Leslie模型分析（精选3篇）
Leslie模型分析 篇1
讨论如下食物链模型
其中u,v,w分别表示食饵,捕食者和最高级捕食者的密度函数.系数Di,εi,mi(i=1,2)都是正常数.模型(1)详细的生态意义参见文[1,2].关于模型(1)的一个重要问题是解的长时间性态如何?本短文主要讨论模型(1)的解的存在唯一性,一致有界性和非负平衡点的稳定性.为方便起见,记
易知,(1)取非负初值的局部解存在且唯一.如果初值是正的,则(1)的解也是正的.
定理1系统(1)取正初值(u(0),v(0),w(0))=(u0,v0,w0)的解(u(t),v(t),w(t))整体存在唯一,且
证明易知,u≤M1.令z=ε1u+v+λw,其中,则
由Young不等式知
所以,v,w≤M2.故系统(1)的解有界,由标准的延拓定理知(1)的解整体存在.
下面考虑系统(1)的非负平衡点的稳定性.假设系统(1)的系数D1,D2,ε1,ε2,m1,m2总满足下列条件之一:
经初等计算知,系统(1)有平衡点E0=(0,0,0),E1=(0,0,n2),E2=(D1,0,0),E3=(D1,0,m2),如果满足(H1),则是系统(1)的一个非负平衡点,如果满足(H2),则E5=(u,v,w)是系统(1)的唯一的正平衡点,其中
定理2 (a)系统(1)的非负平衡点E0,E1,E2是无条件不稳定的.如果E4非负,则E4是不稳定的.
(b)如果(H3)成立,则系统(1)的半平凡平衡点E3是局部渐近稳定的,如果(H2)成立,则E3是不稳定的.如果(H4)成立,则E3是全局渐近稳定的;
(c)如果(H5)成立,则系统(1)的正平点平衡点E5是局部渐近稳定的,如果(H6)成立,则E5是不稳定的.
证明(a)的结论是显然的.
(b)平衡点E3对应的特征多项式为.当(H3)成立时,f(λ)=0有三个负特征根,所以E3=(D1,0,m2)是局部渐近稳定的.当(H2)成立时,E3不稳定.
定义Lyapunov函数
其中
.则V沿(1)的全导数满足
由(H4)和Lyapunov-LaSalle准则知E3是全局渐近稳定的.
(c)系统(1)在正平衡点E5处的Jacobi矩阵(aij)3×3为
它的特征多项式为f(A)=λ3+Aλ2+Bλ+C,其中
易见,当(H5)成立时,A>0,AB-C=a12 a21 (a11+a22)-a11 (a22-1)(a11+a22-1)>0.根据Routh-hurwitz判别法知,E5=(u,v,w)是局部渐近稳定的.当(H6)成立时,A<0,f(λ)=0有两个正特征根,E5不稳定.
注下面一组常数满足条件(H5):
ε1=0.8,ε2=1.0,D1=0.1,D2=0.1,
m1=0.2,m2=0.1.
参考文献
[1]P.H.Leslie,J.C.Gower,A properties of a stochastic model for the predator-prey type of interaction between two species[J].Biometrica, 47(1960),219-234.
[2]A.F.Nindjin,M.A.Aziz-Alaoui,Persistencen and global stability in a delayed Leslie-Gower type three species food chain[J],J. Math.Anal.Appl,340(2008),340-357.
Leslie模型分析 篇2
关键词：人口,人口模型,人口增长,Leslie模型分析
引言
人口增长模型是人口发展过程的定量推测, 需要推测出在未来的人口增长趋势。通过对Leslie人口模型的更细的结构化, 再通过历年的统计数据可以拟合求出未来的人口总数据、人口的性别比例、年龄比例和城镇农村的城乡构成, 还有未来人口中劳动力比例人们的抚养水平及老龄化比例, 从而可以指定政策来进行宏观调控。决定人口增长的要素为出生率、死亡率和上一年的人口数, 但人口分布, 人口素质, 宏观政策和人口结构 (如:年龄结构, 性别比例等) 等众多因素能够影响出生率与死亡率的波动, 从而从根本上影响人口的增长。由于对世界人口的研究, 每个时间段的世界人口没有人口的流动, 故可以认为世界人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说, 计算人口中数时没有迁入迁出这个因素。所以某时刻人口总量=人口基数+新生人口数-死亡人口数。随着社会的不断发展, 人们的生活质量得到了不断地提高, 人口增长模型也不断地发生着改变。从最初的Malthus模型到Logistic模型再到Leslie等模型, 世界的人口增长随着社会的发展在各个时期都发生着不一样的变化。有些时候人口增长模型也会因为各国的国情而发上变化。
1 人口指数增长模型 (马尔萨斯Malthus, 1766--1834)
1.1 模型假设
时刻t人口增长的速率, 即单位时间人口的增长量, 与当时人口数成正比, 即人口增长率为常数r。以N (t) 表示t时刻某地区 (或国家) 的人口数, 假设人口总数N (t) 足够大, 可以视做连续函数处理, 且N (t) 关于t连续可微。
1.2 模型建立及求解
记时刻t的人口数量为N (t) , 考虑到时间内人口的增长量t+△t, 根据Malthus理论, 有
其中r为比例系数, 而增长量与△t成正比。在上式中令△t→0, 有
从而有Malthus人口模型
其中N0为t=t0时的人口数。
容易求得解为
显然此时人口数随时间呈指数地增长, 故模型称为指数增长模型 (或Malthus模型) 。
1.3 模型检验
19世纪以前对于欧洲一些地区的人口统计数据与人口指数增长模型可以很好的契合。19世纪以后的许多国家, 模型出现了很大的误差。
注意到, 地球资源是有限的, 故指数增长模型 (Malthus模型) 对未来人口总数预测非常荒谬, 不合常理, 应该给以修正。
1.4 模型讨论
为了做进一步的讨论, 阐明此模型组建过程中所做的假设和限制非常必要。
把人口数量仅仅看成是时间的函数, 忽略了个体间的差异 (如年龄, 性别, 大小等) 对人口增长的影响。
假定是连续可微的。这对于人口数量足够大, 而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的, 可认为是近似成立的。
人口增长率是常数, 意味着人处于一种不随时间改变的环境当中。
模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的, 即在所研究的时间范围内不存在有迁移 (迁入或迁出) 现象的发生。
不难看出, 这些假设是苛刻的, 不现实的, 所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。
2 阻滞增长模型 (Logistic)
一个模型的缺陷, 通常可以在模型假设当中找到其症结所在--或者说, 模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用, 它决定了一个模型究竟可以走多远。在指数增长模型中, 我们只考虑了人口数量本身一个因素影响人口的增长速率, 事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源 (包括自然资源, 环境条件等因素) 。随着人口的增长, 资源量对人口开始起阻滞作用, 因而人口增长率会逐渐下降。许多国家的实际情况都是如此。定性的分析, 人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的。
2.1 模型假设
因为地球资源是有限的, 假设为一个定值1 (这里事实上也内在的假定了地球的极限承担人口数为1) ;
在t时刻, 人口增长的速率与当时人口数成正比, 为简单方便也假设与当时剩余资源成正比;比例系数表示人口的固有增长率;假设人口总数N (t) 足够大, 可以视做连续变量处理, 且N (t) 关于t连续可微。
2.2 模型建立及求解
由模型假设, 可将人口数的净增长率视为人口数N (t) 的函数, 由于资源对人口增长的限制, 应是N (t) 的减函数, 特别是当N (t) 达到极限承载人口数时, 应有净增长率, 当人口数N (t) 超过时, 由于受到资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用, 人口增长到一定数量后, 增长率会下降, 不会一直呈现指数增长, 再次引入常数Nm, 用来表示自然资源和环境条件下所能容许的最大人口数量。此时的人口增长率得到修正, 修正的人口自然增长率为:
从而有如下模型:
这是一个Bernoulli方程的初值问题
其解为:
在这个模型中, 考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用, 因而称为阻滞增长模型 (或Logistic模型) 。
2.3 模型检验
我们比较一下美国人口增长的实际数据 (蓝) 与模型数据 (红)
从图中可以看出, 在1800到1950年间, 其人口增长基本逼近真实值
2.4 模型讨论
阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足, 可以被用来处理较长时期的人口预测, 而指数增长模型在处理人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。
3 Leslie人口模型
3.1 模型的建立
Leslie模型是将人口按年龄大小间隔地划分成m个年龄组 (比如以每10岁为一组) , 模型要讨论在不同时间人口的年龄分布, 对时间也加以离散化, 其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为。设在时间段t第i年龄组的人口总数为ni (t) , i=1, 2, …m, 定义向量n (t) =[n1 (t) , n2 (t) , …nm (t) ]T, 模型要研究的是女性的人口分布n (t) 随t的变化规律, 从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。
设第i年龄组的生育率为bi, 即bi是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数;第i年龄组的死亡率为di, 即di是单位时间内第i年龄组女性死亡人数与总人数之比, si=1-di称为存活率。设bi、si不随时间t变化, 根据bi、si和ni (t) 的定义写出ni (t) 与ni (t+1) 应满足关系:
在上式中假设bi中已经扣除婴儿死亡率, 即扣除了在时间段以后出生而活不到岁的那些婴儿。若记矩阵
则 (1) 式可写作
当L、n (0) 已知时, 对任意的t=1, 2, …有
若 (2) 中的元素满足
(ⅱ) bi≥0, i=1, 2, …, m, 且至少一个bi>0。
则矩阵L称为Leslie矩阵。
只要求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量n (0) , 就可以求出t时段的人口分布向量n (t) 。
3.2 模型的讨论
现如今人们对于人口模型的要求已经不单单的只是它能求出人口总数而已。在人口预测中经常需要知道各年龄段的人口, 在当今社会中这个比人口总数更加有用。例如, 通过不同年龄段的人数, 来进行对城镇房屋的建设、学校、医院等福利设施的数目、地点设置等。这些都可以通过Leslie人口模型检点且准确地做到。此方法适用于物种、动物种类繁衍预测。
4 结束语
随着人类对问题的更加广泛的研究人口模型不断的变换, 产生了不同的类别, 但这些模型终究是围绕着某时刻人口总量=人口基数+新生人口数-死亡人口数+/-迁入/迁出数来得到的。对于不同部分的拆分能求出不同的结论能运用到不同的实际条件中, 从而可以写出应对方法。
参考文献
[1]杨莉.人口预测中的数学模型探析[Z].2006 (12) .
[2]李自珍.人口增长的数学模型综述[Z].1982 (03) .
[3]赵翌.关于人口模型的几点教学探讨[Z].2009 (06) .
[4]李永胜.人口预测中的模型选择与参数认定[Z].2004 (03) .
Leslie模型分析 篇3
undefined
式(1)中,u,v分别为食饵和捕食者种群数量,ri,ai(i=1,2),b1,k均为正常数, 其中k衡量了捕食者除食饵之外的其他食物来源。文献[1]探讨了系统(1)的生态学行为。文献[2]研究了空间分布均匀情况下的具有避难所的上述模型的正平衡点的存在性及全局稳定性.
1 先验估计
当a2r1-b1k>0时,系统(1)有唯一正常数平衡解(u*,v*),其中undefined。
定理1 若系统(1)存在非常数正解(u,v),则有以下结论:
undefined。
(ⅱ) 存在正常数undefined使得undefined。
证明 (ⅰ)因为-Δu=r1(a1-u)u-b1uv,x∈Ω;undefined,若undefined,则由极值原理[3]得:r1(a1-u(x0))u(x0)-b1u(x0)v(x0)≥0。所以undefined。
因为undefined;undefined
x∈∂Ω.,若undefined,则由极值原理[3]得:
undefined,所以
undefined。
(ⅱ) 由Harnack inequality[4]可得:存在常数C*使得undefined。
假设结论(ⅱ)不成立,则存在数列{ci,ei}∞i=1使得对应的系统(1)的正解(ui,vi)满足:undefined或undefined.把ui,vi代入系统(1),积分可得:对于i=1,2…。
undefined
由椭圆型方程的正则定理可得:存在{ui,vi}的子列仍用{ui,vi}表示和非负的u,v∈C2(undefined)使得(ui, vi)→(u,v),(i→∞)。又因为undefined或者undefined,所以u≡0或v≡0。
当u≡0或v≡0时,令i→∞,可得undefined或∫Ωr1(a1-u)udx=0,矛盾。所以存在正常数undefined使得undefined。
2 常数正解的渐进稳定性
令0=μ0<μ1<μ2<…<μi是齐次Neumann边界条件下算子-Δ在Ω上的特征值,E(μi)是关于μi在C1(undefined)中的特征子空间。{φij:j=1,2,…,dim E(μi)}是E(μi)的一组正交基。
undefined,
则undefined。
下面我们用文献[5]中的方法来讨论系统(1)在正常数平衡解U*=(u*,v*)处的稳定性。
定理2 若a2r1-b1(1-m)k>0,则系统(1)的正常数平衡解是渐近稳定的。
证明:令其中
GU(珟U)=a11a12a21a(22
undefined。
令undefined,则系统(1)在U*处的线性化方程为LU=0。对任意的i≥1,Xi是算子L的不变子空间,λ是算子L在Xi上的特征值当且仅当undefined的特征值。而undefined的特征多项式ψi(λ)=λ2+A1iλ+A2i,其中A1i=2μi-(a11+a22),
A2i=μundefined-(a11+a22)μi+a11a22-a12a21,
容易验证在条件a2r1-b1(1-m)k>0成立时,对于任意的i≥1,都有A1i>0,A2i>0,所以U*是渐近稳定的。
摘要：研究了一类具有修正Leslie-Gower项的捕食-食饵模型在第二边界条件下的一些性质。首先,给出了其正解的先验估计,其次得到其非常数正解的渐进稳定性。
关键词：捕食-食饵,估计,稳定性
参考文献
[1]郭红建.一类具有相互干扰的两种群捕食系统.信阳师范学院学报:自然科学版,2006;19(3):255—257
[2]吴海辉.具有避难所和修正Leslie-Gower项的捕食食饵系统的研究.福州大学学报:自然科学版,2010;38(3):342—346
[3] Lou Y,Ni W M.Diffusion self-diffusion and cross-diffusion.J Differ-ential Equations,1996;131:79—131
[4] Lin C S,Ni W M,Takagi I.Large amplitude stationary solutions to achemotaxis systems.J.Differential Equations,1988;72:1—27
[5] Wang M X.Stationary patterns for a prey-predator model with prey-de-pendent and ratio-dependent functional responses and diffusion.Physi-ca D,2004;196:172—192