《任意角》教学设计

2024-09-28

《任意角》教学设计（共7篇）

《任意角》教学设计篇1

任意角教学设计

一．内容和内容解析

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具。本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。本节课的教学重点是：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角、象限角的表示方法及判断。二．目标和目标解析

1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；

3．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示；

4．在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；

5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力； 6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；三．教学问题诊断分析

本节课的教学难点是：把终边相同的角、象限角用集合和数学符号语言正确地表示出来。1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；

2．学生在学习了教材例1后，做p6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在00～3600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法； 3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k·3600的运用特点。四．学习行为分析

1．初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于00～3600。结合实际生活中的例子，由教材的“思考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，借助信息技术工具（如：几何画板），让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。学习本节角的概念的推广困难不大。

2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。这里可以借助信息技术工具（如：几何画板），建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相集合。

五．教学支持条件分析

借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】

1．角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；

2．动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。六．教学过程设计 1．教学程序与环节设计

创设情境

↓ 组织探究

↓ 例题分析

↓ 尝试练习

↓ ——

——

实际问题出发，激起学生的求知欲望。角的概念的推广，象限角的定义、终边相同的角的表示方法。

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

象限角的判断、终边相同的角的表示方法。让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。

作业与反馈，关注学生的能力差异。在实际生活中体验数学的应用价值。小结与反思 ——

↓ 评价设计

↓ 课外活动

——

2．教学过程与操作设计：

环节创教学内容设计

设计意图提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性

师生双边互动

学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了设

多少度？

情

境

教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于00～3600之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.1．任意角概念的引入

回顾已有知识教师：提出问题

学生：回答问题

教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位

置旋转到另一个位置所成的图⑴.问题：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？

组 ⑵.举出不在织

探

究

⑷.给出任意角的定义例，并加以说明。

⑶.你认为刻画这些角的关键是什么？

让学生认识到的角的实

举例，再说明所举例的结合具体的实形.学生：

00角为什么不在0～360。例，感受角的概念推广的必要性

教师：提供教材中的几个例子。

学生：组织讨论

刻画这些角不教师：引导学生从旋转量、旋转仅要用旋转量，还要用旋转方向。

教师：引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角

利用新概念重和零角的概念。

新认识问题。

学生：观察图1.1－3，进一步认

方向这两个方面进行思考。

2．象限角

通过尝试探

识正角、负角。

教师：让学生利用任意角的定义，究，由学生感回答本节开始的“思考”中的表受没有统一标的校正问题。

学生：画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法。

（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210?/span>，－150?/span>，－660?/span>）

⑵.给出象限角的概念

3．终边相同的角

探究：将角按照上述的方法放在直

探究终边相同的角之间的关

⑴.问题：如果把角放在直角坐标准时，角的表系中，那么怎样放比较方便、合示不方便。理？

系，理解并掌教师：在总结分析合理放法的基握改关系。础上，给出象限角的概念，并说

从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。

然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念。

学生：思考每组角的数量关系。教师：引导学生用含有其中一个明在同一坐标系下讨论角的好处。

角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线从具体到一ob（如图1.1—5），以它为终边的般，认识终边角的关系式表示另外的角。角是否唯一？如果不唯一，那么终相同的角的关边相同的角有什么关系？ ⑴.在直角坐标系内标出

系及其表示。由几何位置“终边相同”210?/span>，－150?/span>角的终探讨其代数特

教师：[展示课件]让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现

“终边相同”的角的关系，并利边，你有什么发现？它们有怎样的征的“统一”。数量关系？328?/span>、－32?/span>、－392?/span>角的终边呢？

⑵.直角坐标系内，角α对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角α终边相同的角？如果存在，如何表示？ 4．练习

教科书p6练习第1～2题例1.在00～3600范围内，找出与例-950012′角终边相同的角，并判定题

分它是第几象限角.例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y=x上的角

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

用集合表示出来。

学生：口答

教师：通过提问的形式向学生传递答案。

教师：分析、板书例1。

学生：自学例2。

教师：指出这两个集合求并集的关键是把2700改写成900+1800，然后重新组合。

师生：共同完成例3，注意k的正确取值是关键。析的集合s,并把s中适合不等式-3600≤α≤7200的元素β写出来.1．教科书p6练习第3～5题尝 2．补充：

学生：尝试独立完成练习

通过练习，掌试 ①时针经过3小时20分，则时针握象限角的判教师：巡视，个别辅导

断、终边相同转过的角度为，分针转过的练的角的表示方学生：回答结果

角度为。

法。

习教师：给出评价

②若角α是第二象限角，则180啊?i>α是第象限角。问题：1.你知道角是如何推广的小吗？象限角是如何定义的呢？

让学生复习本学生：回答，讨论交流，补充

结 2.你掌握了与角α终边相同的角节主要内容，的集合的表示方法吗？

完善学生的认与

知结构，体会3.本节课你体会到哪些数学思想教师：归纳总结，突出重点知识；

数学思想方反方法？

解决学生的疑惑点。法。

思 4．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？评作业与反馈：

教科书p10习题1.1a组第1～3 1．题价

2．选做题：

①.写出终边在坐标轴上的角的集设

②写出终边在y= 合。

3．【发展要求】

上的角的集能用集合和数

2．判断角是第几象限角；

1．终边相同角的表示；关注学生的能力差异。

计合s,并把s中适合不等式-3600≤学语言表示终α<7200的元素β写出来.边满足一定条

件的角；

③若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是。

在实际生活中1．你能举出一些日常生活中的“大于3600的角和负角”的例子吗？与课

同桌交流，并熟练掌握它们的表

体验数学的应用价值

外示，进一步理解具有相同终边的角的特点．活

2．【探究学习】如果角α是第二动

象限角，那么在哪里？

探究学习，激

等角的终边落发学习兴趣。

《任意角》教学设计篇2

教育部制订的普通高中《数学课程标准》(人民教育出版社2003年版)第31页关于必修4《三角函数》的内容与要求是:借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.根据这个要求,人民教育出版社《数学必修4》(2007年版)第12页给出的任意角的三角函数定义为(本文称为定义1):

定义1 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么

y叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y;

x叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x;

$\frac{y}{x}$ 叫做α的正切,记作tan α,即 $\tan α = \frac{y}{x} .$

而把原教材中的三角函数定义,在第13页用注释给出(本文称为定义2),并要求学生证明.

定义2 一般地,设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则 $\sin α = \frac{y}{r} ‚ \cos α \frac{x}{r} ‚ \tan α = \frac{y}{x} .$

在实际教学中,定义1的优点是简洁明了,缺点是缺乏一般性,在实际解题中不能直接应用.而定义2不但简洁明了,而且在一般性问题中都可以直接应用.例如教材第12页的例题:已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.

教材中是先求出r=|OP0|=5,再用相似三角形的比例关系转化成单位圆与终边的交点坐标来得到解.由于涉及到相似比以及符号,结果把这个简单明了的问题搞得复杂化;而且这种相似比及符号问题没有一般性,如果α在其它象限,其比值符号仍是一个困难.在讲解和学习时,学生普遍反映思维别扭、理解不清、难以接爱.

如果利用定义2,其解法就自然、清楚而且不受象限及符号的影响:因为P0(-3,-4)在α的终边上,所以x=-3,y=-4,r=5.据定义2,得 $\sin α = \frac{y}{r} = - \frac{4}{5} ‚ \cos α = \frac{x}{r} = - \frac{3}{5}, \tan α = \frac{y}{x} = \frac{4}{3} .$

同样,第15页的练习2,第20页的习题1.2的2以及须由定义解答的问题都是利用定义2容易解答,这是因为很少有问题会在已知中给出终边上的点刚好是单位圆上的条件,所以用定义1解答必须涉及相似比以及符号问题等困难,这是没有必要的.

根据以上分析,建议在教学时,把定义2作为任意角三角函数的定义,而把定义1作为简化定义.这一节的主要教学步骤可设计为:

1定义引入

1)学生复习直角三角形中锐角α的正弦sinα,余弦cosα,正切tanα.

提出问题:现在角α是任意角,这种定义应扩展.

2)将角α放在直角坐标系中,先以简单的情况为例研究.

设α是第一象限角,如图1所示,如何定义α的三角函数,要考虑2个因素:

(1)初中用比来定义,现在扩大的定义要包含以前的定义;

(2)sinα,cosα,tanα要由α唯一确定(否则不是函数).

学生经过讨论基本上能认同找一个,教师指出,这个的实质是终边上的点P(x,y).记联想第一个因素,可以用比值定义sinα,cosα,tanα.

进一步讨论这个比值是否由α唯一确定?与P在终边上的位置是否有关系?假如另外取一点学生易知.即比值与P点在终边上的位置无关,由唯一确定.

于是这个定义是合理的,也就是说以α的终边上的一点P(x,y)的坐标x,y和OP=r的比值来定义三角函数是符合函数要求的.

3)进一步可以考虑,以上定义与α所在的象限有否关系(无),α有否大小限制(无).

4)综合以上分析,任意角α的三角函数的定义是:设角α终边上的任意一点的坐标为P(x,y),它与原点O的距离为r,则

5)说明:(1)定义中的P点是α终边上的任一点;(2)因为r>0,所以对任何α,sinα,cosα总有确定值,而x=0即时,tanα没有意义;(3)因为角α可以用弧度(实数)表示,所以三角函数建立了角的集合(弦度表示)与实数集之间的一一对应关系.

6)给出单位圆概念.

7)探讨三角函数的简化定义:角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则r=1,此时定义简化为sinα

2定义的应用

1)已知角α终边上一点求三角函数值,讲练课本12页例2,15页练习2.可用一般定义解决(点已知代定义).

2)已知角α的大小求三角函数(课本12页例1),可用单位圆与α终边的交点(点未知,自已取),进而练习特殊角的三角函数值,并记忆.

3三角函数的定义域

由定义知定义域,学生填表(课本13页)并记忆.

4三角函数值的符号

由定义和角α终边上一点P(x,y)在各象限的符号来探讨三角函数值在各象限的符号,学生填表(课本13页).记忆和应用(课本13页例3).

5诱导公式一

学生探讨,由定义知终边相同的同名三角函数值相等.诱导公式一的作用是把任意角化为一周内的角.应用(课本14页例4,例5,15页练习5,6).

6小结

小结.布置课外练习.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验)[S].北京:北京师范大学出版社,2001.

[2] 张维忠.文化视野中的数学与数学教育[M].北京:人民教育出版社,2005.

《任意角》教学设计篇3

初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出

与已知角终边相同的角的集合。

过程与方法：培养学生的类比思维能力，形象思维能力。

情感态度价值观：通过对任意角的概念的学习，体验角的

概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识

，用数学知识认识世界，从而培养学生善于思考、勤于动

手的良好品质。

重点与难点：重点：将0°～360°的角的概念推广到任意

角。难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示。

教学过程：1.创设情境：（互动）请两名同学起立，做由

“面向黑板转体背向黑板”的动作，在这个过程中他们各

转体了多少度？（引导学生关注旋转的方向和旋转的量这

两个要点）

在生活中我们已经遇到术语“转体720°”，“转体1080°

”等大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角，说明角

已不仅仅局限于0°～360°之间，这正是我们这节课要研

究的主要内容——任意角。

2.基础层次：问题1：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它

校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校

准？当时间校准后，分针旋转了多少度？学生答：手表慢

了5分钟，拨快5分钟，即分针顺时针方向旋转30°；手表

快了1.25小时，则拨慢1.25小时，即分针逆时针方向旋转

450°。问题2：初中所学的角是如何定义？答：平面内一

条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图

形。范围是0°～360°。（说明：三要素两条射线，一个

顶点。）问题3：按旋转方向角可以分成哪三类？总称任意

角。正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针

方向旋转形成的角；零角：一条射线没有做任何旋转。（

设置意图：给出任意角的概念，并引导学生通过类比数的

正、负和零角的概念。）

3.自主检测：①直角坐标系中作出30°，–120°，90°，

-270°并说明是第几象限角？②锐角是第几象限角？第一

象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个

问题。答：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角

；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不

一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝

角。设计意图：让学生明确角的概念推广以后，初中的有

些概念也要与时俱进发生改变，使学生进一步理解象限角

的概念，培养学生的数形结合能力。

4.探究层次。①在同一直角坐标系中作角（请学生用不同

颜色的笔画出图）30°、390°、-330°；–32°、﹣392

°、328°。②将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给

定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反之，对于直

角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？

如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（小组活动

，探究30°、390°、-330°的数量关系，–32°、﹣392

°、328°角的终边及数量关系。突破本节课难点）。

390°=30°+360°(k=1) -392°=-32°-360°(k=-

-330°=30°-360°(k=-1)328°=-32°+ 360°(k=1)

750°=30°+2×360°(k=2)688°=-32°+2×360°

(k=2)

S={︱=30°+k·360°，k∈Z}S={︱=-32°+k·

360°，k∈Z}

设计意图：用集合和符号来表示终边相同的角，涉及任意

角、象限角、终边相同的角等新概念，所以这是本小节学

习的主要难点。体会特殊到一般，从具体到抽象的思想方

法，培养学生观察、归纳的能力，为后面周期的概念作铺

垫，并让学生理解终边相同的角不是唯一的，而是一个角

的集合。

③定义终边相同的角。所有与角终边相同的角，连同角

在内，可构成一个集合S={︱=+k·360°，k∈Z}

，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数

个周角的和。

强调：①k∈Z；②是任意角；③终边相同的角不一定相

等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。

探究问题：①终边在y轴非负半轴上的角的集合S={︱

=90°+k·360°，k∈Z}，终边在y轴非正半轴上的角的集

合S={︱=270°+k·360°，k∈Z}；②写出终边在y轴

上的角的集合，S1={︱=90°+k·360°，k∈Z}，S2={

︱=270°+k·360°，k∈Z}。终边在y轴上的角的集合

，S= S1∪S2={︱=90°+2k·180°，k∈Z}∪{︱

=90°+180°+2k·180°，k∈Z}

={︱=90°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=90°+

(2k+1)180°，k∈Z}

={︱=90°+n·180°，n∈Z}

{偶數}∪{奇数}={整数}

5.能力检测：①写出终边直线在y=x上的角的集合S。解：

在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°

，225°因此终边在直线y=x上的角的集合S= S1∪S2={︱

=45°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=45°+180°+2k·

180°，k∈Z}

={︱=45°+2k·180°，k∈Z}∪{︱=45°+

(2k+1)180°，k∈Z}

={︱=45°+n·180°，n∈Z}

②并把S中适合不等式的元素写出来：45°-2×180°=-

315°；45°-1×180°=-135°；45°+0×180°=45°；45

°+1×180°=225°；45°+2×180°=405°；45°+3×180

°=585°

6.板书设计与课堂小结：①这节课你学到了哪些知识（让

学生自己总结）；②这节课你学到了哪些数学思想。总结

任意角：任意角包括：正角、负角、零角（按旋转方向）

；按终边所在的位置分类：象限角，轴线角；终边相同的

角S={︱=+k·360°，k∈Z}。

《任意角的三角函数》教学反思篇4

通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。

在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。

《任意角三角函数》说课稿篇5

《任意角三角函数》说课稿1

各位同仁，各位专家：

我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自苏教版高中实验教科书《数学》第四册第1。2节

先对教材进行分析

教学内容：任意角三角函数的定义、定义域，三角函数值的符号。

地位和作用：任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念对三角内容的整体学习至关重要。同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。所以这个内容要认真探讨教材，精心设计过程。

教学重点：任意角三角函数的定义

教学难点：正确理解三角函数可以看作以实数为自变量的函数、初中用边长比值来定义转变为坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的理解；

学情分析：

学生已经掌握的内容，学生学习能力

1。初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

2。我们南山区经过多年的初中课改，学生已经具备较强的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

3。在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行

针对对教材内容重难点的和学生实际情况的分析我们制定教学目标如下

知识目标：

（1）任意角三角函数的定义；三角函数的定义域；三角函数值的符号，

能力目标：

（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析探究解决问题的能力。

德育目标：

（1）学习转化的思想，（2）培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

针对学生实际情况为达到教学目标须精心设计教学方法

教法学法：温故知新，逐步拓展

（1）在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容，发展新知识，形成新的概念；

（2）通过例题讲解分析，逐步引出新知识，完善三角定义

运用多媒体工具

（1）提高直观性增强趣味性。

教学过程分析

总体来说，由旧及新，由易及难，

逐步加强，逐步推进

先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义

过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义

再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义

给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识拓展完善定义。

具体教学过程安排

引入：复习提问：初中直角三角形中锐角的正弦余弦正切是怎样定义的？

由学生回答

SinA=对边/斜边=BC/AB

cosA=对边/斜边=AC/AB

tanA=对边/斜边=BC/AC

逐步拓展：在高中我们已经建立了直角坐标系，把“定义媒介”从直角三角形改为平面直角坐标系。

我们知道，随着角的概念的推广，研究角时多放在直角坐标系里，那么三角函数的定义能否也放到坐标系去研究呢？

引导学生发现B的坐标和边长的关系。进一步启发他们发现由于相似三角形的相似比导致OB上任一P点都可以代换B，把三角函数的定义发展到用终边上任一点的坐标来表示，从而锐角三角函数可以使用直角坐标系来定义，自然地，要想定义任意一个角三角函数，便考虑放在直角坐标中进行合理进行定义了

从而得到

知识点一：任意一个角的三角函数的定义

提醒学生思考：由于相似比相等，对于确定的角A ，这三个比值的大小和P点在角的终边上的位置无关。

精心设计例题，引出新内容深化概念，完善定义

例1已知角A 的终边经过P（2，—3），求角A的三个三角函数值

（此题由学生自己分析独立动手完成）

例题变式1，已知角A 的大小是30度，由定义求角A的三个三角函数值

结合变式我们发现三个三角函数值的大小与角的大小有关，只会随角的大小而变化，符合当初函数的定义，而我们又一直称呼为三角函数，

提出问题：这三个新的定义确实问是函数吗？为什么？

从而引出函数极其定义域

由学生分析讨论，得出结论

知识点二：三个三角函数的定义域

同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数

例题变式2，已知角A 的终边经过P（—2a，—3a）（ a不为0），求角A的三个三角函数值

解答中需要对变量的正负即角所在象限进行讨论，让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关，从而导出第三个知识点

知识点三：三角函数值的正负与角所在象限的关系

由学生推出结论，教师总结符号记忆方法，便于学生记忆

例题2：已知A在第二象限且 sinA=0。2 求cosA，tanA

求cosA，tanA

综合练习巩固提高，更为下节的同角关系式打下基础

拓展，如果不限制A的象限呢，可以留作课外探讨

小结回顾课堂内容

课堂作业和课外作业以加强知识的记忆和理解

课堂作业P16 1，2，4

（学生演板，后集体讨论修订答案同桌讨论，由学生回答答案）

课后分层作业（有利于全体学生的发展）

必作P23 1（2），5（2），6（2）（4）选作P23 3，4

板书设计（见PPT）

《任意角三角函数》说课稿2

1、教学目标：

一、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。

二、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。

三、通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

四、让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。

2、教学重点与难点：

重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号。

难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

授课过程：

一、引入

在我们的现实世界中的许多运动变化都有循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性。如何用数学的方法来刻画这种变化？从这节课开始，我们要来学习刻画这种规律的数学模型之一――三角函数。

二、创设情境

三角函数是与角有关的函数，在学习任意角概念时，我们知道在直角坐标系中研究角，可以给学习带来许多方便，比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类，现在大家考虑：若在直角坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数又可怎样定义呢？

学生情况估计：学生可能会提出两种定义的方式，一种定义为边之比，另一种定义在比值中引入了终边上的一点P的坐标。

问题：

1、锐角三角函数能否表示成第二种比值方式？

2、点P能否取在终边上的其它位置？为什么？

3、点P在哪个位置，比值会更简洁？（引出单位圆的定义）。指出sina＝mP的函数依旧表示一个比值，不过其分母为1而已。

练习：计算的各三角函数值。

三、任意角的三角函数的定义

角的概念已经推广道了任意角，那么三角函数的定义在任意角的范围里改怎么定义呢？

尝试：根据锐角三角函数的定义，你能尝试着给出任意角三角函数的定义吗？

评价学生给出的定义。给出任意角三角函数的定义。

四、解析任意角三角函数的定义

三角函数首先是函数。你能从函数观点解析三角函数吗？（定义域）

对于确定的角a，上面三个函数值都是唯一确定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

五、三角函数的应用。

1、已知角，求a的三角函数值。

2、已知角a终边上的一点P（－3，－4），求各三角函数值。

以上两道书上的例题，让学生自习看书，学生看书的同时，老师提出问题：

1、已知角如何求三角函数值？

2、利用角a的终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数，你能给出这种定义吗？（这种定义与课本中给出的定义各有什么特点？）

3、变式：已知角a终边上点P（－3b，－4b），（b0），求角a的各三角函数值。

4、探究：三角函数的值在各象限的符号。

六、小结及作业

教案设计说明：

新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计。

首先，角的概念推广了，那么锐角三角函数的定义是否也该推广到任意角的三角函数的定义呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

其次，到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辨证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突。在这个立－破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思。这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解。

再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的。培养数形结合的思想。

《任意角三角函数》说课稿3

各位领导,各位老师:

我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》④（必修）第1.2.1节。

一、教材结构与内容简析

本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。

数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。

二、教学重点、难点、关键

教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。

教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）。

三、学情分析

学生已经掌握的内容及学生学习能力

1.学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

2.学生的运算能力较差。

3.部分同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

4.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。

四、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：

1.基础知识目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；

2.能力训练目标：通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力。

3.情感目标：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

五、教学理念和方法

教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学教法，在课堂结构上，设计了①创设情境——揭示课题②推广认知——形成概念③巩固新知——探求规律④总结反思——提高认识⑤任务后延——自主探究五个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：

六、教学程序及设想

总体来说,由旧及新,由易及难,逐步加强,逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义.

先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。

（一）创设情境——揭示课题

问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？

【设计意图】学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）。温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。

问题2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？

问题3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。

能表示吗？怎样表示？针对刚才的问题点名让学生回答。用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。

【设计意图】

从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。

问题4：对于确定的角，这三个比值是否与P在的终边上的位置有关？为什么？

先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，

联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，

六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。

得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的.函数。

（二）推广认知——形成概念

将锐角的比值情形推广到任意角α后，水到渠成，师生共同进行探索和推广出：任意角的三角函数定义。同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数，对数学学习能力较好的同学起到了很好的指导作用。

教师指出:sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆。

（关于值域，到后面再学习）

【设计意图】定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。

（三）巩固新知——探求规律

为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，

例1.已知角的终边过点，求的六个三角函数值

要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照板书，模仿书面表达格式。

巩固定义之后，我特地设计了一组即时训练题，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动，培养学生分析解决问题的能力。

例2.求的正弦、余弦和正切值。

分析：终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）

师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。

取特殊点能使计算更简明。

等待学生基本理解和掌握三角函数定义后，观察、分析初、高中所计算的函数值有何变化，让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关,然后引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，从而导出三角函数值的正负与角所在象限的关系，进而由教师总结符号记忆方法,便于学生记忆。

【设计意图】判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的“才”字符号法则，这也是理解和记忆的关键。

（四）总结反思——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容：⑴任意角的三角函数的定义及其定义域；⑵三角函数的符号规律。让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

（五）任务后延——自主探究

学生经过以上四个环节的学习，已经初步掌握了任意角的三角函数的定义及三角函数的符号规律，有待进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的作业，其中思考题的设计思想是：综合练习巩固提高,更为下节的学习内容打下基础，同时留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，以有利于全体学生的发展。

七、简述板书设计。

cotα、cscα、secα的定义写在sinα、cosα、tanα的左下方，突出本节重要内容的主体地位。

结束：以上，我仅从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。

希望各位领导、同行对本堂说课提出宝贵意见。

《任意角三角函数》说课稿4

一、教学目标

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.

2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.

3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.

4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度.

二、重点、难点、关键

重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数.

关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）.

三、教学理念和方法

教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

四、教学过程

[执教线索：

回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）--问题情境：能推广到任意角吗？--它山之石：建立直角坐标系（为何？）--优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数--探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）--自主定义：任意角三角函数定义--登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）--例题与练习--回顾小结--布置作业]

（一）复习引入、回想再认

开门见山，面对全体学生提问：

在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？

探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：

（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？

让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：

传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域.

现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f（x），x∈A，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域.

设计意图：

函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和个性的关系，学生已经学习了函数的概念，因此对三角函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎的过程,也是以具体函数丰富函数概念的过程.教学经验表明：学生对函数两种定义的记忆是有一定困难的，容易遗忘，此处让学生对函数概念进行回想再认，目的在于明确函数概念的本质，为演绎学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备.

（情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数.请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

设计意图：

学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）.温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少.

（二）引伸铺垫、创设情景

（情景3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于4.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

设计意图：

从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：

把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作Pm⊥x轴于m，构造一个RtΔomP，则∠moP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边om=x、对边mP=y，斜边长|oP∣=r.

根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：

设计意图：

此处做法简单，思想重要.为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形.由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数.初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义.这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础（譬如从平面向量到空间向量的扩展，从实数到复数的扩展等）.

（情景4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？

追问：锐角α大小发生变化时，比值会改变吗？

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r不变，让P绕原点o旋转即α在锐角范围内变化，六个比值随之变化的直观形象。结论是：比值随α的变化而变化.

引导学生观察图3，联系相似三角形知识，

探索发现：

对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是

确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

设计意图：

初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键.这样做能够使学生有效地增强函数观念.

（三）分析归纳、自主定义

（情境5）能将锐角的比值情形推广到任意角α吗?

水到渠成，师生共同进行探索和推广：

对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：

终边分别在四个象限的情形：终边分别在四个半轴上的情形：

；

（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）

怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：

（板书）设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P（x，y），P与原点o之间的距离记作r（r=＞0），列出六个比值：

α=kππ/2时，x=0，比值y/x、r/x无意义；

α=kπ时，y=0，比值x/y、r/y无意义.

追问：α大小发生变化时，比值会改变吗？

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r保持不变，P绕原点o逆时针、顺时针旋转即角α变化，六个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随α的变化而变化.

再引导学生利用相似三角形知识，探索发现：对于任意角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

综上得到（强调）：当角α变化时，六个比值随之变化；对于确定的角α，六个比值（如果存在的话）都不会随P在角α终边上的改变而改变，六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).

因此，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：

=sinα（正弦）=cosα（余弦）=tanα（正切）

=cscα（余割）=sec（正弦）=cotα（余切）

教师强调：sinα表示sin与α的乘积吗？不是，sinα是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f（x）.其它几个三角函数也如此

投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：

（图六）

指导学生识记六个比值及函数名称.

教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）.

引导学生进一步分析理解：

已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值.因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便.

设计意图：

把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来，有利于对任意性的全面把握.明确比值存在与否的条件，为确定函数定义域作准备.动画演示比值与角之间的依赖性与确定性关系，深化理解三角函数内涵.引导学生在理解的基础上自主地对三角函数作出明确定义，是本节课的中心任务.由于学生刚学弧度制，对弧度制的理解有待于在以后的学习应用中逐步感悟，因此部分学生对“三角函数可以看成是以实数为自变量的函数”的理解有半信半疑之感，有待通过后续的应用加深理解.

（四）探索定义域

（情景6）（1）函数概念的三要素是什么？

函数三要素：对应法则、定义域、值域.

正弦函数sinα的对应法则是什么？

正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→y/r=sinα.

(2)布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个三角函数的定义域，填写下表：

三角函数

sinα

cosα

tanα

cotα

cscα

secα

定义域

引导学生自主探索：

如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围.

关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r恒有意义，定义域都是实数集R.

对于tanα=y/x，α=kππ/2时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：{α|α∈R，且α≠kππ/2}..........

教师指出:sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆.

（关于值域，到后面再学习）.

设计意图：

定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握.

（五）符号判断、形象识记

（情景7）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！

引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

（同好得正、异号得负）

sinα=y/r：上正下负横为0cosα=x/r：左负右正纵为0tanα=y/x：交叉正负

设计意图：

判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键.

（六）练习巩固、理解记忆

1、自学例1：已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的六个三角函数值.

要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义.

课堂练习：

p19题1：已知角α的终边经过点P（-3，-1），求α的六个三角函数值.

要求心算，并提问中下学生检验，--------

点评：角α终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道α终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）.

补充例题：已知角α的终边经过点P（x，-3），cosα=4/5，求α的其它五个三角函数值.

师生探索：已知y=-3，要求其它五个三角函数值，须知r=？，x=？.根据定义得=（方程思想），x＞0，解得x=4，从而--------.解答略.

2、自学例2：求下列各角的六个三角函数值：(1)0；(2)π/2；(3)3π/2.

提问，据反馈信息作点评、修正.

取特殊点能使计算更简明。课堂练习：p19题2.（改编）填表：

角α（角度）

0°

90°

180°

270°

360°

角α（弧度）

sinα

cosα

tanα

处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.

强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2、π、3π/2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.

设计意图：

及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终.

（七）回顾小结、建构网络

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：

1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，---，在终边上任意取定一点P，---）

2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，------）

3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置，-----）

设计意图：

遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策.此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力.

（八）布置课外作业

1．书面作业：习题4.3第3、4、5题.

2．认真阅读p22“阅读材料：三角函数与欧拉”，了解欧拉的生平和贡献，特别学习他对科学的挚着精神和坚忍不拔的顽强毅力！有兴趣的同学可以上网查阅欧拉的相关情况.

教学设计说明

一、对本节教材的理解

三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.

星星之火，可以燎原.

直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、辅助角公式、图象和性质，本章教材就是这些内容的具体安排.定义直接用于解析几何（如直线斜率公式、极坐标、部分曲线的参数方程等），定义还是直接解决某些问题的工具，三角函数知识是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础.

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.

二、教学法加工

数学教材通常用抽象概括的形式化的数学书面语言阐述其知识和方法，教师只有通过教学法加工，始终贯彻“以学生的发展为本”的科学教育观，“将数学的学术形态转化为教育形态”（张奠宙语），引导学生积极主动地进行思考活动，直接参与体验数学知识产生发展的背景、过程，返璞归真，揭示本质，体会其中的思想和方法，学生只有这样才能真正理解掌握数学知识和方法，有效地发展智力、培养能力.

在本节教材中，三角函数定义是重点，三角函数线是难点，为了较好地突出重点和突破难点，分散重点和难点，同时兼顾例题、课堂练习的协调匹配，将不按教材顺序来进行教学，第一课时安排三角函数的定义（突出重点）、定义域、符号判断、例题1、2及p19课堂练习1、2、3，第二课时安排三角函数线、p15练习（突破难点）、诱导公式一及课本例题3、4和其它练习.本课例属第一课时.

教学经验表明，三角函数定义“简单易记”，学生很容易轻视它，不少学生机械记忆、一知半解.本课例坚持“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发探索、讲练结合”的常规教学方法，在学生的最近发展区围绕学生的学习目标设计了一系列符合学生认知规律的程序，通过多媒体辅助教学动画演示比值与角之间的依赖关系，拓展思维活动时空，力求使学生全员主动参与，积极思考，体会定义产生、发展的过程，通过思维过程来理解知识、培养能力.

将六个比值放在一起来研究，同时给出六个三角函数的定义，能够增强对比感和整体感，至于大纲对两组函数掌握与了解的不同要求，在下一步的教学中注意区分就行了.

教学中关于符号sinα、cosα、tanα的出场安排，教材首先对比值取名并给出英文记法，再研究它们与α的函数关系；另外可以先研究六个比值与α之间的函数关系，然后再对六个比值取名给出记法.后者更能突出函数内涵，揭示三角函数本质.本课例采用后者组织教学.

三、教学过程分析（见穿插在教案中的设计意图）.

《任意角三角函数》说课稿5

各位领导，各位老师：

我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》④（必修）第1。2。1节。

一、教材结构与内容简析

数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。

二、教学重点、难点、关键

教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。

教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（ α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）。

三、学情分析

学生已经掌握的内容及学生学习能力

1。学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。

2。学生的运算能力较差。

3。部分同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。

4。在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。

四、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：

1。基础知识目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；

2。能力训练目标：通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力。

3。情感目标：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

五、教学理念和方法

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学教法，在课堂结构上，设计了 ①创设情境——揭示课题②推广认知——形成概念③巩固新知——探求规律④总结反思——提高认识⑤任务后延——自主探究五个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：

六、教学程序及设想

总体来说，由旧及新，由易及难，逐步加强，逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义。

先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。

（一）创设情境——揭示课题

问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？

问题 2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？

问题 3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。

【设计意图】

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。

问题 4：对于确定的角，这三个比值是否与P在的终边上的位置有关？为什么？

先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，

联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，

六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。

得出结论（强调）：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。

（二）推广认知——形成概念

教师指出： sinα、csα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，ctα、cscα、secα的定义域不要求记忆。

（关于值域，到后面再学习）。

【设计意图】定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域。指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。

（三）巩固新知——探求规律

为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，

例1。已知角的终边过点，求的六个三角函数值

要求：读完题目，思考：计算什么？需要准备什么？闭目心算，对照板书，模仿书面表达格式。

巩固定义之后，我特地设计了一组即时训练题，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动，培养学生分析解决问题的能力。

例2。求的正弦、余弦和正切值。

分析：终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）

取特殊点能使计算更简明。

等待学生基本理解和掌握三角函数定义后，观察、分析初、高中所计算的函数值有何变化，让学生意识到三角函数值的正负与角所在象限有关，然后引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，从而导出三角函数值的正负与角所在象限的关系，进而由教师总结符号记忆方法，便于学生记忆。

【设计意图】判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求。要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的“才”字符号法则，这也是理解和记忆的关键。

（四）总结反思——提高认识

（五）任务后延——自主探究

学生经过以上四个环节的学习，已经初步掌握了任意角的三角函数的定义及三角函数的符号规律，有待进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的作业，其中思考题的设计思想是：综合练习巩固提高，更为下节的学习内容打下基础，同时留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，以有利于全体学生的发展。

六、简述板书设计。

ctα、cscα、secα的定义写在sinα、csα、tanα的左下方，突出本节重要内容的主体地位。

结束：以上，我仅从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。

《任意角》教学设计篇6

作已知角O

以O为圆心, 任意长度为半径画弧, 分别交两边于m、n。

作∠m On的角平分线OP

作EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT=EMBEDE-quation.KSEE3*MERGEFORMATEMBED Equation.KSEE3*MERGEFORMAT。

过g点作OP的平行线交On的延长线于Q

以Q为圆心, On为半径画弧, 交OP于O2。

以O2为圆心, O2Q为半径画弧, 交Om的延长线于h, 交OP于P。

以1/2EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT为单位, 分别截取EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT=EMBEDEquation KSEE3*MERGEFORMAT=EMBEDEquation.KSEE3*MERGE-FORMAT=1/2EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT。

连接并延长O2r、O2s、O2Q。

过P点作⊙O2的切线, 分别交O2r、O2s的延长线于F、A。

连接OF, OA。

则:OF、OA三等份已知角∠m On。

2 证明

1) 作OA的垂直平分线, 交OP于O3。

2) 以O3为圆心、以O3A (即O3O) 为半径作⊙O3。分别交On的延长线于C、交OP的延长线于e, 交Om的延长线于f。

3) 延长AO2交圆于G, 延长AO3交圆于T, (为简便故, 设EMBED Equation.KSEE3*MERGEFORMAT为a, EMBED E-quation.KSEE3*MERGEFORMAT为b, 则EMBED Equation KSEE3*MERGEFORMAT=EMBED Equation.KSEE3*MERGEFORMAT=ab。)

4) 过EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT中点E, 作⊙O2的切线AW, 交On的延长线于B。交O2Q的延长线于W、交EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT于H。

5) 连接FW, 交EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT于M、交OP于R, 交AG于N。

∵△FRP∽△O2RN

∴AFW=∠AO2P=1/4∠m On=aab

又∠AFW=∠AWF (等腰)

则∠AWF=aabb-EMBED Equation.KSEE3*MERGEFOR-MAT=aab

∴EMBED Equation.KSEE3*MERGEFORMAT=b EMBED Equation.KSEE3*MERGEFORMAT=aa

6) 连接O2E并反向延长交AT于t。

∵∠PO2E=∠POB

∴O2E∥OB (同位角相等)

∴ABO=90°

又EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT=EMBEDE-quation.KSEE3*MERGEFORMAT=2a1b+EMBED Equation KSEE3*MERGEFORMAT

∴ABO=4a3b+EMBED Equation.KSEE3*MERGEFORMAT+EMBED Equation.KSEE3*MERGEFORMAT-b-EMBED E-quation.KSEE3*MERGEFORMAT=4a2b+EMBED Equation KSEE3*MERGEFORMAT

又∠FPO=3a2b+EMBED Equation.KSEE3*MERGEFOR-MAT+EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT

∠ABO=∠FPO=90°

∴EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT=a

连接O3C, 交O2E于y。

7) 连接O3H, 交O2E于K。

∵∠PO3C=4a2b×2=8a4b (以圆周角所对弧计算)

∠PO2E=1/2=4a2b

∴∠O3y O2=1/2=4a2b

∠Ky O3=∠t O2O3 (等量减等量)

在△KO3y和△t O3O2中。

∠KO3y=∠t O3O2

∠Ky O3=∠t O2O3

∴∠k=∠t

8) 连接HT

∵∠O3HT=∠O3TH (等腰)

∴HT∥Et

9) 以A为圆心, AO3为半径画弧, 交O2E于O4, 并连接AO4

10) 以O4为圆心, O4A为半径画弧, 交O2E的延长线于D

∵AE=AP AO4=AO3∠AEO4=∠APO3=90°

∴△AEO4≌△APO3 (斜边、直角边)

∴∠AO4E=∠AO3P

11) 连接AD、Ae

∵AO4=AO3DO4=e O3∠AO4D=∠AO3e

∴△AO4D≌△AO3e

∴∠Ae O3=∠ADO4

又∠ADO4=5a3b+EMBED Equation.KSEE3*MERGEFOR-MAT-ab-2a

=2a2b+EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT

Ae O3=3a1b+EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT

∵EMBEDEquation.KSEE3*MERGEFORMAT=EMBEDE-quation.KSEE3*MERGEFORMAT

3 a1b=2a2b

a=b

又∠FOA=2a2b

∠FOf=∠AOC=3a1b

∴∠FOf=∠FOA=∠AOC

《任意角》教学设计篇7

关键词任意点;平基范围 ;解析计算

中图分类号TB22 文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0106-02

0前言

在送电线路地面工程施工中,有降基的桩位都需定出平基范围后方开挖。尤其是线路经过高山大岭山区时,过去杆塔位降基是一项土石方工程量较大的施工项目,若平基范围定得不准,必将影响开挖边坡的平整美观甚至影响基坑的开挖施工或者造成不必要的多开挖,浪费材料及工时。下面寻求一种能准确定出任意周边点平基范围的计算方法。它也适用于其它平基后基面呈矩形平面的山坡开挖范围的确定。

1计算公式的导出

1.1基本公式横线路或顺线路方向时,如图1,O为原中心桩地面,A为开挖边坡上边中桩。在△OAB中,由正弦定理求得坡度法定中心桩到开挖上边中桩的地面斜距离L:

.........①

由于 ,上式又可写为:

.........①’

式中:

- 基础根开(m);

-基墩底宽(m);

-基墩底外边缘距边坡脚水平距离(m);

-中心桩实际降基值(m);

-开挖边坡比宽;

-开挖边坡放坡坡度;

-测点A对中心桩地面O的自然坡度角,测点比中心桩地面高取“+”、反之取“-”。

1.2 由于上公式只适用于横线路或顺线路方向(中点)时的情况,局限性很大。而往往平基范围的确定关键是需定出四个角点的位置。这里探讨的是平基范围周边任意位置的确定情况。

如图2,设一经过中心桩的假设垂直面与线路左右侧开挖边坡面 (称顺面或侧面)斜交成任意角时(即垂直面与顺或反线路方向的水平夹角,这里且规定在顺或反线路方向时为零)。与或 (线路前后侧开挖边坡面,称横面或正面)的交线O'A与基面(水平面)所成的角为注:基础为矩形根开时,垂直面与横、顺面的交线O'A是不重合的),则与及放坡角有一定的关系。下面就求出这个关系。这里横面、顺面与基面均成角(即放坡角度,设定边坡开挖面顺面、横面的放坡坡度相同)。

为讨论方便,设各面均为有限矩形面。有AA'=BB'=CC'。记垂直面经过平基范围周边角(即A点)时的角度为 (此时O'A最大)。

(1)当≤即垂面与横面相交(线路前后侧)时,由直角△O'A'B'、直角△O'BB'及直角△O'AA'得:

从而或 ......②

(2)当≥即垂面与顺面相交(线路左右侧)时,由直角△O'A'C'、直角△O'CC'及直角△O'AA'得:

从而或 ......③

1.3 在平基基面内,边坡脚任意点到中心桩的水平距离求法(如图3)。

(1)中心桩至边坡脚角点的水平距离:

顺(或反)线路夹角:

式中:

-平基面内横向半宽度(m),m=(k+d)/2+a;

-平基面内顺向半宽度(m),n=(c+d)/2+b;

其中:

-基础正面根开(m);

-基础侧面根开(m);

-基墩底宽(m);

-正面基墩底外边缘到开挖边坡脚(或外边坡边缘)的水平距离(m);

-侧面基墩底外边缘到开挖边坡脚(或外边坡边缘)的水平距离(m)。

(2)当 ≤ (前后侧)时,......④

当≥ (左右侧)时, ......⑤

这里的、只与基础根开、,基墩底宽及、值有关,而与放坡坡度及自然坡度无关,因此可视为一常量。

注意区分及 :为平基范围角点时的,而为平基面边坡脚角点时的,矩形根开时,两者数值不同。

1.4 由以上各步求得的结果,可求出地面平基范围任意周边点(即测点)到中心桩地面的斜距离:

(1)≤ (必定 ≤ )(前后侧)时,以②式代替①或①'式的、以④式代替①或①'的 ,得:

或 ......⑥

(2)≥ (左右侧)时,以③式及⑤式分别代入①或①'式及 ,得:

或 ......⑦

(3)当 ≤ ≤ 时(如图4),垂直面既与正面边坡相交,又与侧面边坡相交。由于公式所求的测点距离是以平基围地面周边角点为分界的,此时测点已落在左右侧,所以按≥情况,则L与⑦式同。由于≥ 时测点已落在左右侧,所以上述第(2)种情形应属≥ 时。只是< < 时,⑦式中的不是实际的平距 ,而是实际的的延长线至与侧面边坡脚延长线交点处的距离。但此时并不影响L的计算结果。可见L的计算并不受的限制(即与无关),所以L求法最终只分两种情况,即:

≤(前后侧)时,L与⑥式同。

≥(左右侧)时,L与⑦式同。

(4)得出了任意周边点(测点)到中心桩地面的斜距离L,从而可得到其它一些有关数据:

测点到中心桩的水平距离(m):

测点在横线路方向的水平距离(m):

测点在顺线路方向的水平距离(m):

测点对中心桩的地面高差(m):

测点对平基面的降挖高度(m):

1.5 所求公式虽然得出,但问题尚未完全解决,下步关键是如何确定平基范围周边角时的值()。由前第4大点的结论可知,当= 时,由公式⑥及⑦算出的L值应相等,稍经变化即得:

设

又令则有:......⑧

......⑨