平面一级倒立摆（精选4篇）
平面一级倒立摆 篇1
倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置,具有成本低廉,结构简单,物理参数和结构易于调整的优点,是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。在控制过程中,它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题,是检验各种控制理论的理想模型。本文以一级倒立摆为例,首先建立了倒立摆系统的数学模型,最终利用simulink建立其仿真模型。
1 一级倒立摆系统的数学模型
经过小心的假设忽略掉一些次要的因素,如忽略了空气阻力、系统内部的摩擦,不考虑构件的变形,则可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图1所示。这是一个典型的运动刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典牛顿力学理论建立系统的动力学方程。[1]
各参数符号含义如下:
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图,其中,N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直两个方向的分量。矢量正方向如图2所示。
小车作平动,由小车的水平受力分析,可以得到以下方程:
摆杆作平面运动,可分解为质心的平动和绕质心转动,由水平方向的受力分析,可以得到下式:
代入(1)式得:
再由摆杆的垂直方向的受力分析,得到下式:
又由摆杆对质心的力矩平衡方程有:
整理得:
在ϕ与1(单位是弧度)相比很小,即ϕ<<1时,则可以进行近似处理:cosϕ≈1,sinϕ≈ϕϕ&≈0。用u来代表被控对象的输入力F,线性化后得到两个运动方程如下:
可解得:
经整理后得到倒立摆的数学模型简化形式如下:
2 一级倒立摆系统的仿真模型
Simulink是Matlab最重要的组件之一,它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中,可以构造出复杂的仿真模型,下文根据倒立摆的数学模型,利用Simulink的封装功能,构建了倒立摆系统仿真模型子系统。[2]
根据倒立摆的数学模型即表达式(9),在Matlab中,用Simulink构建一级倒立摆模块Single Inv Pend,具体步骤如下:
(1)双击Matlab图标,启动Matlab,在工具栏中双击Simulink图标启动Simulink模块库浏览器窗口,然后再单击其工具栏中的新建(creat a new mode)图标,新建一个Simulink模型窗口。
(2)从Simulink模块库浏览器的菜单Simulink的子菜单端口和子系统模块(Port&Subsystems)下选中子系统Subsystem,并用左键拖入到新建的Simulink模型窗口中。左击系统框图下字符串“Subsystem”,删除后输入“Single Inv Pend”,实现子系统的重新命名。结果如图3。
Subsystems下在拖出三个输出模块out,把一个输入模块和四个输出模块分别重新命名为:u和x、x'、a、a',分别代表系统的输入向量u和输出向量x、x&、ϕ、ϕ&(Matlab中不支持公式编辑器和希腊字母)。结果如图4。
(4)双击Single Inv Pend模块,然后从Simulink下子菜单“用户自定义函数模块”(User-Defined Functions)中拖出Fcn子模块,单击Fcn子模块下的Fcn,删除Fcn重新命名为K1;再双击Fcn子模块并将对话框中的“Expression”中的内容修改为:[b+-)1*4/(*4 m M]*u,然后按OK,这就定义好了1K。(说明:由于matlab子系统的变量名是不区分大小写,所以数学模型中的摆杆的质量m在matlab中用m1代替)
(5)重复步骤4)依次定义K2、K3、K4、K5、K6。
(6)在窗口中再加入四个积分模块和两个加法模块,双击四个积分模块,把“Initial condition”下的内容分别修改为“init_cond(1)、init_cond(2)、init_cond(3)、init_cond(4)”。它们表示倒立摆的系统的初始条件。
(7)把所有模块按公式(9)的运算关系连结起来,得到子系统的内部结构图,如图5所示。
(8)利用Simulink的Mask功能进行封装。右击Single Inv Pend模块,选择Mask Subsystem(封装子系统)菜单,弹出子系统封装对话框,点击Parmeters标签,在参数对话框中,依次添加init_cond、M、M1、l、b、g等各参数变量,结果如图6。
(9)双击封装后的子系统,弹出模块的参数对话框,分别输入上述各参数变量的值,如图7。
至此完成了倒立摆系统的仿真模型的建立。
3 结束语
在倒立摆仿真控制时,有时需要了解不同的初始状态下控制系统的响应,或者要了解系统在其他参数情况下的控制系统的响应,这时我们只要重新双击封装后的子系统模型,再重新输入新的参数值即可,从而使模型更具灵活性,给仿真带来很大方便。
参考文献
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[2]王正林,王胜开,陈国顺.MATLAB/Simulink与控制系统仿真[M].北京:电子工业出版社,2005.7:44-77.
平面一级倒立摆 篇2
倒立摆的稳定控制在生活和生产中的应用非常广泛。传统的PID控制虽然能够完成响应,如果效果不是特别明显,如果将小车控制器设计成模糊PID控制器,并与摆杆闭环控制进行封装,形成一个双闭环PID控制器,就能够更好地实现倒立摆系统的控制。
1直线一级倒立摆的稳定性
直线一级倒立摆系统由小车、摆杆等组成,它们之间自由连接。在进行系统稳定性分析时,一般可以应用LaSalle’s Theorem或者是李 亚普诺夫 稳定性理 论。本文根据系统未进行矫正时的阶跃响应曲线来讨论系统的稳定性,利用MATLAB进行阶跃响应分析, 结果如图1、图2所示。
从图1和图2中可以看出,在阶跃响应信号的作用下,摆杆的角度以及小车的位置曲线都是发散的,即在没有使用控制器进行矫正之前,本系统在期望的平衡位置是一个非稳定系统。因此,系统需要矫正,使其变得稳定。由于直线一级倒立摆在平衡位置是能控的、 可观的,因此可以进行PID控制器设计,使系统稳定。
2倒立摆摆杆与小车的传统PID控制
2.1倒立摆摆杆的传统PID控制
把小车置于导轨中间位置,打开实验设备,并且将摆杆手动提起置于倒立位置保持不动,然后单纯对摆杆进行PID控制。根据多次实验仿真可知:当PID控制器中比例系数Kp=30,积分系数Ki=20,微分系数Kd=2.5时,得到的仿真效果最佳。所以,将3个参数按照此值进行调节,得到的仿真曲线如图3、图4所示。
在0.3s~0.5s时刻,为手动提起过程,从图3、 图4可知,此过程中摆杆的角度不断增加,当时间达到0.5s之后,摆杆在PID控制器的控制下能够自动保持倒立不倒,维持平衡不倒,小车也能维持短暂平衡状态;时间达到1.3s时,小车曲线出现突然下降,此时摆杆的角度突然增大,之后小车位置不再变化,摆杆的角度在此后出现大幅度震荡,摆杆在重力作用下向初始位置运动,此时小车在导轨上运动到极限位置,出现阻碍后就不再运动,也就不能给摆杆倒立不倒的力;在2s之后,小车的位置保持不变,也就是处于静止状态, 摆杆在重力作用下,由于惯性作用继续左右摆动,能够维持短暂的自由摆动,直至能量消耗完就静止。所以, 单独对摆杆进行PID控制器控 制,能够达到 最终目的,但是稳定效果不是特别明显。
2.2倒立摆小车的模糊PID控制
为保证摆杆直立运动,小车必须拥有合适的位移以及速度。但是对于由伺服电机带动的小车来说,不能精确地给出数学模型以及传递函数。因此,在对摆杆进行角度检测之后,对小车的控制采用模糊PID控制。当摆杆在直立的平衡位置范围内摆动时,控制小车的速度及位移,使摆杆直立不倒。对于摆杆来说,起摆的速度和加速度比较大,当达到平衡位置时,加速度在较小范围内变化。用模糊PID控制倒立摆小车得到的仿真曲线如图5所示,此时倒立摆摆杆的仿真曲线如图6所示。
在在这这种种单单一一对对小小车车进进行行模模糊糊控控制制的的情情况况下下,小小车车运动稳定,倒立摆摆杆的运动在单位时间内是稳定的, 但是在整个控制过程中是不稳定的。这种控制效果虽然也能够达到让倒立摆摆杆倒立稳定的目的,但是,控制效果并不理想。为了能使 摆杆得到更加优良的控制,实现理想的控制效果,还可以寻找更好的控制方法。
3倒立摆摆杆与小车的新型PID控制
根据上述两种控制进行综合分析,单纯对摆杆进行PID控制可以使系统维持短暂时间的稳定,当小车遇到极限位置时系统停止运动;单纯对小车进行PID控制时,系统更加不稳定,鲁棒性能效果不理想,稳定时间变得更小。因此,在上述理论的基础上,分别将两个控制器进行组合,形成双PID控制组合,得到的倒立摆系统闭环PID控制器如图7所示。利用这种双闭环控制器,得到倒立摆的实时控制仿真曲线,如图8、图9所示。
从图8、图9可以很清晰地看到,摆杆在两个控制器的控制下维持倒立稳定,虽然小车仿真曲线出现震荡,但是小车可以在导轨上的某个范围内一直运动,保证摆杆倒立不倒。本实验仿真结果显示:双闭环控制器对此倒立摆系统具有很好的控制作用。
4结论
平面一级倒立摆 篇3
倒立摆是一种典型的机电一体化设备，它是机器人技术、控制理论、计算机控制等多种技术的有机结合，其系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统。
为实现典型的多输入多输出平面二级倒立摆系统平衡控制，融合函数合并状态变量，减少输入变量维数设计模糊控制器，使模糊控制器的控制规则更为简单、有效，同时对量化因子参数进行优化。实验证明，其较好地实现平面二级倒立摆的稳定控制。
1 平面二级倒立摆的数学模型
采用如图1所示的坐标系,在忽略空气阻力以及摩擦等后，可以将倒立摆系统看成平台、均匀杆和质量块组成，并定义如下参数：Mx,X方向平台运动部分及摆体支座质量;My,Y方向平台运动部分及摆体支座质量;m1，摆杆1质量;m2，摆杆2质量;m3，摆杆1和摆杆2连接质量块的质量;l1，摆杆1长度;l2，摆杆2长度。
利用拉各朗日方程推导系统的动力学方程。拉各朗日方程为：
式中，L为拉各朗日算子，q为系统的广义坐标。
对于广义坐标qi和拉各朗日算子L，有：
其中，i=1,2,3…;q={q1,q2,q3…}，为广义变量;τ为系统沿该广义坐标方向上的广义外力。，是系统的动能，V是系统的势能。对于平面二级倒立摆系统，其广义坐标为：x,y,α1,β1,α2,β2,系统总动能为T=TM+Tm1+Tm2+Tm3，其中，TM,Tm1,Tm2,Tm3分别为支座动能，摆杆1、2和质量块的动能。
对上述变量分别计算，在平衡位置进行泰勒级数展开并线性化，并测得实际系统参数为：m1=0.06(kg),
β2·},ux=v1,uy=v2，则系统的状态方程可以表示为：
其中：
从式中可以看出，对于平面二级倒立摆，在经过近似线性化后，X方向和Y方向已经解耦，这样，系统由2输入、12输出的系统转化为2个独立的相对简单的系统，每个系统只含有1个输入、6个输出。
2 参数优化模糊控制器设计
平面二级倒立摆每个独立的系统蕴含6个变量，若采用通常形式的模糊控制器，其输入包括6个状态变量，若对每个输入变量的论域作7个模糊集的划分，这样完备的推理规则库会包含76=117649条推理规则。显然模糊控制规则设计复杂，可调参数非常多，不利于模糊规则的完整制定，这就是在使用模糊控制研究多变量非线性系统时的所谓“规则爆炸”问题。
为了解决模糊规则爆炸问题,可模仿人类简化问题的思路将单一的复杂控制策略转化为多级简单控制策略的嵌套：Y=F2[F1(X)]。其中X、Y分别表示控制器的输入和输出向量,F1称为“融合函数”,F2称为“作用函数”。这里先利用F1对输入变量X进行降维处理,再利用算法F2根据前级的输出进行控制。
把LQR最优控制理论与模糊控制策略相结合，采用融合技术设计一个线性融合函数，把多个变量融合成综合误差E和综合误差变化率EC，使模糊控制器的设计大为简化。
2.1 构造综合误差E和综合误差变化率EC
(1)基于LQR控制理论，根据系统方程X·=AX+BU确定最佳控制向量u(t)=-Kx(t)的矩阵K，使性能指标
选取合适的Q和R，通过MATLAB仿真计算出一组可让平面二级倒立摆系统(X方向)的线性模型达到稳定的状态反馈矩阵：
(2)利用线性系统的输出信息具有可直接融合的特点,构造一个线性融合函数：
其中：
(3)降维、融合成综合误差E和综合误差变化EC:
平面二级倒立摆Y方向同理。
X方向实际计算结果取：K=[14.142 15.892 77.7130.018 193.73 33.355]
Y方向实际计算结果取：
2.2 设计模糊控制器
由融合函数降维后，设计一个二维Mamdani型模糊控制器来实现平面二级倒立摆的控制。模糊控制规则如表1所示。采用重心法解模糊。
2.3 量化因子参数的优化设计
输入变量E和EC的基本论域[-xe,xe]和[-xec,xec]，控制量基本论域[-yu,yu]。误差的量化因子Ke、误差变化率的量化因子Kec和控制量的比例因子Ku分别由以下各式确定：Ke=3/xe,Kec=3/xec,Ku=yu/3。
根据系统初始状态确定的量化因子一般较小，可能造成死区，如在平衡点附近出现振荡、波动，影响二级倒立摆系统稳定。为此，有必要在平衡点附近切换量化因子。在此采用的Ke、Kec、Ku是可根据E、EC实时改变的：当E≥时，Ke=Ke1;当E≤时，Ke=Ke2;当EC≥时，Kec=Kec1;当EC≤时，Kec=Kec2。根据多次仿真实验，对阈值寻优确定上述参数。
3 实验及结果分析
利用matlab对系统进行仿真，仿真周期采用实际控制周期(0.005 s)，结果如图2所示。可以看出，在给平台一个干扰或是给摆杆一个干扰后，系统可以很快的达到新的平衡，调整时间约为3s。
在完成系统仿真后，利用固高科技有限公司GPIP2002平面二级倒立摆进行了倒立摆的平衡和抗干扰实验,从实验结果可以看出，系统运行比较稳定，倒立摆可以稳定很长时间，并且可以给其施加一定的干扰，系统可以很快回到平衡点。
只是由于系统存在摩擦阻力和干扰等不确定因素，系统运行时存在一些振动，XY平台X方向振动范围为(0m,0.06m)，Y方向振动范围为(0.01m,0.06m)(见图3)。摆杆1在X方向和Y方向的运动范围分别是(-0.02rad0.02rad)和(-0.03rad,0.02rad)(见图4);摆杆2在X方向和Y方向的运动范围分别是(-0.02rad,0.02rad)和(-0.02rad0.03rad)。并且由于标定误差的存在，平衡位置稍微偏离零点，如XY平台X方向偏移平衡位置0.02m,Y方向偏移0.025m(见图3)，摆杆实际平衡中心也偏移零点(见图4)，但这不会影响系统的稳定性。
4 结论
平面二级倒立摆是一种极为复杂的倒立摆，系统共有2个输入，12个输出，为典型的多输入多输出系统。对平面二级倒立摆进行运动学和动力学分析，用系统综合误差和综合误差变化率作为输入变量设计模糊控制器,从而减少了模糊控制器的控制规则,使其控制功能的实现更加简单有效。设置了阈值调节量化因子，优化量化因子参数，使量化因子可在平衡点附近自动切换，提高了模糊控制器适应能力，改善了控制精度。仿真和实物控制实验证明了这种模糊控制算法可实现平面二级倒立摆系统的稳定控制。
参考文献
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平面一级倒立摆 篇4
倒立摆系统具有非线性、欠冗余性、不确定性、强耦合和自然不稳定性等特点,由于这些特点使其成为研究各种先进控制理论的理想模型和检验控制效果的典型实验平台。许多研究人员一直将它视为典型的研究对象,不断从中发掘出新的控制策略,相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用.基于经典和现代控制理论设计倒立摆系统控制器已屡见不鲜,随着智能控制算法研究的发展,模糊控制、神经网络等智能控制方法[1,2,3,4]的优越性得到了控制界的普遍认同,各国学者对模糊控制倒立摆系统进行了大量研究。
对于平面二级倒立摆这样典型的多变量系统,随着系统的复杂化,模糊规则的总数都会随着输入变量的个数指数增长,即“模糊规则爆炸问题”,不利于实时控制。本文借助融合函数合并状态变量,解决了“模糊规则爆炸问题”。但同时由于状态合并大大增加了制定模糊规则的难度,使模糊控制规则难于制定和理解,必须进行大量的仿真实验才能实现良好的控制精度。本文应用模糊控制理论设计出参数自调整双模糊控制器,根据误差临界值(根据需要设定)实时改变量化因子,大大改善了模糊控制器的控制效果。
2 平面二级倒立摆系统的数学建模
控制系统建模有两种方法:机理建模和实验建模。对于平面倒立摆系统,由于其本身是自然不稳定的,所以无法进行实验建模。本文的研究对象为固高公司GPIP2002型平面二级倒立摆,采用机理建模推导了如图1所示的倒立摆系统的数学模型,倒立摆系统主要有控制对象、X Y方向水平导轨、伺服电机、传动轴以及电气驱动装置构成,控制对象有基座小车、摆杆1、摆杆2以及连接小车和摆杆1、两个摆杆之间的两个转轴组成,每个转轴处有2个一维编码器,通过编码器把摆杆转过的角度信息反馈到控制卡。以两个摆杆分别建立全坐标系Ox1y1z1和Ox2y2z2,在忽略了空气阻力和各种摩擦力等影响的条件下,平面二级倒立摆可以抽象为小车平台、转轴质量块、均匀摆杆1和均匀摆杆2所组成,其基本参数定义如下:l1、l2分别为摆杆1和摆杆2的长度,m1、m2分别为摆杆1和摆杆2的质量,m3为两摆杆中间连接块的质量,Mx、My分别为X方向和Y方向平台运动部分以及摆体支座质量。具体取值为:l1=0.2(m),l2=0.55(m),m1=0.06(kg),m2=0.13(kg),m3=0.27(kg),)重力加速度g=9.8m/s2,Mx,My在中间计算过程中可以消去,不用测量。
本文采用分析动力学的Lagrange方程建立倒立摆系统的微分方程[5]。由Lagrange运动学方程:
式中L为拉格朗日算子,q为系统的广义坐标。T为系统的动能,V是系统的势能,由广义坐标q和L,Lagran ge方程可以表示为:
式中i为系统变量标号i=1,2,…,n,q={q1,q2,q3…}称为广义变量,τi为系统沿该广义坐标方向上的广义外力,对于平面二级倒立摆,其广义坐标为:x,y,α1,β1,α2,β2,在平衡位置进行线性化,带入各参数数值,可以计算出在x、y方向解耦的状态方程:
其中x,y方向的控制作用分别为,uy=ÿ,状态变量为:
从状态方程可以看出,对于平面两级倒立摆,在线性化之后X方向和Y方向已经解耦,可以分别进行控制,每个系统有一个输入,六个输出,大大简化了控制对象,可应用可控性原理验证该系统的可控性。
3 L Q R控制器的设计
对平面二级倒立摆线性化解耦后,应用线性最优控制理论,以X方向的状态方程为例设计出LQR(二次型最优)控制器[6],Y方向可以采用同样的控制算法。对于形如(3)的状态方程,可以找出一状态反馈控制率
使得如下性能指标函数最小化
其中Q是半正定矩阵,R是正定矩阵,Q和R分别代表状态变量和输入变量的加权矩阵,要是性能指标函数J最小,可先构造一个Hamilton函数,对此函数求导并令其等于零,从而可以求出最优控制率
u(t)=-Kx(t)=-R-1BTPx(t).
其中P为满足Riccati方程的唯一正定对称解。
倒立摆控制的目标是当系统达到稳定时,2个摆杆都直立不倒,小车处于导轨中央,故应根据实际需要,即以稳定上摆为优先,下摆次之,最后控制小车位移,经过大量仿真,取Q=diag[200,300,400,0,0,0],R=1,用Maltab进行仿真计算出LQR状态反馈增益矩阵K=[14.142,74.745,187.113,15.621,28.947,32.246]。
4 参数自调整双模糊控制器的设计
4.1 状态融合技术
模糊控制器一般根据偏差和偏差变化率作为输入得出一个控制作用,对于倒立摆这样的多变量控制系统,完备的控制规则数目是输入变量数的指数倍,这样控制规则设计会遇到困难,控制执行的实时性也不能保证,为解决上述问题,把最优控制理论与模糊控制策略相结合,采用状态融合技术[7],把多个变量合成综合误差E和综合误差变化率EC,这就使模糊控制器设计大为简化。
取,这里K1和K2分别表示各个状态变量的加权系数,根据LQR控制中的状态反馈矩阵分别反映了各个变量在控制器输出的权重,这样的变化可以把模糊控制器的输入变量变成两个,降低了控制器设计难度,同时保留了所有系统状态的信息。
4.2 模糊控制器设计
本文采用了参数自调整双模糊控制器,图2为控制器原理,本系统是由两个参数不同的模糊控制器组成。单模糊控制器主要用于快速响应及对大误差的消除;如将误差量化因子Ke增大,从而相当于缩小了误差的基本论域,进而增大了对误差变量的控制作用;将误差变化率的量化因子Kec增大,可以减少系统超调;将控制量的比例因子Ku减少,可以减少系统振荡。
假设e0为大、小误差临界值(可根据需要设定),当系统误差e较大时,用模糊控制器(1)控制,缩小Ke和Kec并放大Ku,以达到快速响应、消除误差的目的;当系统误差较小时,用模糊控制器(2)控制,放大Ke和Kec并缩小Ku,以达到减少超调、提高稳态精度的目的,这样运用双模糊控制器可以大大改善对系统的控制效果。
本文利用S函数进行编程,将MATLAB与Simulink有机地结合起来,实现参数自调整的模糊控制系统的设计和仿真[8],简化了仿真设计过程,同时可以快速实时控制倒立摆。
模糊控制器输入变量E、EC和输出变量u的论域都设置为[-6,6],采用三角形,全交迭均匀分布的隶属函数,每个变量用7个模糊子集{NB NM NS ZE PS PM PB}描述。根据论域的模糊语言变量划分,结合前人经验和仿真结果,设计Mamdani型模糊规则如表1,去模糊化采用重心法。
5 系统仿真和实验结果
5.1 仿真实验
采用Simulink进行LQR控制和参数自调整双模糊控制两种方案的仿真,并把小车位移、下摆角度、上摆角度3个状态变量的变化曲线分别显示在图3、图4和图5中。
图中显示了LQR控制(虚线所示)、参数自适应双模糊控制(实线所示)的仿真曲线。可以看出两种控制器都能很好的控制倒立摆,在3s内达到稳定,采用双模糊控制器不仅可以有效地减少稳态误差,而且使超调量、稳定时间等性能也优于LQR控制器,从而改善了控制系统的控制精度和稳态性能。
5.2 实时实验
用Simulink通过Real-Time Workshop进行实时控制[9],用Visual C++开发MEX接口生成的动态链接库(DLL)作为Matlab与PCI数据采集卡进行通信的中介,编制M文件或者仿真模型实现用户自己的控制算法,控制参数修改方便,运行速度快。
图6分别显示LQR控制下小车位移、下摆角度、上摆角度的变化曲线。由图可以看出该控制器具有良好的控制效果,模糊控制下曲线与之相差不大,但与仿真曲线比较,振荡要大了一些,主要是由于对系统模型的估计存在偏差。
6 结束语
本文应用Simulink构造LQR和模糊控制器进行仿真减少了编程工作量,而且形象直观,容易对控制参数进行修改。同时应用状态融合技术简化了模糊控制器设计步骤,采用Real-Time Workshop调用DLL成功控制了平面倒立摆实物系统,简化了控制算法的实现,实时性好,具有重要的研究价值,值得进一步深入研究。
摘要：本文对平面二级倒立摆运用分析动力学方法建立其数学模型,以LQR理论设计了平面倒立摆的最优控制器,在此基础上运用变量融合技术设计了参数自调整双模糊控制器,从而降低模糊控制器的输入变量维数,大大减少模糊控制的规则数,并研究了量化因子对控制效果的影响.应用所设计两种控制器进行系统仿真与实时控制实验,其结果证明两种控制器都能保证良好的控制精度,响应速度快,有良好的稳定性和鲁棒性。
关键词：平面二级倒立摆,LQR,模糊控制,量化因子
参考文献
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