔积液、转轴刚度不对称、干摩擦碰摩等,其根本原因是转子扰动运动时受到了导致转轴增幅涡动的切向力作用。油膜涡动、油膜振荡是滑动轴承-转子系统中常见的油膜失稳现象,对其研究已有80多年的历史,目前油膜失稳分析已由基于线性假设的特征值判据稳定性理论发展到基于非线性仿真方法的稳定性理论(如能量法、谱分析法等)。研究表明,当转速超过两倍的一阶临界转速且有足够的外部干扰时,非线性油膜力导致的油膜低频涡动将发展为油膜振荡[1,22],文献[22]建立了非线性油膜惯性力作用下的短轴承轴颈运动方程,以油膜力沿涡动轨迹做功大小作为轴承稳定性的判据,其为基于能量法定量判断轴承稳定性的方法。文献[23]根据稳定性界限状态下各轴承油膜力所作的功定义了轴承对轴系稳定性的贡献系数和敏感轴承,指出适当改变敏感轴承的结构、参数可显著提高轴系稳定裕度,并以国产200MW汽轮发电机组为例进行了数值计算。文献[24]计算了毛细管节流4腔轴承的线性化刚度系数和阻尼系数,得到了混合轴承的刚度和稳定性速度阈值,探讨了转子柔性对自激涡动的作用,提出了确定混合轴承对称支撑的单质量柔性转子稳定性速度阈值的方法。文献[25]建立了非线性转子-轴承系统动力学模型,利用Floquet理论结合打靶法分析了非线性转子-轴承系统周期运动的稳定性,并采用遗传算法以最大失稳转速为目标对轴承参数优化设计进行了研究。文献[12,13]对高速涡轮机中转子动力学失稳非线性分析的进展进行了综述。
电磁轴承是目前已投入实用的可实施主动控制的支承,电磁轴承支承的转子可在超临界、每分钟数10万转工况下运行。电磁轴承支承的柔性转子系统的动力学模型,可通过对转子离散化处理、并计入电磁轴承的转子动力学系数得到[1]。运动稳定性问题是高速磁悬浮机械的突出问题之一。文献[26]在建立刚性磁浮轴承转子系统模型的基础上,应用数值积分法和Poincare映射法研究了2自由度磁悬浮转子系统的稳定性。文献[27]对磁悬浮轴承转子进行离散化处理并在电磁力线性化假设下,建立了某磁悬浮转子系统无量纲方程,对其控制参数稳定区域进行了理论分析和实验研究。文献[28]提出了描述非线性电磁力动态特性的特征函数及扰动法和Routh-Hurwitz判据相结合分析电磁力控制柔性转子系统稳定性的方法,通过实验验证了该分析方法的正确性。
以往对大型复杂转子系统的动态特性分析多采用传递矩阵法及其改进方法(Riccati传递矩阵法、传递矩阵-阻抗耦合法、传递矩阵-分振型综合法、传递矩阵-直接积分法)[1]且多局限于线性转子动力学的范畴。然而,要解决高速大型复杂柔性转子系统的动力学问题,原有普通转速下的线性转子动力学理论已不能满足要求,应立足于非线性动力学理论。针对实际转子系统建立的非线性转子-轴承-基础动力学模型通常有较多自由度,采用解析方法[4]精确求解尚有困难,目前多采用数值积分方法求解[12,13,21,29]。为了提高数值求解效率,大型转子-轴承系统高维非线性动力学问题的降维求解方法研究[13,29]有待深入开展。文献[29]针对非线性自治系统降维,综合非线性Galerkin方法和后处理Galerkin方法的优点,提出了兼顾计算效率和精度的改进的非线性Galerkin方法,在此基础上进一步发展了非线性二阶振动方程的直接降维方法并提出了适用于实际转子-轴承系统降维的预估校正Galerkin方法,通过在某200MW汽轮机组低压转子-轴承系统中的应用验证了该方法的有效性。
2柔性转子主动振动控制中的作动器
作动器是实施转子主动振动控制的关键部件,其按确定的控制律对转子系统施加主动控制力以给系统引入附加的刚度和阻尼从而实现增大系统稳定区域、降低系统不平衡响应的目的,主要有电磁轴承、可控挤压油膜阻尼器、压电调节器、形状记忆合金调节器等。
2.1电磁轴承
电磁轴承是利用电磁力将转子无机械摩擦地悬浮于空间的一种新型非接触式支承装置。根据电磁力是否可控,电磁轴承分为主动磁轴承(AMB)和被动磁轴承(PMB)。PMB的磁力由永久磁铁提供,不可控;AMB的磁力由电磁铁提供,可控[32]。AMB的刚度、阻尼特性可调,在柔性转子振动主动控制中已得到应用[30,31,32,33]。AMB-转子系统由转子、位置传感器及信号调理单元、调节控制单元、执行单元(电磁铁、功率放大器)组成[1,32,33],位置传感器(多采用电涡流传感器)检测出转子的实际位置,其与给定(理想平衡位置)信号比较后得到误差信号,调节器根据误差信号按一定的控制算法产生矫正信号,矫正信号经功率放大器驱动电磁铁产生相应的磁吸力,使转子回复到理想平衡位置,实现转子无接触稳定悬浮。实际磁悬浮转子系统通常采用两个径向电磁轴承提供4个径向磁力以平衡转子重量,并采用一个轴向推力电磁轴承限制转子轴向位移,构成5自由度磁悬浮轴承-转子系统。文献[33]设计并开发了基于DSP的5自由度磁悬浮轴承-柔性转子系统实验装置,为研究磁悬浮轴承-柔性转子顺利通过弯曲模态的主动振动控制策略奠定了基础。
从1972年电磁轴承应用于卫星导向轮支撑起,经过近40年的发展,目前电磁轴承已被应用于卫星惯性飞轮、能量存储飞轮、高速磨床、高速铣床、高速电动机、离心机、透平压缩机、斯特林制冷机、航天器姿态控制装置等数百种高速旋转或往复运动机械中,已达到(0～8)×105r/min的技术指标[32]。AMB在体积、能耗、承载能力成本等方面有待进一步完善,由永久磁铁提供静态偏置磁场并采用电磁铁控制转子5个自由度平衡的被动与主动混合控制模式是电磁轴承的发展趋势,而基于参数估计法、状态估计法间接获取转子位置信息的无传感器电磁轴承研究也是近年来的研究热点之一[31]。
若电磁轴承仅作为提供电磁力刚度和电磁力阻尼的转子振动控制装置安装在转子某处,并不作为承受静载荷的支承件时,通常被称为电磁阻尼器(MD)[9],文献[34]设计了一种用于抑制磁悬浮柔性转子过临界转速点振幅的被动式电磁阻尼器,对其机理进行了理论分析和实验验证。
2.2可控挤压油膜阻尼器
挤压油膜阻尼器(SFD)轴承是20世纪60年代发展起来的技术,首先成功应用于航空发动机,现已推广应用到地面高速旋转机械,但SFD是一种被动式阻尼器,仅在一定的不平衡振动范围内才有良好减振效果,当转子不平衡振动超出一定范围,SFD油膜力的高度非线性会导致双稳态跳跃等许多有害的非线性响应[1,34]。为了改善传统SFD动力特性的不可控性,实现主动振动控制,已出现了多种性能可控的挤压油膜阻尼器(CSFD),如可变间隙SFD,电流变液SFD,磁流变液SFD等[1,2]。可变间隙SFD将传统SFD轴承与轴颈的圆柱面改成了锥面,其油膜间隙可通过液压伺服机构调整从而改变阻尼器的刚度、阻尼[35]。电流变液SFD在阻尼器间隙内充入电流变液,利用电流变液的力学性能与外加电场密切关联的特点,通过调节外电场强度以控制电流变液的粘度,由此改变阻尼器的刚度、阻尼,但电流变液SFD易产生高压电弧,难以工程应用[36]。磁流变液是另一种可控流体,其在磁场作用下能在瞬间(毫秒级)从流体转变为半固体,呈现可控的粘度,且这种变化可逆。磁流变液SFD正是利用磁流变液的这一性质,通过改变油膜工作区磁场强度控制阻尼器刚度、阻尼,可用于柔性转子主动振动控制以顺利通过多阶临界转速[36,37]。基于导体在磁场中运动产生电涡流的原理设计开发的电磁阻尼装置已有应用,文献[38]提出了一种利用电涡流效应改善传统SFD动力特性可控性的新型磁控SFD,并验证了其用于转子主动振动控制的有效性。
2.3形状记忆合金调节器(SMAA)
形状记忆合金(SMA)是一种通过热弹性马氏体相变将热能转换为机械能的功能材料,其记忆效应受外界约束后,加热恢复原形过程中受阻时,将产生恢复力,从而可用于主动控制的执行元件[39,40]。利用SMA元件进行转子主动振动控制是方兴未艾的研究方向,由于SMA丝的电阻率较大,目前多采用电流加热方式控制SMA的恢复力,实现对转子系统振动的主动控制。文献[39]采用SMA弹簧元件作为转子附加弹性支承,基于SMA近似的应力-应变-温度多项式建立了SMA弹簧的非线性恢复力模型,研究表明:当对SMA加热时,其恢复力将增大,在转子临界转速附近,增加SMA弹簧的恢复力,即可减小转子系统的振幅,文献[39]据此建立了对转子进行主动振动控制的SMA弹簧温度闭环控制系统并进行了仿真验证。文献[40]以通交流电加热的SMA丝作为作动器,设计了实现高速转子主动振动控制的智能变刚度支承系统并进行了实验验证。SMA丝的温度控制条件对其动力学特性影响较大,如何确定SMA丝加热电流的大小及其变化规律、提高控制的稳定性是有待深入研究的课题。
2.4压电调节器(PA)
当对压电材料(压电单晶体、压电陶瓷、压电聚合物等)施加电压时,其会产生机械应力或应变[41],利用压电材料的这种“逆压电效应”可制成动态响应快、线性度和重复性好的作动器对轴承施加控制力或改变轴承的结构参数以调节轴承的动力学性能,实现转子系统主动振动控制,但压电材料的变形和压电常数均较小,单位体积提供的控制力较小,且所需驱动电压高、存在滞后现象,因此,需要进一步研究压电材料性能改进、压电作动器形状及安装位置等问题[9,41]。
3柔性转子主动振动控制策略
柔性转子系统是强耦合、非线性、参数时变的多自由度系统,应用传统PID控制、状态反馈控制、极点配置控制等设计控制律难以实现闭环系统有效抑制不平衡振动、安全越过临界转速、提高稳定裕度且具有稳定鲁棒性、性能鲁棒性的主动振动控制目标[11,32],应在借鉴结构主动振动控制现有成果和技术[42,43]的基础上,深入研究鲁棒性、自适应性强的非线性控制策略以适应柔性转子主动振动控制的要求。
3.1模态控制
振动理论表明无限自由度系统在时间域内的振动一般可用其低阶自由度系统在模态空间中的振动近似描述,因此,无限自由度系统的振动控制可转化为在模态空间对少量振动模态进行控制,该方法称为模态控制法[5]。模态控制法的主流为独立模态空间控制(IMSC)[43],其可独立控制所需的控制模态。在柔性转子系统中,存在对其振动特性有显著影响的若干优势模态,只要对这些优势模态进行控制即可获得良好的主动振动控制效果,这本质上是一种降阶控制,可实现次优控制[9]。
3.2最优控制
最优控制是兼顾响应与控制要求使系统性能指标达到最优的反馈控制。在转子主动振动控制中,广泛采用转子系统稳态不平衡响应和控制输入加权的二次型作为目标函数进行最优状态反馈控制律设计[10,11,44]。但最优控制律的实现需要基于状态观测器,而观测器参数对较高阶系统的模型扰动很敏感,会导致系统失稳[32];另外,实际转子系统与所建模型之间存在一定误差,这些问题使得最优解计算及实现较困难[9]。
3.3鲁棒控制
鲁棒控制设计选择反馈控制律,使闭环系统稳定且其性能对于模型摄动和外界干扰具有一定的抵抗能力。实际的柔性转子系统是一个不确定系统,难以获得精确模型,且在运行中存在多方干扰,采用鲁棒控制是其主动振动控制策略研究的热点之一。目前,应用较多的是H∞控制和滑模变结构控制等鲁棒控制方法。
对线性不确定系统而言,H∞控制问题是保证闭环系统内部稳定且以外界扰动到系统输出之间传递函数矩阵的H∞范数为优化指标的控制问题。文献[45]分析了AMB转子系统模型因线性化近似及忽略漏磁、磁滞等引起的参数不确定和因径向自由度之间惯性耦合、陀螺耦合等引起的动态不确定,在此基础上,进行了基于H∞混合灵敏度方法的单自由度磁轴承鲁棒控制器设计和仿真验证。文献[46]指出轴向与径向间的位移耦合也应作为5自由度磁悬浮轴承-转子系统模型动态不确定性的因素之一,并针对磁力轴承-转子系统的动态不确定性,采用分散控制策略,分别对径向4个自由度和轴向自由度求解了基于混合灵敏度方法的H∞控制器,探讨了加权函数的选取,通过仿真和实验证明了理论分析和设计正确。文献[47]针对磁悬浮系统的参数不确定性,进行了基于线性矩阵不等式(LMI)方法的AMB系统H∞状态反馈控制律设计和仿真验证。文献[48]基于LMI方法设计了对转子振动进行主动控制的H2/H∞混合状态反馈控制律,并以4自由度的单盘悬臂转子模型为算例,基于MATLAB进行了仿真验证。文献[49]针对CSFD轴承-转子系统主动振动控制引入非线性H∞控制,仿真表明对于非线性转子系统振动主动控制,非线性H∞控制较线性H∞控制优越。
变结构控制是一种非线性控制方法,其实质是一种模型参考自适应控制,而且变结构控制系统中的滑动模态在一定条件下对系统模型摄动及外扰动具有不变性,因此,该方法在柔性转子主动振动控制领域具有应用前景。文献[50]建立了柔性转子-磁轴承系统有限元模型,设计了基于固定切换顺序的柔性转子变结构控制器,对其鲁棒性进行了仿真和实验验证。
3.4自适应控制
振动的自适应控制起源于20世纪80年代初,其主要应用于结构及参数具有严重不确定性的振动系统,目前,经实验验证的方法主要有简化自适应控制、基于超稳定性的自适应控制和基于自适应滤波的前馈控制等[5]。柔性转子系统存在参数不确定性、动态不确定性,引入自适应控制可克服传统控制方法的局限。
3.5智能控制
不依赖于(或不完全依赖于)被控对象数学模型的智能控制(模糊控制、神经网络控制等)在柔性转子主动振动控制系统中具有应用前景[51,52,53]。文献[52]建立了永磁偏置单自由度混合磁轴承吸力方程,采用神经网络逆方法实现磁轴承系统的精确线性化,对伪线性系统采用PID进行闭环综合,仿真和试验表明所设计的控制系统具有良好的动、静态性能。文献[53]针对AMB系统的非线性、参数不确定性,提出了基于BP神经网络的自适应PID控制器,该控制器由传统PID控制器和将误差的P,I,D信号非线性组合的BP神经网络控制器并联而成,某单自由度AMB转子起浮仿真结果验证了所提出的神经网络自适应PID控制有效。
3.6其他先进控制方法
文献[3]建立了5自由度磁悬浮轴承柔性转子系统的数学模型,分析了PID控制参数对转子稳态不平衡响应的影响,提出了基于转速的变参数控制方法,实现了基于DSP的5自由度磁悬浮轴承柔性转子系统的变参数PID控制并通过系统高速旋转试验验证了其有效性。
文献[54]将无源控制这一本质非线性控制方法引入磁悬浮非线性系统控制,建立了单自由度磁悬浮系统端口受控哈密顿(PCH)模型,并采用无源性方法设计了非线性控制律,仿真表明控制系统具有良好的动态性能和鲁棒性。
文献[55]将灰色关联控制理论引入转子振动主动控制;文献[56]基于灰色预测控制理论,以响应和控制力加权的二次型为目标函数设计了转子系统振动的灰色预测优化控制方案。这些工作拓展了灰色控制理论应用领域,且为转子主动振动控制策略研究提供了新思路。
4展望
1) 高转速、高功重比、柔性转子是近代高速旋转机械的设计趋势,高速柔性转子与轴承、轴承座、基础相耦合构成复杂柔性转子系统,柔性转子-轴承-基础整体非线性系统建模研究及大型复杂柔性转子系统高维非线性动力学问题的降维求解方法研究有待深入开展。
2) 对柔性转子不平衡振动进行主动控制是确保其临界、超临界安全、可靠运行的措施。将主动控制和被动控制相结合,实现柔性转子振动主、被动控制一体化是发展趋势。
3) AMB是已进入实用的可实施柔性转子主动控制的支承,但其体积、能耗、承载能力及成本等方面有待完善。由永磁铁提供静态偏置磁场并采用电磁铁控制自由度平衡的被动与主动混合控制模式是电磁轴承的发展方向,而深入开展基于转子位置间接检测技术的无传感器电磁轴承研究也具有重要的理论意义和实用价值。
4) SFD是在旋转机械中应用较广的被动式阻尼器,为了适应转子主动控制的需要,虽已出现了多种对传统SFD不可控性进行改善的CSFD,但现有CSFD存在结构较复杂、动力特性较难控制等局限,需进一步研究改进SFD不可控性的新结构、新方法。
5) 柔性转子系统是具有参数不确定性和动态不确定性的非线性系统,现有主动振动控制算法以针对线性系统为主,且不易实现。应深入研究易实现且具有性能鲁棒性、稳定鲁棒性的非线性控制算法,以达到柔性转子主动振动控制的目标。模糊控制、神经网络控制、变结构控制、无源控制等非线性控制方法及其集成在柔性转子主动振动控制中具有应用前景。
柔性振动 篇2
航天器中的许多重要结构，如空间站的舱体、太阳能帆板、空间可展开反射器等，具有重量轻、高柔性和固有频率低的特点，它们在空间运行时，受到各种外力的扰动，从而引发结构的振动。结构振动主动控制技术相对于传统的被动控制技术具有控制效果好、精度高、能够有效处理外部干扰等诸多优点，存在巨大的工程应用价值，因此该领域的研究得到了国内外学者的广泛关注[1,2,3,4,5,6,7,8,9]。
目前已有许多现代控制方法应用于结构振动主动控制。张宪民等[1,2]在含有压电元件的弹性机构振动有限元模型基础上，基于复模态理论，采用鲁棒H∞控制器控制系统的弹性振动。Sharma等[3]基于独立模态空间控制和模糊逻辑控制研究了悬臂板结构的振动主动控制，并对这两种方法进行了比较分析。Adrian等[4]应用模型预测控制技术设计振动主动控制器，控制器可以设定作动器所允许的范围并能在线计算控制输入。Li等[5]应用基于模型的模糊控制策略研究参数不确定系统的鲁棒振动控制并进行了薄板振动控制实验。Ma[7]采用自适应非线性控制策略抑制压电悬臂矩形板的振动响应。文献[8,9]利用滑模变结构控制研究了结构和机构的振动主动控制。但是，研究者所提出的控制方法均是基于理论模型的，没有考虑实际结构与理论模型的误差及外界环境的影响。
本文以压电柔性悬臂梁为研究对象，考虑实际系统的模型误差、外部载荷环境不确定性以及测量噪声等所引起的结构不确定性(这种模型扰动和外部干扰会影响甚至破坏结构系统的稳定性和其他性能)，采用μ综合方法设计振动主动控制器并进行实验研究。
1 系统模型
假设结构配置了Na个压电陶瓷作动器，Ns个电阻应变片传感器，采用有限元法可建立柔性结构的运动微分方程：
式中，M、C、K分别为系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;U为系统位移列向量;Vin为作用在作动器上的控制电压;y为应变片的输出;Da为作动器分布控制矩阵;Ds为传感器分布的输出分布矩阵;F为作用在结构上的外部干扰。
应用模态技术处理，引入变换：
式中，ψ为振型矩阵;η为振型坐标列阵。
将式(2)代入式(1)，考虑实际控制过程中不可能对所有模态全部施控，而且高阶模态的影响通常很小，在此只对前c阶主模态加以施控，则它们变为
式中，Cc、Kc为c×c对角矩阵，它们由系统固有频率和阻尼比决定;ηc为受控模态的振型坐标，由η的前c个元素构成;ψc为受控振型矩阵。
定义受控状态变量为
则式(3)可以写成状态方程形式
其中，Ic为c×c单位矩阵;0ac、0sc分别为c×Na、Ns×c零矩阵。
2 鲁棒控制器设计
由于柔性结构系统存在不确定性扰动和量测噪声，所以系统结构参数也存在不确定性，鲁棒控制能较好地解决这些问题。从鲁棒控制的角度来看，抑制柔性结构的振动响应就是抑制扰动信号(如外部干扰和量测噪声)对系统输出的影响，根据H∞控制理论，这就是最小灵敏度问题。根据柔性结构模型，可以建立图1所示的动态闭环系统，其中，Nc为外部干扰项，Wd为该信号加权函数，Nn为量测噪声，Wn为量测噪声加权函数，z为评价信号，Wper为评价信号加权函数。为了限制作动器控制电压的允许范围，使用加权函数Wact对该信号进行惩罚。在设计控制器时，根据被控对象的实际物理意义，选择被控模态位移ηc为评价信号，则系统评价信号可以表示为
其中，,INa为Na×Na单位阵，0c、0Na分别为c×c、Na×Na零矩阵。
外部干扰信号w包括外部扰动信号和量测噪声，可以表示为w=[NcNn]T。式(5)和式(6)组成了广义被控对象。
在频域内设计控制器。为了形成鲁棒控制问题框架，需要根据实际信号的频率特性进行加权处理，外部输入信号包括干扰项Nc和量测噪声Nn，根据它们的幅值和频域特性，它们的加权函数Wd和Wn分别设为
其中，Nmax为外部干扰信号最大幅值;fd(s)表示该信号的频率特性;Mn为量测噪声的幅值;fn(s)为量测噪声的频率特性。加权函数Wd是为了规范干扰项的幅值。
为了限制作动器的幅值和频域特性，对作动器的输出进行加权处理。设作动器最大允许值为Vmax,fact为该信号的频率特性，则加权函数Wact为
与系统性能有关的评价信号是模态位移，其加权函数为Wper，根据系统性能要求，它设为
式中，P1为加权系数。
fper(s)可表示为
其中，ω1～ωc的值分别比前c阶系统固有频率稍大，也就是说，在控制器的作用下，频率在小于前c阶的频率范围之内的输出信号会得到衰减。
联合式(5)～式(10)可以得到传递函数形式的广义被控对象模型P:
由于在建立系统模型时，系统的结构参数难以得到精确值，在此考虑系统固有频率ω、阻尼比ζ和作动器压电力矩参数g的不确定性(Δω、Δζ和Δg分别表示ω、ζ和g的不确定性)，则系统状态方程系数矩阵的不确定性描述为
式中，Ac(Δω，Δζ)、Bc(Δg)为实际的系数矩阵;Ac、Bc为系数矩阵的标称值;ΔAc(Δω，Δζ)、ΔBc(Δg)分别表示有界的不确定性。
为了利用μ综合方法设计控制器，不确定性ΔAc和ΔBc可以描述为
其中，DA、EA、DB和EB分别为表示不确定性结构的常数矩阵;δA(Δω，Δζ)和δB(Δg)分别为未知的不确定性参数，表示在不确定性结构下的有界摄动;‖·‖表示矩阵的最大奇异值。
结合前面所描述的性能指标和广义被控对象，μ综合增广模型如图2所示，其中，虚线表示假想摄动，用δF表示，[δAδB]为实际摄动，形成对角块不确定性矩阵δp，形成一个标准μ综合框架，可采用D-K迭代法求得最优的反馈控制增益矩阵H[10]。
3 振动控制实验研究
3.1 实验配置
振动控制实验配置如图3所示，该实验装置也可用于高速运行的机构振动控制实验。悬臂梁长300mm，宽20mm，厚1.5mm，材料为钢，其弹性模量、密度和泊松比分别为210GPa、7800kg/m3、0.3。悬臂梁单元、节点、作动器和传感器分布如图4所示，Ni(i=1,2，…，8)为节点编号，Ej(j=1,2，…，7)为单元编号;各个梁单元的长度分别为50,40,40,40,40,40,50mm;A1、A2、A3分别表示放置于单元E2、E4、E6的三对作动器，其中A1、A2用于产生控制输出，A3用于产生外部干扰;S1、S2分别表示放置于单元E3、E5中点的应变片。作动器为PZT-5H压电陶瓷片，其长度、宽度、厚度分别为40mm、20mm、0.5mm，压电常数d31为200×10-12 m/V，弹性模量和密度分别为120GPa、7650kg/m3。电阻应变计为中航电测公司产品，为温度自补偿型BE120-3AA(11)电阻应变计，其标称阻值为120Ω，灵敏度系数为2.17。力锤是PCB公司产品，型号为Model086C03，测量范围为0～2225N，灵敏度系数为2.44mV/N。加速度传感器采用Kistler 8690C50型压电式加速度计。动态信号采集系统为ZonicBook/618E,8通道动态信号输入，每通道分辨率为16bit，最大采样率1MHz。功率放大器是由哈尔滨芯明天科技公司产品，型号为X-505.00，放大倍数为15，由于实验使用了3对压电陶瓷片，故采用三路功率放大器分别驱动。
1.信号发生器2.悬臂梁3.加速度传感器4.动态信号采集系统5.力锤6.动态应变仪7.应变片8.压电陶瓷片9.DS1103接线板10.工控机11.电桥盒12.功率放大器
3.2 实验模态测试
结构的阻尼比难以通过有限元方法获得，需要借助实验模态测试得到。采用脉冲锤击法进行实验模态测试。用力锤对悬臂梁进行敲击，产生一个宽频带的激励，固定敲击位置，测量7个不同位置的加速度信号。为了消除噪声干扰，采用多次平均，设每个测点的测量次数为5。使用ZonicBook/618E得到激励点和各测量点的时间历程数据，利用eZ-Analyst软件求出各测点的频响函数。采用ME’scopeVES对这些频响数据进行曲线拟合，得到拟合后的图形(图5)，得到系统的固有频率和阻尼比。由实验得到的前2阶固有频率、阻尼比和有限元计算得出的固有频率(表1)可以看出，有限元计算值和实验值相对误差接近于2%(一阶)和3%(二阶)，这是由于建立有限元模型时忽略了压电陶瓷片的影响，另一方面在进行实验模态测试时加速度传感器的质量对系统测试结果也有影响，所以应用于控制器设计的模型和实际系统存在误差，也就是说存在模型不确定性。
3.3 数值仿真分析
为了说明控制器的有效性和鲁棒性，首先进行数值仿真分析。在设计μ控制器时，设D-K迭代次数为10。图6所示为确定μ控制器时，D-K迭代次数和结构奇异值μ的关系，“*”表示对应每一次迭代的μ值。从图6可以看出，在使用D-K迭代法进行μ值计算过程中，μ值逐步减小，直至满足迭代要求为止。迭代完成后，得到最小的μ值为0.8337，它小于1，满足μ综合要求。
下面从频域角度分析控制器的有效性和鲁棒性。在设计μ控制器时，设前2阶系统固有频率ω、阻尼比ζ和作动器压电力矩参数g的不确定性范围分别为Δω∈[-0.005ω，0.005ω]、Δζ∈[-0.005ζ，0.005ζ]、Δg∈[-0.005g,0.005g]。由于振动控制的目的是为了抑制外部干扰对传感器输出应变的影响，所以可以通过分析比较无控制与有控制两种情况下由外部干扰到传感器输出应变的传递函数频响幅值来说明控制器的有效性。为了分析控制器的鲁棒性，从不确定系统中随机取40个样本进行分析。下面将由传感器S1和S2输出的应变分别称为应变1和应变2。图7和图8分别为在无控制器与有控制器情况下，由外部扰动到传感器输出应变1和应变2的传递函数频响幅值曲线。可以看出，在控制器的作用下，扰动到应变1的传递函数幅值从-50dB减小到-109dB，扰动到应变2的传递函数幅值从-45dB减小到-103dB，说明有控制器作用的响应受扰动的影响比无控制器作用时的影响更小。分析图7、图8所示结果可以得出以下结论：(1)在控制器作用下，由外部扰动到传感器的输出应变的传递函数频响增益都比无控制器情况下的低，说明设计的控制器能够抑制干扰对输出应变的影响;(2)通过40个样本的分析，控制器能在系统不确定性情况下满足控制要求，说明控制器具有鲁棒性。
3.4 振动主动控制实验
压电智能结构振动主动控制系统组成如图1所示，其基本原理是：在振动控制对象结构上粘贴一定数量的应变片，电阻应变片与动态电阻应变仪通过1/4桥路连接，动态应变仪将被测点的应变信号转换成电压信号传送至数据采集卡，采集到的数据以实时方式传送给dSpaceDS1103进行处理，按照所设计的控制器实时计算所需的控制电压，实时计算得到的数字量经过数模转换模块输出，由于D/A转换模块输出电压范围为-10～10V，故需经电压放大器放大后施加给压电陶瓷片，完成对系统的控制。为了满足实时控制要求，实验利用Mathworks公司的Simulink、Real-Time Workshop技术进行编程。Real-Time Workshop将Simulink模型自动生成的C语言代码打包并编译成dSpaceDS1103能运行的程序。
动态应变仪增益设为1000，供桥电压为6V，滤波器截止频率为100Hz。模拟输入和输出端口采样频率为1000Hz，选择Dormand-Prince作为求解器，类型为固定步，采样周期设为0.001s，实时控制的时间为1s。设计μ控制器，量测噪声最大幅值设为Mn=1×10-4，外部干扰由信号发生器产生一个随机信号作用在作动器A3上，其最大幅值Nmax=150。对系统的前2阶模态实施控制，根据模态实验得到的系统前2阶固有频率(表1)即固有角频率分别为73.38rad/s、460.22rad/s，可设式(7)～式(9)表示的加权函数分别为
比较分析图9、图10可以看出，在控制器作用下，输出应变得到衰减，振动变形量减小，说明所设计的控制器能抑制结构的振动响应。在设计控制器时考虑了外部扰动、量测噪声和参数的不确定性，根据信号的频率特性选择合适的加权函数。根据实际信号的频率特性，在频域内设计鲁棒控制器，但加权函数参数不易选取，要根据实际对象多次试探获得。
4 结论
以压电柔性悬臂梁为研究对象，应用μ综合理论设计具有鲁棒性的控制器。在设计控制器时，由于外部干扰难以测量，故将其作为不确定性外部扰动，并考虑量测噪声对控制系统的影响和系统结构参数的不确定性(如固有频率、阻尼比和作动器参数等的不确定性)，选择模态位移信号作为评价信号，根据实际信号的幅值和频率特性选择合适的加权函数，采用μ综合方法设计控制器。频域分析结果和实验结果表明了控制器的有效性和鲁棒性。
摘要：利用模态理论和μ综合方法,对智能柔性悬臂梁进行振动主动控制研究。以压电陶瓷为作动器,电阻应变计为传感器,采用有限元方法和实验模态测试方法建立结构动力学模型,对两种方法所得结果进行比较分析可知有限元模型与实际系统存在误差。考虑外部扰动和量测噪声的不确定性,同时考虑系统固有频率、阻尼比和作动器参数的不确定性,选择模态位移信号为评价量,根据信号的频率特性选择合适的加权函数,利用μ综合方法设计振动控制器。从频域角度分析控制器的有效性,结果表明该控制器能抑制不确定干扰对输出应变的影响,能在系统不确定性情况下满足控制要求,说明控制器具有鲁棒性。进行了振动主动控制实验研究,结果表明,所设计的控制器能有效抑制结构的振动响应。
关键词：智能结构,振动主动控制,有限元法,μ综合,实验模态测试
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柔性振动 篇3
钻柱力学特性研究是现代钻井工程理论和技术的重要组成部分, 其主要研究对象是底部钻柱的受力和变形, 核心内容是底部钻柱的静力学和动力学特性的研究和应用[1,2]。因此, 获取钻柱底部靠近钻头处的动态力学参数有助于分析底部钻柱的动力学特性, 国内外许多学者对底部钻具组合BHA (bottom hole assembly) 的振动问题进行了大量理论研究, 并通过建立理想模型和理论计算, 取得了很多成果[3,4,5]。目前, 关于钻柱横向振动的研究多是利用现有的线性分析理论, 而忽略了非线性因素的影响[3,4,5,6,7], 且考虑钻柱非线性特征的研究多集中在底部钻具组合段[8], 针对水平钻柱横向振动的非线性动力学研究鲜见报道。随着齿轮齿条钻机等新概念石油钻机的出现[9], 水平钻柱的横向振动不仅影响钻具组合和钻柱本身, 而且对钻机等地面装备也会产生很大的影响, 因此研究整体的水平钻柱动力学问题具有理论和实际应用价值。
本文以整根水平井钻柱为研究对象, 在基本假设的基础上, 将水平井钻柱简化为一端简支的细长柔性梁。针对该柔性梁的特征, 采用解析法建立非线性动力学方程, 运用非线性动力学的数学方法分析共振情况下的复杂动力学响应, 尝试找到控制水平钻柱横向振动的方法。
1 动力学方程的建立
由于井筒中柔性钻柱很长, 根据实际情况假定钻柱处于线弹性变形状态;不考虑钻柱纵向振动和扭转振动;忽略轴向移动、温度变化、钻井液浮力、钻柱重力的影响;略去钻柱和井壁碰撞产生的多支点, 钻柱未发生螺旋屈曲;钻井液为牛顿流体且动压力为零;钻柱轴线与井筒轴线重合。将钻柱简化为一端简支的细长柔性梁, 以变形前梁的轴线作为x轴, 如图1所示。
钻柱呈现细长柔性梁状态, 符合EulerBernoulli梁理论假设, 即在梁未变形状态垂直于梁轴线的横截面, 在梁变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。基于该理论建立的梁位移场方程为
式中, v0、w0为梁轴线上的横向位移;u、v、w分别为x、y、z方向的位移。
若只考虑横向大变形, 则变形与位移场的关系可表示为
油田钻井作业中使用的钻柱一般由单一材料制造, 因此简化后的钻柱有轴向刚度E11和剪切刚度E12两个独立的刚度, 将钻柱在钻头处的作用力简化为柔性梁的轴向力Fx, S为Fx产生的相应位移, 旋转柔性梁以角速度ω旋转时承受离心力, 离心力Fr所做功的变分为
利用哈密顿原理得到的旋转柔性梁横向振动动力学方程为
式中, ρ为钻柱密度。
为了便于分析, 引入量纲一变换, 去掉量纲一方程的上划线, 并取横向振动位移的前两阶模态w0=w1 (t) sinπx, v0=v1 (t) sinπx, 利用伽辽金法进行离散, 得到的柔性旋转梁横向位移运动方程为
2 摄动分析
摄动法又称为小参数展开法, 对于含有小参数的问题, 往往可以通过简化, 使原有问题变得容易求解, 而摄动法就是求解这类问题的有效方法。本文引入一小参数ε进行摄动分析, 使用多重尺度法[10]得到式 (5) 、式 (6) 的平均方程, 考虑主参数共振和1∶1内共振, 通过整合公式, 得到笛卡尔坐标形式的平均方程:
式 (7) ~式 (10) 为利用摄动法求出的简化系统下钻柱柔性旋转梁的平均方程, 由平均方程可以看出, 钻柱转速和轴向力是影响钻柱振动的两个主要参数。钻柱轴向力跟地层硬度、钻井速度和钻井深度等多种参数相关, 只有在采用恒压钻进的自动化钻井工艺中容易实现实时的测控。钻柱转速是通过地面的顶部驱动设备直接控制的, 容易实现实时转速的控制和检测。由于在同一个方程中存在两个变量, 故可以通过一个参数的调整来削弱另一个参数对振动的有害影响。
3 横向振动响应分析
下面根据建立的平均方程式 (7) ~式 (10) , 通过改变量纲一转速, 采用非线性动力学分析方法, 进行柔性旋转钻柱的横向振动规律研究。
算例1选取参数x10=-7.9, x20=-13, x30=-20, x40=15.5, c3=0.033, ρ=1.36, A11=0.365进行系统横向振动响应实验, 实验发现系统随着转速的变化而出现分叉, 如图2所示。
从图2可以看出, 由于在两个模态中发生了能量转换, 振动幅值出现了跳变现象, 系统的响应经历了从周期到混沌, 再到二倍周期的过程。在系统初始条件和其他参数都不变的前提下, 当转速ω4=2.8时, 系统由二倍周期运动分叉为概周期运动, 其对应的动态响应如图3所示。随着转速的增大, 当ω4=2.896时, 系统由概周期运动变为混沌运动, 其对应的动态响应如图4所示。当ω4继续增大为3.944时, 系统变为二倍周期运动, 如图5所示。
算例2选取的系统初始条件和参数值分别为x10=8.0, x20=8.8, x30=-14.3, x40=0.3, c3=0.089, ρ=1.43, A11=0.015。在上述参数下的系统横向振动响应实验表明, 系统会随着转速的变化出现分叉, 如图6所示。从图6中可以看出, 系统的响应大部分为混沌, 但在混沌响应之间又有周期响应。令系统的初始条件和其他参数不变, 只改变图6中的转速ω4, 当ω4=2.872时, 系统会出现混沌运动, 如图7所示。当转速增大为ω4=2.912, 系统由混沌运动变为六倍周期运动, 其对应的动态响应如图8所示。
以上通过相图、分叉图分析了柔性旋转梁的非线性振动响应和动态分叉参数值, 分析结果表明, 在共振条件下柔性旋转梁振动幅值是有限值, 并非无穷大。当旋转角速度从小到大变化时, 系统出现了由倍周期分叉进入混沌运动的现象, 同时发现在混沌响应区域中出现了周期响应, 系统的振动幅值还会出现跳变现象, 系统的运动状态经历了从周期运动到混沌运动, 再到二倍周期运动的变化过程。
4 结论
(1) 将井眼中工作的钻柱简化为柔性旋转梁, 探讨了柔性旋转梁振动控制的方法, 并对柔性旋转梁非线性动力学响应进行分析, 分析结果揭示了柔性旋转梁的周期运动、混沌运动、二倍周期运动和跳变等复杂的非线性动力学现象。
(2) 柔性旋转梁在共振条件下, 振幅并不是无穷大, 而是有限值。在实际工程中可以通过改变钻柱的转速来调节钻柱的横向振动。
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柔性振动 篇4
从近代航空航天领域的研究现状和工、农业生的科技发展来看, 对柔性结构的振动已经逐步深入到社会生产、研究的各个领域中, 随着微处理器和主动控制理论的发展也大大促进了对振动控制效果, 越来越多的新兴控制理论出现在人们的视野中。同时, 新型材料的发展对振动控制精度起到了非常重要的推进作用。在众多研究学者的不断努力中, 振动主动控制现今也取得比较显著的发展。
1 系统模型
1.1 新型智能压电材料的物理模型
新型智能压电材料具有体积小、重量轻等众多优点, 因此广泛应用于振动主动控制的研究中。通过将智能压电材料融入到电桥中, 进行对信号进行的分离, 从而获得在外力作用下的感应电压。采用电桥电路进行信号分离, 如图1所示, 图中Um为曲线所框的智能压电材料受到应力时所产生的电压, Rr为参考电阻, R1, R2为串联电阻Uc为控制电压。
通过此方法得到输出电压:
桥平衡条件为R1Rr=R2Rp, 此时Us正比于Um, 即:
1.2 柔性梁的物理模型
通过对柔性梁的物理模型进行研究, 从而进一步分析智能压电结构应用于柔性梁的主动控制当中, 柔性梁的物理模型如图2所示, 柔性梁的参数如表1所示。
智能压电材料参数如表2所示。
假设梁上粘贴有m个自感知执行器, 且位置分布在梁的下侧。根据振动理论, Euler-Bernoulli梁的横向振动的偏微分方程为[2]:
式中:挠度ω (x, t) 分解为与x有关的模态函数φ (x) 和模态坐标q (t) , n为截断选取的模态数, 有:
引入:
将式 (4) 代入式 (3) 得:
又有:
则有:
式中:ωi为第i阶系统固有频率;ξi为第i阶模态阻尼比。化简整理并考虑阻尼比悬臂梁振动微分方程为[3]:
令:
可得到输出电压为:
引入状态量:
将式 (10) 和式 (14) 用状态空间方程的形式来表示:
2 最优模糊控制的基本原理
2.1 模糊控制理论
模糊控制理论是依据人类对事物的逻辑推理进行归纳总结从而得到控制规则应用于主动控制中, 经常用于某些直观、难易建立或获取数学模型的被控对象进行控制。模糊控制算法的控制简图[4]如图3所示。
2.2 最优控制理论
最优控制理论就是在一定前提条件下, 在允许范围内寻找最优的控制方案, 是控制系统在系统所设置的前提下, 其控制效果最优。设一阶受控系统为:
式中:x为状态量;u为外部输入;A和B为系统矩阵和输入矩阵, 性能指标为关于状态和输入的一个二次型性能函数。
最优控制的实质就是在约束条件下寻找一个外部输入u*, 使其二次型性能函数达到极值。
2.3 最优模糊控制理论[5,6]
针对于某些难以建模的工程设计中, 为了得到较好的控制效果, 提高控制精度和运算效率, 而单一的模糊控制不能得到较高的控制精度, 因此将最优控制和模糊控制理论进行结合, 结合后的最优模糊控理论既满足最优控制的控制精度, 也能满足模糊控制的快速响应 (见图4) 。通过采集系统的状态量, 进行离线最优计算, 得到多个状态的最优控制解。利用所得到的结论建立模糊控制表进行在线控制。这样控制系统既满足快速响应, 又满足最优控制, 因此为工程设计提供了控制依据。
3 控制系统设计步骤及仿真分析
3.1 最优模糊控制
(1) 系统离线计算模块
智能结构应用于柔性悬臂梁的状态微分方程:
系统为稳定系统, 因此二次型性能指标函数简化为:
通过二次型性能指标函数寻找一个外部输入u*, 使其达到极值:
对关于u的J (u) 求极小值问题, 解得最优解, 并记之为u*:
整理得出:
由式 (21) 、式 (23) 得出:
(2) 在线控制模块
通过离线最优控制模块所得到最优解建立模糊控制规则表, 如表3所示。通过传感器采集进来的信号进入装有最优模糊控制理论的处理器中, 得到输入所对应最优控制解, 输出至执行器作用到被控对象, 从而达到振动控制的目的。
3.2 系统仿真
当柔性梁受到外力作用时, 智能压电结构表面会产生电荷, 通过电桥电路输入至处理器中, 输入到控制器中的传感器信号经过比较处理得到所对应的最优控制解并输出控制电压作用到智能压电结构的电极上, 智能压电结构接收到输出的控制电压从而产生相应的形变作用到柔性悬臂梁上抑制梁的形变。
选择柔性梁参数为:L=800 mm, bb=10 mm, tb=3 mm, ρ=2.7×103kg/m3。智能压电结构参数为:lp=30 mm, bp=10 mm, tp=1 mm。
根据智能压电材料作用于柔性梁的最优化设计, 将压电智能材料黏贴于柔性悬臂梁的根部, 并且忽略压电智能材料对柔性悬臂梁的振动影响。
通过Matlab进行系统仿真, 得到的柔性悬臂梁的控制电压结果如图5所示。
柔性悬臂梁末端受控前后振动幅度比较见图6。
从图5的控制电压曲线中可以看到, 当振动幅度较大时, 其控制电压较大。从图6柔性梁末端偏移平衡位置尺寸位置上看, 在没有施加控制的前提下, 由于柔性梁的自身阻尼, 柔性梁末端偏移平衡位置尺寸较大, 振动衰减较慢, 经过5 s还未完全稳定。施加控制后, 由于执行器产生与柔性梁形变相反的作用力, 使柔性梁的衰减明显加快, 经过1.5 s便达到稳态。
4 结语
以智能压电结构为基础, 设计一种将最优控制和模糊控制相结合的控制方法, 既满足最优控制的优点, 又将模糊控制的长处有效的结合起来, 对柔性悬臂梁进行振动控制。通过Matlab仿真表明, 最优模糊控制基于压电智能结构的控制系统能很有效的对柔性梁的振动进行抑制。
摘要：基于模糊控制的振动控制方法, 针对柔性悬臂梁, 设计了相应振动控制器。采用电桥电路法分离出压电自感知执行器的感知信号, 通过传感器将采集进来的信号, 由最优控制理论离线计算得到理论输出值。并将理论输出值与对应的系统输入值对应起来, 从而建立拥有最优解的模糊控制规则表。通过传感器采集系统状态并经过处理得到输出信号, 作用于执行器上对柔性梁的振动进行抑制。仿真结果表明, 采用的控制器对于改善振动快速控制是非常有效的。
关键词：模糊控制,最优控制,振动控制,悬臂梁
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柔性振动 篇5
目前, 有关空间机器人系统的动力学分析及智能控制的研究已得到各国科学研究人员的广泛关注, 并已取得了一定的成果。但值得注意的是, 大多数研究都建立在空间机器人系统结构中各分体均为纯刚性体的基本假设上, 并将空间机器人视为一个多刚体系统[1,2,3]。然而, 在实际的空间应用中, 空间机器人的机械臂与装配在关节处驱动该机械臂运动的电机转子之间的连接不可能为绝对刚性。同时, 在空间机器人轻型化的要求下, 带有柔性的机械臂已经得到了越来越广泛的运用。因此, 空间机器人系统实际上为刚-柔性耦合系统, 而具有柔性关节和柔性臂的空间机器人模型为最接近实际的空间机器人模型。值得注意的是, 空间机器人结构中柔性因素的存在是一把“双刃剑”。一方面, 柔性臂能够减轻空间机器人的质量, 降低能量消耗, 使机械臂获得较大的操作空间和较高的工作效率;柔性关节能够吸收空间机器人在运动过程中发生意外碰撞时受到的冲击力, 降低空间机器人的损伤。另一方面, 柔性关节和柔性臂在运动过程中所引起的弹性变形和弹性振动会对系统的控制精度和稳定性造成不利的影响。而随着空间机器人技术朝着轻质、高速、高精度的方向发展, 空间机器人的大位移刚性运动与柔性关节和柔性臂的小位移弹性变形之间的耦合作用已不容忽视, 目前, 有关刚-柔性耦合的空间机器人系统的动力学分析和智能控制方法研究已成为了科学研究的重点, 但是大多数的研究对象为刚性关节-柔性臂空间机器人系统[4,5], 或柔性关节-刚性臂空间机器人系统[6,7]。虽然有少数研究同时考虑了柔性关节和柔性臂对系统的影响, 但是其研究对象主要为地面机器人[8,9,10], 而对柔性关节-柔性臂空间机器人系统的研究仍然比较少见。尤其对于载体自由漂浮的漂浮基空间机器人系统, 该系统呈现出的非线性和强耦合性使得空间机器人的动力学建模过程比固定基的地面机器人更加复杂[11], 进而又使得惯常用于地面机器人的一些控制方法无法直接应用和推广到空间机器人的控制中。因此, 有关漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人的研究难度较大, 同时也更具有挑战性。
基于以上讨论, 本文同时考虑了柔性关节和柔性臂对漂浮基空间机器人系统的影响, 首先利用动量、动量矩守恒关系和拉格朗日-假设模态法建立系统的动力学方程。接着基于奇异摄动法, 将系统分解为“刚性关节-刚性臂”慢变子系统、“柔性关节-刚性臂”快变子系统和“刚性关节-柔性臂”快变子系统, 并分别针对这三个子系统设计相应的控制律来实现系统期望运动轨迹的渐近跟踪和关节、臂弹性振动的抑制。最后通过仿真实验证明所提出的混合控制律的有效性。
1 漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统动力学建模
为不失一般性, 考虑如图1所示的双柔性关节、单柔性臂的漂浮基空间机器人系统。该系统由载体B0、刚性臂B1和柔性臂B2组成。Oi (i=1, 2) 为各分体与电机转子连接的关节转动铰。建立惯性坐标系 (OXY) 及各分体Bj (j=0, 1, 2) 的主轴坐标系 (Ojxjyj) 。假设各分体在 (OXY) 平面内作平面运动。
1.1 柔性关节的简化模型
根据Spong所提出的“转子-扭簧系统”简化模型[12]:在小变形的情况下, 柔性关节可简化为一个用来连接电机转子和机械臂的刚度系数为ki的无惯量线性扭转弹簧, 结构如图2所示。此时, 当关节Oi处的电机转子转过角度φi时, 与其相连接的机械臂Bi由于受到扭转弹簧弹性力的作用, 其实际的转动角度为qi=φi-σi, 其中σi为扭转弹簧引起的关节弹性变形偏差角。而关节Oi处电机转子与机械臂之间相互作用的弹性力大小可表示为ki (φi-qi) =kiσi。
1.2 柔性臂的简化模型
假设柔性臂B2为细长杆, 忽略其在运动过程中的剪切变形和转动惯量的影响, 于是可将B2视为Euler-Bemoli梁, 并利用假想模态法[13], 将B2的横向弹性变形v (x2, t) 表示为
式中, n为保留模态数;фi (x2) 为第i阶模态函数;δi (t) 为与фi (x2) 相对应的模态坐标。
本文对前二阶模态进行分析, 于是有:n=2, v (x2, t) =ф1 (x2) δ1 (t) +ф2 (x2) δ2 (t) 。
1.3 系统动力学模型
如图1所示, 令载体B0的质心Oc0与O0重合, 其相对于O的矢径为r0, 刚性臂B1的质心Oc1相对于O的矢径为r1, 柔性臂B2上任意一点相对于O的矢径为r2, 系统总质心C相对于O的矢径为rc。Oc0与O1之间的距离为l0, Oc1与O1之间的距离为d1, Bi的长度为li。B0的质量为m0, B1的质量为m1, B2的线密度为ρ, 电机的质量可忽略不计[12], 于是系统的总质量M=m0+m1+ρl2。B2的抗弯刚度为EI。根据系统几何位置关系和总质心定理, 各分体矢径rj及其一阶导数可分别表示为
式中, ei (i=0, 1, 2) 为系统各分体主轴坐标系xi轴的轴向基矢量;e3为柔性臂B2的主轴坐标系y2轴的轴向基矢量;Rj0、Rj1、Rj2、Rj3、Rj4为系统惯性参数的组合函数。
为不失一般性, 设定漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统不受外力作用, 系统相对惯性坐标系 (OXY) 满足动量、动量矩守恒关系。假设系统的初始动量、动量矩为零, 于是系统的动量、动量矩守恒关系可表示为
式中, w0、w1分别为B0、B1的转动角速度矢量;wφi为电机转子的自转角速度矢量;J0为B0的转动惯量;J1为B1的转动惯量;Jφi为关节Oi处电机转子的自转惯量。
柔性关节的存在使得在对漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统进行动力学分析时不能再将电机转子与机械臂简化为一整体进行分析, 而需要分别对电机转子的动力学和由载体、刚柔机械臂组成的空间机器人的动力学进行分析。于是, 系统的总动能T为电机转子的动能Tφ和空间机器人的动能Tq之和, 即
忽略宇宙中微弱的重力作用, 系统的总势能U为柔性关节简化扭转弹簧的弹性变形势能Uφ和柔性臂的弯曲应变势能Uq之和, 即
基于以上的讨论, 并结合拉格朗日方程, 可获得载体位置、姿态均不受控的漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统完全驱动形式的动力学方程:
其中, φ为由电机转子的转角φ1、φ2组成的向量, φ=[φ1φ2]T∈R2;q为由机械臂的转角q1、q2组成的向量, q=[q1q2]T∈R2;δ为由柔性臂的模态坐标δ1、δ2组成的向量, δ=δ1[δ2]T∈R2;θ=q[0qδ]T∈R5, q0为载体姿态角;δ为柔性关节引起的关节弹性变形偏差角组成的向量, σ=φ-q∈R2;Jφ为电机的对角正定惯量矩阵, Jφ=diag (Jφ1, Jφ2) ∈R2×2;D (θ) 为空间机器人的对称正定惯量矩阵, D (θ) ∈R4×4·;为包含科氏力和离心力的列向量, ;Kφ为柔性关节刚度系数矩阵, Kφ=diag (k1, k2) ∈R2×2;Kδ为柔性臂刚度系数矩阵, Kδ=diag (kδ1, kδ2) ∈R2×2;τ为由关节O1、O2处电机的输出力矩τ1、τ2组成的向量, τ=[τ1τ2]T∈R2。
式 (8) 可分解为电机转子和空间机器人两部分, 即
其中, D11∈R2×2、D12=DT21∈R2×2和D22∈R2×2均为D (θ) ∈R4×4的子矩阵;C1∈R2×1和C2∈R2×1均为C (θ, θ·, qa·) ∈R4的子矩阵。显然, 式 (9) 为电机转子的动力学方程, 式 (10) 为空间机器人的动力学方程。
2 系统动力学奇异摄动分解及控制律设计
柔性关节和柔性臂在运动过程中所引起的弹性变形会影响系统的控制精度, 所引起的弹性振动会影响系统的稳定性。为了克服这些问题, 本文基于奇异摄动法, 将漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统分解为表示系统刚性运动部分的慢变子系统和表示系统柔性运动部分的快变子系统, 并分别为子系统设计控制律。其中, 慢变子系统控制律τs用来实现系统期望运动轨迹的渐近跟踪;快变子系统控制律τf用来主动抑制柔性关节和柔性臂的双重弹性振动, 保证系统的稳定性。于是, 系统的总控制律可表示为τ=τs+τf。
2.1“刚性关节-刚性臂”慢变子系统
由于对称、正定惯性矩阵D (θ) 可逆, 于是由式 (9) 、式 (10) 可解得
定义奇异摄动因子ε2=1/min (kδ1, kδ2) , 变量zδ=δ/ε2、zσ=σ/ε2和矩阵。将它们代入式 (11) ~式 (13) , 可得到
为了获得“刚性关节-刚性臂”慢变子系统的动力学方程, 需要消除系统中的柔性变量。于是令ε=0, 则可将式 (14) ~式 (16) 重新写为
式中, C1σ和C2σ分别为消除矩阵C1和C2中有关柔性关节的变量 (即令) 后得到的新矩阵;上横线“-”表示消除有关柔性臂的变量后获得的新矩阵和新变量。
由式 (17) 可解得, 将其代入式 (19) 可得到
再将所求得的zσ和zδ代入式 (18) , 便可得到“刚性关节-刚性臂”慢变子系统的动力学方程:
定义qd=[qd1qd2]T为慢变子系统的期望输出向量, 则其与实际输出向量q之间的输出误差向量, ei=qi-qdi;对时间的一阶导数, 即速度误差向量。
考虑如下的非线性滑模面:
式中, α、β为正常数;p1、u1、p2、u2为正奇数, 且p1>u1, p2>u2。
由式 (22) 可看出, 该非线性滑模超曲面实际上为常规的线性滑模面和终端滑模面的组合和改进。以往研究表明:当系统状态远离平衡点时, 线性滑模的收敛速度优于终端滑模;而当系统状态在平衡点附近时, 终端滑模的收敛速度优于线性滑模。因此, 为了使系统从任意初始状态到达平衡点的过程中能够始终获得较高的收敛速度, 本文将线性滑模面和终端滑模面进行合理结合。同时注意到, 式 (22) 还对线性滑模面进行了改进:如果令p2>u2, 则此时e的指数大于1, 从而进一步加快了远离平衡点的系统状态的收敛速度。
将s对时间求导, 可得
为了消除滑模自身的抖振并提高趋近速度, 选取如下的双幂次趋近律:
式中, si为s的第i个元素。
于是结合式 (23) 和式 (24) 可得到慢变子系统如下的滑模控制律:
定理对式 (21) 所描述的慢变子系统, 滑模控制律式 (25) 可保证:当系统到达滑模面后, 对给定的任意初始状态e (0) , 系统都将保持稳定并在有限时间内到达平衡点。
证明在滑模面上, 令s=0, 则由式 (22) 可得到系统误差的收敛速度表达式:
选取如下形式的Lyapunov函数:
将V对时间求导, 并结合式 (26) 可得
由于α、β为正常数, p1、u1、p2、u2为正奇数, 故。于是由Lyapunov稳定性定理可知:系统渐近稳定。
假设系统误差的初始状态ei (0) >1, 则可将系统从初始状态收敛到达平衡点的过程分为两个阶段。
阶段1:从初始状态收敛到ei (t) =1的过程。此时e的收敛速度主要取决于式 (26) 中的改进线性滑模部分, 即
对式 (29) 两边取积分, 得完成该阶段所用的时间为
阶段2:从ei (t) =1收敛到平衡点的过程。此时e的收敛速度主要取决于式 (26) 中的终端滑模部分, 即
对式 (31) 两边取积分, 得到完成该阶段所用的时间为
注意到, 在求解t1和t2时都分别忽略了式 (26) 中的其中一项, 即采用了小于实际收敛速度的运动速度来计算到达时间, 因此, 系统从初始状态收敛到平衡点的总时间应该为
2.2 快变子系统
由于柔性关节和柔性臂都会引起系统的弹性振动, 而且振动级别不一定相同。因此, 我们考虑将快变子系统再次分解为两个子系统:描述柔性关节引起的系统弹性振动的“柔性关节-刚性臂”快变子系统和描述柔性臂引起的系统弹性振动的“刚性关节-柔性臂”快变子系统。对“柔性关节-刚性臂”快变子系统设计控制律τf1来抑制柔性关节引起的系统弹性振动;对“刚性关节-柔性臂”快变子系统设计控制律τf2来抑制柔性臂引起的系统弹性振动。于是, 快变子系统的总控制律可写为τf=τf1+τf2。
2.2.1“柔性关节-刚性臂”快变子系统
为了获得该子系统的动力学方程, 由上文的分析, 消除式 (14) ~式 (16) 中有关柔性臂的变量, 有
设计如下的基于转角速度差值的反馈控制律:
式中, K2为正定对角矩阵。
于是由式 (37) 可看出该控制律的控制原理如下:根据反馈回的电机转子和机械臂的转动角速度的差值来不断调节参数Kf, 从而保证系统的稳定性。
将式 (37) 代入式 (34) 可得到“柔性关节-刚性臂”快变子系统如下形式的动力学方程:
2.2.2“刚性关节-柔性臂”快变子系统
为了获得“刚性关节-柔性臂”快变子系统的动力学方程, 令系统动力学方程式 (14) ~式 (16) 中φ=q、, 消去系统中有关柔性关节的变量, 可得到
由式 (39) 可解得, 并将其代入式 (40) 、式 (41) , 整理后可得
引入快变时标tf=t/ε及边界层修正项。因为在快变系统中d于是结合式 (43) , 并令ε=0, 可得到“刚性关节-柔性臂”快变子系统如下形式的动力学方程:
由于式 (44) 为线性完全能控系统, 因此, 本文采用线性二次型最优控制器 (LQR) 来将系统状态ζ调节到零, 从而抑制柔性臂引起的系统弹性振动。若选取最优控制的性能泛函为 (Qf∈R4×4为对称正定常值矩阵, Rf∈R2×2为对称半正定常值矩阵) , 则可将LQR控制器设计为如下形式:
式中, P为Ricatti方程 (-PAf-AfTP+PBfRf-1BfTP-Qf=0) 的唯一解。
综上, 式 (21) 、式 (38) 和式 (44) 描述的即为漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统的奇异摄动模型。而式 (25) 、式 (37) 和式 (45) 分别为各子系统的控制律。
3 仿真算例
利用本文提出的慢变子系统的滑模控制律 (式 (25) ) 、快变子系统的速度差值反馈控制律 (式 (37) ) 及LQR控制器 (式 (45) ) 对图1所示的作平面运动的漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统进行数值仿真实验。系统的惯性参数为:l0=1.5m, l1=3m, l2=2.5m, d1=2m, m0=40kg, m1=2kg, J0=34.17kg·m2, J1=3kg·m2, Ja1=Ja2=0.53kg·m2, ρ=1kg/m, EI=300N·m2, Kφ=diag (200, 200) 。假设空间机器人的机械臂转角期望运动轨迹为qd1=0.5π (0.1t-0.5sin (0.2πt) /π) , qd2=0.5π (1-0.1t+0.5sin (0.2πt) /π) 。仿真初始值:q0 (0) =0, q (0) =0[.05 1.6]Trad, φ (0) =0[.05 1.6]Trad。仿真时间:t=10s。为了对比, 采用常规的线性滑模面与本文提出的非线性滑模面式 (22) 进行比较。仿真结果如图3~图8所示。其中, 图3为空间机器人的机械臂转角运动的轨迹跟踪对比图, 虚线表示采用基于线性滑模面的控制方法得到的空间机器人的机械臂转角qc的运动轨迹, 实线表示采用基于本文提出的非线性滑模面的控制方法得到的空间机器人的机械臂转角q的运动轨迹;点线表示空间机器人的机械臂期望转角qd的运动轨迹。图4所示为柔性关节引起的关节弹性变形偏差角。图5所示为关闭“柔性关节-刚性臂”快变系统控制律τf1后关节弹性变形偏差角。图6所示为柔性臂模态坐标变量δ的变化曲线。图7所示为柔性臂末端变形曲线。图8所示为关闭“刚性关节-柔性臂”快变子系统控制律τf2后柔性臂模态坐标变量δ的变化曲线。
从图3可看出, 本文所提出的混合控制方法能保证空间机器人的机械臂转角的运动精确且稳定地跟踪上期望运动轨迹, 保证了控制系统的精度和稳定性。而且与常规的基于线性滑模面的控制方法比较来看, 本文提出的基于非线性滑模面的控制方法的趋近速度得到了提高。从图4可看出, 柔性关节所引起的关节弹性变形偏差角σ虽然不为零, 但是被限制在一个非常小的范围内, 足以保证系统的控制精度。而从图5可看出, 当关闭τf1后关节弹性变形偏差迅速变大, 从而证明了τf1对抑制柔性关节引起的系统弹性振动的有效性。从图6和图7可看出, 柔性臂的振动得到了有效的抑制, 柔性臂末端的变形也很小。而从图8可看出, 当关闭τf2后柔性臂的二阶模态在3.5s的时候就变得很大, 进而仿真失效, 这说明此时柔性臂的振动无法得到抑制, 从而证明了τf2对抑制柔性臂的振动的有效性。
4 结束语
在考虑漂浮基空间机器人系统的机械臂和关节都存在柔性的情况下, 本文利用系统动量、动量矩守恒关系和拉格朗日-假设模态法建立了漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人的动力学模型, 并基于奇异摄动法提出了由控制系统运动的非线性滑模控制、抑制关节柔性振动的速度差值反馈控制和抑制臂柔性振动的LQR控制组成的混合控制律。仿真实验表明, 所提出的混合控制律能够补偿系统的关节转角弹性变形偏差, 保证空间机器人快速、精确、稳定地完成期望运动轨迹的渐近跟踪, 且能够有效地抑制柔性关节和柔性臂引起的系统弹性振动, 保证系统的稳定性, 体现了该混合控制律的良好控制品质。
柔性振动 篇6
电机不平衡磁拉力是影响系统动力学特性的重要因素之一, 会使旋转机械产生振动和噪声, 最终引起故障, 有可能对电机运行造成较大影响[1,2]。尤其是对于柔性转子, 严重情况下可能会造成转子定子接触。因此, 有必要深入研究不平衡磁拉力作用下转子系统的非线性振动, 这对于机组设计及状态维护都是十分必要的[3,4,5]。
国内外一些学者使用Jeffcott模型分析了电机柔性转子非线性动力学问题。Belmans等[6]利用Fourier级数展开法推导了电机不平衡磁拉力的解析表达式, 在此基础上建立了转子动力学模型。郭丹等[7,8]在Belmans的研究基础上, 采用隐式非线性New Mark积分方法研究了电机中由于相对偏心引起的不平衡磁拉力对转子系统振动的影响。Calleecharan等[9,10]将不平衡磁拉力表示为径向和轴向两部分, 将其代入Jeffcott模型并进行了基于特征值的稳定性分析。Wu等[11]基于郭丹的工作[7,8], 研究了系统的圆形涡动响应, 同时使用线性化稳定性判据进行了稳定性分析。上述文献使用线性化方法研究了非线性转子动力学系统的稳定性, 并通过仿真研究了不平衡磁拉力对于系统动力学特性的影响。然而, 现有工作均未求解非线性方程, 因此无法深入分析非线性因素带来的一些关键特性。
本文以单跨对称弹性转子模型模拟电机转子, 并使用多尺度法求解非线性转子动力学方程, 深入研究了转子偏心情况下电机中的主共振响应。给出了解的特性与系统参数的关系, 揭示了不平衡磁拉力对系统主共振响应的影响, 并通过数值计算对解析结果进行了验证。
1 非线性转子动力学建模
图1所示为单跨对称弹性转子模型, 其中OsXY是固定坐标系, Os (0, 0) 是定子中心, Or (X, Y) 是转子几何中心, Oa (X, Y) 是转子质量中心, ωr是转子自转角速度;转子几何偏心距OsOr=r, 转子质量偏心距OrOa=a′, 转子不偏心时的平均气隙长度为δ0;α是转子任意处的角度, γ是转子初始位置, 且满足cosγ=X/r, sinγ=Y/r。
根据电机原理, 空载时三相同步电机的气隙基波磁动势可以表达为 (取极对数p=4) [7]
式中, Fj为转子激磁电流的基波磁动势;ω为转子旋转电角频率, 且满足ω=pωr。
将气隙磁导展开为极数形式:
其中, e为转子相对偏心, e=r/δ0, μ0为空气磁导系数。
式 (1) 和式 (2) 相乘, 得到转子永磁体气隙磁通密度表达式:
在式 (3) 的基础上根据Maxwell应力积分公式有:
并考虑到X=rcosγ, Y=rsinγ, 即可得到径向不平衡磁拉力表达式:
式中, L为转子长度;Rm为转子外径。
由式 (5) 、式 (6) 可以看出, 不平衡磁拉力FX、FY分别由线性和非线性两部分组成, 其中线性部分的系数是F1, 非线性部分的系数是F2。随着转子长度L、转子外径Rm的增大, 以及平均气隙长度δ0的减小, 不平衡磁拉力FX、FY将增大。
转子模型采用2自由度的单跨对称Jeffcott转子模型, 系统的横向振动微分方程为
式中, m为转子质量;c为转子阻尼;k为转子弯曲刚度;a为转子加速度。
将式 (5) 代入式 (7) , 进一步写成如下形式:
由式 (8) 可以看出, 不平衡磁拉力的线性部分构成了振动方程中的一次刚度项, 非线性部分构成了三次刚度项。其中, 不平衡磁拉力的线性部分使系统固有频率由
2 主共振响应
本文使用非线性振动理论的多尺度法进行定量分析, 计算系统的一次近似主共振响应。在进行主共振分析之前, 需要对非线性动力学方程进行量纲一化。定义量纲一时间为
并以转子不偏心时的平均气隙长度δ0为长度标准, 引入下列量纲一量:
同时引入量纲一小量ε, 并设阻尼项、强迫激励项、线性刚度项以及非线性刚度项均为一阶小量, 则动力学方程式 (8) 可表示为
且满足如下条件:
式中, σ为激励频率调谐参数。
使用多尺度法求解方程, 研究解的一次近似时只需用2个时间尺度, 引入表示不同尺度的时间变量:T0=τ, T1=ετ。则非线性振动响应为不同尺度时间变量的函数:
将式 (14) 代入式 (11) , 在此基础上求解方程, 得到稳态运动的定常解振幅和相位应满足的代数方程:
式中, 为振幅。
式 (15) 中与主共振相关的参数有μ、f2和f, 其中μ是量纲一阻尼项系数, f2是量纲一三次刚度项系数, f是量纲一强迫激励项系数。由式 (12) 可知, f2与不平衡磁拉力非线性部分系数F2成正比。为了分析系统参数对于定常解的影响, 分别将μ、f2和f作为分析参数, 绘制一次近似主共振响应曲线。
图2所示是当其他参数一定时, 一次近似主共振响应幅频曲线随μ的变化规律。由图2中可以看出随着μ增大, 共振峰左偏量减小, 共振峰幅值减小。由于μ与线性阻尼项成正比例, 所以μ仅影响共振峰幅值的大小。
图3所示是当其他参数一定时, 一次近似主共振响应幅频曲线随f2的变化规律。由图3中可以看出随着f2增大, 主共振峰左偏量增大, 主共振峰幅值减小。
图4所示是当其他参数一定时, 一次近似主共振响应幅频曲线随f的变化规律。由图4中可以看出当f增大时, 共振峰幅值增大, 但是偏移量不变。
综上, 可以得出以下结论: (1) 无论μ、f2和f取何值, 共振响应曲线均存在明显的共振峰左偏现象, 这反映了系统的非线性是软特性; (2) 不平衡磁拉力的非线性部分使主共振峰左偏量增大, 从而使系统非线性增强。
上述结论与现有文献中通过仿真研究观察到的不平衡磁拉力对于系统动力学特性影响的现象一致。并且通过解析方法, 能够深刻分析不平衡磁拉力对系统产生影响的原因。
3 数值计算
为了验证上述解析分析表明的不平衡磁拉力对于系统主共振响应的影响, 调用MATLAB软件中的“ode23”函数对量纲一方程式 (11) 进行数值计算。
首先, 取参数值ε=0.1, μ=f=f2=1, 取初始条件 (x (0) , x· (0) , y (0) , y· (0) ) = (0, 0, 0, 0) 。给定不同的σ值, 数值积分后得到系统的时间历程和相图, 如图5~图7所示。
由图5~图7可以看出, 当σ=0时, 系统响应稳定在振幅为0.8的环形闭轨上;当σ=-0.5时, 系统响应稳定在振幅为1的环形闭轨上;当σ=-1时, 系统响应稳定在振幅为0.55的环形闭轨上。综上, 振幅最大值并不出现在固有频率σ=0处, 而是出现在固有频率左侧σ=-0.5处, 进一步验证了图2~图4中的共振峰左偏现象。
在参数值及初始条件不变的条件下改变σ值, 得到不同σ值所对应的振幅, 在此基础上绘制出量纲一幅频响应曲线。为了验证图2~图4所得出的结论, 分别将μ、f2和f作为分析参数, 研究幅频曲线随上述参数的变化规律。
图8给出当f=f2=1时, 幅频曲线随参数μ的变化规律, 这与图2中一次近似主共振响应幅频曲线随μ的变化规律一致。
图9给出当μ=f=1时, 幅频曲线随参数f2的变化规律, 这与图3中一次近似主共振响应幅频曲线随f2的变化规律一致。
图10给出当μ=f2=1时, 幅频曲线随参数f的变化规律, 这与图4中一次近似主共振响应幅频曲线随f的变化规律一致。
4 结论
针对电机柔性转子非线性动力学模型, 应用多尺度法求得系统的一次近似主共振响应, 通过定常解分析得到以下结论:
(1) 转子主共振响应中存在幅频曲线左偏这一软非线性现象;
(2) 不平衡磁拉力的线性部分使系统固有频率下降, 非线性部分使主共振峰左偏量增大;
(3) 随着转子长度、转子外径的增大, 以及平均气隙长度的减小, 不平衡磁拉力将增大;
(4) 数值计算验证了解析解的正确性。
研究结果为同步电机的优化设计和控制提供了理论依据。
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