阵列综合

阵列综合（精选7篇）

阵列综合 篇1

0 引 言

天线阵方向图的综合问题是天线阵设计中的核心问题, 是指按规定的方向图要求, 用一种或多种方法来进行天线阵列的设计, 使其产生的方向图与所要求的方向图良好逼近。Dolph[1]利用切比雪夫多项式的性质导出了等距线阵的权值, 可以在给定最大副瓣电平的情况下使波束宽度最小, 或在给定波束宽度的情况下使副瓣电平最低;Villeneuve[2]把Taylor的方法应用于离散直线阵列的综合, 它可以在靠近主瓣的区域产生等幅度副瓣, 而在远处的副瓣电平逐渐减小。其他的用于解决直线阵列方向图综合问题的方法在文献[3]中有详细的描述。

二维矩形阵列天线方向图综合最简单的方法是推广直线阵列的方法。如果口径分布是二维可分离的, 则平面阵的方向图就等于两个正交直线阵的方向图的乘积。由此得到的方向图在相应主平面内达到所要求的副瓣电平, 而在其他平面内副瓣电平低于设计目标, 导致主瓣变宽[4]。

Tseng和Cheng提出了一种设计切比雪夫矩形平面阵的方法[5], 能使平面阵所产生的方向图在每一φ剖面内都是切比雪夫型最佳方向图, 但该方法要求行单元数等于列单元数, 并且不能把阵元的方向图特性考虑在内。

Stutzman和Coffey[6]提出了一种用于平面阵列综合的迭代抽样算法。首先根据其他算法或者实验测量数据得到一初始方向图, 利用正交函数sin (x) /x的性质对其进行采样修正, 使方向图在采样点与目标方向图匹配, 重复该采样迭代过程直到得到满意的方向图。该方法比较简单, 但综合的方向图在采样点之间会有波动, 也不能把单元的方向图特性考虑在内。

文献[7]运用一种改进的粒子群优化算法, 实现了不等幅激励的二维矩形平面阵列天线的方向图综合。通过采用对全局最优粒子微扰和跳变的惯性权重策略, 并使用粒子群算法本身对参数组合进行了优化选择, 很好地改善了优化速度和收敛精度, 使算法具有普遍的适用性, 取得了较好的结果。

该文把自适应算法应用于天线阵方向图的综合, 给出了一种二维矩形平面阵列的方向图综合方法。通过对副瓣区峰值电平的控制, 综合得到了满足要求的目标方向图, 可以把阵列单元的特性考虑在内, 具有较强的实际意义。

1 算法描述

1.1 自适应算法

自适应阵列综合算法是近年来在自适应信号处理理论的基础上发展起来的, 文献[8]比较系统地阐述了这种方法的原理:在干扰入射方向, 自适应阵列会产生零陷, 干扰越强零陷越深;干扰信号个数超过N-2时 (N是天线单元个数) , 自适应阵列将无法在各个干扰方向上形成零陷, 而是自适应地调节方向图使干扰信号功率在输出中最小。

在阵列天线方向图的副瓣区域, 峰值电平是最高的电平, 当峰值电平低于目标副瓣电平时, 副瓣区的电平自然就达到了设计要求。通过只对副瓣峰值电平进行控制, 把自适应算法应用于二维矩形平面阵列天线方向图的综合。

假定有大量的初始干扰信号施加到阵列的副瓣区, 由于干扰的分布特性是已知的, 根据最大信噪比准则求解初始自适应权值, 得到自适应算法产生的初始方向图, 干扰信号方向的电平会降低。在副瓣峰值方向将得到的结果与设计目标相比较, 根据自适应算法的原理调整干扰信号的功率, 如果副瓣太高, 就增加相应角度上的干扰功率, 反之, 就减少相应角度上的干扰功率, 然后再重新计算新的权值。重复进行这个迭代过程, 直到得到满足要求的目标方向图。流程图如图1所示。

1.2 二维矩形阵列的方向图综合

二维矩形天线阵列如图2所示, 图中黑点表示天线单元。此阵沿x轴方向有M个单元, 沿y方向有N个单元, dx和dy分别为行距和列距, (θ, φ) 表示主瓣的指向。天线阵列输出的信号方向矢量和加权值分别为:

$\begin{array}{l}\mathit{V}{}_{2D}=\left[\begin{array}{cccc}v{}_{11}& v{}_{12}& \cdots & v{}_{1{\rm N}}\\ v{}_{21}& v{}_{22}& \cdots & v{}_{2{\rm N}}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ v{}_{{\rm M}1}& v{}_{{\rm M}2}& \cdots & v{}_{{\rm M}{\rm N}}\end{array}\right](1)\\ \mathit{W}{}_{2D}=\left[\begin{array}{cccc}w{}_{11}& w{}_{12}& \cdots & w{}_{1{\rm N}}\\ w{}_{21}& w{}_{22}& \cdots & w{}_{2{\rm N}}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ w{}_{{\rm M}1}& w{}_{{\rm M}2}& \cdots & w{}_{{\rm M}{\rm N}}\end{array}\right](2)\end{array}$

其中:vmn=fmnejkφmn, fmn是阵列单元 (m, n) 的方向图, k=2π/λ是波数, φmn=mdxsin (θ) cos (φ) +ndysin (θ) sin (φ) , 是各单元的空间相位差。阵列输出信号由每个vmn与相应的复数加权值wmn (即天线单元馈点电流) 相乘并求和得:

$S{}_{2D}={\displaystyle \sum _{m=1}^{{\rm M}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}w}}{}_{mn}v{}_{mn}={\displaystyle \sum _{m=1}^{{\rm M}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}w}}{}_{mn}f{}_{mn}\text{e}{}^{\text{j}k\phi {}_{mn}}(3)$

将上面两个二维阵列V2D和W2D表示成一维形式, 转化成直线阵来综合, V2D和W2D中元素要一一对应, M和N分别是阵元的行数和列数。

$\begin{array}{l}\mathit{V}=[v{}_{11}\cdots v{}_{{\rm M}1},v{}_{12}\cdots v{}_{{\rm M}2}‚\cdots ‚v{}_{1{\rm N}}\cdots v{}_{{\rm M}{\rm N}}]{}^{\text{Τ}}(4)\\ \mathit{W}=[w{}_{11}\cdots w{}_{{\rm M}1},w{}_{12}\cdots w{}_{{\rm M}2}‚\cdots ‚w{}_{1{\rm N}}\cdots w{}_{{\rm M}{\rm N}}]{}^{\text{Τ}}(5)\end{array}$

阵列输出信号可表示为:

$S={\displaystyle \sum _{m=1}^{{\rm M}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}w}}{}_{mn}v{}_{mn}=\mathit{W}{}^{\text{Τ}}\mathit{V}(6)$

天线方向图与V和W相关, 取其模值为:

$p(\theta ,\phi )=\left|\mathit{W}{}^{\text{Τ}}\mathit{V}\right|(7)$

假设阵列的副瓣区有A×B个二维干扰信号Xiab (a=1, 2, …, A, b=1, 2, …, B) , A和B远大于阵列的行数M和列数N, 其入射角为 (θia, φib) , 幅度为Aiab;Xn是各阵元中存在的功率为δ2的高斯热噪声, 取干扰噪声比为 (k表示第k次迭代) :

$\epsilon {}_{iab}(k)=A{}_{iab}(k){}^2/\delta {}^2,\epsilon \ge 0(8)$

天线阵列接收的非期望信号为:

$X{}_u=X{}_n+{\displaystyle \sum _{a=1}^A{\displaystyle \sum _{b=1}^{B}X}}{}_{iab}(9)$

假定第k次迭代时主瓣的最大值为P0 (k) , 如果要求的旁瓣电平低于主瓣电平R (dB) , 则目标副瓣电平为:

$d(k)={\rm P}{}_0(k)/10{}^{R/20}(10)$

主瓣区不施加干扰信号, 即干扰信号功率为0。由上文可知, 第k+1次迭代时干扰信号强度为:

$\begin{array}{l}\epsilon {}_{iab}(k+1)=\{\begin{array}{l}0,(\theta {}_{ia},\phi {}_{ib})\in \text{主}\text{瓣}\text{区}\\ h(k),(\theta {}_{ia},\phi {}_{ib})\in \text{副}\text{瓣}\text{峰}\text{值}\text{方}\text{向}\\ \epsilon {}_{iab}(k),\text{e}\text{l}\text{s}\text{e}\end{array}(11)\\ h(k)=\max \{0,\epsilon {}_{iab}(k)+f[p(\theta {}_{ia},\phi {}_{ib},k)-d(k)]\}\end{array}$

其中:p (θia, φib, k) 为第k次迭代后方向图的实际电平;d (k) 为由式 (10) 求得的目标副瓣电平;f为迭代步长。目标副瓣电平越低, f取值越大;f取值较小可以保证收敛, 但会使迭代过程收敛速度比较慢, 增大f的值可以加快收敛速度, 但f过大会影响收敛过程的稳定性, 在实际应用中可参考文献[8]给出的副瓣电平分别为-30 dB, -35 dB, -40 dB时f的最大取值, 通过试探法确定合适的f值。

主瓣最大值P0 (k) 在迭代过程中是不断变化的, 每次迭代前需重新确定。副瓣峰值所在方向在迭代过程中也是不断变化的, 即需要调整的干扰信号的方向是不断变化的, 所以在每次迭代前也要重新确定, 可以通过比较相邻区域电平值的相对大小得到。

根据最大输出信噪比准则, 由文献[9]可知最佳权值为:

$\mathit{W}=\mu \mathit{\phi }{}_u^{-1}V{}_0^{*}(12)$

其中:V0为期望主瓣方向, 用于确定方向图主瓣的指向;φu为非期望信号的协方差矩阵;μ为任意常数。

$\mathit{\phi }{}_u=E[\mathit{X}{}_u^{*}\mathit{X}{}_u^{\text{Τ}}]=\delta {}^2\left[\mathit{{\rm I}}+{\displaystyle \sum _{a=1}^A{\displaystyle \sum _{b=1}^B\epsilon }}{}_{iab}(k)\mathit{V}{}_{im}^{*}\mathit{V}{}_{im}^{\text{Τ}}\right](13)$

其中:I为单位矩阵;Vim为干扰信号所在方向的方向矢量, 将 (θia, φib) 代入式 (4) 即可求得;*表示共轭, T表示转置。

可设定εiab的初始值为0, 把根据式 (12) 和式 (13) 求得的权值W0代入式 (7) 得到初始方向图, 将其与设计目标相比较, 根据式 (11) 调整干扰信号强度, 由式 (12) 和式 (13) 求得新的权值W1, 代入式 (7) 得到新的方向图, 重复上面的迭代过程, 直到得到满意的方向图, 具体流程如图1所示。

一般阵列方向图为阵元方向图和阵因子的乘积, 上述方法是在没考虑互耦的情况下, 对天线方向图进行的综合。在阵元间互耦较强需要考虑其影响时, 由文献[10]可知, 可以先按照本文算法综合出不考虑互耦时的激励, 再对耦合矩阵求逆, 得到所需要的实际激励。

2 仿真示例与分析

示例1:计算一个6×8矩形平面阵, 阵元行距和列距均为λ/2 (λ为波长) , 主瓣指向侧射方向, 目标副瓣电平取为-30 dB, f=2, 仿真结果如图3所示, 取坐标值u1=sin (θ) cos (φ) , u2=sin (θ) sin (φ) 。加权值以最大值为基准进行了归一化, 如表1所示。

示例2:计算一个7×7矩形平面阵, 阵元行距和列距均为λ/2 (λ为波长) , 阵列单元是电偶极子, 其方向图[11]为cos (θ) , 主瓣指向侧射方向, 目标副瓣电平取为-30 dB, f=2, 仿真结果如图4所示, 取坐标值u1=sin (θ) cos (φ) , u2=sin (θ) sin (φ) 。加权值以最大值为基准进行了归一化, 如表2所示。

3 结 语

该文把自适应算法应用于二维矩形天线阵方向图的综合, 通过只对副瓣峰值电平进行控制, 根据最大信噪比准则调整加权值, 得到了满足要求的目标方向图。由于在每次迭代时只调整副瓣峰值方向的干扰信号, 计算量较小, 使算法得到了简化, 加快了收敛速度, 在具体应用中更灵活, 更易于编程实现。此算法考虑了阵元方向图特性的影响, 在已知阵列的耦合系数矩阵时可以将互耦的影响考虑在内, 克服了传统算法的不足。可以拓展应用于阵元分布不规则的平面阵列的方向图综合问题, 同时副瓣区电平的包络可根据实际需要设定。仿真示例证实了该算法是可行的。

摘要：在干扰入射方向, 自适应天线阵方向图会产生零陷, 从而实现抗干扰的功能。基于最大信噪比准则, 将自适应算法应用于二维矩形天线阵方向图的综合问题, 假定有大量干扰信号施加到天线阵的副瓣区, 通过只对副瓣峰值电平进行控制调整加权值, 得到满足设计要求的目标方向图。该算法计算量较小, 收敛速度比较快, 可以将阵元的方向图特性的影响考虑在内。仿真结果证实了该算法是可行的。

关键词：二维矩形阵列,自适应算法,方向图综合,最大信噪比准则

参考文献

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阵列综合 篇2

天线阵列的综合是指在给定天线辐射方向图,或给定天线的性能参量的要求来设计天线阵的阵元数、单元间距,单元上电流的幅度与相位分布。对一个给定阵元数目和阵元间距的天线阵而言,这一问题就是要寻求各个阵元上激励电流的幅度和相位分布。天线阵列综合是一个可以用很多经典方法求解的非线性的优化问题。然而,这些方法往往只对于有一个约束条件的问题有效,对于更加复杂的问题,经典的问题往往因为容易受到局部最小值的影响而变得无能为力。作为一种典型的全局优化算法,遗传算法可以有效求解非线性问题,因而可以将其应用于阵列综合。

这里将遗传算法和谢昆诺夫法相结合,用于给定方向图的峰值和零点位置的天线阵列的综合,并对关键环节进行了分析。

1 遗传算法

遗传算法(GA)是在上世纪60年代、70年代由Holland等人提出的一种全局优化算法,该算法仿效生物的进化与遗传,根据“生存竞争”和“优胜劣汰”原则,通过选择、交叉、变异,使要解决的问题逼近最优解。与经典的优化算法相比,遗传算法具有以下特点:① 遗传算法使用参数组,而不是参数本身;② 遗传算法使用一组点搜索,而不是单个点;③ 遗传算法使用目标函数信息,而不是推导或者其他辅助信息;④ 遗传算法使用概率规则,而不是确定规则。

遗传算法主要有3个操作:复制、交叉和变异。复制是根据其适应度值将现有个体的信息复制给下一代的过程。选择之后,交叉利用基因重组由2个现有个体产生出2个新的个体。而变异在遗传算法中扮演着关键的角色,一个随机选中的个体通过随机变异成为了另一个体,具有个一个或多个新的特性。变异扩展了搜索范围,改善了解的多样性。

适应度函数是将物理世界和遗传算法联系起来的唯一的关系,每一组解与其他组解相比的优劣都使用适应度函数来评价。适应度函数是被优化的函数,但还没有确定适应度函数的规则,每个问题中适应度函数的范围都是不断变化的。为保持各种问题的统一性,适应度函数被归一化到0～1的范围内。而适应度值决定了每组解解决问题的能力,图1给出了遗传算法应用的基本流程。

2 阵列天线综合

谢昆诺夫法是天线阵列方向图综合的一种经典方法,可以在方向图的指定位置产生零深。将谢昆诺夫法和遗传算法相结合,可以综合出具有指定波束零点的赋形波束。

由N+1个阵元构成的线阵列的阵因子可写为:

$F={\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}}{\rm I}}{}_n\exp (\text{j}nkd\cos \theta )$, (1)

式中,In是第n个阵元的复激励,k为波数。应用谢昆诺夫单位圆方法,在式中作变换Ψ=kdcosθ和ω=exp(jΨ)可以得到:

$F={\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}}{\rm I}}{}_n\omega {}^n={\rm I}{}_{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}}{\rm I}}{}_n/{\rm I}{}_{{\rm N}}\omega {}^n={\rm I}{}_{{\rm N}}{\displaystyle \prod _{n=1}^{{\rm N}}(}\omega -\omega {}_n)‚(2)$

式中,ω1,ω2…ωN是多项式的N个根,若令IN=1,则式(2)的幅值可以写为:

$\left|F\right|=\left|\omega -\omega {}_1\right|\left|\omega -\omega {}_2\right|\left|\omega -\omega {}_3\right|\cdots \left|\omega -\omega {}_{{\rm N}}\right|$。 (3)

由式(3)可知只有位于单位圆上的根对方向图的零点做出贡献,若N个根中有M个不在单位圆上,将它们用ω′m表示,则有:

$\left|{\omega }^{\prime }{}_m\right|\ne 1m=1,2,\cdots {\rm M}$。 (4)

可将式(3)进一步写为:

$F={\displaystyle \prod _{m=1}^{{\rm M}}(}\omega -{\omega }^{\prime }{}_m){\displaystyle \prod _{n={\rm M}+1}^{{\rm N}}(}\omega -\omega {}_n)$。 (5)

式中,ω′m=(1+bm)exp(jξm),bm是一个实数,表明了根在单位圆上的径向位置,ξm表示根的相位。一旦确定了M个根的bm和ξm以及N-M个位于单位圆上的根,就可以得到线阵列的方向图,通过换算可进一步得到各个阵元的复激励电流。

应用该方法对一30元线阵进行综合,阵元间距d=0.5λ。针对这一问题,式(3)应该有29个根。令目标方向图主波束在60°方向,有17个目标点和18个零点位置(18个确定的根),因而有11个待定根,也就是22个变量(11个幅度变量和11个相位变量)。各变量取8位二进制编码,种群规模为50,交叉概率取0.6,变异概率取为0.02,利用Matlab编程迭代200次,重复执行10次,各次迭代的适应度值及阵列方向图综合结果分别如图2和图3所示。

计算采用轮盘赌方式选择父本,适应度函数取

$F{}_i=\frac{1}{1+\sqrt{e{}_i(\theta )}}$, (6)

$e{}_i(\theta )=\frac{1}{Q}{\displaystyle \sum _{k=1}^Q\left|\frac{({\rm T}{}_{\theta k}-{\rm P}{}_{\theta k})}{{\rm T}{}_{\theta k}}\right|}{}^2$, (7)

式中,ei(θ)为个体相对误差,Tθk为目标方向图在θk点的幅值,Pθk为θk点处的个体综合的方向图值,Q为种群规模。根据求得的方向图,经过变换就可得到各个阵元的激励。

3 关键环节分析

前面利用遗传算法结合谢昆诺夫法对给定波束零点的赋形波束进行了综合,该方法方便准确地在方向图中得到指定位置的零点,并尽量满足波束辐射要求,仿真结果表明了这种方法的有效性,但也暴露了一些问题。

3.1 遗传算法的特点

遗传算法不依赖于初始值以及各种数理推导,仅通过“优胜劣汰”的竞争法则使得“适者生存”,得以产生新的个体,并不断重复这一过程直至得到最优解,方法简便易行,但这也造成了遗传算法的重大缺点:由于缺少对最优解方向的更多推断,使得遗传算法需要进行多次迭代运算,这对于适应度值个体参数之间具有复杂关系、需要进行大量计算的问题才能得出个体适应度值的问题(如需数值计算才能得出结果的复杂电磁问题)来说,无疑是要耗费海量时间的,导致该方法只具有理论意义。而中间各代个体值则仅仅被使用一次,也使得大量耗时的计算过程的意义大大降低。

3.2 计算过程的不确定性

由于初始参数选取以及进化过程的不确定性,各次迭代的结果往往存在差异,虽然总体符合一定的规律,但可能会出现与其他结果差异较大的结果(可能好也可能坏),因而仅依靠一次迭代便得出结论是片面的,但多次重复计算过程,进一步增大了遗传算法的计算量。

3.3 适应度函数的选取

适应度函数的选取对于结果会有极大的影响,如该文算例中ei(θ)分别为归一化误差和时,得到的结果不同,这一影响反映在主瓣误差和旁瓣误差的权重上。该算例所取误差为分贝误差,此时结果与目标拟合较好,若取归一化误差,则主瓣拟合结果变差,如图4所示。

3.4 目标函数的定义

遗传算法中目标函数的定义应更加明确。该算例中给出了方向图的主波束、零点位置以及若干个目标点,但对于非目标点处的方向图未加定义,对于给定目标点是否位于旁瓣峰值也未定义,因而具有高适应度值的方向图可能反而与期望方向图有较大差距。因此采用包络线作为优化条件更具有普遍性,可以在各个点上对方向图进行约束。

3.5 终止条件的确定

迭代的终止条件不明确。该文采用迭代200次作为终止条件,可以看到各次计算的适应度值大致收敛于0.79,且40次迭代后适应度值变化不大,但若进行2 000次迭代,是可以得到更优解的,如图5所示。同时,由于变异的随机性与小概率性,适应度值可能达到某一结果后,在若干次迭代中不发生改变,之后继续提高(类似于中世纪欧洲社会发展的停滞和文艺复兴),因此由各次迭代结果的相对值变化作为终止条件也是有局限性的。所以,增加迭代次数便有可能得到更优解,导致了迭代终止条件的不确定性。

4 结束语

将遗传算法应用于阵列天线综合,解决了多约束条件下的阵列天线综合问题,在给定方向图的要求和阵列规模的条件下得到了较优解,并针对求解过程中的关键点进行了分析。尽管存在一些不足,但遗传算法仍不失为解决问题的一个方法,可以为寻找更优算法提供了一些经验和思路。

参考文献

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阵列综合 篇3

关键词：同心椭圆环阵列综合,解析形式,显示解

天线是一种用于发射和接收电磁波能量的设备,没有天线也就没有无线电通信。在许多场合由单个天线就可以很好地完成发射和接收电磁能量的任务,如常用的各种天线、面天线、反射面天线等,其本身就可以独立工作。但这些天线形式一旦选定,其辐射特性便是相对固定的,如波瓣指向、波束宽度、增益等,这就造成在某些特殊应用场合,单个天线往往不能达到预定的要求,如雷达天线一般要求较强的方向性、较高的增益、很窄的波束宽度以及其他一些特殊指标,这时就需要多个天线联合起来工作,共同实现一个预定的指标,这种组合造就了阵列天线[1]。椭圆环阵列天线在无线电测向、雷达、声呐、导航、探底以及其他许多无线电系统中都有所应用,因此研究同心椭圆环阵列具有重要的意义。目前关于同心椭圆环阵列天线方面的文章并不多,有人利用群集法分析过同心椭圆环阵列天线,但是仍旧没有给出过同心椭圆环阵列综合解析形式的显示解。本文首先推导了单椭圆环阵列解析形式的显示解,然后获得了同心椭圆环阵列综合解析形式的显示解,并通过Matlab编写程序画图来验证此显示解的正确性。最后分析了显示解的两种特殊情况,并通过举例子来阐明此显示解的两种特殊情况。

1 单椭圆环阵列方向图函数

N元单椭圆环阵列天线模型如图1所示。

N元单椭圆环阵列天线的方向图函数为

其中

X和Y分别为椭圆的长半轴和短半轴。

如果主波瓣最大指向为(θ0,φ0)则第n个单元激励相位应该选为

定义两个新的变量

根据⑺式有

于是(1)可改写为

将(6)式中的两个部分化简得

由整数阶贝塞尔函数公式[2]

2 同心椭圆环阵列方向图函数

当单椭圆环阵列变为由M个不同椭圆环阵列所构成的同心椭圆环阵列时,同心椭圆环阵列中心放置一个单元,且每一个椭圆环上都布置了多个单元(23)式变为

Nm表示第m个椭圆环上的单元数,Ym表示第m个椭圆环的短半轴。

为了验证(24)式的合理性用Matlab编写程序来仿真,取M=3,计算模型如图2所示。

s(θ,φ)的Matlab仿真图形如图3—5所示。由图3可知当θ=0时s(θ,φ)的值不变,把θ=0代入(24)式,(24)式的值也不变。

图5中m=2表示第二个椭圆环,αn=0表示初相位为零。图中有对称的6个瓣,分别是6个单元天线所在的位置,这符合了零相位天线的特点。这也说明了表达式(24)是合理的。

对于不都为零的实系数,线性组合

(29)式不为零,在[0,p]内最多只有M个不同的零点。

根据哈尔定理,对于在[0,p]区间有界且连续的任意函数S(x),能够唯一的确定一组系数,使得所综合的方向图Sa(x)在偏差最大值最小的意义下逼近S(x),偏差函数的表达式为

(30)式的最大值在0≤x≤π内最小[1]

假设满足在区间内有界且连续的指定预期方向图函数为

当M=1且同心椭圆环阵列只有一个中心单元和一个环时,取kbmn=3,根据(26)式其方向图函数为

上面只根据主项求解了方向图逼近问题中主项对应于的情况。当N为有限值时,(28)式的近似精度取决于N和ka。如果给定了ka,每一椭圆环上应该采用的实际单元数可根据余项式的大小和贝塞尔函数数值表来确定,同样如果给定了N,每一椭圆环上的ka可根据余项式的大小和贝塞尔函数数值表来确定。

例综合预期方向图函数

取椭圆环数M=3,已知每一椭圆环上应该采用单元数,计算模型如图2所示,要求预期方向图和综合所得方向图的相对误差值小于0.5%。

根据(33)式和(26)式利用matlab编写程序综合所得结果如图7所示,7中红线为预期方向图,蓝线为综合所得的方向图。蓝线和红线的相对误差不超多0.5%。

3 结语

本文也存在不足的地方,比如在N为有限值时根据余项式的大小和贝塞尔函数数值表来确定ka存在一定的误差。图7为以x为自变量的综合结果。

计算所得各个参量结果如表1所示。

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[7]王岩.互耦对无源相控阵天线的性能影响及抑制方法研究[D].南京:南京航空航天大学,2006

阵列综合 篇4

近年来,国内光伏发电的装机容量持续增长,截至2011年底累计装机容量已超过3 GW,预计到“十二五”末将超过14 GW,光伏发电在部分电网中的穿透功率水平将达到5%～20%[1]。因此,光伏发电的容量价值逐渐成为电网规划中关注的新热点[2]。

电源既具有能量价值又具有容量价值,前者表现为发出的电能,采用统计时段内的总发电量或容量系数(CF)来衡量;后者表现为可被信用的容量,即置信容量或容量可信度(CC),目前共有10余种定量评估指标[3,4],文献[2]按性质将其划分为4类,并对各类指标的优缺点进行分析比较,建议优先采用有效载荷能力(ELCC)作为评估指标。文献[5,6,7]对光伏发电置信容量的评估方法进行了深入研究,评估结果可作为光伏发电参与电力平衡的重要依据。

目前,对光伏发电容量价值的关注仍停留在评估阶段,尚未用于指导光伏电站的规划与设计。国内的大型并网光伏电站多采用固定式安装方式,以年发电量最大为依据来确定光伏阵列的朝向与倾角[8],即只关注光伏发电的能量价值,极大地限制了光伏发电的容量价值,不利于实现电源综合价值的最大化。美国国家可再生能源实验室曾尝试将California电网中部分固定式光伏阵列的朝向由正南方向调整至西南方向[9],Watt等人将Sydney电网中的光伏阵列由向北35°倾角调整至向西45°倾角[10],使最大出力尽可能出现在峰荷时刻,证实了调整朝向与倾角在提高光伏发电容量价值方面的有效性,但并未对调整的依据进行详细说明,也未对该项措施导致的能量价值损失进行定量评估。因此,迫切需要综合考虑光伏发电的能量价值与容量价值,研究阵列的最佳朝向与倾角,为光伏电站的规划与设计提供参考。

本文首先建立了固定式光伏阵列的出力模型,分析了光伏阵列朝向与倾角对于能量价值和容量价值的影响,在此基础上提出了基于综合价值的光伏阵列朝向与倾角优化方法,并通过仿真算例验证了方法的有效性。

1 固定式光伏阵列的出力模型

光伏阵列的出力由接受到的太阳辐射强度和电池的光电转化性能决定。

1.1 太阳辐射强度模型

光伏阵列上的太阳辐射强度取决于太阳与光伏阵列的相对位置及天气情况。地球的运行轨迹遵循严格的规律,因此对于固定式光伏阵列,如果不考虑天气情况,比较容易建立起辐射强度模型。本节以国际上广泛采用的理想晴空太阳辐射强度模型为例进行说明[11],随后在理想晴空太阳辐射强度模型的基础上考虑天气因素的影响。

1.1.1 理想晴空太阳辐射强度模型

光伏阵列上的太阳辐射包括三部分:直射、散射和反射。太阳光线垂直面上的直射强度IB为:

${\rm I}{}_{\text{B}}=\left[1160+75\sin \left(\frac{360}{365}(n-275)\right)\right]\text{e}{}^{-km}(1)$

$m=\frac{1}{\sin h}(2)$

$k=0.174+0.035\sin \left(\frac{360}{365}(n-100)\right)(3)$

式中:n为日次,n=1,2,…,365(366);h,m,k分别为太阳高度角、大气质量和光学厚度。

倾斜面上的太阳直射强度IBC、散射强度IDC和反射强度IRC分别如式(4)—式(7)所示。

IBC=IB(cos hcos(ϕs-ϕc)sin β1+sin hcos β1) (4)

${\rm I}{}_{\text{D}\text{C}}=C{\rm I}{}_{\text{B}}\left(\frac{1+\cos \beta {}_1}{2}\right)(5)$

${\rm I}{}_{\text{R}\text{C}}=\rho {\rm I}{}_{\text{B}}(\sin \beta {}_1+C)\left(\frac{1-\cos \beta {}_1}{2}\right)(6)$

$C=0.095+0.04\sin \left(\frac{360}{365}(n-100)\right)(7)$

式中:ϕs为太阳方位角;ϕc为光伏阵列方位角,即光伏阵列垂直面与正南方向的夹角(向东为负,向西为正);β1为光伏阵列的倾角,即光伏阵列与水平面之间的夹角;C为散射系数;ρ为地面反射率。

光伏阵列上的总辐射强度IC如式(8)所示。

IC=IBC+IDC+IRC (8)

1.1.2 天气因素的影响

光伏阵列上的太阳辐射强度因受云层遮蔽等因素的影响表现出明显的不确定性,据统计,在一定时段内辐射强度近似成Beta分布[12],其概率密度函数为:

$f({\rm I})=\frac{\text{Γ}(\alpha +\beta )}{\text{Γ}(\alpha )\text{Γ}(\beta )}\left(\frac{{\rm I}}{{\rm I}{}_{\text{C}}}\right){}^{\alpha -1}\left(1-\frac{{\rm I}}{{\rm I}{}_{\text{C}}}\right){}^{\beta -1}(9)$

式中:I为某一时间段内的实际太阳辐射强度;α和β为Beta分布的形状参数;Γ(·)为Gamma函数。

1.2 光伏阵列转化模型

光伏阵列的出力与太阳辐射强度、阵列面积和光电转化效率等因素密切相关。因此,对于一个光伏阵列,其输出功率为:

Psolar=IAη (10)

式中:A和η分别为电池方阵的面积和光电转换效率。

光伏阵列的出力模型中,除光伏阵列的方位角ϕc和倾角β1外,其他参数均由电站的位置和地球运行规律决定,因此如何选取ϕc和β1成为规划设计中的重要问题。

2 光伏阵列朝向与倾角对能量价值的影响

2.1 能量价值的评估指标

电源的能量价值表现为发出的电能,采用统计时段内的总发电量EΣ或容量系数k来评估。

$k=\frac{E{}_{\text{Σ}}}{S{\rm T}}(11)$

式中:S为电源的额定容量;T为统计时段的小时数。

2.2 能量价值的变化规律

采用上节所述的光伏阵列出力模型,研究朝向与倾角对能量价值的影响(统计时段为1 a),在一般情况下可获得如下结论。

1)光伏阵列朝向正南方向(北半球,下文同)时的容量系数最大,随着方位角绝对值增大,容量系数逐渐减小,如图1所示。

2)光伏阵列倾角从0°变化到 90°的过程中,容量系数先增大后减小,假设在βe处取得最大值,则βe即为基于能量价值的最佳倾角;纬度越高,βe越大,如图2所示。

因此,以能量价值最大化为目标来选取光伏阵列朝向与倾角时,只需在正南方向上寻找最佳倾角βe。

3 光伏阵列朝向与倾角对容量价值的影响

3.1 容量价值的评估指标

本文采用文献[2]中所推荐的ELCC指标来评估光伏发电的容量价值。ELCC是指在维持系统可靠性水平不变的前提下,新增电源可承载负荷的能力。系统的可靠性指标(如失负荷概率、失负荷期望等)R=P(G+GPV,L+ΔL)=P(G,L),其中,P为可靠性估算函数,L和ΔL分别为系统的初始负荷和新增负荷,G和GPV分别为系统初始装机容量和光伏发电的装机容量,则光伏发电的容量价值CPV=ΔL。

3.2 容量价值的变化规律

根据文献[2]中所描述的光伏发电ELCC的评估流程和评估算法,对光伏阵列朝向与倾角进行分析,在一般情况下可获得如下结论。

1)光伏阵列方位角向东偏移,日最大出力时刻提前;向西偏移,日最大出力时刻滞后,如图3所示。日出力越接近高峰负荷时段,ELCC越大。

2)光伏阵列倾角从0°变化到 90°的过程中,光伏阵列日最大出力曲线由夏季大冬季小的“凸”曲线逐渐过渡为夏季小冬季大的“凹”曲线,基于能量价值的最佳倾角βe所对应的日最大出力曲线比较平滑,如图4所示。季节出力与负荷的相关性越好,ELCC越大。

以图5所示的典型单峰负荷曲线为例进行说明。如果以能量价值最大化为原则选取光伏阵列的朝向与倾角,ELCC为19.71%。考虑到日最大负荷出现在18:00,所以将方位角向西偏移,约60°时ELCC取得最大值(33.36%),比正南方向时增大了69%。ELCC随方位角的变化趋势如图6所示。

考虑到最大负荷出现在冬季,可将倾角增大(方位角保持为60°),倾角约75°时ELCC取得最大值(38.10%),在图6最大值的基础上提高了14%。ELCC随倾角的变化趋势如图7所示。

由以上分析可知,光伏阵列的朝向主要影响日出力特性,倾角主要影响季节出力特性。光伏发电出力与负荷的日相关性、季节相关性均对ELCC产生影响,因此为获得较大的容量价值,需对朝向与倾角综合考虑。

4 基于综合价值的朝向与倾角优化方法

4.1 优化函数

由上文可知,以能量价值最大化为目标,光伏阵列宜朝向正南,最佳倾角βe所对应的全年出力比较平均(如图4所示);而以容量价值最大化为目标,光伏阵列可能需要偏离正南方向且偏离βe,随之损失掉部分能量价值,且对于双峰或多峰负荷曲线,朝向和倾角在连续变化的过程中,会出现多个极值。因此,需要对朝向与倾角进行优化选择以获得更好的综合价值,可建立如下优化函数(为使得能量价值和容量价值具有可比性,将其转化为经济收益),其优化目标和约束条件分别如式(12)和式(13)所示。

max Ptot=PeVFC+PvVELCC (12)

$\{\begin{array}{l}V{}_{\text{F}\text{C}}=f(\text{ϕ}{}_{\text{c}},\beta {}_1)\\ V{}_{\text{E}\text{L}\text{C}\text{C}}=g(\text{ϕ}{}_{\text{c}},\beta {}_1)\\ -90°\le \text{ϕ}{}_{\text{c}}\le 90°\\ 0°\le \beta {}_1\le 90°\end{array}(13)$

式中:VFC为光伏阵列发出的电量;VELCC为光伏阵列的置信容量;Pe和Pv分别为单位能量和单位容量的经济收益;Ptot为综合收益。

4.2 优化方法

上述函数是一个典型的多极值非线性优化问题,可选择比较成熟的遗传算法来求解。遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和遗传机制的随机搜索算法,具有全局优化、通用性强、鲁棒性好、本质并行等优点[13],求解流程如图8所示。

4.3 方法改进

遗传算法也有一定的局限性,为此提出了如下2点改进措施。

1)结合第2和第3节中所论述的光伏发电能量价值、容量价值的变化规律,有针对性地选择初始种群。例如:全年负荷比较均匀,则初始种群的倾角宜接近βe;高峰负荷出现在午后,则初始种群的方位角宜偏西。

2)理想晴空太阳辐射强度模型和实际太阳辐射强度模型下,能量价值和容量价值随光伏阵列朝向与倾角变化的趋势基本一致,因此,可采用理想晴空太阳辐射强度模型的优化结果来代替实际太阳辐射强度模型的优化结果(仅限ϕc和β1,综合价值Ptot仍需要考虑天气因素),或作为初始种群的选取依据,提高求解效率。

5 算例分析

在IEEE-RTS 79系统中接入100 MW的光伏电站,其地理位置为36.49°N,120.00°E,地面反射率为0.2,Beta分布的形状参数α和β分别为2.0和0.8;光伏发电单位能量和单位容量的经济收益分别为0.035美元/(kW·h)和0.013 6美元/(kW·h)[14]。假设电网的负荷特性如图5所示。

基于MATLAB平台,编写了基于综合价值的光伏阵列朝向与倾角遗传算法优化程序,优化结果如表1所示。表中:综合价值1为实际太阳辐射强度模型的综合价值;综合价值2为理想晴空太阳辐射强度模型的综合价值。

可见,单以能量价值或容量价值为依据来确定光伏阵列的朝向与倾角均无法实现综合价值的最大化,需在二者之间取得平衡,以获得最佳收益。理想晴空太阳辐射强度模型可以较好地近似实际太阳辐射强度模型,减少计算量,提高优化效率。

6 结语

本文分析了光伏阵列朝向与倾角对于能量价值和容量价值的影响,提出了以综合价值最大为目标的光伏阵列朝向与倾角优化方法,可为光伏电站的规划与设计提供参考。

随着光伏发电规模的扩大,不仅要关注单个光伏电站的朝向与倾角优化问题,还需要关注多个光伏电站之间的协调问题,甚至需要在一个光伏电站中选择多种朝向与倾角,以获得更大的综合价值。对于包含风力发电的电网,还应考虑风光的互补性,以风光综合价值最大为目标,来优化风光发电装机容量以及光伏阵列的朝向与倾角。

国内现阶段缺乏光伏发电、风力发电能量收益和容量收益的准确数据,应加强此方面数据的收集与研究工作。

阵列综合 篇5

为了克服上述缺点,一般采用阵元非均匀排布的稀疏阵列。将天线阵列以较少的阵元数进行稀疏布置,能够有效减弱阵元间的互耦效应,增大阵列的孔径从而提高角度分辨率以及减少系统成本和降低软硬件复杂度。阵列的稀疏布置往往使得波束方向图的旁瓣电平抬高,因此,稀疏阵列综合的目的是在满足期望的波束辐射特性要求下,求解使得阵列最大稀疏化的阵元位置和阵元幅度的最佳分布。然而,非均匀间隔的稀疏阵列综合属于多变量的非线性优化问题[3],处理起来非常困难。传统的智能优化算法如遗传算法[4]、模拟退火法[5]、粒子群算 法[6]等常应用于求解稀疏阵列的综合问题。它们都是先设计使得阵列合成波束峰值旁瓣电平最小化的阵列综合目标函数,然后对该目标函数进行搜索处理,寻找满足条件的最佳的阵元分布位置及其激励幅度。由于这些传统智能优化算法都是基于随机性的自然算法,在优化过程中需要较多的搜索处理运算,导致此类算法的收敛速度慢,并容易陷入局部最优解等问题。

最近,稀疏信号重构理论开始在阵列信号处理中得到了应用,为阵列综合提供了一种新的思路。 由于稀疏阵列的阵元在空间上是离散和稀疏分布的,因此稀疏阵列综合在本质上等效于稀疏信号重构问题。文献[7—9]利用基于迭代加权范数最小化的稀疏信号重构方法来求解阵列的综合问题, 在每次迭代中利用凸优化软件计算出用于下次迭代的阵列加权向量,当满足迭代终止条件时,由阵列加权向量的非零值确定阵列的阵元位置及其激励,此类方法利用稀疏阵列天线的稀疏物理特性,能以较少的迭代次数获得稀疏程度更高的天线阵列。针对凸优化软件的使用会导致阵列综合的耗时增加和通用性变差的问题,文献[10]提出一种新的基于迭代加权范数的阵列综合方法,该方法利用复数求导结合启发式近似方法获得每次迭代过程中阵列加权向量的闭式解,无需使用软件工具从而实现稀疏阵列的快速综合。与范数方法相比,范数方法能以更少的测量数据来准确重构稀疏信号[11]。因此,文献[12]在MIMO ( multiple-inputmultiple-output) 雷达中利用迭代加权范数最小化方法来准确估计空间稀疏分布目标的角度,距离和多普勒信息,从而提高了MIMO雷达的成像质量。本文将迭代加权范数[12]应用于求解阵列综合问题中,建立了迭代加权范数最小化的阵列综合模型,并利用拉格朗日乘数法[12]求解出用于下次迭代的阵列加权向量闭式解,当达到迭代终止条件时,由当前的阵列加权向量的非零值来获得阵元位置和阵元幅度的最佳分布。仿真结果表明,相比文献[10]提出的基于迭代加权范数的阵列综合方法,本文方法能以更少的迭代次数和阵元数来满足阵列波束辐射特性,从而有效提高了阵列综合的性能。同时,讨论了在满足相同辐射特性的情况下利用本文方法进行稀疏阵列综合时所需的迭代次数和阵列稀疏程度与q取值的变化关系。

1阵列模型

在阵列综合前,假设所有N个各向同性初始阵元都均匀分布一条直线上,各阵元位置分别为x1, x2,…,xN,则其远场方向图可以表示为

式( 1) 中,xn= ( n - 1) d表示第n个阵元相距第一个阵元的距离,其中d为阵元间距; k = 2π/λ( λ 为波长) 表示空间波数; θ 表示阵列的扫描角( 偏离阵列法线方向的角度) ,- π/2 < θ ≤π/2; wn表示第n个阵元的激励,如果wn= 0 ,则等效于该位置上无天线阵元存在。阵列综合的目的是需要寻求一组非零元素 最少的阵 列加权向 量w= [w1,w2,…,wN]T,使得综合出的阵列方向图尽可能接近期望的阵列波束辐射特性,其中[·]Τ表示矢量转置。

在观测角度区间 - π/2 < θ ≤ π/2内等角度间隔选取P个观测点,即为 θ1,θ2,…,θP,则由这P个角度采样点所对应的阵列流形矩阵( 导向矢量阵) 可表示为

式( 2) 中,对应角度采样点 θl( l = 1,2,…,L) 的阵列的方向向量表示为

在这P个角度观测点上的波束方向图采样值用F = [F( θ1) F( θ2) …F( θP) ]T表示,则F可表示为

2稀疏阵列综合方法

为了使得综合后的阵列在P个角度观测点上的方向图F = [F( θ1) F( θ2) … F( θP) ]T尽可能接近期望 的阵列波 束方向图Fd= [Fd( θ1) Fd( θ2) … Fd( θP) ]T,同时希望阵列加权向量w尽可能稀疏,即w非零元素尽可能少。则采用迭代加权 q( 0 < q < 1) 范数最小化[12]来表示该阵列综合模型,即为

式中,{ zi> 0}Ni= 1表示一组加权系数; {·}( l-1)表示第 ( l - 1) 次迭代; ‖·‖2‖2范数; ε 表示最大能够接受的误差。在式( 5) 中,如果q等于1,则式( 5) 和式( 6) 所描述的阵列综合模型等效于文献[10]中基于迭代加权范数最小化的阵列综合模型。

由于式( 6) 属于有约束的阵列综合模型,不便求导计算。因此,通过构造拉格朗日乘数法[11]将式 ( 6) 约束综合模型转化为无约束综合问题,

式中,μ ∈ R+表示正则化参数。将式( 7) 表示的无约束综合目标函数f( w,z) 进行展开,

式( 8) 中,(·)H表示共轭转置。

为了得到阵列加权向量w的表达式,在式( 8) 中对wH进行求偏导数,可得

式( 9) 中,Q的值可由式( 10) 来表示

式( 10) 中,diag( ·) 表示对角化操作。令 ∂f( w, z) / ∂wH= 0 ,得到如下非线性方程

假设已知在第l次迭代中的加权系数 { z(il)}Ni= 1和已经估计获得阵列加权向量 { w(il)}Ni= 1,则通过式 ( 11) 可以计算出下次迭代中的阵列加权向量[12],

式( 12) 中,I为P阶单位矩阵,加权系数zi和正则化参数 μ 分别由式( 13) 和式( 14) 所决定

式中,参数 δ > 0是一个非常小的常量,避免当加权向量w( l)中出现零元素值时导致算法运行终止。当满足迭代终止条件时,由当前迭代中计算得到的阵列加权向量非零值确定阵列的阵元位置及其激励。

本文提出的基于迭代加权范数最小化的稀疏阵列综合方法具体实施流程如下:

( 1) 初始化: 根据初始化阵元数N和阵元间距d,确定阵列流形矩阵A; 在第一次迭代中即 ( l = 1 ) 时,加权系数z( l)和w( l)均为全1向量。

( 2) 利用式( 13) 和式( 14) 计算更新加权系数z(il)和正则化参数 μ 。

( 3) 更新阵列加权向量w( l+1):

( 4) 重复步骤( 2) 和( 3) ,直到迭代次数l达到lmax或者满足下面的终止条件:

式( 16) 中,ξ 为设定的最小误差值。

( 5) 确定稀疏阵列的阵元位置和激励: 由达到终止条件时加权向量w估计值中非零元素所在的位置确定为综合后稀疏阵列的阵元位置,而该非零元素值的大小即为该阵元的激励幅度值。

3仿真实验

为了验证本文提出的基于迭代加权范数最小化阵列综合方法的有效性,本文设计了一些仿真对比实验。仿真参数设置如下: 初始阵元间距d = 0. 25 λ ,各阵元在0到175λ 范围内以d为间距均匀地分布,则共有701个初始天线单元,角度采样点数P = 49 ,常量 δ = 1. 0 × 10-6,最小误差值 ξ = 1. 0 × 10-4。满足迭代终止条件时,将阵列加权向量w中小于0. 000 1倍max( w) 的元素全部设置为零,表示对应的位置不放置天线阵元。设置期望对称波束方向图的主瓣宽度|sinθ| ≤ 0. 05 ,即主瓣宽度限制在[- 2. 86°,2. 86°]内,旁瓣电平限制在 - 25 d B。由文献[10]可知,基于迭代加权 1范数的稀疏阵列综合方法其实是本文方法在q = 1时的特例。因此,为了方便,在下面仿真分析中q = 1对应文献[10]提出的基于迭代加权 1范数的稀疏阵列综合方法。

图1分别给出了由本文方法 ( q = 0. 5) 和基于迭代加权范数的稀疏阵列综合方法[10]重构得到的阵列阵元位置分布及其对应激励值。图2为两种方法综合后的波束方向图与期望波束方向图。由图1和2可知,在达到期望波束辐射特性的情况下,本文方法综合后得到的稀疏阵列的阵元数为43,而基于迭代加权范数的稀疏阵列综合方法需要50个阵元数,因此本文方法节省了7个阵元,而且本文方法仅需17次迭代运算就可完成阵列综合,比基于迭代加权范数的稀疏阵列综合方法少花了8次迭代运算。从综合后阵列的稀疏程度以及所需迭代运算次数上来看,本文方法优于基于迭代加权范数的稀疏阵列综合方法。

图3和图4分别在满足相同辐射特性的情况下利用本文方法进行稀疏阵列综合时所需的迭代次数以及阵列稀疏程度与q取值的变化关系,其中q = 1对应基于迭代加权范数的稀疏阵列综合方法。由图3和图4可知,与基于迭代加权范数的阵列综合方法相比,本文方法能以更少的迭代次数来综合出稀疏程度更高的稀疏阵列来达到期望的波束辐射特性。兼顾阵列综合的稀疏程度和所需迭代运算次数,本文方法在q = 0. 5时阵列综合的性能最为理想。

4结束语

本文将迭代加权范数最小化方法应用于稀疏阵列综合中,并利用拉格朗日乘数法求解该阵列综合数学模型,以获得用于下次迭代的阵列加权向量闭式解,反复迭代直至满足给定的终止条件时,由迭代结束时的阵列加权向量的非零值来获得阵元位置和阵元幅度的最佳分布。与基于迭代加权范数的稀疏阵列综合方法相比,本文方法能以更少的迭代次数重构出稀疏程度更高的阵列来满足期望的波束辐射特性,而且无需使用优化工具来求解阵列综合问题,提高了阵列综合的实时性和通用性。

摘要：针对非均匀稀疏阵列综合问题,提出一种利用迭代加权lq(0<q<1)范数最小化的阵列综合方法。该方法利用稀疏阵列天线的稀疏物理特性,将稀疏阵列综合问题转化为一系列迭代加权lq(0<q<1)范数最小化的稀疏重构问题,并在每次迭代中求解出用于下次迭代的阵列加权向量闭式解,由满足迭代终止条件时的阵列加权向量的非零值来确定阵列的阵元位置及其激励幅度。仿真结果表明,与基于迭代加权l1范数的阵列综合方法相比,该方法在满足辐射特性前提下能以更少的迭代次数来综合出稀疏程度更高的稀疏阵列。

阵列综合 篇6

关键词：粒子群算法,混合粒子群算法,二次插值法,阵列天线,波瓣赋形

在雷达、无线通信等众多领域中,常要求阵列天线具有确定的主瓣宽度、特殊形状的主瓣形状 (如余割波束、余割平方波束、扇形波束等)和低的副瓣电平。由于优化中的目标函数或约束条件表现为高维、多极值点、非线性、非凸和不可微等特性,阵列天线波束综合是一个十分困难的非线性优化问题。虽然已有许多经典的优化方法如切比雪夫,泰勒,伍德福德等,但是这些方法都是针对某一类特定的问题而提出的,并且对于一些有约束条件的综合,经典方法就很难实施;而基于梯度寻优技术的传统数值优化方法,如:梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、DFP法、信赖域法、Rosenbrock法和Powell法等,必须选择良好的初始设计以保证迭代过程的成功实现,对目标函数的连续性、可微分性有特殊要求等。因此,近年来人们通过研究和模拟自然界生物群体自适应的优化现象,建立了基于随机搜索的启发式优化技术,例如人工神经网络、禁忌搜索、模拟退火、进化算法、遗传算法(GA)、蚁群算法(CA)、粒子群算法(PSO)及其混合优化策略等,这些现代的优化方法在解决用确定性方法无法解决的问题时表现出强大的潜能,这些算法以其算法概念清晰、程序简单等特点,很适合于解决此类复杂的非线性优化问题,并且对优化对象的性态无要求。

粒子群算法(PSO)是一种自适应全局优化启发式算法,其源于对鸟群和鱼群群体运动行为的研究,20世纪90年代中期,Eberhart博士和Kennedy博士受到人工生命的研究结果的启发,提出一种新的群集智能计算技术[1,2,3]相比传统中常用的遗传算法,粒子群算法具有算法简单、容易实现、搜索速度快、所含参数较少的特点,近年来受到学术界的广泛重视。基本PSO算法和其他的进化算法一样有着收敛过快、早熟收敛、搜索范围不大、容易收敛到局部极值等问题。因此,人们先后出现了多种PSO算法的改进算法[4,5,6,7,8,9],包括杂交粒子群算法(HPSO)、并行粒子群算法(CONPSO)、自适应粒子群算法(APSO)、微粒子群算法以及实数编码粒子群算法等,提高了PSO 算法的收敛精度和搜索成功率。

目前国内对阵列天线方向图的综合,大多数集中在对旁瓣电平以及零陷的有效控制上,但对主瓣区进行优化控制的却比较少,虽然文献[5]中给出了一些主瓣控制方法,但是收敛速度较慢且不符合工程上的研究需要。因此,本文把简化的二次插值法作为一个局部搜索算子,融入到原有的杂交粒子群算法(HPSO)中,构成适于求解主瓣赋形优化的混合粒子群算法。该混合算法可以较好解决粒子群算法早熟收敛、搜索范围不大、容易收敛到局部极值等问题。从优化综合后得到的结果来看,计算天线的远场方向图都与理想方向图主瓣非常逼近,同时副瓣很低。

1 基本粒子群算法

粒子群算法是基于群体智慧的演化算法。鸟类、蜜蜂等生物在寻找食物的过程中,一方面是依靠自身的探求,另一方面则是依靠伙伴之间相互的经验交流,从而能快速准确的找到在整个区域中最好的食物源。PSO 算法正是以上述生物现象作为模型,而提出的一种进化优化算法。他是由N个粒子组成的群体在D维空间搜索最优解的过程。在搜索时参考自身历史最优位置和群体历史最优位置进行迭代。每个粒子在每次迭代中有位置和速度2个D维向量,即:

undefined

基本PSO算法的迭代公式如下:

undefined

其中ω为惯性权重,在最初的迭代公式中并不存在,后来发现[3]加上这项优化效果明显。c1和c2为学习因子,又称为加速因子。vundefined是前运动速度向量,xundefined是第i个粒子的位置向量。pbesti是第i个粒子自身历史的最优位置向量,gbesti 是群体的最优位置向量。rand1和rand2 是(0,1)之间的随机数。式(1),(2)中的上标k表示是第k次的迭代;下标d表示向量的第d维。在求解优化问题时,首先随机初始化一个种群,即一组随机解,赋予他们随机的位置和初速度。粒子在整个搜索空间飞行进行搜索,通过向自身最优和群体最优的不断学习,调整飞行速度,搜寻整个空间的最优解。每次飞行后都会更新个体最优值和群体最优值。当寻找到最优解或达到最大迭代次数,算法终止。这时的群体最优值即为求解得到的最优解。

基本PSO往往会收敛于局部极值,通常表现为粒子聚集度越来越高,全局最优粒子长时间维持不变。这些可以作为判断PSO停滞不前的标志。在这个时候,需要某种方法来跳出局部极值,维持种群的活性,充分地搜索整个空间。

2 杂交粒子群算法模型

杂交粒子群模型(HPSO)是将基本的粒子群算法(PSO)和选择机制相结合而得到的。该模型由Angeline于1998年提出。在Angeline的HPSO模型中,将每次迭代产生的新的粒子群根据适应函数进行选择,用适应度较高的一半粒子的位置和速度矢量取代适应度较低的一半粒子的相应矢量,而保持后者个体极值不变。这样的PSO模型在提高收敛速度的同时保证了一定的全局搜索能力,在大多数的Benchmark函数的优化上取得较原始PSO模型更好的优化结果。Lovbjerg,Rasmuwsen和Krink于2000年提出将进化算法(遗传算法)中的交叉操作也引入PSO的HPSO模型。交叉机制首先以一定的交叉概率从所有粒子中选择待交叉的粒子,然后两两随机组合进行交叉操作产生后代粒子。后代粒子的位置和速度矢量如下所示:

undefined

其中undefined是D维的位置向量;而undefined和undefined,分别指明是孩子粒子还是父母粒子的位置;undefined是D维均匀分布的随机数向量,undefined的每个分量都在[0,l]取值。

undefined

交叉型PSO与传统的PSO的惟一区别在于粒子群在进行速度和位置的更新后还要进行上述的交叉操作,并用产生的后代粒子取代双亲粒子。交叉操作使后代粒子继承了双亲粒子的优点,在理论上加强了对粒子间区域的搜索能力。例如两个双亲粒子均处于不同的局部最优区域,那么两者交叉产生的后代粒子往往能够摆脱局部最优,而获得改进的搜索结果。实验证明,与传统的PSO及传统的遗传算法比较,交叉型PSO搜索速度快,收敛精度高。目前,利用进化操作改进传统PSO算法的探索仍在继续。

3 二次插值法

三点二次插值法是一种简单有效的线搜索方法,他不需目标函数的导数信息,适用范围广,而且计算量小,适合作为启发式的搜索算子。三点二次插值法在文献[7]中用来进行全局搜索,本文将其作为局部搜索算子,插入到上述杂交粒子群模型中,提高算法的搜索能力,减少计算量,从而使遗传算法跳出局部最优解,快速向全局最优解靠近。

设xa =(xundefined,xundefined,…,xundefined)Τ,xb =(xundefined,xundefined,…,xundefined)Τ,xc =(xundefined,xundefined,…,xundefined)Τ,计算这3点的适应度值fa=fit(xa),fb=fit(xb),fc=fit(xc)。假设fa>fb且fc>fb,则由下式得到的近似极小值点undefined为:

undefined

其中:

每一代中3点xa,xb,xc的选择如下:

在当前种群最优位置向量gbesti, 把适应度从小到大排列,取xb,xa,xc依次为前3个最好个体,即fb≤fa≤fc。若对某些i∈{1,2,…,n},(xundefined-xundefined) · fa + (xundefined-xundefined) · fb + (xundefined-xundefined) · fc < ε2 (ε2=10-6),则令undefined;否则,由式(7)计算出undefined,并计算适应度fit(undefined)。若fitundefined,则将当前种群中的gbesti用undefined替换。

4 混合粒子群算法

杂交粒子群算法具有一定的全局搜索功能,再利用二次插值的局部搜索特点,将两者有机地结合,来提高算法的收敛效率和全局寻优能力。下面给出混合粒子群算法的详细步骤:

(1) 初始化一群粒子,其中包括粒子起始位置和速度;粒子速度限定在[-vmax,vmax] 位置限定在[-xmax,xmax];

(2) 计算每个粒子的适应度值;

(3) 对每个粒子,将其适应度值与其经历过的最好位置pbest 做比较,如果好于后者,则将此时的适应度值作为当前的最好位置pbest;

(4) 局部搜索—简化的二次插值法。

① 在当前的粒子种群个体中,将其所经历过的最好位置pbest把适应度从小到大排列,取xb,xa,xc依次为前3个最好个体,即fb≤fa≤fc。

② 若对某些i∈{1,2,…,n},(xundefined-xundefined) · fa + (xundefined-xundefined) · fb + (xundefined-xundefined) · fc < ε2 (ε2=10-6),则令undefined;否则,由式(7)计算出undefined,并计算适应度fit(undefined)。

③ 若fitundefined,则将当前种群中的gbesti用undefined替换,否则gbesti用fb来代替。

(5) 对每个粒子,将其适应度值与全局所经历的最好位置gbest做比较,如果好于后者,则重新记录gbest 的大小。

(6) 先根据式(1)更新粒子的速度,然后根据式(2) 更新粒子位置。

(7) 按照式(3)～(6)将粒子速度和位置引入交叉操作。

(8) 如果满足结束条件(通常为产生足够好的适应度值或达到一个预设最大代数Gmax ),程序终止,否则跳转到第(2)步。

5 阵列天线方向图综合

5.1 适应度函数的设计

对于由n个理想点源组成的离散直线阵,以阵列的第一个单元为参考点,在不考虑单元之间耦合的条件下,认为单元辐射fi(θ)=1,只需优化阵因子即可,N单元阵列天线的远场阵因子可表示为:

undefined

式(8)中,Inαn,n=0,1,…,N-1为各单元的馈电幅度和相位,为需要确定的量;undefined为波数,λ为工作波长;d为单元间距;θ为空间辐射角,设其最大值为Smax,则归一化阵因子方向函数为:undefined。对给定的阵因子undefined进行取样,取样点为θi,i=0,1,2,…,M,即0≤θ0,θ1,θ2,…,θM≤180。对于这种方向图形式比较复杂的情况,在适应度函数的设计中引入权值系数,其目的在于避免某个参数变化范围过大而淹没其他参数对目标函数的贡献,建立适应度函数:

undefined

式(9)中G(θ)为目标函数(赋形波束);ωk是权值系数,对于一些不对称的复杂形式,改变权值ωk可以得到更好的优化效果。用优化算法综合方向图的目的就是根据波束形状要求来求解阵列天线的激励幅值、相位,使得:

undefined

5.2 仿真结果及分析

实例1 设计要求:主瓣为40°余割平方波束,单元电流动态范围(0≤In≤1;-π≤αn≤π;n=0,1,…,15) ,仿真采用16 元直线阵,阵元间距为λ/2,波束最大角度为0°,副瓣电平低于-20 dB 。混合粒子群优化的参数设置:采用固定的惯性权重ω=0.5,粒子数80,最大迭代次数100 ,速度上限vmax=0.4,取样点数M=180,设置权系数(主瓣为5.0,副瓣取1.0)。图1和图2分别是用混合粒子群算法优化设计出的余割平方波束和粒子平均适应度函数的迭代曲线。图1中实线是本文计算的方向图,虚线是目标方向图,优化过程中主瓣最大波动为0.012 dB,基本上实现了完全的拟合,且余割宽度较宽。各项参数均优于文献[10]中的效果,阵元的激励与相位分布如表1所示。

实例2 设计要求:窄主瓣低副瓣波束,单元电流动态范围(0≤In≤1;-π≤αn≤π;n=0,1,…,29) ,仿真采用30 元直线阵,阵元间距为λ/2,波束主瓣宽度小于10°,副瓣电平低于-35 dB。混合粒子群优化的参数设置:采用固定的惯性权重ω=0.5,粒子数80,最大迭代次数200 ,速度上限vmax=0.4,取样点数M=180,设置权系数(主瓣为1.0,副瓣取4.0)。

图3和图4分别是用混合粒子群算法优化窄主瓣低副瓣波束和粒子平均适应度函数的迭代曲线。图3中实线是本文计算的方向图,虚线是目标方向图。

6 结 语

阵列综合 篇7

关键词：声矢量传感器,来波方向估计,水声通信

2009年1月7日收到

声波传播是水下无线通信的主要方式, 现有水声通信的研究已从传统点对点的通信方式向水声通信网络转变[1]。基于接收阵列的水声来波方向估计是建立网络拓扑, 同时也是其他水声信号处理的重要课题。矢量水听器由传统的无指向性声压水听器和具有自然指向性的质点振速水听器复合而成, 较传统声压水听器能得到更多的信息, 被广泛应用于水声信号的来波方向估计中。例如Wong等将电磁波方向估计的经典ESPRIT算法和MUSIC算法应用于水声信号方向估计[2], 陈伟华等进一步拓展到宽带水声信号源的方向估计[3]。

上述研究的一个普遍假设是接收阵列具有理想增益。当不同接收阵元存在增益差别时, 这种差别反映为来波角度估计的误差, 从而降低角度估计的准确度。存在增益差别时的来波方向估计在电磁波方向估计中已有较成熟的研究, 但在水声方向估计方面研究较少。本文把声矢量传感器阵列的增益当作未知参数, 和来波方向一起估计。其中二维来波方向利用旋转不变性求解[4], 阵列增益利用子空间正交性求解。两者迭代使用直到算法收敛。仿真结果显示了算法的有效性。

1 信号模型

考虑一个均匀方形接收阵列, 有M×M个声矢量传感器均匀放置在x-y平面的格点{mxΔ, myΔ} ({mx, my=0, …, M-1}) 上, 其中Δ表示相邻两个声矢量传感器之间的距离。假设共有K个不相关的窄带信号投射到矢量阵上, pk (t) 表示第k个入射源的复信号, 从方位角φk、仰角θk入射到接收阵列。则第 (mx, my) 个声矢量传感器的输出表示为

$\mathit{y}{}_{\mathit{m}{}_{\mathit{x}},\mathit{m}{}_{\mathit{y}}}(\mathit{t})={\displaystyle \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{{\rm K}}}\mathit{u}}{}_{k}p{}^{m{}_x}q{}^{m{}_y}p{}_k(t)+\mathit{e}{}_{m{}_x,m{}_y}(t)(1)$

(1) 式中

$\mathit{u}{}_k=\left[\begin{array}{c}\sin \theta {}_k\cos \phi {}_k\\ \sin \theta {}_k\sin \phi {}_k\\ \cos \theta {}_k\\ 1\end{array}\right],p=e{}^{\frac{\text{j}2\text{π}f\text{s}\text{i}\text{n}\theta {}_k\cos \phi {}_k}{\text{Δ}}},q=e{}^{\frac{\text{j}2\text{π}f\text{s}\text{i}\text{n}\theta {}_k\sin \phi {}_k}{\text{Δ}}}(2)$

emx, my (t) 代表接收信号的噪声。uk称为阵列流形, 代表由于入射角度的不同而引起的增益区别, 当阵元存在增益差别时, 实际的阵列流形变成Γmx, myuk, 其中Γmx, my是实对角矩阵, 其元素代表阵元每个传感器的实际增益。将所有阵元的接收信号组成如下接收矢量

$\mathit{y}(t)=[\mathit{y}{}_{0,0}(t)\cdots \mathit{y}{}_{0,{\rm M}-1}(t)\cdots \mathit{y}{}_{{\rm M}-1,0}(t)\cdots \mathit{y}{}_{{\rm M}-1,{\rm M}-1}(t)]{}^{\text{Τ}}(3)$

则接收信号可以表示为

$\mathit{y}(t)={\displaystyle \sum _{k=1}^{{\rm K}}\mathit{\Gamma }}v{}_{k}p{}_k(t)+\mathit{e}(t)=\mathit{\Gamma }Vp(t)+\mathit{e}(t)(4)$

(4) 式中

$\begin{array}{l}\mathit{\Gamma }=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}\{\mathit{\Gamma }{}_{0,0}\cdots \mathit{\Gamma }{}_{0,{\rm M}-1}\cdots \mathit{\Gamma }{}_{{\rm M}-1,0}\cdots \mathit{\Gamma }{}_{\mathit{{\rm M}}-1,\mathit{{\rm M}}-1}\}(5)\\ \mathit{V}=[\mathit{v}{}_1\mathit{v}{}_2\cdots \mathit{v}{}_{\mathit{{\rm K}}}](6)\\ \mathit{v}{}_k=[\mathit{u}{}_k\cdots \mathit{u}{}_{k}q{}^{{\rm M}-1}\cdots \mathit{u}{}_{k}p{}^{{\rm M}-1}\cdots \mathit{u}{}_{k}p{}^{{\rm M}-1}q{}^{{\rm M}-1}]{}^{\text{Τ}}(7)\end{array}$

2 算法描述

当阵列不存在增益误差时, 来波角度可以用经典算法, 如二维ESPRIT算法求解[4]。增益误差的存在将影响来波方向估计的准确度。本文将实际增益, 即Γ的对角元素, 当作参数估计的一部分, 和来波角度进行联合估计。算法采用如下的结构:

初始化:Γ=I (即假设阵列不存在增益误差)

步骤1:利用二维ESPRIT算法求解来波角度;

步骤2:基于步骤1的来波角度, 估计阵列增益;

重复步骤1, 步骤2直到收敛。

步骤1和步骤2都基于接收信号自相关矩阵的特征值分解, 如下:

$\begin{array}{l}\mathit{R}{}_y=\text{E}[\mathit{y}(t)\mathit{y}{}^{{\rm H}}(t)]=\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}\mathit{y}}(t{}_i)\mathit{y}{}^{{\rm H}}(t{}_i)=\\ \mathit{E}{}_s\mathit{D}{}_s\mathit{E}{}_s^{{\rm H}}+\mathit{E}{}_n\mathit{D}{}_n\mathit{E}{}_n^{{\rm H}}(8)\end{array}$

(8) 式中对角矩阵Ds包含Ry的K个最大特征值, Es包含K个最大特征值对应的特征向量。Dn包含Ry其他特征值, En是这些特征值对应的特征向量。

2.1 步骤1:来波角度估计

令V1表示V去掉最后4行后得到的子矩阵, V2表示V去掉首4行得到的子矩阵, 信号处理中的旋转不变性指V1和V2有相同的结构, 他们之间的关系可以用一个旋转矩阵联系:V2=V1Σp[4]。根据 (6) 式中V的构造, 易知Σp=diag{p1p2 … pK}。基于特征值分解, 易知Es和ΓV张成相同的子空间, 即存在可逆矩阵T, 使得Es=ΓVT。定义$\overline{\mathit{E}}{}_s=\mathit{\Gamma }{}^{-1}\mathit{E}{}_s$, 令$\overline{\mathit{E}}$1, $\overline{\mathit{E}}$2分别为$\overline{\mathit{E}}$s去掉最后4行和首4行后得到的子矩阵, 得到$\overline{\mathit{E}}{}_1=\mathit{V}{}_1{\rm T}‚\overline{\mathit{E}}{}_2=\mathit{V}{}_2{\rm T}=V{}_1\Sigma {}_p\mathit{{\rm T}}$, 经计算可以得到

$(\overline{\mathit{E}}{}_1^{{\rm H}}\overline{\mathit{E}}{}_1)\overline{\mathit{E}}{}_1^{{\rm H}}\overline{\mathit{E}}{}_2=\mathit{{\rm T}}{}^{-1}\Sigma {}_p\mathit{{\rm T}}(9)$

(9) 式显示{p1p2 … pK}的值可以通过对 ($\overline{\mathit{E}}$${}_1^{\mathit{{\rm H}}}$$\overline{\mathit{E}}$1) $\overline{\mathit{E}}$${}_1^{\mathit{{\rm H}}}$$\overline{\mathit{E}}$2的特征值分解估计。利用类似的方法, 对V的行进行重新排列后, 可以估计{q1q2 … qK}的值[4], 本文利用文献[5]的算法完成{pk}和{qk}之间的配对。来波角度可以由一组配对结果{pk, qk}计算

$\theta {}_k=\arcsin \sqrt{p{}_k^2+q{}_k^2}；\phi {}_k=\arctan \sqrt{q{}_k/p{}_k}(10)$

2.2 步骤2:阵列增益估计

因为Γvk属于Es所张成的子空间中, 根据子空间的正交性:E${}_n^{{\rm H}}$Es=0, 可

$\mathit{E}{}_n^{{\rm H}}\mathit{\Gamma }v{}_k=0‚k=1,\cdots ,{\rm K}(11)$

令Λk表示由vk所有元素组成的对角矩阵, g表示由Γ所有对角元素组成的列向量, 上式可重写为E${}_n^{{\rm H}}$Λkg=0, 进一步得到

$\mathit{g}{}^{{\rm H}}\mathit{\Lambda }{}_k^{{\rm H}}\mathit{E}{}_n\mathit{E}{}_{\mathit{n}}^{\mathit{{\rm H}}}\mathit{\Lambda }{}_{k}g=0‚k=1,\cdots ,{\rm K}(12)$

考虑所有用户的组合, 得到

$\mathit{g}{}^{\mathit{{\rm H}}}\left[{\displaystyle \sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{{\rm K}}}\mathit{\Lambda }}{}_{\mathit{k}}^{\mathit{{\rm H}}}\mathit{E}{}_{\mathit{n}}\mathit{E}{}_{\mathit{n}}^{\mathit{{\rm H}}}\mathit{\Lambda }{}_{\mathit{k}}\right]\mathit{g}\stackrel{\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{f}}{{\displaystyle =}}\mathit{g}{}^{\mathit{{\rm H}}}\mathit{W}\mathit{g}=0(13)$

于是阵列增益组成的矢量是W矩阵零特征值对应的特征向量。实际中, 由于噪声的影响, 将g估计为W最小特征值对应的特征向量。因为特征值分解中一般已经将特征矢量进行归一化。由特征值分解得到的g和实际值存在一个尺度因子。但这一尺度因子只影响接收信号整体幅度的变化, 不会影响来波方向估计性能。

3 仿真结果

仿真中考虑一个2×2接收阵列, 两个窄带入射信号, 入射角为:{θ1, φ1}={0.569, 0.474}, {θ2, φ2}={0.381, 0.464}。入射信号有相同的载波频率, 但其基带信号为零均值、互不相关信号。仿真中阵元间隔Δ等于入射信号半波长。各阵元的实际增益如表1所示。

仿真中首先考察算法的收敛速度, 在30dB信噪比下得到图1结果。可以看到增益估计和角度估计的收敛速度很快。增益估计结果没有收敛到真实值, 这是因为特征值分解中将增益矢量进行了归一化, 其估计结果和实际值存在未知的乘子。从图1还可以看到由于噪声的影响增益估计存在一定的误差, 但角度估计结果基本收敛到准确值。

图2给出了本文算法的角度估计结果, 本文算法步骤1中将增益估计结果应用于接收信号的信号子空间:$\overline{\mathit{E}}{}_s=\mathit{\Gamma }{}^{-1}\mathit{E}{}_s$, 相当于是一个校正过程, 因此称为有校正算法。作为比较, 图中也给出了无校正的结果。可以看到本文的联合估计算法在存在增益误差时明显提高了性能。

4 结论

声矢量传感器在长期的使用过程中, 由于老化程度的不同, 可能会存在不同的增益, 在进行来波方向估计时必须考虑增益差别的影响。本文在这方面提出了一种联合估计算法, 仿真结果显示算法有很快的收敛速度, 在3次迭代后基本已经收敛。同时其角度估计性能优于传统只考虑角度估计的算法。

参考文献

[1]桑恩方, 乔钢.基于声矢量传感器的水声通信技术研究.声学学报, 2006;31 (1) :71—67

[2]Wong K T, Zoltowski M D.Self-initialting MUSIC-based direction finding in underwater acoustic particle velocity-field beamspace.IEEE J Oceanic Eng, 2000;25 (2) :262—273

[3]陈华伟, 邱小军, 赵俊渭.一种基于声矢量传感器阵的宽带源二维波达方向估计算法.声学学报, 2006;31 (3) :270—275

[4]高飞, 吴瑛, 熊霞.基于ESPRIT算法的多信号二维DOA分离估计.无线通信技术, 2005;31 (5) :19—21