任意曲线

任意曲线（共5篇）

任意曲线 篇1

0 引言

20世纪80年代后期发展起来的小波分析技术为曲线曲面提供了更为灵活的方式。小波分析不仅具有时频局部性，而且还具有多分辨特性。Chui等深入研究了样条小波，1993年Quak等提出了闭区间上样条小波的分解与重构算法。Finkelstein等研究了基于小波的B样条曲线的多分辨表示及其在曲线多分辨编辑中的应用。放大曲线是图形图像处理中常用的造型工具。由于小波具有多分辨特性，使人们能在不同分辨水平下对曲线进行编辑，故可根据其多分辨理论对已有的曲线进行小波重构，从而获得多级逼近曲面，实现曲线的放大。利用小波能使放大算法简单且失真较小，同时小波基还为曲线提供了更加灵活的表达方式。选择合适的小波基将使放大后的曲线的几何特性失真较小。

1 曲线的离散小波表示

设平面参数曲线C:r (t)→R2, t∈[0, 1]。曲线C的各层尺度系数为ckj=2-j/2〈r (t)，φkj (t)〉，这里将ckj当作L∞规范化尺度函数的系数规范化。当j→+∞时，由曲线C的j层尺度系数定义的离散点集{ckj, k∈Z}可看作是对逼近曲线的采样，记做S j (C)。

实际中给定的曲线C一般是一个均匀采样的有限点集，用离散点集表示为：

其中k∈Z，Δ是参数空间中的采样步长。运用小波时通常就将离散采样点本身作为算法的初始系数，即将采样点作为曲线C在最细多分辨层的表示，此时将点r (kΔ)记为ck0，令C0={ck0, k=0, 1，…n-1}，则C0称为曲线的第0层离散逼近曲线，记为A0 (C)。

2 曲线的2i倍光滑放大

任何一条曲线(包括直线)是由无限个点所组成的，但在现有图形显示与绘制设备中，它仍然由有限个点来表示。在本节中代表曲线的点(即曲线的离散采样点)亦称为控制点。对于一条曲线，表示曲线的点数目一定，图形输出设备分辨率越高(点间距越小)，曲线的形状就越小;反之就越大。在相同分辨率的条件下，要放大曲线就是增加代表曲线的点，然后再扩展控制点间的间距，相应的放大曲线。而小波变换的合成实际上就是增加控制点的过程，即：

其中为合成的低通、高通滤波器。

因此，对于一条原始曲线C0，将它的细节D0={dk0, k=0, 1，…m-1}看作零，然后利用式(1)，则有：

由于小波变换中的合成是以2的倍率“过抽样”，因此合成后的C1的点数增加了一倍，即C1={ck1, k=0, 1，…2n-1}。但点间距为原来的一半，此时相应的将点间距扩大一倍后，曲线就被放大成原来的两倍。重复此过程i次，即可实现曲线的2i倍放大。

3 曲线的任意比例光滑放大

在很多系统当中并不仅仅要求将曲线2i倍放大，有时还需要任意比例放大曲线。现提出任意比例放大曲线的处理方法。

假定曲线已经放大成2i与2i+1倍，分别表示为Ci与Ci+1。设比例在2i与2i+1之间的曲线为Ci+t (0≤t≤1)。对于Ci在曲线上的某一点cki，放大后对应Ci+1曲线上的c2ki+1和ci+12k+1两点，即一点变成两点。cki分别与c2ki+1和ci+12k+1两点连接，所生成的两条直线必将与曲线Ci+t相交产生两点cki+t与ck′i+t。已知t, cki, c2ki+1和ci+12k+1，则可以从直线方程求出Ci+t曲线上的两点，分别为：

若cki+t与ck′i+t两点之差小于一个单位点(如一个像素点)，则可以将两点合并为一点。综合上述两式，曲线Ci+t上的所有点可以通过曲线Ci和Ci+1上的点得到，写成通式为：

任意比例放大曲线算法归纳为：

Step1设定任意比例放大d，由2i≤d≤2i+1, t=(d-2i)/2i求得i与t;

Step2重复运用式(2)，将曲线的控制点进行小波合成，直至原始曲线放大成2i与2i+1倍曲线Ci和Ci+1;

Step3利用式(3)、(4)求得曲线Ci+t上的所有点;

Step4将曲线Ci+t上所有点的间距扩大为原曲线C0的2i倍。

4 曲线放大算法中的小波基选取

选取合适的小波基在运用小波技术时至关重要。若选取的小波不合适，可能会导致结果达不到预期效果。适用于曲线放大算法的小波首先应能适于表示几何形体，须具有一些性质。

定义1[2]设函数f∈L2 (R), M (f, n)=∫tnf (t) dt, n≥0，则称M (f, n)为函数f的n阶矩。类似的，对于离散序列，则有：

定义2[2]设序列S∈l2, M (S, n) =, n≥0, 则称M (S, n)为序列S的n阶矩。

定义3[2]若M (f, n)=0, 0≤n

事实上，曲线及其逼近函数以及尺度系数的矩与所选多分辨函数的矩具有如下关系：

定理4[3]设fj (t)是f在j层多分辨空间Vi中的逼近，j层尺度系数序列为Sj=(〈f，φkj〉)k∈Z=(Skj) k∈Z，若, n=0, 1，…N，则M (f, n)=M (fj, n), n=0, 1，…N;若, n=0, 1，…N，则M (fj, n)=N (j) kΣkn Skj，其中N (j)=2j(-2n+1/2)规范化系数。

定理4表示若小波与尺度函数具有一定的消失矩，则尺度系数与原始曲线具有非常近似的性质。即矩条件决定了尺度系数的逼近性质，也决定了曲线的一些几何性质，现列举结论如下：

a.质心相同[4]。用CM (C)表示曲线C的质心，若=0, n=0, 1，则CM (Ai (C))=CM (C);若=0, CM (Si (C) =CM (Ai (C) ) 。

b.多项式保持性[4]。若分析小波ψ具有N阶消失矩，则(N-1)次曲线和Bezier曲线在逐层逼近下保持不变(仍是(N-1)次多项式曲线或Bezier曲线)，而且多项式曲线的尺度系数曲线仍是多项式且次数相同。

c.具有N阶消失矩的双正交插值小波基[5]可以直接用尺度系数的线性插值逼近原始曲线。

除矩条件之外，曲线放大算法中的小波还应具有对称性和光滑性，因为一定的对称性和光滑性有利于曲线的表示。另外也要求尺度函数的振荡小，小波需具有紧支集。因为小波算法的计算量与所用滤波器长度和小波或尺度函数的支集成正比。但小波逼近性质则是小波支集越大越好，故只能根据需要在这两者之间权衡。

根据以上理论，通过比较，适用于曲线放大的小波有半正交B样条小波、双正交B样条小波、具有光滑插值尺度函数的双正交小波和具有任意节点的B样条小波[6]。这也说明了在计算机图形中通常选取B样条小波进行多尺度分析和处理的原因。

5 实验和结论

现利用双正交B样条小波及其小波分解与重构的矩阵[7]将图1中的曲线进行放大。分别取d=2、3、4，通过算法得到如图2、图3、图4所示的曲线：

比较放大后的曲线与原曲线，可以看出放大的曲线均无明显失真且光滑性较好。

将图1中的曲线分别采用Daubechies (db2) 小波和Daubechies (db4) 小波进行放大，分别如图5、图6所示：

对比两图可以看出，图5中曲线顶端出现尖点而图6没有，这是因为Daubechies (db2) 小波的支集长度仅为2，逼近效果太差。由于Daubechies小波系为正交小波，不具备对称性，因此用这两种小波放大后的曲线在边界处与原曲线相差很大，且随着放大次数越多，失真越明显，故Daubechies小波不适合用来表示几何图形。

通过比较实验结果发现，利用半正交B样条小波和双正交B样条小波放大的曲线基本没有失真，且与原曲线保持同样的光滑性。这说明了这两类小波都具有很好的几何性质。

参考文献

[1]杨福生.小波变换的工程分析与应用[M].北京:科学出版社, 2000.

[2]徐长发.实用小波分析[M].武汉:华中理工大学出版社, 2004.

[3]Mallat S.G.AWavelet Tour ofSignal Processing (Second Edition) [M].北京:机械工业出版社, 2003.

[4]ChuangGC-H, KuoC-CJ.Wavelet Descriptor ofPlanar Curves[J].Theory and Application.IEEE Trans on Image Processing, 1996, 5 (1) :56-70.

[5]Reissell L-M.Wavelets Multiresolution Representation of Curves and Surfaces[J].Graphical Models and Image Process, 1996, 58 (3) :198-217.

[6]赵罡.小波技术在曲线曲面造型中的应用研究[D].北京:北京航空航天大学, 2001.

[7]朱心雄.自由曲线曲面造型技术[M].北京:科学出版社, 2000.

任意曲线 篇2

综合曲线一般是圆曲线和缓和曲线二者的有机结合(见图1)。

从ZH点(直缓点)到HY点(缓圆点)部分为缓和曲线,从HY点(缓圆点)到YH点(圆缓点)为圆曲线部分,从YH点(圆缓点)到HZ点(缓直点)为缓和曲线部分。这些组成了一个典型的综合曲线。

首先,进行独立坐标系的建立。以直缓(ZH) 点或缓直(HZ) 点为坐标原点,以缓曲起点的切线方向(指向交点方向为正)为X轴,以缓曲起点的法线方向(指向曲线内侧为正)为Y轴(见图2)。

在此坐标系统下,若点Pi在缓和曲线上,则Pi的坐标为:

li为Pi点至坐标原点的弧长;l0为缓和曲线的设计弧长;R为圆曲线半径;

若点Pi在圆曲线上,则Pi的坐标为:

R为圆曲线半径;P为半径内移值;q为切线增长值;φ 为圆曲线上任一点的半径与坐标原点处曲线半径(即Y轴)所形成的夹角。

2 施工现场控制点坐标的转换

在施工现场根据合适的控制点,进行曲线点位的放样。但实际上控制点的坐标系统与建立的施工坐标系统为不同的坐标系统,则必须先进行坐标系统的转换。是将曲线点坐标转化为控制点坐标系统下的坐标,还是将控制点坐标(x,y)转化到独立坐标系统下的坐标(x´,y´),那就需要根据现场的施工特点去选择。本文就将控制点坐标转换到独立坐标系统下。根据坐标系统的转换公式,必须先行知道控制点坐标系统的纵轴与独立坐标系纵轴之间的夹角,可理解为独立坐标纵轴在控制点坐标系统中的方位角。该方位角如何求取?我们可从图纸上ZH点与JD所在直线段的任意两点坐标,同时查阅或计算出ZH点在控制点坐标系统下的坐标(x0,y0),按坐标反算公式求取ZH点至JD的方位角(x´,y´),然后按公式3 计算出控制点的转换坐标(x´,y´):

式中:(x0,y0)为ZH点在控制点坐标系统下的坐标,(x´,y´)为控制点在独立坐标系统下的坐标,(x,y)为控制点坐标。

3 曲线点坐标放样

根据以上方法灵活的选择合适的控制点,对整个曲线段进行点位的测设。不再需要如传统方法,非得将仪器安置在ZH点或者ZD,而是任选2 个控制点,利用全站仪或者GPS进行点位的坐标放样工作。

摘要：综合曲线测设是线路工程中施工测量的主要内容之一,曲线放样方法较多,但受施工现场的限制,很多放样方法在实际工作中并不实用。工程施工测量中综合曲线按传统方法测设困难的情况下,可利用全站仪设站任意控制点进行放样,并进行精度分析。

任意曲线 篇3

关键词：宏程序,平面曲线,数控铣床,手工编程

具有任意平面曲线轮廓的零件广泛应用于机械行业中,常见的平面凸轮轮廓曲线,多数情况下就是任意平面曲线,以满足各类从动件运动规律的要求,如图1所示。

一般数控铣床都只具备直线插补G01和圆弧插补G02/G03功能,对于非直线和非圆弧的任意平面曲线y=f(x)轮廓,由于常用数控铣床不具备此类插补功能,导致该类曲线采用手工编程,实际加工极其不便。

因此,如何采用手工编程,在数控铣床上加工出任意平面曲线轮廓,以满足不同生产需要,就成了一个亟待解决的实际问题。

1 常规手工编程加工

1.1 数学基础

设平面任意曲线的方程为y=f(x),单调、连续,起点为A1(X1,Y1),曲线终点为An(Xn,Yn),如图2所示。

由于曲线y=f(x)为欲加工零件的轮廓曲线,故此,可从零件图尺寸标注获得A1(X1,Y1)和An(Xn,Yn)。

将曲线的某一坐标轴(此处为X轴)划分为n等份,每等分长度为△X。

上式中,等号右边所有参数为已知,故可求出△X。

由此可得A2点的坐标,以此类推,第i个点的坐标可计算为:Xi=X1+(i-1)△X,Yi=f(Xi);(i=1,2,….),曲线上所有相应节点的坐标均可获得。

1.2 折线逼近

将获得的相邻节点联成直线,用这些直线组成的折线代替原来的轮廓曲线,采用直线插补方式(G01)编程[1]。

显然,节点越少,间距△X就越大,产生的误差也越大。假设节点足够多,即n取到足够大,使得逼近误差小于等于零件公差的1/5,则逼近误差就不会影响到零件的加工精度。

1.3 编程特点

此种方式编程如果不借助其他辅助工具,将会使得计算工作量剧增,造成大量的时间浪费;另外,如果要达到加工要求,n就应该取到足够大,会使程序段过长,导致编程成本增加。

2 借助计算机绘图软件的手工编程加工

借助CAXA、AutoCAD等计算机绘图软件,可以大大减少人工计算工作量。

可将欲加工曲线用绘图软件画出,采用1.1节中的思路求出△X,然后采用软件的查询功能,就可很快获得各个节点坐标,将这些点的坐标记录下来,如图3所示,最后采用折线逼近的方式,用G01编程即可。

此种方式较之前一种方式极大地减少了计算工作量,但是为满足加工精度要求,n必须取到足够大,仍然无法解决程序段过长的缺陷。

3 采用宏程序手工编程加工

3.1 宏程序理论

宏程序是指一组能实现某一功能的指令体或程序块,可以作为子程序存放在存储器中,主程序需要时可使用呼叫子程序的方式随时调用。其主要特点是宏程序中有变量,能实现变量赋值、运算、判断、转移等功能[2]。编写宏程序时,可以根据工件加工要求用变量替代相关尺寸,加工时由主程序输入相应数据对变量赋值,与主程序配合完成加工过程。

宏程序常用于成组工艺(GT),一般归纳相似的工件为一组,每组使用变量组成宏程序体,然后针对这一组工件,只要把实际值赋予变量,就不必一一编程了。如在图4中,可以使用#501-#504四个变量组成宏程序体,加工不同尺寸的工件时,不必修改宏程序,只需要把实际值设定到变量#501-#504中即可。

本处以FANUC-0i MA系统为例,对已知平面曲线方程的任意平面曲线进行编程插补。宏程序用G65调用,用M99表示宏程序结束并返回主程序[3]。

3.2 宏程序参数设定及程序编制

3.2.1 参数设定

如图2所示,曲线方程为y=f(x),单调、连续,设刀具初始位置在x=0,y=0处,进给量为F(#9),则令#500=X1,#501=Y1,#502=Xn,#503=Xi,#504=Yi,#505=X,#506=n。

3.2.2 流程编制

按照程序编制思路,设计流程图如图5所示。

3.2.3 宏程序编制

依据流程图,编写宏程序如下:

此处应注意,N150句中的F[#503]是一个抽象的函数表达式,应根据所加工的实际曲线表达式作相应更改,否则在执行程序时,机床会报警。

3.2.4 应用实例

假设要加工曲线y=x2,则上述宏程序中只要将N150改写为“N150#504=#503×#503;”即可。刀具初始位置在x=0,y=0处,不考虑刀具补偿值。

设X的取值范围为0～10,取n=100,F=120mm/min。

主程序如下:

3.2.5 编程特点

此种方式和前两种比较,改变了由编程人员手工计算坐标点慢、繁的状况,计算工作量大幅减少,不论n的取值如何,都不会增加程序段长度,程序变得十分简便。

4 结论

通过以上3种方法比较,采用宏程序手工编程加工平面任意曲线有极大的优势。即使是最廉价的机床数控系统,其内部程序存储空间也有10k B左右,完全能容纳任何复杂的宏程序。将上述宏程序存入数控系统中,在实际加工时只要确定曲线方程,对宏程序稍作更改,在主程序中给变量赋值,便可由主程序调用,实现对任意平面曲线的插补加工,但其精度主要取决于△X。这样,不必再进行复杂的数学运算,使主程序的编制过程非常简单,节省了大量的人力、物力。

参考文献

[1]周德俭.数控技术[M].重庆:重庆大学出版社,2001:35.

[2]嵇宁.数控加工编程与操作[M].北京:高等教育出版社,2008:145-152.

任意曲线 篇4

现取逆时针为正方向, 则任意时刻质点所受重力的分力为ft=-mgsinθ。当摆角θ很小时, sinθ≈θ, 得简ft谐=运动-。mgθ, 此即为单摆所受的线性恢复力[1]。此时, 单摆运动为

就高中阶段物理而言, 如何能够给学生展现出任意摆角下, 单摆的振动周期与摆角的关系, 就是一个难题。

通过应用Mathematica软件, 可使这个复杂的问题, 很直观而准确地用图像的方式呈现出来, 便于学生理解。本文为了避免使用复杂的计算机语言而带来操作上的困难, 因此, 基于Mathematica 9应用环境下, 使用最简单、最基本的函数语言进行计算实现的。

根据文献[1]知, 无阻尼自由振动下, 单摆运动的动力学方程

其中, 令ω2=g l。为了讨论问题方便, 设ω=π, 初位相为0, 初始条件为θt=0=0, =vt=0=θt′=0Aω, 其中A为振幅。根据 (1) 式, 应用Mathematica函数和, 计算单摆振动曲线, 如图2、图3所示, 其中为摆角随时间变化的函数。

1.计算在小角度5°和10°时, 单摆的振动曲线, 如图2所示。

摆角为10°和5°时, 在短时间内, 振动几乎同步;而随着周期的增加, 使两周期的差逐渐累加, 便可明显看出10°时的周期略大于5°, 如图2。利用Mathematica中“获取坐标”的简单操作, 可直接读出各点的坐标。依此, 可粗略计算出摆角为10°时的周期为22.00381s;摆角为5°时的周期为2.00095s, 而在ω=π的条件下, 单摆简谐运动的周期为2s。因此, 若要求精度不高, 可选择摆角小于10°时作为简谐运动进行研究。

2.计算无阻尼下单摆在摆角为5°、15°、25°、35°、45°、55°、65°、75°、85°运动曲线, 如图3所示。

由图3可知, 随着摆角角度的增加, 单摆的振动周期逐渐增加, 且随着摆角角度的变大, 其周期增速变大。

3.结论。

基于Mathematica软件, 可研究任意摆角下, 各种情况的振动, 如:阻尼振动、受迫振动等。由此绘制的图形, 不但精度高且直观, 非常适合给高中学生进行定性地分析和讲解。同时, 还能有效地拓展学生思维, 点燃学生学习的动力。

参考文献

任意曲线 篇5

1 基础条件

首先应安装数字地质调查系统软件MemapGIS, 在根目录下建立Rgmapping文件夹, 并生成一个图幅, 如5万图幅, 所有的数据文件操作都在该图幅文件里完成, 方便查询和应用。安装成功后在数字填图桌面系统的数据综合处理菜单中提供了“地球化学平面剖面图”和“地球物理的平面剖面图”功能, 生成的平面剖面图文件分别存放在地球化学和地球物理两个文件夹里面。现以“地球化学平面剖面图”为例进行演示。

2 数据准备

在实际的地质矿产调查工作中, 各种数据文件类型以Excel格式文件为主, 以1∶2千土壤化探剖面数据为例, 文件格式为Excel格式。同时本系统也支持TXT文本格式, 还有系统自带的测线数据文件和点文件格式, 该类文件需附有属性。

首先将所需的野外和室内数据整理成图1土壤地球化学数据表的样式, 包括线号、点号、采样间距X1、采样间距Y1 (以采样方位为正向) 、采样横坐标X2、采样纵坐标Y2、高程H、分析结果Au、As等。

3 操作步骤

3.1 图幅库建立

本数据和图件的操作与生成均在图幅库里完成, 如果没有图幅库需要新建一个。打开数字填图→选择图幅工作→1/50000图幅选择 (可以任选) →选择省份 (可以任选) →选择图幅 (可以任选) →建立图幅库 (图2图幅库建立) 。

3.2 展点

将具二维坐标数据的点文件 (Excel格式或TXT格式) 转换成MapGIS点文件格式, 如野外采集的某类地质坐标点, 投影到MapGIS工程图件中。

参数设置→其他数据格式→选择文件→土壤地球化学数据.xls→X坐标 (数学坐标系) 选择横坐标X2, Y坐标选择纵坐标Y2→点号字段选择点号→测线号字段选择线号→选择分析字段选择Y1 (数值为0) →数据取对数方式选择数据本身→测线标注方式选择取整数标注→参数设置选择显示原始采样点→剖面图比例尺 (或平面图比例尺) →其他不变 (图3) →下一步→完成 (图4) 。生成文件的存储路径: 盘符:RgmappingJ48E024008数字填图地球化学Y1_CHEM_OTH_PROFILE2D.WT。该点文件为由Excel数据文件转换成的MapGIS点文件。

实际应用过程中, 可以通过不断的调整X坐标、Y坐标来选择不同的数值, 同时要保持分析字段的数值为0, 填写所需的比例尺, 就可以生成所需点位置的点文件。

3.3 曲线制作

曲线制作的过程同展点过程基本相同, 都是通过设置参数来实现的。参数设置→其他数据格式→选择文件→土壤地球化学数据.xls→X坐标 (数学坐标系) 选择横坐标X1, Y坐标选择纵坐标Y1, →点号字段选择点号→测线号字段选择线号→选择分析字段选择要制作成线的数据, 如Pb×10-6 (分析结果) →数据取对数方式选择数据本身 (或其他) →测线标注方式选择取整数标注和→参数设置选择显示原始采样点或显示结果点→剖面图比例尺 (或平面图比例尺) →纵比例尺为1 (或其他比例尺) →旋转角度为0 (或其他角度, 如方位角) →其他不变→下一步→完成。生成文件的存储路径:盘符: RgmappingJ48E024008数字填图地球化学Pb 10-6_CHEM_OTH_ PROFILE2 D.WTWLWP。

将所需要的点、线、区文件提出, 根据需要进一步在工程文件中编辑和修改。曲线的生成每次只能是一条, 如果想将曲线进行叠加, 则需要分别生成线, 然后再添加到工程文件中即可。同展点一样, 根据实际生产工作的需要, 可以通过不断的调整X坐标、Y坐标和分析字段来选择不同的数值, 同时还可以选择不同的剖面图比例尺、纵比例尺和角度, 来制作出满足工作图件需要的图件。

关于参数设置里面的分析结果点子图、分析结果曲线等, 是可选编辑项, 可以根据实际需求或图件的美观去编辑它们, 也可以后期去整理编辑。

4 总结

以上是利用数字填图系统“平面剖面图”功能进行的展点和制作曲线过程, 重在里面的原理和方法, 如果遇到展点或制作其他类似的曲线时, 就可以用该方法, 该方法简单易操作, 生成的图件精确度较高, 可以满足较高质量要求的图件。掌握了该方法的原理后, 还可以拓展应用到更多的方面。

数字填图系统里还有很多的功能, 当MapGIS软件无法实现的时候, 可以考虑用该软件来实现, 两者是互补的。

参考文献

[1]中国地质调查发展研究中心.《数字地质填图系统》数字填图用户操作指南[M].北京:中国地质调查发展研究中心, 2007.

[2]中国地质调查发展研究中心.《矿产资源调查野外数据采集系统》MEMAPGIS用户操作指南[M].北京:中国地质调查发展研究中心, 2007.