刚体模型（精选7篇）
刚体模型 篇1
面对复杂具体的物体, 研究他们形形色色的运动, 如果不采取突出本质的主要矛盾, 忽略非本质的次要因素的科学思维方法, 人们便不能摆脱浩如烟海、纷乱复杂现象的纠缠, 理不出清晰的物理概念和规律, 物理学理论大厦无法建立.物理学中的各种模型便是这种科学方法的具体应用.质点模型无疑是理想化模型中最典型的, 如果物体的大小、形状对所研究问题的影响可以忽略不计时, 可视物体为质点.同样的物体, 研究的问题不同, 可能建立的模型是不同的.在一些问题中, 研究对象已不能看成质点, 而应看成刚体或质点组.但中学阶段研究的问题绝大多数是可视为质点的, 这容易造成学生思维定势, 不利于学生能力的发展, 这种常法定式容易误导学生闯入质点模型建立的红灯区.
一、讨论人、车转弯 (或物体有转动趋势) 问题时, 因为提供的向心力并不过质心, 人、车或物体的大小已不是次要因素, 模型一般不能建立为质点而应是刚体
人滑冰转弯时还能把人看成质点吗?摩擦力的作用点一定能画在质心吗?带着疑问我们从下面的例题谈起.
例1北京时间2006年2月24日凌晨, 都灵奥运会花样滑冰女子单人滑的比赛结束, 最终日本名将荒川静香力挫美国名将科恩和俄罗斯老将斯鲁茨卡亚获得冠军, 图1为俄罗斯老将斯鲁茨卡亚在滑冰过程中美丽的倩影.假设图中斯鲁茨卡亚在沿弧形运动.若已知该运动员的质量在60kg左右, 除此之外, 根据图中的信息和你所学的物理知识, 你能估测的物理量是 ()
A.地面对冰鞋摩擦力的大小
B.运动员的滑行速度
C.运动员转弯时的向心加速度
D.地面对人的支持力
【错解】图1中的运动员受到三个力的作用, 在竖直方向重力和支持力平衡, 因此地面对人的支持力等于重力.在水平方向运动员受到的静摩擦力提供所需的向心力, 方向指向圆弧形的曲率中心, 则由于, 且Ff、v、R均未知, 因此A、B、C项无法估测, 综合选D.
【错解分析】能不能把人看成质点, 是由问题的性质决定的.本题中, 运动员转弯时需要倾斜, 而且速度越大倾斜越厉害, 这是不争的事实.如果把人看成质点, 就无法解释上述现象.其实这类问题中应把人看成刚体, 静摩擦力作用于脚底面已不能简单的平移在人的质心处而提供所需的向心力, 也就是说人的大小已经是问题的主要因素.如图2所示, 过质心加上方向与Ff平行、大小均与Ff相等的一对方向相反的力Ff1和Ff2, 显然, Ff、Ff1、Ff2的作用效果和原力Ff是等效的.在Ff、Ff1、Ff2这组力中, Ff1提供运动员作圆周曲线运动的向心力, Ff2与Ff产生了一个顺时针的力偶矩, 为了不使运动员向外翻倒, 只有当运动员向内倾斜时即重力产生一个逆时针力矩才能使转动平衡, 这种方法称为等效平移力法.[1]
【正确解法】为了便于研究, 把运动员简化成如图2所示的刚体模型, 运动员所受的力有:重力作用在质心, 方向竖直向下, 支持力作用在脚底面方向竖直向上, 沿法向方向的静摩擦力作用在脚底面, 方向指向圆弧形轨迹曲率中心, 设曲率半径为r, 运动员此时沿切线方向上的速度为v.Ff1提供运动员做曲线运动的向心力, 即
Ff2产生的顺时针力矩和重力产生的逆时针力矩能使转动平衡, 则Ff2y=mgx (2)
(y、x分别为Ff2和mg产生的力臂)
设转弯时运动员的倾角为θ, 则
本题中, 根据图中信息可估测出运动员的倾斜角θ, 依 (3) 式由于v、r均未知, 因此不能估算出运动员的滑行速度, 但可估算出转弯时的向心加速度即;又依 (1) 式, 因此摩擦力的大小也能估算出;在竖直方向上支持力与重力平衡, 地面对人的支持力可估算出, FN=mg, 综合本题选ACD.
例2一载重农用车总质量为M=5t, 重心离地面高h=1.5m, 两轮胎之间的宽度为L=1.2m, 轮胎与地面之间的动摩擦因数μ=0.5.当农用车通过一半径为R=100m的水平弯道时, 最大速度不能超过多少才是安全的? (最大静摩擦力按滑动摩擦力计算, g取10m/s2)
【错解】如图3所示, 农用车在竖直方向受到重力和支持力FN, 则FN=Mg, 农用车沿曲率中心的静摩擦力提供所需要的向心力.设农用车转过水平弯道的速度为v时, 即将沿法向方向滑出, 则
【错解分析】错解的原因仍然是简单的把农用车看成质点造成的.农用车在转弯处的安全隐患是滑出还是翻倒是未知的, 若是滑出, 是平动问题, 农用车可以看成质点;若是翻倒, 是转动问题, 农用车的大小也是主要因素, 已不能看成质点, 摩擦力的作用点不能简单地画在质心上, 而应把农用车看成刚体按有固定转动轴的平衡问题来分析.
【正确解法】先由静摩擦力提供向心力计算.设即将侧滑动的车速为v1, 则
联立 (1) (2) 得.
再由附加力矩和重力力矩的转动平衡计算.设即将翻倒时车速为v2, 由等效平移力法, 此时静摩擦力提供向心力则
另一力Ff''与重力的力矩平衡, 即
(设以右轮胎为转动点, 即将翻倒时地对左边轮胎恰无支持力)
联立 (3) (4) 得.通过计算对比可以看出, 农用车在弯道处更容易翻倒造成事故, 因此安全行驶的速度不能超过20m/s.
【反思】限于中学学生所做的这方面试题绝大多数可视为是质点而不是刚体模型, 这容易造成思维的固定模式, 像前面讨论的人滑冰转弯、人骑车转弯、汽车转弯等很实际的问题, 我们有必要让学生明白, 这类问题已不能把它们看做质点, 物体的形状、大小往往也起主要作用而不能忽略, 当然我们也忽略了一些次要因素.如人的双臂摆动、双腿交替运动、身体的晃动、内脏的运动等.中学教学中, 遇到的这类问题不是很多, 我们要善于抓住时机, 利用很少的时间帮助学生理解模型的建立要根据具体问题而决定, 而不是避而不谈, 甚至错误作答.[2]
二、讨论人、机车的功能 (或物体间的碰撞) 问题时, 因为有内力参与做功, 模型一般不能建立为质点而应是质点组
对涉及人和机车的做功问题时还能用质点动能定理吗?物体间 (系统) 的碰撞问题我们所列的动能方程是质点动能定理吗?下面以两个例题为引子做一深入的探究.
例3如图4所示, 平板车放在光滑的水平面上, 一个人从左端加速向右端跑动.设人受到的摩擦力为F, 平板车受到的摩擦力为F'.下列说法中正确的是 ()
A.F和F'均做负功
B.F和F'均做正功
C.F做正功F'做负功
D.F和F'做的总功为零
【错解】人从车的左端加速向右端跑动时, 人相对地向右运动, 人所受的摩擦力方向也向右, 则F做正功;平板车相对地面向左运动, 它受到的摩擦力也向左, 则F'也做正功, 所以选项B正确.
【错解分析】上述错解中, 人和平板车所受静摩擦力的方向及摩擦力对平板车做正功的分析都是正确的, 错误出现在静摩擦力F对人做正功的分析上.学生做此题时认为, 人受静摩擦力方向向右, 并且人向右运动, 根据功的定义“一个物体在力的作用下移动, 力对物体做的功等于力和物体沿力方向位移的乘积”, 因此摩擦力对人做正功.这是把人看做质点得出的结论, 其实, 这个问题中人已经不能看做质点, 而应看成质点组.难道中学就只能把人看成质点吗?若是把人看成质点分析得出的答案B与我们交代给学生的二级结论“一对静摩擦力做的总功为零”是相矛盾的, 并且人和车组成的系统动能增加也是无法解释的, 可见这不是简单的可回避的问题.[3]
【正确解法】人应看做质点组, 人向右跑动时, 人体的各部分运动情况不一样, 人体整体看来向右运动, 但后脚随着后腿由弯曲变为伸展的过程中, 随着平板车一起向左运动, 由于后脚受到的静摩擦力方向向右, 所以F对人做负功.当后脚抬起并且向前运动变为前脚时, 原来的前脚就开始变为后脚重复着上面的过程, 每次的后脚蹬着平板车向左运动, 后脚和平板车的位移是相等的, 因此F和F'做的总功为零.正确答案是D.
例4一质量分布均匀的铁链, 质量为M, 长为L, 静止在水平面上, 若用一竖直向上的恒力F作用于铁链的一端, 则当铁链刚好全部离开地面时, 其速度有多大?
【错解】铁链在上升的过程中, 拉力做正功, 位移为L, 重力做负功, 位移为, 地面支持力不做功, 当铁链刚好完全离开地面时, 设其速度为v, 依动能定理, 有:, 解得.
【错解分析】上面的解法中套用了质点的动能定理, 然而上面的铁链在这类问题中是不能视为质点的, 必须看做质点组.这样就涉及内力做功的问题, 在铁链不断上升的过程中, 原来静止在地面上的铁链微元dm不断地与获得速度的铁链主体m结合为一体, 铁链的上升过程实质上就是已离地的m与静止的dm的一连串连续的碰撞过程, m与dm间相互作用的一对内力做功之和并不为零, 碰撞中有能量损失.其实对质点组, 动能定理应写为W非内+W外=Ek2-Ek1, W非内为非保守内力所做的功.
在中学应用动能定理时, 是把物体能够看做质点的情况下, 把物体看做质点, 内力做功为零, 因此质点动能定理为:W外=Ek2-Ek1.
【正确解法】设某时刻铁链离开地面部分长度为x, 获得速度为v, 并设铁链的线密度为λ, , 则对长为x的铁链有微分方程:
整理得, 两边乘以xv得:
两边微分后得:.
【反思】人和车运动问题中, 限于中学生的知识局限, 学生出现的错误比较多, 例如人和车在地面上运动, 是地面摩擦力对人或车做正功的缘故;又如人从地面上跳起是地面支持力对人做功的结果;再如人在荡秋千的过程中 (忽略各种阻力) 机械能守恒等.要帮助学生理解这类问题中人或车已不能看成质点或刚体, 而应看成质点组, 由于质点组内各质点之间存在着相互作用力, 内力虽然不能改变质点组的总动量, 但可以改变质点组的动能.无论是人体内, 还是各类机械中, 因内力的产生随时间、位移的变化十分复杂, 以至于通常难以用一个定量的函数式对它进行描述, 所以内力功虽然具备功的因素却难以定量表示, 其大小只能间接用机械能或其他形式能的增量进行粗略的估算.
物体之间的碰撞问题, 由于一些过程时间短, 隐藏性强, 中学生也经常“视而不见”从而出错.教师经常埋怨学生粗心, 其实教师也要在此做足文章, 可以对碰撞过程“放大”和“强化”处理, 使学生明确质点组间的碰撞由于一对内力做功一般不为零, 因此机械能有损失.
理想化模型的建立需具体问题具体分析, 不能一概而论.某因素可能在这种情况下是次要因素, 不予考虑;但在另一种情况下可能是主要特征, 就必须考虑.
参考文献
[1]张锦科.人骑车转弯时的力学探究[J].物理教师, 2009 (7) .
[2]冯晓林.中学教学研究 (3+X中学成功教学法体系) [M].呼和浩特:内蒙古大学出版社, 2000.
[3]徐善松.一对静摩擦力做功一定为零[J].物理教学, 2008 (7) .
[4]丁三七.几个功能问题的错解分析及原因探究[J].中学物理, 2008 (7) .
刚体模型 篇2
在进行曳引机防振装置的解析时, 如何考虑悬挂在曳引机防振装置上的轿厢、对重和钢丝绳的重量, 到目前为止, 还没有完全弄清楚。所以, 为了正确和有效地进行复杂的曳引机防振装置的解析, 需要借助有限元软件, 来建立曳引机防振装置的有限元模型进行解析。
曳引机防振装置通过防振橡胶与建筑物连接在一起, 防振橡胶可以降低曳引机运行时的振动到建筑物的传递。防振橡胶的弹簧系数相对于防振装置本身是较小的, 所以, 为了方便地进行曳引机防振装置的动态解析, 本文介绍一种曳引机防振装置的建模方法, 即建立曳引机防振装置的刚体模型。
1 曳引机刚体模型的建立
曳引机防振装置主要有机座、承重梁等组成的。机座和承重梁是由槽钢和工字钢通过螺栓连接或焊接在一起, 承重梁下面是防振橡胶。所以, 曳引机机座或承重梁及其他主要部件的变形是非常小的, 基本可以忽略不计。另一方面, 如果整个装置建成I—DEAS柔性体模型的话, 通过动态解析后, 得到的模态频率和振型的阶数非常多, 使得感兴趣的几阶模态频率及振型不容易找出。所以, 使用有限元分析软件I—DEAS建立了曳引机防振装置的刚体模型。
工字钢或槽钢的特定形状不再考虑, 而是都建成六面体形状, 如图1所示。
在图1里, 六面体的截面尺寸等于工字钢或槽钢的最大尺寸, 同时长度也相同。最重要的是建成的六面体的质量和相应的工字钢或槽钢一样。已知的是工字钢或槽钢的质量, 所以在I—DEAS里, 六面体的材料密度必须等于相应的工字钢或槽钢的质量除以六面体的体积。六面体的中心用刚体单元把其他的节点连接起来, 从而产生工字钢或槽钢的刚体模型, 如图2所示。
经过以上的处理后, 在I—DEAS里建立的曳引机防振装置的刚体模型如图3所示。
图3中的红框表示防振橡胶的位置, 用弹簧和阻尼单元来等效。此型号的曳引机防振装置的防振橡胶的布置方式是两层防振橡胶。
2 曳引机防振装置的刚体模型的解析
曳引机防振装置通过钢丝绳悬挂着轿厢和对重, 所以, 轿厢、对重和钢丝绳的考虑方式对正确地进行曳引机防振装置的解析具有至关重要的作用。主要有三种考虑方式。
2.1 轿厢、对重和钢丝绳作为集中质量
轿厢、对重和钢丝绳的质量分别为2 404 kg, 3 154 kg, 144 kg。防振橡胶的弹簧系数为:
解析结果如表1所示。
2.2 钢丝绳作为弹簧阻尼单元
1 m单位钢丝绳的刚度为:Kr=1.37n EAg
式中, n为根数;E为杨氏模量;A为截面积;g为重力加速度。
把数值代入得:
由于钢丝绳的刚度与长度有很大关系, 所以分别考虑下面3种典型情况来考查钢丝绳的影响。
2.2.1 轿厢在最上层, 对重在最底层
轿厢侧承重梁钢丝绳的刚度为:
CWT侧承重梁钢丝绳的刚度为:
曳引机和导向轮支架钢丝绳的刚度为:
计算结果如表2所示。
2.2.2 轿厢在最底层, 对重在最上层
轿厢侧承重梁钢丝绳的刚度为:
对重侧承重梁钢丝绳的刚度为:
曳引机和导向轮支架钢丝绳的刚度为:
计算结果如表3所示。
2.2.3 轿厢和对重在中间位置
轿厢侧承重梁钢丝绳的刚度为:
对重侧承重梁钢丝绳的刚度为:
曳引机和导向轮支架钢丝绳的刚度为:
计算结果如表4所示。
从表1到表4的解析结果可以得出:把钢丝绳作为弹簧考虑的三种状态下得出的结果非常接近, 说明钢丝绳所处位置的不同对模型计算结果影响可以忽略。同时把钢丝绳作为弹簧考虑的计算结果和直接加质量块的计算结果的X和Z向的频率相差很小, 而Y向的频率相差稍大。由于把钢丝绳作为弹簧更符合实际, 同时也验证了曳引机防振装置刚体模型的正确性。
3 结语
通过本文的介绍, 曳引机防振装置的有限元模型建立的过程, 及槽钢或工字钢建成刚体模型的方法已经一目了然。另外通过模型可以计算出曳引机防振装置的固有频率, 为曳引机防振装置的制作提供了科学依据。
参考文献
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[2]傅志方.模态分析理论与应用[M].上海交通大学出版社, 2000
[3]张长友, 朱昌明, 吴广明.电梯系统垂直振动分析与抑制[J].振动与冲击, 2003, 22 (4)
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[5]王如义, 郑元镇.橡胶阻尼材料研究进展[J].橡胶工业, 2003, 50 (2)
刚体的平面运动和旋轮线 篇3
令, 上式变为
此式表示一个旋轮线.对式 (1) 求时间的导数, 得到M的速度投影
若刚体逆时针转动, 则式 (1) , (2) 变为
众所周知, 旋轮线可以认为是由沿一条直线做纯滚动的圆轮上 (或拓展部分) 的一点刻画而成, 但是式 (1) , (3) 表示的旋轮线具体形状显然随V, ω, l的不同而不同.因此, 以下讨论平面运动刚体上的质点在不同情况下的旋轮线轨迹是由怎样的圆轮作怎样的纯滚动形成的[1], 以期对质点的运动有更直观的理解.
1 旋轮线的形成过程
首先讨论式 (1) 所示的情形, 并且只研究ωyC>V, 即yC>R的情形.
第1种情况:运动的初始条件有lω>V, 以致l>R.此时, 旋轮线形成过程如图2所示:圆轮半径为R, 圆轮拓展部分上与轮心距离为l处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R, 圆轮在DE直线上方沿着DE作顺时针方向匀角速纯滚动时, M点的轨迹方程即为式 (1) ;N是圆轮的瞬心, 由R=V/ω可知, N也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线的斜率总是存在的, 曲线上没有“折点”, 是处处滑顺的曲线;当ωt= (2n-1) π (n=1, 2, ···) 时, vx<0, vy=0, 曲线斜率k=vy/vx=0, 表示质点在这些位置处作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动, 运动方向与圆轮质心运动方向相反.
第2种情况:lω=V, 以致l=R.此时, 旋轮线形成过程如图3所示:圆轮半径为R, 圆轮边缘上有一点M, 起初在Oy轴上且在轮的最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R, 圆轮在DE直线的上方沿着DE作顺时针方向的匀角速纯滚动时, M点的轨迹方程即为式 (1) ;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下, vx≥0;但是, 当ωt= (2n-1) π (n=1, 2, ···) 时, vx=0, vy=0, 故曲线的斜率不存在且带电粒子的运动方向突变, 表示质点的运动轨迹在这些位置出现“拐点”.
第3种情况:lω
对于ωyC
再讨论式 (3) 所示情形, 并且也只研究ωyC>V, 即yC>R的情形.
第1种情况:lω>V, 以致l>R.此时, 旋轮线形成过程如图5所示:圆轮半径为R, 其拓展部分上与轮心距离为l (l>R) 处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R, 圆轮在DE下方沿DE作逆时针方向的匀角速纯滚动时, M点轨迹的方程即为式 (3) ;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线斜率总是存在, 曲线无“拐点”, 处处光滑;但是, 当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, 恒有vx<0, 曲线斜率k=0, 表示质点在这些位置作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动, 运动方向与轮心的运动方向相反.
第2种情况:lω=V, 以致l=R.形成这种旋轮线的过程如图6所示:圆轮的半径为R, 边缘上与轮心距离为l (=R) 处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R, 圆轮在DE下方沿DE轴逆时针匀角速纯滚动时, M点的轨迹即为式 (3) , M点的轨迹是普通旋轮线;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下恒有vx≥0;但是, 当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, vx=0, vy=0, 曲线斜率不存在且运动方向突变, 质点轨迹在此处出现“折点”.
第3种情况:lω
2 实例
如图8所示, 光滑水平面上静置质量为M, 长度为2L的均质细直杆, 质量为m的质点以速度v0沿水平面垂直射入直杆一端.求:碰撞后质点的绝对运动方程.
研究整个系统.以质点的碰前速度方向为速度的正方向, 竖直向下为动量矩的正方向.碰撞过程中, 系统的水平方向动量守恒, 其质心C的水平速度不变, 有
并且, 质点与 C 之间和 C 与直杆质心 C2 (如图9所示) 之间的距离均不变, 分别为
碰撞前:质点绕C点的动量矩为L1=lm (v0-V) , 直杆绕C点的动量矩为L2=-a M (0-V) .碰撞之后:设系统绕通过质心C且垂直于细杆的轴的转动惯量为IC, 则系统绕C点的动量矩为L3=ICω.由动量守恒定律, 有
即
将-代入, 式 (5) , (6) 代入上式消去a, l, 得到
以光滑水平面上与直杆中心C2的初位置重合的固定点O为原点建立定系Oxy, 如图9, 图10所示, Ox轴平行于质点的初速度方向.由式 (3) , 质点的绝对运动方程为
其中
显然, 这表示一个旋轮线, 如图10所示:它是由半径为R的圆轮沿DE直线y=a-R做纯滚动时, 其内部或延拓部分上、距离轮心 C 为 l 的点所刻画的曲线; N是圆轮的瞬心, 也是系统的瞬心.
摘要：讨论了作平面运动的薄板上一个质点在不同条件下的旋轮线轨迹, 并讨论了这些不同形状的旋轮线是怎样由圆轮的纯滚动形成的.
关键词：平面运动,质心,旋轮线,曲率半径
参考文献
刚体模型 篇4
本文来源于与故宫科技部合作研究青铜鼎碎片复原的项目。青铜鼎破碎成大小100多片, 人工匹配拼接消耗大量时间和精力, 于是我们利用计算机辅助拼接来虚拟修复青铜鼎。与此相关的工作有:Wolfson[1]提出先用多边形近似方法得到碎片2D边界曲线的特征串, 然后通过几何杂凑法寻找最长公共子串。这种方法不能给出曲线匹配的准确信息, 也不能完全排除重叠的情况。Ucoluk[2]讨论了3D物体的自动重建问题, 在局部匹配中采用了穷举方法, 时间复杂性非常高, 而且没有用实际数据进行测试。Kong[3]研究了2D和3D拼图问题, 采用动态规划法进行曲线匹配, 但是没有考虑碎片之间不完全匹配的情况 (例如物体在破碎过程中可能会丢失一些非常小的碎片) 。杨洛斌[4]等就形状匹配在文物复原方面的研究, 其主要思想为以其中任意一个碎片为模板和其他碎片进行一一匹配, 选择其中匹配曲线段最长的碎片作为匹配碎片并进行曲线拼接和曲面拼接, 将拼接后的碎片作为新的模板进行新一轮匹配, 该工作以最长匹配段作为判定。还有一系列的文章[5,6,7,8] , 使用弹性模型进行曲线匹配, 这种方法计算复杂度很大, 尤其在碎片比较多的情况下, 几乎就是不可解。本文使用的方法是采用分级分段的方法进行匹配计算, 使用分级可以加快计算速度, 利用分段不仅可以降低采样点的个数, 还可以利用相临的段进行验证, 提高匹配正确的概率。
1数据预处理
1.1扫描数据
利用三维激光扫描设备 (FastScan) 采集破碎文物的表面数据信息 (点云数据) , 对扫描碎片只扫描其中一面, 并且所有碎片都只扫描同一侧面的面。 (根据具体情况选取内面还是外面, 根据具体情况, 这里取外面, 因为青铜器外面比较光滑, 更容易拼接计算) 。通过扫描, 获得到的点云三维数据, 经三角网格剖分后生成其对应的三角网格曲面模型, 如图1所示。
1.2预处理碎片数据
三维网格曲面模型经过适当简化后, 即可进行后续的特征轮廓线提取、匹配等处理。在使用三维激光扫描仪进行数据采集的过程中, 对空间形体的最高分辨精度可以达到0.1mm, 因设备所引起的比如裂缝、噪声以及离散网格的非流形问题可以通过数据简化来解决 (该功能由设备的软件处理平台提供) 。但是扫描的模型中带有的断裂面的数据并不能消除掉, 我们需要把断裂面数据去掉, 只获得轮廓的信息。这里使用的消除断裂面并获得轮廓线的算法是参考文献[9]中的方法。该方法就是利用曲率, 提取外轮廓线和内轮廓线, 然后再根据物体的破碎特征得到真正的外轮廓线, 该方法与物体破碎程度有关, 所以这里加入了人工辅助修正。图2所示为经过预处理后提取的轮廓线。
2基于轮廓线的匹配技术
2.1轮廓线分段
如图3所示, 根据取得的轮廓线的各个点的曲率, 按照曲率变化, 把整体的轮廓线转化为关键点的集合, 这些关键点就描述了这个整体轮廓。在按照关键点中的拐点 (就是那些变化率大的关键点) 划分成不同的段。 (图3中分成了A、B、C三个段) 也就是以曲率变化大的那些点作为关键点对整体轮廓进行划分, 分成不同的段, 这样就得到所有原始点的关键点的集合, 各个段的集合以及段的关系。其中段和段的关系是使用段与段之间的关键点来描述的。如果使用曲线拟合重采样获得点的集合来描述这个曲线, 在重采样的过程中有可能丢失掉那些特征比较明显的点, 比如拐点。这里的分段分两级, 第一级为粗线条分, 就是按照曲率变化比较大的区域划分;第二级, 在已经划分好的段, 再次使用同样的方法对已划分的段再次进行划分, 新划分所使用的曲率变化比上一级曲率变化要小。
2.2轮廓线匹配技术
2.2.1 轮廓线的匹配标准
(1) 通过段匹配计算, 如果两个段之间存在的重叠区域很小并且段匹配的匹配长度最长, 那么匹配成功。
(2) 如果一个段匹配成功, 根据段与段之间的关系, 计算与匹配的段相互连接的段, 如果这个相邻接的段也匹配成功, 那么这个匹配是成功的。
各个碎片的轮廓线匹配拼接过程如下:
1) 选择一个碎片的一个段 (可以随机选择, 也可以指定) , 以它作为基本匹配段, 简称基段;
2) 在其他碎片的段中寻找可以与之匹配的段, 简称匹配段 (所使用的是匹配标准A) ;
3) 如果在其他碎片中找到一个与之匹配的段, 记录下他的匹配优先级, 匹配优先级按照匹配度排序;
4) 选择匹配优先级最高的进行拼接, 拼接完成后, 必然引起匹配段所在的轮廓线中的其他段的位置变化, 根据这些变化, 计算与基段相连接的其他的段与这个匹配段所在的碎片的其他段的匹配情况, 如果有新的匹配产生, 那么, 整体匹配成功。 (使用的是匹配标准B) 如果没有新的匹配产生, 可以认为是可能的匹配, 作为备选, 根据人工判断是否匹配成功;
5) 以上是第一级匹配, 如果匹配成功, 那么进入第二级匹配。第二级匹配与第一级匹配算法是一致的, 唯一的不同是不需要再次进行匹配验证。第二级匹配的目的是使匹配度更加精细, 拼接结果更理想。
2.2.2 轮廓线各分段匹配计算
如图4所示, 有2条要匹配的段, 假设上面的段为段A, 下面的段为段A′, 那么可以获得他们的原始特征点。图5为这2个段的原始特征点。
把各个段的原始特征点进行坐标无关化处理, 也就是各个取得采样点的坐标无关信息。坐标无关化使用的方法为参考文献[4]中的方法并作出改进。取起始点作为基点设坐标矩阵为Tb, 那么与它相邻接的特征点, 假设坐标矩阵为Tl, 那么它们之间的关系矩阵设为Tlb, 这个矩阵是一个与坐标旋转、平移无关的量。图6为。特征点和相应的坐标无关的方向矢量。
现在假设二个段的采样点集合为 { VA| VA[i], i=1, 2, … }和{ VB| VB[j], j=1, 2, … }, 那么他们的匹配过程如下:
(1) 以VA[i]为原点, 按照方向矢量建立坐标系, 并还原得到曲线;VB[j]的点为原点, 在VA[i]建立的坐标系, 还原得到曲线。
(2) 计算二个曲线之间的关系, 如果满足匹配规则就匹配成功, 不满足i++;或者j++;返回到步骤 (1) 。
在所有满足匹配规则的成功匹配中, 那个最长的匹配就是要求的结果, 相应的伪代码为:
match () 函数是计算以VA[i]、VB[j]为原点的两个曲线的匹配长度。
length () 函数为计算曲线含有的原始特征点的个数。
int m=length (VA) ;
int n=length (VB) ;
for (int i=0;i<m;i++)
for (int j=0;j<n;j++) {
if (Max<match (VA[i], VB[j]) )
Max= match (VA[i], VB[j]) ;}
match函数的原理:
以VA[0]点为原点, 那么VA[1]就是该点的下一个点的描述信息, 只要做VA[1]+ VA[0], 就是新坐标中的点, 同样, 可以得到以VB[0]为原点的曲线。
假设VA[i]为原点和VB[j]为匹配起点, 那么VA[i]与VA[i+1]就存在一个凸包, 把这个曲线包围起来, 如图7所示凸包的最大半径为R, 如果VB[j]与VB[j+1]在这个凸包中, 那么i=i+1, j=j+1, 继续计算, 测试新的点是否在凸包里, 如果VB[j]与VB[j+1]不在凸包中, 那么, 计算从起点到终点的曲线长度, 这个长度就是匹配的优先级。
3碎片拼接
如果分段VA和分段VB是匹配的, 那么就需要把VA和VB所在的曲面进行拼接。
VA和VB是坐标无关的, 所以, 首先把他们放到坐标系中, 建立坐标系, 那么VA和VB所在的碎片的拼接就是按照VA和VB中的特征关键点重合的规律, 通过平移和旋转来实现。
拼接过程如下:
首先, 建立局部坐标系。假设破碎曲面中的基段为VA, 匹配段为VB, 根据分段匹配计算的结果, VA, VB的匹配结果, 至少有二个点是重合或者是接近重合的, 假设这两个点为 (VA[i], VB[j]) , (VA[m], VB[n]) , 以起点VA[i]为原点, VA[i]和VA[m]之间的连线为x轴, 向x轴作垂线, 那么这个垂线的方向就是y轴的方向, 这样就得到了x和y轴, x轴, y轴的向量叉乘就是z轴。如图8所示。
因为所记录的各个特征点信息是与坐标无关的, 所以, 只要把特征无关向量矩阵代入所建立的坐标系, 就得到了拼接结果。剩下要做的就是曲线合并, 它的做法为, 找到重合的点, 把重合区域合并, 并把两个碎片拼接起来, 获得一个新的碎片。具体拼接算法如下:
假设有不同的两个曲线pi、pj, 对于pi、pj, 它的局部坐标系是不一致的。当两个曲面的轮廓曲线中有一段曲线段匹配, 那么这两个曲面将被拼合成为一个曲面。由于匹配曲线段近似认为是碎片的碎裂曲线, 属于共享边界, 所以会将两个碎片曲面都转换到局部坐标系中。我们根据每一个pi、pj来确定一个局部坐标系。计算可以得到两个局部坐标系的变换公式, 而在理论上匹配曲线段应该在一个局部坐标系中是一致的, 所以实际上这个坐标变换公式中的旋转矩阵、位移向量就是我们所要得到的。
为了实现两个曲面、曲线的拼合, 将世界坐标系中的每一个碎片曲面图形通过坐标旋转、平移变换使得两个曲面拼接在一块, 两个曲面中的轮廓曲线中的匹配曲线段重合。
假设两个曲面SA、SB, 那么它们的局部坐标系分别表示为:
IA: { (o′A, e′A1, e′A2, e′A3) }
IB: { (o′B, e′B1, e′B2, e′B3) }
则根据局部坐标系和世界坐标系的点坐标变换公式:
AA、AB分别IA、IB坐标向世界坐标系的过渡矩阵。从这一公式可以得到IA、IB中的点的坐标变换关系:
设定旋转矩阵R和平移向量T:
那么:
这里的rij (i, j=1, 2, 3) 是R中的元素, ti (i=1, 2, 3) 是T中第i个分量。
实际工作中, 我们在作曲面SA、SB的拼合时, 计算出旋转矩阵R和平移向量T, 然后将对曲面SB加以旋转、平移, 使得两个曲面的轮廓曲线匹配段合一, 从而实现了两个曲面的拼合, 曲线的拼接, 如图9所示。最后拼接结果如图10所示。
4结论
本文提出了利用轮廓线分段进行匹配的方法。在分段的过程中, 使用曲率比较大的点作为特征点, 并作为分段的依据, 把一个碎片的轮廓分解成多个段, 再利用不同碎片的轮廓段进行匹配计算, 然后按照匹配规则获得不同优先级的匹配方案, 进行匹配, 然后根据匹配结果进行拼接计算。利用这个方法, 解决了破碎青铜器拼接的问题。
参考文献
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[7]Leutwyler K.Solving a digital jigsaw puzzle[J].Scientific American, June 2001.
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一种新的多刚体系统的存储方法 篇5
关键词：多刚体系统,链式存储,有向图,十字链表
0引言
由多个刚体通过各种联系所组成的系统称为多刚体系统[1]。在实际工程中,非树形多刚体系统要比树形多刚体系统多。在过去的研究中,为了便于数学建模,基本上是假设树形多刚体系统中只有一个刚体用铰链与零刚体连接,人为地采用切除回路中铰链的方法,使非树形多刚体系统缩减成树形多刚体系统,这种假设不是十分合理的,虽然达到建模简化的目的,但具有以下不足之处:
(1)因铰链缩减,零刚体可能与几个铰链连接,此时将人为造成标号规则的复杂化。
(2)因系统缩减,造成关联矩阵的分割,有失非树形多刚体系统的原状。
为了表示多刚体系统有向图,它多以维登伯格提出的关联矩阵和通路矩阵、休士顿提出的内接刚体数组的方法来描述,这些描述与多刚体系统有向图的编号方法有着密切的关系。同一个系统,如果主观编号方法不同,其描述就完全不同,若编号不恰当,关联矩阵和通路矩阵中的非零元素过于分散,不利于数值计算。从数据存储的角度来看,这些数学描述最终以顺序存储的形式保存,而在顺序存储中进行多刚体的修改、增加、删除等操作有一定的难度。
在研究多刚体系统的过程中,建模分析是影响其研究效率的重要一环,故其存储结构具有承上启下的关键作用。在前期研究的基础上[2],本文提出了一种新的用十字链表来存储多刚体系统有向图的方法,该方法不但解决了多刚体系统有向图的存储问题,而且将其应用由树形多刚体系统扩大到非树形多刚体系统,真正使二者从数学建模到计算机存储达到一致。
1多刚体系统结构描述
多刚体系统结构是指系统内部各刚体的连接方式[3]。运用图论中的一些概念来分析和描述多刚体系统结构,便可以用统一的数学模型和存储模型来描述不同的多刚体系统。
图论中的图是由一个表示具体事物的点的集合和表示事物之间联系的线段的集合所构成。这些点成为图的顶点,线段称为图的边[4]。在一个图中,顶点和边之间的相互连接关系称为关联,一个系统只要有这种关联关系就可以用图来描述它的结构。将多刚体系统的每个刚体用顶点表示,铰链用边表示,于是多刚体系统的结构关系可以用一个系统图(亦称系统拓扑结构)来描述。对于任意一个多刚体系统都可以通过拓扑结构图,直观地描述系统中各物体相互连接的关系[5]。然而,这种方法无法直接参与系统的运动学与动力学的数值分析,为了使得到的动力学模型具有通用性,在动力学方程中必须含有描述系统拓扑构型的信息。当研究两个邻接刚体的相对运动时,必须明确是哪个刚体相对哪个刚体的运动;当研究系统的动力学时,由于作用在两个邻接刚体上的铰链内力是具有相反符号的作用力和反作用力,因而必须明确具有正号的力作用在哪个刚体上,具有负号的力又是作用在哪个刚体上。
为了将系统的这种方向性反映在图中,对图的每条边规定一个方向,以表示这条边所关联的两个顶点的次序关系,并且用箭头指向来标明。把这种每条边都规定了方向的图叫有向图,有向图的边称为弧,于是多刚体系统的结构可以用系统的有向图来描述。
如图1(a)所示的是非树形结构的多刚体系统,图1(b)为描述此刚体系统的有向图,如果将此刚体的铰链35去掉,便可得到类似此刚体的树形结构的有向图,如图1(c)所示。图中用顶点Si(i=0,1,..,n)表示标号为i的刚体;用弧Uij(i=1,2,..,n;j=1,2,...,n)表示刚体i与刚体j之间的铰链;弧的箭头方向指明,在两个邻接刚体中箭头指向的刚体相对箭头背离的刚体运动。
2多刚体系统的数据存储
如何将多刚体系统的有向图准确无误地映射到计算机内存中,使计算机内存中的数据存储结构与多刚体系统的有向图一一对应,是一个十分棘手的问题。
在引言中我们分析了目前多刚体系统有向图存储的缺点,根据多刚体系统结构的特点,发现多刚体系统的有向图恰似图论中的有向图,因此选择基于有向图的数据存储结构来描述多刚体系统的结构关系和连接关系较为适合。
在数据结构中, 十字链表是有向图的一种链式存储结构[6],图1(c)所示的有向图对应的十字链表如图2所示。
对多刚体的有向图采用十字链表存储方式不仅仅是对传统存储方式外延的拓展,而且是对其内涵的丰富。如前所述,在实际问题中,非树形多刚体系统要比树形多刚体系统多得多,并且经常是通过切除“适当选定”的铰链来缩减成为树形系统,在求出树形系统的动力学方程后,将被切除铰链的内力和运动学约束重新引入以得到非树形系统的动力学方程,这种方法因主观“适当选定”的影响,不具有客观性,问题的原因主要是其存储结构采用了顺序存储的方式,而我们采用了十字链表的链式存储后,完全不用考虑是否为树形结构,可以快捷地进行铰链或刚体的添加,灵活地存储刚体或铰链的有关信息,对比图1(b)、(c)可以发现只是在图1(b)多了铰链U35,多刚体系统就由树形结构变成非树形结构,但我们可以在图2的基础上加上相应铰链的信息即可,如图3所示,这样用十字链表不但可以存储基于树形结构的有向多刚体系统,而且可以存储基于非树形结构的有向多刚体系统。
在对虚拟样机进行仿真分析时,系统首先自动对刚体和铰链进行编号,使刚体结点的序列号与构件的序列号相同,即机架(或地) 的编号为0,其它各构件的编号依次为1,2,… ,n,而铰链的序列号与其相连的刚体序列号相关。这样,对于图中任一边而言,就可根据它所连接的两个顶点的序列号的大小,确定出边的方向。因此可以方便地对图中的顶点和边进行各种操作,从而能很好地满足机械系统虚拟样机仿真分析软件系统对其存储结构的要求。
3数据存储对比
由表1可知,作为传统的存储结构,关联数组、关联矩阵和十字链表均采用顺序存储的方式,这不便于机械系统中因刚体或铰链的增减而改变其存储序列,并且存储算法的时间复杂度为O(n2);而十字链表采用链式存储方式后,可以很方便地增减刚体结点或铰链结点,无需顾及非树形结构与树形结构之间的切割转换,其存储算法的时间复杂度为O(n)。
4结束语
十字链表所具有的链式存储的优点,不但从根本上解决了复杂多刚体的存储结构问题,而且使该结构与多刚体的系统结构完全一致,解决了在利用图论的方法研究多刚体的过程中因思维的差异和转换引起的困难,尤其避免了非树形多刚体向树形多刚体的切除转换,使树形多刚体和非树形多刚体从数学建模到计算机存储达到高度的一致,在机械系统虚拟样机仿真软件的设计中取得较好的效果。
参考文献
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[2]刘贤喜,苏庆堂,刘中合,等.基于图的机械系统拓扑结构的数据存储[J].计算机工程与设计,2006,27(20):3777-3778.
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刚体模型 篇6
关键词：旋量理论,极小模,解系,机械臂,刚体运动
0 引言
虽然D-H参数法已广泛用于机械臂的运动建模和分析,先前文献中建立机械臂末端运动误差数学模型主要基于D-H参数法或者修正后的D-H参数法,但D-H参数法在技术上存在根本的缺陷,即所有运动都是关于x和z轴的,无法表示关于y轴的运动[1]。因此用D-H参数法所建立的机械臂末端运动误差数学模型中无法体现关于y轴所产生的误差。与此相比,旋量理论采用的运动螺旋充分利用了机械臂的几何特性,从而更适合从整体上描述机械臂的运动。旋量理论较新的方法是用矩阵的指数映射描述刚体运动。基于这种方法的指数积公式将开链机器人的运动方程表示成运动旋量的指数积,从而为开链机器人提供了完整的几何描述。
设A和P是同一刚体Θ上的两点(如图1所示),前者为特定参考点,后者为任意点。A的初始坐标记为a,位移之后的点A′的位置向量记为a′。同样,P的初始坐标记为p,位移之后的点P′的位置向量记为p′。当a,a′和p给定之后,p′可通过旋转矩阵Q表示为
记dA=a'-a,dP=p'-p,则
用e表示旋转轴上的单位向量,并将dp分解为(如图2所示)
其中d//=eeTdP=ˆd0e,d⊥=1(-eeT)dP。为了使‖dP‖最小,需要求得最小模位置向量p*,使
即
因为假定Q=eeT+1(-eeT)cosφ+Esinφ是3×3矩阵,E是对任何向量ξ满足Eξ=e×ξ的矩阵。所以方程组(1)是关于p*的三元一次方程组。本文稍后将证明Q-1是降秩矩阵,从而式(1)可能存在无穷多组解。文献[4]在证明Mozzi-Chasles定理时只是说p*+λe是(1)的解,但并没有求出其全部解。此外,文献[4]在研究刚体运动螺旋时也遇到了求解方程组(1)的问题,只不过是增加了解的约束条件而已,即要求eTp*=0。然而采用的方法比较复杂:为了获得满秩矩阵,文献[4]将eTp*=0作为一个方程添加到方程组(1),使其成为四个方程、三个变量的方程组,并以新构成的方程组的系数矩阵的转置乘其两端,使之变成一个三元一次方程组,然后利用逆矩阵的方法求解。上述两个问题都涉及到方程组(1)的解系:前一个问题中解系可以确定极小模问题的全部解;对于后一个问题,可以从解系中找出满足eTp*=0的全部解。因此问题归结为用比较简单的方法求出方程组(1)的全部解。
1 (Q-1)的秩
由Q的定义并注意到其正交性得
设e=(e1,e2,e3)T则
为确定1-eeT的秩,现将其化为对角形(不妨设e1≠0):
可见1-eeT的秩为2。由线行代数理论知
而det2(Q-)1=det[(Q-)1T(Q-1)]=0,因此有
2 辅助方程及其解系
以(Q-)1T乘式(1)的两端,并利用E为对称矩阵的关系式
得
显然式(1)的解必为式(2)的解,因此求式(1)的解系只需求出式(2)的解系,将不满足式(1)的去掉,剩下的就是式(1)的解系。由式(2)得
即
因此求式(1)的解系只需求出(3)的解系,将不满足式(1)的去掉,剩下的就是式(1)的解系。由于Rank(1-eeT)=2,因此式(3)的基础解系中只有一个向量。又因为
因此向量e构成式(3)的一个基础解系,而且很显然
是式(3)的一个特解,由线性代数理论知,式(3)的解系可表示为
其中λ为任意常数。
3 极小模方程的解系
将式(3)的解系代入式(2)的左端得
因此
是式(1)的解。根据前面的分析,它是式(1)的解系。
4 相关问题及结论
在求出式(1)的解系之后可以确定极小模问题的全部解为
为找出满足eTp*=0的解,用eT左乘式(4)的右端并令其为零得
因此λ=0,从而得到满足eTp*=0的解为
在求出式(1)的解系之后,不仅可以从中求出满足约束条件eTp*=0的解,也可以求出满足其它约束条件,比如eTp*=k(≠)0的解。
5 工程应用
机器人最优路径规划问题就是依据某个或某些优化准则(如工作代价最小、行走路线最短、行走时间最短等),在其工作空间中找到一条从起始状态到目标状态的能避开障碍物的最优路径。特别是在机器人空间应用的场合,由于空间能源的紧缺,统筹考虑机械臂的路径和运动规划问题,采用最短运动路径,不仅可以减少能量的消耗,甚至可以减小机械臂对机座的扰动。设A为特定参考点,P是同一刚体上的任意点;A的初始坐标记为a,位移之后的点A′的位置向量记为a′,P的初始坐标记为p,位移之后的点P′的位置向量记为p′。为了避开障碍物使机械臂末端位移向量的模‖dP‖达到最小,需要在约束条件eTp*=k下求得最小模位置向量p*。这里的约束条件涉及避障等路径规划问题,因此eTp*=k形的约束条件可在更加广泛的约束问题中求得械臂末端位移的最优路径。
参考文献
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刚体模型 篇7
刚体运动分单刚体与多刚体运动系统,刚体绕平行轴转动是多刚体运动系统的一种.行星轮机构即是常见的刚体绕平行轴的运动系统,其行星轮围绕两平行轴转动,它的运动是两种转动(公转和自转)的合成,即作平面运动.求解这类系统对某点的动量矩是相对复杂的问题,本文就是针对该种系统对某点动量矩的求解方法做一探讨.
1 如何理解“质点系相对其质心动量矩”
理论力学教材中,Lo=LC+rC×mVC,该公式体现了质点系相对其质心动量矩绝对关系,同时隐含了LC=的条件,其中LC是指质点系相对其质心的绝对动量矩,质点系相对其质心的相对动量矩,理解这两个量相等关系是利用“质点系相对其质心动量矩”求解问题的关键,下面利用单刚体与多刚体运动系统分别说明
1.1 单刚体系统
轮子的纯滚动或又滚又滑是最典型的单刚体运动系统,在每一瞬时,其平面图形都具有唯一的角速度,该角速度就是刚体围绕质心转动的绝对角速度,也是相对在质心C处建立平移参考系x'y'z'(x'y'z'方向始终与惯性坐标系保持平行)的相对角速度[1].
1.2 多刚体系统
如图1,该系统为杆件与圆盘构成的多刚体系统.圆盘随OC杆转动,同时还围绕其质心转动,因此圆盘的绝对运动是两种转动的合成.
将动系建立在OC杆上,OC做牵连运动,牵连角速度为ωe,轮围绕其质心做相对运动,相对角速度为ωr,则动点i的绝对角速度ωa=ωe+ωr;在C点处固结平移参考系x'y'z',可以理解为该参考平面的运动就是轮C平面图形的运动,此处P点是参考平面的瞬心,则轮C上的动点i绝对角速度是围绕P转动的角位移ω'.刚体上同一点绝对角速度是唯一的,因此,ωa=ω',即
2“刚体平面运动合成”与对某点动量矩的关系
在运动学中,分析复杂运动刚体上各点的运动参量时,相对不同的参考系建立3种运动:绝对运动、牵连运动、相对运动.如图1,在OC杆上建立动系x"y"z",动系x"y"z"所作的就是牵连运动.轮子的绝对运动可以分解为随x"y"z"围绕O的转动以及围绕质心C的相对转动.
3种运动对转轴动量矩的关系为
Lo是指刚体对某点绝对动量矩,Le=Joωe,是指刚体做牵连运动时对该点的动量矩(J0为刚体对O轴的转动惯量)Lr=JCωr,是指刚体相对运动对其质心的动量矩(JC为刚体对质心C的转动惯量),式(1)表述:绕平行轴转动的刚体对某点动量矩等于刚体做牵连运动时对该点的动量矩与刚体相对其质心转动对其质心动量矩的代数和.(由于是围绕平行轴转动,Le,Lr是平行矢量,因此为代数和)
3 举例说明两种方法的应用
如图2,在该系统中,OC杆重m1,杆长L,围绕O轴做定轴转动,角速度为ωo,杆与轮C铰链连接,轮重m2,半径为r,在弧形轨道做纯滚动,求该系统对O轴的动量矩.
运动分析:OC杆围绕O轴以ω0做逆时针定轴转动,轮C随OC杆围绕O轴转动,同时受摩擦作用,在弧形轨道做纯滚动与相对质心旋转方向为顺时针.该刚体系统对O点的动量矩等于OC杆与轮C对该点动量矩的代数和,如图3.
解:(1)利用“质点系相对其质心动量矩”概念求解
因为杆做定轴转动,所以L杆=JO杆ωo,JO杆=1/3m1L2,即L杆=1/3m1L2ωo.
方向由右手螺旋法则判断,L杆垂直纸面向外,规定为正.
又因为轮子做纯滚动,P为瞬心,则其对O轴动量矩由公式LO=LC+rC×mVC确定,LC=JCω(ω为轮子转动的绝对角速度为顺时针),用右手螺旋法则判断,LC垂直纸面向里,规定为负.
所以L轮=-1/3m2ωoLr+m2ωoL2.则得到:LO=1/3m1L2ωo-1/3m2ωoLr+m2ωoL2.
(2)利用“刚体平面运动合成”概念解题
L杆=1/3m1L2ωo,正负判断同(1).
4 结论
(1)用上述两个概念解题,解题思路完全不同,这有利于学生对《理论力学》知识有个系统的认识与总结;
(2)利用“质点系相对其质心动量矩”概念求解,关键是针对不同的运动系统透彻理解;
(3)掌握“刚体平面运动合成”概念,理解动系对刚体运动的牵连作用,用公式:Lo=L杆+L轮进行解题,思路较清晰明了.
摘要：从“质点系相对其质心动量矩”的概念，分析了质点系相对其质心绝对动量矩等于其相对动量矩的满足条件．从“刚体平面运动的合成”的概念得到一种新的求解方法：“Lo=Le+Lr”，即刚体绕平行轴转动对某点绝对动量矩等于刚体作牵连运动对该点动量矩与刚体相对质心转动产生动量矩的矢量和，为学生较好理解“刚体绕平行轴转动动量矩”的求解提供了新思路．
关键词：刚体,平行轴,平面运动,牵连运动,质心
参考文献