柔性空间（精选6篇）
柔性空间 篇1
近日，北京中科泛华测控技术有限公司公开推出了酝酿已久的“柔性测试”技术的新理念。“柔性测试”技术由泛华测控率先提出，它是以多种测试相关应用技术为基础，为满足复杂、多样化的测试测量需求的变化而开发的系统化技术。它整合了虚拟仪器、测试测量、机电一体化、网络通信及软件等多种技术;既面向应用，又专注于测试系统的创建和发展。
“柔性测试”技术以测试系统的各种需求为关注目标，重点是要解决测试过程中的手段问题，更多的是着重于应用层技术，通过多种技术应用的经验积累，形成各种系统集成的应用经验模块，通过模块化的测试设备增加了测试系统的可移植性，进而实现测试系统可扩展满足更多测试应用需求。“柔性测试”技术的最大特点是适用性、灵活性和可扩展性，它将测试测量解决方案或系统的实现作为一个整体来考虑，根据测试要求和测量对象从应用出发来规划完整的测试平台，完成仅使用常规测试测量技术难以实现的测试系统，为各种测试测量需求提供完整的解决方案。“柔性测试”保证了原有测试系统通过构建时的特别设计，以实现系统在多个领域中的复用。
泛华测控总经理左毅表示，“柔性测试”技术是在测控泛华公司成功运作十年的技术经验积累基础上，结合了相关领域的最新技术发展，充分考虑到市场需求而提出的测试新理念。“柔性测试”技术将作为公司的技术支撑，促进公司发展的一致性方向，最终引领公司继续前行!
柔性空间 篇2
柔性空间结构时间-燃料多目标优化控制研究
针对柔性航天器的rest-to-rest机动问题,研究了基于最小时间-最少耗能的多目标优化开环控制问题.提出了空间柔性结构最小时间-最少耗能的`多目标优化控制模型;然后采用非支配排序进化求解算法(NSGA-II),对某柔性结构进行了多目标优化控制的分析设计;通过典型算例证明了本文算法的正确性和有效性,并可应用于柔性航天器姿态机动控制器的分析设计之中.
作 者：刘泽明 张青斌 丰志伟 杨涛 LIU Ze-ming ZHANG Qing-bin FENG Zhi-wei YANG Tao 作者单位：国防科技大学航天与材料工程学院,长沙,410073刊 名：宇航学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF ASTRONAUTICS年，卷(期)：201031(3)分类号：V412.4+2关键词：多目标优化 柔性航天器 姿态机动 Multiobjective optimization Flexible spacecraft Attitude maneuvers
柔性空间 篇3
未来空间技术的发展,对空间机械臂的要求越来越高,关于空间机械臂柔性行为(包含柔性臂等)控制的基础科学问题研究日益广泛[1,2,3,4,5,6]。未来空间机械臂柔性行为控制不仅要探索如何认识空间机械臂柔性行为的运动规律,而且还要研究如何对柔性行为施加外部影响以保证空间机械臂执行在轨操作任务按期望要求得以实现[7]。由于空间机械臂往往具有轻质、臂长、高精度、高负载等特点(导致臂杆柔性大),因此空间机械臂的柔性是不可忽略的。目前国内有关柔性空间机械臂的控制研究主要集中在单个柔性臂系统,且系统的柔性振动会影响系统的控制精度[8,9]。在太空失重环境下,柔性空间机械臂是一个非常复杂的动力学系统,载体与臂杆的动力学耦合作用及刚性关节运动和柔性振动的相互作用,使得空间机器人系统的控制设计难于地面机器人系统[10,11]。因此,建立相应的系统动力学模型和设计高精度的控制器以有效地抑制柔性臂振动,是目前空间机械臂研究和应用必须面对和解决的重点[12,13,14]。
文献[15]提出了一种混合的系统,该系统结合了分数阶控制的鲁棒性和滑模控制的优势,但该控制方法未考虑外部扰动的影响。文献[16]提出了一种稳定的自适应模糊滑模控制器,用于非线性多变量系统的不可测状态,滑模变结构控制器对空间机械臂的外部扰动与未建模误差具有强鲁棒性,从而可以克服系统的不确定性。文献[17]提出了一种自适应算法,该算法具有简单性和通用性,并考虑了机械臂的参数未知等问题。但上述文献均未考虑柔性臂对空间机械臂控制的影响。文献[18]将虚拟刚性机械臂和假设运动反解相结合,设计了柔性空间机械臂模型的扩展PD控制,但该控制方法未能实现实时的振动抑制。
为了实现漂浮基柔性空间机械臂运动轨迹的渐近跟踪并抑制由柔性臂引起的系统柔性振动,利用积分流的思想建立奇异摄动模型,将系统动力学模型分解为慢变子系统和快变子系统。首先,针对慢变子系统,设计了自适应模糊H∞控制算法,通过设计模糊逻辑系统,用来逼近系统的不确定性,对不确定性进行补偿,对其参数进行自适应调节,整个闭环系统是Lyapunov意义下渐近稳定的。然后,设计鲁棒补偿项,借助H∞性能指标将逼近误差和外部干扰衰减到期望的程度。最后,针对快变子系统,采用线性二次最优控制方法主动抑制,保证系统的稳定性。
1 漂浮基柔性臂空间机械臂的动力学模型
考虑做平面运动的自由漂浮基柔性臂空间机械臂的几何模型如图1所示。其中,B0为系统的刚性载体基座,B1为系统的刚性连杆,B2为系统的柔性连杆(可视为Euler-Bernoulli悬臂梁且仅产生横向振动),Bi-1和Bi(i=1,2)间均使用刚性旋转铰进行连接。
建立平动的惯性坐标系Oxy,各分体Bi(i=0,1,2)的主轴连体坐标系Oixiyi,O1、O2分别为相应两个转动铰的中心;x0通过O0与O1的连线,x1和x2分别是B1和B2的对称轴,ei为沿xi(i=0,1,2)轴方向的基矢量;C为系统总质心。mi、ji分别为Bi(i=0,1)的质量与中心转动惯量,B2单位长度的均匀质量密度为ρ,均匀弯曲刚度为EI;并定义q0为航天器载体姿态角,q1和q2为关节O1、O2的相对转角。
由弹性理论可知,基于假设模态变形描述法[19],横向弹性变形v(x2,t)可描述为
其中,φi(x2)和δi(t)分别为柔性杆的第i阶模态函数及其坐标,n为截断阶数。考虑到低阶模态对杆件的弹性振动起主导效应,本文取前两个低阶模态进行研究,即
利用拉格朗日法和动量守恒关系,可导出载体位置不受控和姿态受控的柔性空间机械臂动力学方程如下:
其中,M(q,δ)为正定、对称惯性矩阵,M(q,δ)∈R5×5;为从包含离心·力、科氏力列向量中分离出来的矩阵,;q、δ分别为系统广义坐标列向量的刚性变量和柔性变量,q=(q0,q1,q2)T、δ=(δ1,δ2)T;Kδ为系统的抗弯刚度矩阵,Kδ=diag(kδ1,kδ2);u为系统的控制力矩列向量,u=(u0,u1,u2)T;抗弯刚度矩阵中的对应元素可表示为
2 控制器设计
2.1 系统动力学奇异摄动分解
根据式(3),姿态受控柔性空间机械臂的动力学模型可展开为
其中,Mrr∈R3×3,Mrf∈R3×2,Mfr∈R2×3,Mff∈R2×2,均为M∈R5×5的子矩阵;Hrr∈R3×3,Hrf∈R3×2,Hfr∈R2×3,Hff∈R2×2,均为H∈R5×5的子矩阵。
若约定
假设柔性臂刚度矩阵Kδ中的最小刚度为kδmin,并定义μ=1/kδmin,引入新的变量σ=δ/μ、Kμ=μKδ,式(4)可变换为
令μ=0并将其代入式(6),得慢变子系统:
其中,带“—”的变量表示当μ=0时相应的矩阵或者向量,us表示慢变子系统的控制器,仍满足斜对称性。
定义快变时标tf及边界层修正项,可得到快变子系统的动力学方程:
式中,uf为快变子系统的控制器。
通过奇异摄动法将慢变控制律us与快变子系统控制律uf结合,由于这两个子系统在时标上具有独立性,因此可分别对每个子系统进行相应控制器的设计,并最终组成系统的总控制器u,可同时使关节运动稳定追踪期望轨迹及柔性杆振动得到抑制,即设计的总控制器u可由两部分组成u=us+uf。
2.2 快变子系统的控制器设计
忽略不确定部分,则快变子系统为线性系统,且完全可控。为抑制弹性振动,本节拟采用最优控制策略来对快变子系统(式(8))进行控制。为此,定义系统性能指标函数为
其中,Rf∈R3×3和Qf∈R4×4分别为正定、半正定常值矩阵。
设Pf为如下Ricatti方程的唯一解:
则快变最优控制律可定义为
2.3 慢变子系统的控制器设计
假设式(3)有相对度向量,并且零动态具有指数吸引性质。
设是系统状态向量,对于给定的期望轨迹,其中,qd=(qd0,qd1,qd2)T,定义跟踪误差为e=xd-x。将慢变子系统(式7)改写成如下状态空间的形式,且考虑外部干扰,则有
设系统的位置和速度是完全可测的,设计一个鲁棒自适应模糊控制器和可调参数的自适应律,使得整个闭环系统趋于稳定,式(12)可表示为
控制目标是利用模糊逻辑系统设计自适应控制律,满足:①系统中所涉及的变量有界;②跟踪误差e取得H∞跟踪性能,即
其中,X∈[0,∞),w∈L2[0,X]是模糊逼近误差,L2为H∞跟踪性能下的一个指标;Q和P为两个正定矩阵;为参数的误差向量,;η、ρ为两个给定的参数,η>0,ρ>0。
慢变子系统的控制器为
其中,选取合适的uσ可使系统趋于稳定。为模糊逻辑系统,用它逼近不确定项,慢变子系统应用模糊逻辑系统构造自适应模糊控制器。uλ为H∞鲁棒项,用于克服误差和干扰,λ是一个设计参数,λ>0,且有
另外
其中,Kσ1、Kσ2的选取满足Hurwitz多项式。
设模糊逻辑系统为
式中,θ为可调参数;ξi(xi)为模糊基函数。
确定抑制水平β>0,且满足条件2β2≥λ,P是满足下面黎卡提方程解的一个正定矩阵:
其中,ai(i=1,2,…,6)的选取使得矩阵A的特征根都在左半开平面内。
2.4 模糊自适应算法
定义参数向量θ的最优参数为θ*,则
式中,Ω为适当的包含θ的有界集;Uc为紧集,Uc∈Rn。
为了便于分析,将控制量代入式(13)中,得到误差方程形式如下:
其中,是参数估计误差,,参数向量θ的自适应律为
为了保证实施控制过程中参数向量θ在指定的范围内,利用投影算子对参数θ向量的自适应律进行修正,定义如下的有界闭集Ω={θ‖θ‖2≤L},Ωε={θ‖θ‖2≤L+ε},根据实际问题,确定出设计参数L>0和ε>0。
取参数向量θ的调节律为
式中,Pr(·)为投影算子。
考虑式(3)的控制对象,取控制律us为式(14),则设计的控制方案保证如下的性能:
(1)q∈Ω,x、e、us∈L∞,L∞为H∞跟踪性能下的一个指标。
(2)对于给定的抑制水平β,跟踪误差达到H∞跟踪性能指标。
证明取Lyapunov函数为
求V对时间的导数得
由于,根据式(20)得
由式(15)可得
根据黎卡提方程(式(19))及参数向量θ的自适应律(式(21)),可得
对式(23)从0~X积分得
由于V(X)≥0,所以由式(24)得
即跟踪误差取得H∞控制性能指标。
3 仿真算例与分析
为验证上述控制算法的有效性,对图1所示的柔性空间机械臂进行动力学数值模拟仿真。利用快变子控制器uf和关节运动慢变子控制器us对系统进行仿真分析。选取系统惯性参数的真实值为m0=200kg,m1=2kg,m2=1kg,l0=1.5m,l1=l2=3 m,j0=70kg·m2,j1=1.5kg·m2。仿真过程中柔性杆B2单位长度的均匀质量密度取ρ=1.0kg/m,均匀弯曲刚度取EI=20 N·m2。同时,控制器相关参数选取为η=0.1,λ=0.005,β=0.05,Qf=10diag(1,1,1,1),Rδ=100diag(1,1,1)。
假定两柔性杆空间机械臂系统各连杆关节在关节空间的期望运动轨迹分别为
且系统初始运动位置为
确定外部干扰为
系统的柔性杆B2被视为Euler-Bernoulli悬臂梁,其模态函数φi(x2)取为
模糊规则定义为:如果q0是F1j、q1是F2j、q2是F3j,则yi是Bj(i=1,2,3)。选择如下形式的隶属度函数:
利用本文所设计的自适应模糊鲁棒H∞控制算法对漂浮基柔性空间机械臂进行计算机模拟仿真运算。仿真结果如图2~图5所示。图2是当Kσ1=diag(6,6,6)和Kσ2=diag(9.5,9.5,9.5)(条件1)时,空间机械臂载体姿态、关节角度跟踪误差图;图3是当Kσ1=diag(12,12,12)和Kσ2=diag(36,36,36)(条件2)时,空间机械臂载体姿态、关节角度跟踪误差图;图4为在开启(实线)和关闭(虚线)快变子系统情况下,柔性臂的一阶模态坐标对比图;图5为在开启(实线)和关闭(虚线)快变子系统情况下,柔性臂的二阶模态坐标对比图;仿真过程全部耗时t=30s。
从图2可以看出,条件1下,空间机械臂载体姿态、机械臂关节角度跟踪误差在t=25s时基本收敛到零;从图3可以看出,条件2下,空间机械臂载体姿态、机械臂关节角度跟踪误差在t=15s时基本收敛到零。在收敛过程中控制器的控制增益系数对系统跟踪误差收敛速度有决定性影响;即可以通过调节控制增益系数Kσ1和Kσ2的大小来调整系统跟踪误差收敛速度的快慢。如通过增大Kσ1和Kσ2值,可以使得所设计控制算法的收敛速度加快、收敛时间缩短;反之亦然。虽然增大控制增益系数可以加快系统跟踪误差的收敛速度,然而也加大了关节电机的输出功率或力矩,有时会造成电机输出功率饱和反而影响控制效果;因此实际应用中会根据需要适当选择控制增益系数Kσ1和Kσ2的大小。
仿真结果表明,本文所设计的控制算法能够稳定地跟踪期望运动轨迹,系统的柔性振动得到了有效的抑制。通过开启与关闭快变子系统抑振控制的对比图可以看出,开启快变子系统抑振控制使得跟踪误差及柔性振动较快收敛到零。
4 结语
柔性空间 篇4
采用空间机器人协助人类完成太空探索任务已成为太空发展的趋势,先进的空间机械臂的应用能够提高大型空间站建设、使用、维护等各个环节的效率和安全性,可以代替航天员进行太空监测、空间装配、太阳能电池帆板维护、故障卫星的修理、辅助交互对接等太空任务,大大减少宇航员出舱活动面临的风险。
考虑到发射成本及工作环境,空间机械臂通常由轻质、细长的杆件组成。在工作时需要将大质量的物体进行较大范围的转移,因此空间机械臂是一种柔性机械臂。由于柔性的影响,在大载荷与大范围运动过程中会产生振动,对空间机械臂的控制精度与控制难度以及整个系统的稳定性都带来了巨大的挑战。
因此,必须对柔性空间机械臂进行动力学仿真,分析柔性体对空间机械臂动态性能的影响。
本文以二自由度柔性空间机械臂为研究对象,利用ANSYS和ADAMS进行联合动力学仿真,分析柔性对机械臂动态特性的影响,最后在MATLAB中建立控制环节对机械末端轨迹进行调控,实现机械臂精确点位控制。
1 柔性机械臂虚拟样机的建立
柔性机械臂建模的流程为,先利用ANSYS创建柔性体的模态中性文件,导入到ADAMS中,替换原来相应的刚性结构部分,便可建立刚柔耦合动力学仿真模型。
1.1 柔性机械臂虚拟样机的理论基础
柔性体动力学仿真问题的主要特点是,系统中的柔性体部件,在运动过程中经历着大的刚性整体移动和转动,同时又有变形运动,而且这2种运动又是高度耦合的。在建立系统动力学控制方程式,可以采用不同的原理和方法,如牛顿-欧拉法,拉格朗日方法,Kane方法等[1]。
拉格朗日方程是柔性连杆机械臂建立动力学模型的理论基础,柔性空间机械臂的拉格朗日动力学一般方程表示如下[2]:
式中,T表示柔性空间机械臂的系统动能,U表示柔性空间机械臂的系统势能,Q表示柔性空间机械臂的广义力,q表示柔性空间机械臂的广义速度向量,柔性双杆机械臂简化模型如图1。
柔性空间机械臂的柔性主要表现为关节的柔性和臂杆的柔性,关节柔性是指机械臂传动机构和关节轴的扭转变形;臂杆柔性则指机械臂连杆的弹性变形、剪切变形等,由于机械臂臂杆长度较长且截面积相对较小,运行过程中产生的轴向变形和剪切变形相对于挠曲变形而言非常小,因而在动力学建模过程中可忽而略,将柔性杆简化为Euler-Bernoulli梁处理[3]。本文所研究的柔性空间机械臂,只考虑臂杆柔性而将关节看成是刚性关节,整个机械臂可看作刚柔耦合仿真模型。
1.2 刚性机械臂的建立
空间机械臂由2条长臂和2个旋转副组成,机械臂尺寸L1=L2=0.8 m,截面尺寸为0.04 m×0.02 m,在ADAMS中创建机械臂刚体模型如图2所示。
1.3 模态中性文件的生成
在ADAMS中,有3种建立柔性体的方法:1)通过一个构件离散成多段刚性构件,进而建立所需要的柔性体,用柔性体来进行连接;2)用ADAMS/Auto Flex模块,可以直接生成柔性体的模态中性文件,替换原来的刚性件;3)利用有限元软件将构件离散成一些细小的网格,通过模态计算,将文件转换为建立柔性体的模态中性文件,再导入到ADAMS中。为了分析机械臂的模态及振动特性,本文选择第3种方法,即利用ANSYS创建柔性体[4,5]。
在ANSYS中创建机械臂三维模型,选择solid45单元划分网格;定义材料属性,柔性机械臂的材料为碳纤维,密度ρ=1.8×103kg/m3,弹性模量E=250 GPa,泊松比u=0.3;定义机械臂旋转副轴心为外部接触点,建立刚性区域。
完成以上步骤后,导出模态中性文件,则模态中性文件MNF中包含了柔性体的质量、质心、转动惯量、频率、振型以及对载荷的参与因子等信息[6]。
1.4 模态中性文件的导入
将ANSYS生成的模态中性文件导入到ADAMS中,替换掉原来的刚性体,得到机械臂柔性体模型,在图形区用鼠标双击柔性体,可以查看柔性体的各阶模态,机械臂的柔性体及其第6阶模态振型如图3所示。
2 机械臂动力学仿真
在ADAMS中创建好柔性体模型后,设置仿真参数,便可进行柔性机械臂的动力学仿真,得到机械臂的动力学特性。
2.1 仿真参数的设置
由于机械臂在太空处于失重状态,将ADAMS重力加速度设置为0,在机械臂1和2之间添加旋转副,机械臂各关节的运动是通过各杆件上连接块中的电机驱动来实现的,在3个关节处分别添加驱动,驱动函数为θ1=60d×t,θ2=30×t。
2.2 刚、柔模型对比仿真
参数设置好后,进行动力学仿真,得到柔性机械臂在某一时刻的状态如图4。
以机械臂末端执行器中心为观测点,得到刚性体和柔性体末端位置曲线如图5。
同时还可得到柔性机械臂末端执行器速度曲线如图6。
2.3 仿真结果分析
由图5、图6可以看出,机械臂末端由于柔性影响,末端执行器位置产生误差,通过机器人末端执行器在x、y方向上的速度曲线可以看出机械臂产生了振动,柔性机械臂的轻质、柔性化大幅度地提高了工作效率和机动性,降低了能耗,响应快速,但带来了振动问题。
3 MATLAB控制系统的建立
设计和制造柔性机械臂的主要目标之一,就是为了获得较高的运动速度和高精度的控制性能,空间机械臂对控制精度与稳定性的要求非常高,轨迹跟踪控制是机器人控制的基本任务之一。
针对柔性机械臂容易发生弹性振动影响系统稳定性和机械臂末端定位精度的问题,设计有效控制策略实现柔性机械臂的轨迹规划和末端精确定位[7],以提高机械臂的工作稳定性和系统可靠性。
3.1 控制系统原理
柔性机械臂的位置控制是使其末端达到既定位置或者跟踪既定轨迹,为实现这一目标,有2条途径:一是末端控制,以末端位置为输出进行输出跟踪和调节;其二是关节控制,通过运动学关系控制关节角来控制末端位置[8]。
目前应用较为广泛的控制算法主要有PID控制,反馈控制、自适应控制、鲁棒控制、智能控制等,每种控制算法都有各自的优缺点,PID控制是最简单的控制算法,适用性好,鲁棒性强,使用也非常方便[9]。控制系统原理图如图7。
3.2 机械臂末端预定轨迹
为了实现机械臂末端轨迹的反馈控制,必须求出机械臂末端轨迹的理论期望运动规律。刚性机械臂简化模型如图8。
设机械臂末端位置坐标为P(x,y),则有:
式中:θ1、θ2为关节驱动函数,x、y为机械臂末端位置理论期望轨迹坐标分量函数。
3.3 MATLAB控制方案的建立
ADAMS软件通过ADAMS/controls模块与MATLAB/simulink进行联合仿真,仿真之前需在ADAMS中创建好状态变量[10],在关节1、2处添加单分量力矩T1,T2作为输入状态变量,将机械臂执行器末端观测到的位置坐标x_position、y_position以及执行器末端实际期望坐标x_spline、y_spline作为输出状态变量,导出控制参数,生成adams_matlab文件,在matlab中打开adams_matlab如图9。
在MATLAB/simulink中添加PID环节,建立控制方案如图10。其中,x_spline,x_spline的值分别为:
建立好控制方案后,设置MATLAB与ADAMS之间的数据交换参数,进行联合仿真,不断调整PID控制的增益系数,使机械臂末端轨迹曲线与理论期望轨迹曲线重合[11]。PID的大小可调整系统的响应速度和稳定性。
通过仿真可知,建立PID反馈控制可调整机械臂末端位置精度,实现点位跟踪,此外,通过改变比例积分微分环节的增益系数大小,可调节系统的稳定性和相应速度[12],还可以在simulink控制方案中设定机械臂末端轨迹坐标x_spline和y_spline的值,让机械臂末端执行器按指定的轨迹运动,实现柔性空间机械臂末端轨迹的精确控制。
4 结语
本文以二自由度柔性空间机械臂为例,介绍了AN-SYS建立柔性体的过程,并对虚拟样机进行联合仿真,得到了柔性机械臂的运动特性和动力学特性,通过刚柔模型对比分析,验证了柔性体对机械臂运动精度的影响,最后在MATLAB/simulink中建立控制方案,采用ADAMS与MATLAB联合仿真的方法,对机械臂末端执行器位置进行调控,验证了反馈控制方案的可行性,对分析三自由度或多自由度柔性机械臂的动力学特性具有一定的参考价值和指导作用。
摘要：介绍了柔性机械臂的基本理论及建模方法,利用有限元软件ANSYS创建机械臂的模态中性文件,并导入到多体系统动力学仿真软件ADAMS中,替换掉机械臂的相应刚性结构部分,进行运动学和动力学仿真,对比分析柔性体对机械臂末端执行器运动精度及动力学特性的影响,再进行ADAMS和MATLAB的联合仿真,在simulink中建立反馈控制方案,实现机械臂末端执行器运动轨迹的精确调控,为空间机械臂的优化设计提供参考和依据。
关键词：机械臂,柔性体,动力学仿真,反馈控制
参考文献
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柔性空间 篇5
目前, 有关空间机器人系统的动力学分析及智能控制的研究已得到各国科学研究人员的广泛关注, 并已取得了一定的成果。但值得注意的是, 大多数研究都建立在空间机器人系统结构中各分体均为纯刚性体的基本假设上, 并将空间机器人视为一个多刚体系统[1,2,3]。然而, 在实际的空间应用中, 空间机器人的机械臂与装配在关节处驱动该机械臂运动的电机转子之间的连接不可能为绝对刚性。同时, 在空间机器人轻型化的要求下, 带有柔性的机械臂已经得到了越来越广泛的运用。因此, 空间机器人系统实际上为刚-柔性耦合系统, 而具有柔性关节和柔性臂的空间机器人模型为最接近实际的空间机器人模型。值得注意的是, 空间机器人结构中柔性因素的存在是一把“双刃剑”。一方面, 柔性臂能够减轻空间机器人的质量, 降低能量消耗, 使机械臂获得较大的操作空间和较高的工作效率;柔性关节能够吸收空间机器人在运动过程中发生意外碰撞时受到的冲击力, 降低空间机器人的损伤。另一方面, 柔性关节和柔性臂在运动过程中所引起的弹性变形和弹性振动会对系统的控制精度和稳定性造成不利的影响。而随着空间机器人技术朝着轻质、高速、高精度的方向发展, 空间机器人的大位移刚性运动与柔性关节和柔性臂的小位移弹性变形之间的耦合作用已不容忽视, 目前, 有关刚-柔性耦合的空间机器人系统的动力学分析和智能控制方法研究已成为了科学研究的重点, 但是大多数的研究对象为刚性关节-柔性臂空间机器人系统[4,5], 或柔性关节-刚性臂空间机器人系统[6,7]。虽然有少数研究同时考虑了柔性关节和柔性臂对系统的影响, 但是其研究对象主要为地面机器人[8,9,10], 而对柔性关节-柔性臂空间机器人系统的研究仍然比较少见。尤其对于载体自由漂浮的漂浮基空间机器人系统, 该系统呈现出的非线性和强耦合性使得空间机器人的动力学建模过程比固定基的地面机器人更加复杂[11], 进而又使得惯常用于地面机器人的一些控制方法无法直接应用和推广到空间机器人的控制中。因此, 有关漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人的研究难度较大, 同时也更具有挑战性。
基于以上讨论, 本文同时考虑了柔性关节和柔性臂对漂浮基空间机器人系统的影响, 首先利用动量、动量矩守恒关系和拉格朗日-假设模态法建立系统的动力学方程。接着基于奇异摄动法, 将系统分解为“刚性关节-刚性臂”慢变子系统、“柔性关节-刚性臂”快变子系统和“刚性关节-柔性臂”快变子系统, 并分别针对这三个子系统设计相应的控制律来实现系统期望运动轨迹的渐近跟踪和关节、臂弹性振动的抑制。最后通过仿真实验证明所提出的混合控制律的有效性。
1 漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统动力学建模
为不失一般性, 考虑如图1所示的双柔性关节、单柔性臂的漂浮基空间机器人系统。该系统由载体B0、刚性臂B1和柔性臂B2组成。Oi (i=1, 2) 为各分体与电机转子连接的关节转动铰。建立惯性坐标系 (OXY) 及各分体Bj (j=0, 1, 2) 的主轴坐标系 (Ojxjyj) 。假设各分体在 (OXY) 平面内作平面运动。
1.1 柔性关节的简化模型
根据Spong所提出的“转子-扭簧系统”简化模型[12]:在小变形的情况下, 柔性关节可简化为一个用来连接电机转子和机械臂的刚度系数为ki的无惯量线性扭转弹簧, 结构如图2所示。此时, 当关节Oi处的电机转子转过角度φi时, 与其相连接的机械臂Bi由于受到扭转弹簧弹性力的作用, 其实际的转动角度为qi=φi-σi, 其中σi为扭转弹簧引起的关节弹性变形偏差角。而关节Oi处电机转子与机械臂之间相互作用的弹性力大小可表示为ki (φi-qi) =kiσi。
1.2 柔性臂的简化模型
假设柔性臂B2为细长杆, 忽略其在运动过程中的剪切变形和转动惯量的影响, 于是可将B2视为Euler-Bemoli梁, 并利用假想模态法[13], 将B2的横向弹性变形v (x2, t) 表示为
式中, n为保留模态数;фi (x2) 为第i阶模态函数;δi (t) 为与фi (x2) 相对应的模态坐标。
本文对前二阶模态进行分析, 于是有:n=2, v (x2, t) =ф1 (x2) δ1 (t) +ф2 (x2) δ2 (t) 。
1.3 系统动力学模型
如图1所示, 令载体B0的质心Oc0与O0重合, 其相对于O的矢径为r0, 刚性臂B1的质心Oc1相对于O的矢径为r1, 柔性臂B2上任意一点相对于O的矢径为r2, 系统总质心C相对于O的矢径为rc。Oc0与O1之间的距离为l0, Oc1与O1之间的距离为d1, Bi的长度为li。B0的质量为m0, B1的质量为m1, B2的线密度为ρ, 电机的质量可忽略不计[12], 于是系统的总质量M=m0+m1+ρl2。B2的抗弯刚度为EI。根据系统几何位置关系和总质心定理, 各分体矢径rj及其一阶导数可分别表示为
式中, ei (i=0, 1, 2) 为系统各分体主轴坐标系xi轴的轴向基矢量;e3为柔性臂B2的主轴坐标系y2轴的轴向基矢量;Rj0、Rj1、Rj2、Rj3、Rj4为系统惯性参数的组合函数。
为不失一般性, 设定漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统不受外力作用, 系统相对惯性坐标系 (OXY) 满足动量、动量矩守恒关系。假设系统的初始动量、动量矩为零, 于是系统的动量、动量矩守恒关系可表示为
式中, w0、w1分别为B0、B1的转动角速度矢量;wφi为电机转子的自转角速度矢量;J0为B0的转动惯量;J1为B1的转动惯量;Jφi为关节Oi处电机转子的自转惯量。
柔性关节的存在使得在对漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统进行动力学分析时不能再将电机转子与机械臂简化为一整体进行分析, 而需要分别对电机转子的动力学和由载体、刚柔机械臂组成的空间机器人的动力学进行分析。于是, 系统的总动能T为电机转子的动能Tφ和空间机器人的动能Tq之和, 即
忽略宇宙中微弱的重力作用, 系统的总势能U为柔性关节简化扭转弹簧的弹性变形势能Uφ和柔性臂的弯曲应变势能Uq之和, 即
基于以上的讨论, 并结合拉格朗日方程, 可获得载体位置、姿态均不受控的漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统完全驱动形式的动力学方程:
其中, φ为由电机转子的转角φ1、φ2组成的向量, φ=[φ1φ2]T∈R2;q为由机械臂的转角q1、q2组成的向量, q=[q1q2]T∈R2;δ为由柔性臂的模态坐标δ1、δ2组成的向量, δ=δ1[δ2]T∈R2;θ=q[0qδ]T∈R5, q0为载体姿态角;δ为柔性关节引起的关节弹性变形偏差角组成的向量, σ=φ-q∈R2;Jφ为电机的对角正定惯量矩阵, Jφ=diag (Jφ1, Jφ2) ∈R2×2;D (θ) 为空间机器人的对称正定惯量矩阵, D (θ) ∈R4×4·;为包含科氏力和离心力的列向量, ;Kφ为柔性关节刚度系数矩阵, Kφ=diag (k1, k2) ∈R2×2;Kδ为柔性臂刚度系数矩阵, Kδ=diag (kδ1, kδ2) ∈R2×2;τ为由关节O1、O2处电机的输出力矩τ1、τ2组成的向量, τ=[τ1τ2]T∈R2。
式 (8) 可分解为电机转子和空间机器人两部分, 即
其中, D11∈R2×2、D12=DT21∈R2×2和D22∈R2×2均为D (θ) ∈R4×4的子矩阵;C1∈R2×1和C2∈R2×1均为C (θ, θ·, qa·) ∈R4的子矩阵。显然, 式 (9) 为电机转子的动力学方程, 式 (10) 为空间机器人的动力学方程。
2 系统动力学奇异摄动分解及控制律设计
柔性关节和柔性臂在运动过程中所引起的弹性变形会影响系统的控制精度, 所引起的弹性振动会影响系统的稳定性。为了克服这些问题, 本文基于奇异摄动法, 将漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统分解为表示系统刚性运动部分的慢变子系统和表示系统柔性运动部分的快变子系统, 并分别为子系统设计控制律。其中, 慢变子系统控制律τs用来实现系统期望运动轨迹的渐近跟踪;快变子系统控制律τf用来主动抑制柔性关节和柔性臂的双重弹性振动, 保证系统的稳定性。于是, 系统的总控制律可表示为τ=τs+τf。
2.1“刚性关节-刚性臂”慢变子系统
由于对称、正定惯性矩阵D (θ) 可逆, 于是由式 (9) 、式 (10) 可解得
定义奇异摄动因子ε2=1/min (kδ1, kδ2) , 变量zδ=δ/ε2、zσ=σ/ε2和矩阵。将它们代入式 (11) ~式 (13) , 可得到
为了获得“刚性关节-刚性臂”慢变子系统的动力学方程, 需要消除系统中的柔性变量。于是令ε=0, 则可将式 (14) ~式 (16) 重新写为
式中, C1σ和C2σ分别为消除矩阵C1和C2中有关柔性关节的变量 (即令) 后得到的新矩阵;上横线“-”表示消除有关柔性臂的变量后获得的新矩阵和新变量。
由式 (17) 可解得, 将其代入式 (19) 可得到
再将所求得的zσ和zδ代入式 (18) , 便可得到“刚性关节-刚性臂”慢变子系统的动力学方程:
定义qd=[qd1qd2]T为慢变子系统的期望输出向量, 则其与实际输出向量q之间的输出误差向量, ei=qi-qdi;对时间的一阶导数, 即速度误差向量。
考虑如下的非线性滑模面:
式中, α、β为正常数;p1、u1、p2、u2为正奇数, 且p1>u1, p2>u2。
由式 (22) 可看出, 该非线性滑模超曲面实际上为常规的线性滑模面和终端滑模面的组合和改进。以往研究表明:当系统状态远离平衡点时, 线性滑模的收敛速度优于终端滑模;而当系统状态在平衡点附近时, 终端滑模的收敛速度优于线性滑模。因此, 为了使系统从任意初始状态到达平衡点的过程中能够始终获得较高的收敛速度, 本文将线性滑模面和终端滑模面进行合理结合。同时注意到, 式 (22) 还对线性滑模面进行了改进:如果令p2>u2, 则此时e的指数大于1, 从而进一步加快了远离平衡点的系统状态的收敛速度。
将s对时间求导, 可得
为了消除滑模自身的抖振并提高趋近速度, 选取如下的双幂次趋近律:
式中, si为s的第i个元素。
于是结合式 (23) 和式 (24) 可得到慢变子系统如下的滑模控制律:
定理对式 (21) 所描述的慢变子系统, 滑模控制律式 (25) 可保证:当系统到达滑模面后, 对给定的任意初始状态e (0) , 系统都将保持稳定并在有限时间内到达平衡点。
证明在滑模面上, 令s=0, 则由式 (22) 可得到系统误差的收敛速度表达式:
选取如下形式的Lyapunov函数:
将V对时间求导, 并结合式 (26) 可得
由于α、β为正常数, p1、u1、p2、u2为正奇数, 故。于是由Lyapunov稳定性定理可知:系统渐近稳定。
假设系统误差的初始状态ei (0) >1, 则可将系统从初始状态收敛到达平衡点的过程分为两个阶段。
阶段1:从初始状态收敛到ei (t) =1的过程。此时e的收敛速度主要取决于式 (26) 中的改进线性滑模部分, 即
对式 (29) 两边取积分, 得完成该阶段所用的时间为
阶段2:从ei (t) =1收敛到平衡点的过程。此时e的收敛速度主要取决于式 (26) 中的终端滑模部分, 即
对式 (31) 两边取积分, 得到完成该阶段所用的时间为
注意到, 在求解t1和t2时都分别忽略了式 (26) 中的其中一项, 即采用了小于实际收敛速度的运动速度来计算到达时间, 因此, 系统从初始状态收敛到平衡点的总时间应该为
2.2 快变子系统
由于柔性关节和柔性臂都会引起系统的弹性振动, 而且振动级别不一定相同。因此, 我们考虑将快变子系统再次分解为两个子系统:描述柔性关节引起的系统弹性振动的“柔性关节-刚性臂”快变子系统和描述柔性臂引起的系统弹性振动的“刚性关节-柔性臂”快变子系统。对“柔性关节-刚性臂”快变子系统设计控制律τf1来抑制柔性关节引起的系统弹性振动;对“刚性关节-柔性臂”快变子系统设计控制律τf2来抑制柔性臂引起的系统弹性振动。于是, 快变子系统的总控制律可写为τf=τf1+τf2。
2.2.1“柔性关节-刚性臂”快变子系统
为了获得该子系统的动力学方程, 由上文的分析, 消除式 (14) ~式 (16) 中有关柔性臂的变量, 有
设计如下的基于转角速度差值的反馈控制律:
式中, K2为正定对角矩阵。
于是由式 (37) 可看出该控制律的控制原理如下:根据反馈回的电机转子和机械臂的转动角速度的差值来不断调节参数Kf, 从而保证系统的稳定性。
将式 (37) 代入式 (34) 可得到“柔性关节-刚性臂”快变子系统如下形式的动力学方程:
2.2.2“刚性关节-柔性臂”快变子系统
为了获得“刚性关节-柔性臂”快变子系统的动力学方程, 令系统动力学方程式 (14) ~式 (16) 中φ=q、, 消去系统中有关柔性关节的变量, 可得到
由式 (39) 可解得, 并将其代入式 (40) 、式 (41) , 整理后可得
引入快变时标tf=t/ε及边界层修正项。因为在快变系统中d于是结合式 (43) , 并令ε=0, 可得到“刚性关节-柔性臂”快变子系统如下形式的动力学方程:
由于式 (44) 为线性完全能控系统, 因此, 本文采用线性二次型最优控制器 (LQR) 来将系统状态ζ调节到零, 从而抑制柔性臂引起的系统弹性振动。若选取最优控制的性能泛函为 (Qf∈R4×4为对称正定常值矩阵, Rf∈R2×2为对称半正定常值矩阵) , 则可将LQR控制器设计为如下形式:
式中, P为Ricatti方程 (-PAf-AfTP+PBfRf-1BfTP-Qf=0) 的唯一解。
综上, 式 (21) 、式 (38) 和式 (44) 描述的即为漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统的奇异摄动模型。而式 (25) 、式 (37) 和式 (45) 分别为各子系统的控制律。
3 仿真算例
利用本文提出的慢变子系统的滑模控制律 (式 (25) ) 、快变子系统的速度差值反馈控制律 (式 (37) ) 及LQR控制器 (式 (45) ) 对图1所示的作平面运动的漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统进行数值仿真实验。系统的惯性参数为:l0=1.5m, l1=3m, l2=2.5m, d1=2m, m0=40kg, m1=2kg, J0=34.17kg·m2, J1=3kg·m2, Ja1=Ja2=0.53kg·m2, ρ=1kg/m, EI=300N·m2, Kφ=diag (200, 200) 。假设空间机器人的机械臂转角期望运动轨迹为qd1=0.5π (0.1t-0.5sin (0.2πt) /π) , qd2=0.5π (1-0.1t+0.5sin (0.2πt) /π) 。仿真初始值:q0 (0) =0, q (0) =0[.05 1.6]Trad, φ (0) =0[.05 1.6]Trad。仿真时间:t=10s。为了对比, 采用常规的线性滑模面与本文提出的非线性滑模面式 (22) 进行比较。仿真结果如图3~图8所示。其中, 图3为空间机器人的机械臂转角运动的轨迹跟踪对比图, 虚线表示采用基于线性滑模面的控制方法得到的空间机器人的机械臂转角qc的运动轨迹, 实线表示采用基于本文提出的非线性滑模面的控制方法得到的空间机器人的机械臂转角q的运动轨迹;点线表示空间机器人的机械臂期望转角qd的运动轨迹。图4所示为柔性关节引起的关节弹性变形偏差角。图5所示为关闭“柔性关节-刚性臂”快变系统控制律τf1后关节弹性变形偏差角。图6所示为柔性臂模态坐标变量δ的变化曲线。图7所示为柔性臂末端变形曲线。图8所示为关闭“刚性关节-柔性臂”快变子系统控制律τf2后柔性臂模态坐标变量δ的变化曲线。
从图3可看出, 本文所提出的混合控制方法能保证空间机器人的机械臂转角的运动精确且稳定地跟踪上期望运动轨迹, 保证了控制系统的精度和稳定性。而且与常规的基于线性滑模面的控制方法比较来看, 本文提出的基于非线性滑模面的控制方法的趋近速度得到了提高。从图4可看出, 柔性关节所引起的关节弹性变形偏差角σ虽然不为零, 但是被限制在一个非常小的范围内, 足以保证系统的控制精度。而从图5可看出, 当关闭τf1后关节弹性变形偏差迅速变大, 从而证明了τf1对抑制柔性关节引起的系统弹性振动的有效性。从图6和图7可看出, 柔性臂的振动得到了有效的抑制, 柔性臂末端的变形也很小。而从图8可看出, 当关闭τf2后柔性臂的二阶模态在3.5s的时候就变得很大, 进而仿真失效, 这说明此时柔性臂的振动无法得到抑制, 从而证明了τf2对抑制柔性臂的振动的有效性。
4 结束语
在考虑漂浮基空间机器人系统的机械臂和关节都存在柔性的情况下, 本文利用系统动量、动量矩守恒关系和拉格朗日-假设模态法建立了漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人的动力学模型, 并基于奇异摄动法提出了由控制系统运动的非线性滑模控制、抑制关节柔性振动的速度差值反馈控制和抑制臂柔性振动的LQR控制组成的混合控制律。仿真实验表明, 所提出的混合控制律能够补偿系统的关节转角弹性变形偏差, 保证空间机器人快速、精确、稳定地完成期望运动轨迹的渐近跟踪, 且能够有效地抑制柔性关节和柔性臂引起的系统弹性振动, 保证系统的稳定性, 体现了该混合控制律的良好控制品质。
柔性空间 篇6
对于空间机器人的研究[1,2,3,4,5,6,7,8,9],过去人们常常将其视为多刚体系统.然而实际应用中许多空间机器人均具有柔性,例如,空间机器人系统中机械臂的关节铰的链接难以达到绝对刚性,这将对整个系统控制的稳定性和精确度产生影响.因此对具有柔性效应的空间机器人的研究就具有十分重要的现实意义.目前具有柔性关节的机器人系统已经受到各国研究人员的重视,但大部分都是针对地面柔性关节机器人系统的研究.与地面机器人不同,柔性关节空间机器人系统具有非线性和强耦合性,因此地面机器人的控制方法难以直接应用于空间机器人中.而且由于系统惯性参数常常难以精确测量,造成了空间机器人的动力学模型往往具有不确定性.针对上述问题,文献[10]采用鲁棒控制方法对自由漂浮空间机器人系统进行控制,成功地解决了参数不确定的问题,但需要对系统动力学方程进行线性化处理;文献[11]采用自适应反演滑模控制方法对空间机器人进行轨迹跟踪控制,但未考虑关节柔性的情况;文献[12]对具有柔性关节的空间机器人进行模糊滑模控制,但针对的是系统参数已知的空间机器人系统.
本文利用拉格朗日第二类方法并结合系统动量、动量矩守恒关系建立了柔性关节空间机器人的动力学方程.首先为使奇异摄动技术能够应用于具有柔性关节的系统中,采用关节柔性补偿来等效提高系统的刚度;再利用奇异摄动理论,针对系统参数不确定的情况设计了带有干扰观测器的漂浮基柔性关节空间机器人关节空间期望轨迹跟踪的退步自适应滑模控制方案,利用干扰观测器来降低参数不确定对系统准确性的影响,通过退步自适应滑模控制来保证系统期望轨迹的跟踪.所提出来的控制方案不需对系统惯性参数线性化处理,结构简单,并且实现了系统关节运动的准确跟踪.系统数值仿真证明了该方法的有效性.
1系统动力学建模
如图1所示,对于载体位置、姿态均不受控的漂浮基柔性关节空间机器人,其满足动量守恒和动量矩守恒关系.
结合拉格朗日方程可导出系统动力学方程
式中,q=[θ0,θ1,…,θn]T,θ=[θ1,θ2,…,θn]T为机械臂各连杆转角的列向量;θm=[θm1,θm2,…,θmm]T为各关节驱动电机转角列向量;M(q)∈Rn×n为系统正定、对称的惯性矩阵;为包含离心力和科氏力的列向量;τ∈Rn×[1]为系统的关节控制力矩;Jm=diag(Jm1,Jm2,,Jmn)为驱动电机对称、正定惯量矩阵;Km=…diag(Km1,Km2,…,Kmn)为柔性关节的简化线性弹簧的刚度矩阵;τm∈Rn×[1]为电机的驱动力矩.
2 基于关节柔性补偿器的奇异摄动分解
由于传统的奇异摄动技术仅适用于弱关节柔性的系统中,特引进关节柔性补偿器来等效降低系统关节的柔性,便于奇异摄动技术的应用.
定义关节驱动电机的控制律为
式中,Kz∈Rn×n为待定参数矩阵;τz∈Rn×[1]为新的控制量;τc∈Rn×[1]为待引入的关节柔性补偿器.
将式(2)代入式(1c)中,结合式(1b),可得
令
其中,Kc∈Rn×n为正定、对角柔性补偿矩阵,其满足Kz=I+Kc,I∈Rn×n为单位阵.
将式(4)代入式(3)中,有
其中,Kf=KmKz.由式(5)可知,经过柔性补偿τc后可等效提高系统刚度.
基于奇异摄动理论,可以将新引入的控制量τz分解为两个子控制量进行设计,即
其中,τzs是针对慢变系统设计的控制力列向量;τzf是针对快变系统设计的控制力列向量.
3 控制器设计
3.1 快变系统控制器设计
定义奇异摄动因子α,使满足:Kf=Ka/α[2],其中,Ka∈Rn×n为正定对角常值矩阵.
将式(6)代入式(5)中,可得
为确保快变系统的稳定性,设计快变系统的控制律为:,代入式(7)中,可得
其中,Ks∈Rn×n的选取应保证系统式(8)的稳定性.
此时若令α→0且θm≈θ,,则可获得相应的慢变子系统.结合式(1a)和式(8)可得
式中,Me(q)∈Rn×n为慢变系统的正定惯性矩阵,其满足:为当简化后得到的列向量.
3.2 慢变系统控制器设计
在建模过程中,由于系统惯性参数常常难以精确测量,从而导致建模存在误差,所建立的动力学方程可表示为
其中,为估计的系统正定的惯性矩阵;为估计的包含有离心力和科氏力的列向量;d∈Rn×[1]为系统模型误差,其满足
此时如果直接采用退步自适应滑模控制,由于存在系统建模误差,系统将无法准确地完成相应的关节运动任务.为减小模型误差对系统的影响,提高系统控制精度,在进行控制器设计时,首先将使用干扰观测器对d进行误差观测补偿;再进行退步自适应滑模控制设计,从而保证系统各关节能够快速跟踪到期望轨迹.
3.2.1 干扰观测器的设计
根据实际所建立的系统动力学方程,本文所采用的干扰观测器具有以下形式[13]
式中,为误差d的估计值,为增益矩阵.
定义干扰观测器的观测误差D为
假设模型误差d的变化相对于观测器的动态特性是缓慢的,即=0.对式(12)进行求导,可得
由此得到观测器误差系统的动态方程为
因此,通过设计矩阵,可使观测器的观测误差按指数收敛.采用干扰观测器对模型误差d进行估计补偿后,系统误差就由d变为D,使系统总误差变小,原系统动力学方程可表示为
式中,τsD为观测器进行补偿后系统所需的力矩,其满足.
3.2.2 退步自适应滑模设计
根据退步设计控制方法的思想,结合滑模控制与自适应控制方法,对式(15)表示的系统进行控制器设计,具体可分为两个步骤.
假设系统的期望轨迹为
式中,θid分别表示机械臂关节铰转角θi的期望值.步骤1引入辅助变量
对式(17)进行求导,可得
取虚拟变量ur=c1e,其中c1∈Rn×n为对称、正定的常值矩阵.定义
选取如下的李雅普诺夫函数
对式(20)进行求导,有
由式(21)可知,若Z1=0,则可看做是系统轨迹误差向量e的二次型函数,且.为此进行下一步设计.
步骤2对式(19)进行求导,结合式(15)有
由于系统建模误差D难以估计上界,为了避免估计误差D的上界,对D进行自适应补偿.定义为观测误差D的估计值,则估计误差上限为
式中,D*为误差上界,有‖D*‖≥‖D‖.
选取如下的李雅普诺夫函数
式(24)中η为一正常数,σ为系统的切换函数,其定义为
其中,c2∈Rn×n为对称、正定常值矩阵.
对式(25)求导,结合式(22),有
对式(24)求导,结合式(21)和式(26),可得
设计如下退步自适应滑模控制器为
同时,设计误差控制的自适应律为
式中,φ∈Rn×n为对称、正定矩阵,kv为正常数.
将式(28)、式(29)代入式(27)中,可得
取
有
设;z=[e Z1]T,则式(30)可写成
通过适当选取常值矩阵c1,c2和φ,可保证F为正定矩阵,从而保证.通过上述退步自适应滑模控制器的设计,使得系统满足李雅普诺夫稳定性条件,e和z1以指数形式渐进稳定.
因此综合上述研究结果,在漂浮基柔性关节空间机器人系统中采用相应的快变子控制律,并对慢变子系统采用式(28)的退步自适应滑模控制律,对于误差控制采用式(29)的自适应律即可保证整个系统各关节铰准确跟踪到期望轨迹中.
4 仿真算例
以平面运动的两杆漂浮基柔性关节空间机器人系统为例.假设系统模型的真实参数分别为
进行仿真时,估计的模型参数分别为
其余参数相同.
设空间机械臂系统各关节铰的关节空间的期望运动轨迹分别为
仿真时所选的相应参数分别为
系统运动的初始值为
图2为开启干扰观测器和柔性补偿时空间机械臂各关节铰的空间轨迹误差跟踪图,其中实线表示关节1的轨迹误差,虚线表示关节2的轨迹误差;图3为关闭干扰观测器时空间机器人各关节铰的轨迹误差图;图4为关闭柔性补偿时空间机器人各关节铰的轨迹误差图.由图2到图4可知,经过柔性补偿和非线性干扰观测补偿后可保证各关节铰准确稳定地跟踪系统的期望轨迹.