刚体系统

刚体系统（共8篇）

刚体系统 篇1

摘要：指出了目前多刚体系统数据存储的不足,运用图论的概念和建模理论,分析了多刚体系统的结构图和有向图之间的关系,提出了一种新的基于十字链表的链式存储模型。该存储模型不仅解决了复杂多刚体系统的存储结构问题,而且避免了非树形多刚体向树形多刚体的切除转换,使非树形多刚体系统与树形多刚体系统从数学建模到数据存储达到高度一致。

关键词：多刚体系统,链式存储,有向图,十字链表

0引言

由多个刚体通过各种联系所组成的系统称为多刚体系统[1]。在实际工程中,非树形多刚体系统要比树形多刚体系统多。在过去的研究中,为了便于数学建模,基本上是假设树形多刚体系统中只有一个刚体用铰链与零刚体连接,人为地采用切除回路中铰链的方法,使非树形多刚体系统缩减成树形多刚体系统,这种假设不是十分合理的,虽然达到建模简化的目的,但具有以下不足之处:

(1)因铰链缩减,零刚体可能与几个铰链连接,此时将人为造成标号规则的复杂化。

(2)因系统缩减,造成关联矩阵的分割,有失非树形多刚体系统的原状。

为了表示多刚体系统有向图,它多以维登伯格提出的关联矩阵和通路矩阵、休士顿提出的内接刚体数组的方法来描述,这些描述与多刚体系统有向图的编号方法有着密切的关系。同一个系统,如果主观编号方法不同,其描述就完全不同,若编号不恰当,关联矩阵和通路矩阵中的非零元素过于分散,不利于数值计算。从数据存储的角度来看,这些数学描述最终以顺序存储的形式保存,而在顺序存储中进行多刚体的修改、增加、删除等操作有一定的难度。

在研究多刚体系统的过程中,建模分析是影响其研究效率的重要一环,故其存储结构具有承上启下的关键作用。在前期研究的基础上[2],本文提出了一种新的用十字链表来存储多刚体系统有向图的方法,该方法不但解决了多刚体系统有向图的存储问题,而且将其应用由树形多刚体系统扩大到非树形多刚体系统,真正使二者从数学建模到计算机存储达到一致。

1多刚体系统结构描述

多刚体系统结构是指系统内部各刚体的连接方式[3]。运用图论中的一些概念来分析和描述多刚体系统结构,便可以用统一的数学模型和存储模型来描述不同的多刚体系统。

图论中的图是由一个表示具体事物的点的集合和表示事物之间联系的线段的集合所构成。这些点成为图的顶点,线段称为图的边[4]。在一个图中,顶点和边之间的相互连接关系称为关联,一个系统只要有这种关联关系就可以用图来描述它的结构。将多刚体系统的每个刚体用顶点表示,铰链用边表示,于是多刚体系统的结构关系可以用一个系统图(亦称系统拓扑结构)来描述。对于任意一个多刚体系统都可以通过拓扑结构图,直观地描述系统中各物体相互连接的关系[5]。然而,这种方法无法直接参与系统的运动学与动力学的数值分析,为了使得到的动力学模型具有通用性,在动力学方程中必须含有描述系统拓扑构型的信息。当研究两个邻接刚体的相对运动时,必须明确是哪个刚体相对哪个刚体的运动;当研究系统的动力学时,由于作用在两个邻接刚体上的铰链内力是具有相反符号的作用力和反作用力,因而必须明确具有正号的力作用在哪个刚体上,具有负号的力又是作用在哪个刚体上。

为了将系统的这种方向性反映在图中,对图的每条边规定一个方向,以表示这条边所关联的两个顶点的次序关系,并且用箭头指向来标明。把这种每条边都规定了方向的图叫有向图,有向图的边称为弧,于是多刚体系统的结构可以用系统的有向图来描述。

如图1(a)所示的是非树形结构的多刚体系统,图1(b)为描述此刚体系统的有向图,如果将此刚体的铰链35去掉,便可得到类似此刚体的树形结构的有向图,如图1(c)所示。图中用顶点Si(i=0,1,..,n)表示标号为i的刚体;用弧Uij(i=1,2,..,n;j=1,2,...,n)表示刚体i与刚体j之间的铰链;弧的箭头方向指明,在两个邻接刚体中箭头指向的刚体相对箭头背离的刚体运动。

2多刚体系统的数据存储

如何将多刚体系统的有向图准确无误地映射到计算机内存中,使计算机内存中的数据存储结构与多刚体系统的有向图一一对应,是一个十分棘手的问题。

在引言中我们分析了目前多刚体系统有向图存储的缺点,根据多刚体系统结构的特点,发现多刚体系统的有向图恰似图论中的有向图,因此选择基于有向图的数据存储结构来描述多刚体系统的结构关系和连接关系较为适合。

在数据结构中, 十字链表是有向图的一种链式存储结构[6],图1(c)所示的有向图对应的十字链表如图2所示。

对多刚体的有向图采用十字链表存储方式不仅仅是对传统存储方式外延的拓展,而且是对其内涵的丰富。如前所述,在实际问题中,非树形多刚体系统要比树形多刚体系统多得多,并且经常是通过切除“适当选定”的铰链来缩减成为树形系统,在求出树形系统的动力学方程后,将被切除铰链的内力和运动学约束重新引入以得到非树形系统的动力学方程,这种方法因主观“适当选定”的影响,不具有客观性,问题的原因主要是其存储结构采用了顺序存储的方式,而我们采用了十字链表的链式存储后,完全不用考虑是否为树形结构,可以快捷地进行铰链或刚体的添加,灵活地存储刚体或铰链的有关信息,对比图1(b)、(c)可以发现只是在图1(b)多了铰链U35,多刚体系统就由树形结构变成非树形结构,但我们可以在图2的基础上加上相应铰链的信息即可,如图3所示,这样用十字链表不但可以存储基于树形结构的有向多刚体系统,而且可以存储基于非树形结构的有向多刚体系统。

在对虚拟样机进行仿真分析时,系统首先自动对刚体和铰链进行编号,使刚体结点的序列号与构件的序列号相同,即机架(或地) 的编号为0,其它各构件的编号依次为1,2,… ,n,而铰链的序列号与其相连的刚体序列号相关。这样,对于图中任一边而言,就可根据它所连接的两个顶点的序列号的大小,确定出边的方向。因此可以方便地对图中的顶点和边进行各种操作,从而能很好地满足机械系统虚拟样机仿真分析软件系统对其存储结构的要求。

3数据存储对比

由表1可知,作为传统的存储结构,关联数组、关联矩阵和十字链表均采用顺序存储的方式,这不便于机械系统中因刚体或铰链的增减而改变其存储序列,并且存储算法的时间复杂度为O(n2);而十字链表采用链式存储方式后,可以很方便地增减刚体结点或铰链结点,无需顾及非树形结构与树形结构之间的切割转换,其存储算法的时间复杂度为O(n)。

4结束语

十字链表所具有的链式存储的优点,不但从根本上解决了复杂多刚体的存储结构问题,而且使该结构与多刚体的系统结构完全一致,解决了在利用图论的方法研究多刚体的过程中因思维的差异和转换引起的困难,尤其避免了非树形多刚体向树形多刚体的切除转换,使树形多刚体和非树形多刚体从数学建模到计算机存储达到高度的一致,在机械系统虚拟样机仿真软件的设计中取得较好的效果。

参考文献

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[2]刘贤喜,苏庆堂,刘中合,等.基于图的机械系统拓扑结构的数据存储[J].计算机工程与设计,2006,27(20):3777-3778.

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[6]徐孝凯.数据结构实用教程[M].北京:清华大学出版社,2006.

刚体系统 篇2

关键词：Reactor；刚体；复合刚体

复合刚体：参与动力学计算的所有物体对象必须都是刚体（刚体就是在动力学计算中自身不变形的物体），所有刚体必须从属于一个组，但是每个刚体对象有不同的属性，参与动力学的计算中是以组的方式参与动力学的计算。

下面以不倒翁的实例来讲解：

首先建立不倒翁的三维模型，模型分别为四个对象组成，分别为两个球体，一个圆环，另一个长方体组成。并对其对象，如下图所示：

把四个对象成组并命名为“不倒翁”，加入一个动力学的地面给场景并对齐，把场景中的所有元素添加到刚体集合里面去，选择组对象，选择打开命令，暂时的解开我们的不倒翁组，打开属性面板，进行参数设置。如下图所示：

参数详解：

Mass 刚体的质量；Friction 刚体的摩擦力；Elasticity 刚体的弹力；Inactive 未可激活刚体对象；Disable All Collisions 不参与动力学计算；Unyielding 记录刚体自身动画；

Phantom 刚体幻影；Shell 刚体的壳；Bounding Box 边界盒；Bounding Sphere 边界球；

Mesh Convex Hull 凸面网格对象；Proxy Convex Hull 代理凸面网格对象；Concave Mesh 凹面网格对象；Proxy Concave Mesh代理凹面网格对象；Not Shared 未分享对象。

不倒翁为什么不倒就是因为它的重心在底部的长方体上面，所以长方体的重量我给得比较大，相对比其它对象要中较多。每个部分的参数设置完毕后，把组重新组上。然后进行动力学的测试。如下图所示：

鼠标右键可以进行实施的外力干预，可以给不倒翁一个外面，然后抛下它进行动力学的测试，如下图所示：

经过测试，复合刚体是刚体中的特殊对象，要进行分别的参数设置，最后作为整体对待。

参考文献：

[1]陶丽 佟凤仪 等. 3ds max9 三维动画制作典型案例 清华大学出版社

刚体系统 篇3

刚体数字化调姿对接技术是国内外飞机装配的发展趋势,刚体部件的位姿调整精度直接决定了飞机的装配质量。为此,笔者实验室研制并开发出了基于三坐标数控定位器的数字化调姿对接系统,并对其中的若干关键问题进行了深入研究。由于刚体部件尺寸大、形状复杂,因而数控定位器上设计了很多辅助工装设备用于装夹刚体部件,它们相互之间存在着一定的工艺与逻辑关系。系统中各数控设备驱动电路的可靠性各辅助工装设备液压气动的稳定性系统的容差保护与报错功能等,都通过逻辑控制保护电路来实现,它们对系统的可靠性起决定性的作用。传统逻辑控制保护电路多用PLC控制系统,其体系复杂、占用空间大、维修不便、价格昂贵,不能满足数字化调姿系统在空间、可靠性和性价比等方面的要求。

本研究针对某刚体数字化调姿对接系统,开发出一套小型具有极强适应性和拓展性的逻辑控制器。该控制器以FPGA(现场可编程门阵列)为处理器,通过配置不同外围电路实现对多个设备的复杂逻辑控制。该逻辑控制器可靠性高、结构简单、编程简单、灵活性强、易于维护检修。

1 调姿系统的逻辑控制需求

刚体调姿系统(如图1所示)中配备的工装有15个三坐标数控定位器、3个大型移动平台、5个柔性工装、5个柔性托架和2个移动夹紧装置。该系统需要逻辑控制的机构及其任务有:各数控定位器的Z轴导轨锁紧机构、X/Y/Z轴球头锁紧机构;各移动平台的1个导轨锁紧机构;各柔性托架的1个液压锁紧机构、1个气动升降机构和1个真空吸附机构;各柔性工装的1个液压锁紧机构、6个气动伸缩机构和6个真空吸附机构;各移动夹紧装置的1个液压锁紧机构、2个压紧缸气动机构和1个底座锁紧启动机构。主要的功能有:液压系统中,液压泵站压力调节及液路压力的实时监控与补偿;气动系统中,气缸托持力的检测与报警;各驱动电路之间为防止各工装设备之间碰撞冲突的监测与保护。这些任务与功能主要通过逻辑控制器控制大量的接触器、继电器、液压阀、气阀、真空阀、气泵来实现。

1—三坐标数控定位器;2—大型移动平台;3—移动夹紧装置;4—刚体

该系统的逻辑控制不仅要使受控设备按预定工艺进行作业,而且必须保证受控设备安全运行,并且需要考虑到异常情况时的处理措施,确保该系统安全生产,避免人身伤害及设备损坏事故。本研究开发出一套基于FPGA的逻辑控制器,完全快速、安全地实现上述逻辑控制任务。

2 刚体调姿系统控制结构

常用的控制系统中可以用1台PC机为主站,多台PLC为从站;也可以用1台PLC为主站,多台PLC为从站,组成DCS(分散控制系统)的结构[1,2]。此外,SIEMENSSIMOTION将运动控制、逻辑控制及工艺控制功能集成于一体,为生产机械提供了完整的解决方案

基于三坐标数控定位器的数字化调姿对接系统是多轴控制系统。考虑刚体调姿系统的实际情况,综合上述几种控制系统的设计理念,该刚体调姿系统控制结构如图2所示,位姿调整工作站构建了控制卡和节点之间的环形拓扑关系,通过SynqNet现场总线技术对45个Danaher电机实现多轴同步运动控制。逻辑控制器通过通信模块与位姿调整工作站交互来实现对液压系统、气动系统的监测与控制,通过SliceI/O模块实现对各驱动电路的监测与保护。

3 逻辑控制器的设计与实现

3.1 逻辑控制器的硬件结构设计

FPGA是一种集成度很高的可编程逻辑器件,它的现场可编程性使得硬件能够像软件一样容易更改,以实现不同的功能[3,4]。它不仅编程简单,能同时实现逻辑控制功能和数据处理功能,而且克服了PLC程序容易跑飞、抗干扰性能差等缺点[5]。笔者开发的逻辑控制器充分保证了逻辑控制的实时性和准确性,满足了刚体调姿系统的设计需求,其逻辑控制器硬件结构如图3所示。该逻辑控制器包括FPGA芯片、电源模块、输入/输出单元、存储器、通信接口模块和时钟控制模块。

3.2 各功能模块的选型

上节给出了逻辑控制器的硬件结构图,根据调姿系统的逻辑控制需求,对各个模块进行具体选型。

3.2.1 主控制器和存储器

由于该控制器主要进行大量的逻辑运算,主控制器选择Xilinx公司生产的侧重于高性能应用的Virtex5系列的FPGA芯片。考虑到受控对象数量及I/O口数量、使用环境温度和封装条件,选用324针脚的XC 5VLX 30-1FF324I。

虽然FPGA在自身逻辑块中配置了高速存储器,可以支持真正的双端口操作;但是没有掉电保护功能,在断电之后程序就会丢失,所以必须另外配置一个PROM来存储控制器的逻辑程序。这样每次工作时,FPGA就会调用配置PROM中的程序,实现了程序的固化,大大提高了程序的安全性。XCF08P的NPE(Program/erasecycles)达到了20 000次,能有效保存数据20年,满足系统生产周期的要求。根据已选定的FPGA的型号,考虑封装和温度条件,采用XCF08PFS-48C作为逻辑控制器的PROM。

3.2.2 电源模块

系统控制柜中已配备有24V、5V开关电源。为了避免外部设备对逻辑控制器造成影响,采用电源管理芯片给FPGA和PROM提供高稳定性和高可靠性的电源。

XC 5VLX 30-1FF324I的I/O供电为3.3VD,考虑提供的电源为24V,采用IT的PWB 2403CS-1W 6电源管理芯片。内核供电为1VD,端口辅助供电为2.5VD,选用高效可调降压模块TPS62040来实现。

XCF08PFS48C供电为1.8VD,选用高精度线性稳压管理模块TPS79318。

3.2.3 I/O(输入/输出)模块

FPGA输入/输出模块为逻辑控制器和外部环境通信的动态信息提供通道。这些端口有不同的通信模式,设计实体中输入/输出信号都有对应的通信模式,需要进行设定,并反映在VHDL程序中。值得注意的是,在分配作为端口的管脚时,一定要区分一般I/O口与特殊管脚(如电源、地、时钟)的不同[6]。

输入单元接收指令信号和传感器信号,这些信号经过输入电路之后,变成FPGA能够识别的信号。为了有效地隔离外部设备对逻辑控制器造成的干扰,输入单元采用光耦器件TLP521。

输出单元的作用是将FPGA的输出信号控制受控对象。逻辑控制器的受控对象多为电磁阀、继电器等器件这里选用接口管理芯片

3.2.4 通信模块

通信模块实现了逻辑控制器和PC机之间的信息交换和数据传输。采用性能稳定的CY 68013A芯片实现了USB高速数据接口的扩展,其出色的数据传递性能克服了常用的RS-232通信接口传输速率慢、传输距离短等缺点。

同时,XC 5VLX 30-1FF324I采用了JTAG嵌入式调试技术,内部封装了专门的测试访问口TAP(TestAccessPort),通过JTAG测试工具对内部节点进行测试。JTAG接口测试是开发逻辑控制器的简单高效的手段。

3.2.5 数字时钟模块

该模块在FPGA中起到了数字时钟管理的作用,就是消除全局信号进入FPGA之后的歪斜等其他问题。根据调姿系统的控制需求,选用OSC系列、频率为20MHz的晶振。

3.3 逻辑控制的软件实现

该系统的逻辑控制器除了让受控工装按预定逻辑作业之外,还必须考虑到异常状况,这需要工作站实时掌握系统监控对象的工作状态和相关数据。具体的内容包括温度监测、湿度监测、气阀工作压力、真空阀工作压力、液压阀工作压力、工装的位置信息和传感器的读数等。

控制软件根据接收到的各种条件参数,对工装状态进行判断,然后根据操作指令,结合逻辑要求和实时监控的传感器状态,给出工装的动作指令。当出现报警制动提示时,软件将进行故障代码档案记录,以辨识故障类型,只有当故障排除之后控制软件才能继续正常运行。按照调姿系统工装逻辑控制的实际情况及要求,其控制软件实现原理如图4所示。

逻辑控制程序用VHDL(VHSICHardwareDescriptionLanguage)语言来实现。VHDL语言是超高速集成电路硬件描述语言的简称,是一种广泛的应用标准硬件描述语言,其优势在于:可实现独立于器件的设计,具有程序移植能力,拥有强大的性能测估能力,语法严谨、规范性强,易于共享和复用[7]。刚体调姿系统逻辑控制器的设计主要是逻辑电路的设计,用VHDL语言设计控制程序的基本流程如下[8,9]:抽象出各功能模块,并定义I/O;根据硬件系统的具体功能,抽象出结构体进行描述;对程序进行前仿真,根据逻辑功能实现的情况修改、优化程序;程序的综合优化和布局布线;对程序进行后仿真,排除设计功能异常;程序固化,将设计好的VHDL程序下载到PROM中。

4 仿真与实验

本节以该系统中移动夹紧工装的液压系统锁紧、解锁及保压逻辑为例来说明逻辑控制器的功能。液压系统主要通过控制液压油的输入压紧锲块,从而产生摩擦力抱紧移动夹紧工装的升降柱;也可通过控制液压油的换向输入放松锲块,从而消除升降柱和锲块之间的摩擦力使之解锁。该液压回路工作原理如下:异步电动机带动叶片泵给系统供油,当压力达到设定值时,压力继电器接通,相应的电磁换向阀工作,抱紧升降柱;液压回路中设有溢流阀,防止系统压力过大,在锁紧机构处于工作状态后,单向阀的设计可以使得换向阀换向,从而导致叶片泵卸荷。

clk—时钟信号;A 2—液压锁紧指令信号;A 3—解锁指令信号;B 1—压力传感器反馈信号;B 2—电磁阀锁紧控制信号;B 3—电磁阀解锁控制信号

移动夹紧工装的夹紧过程如下:部件在三坐标定位器的调整下到达预定位置之后,工作站给出气动指令使气泵工作推动气缸压紧部件,然后使真空阀工作吸附部件,再通过液压系统锁紧气缸。其液压阀工作压力由传感器监测,由于液压系统不可避免地存在泄漏,控制器中设计保压逻辑来对液压阀工作压力进行补偿。仿真可以通过调试、检查、测试或模式运行,来检验所设计的控制程序是否满足监控系统的功能需求以保证逻辑控制的正确性[10]。其逻辑仿真结果如图5所示。

依据上述几节研究的逻辑控制器硬、软件的设计与实现、移动夹紧工装的系统组成及工作过程,开发出基于FPGA的逻辑控制器的硬件结构、软件,并将其应用于刚体调姿系统中。

5 结束语

本研究针对某刚体数字化调姿对接系统,设计了包含逻辑和运动控制的控制体系结构,开发出基于FPGA的逻辑控制器,着重论述了该逻辑控制器的硬件结构设计和基于VHDL的软件实现方法。通过长期使用发现该系统中基于FPGA的逻辑控制器具有以下优点:(1)在实际使用时,占空间小,易于管理,便于实现集中控制;(2)具有极强的适应性和拓展性;(3)逻辑控制电路在FP-GA芯片内部实现,减少了外围电路的复杂性,降低了设计开发成本、维护成本,同时缩短了设计开发周期;(4)有效地完成逻辑控制任务具有很高的可靠性。

参考文献

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[9]张义和,张显盛.Altium Designer完全电路设计—FPGA篇[M].北京:人民邮电出版社,2009.

关于刚体姿态的数学表达 篇4

1 欧拉有限转动公式和欧拉角

刚体姿态的数学表达以及在此基础上建立起来的刚体运动学和动力学,欧拉(Euler L,1707～1783)是公认的奠基人(图1).欧拉于1765年提出了刚体的一次转动定理:刚体绕定点的任意有限转动可由绕过定点某根轴的一次有限转动实现,并于1775年发表了有限转动公式[4]

其中a和b为刚体上任意矢量在有限转动前后的位置,并矢A为刚体的有限转动张量

其中p为沿有限转动轴的基矢量,Φ为转过的角度,E为单位并矢.建立与刚体固结的直角坐标系(O-xyz),A在(O-xyz)上的投影矩阵即转动前后坐标系之间的方向余弦矩阵.在不致引起混淆情况下,仍以A表示为

其中pi(i=1,2,3)为矢量p相对(O-xyz)的投影,c,s为cos,sin的简写符号.由于存在关系式,矩阵(3)中的4个参数pi(i=1,2,3)和Φ只有3个独立变量,与绕定点转动刚体的3个自由度相对应.刚体作n次有限转动后的方向余弦矩阵由历次转动的方向余弦矩阵的乘法运算确定

有限转动顺序的不可交换性由矩阵乘法运算的不可交换性体现.

欧拉设想刚体的有限转动依次绕z-x-z坐标轴分3次实现,将各次转动的角度ψ,,φ作为确定刚体姿态的广义坐标,即欧拉角.欧拉角在经典力学中被普遍应用,其主要缺点是章动角存在nπ(n=0,1,…)的奇异位置,当接近于零时计算即无法进行.改进的欧拉角将3次转动改为绕x-y-z不同轴进行,称为卡尔丹角2).卡尔丹角的奇异位置为90°而远离零点,比欧拉角更适合于飞行器、船舶和陀螺仪等工程对象的姿态表达.

2 欧拉-罗德里格参数

1840年法国数学家罗德里格(Rodrigues BO,1794～1851)(图2)利用半角公式将式(3)中的三角函数进行变换,引入以下4个参数[5]

称为欧拉-罗德里格参数,由于存在关系式,其中也只有3个独立变量.式(3)中的三角函数元素可转化为λk(k=0,1,2,3)代数式

在相当数量的文献中,如威泰克(Whittaker E.T.)和戈德斯坦(Goldstein H.)的经典著作,以及国内有关著作和教材均将参数(5)称为欧拉参数,而略去罗德里格姓氏,未免有失公允.用欧拉-罗德里格参数表示的刚体角速度具有极好的对称性

欧拉-罗德里格参数的最大优点是不存在奇点,且以代数运算代替三角运算提高了数值计算效率.

3 哈密顿四元数和凯莱-克莱因参数

1843年哈密顿(Hamilton W.R.,1805～1865)(图3)创造了四元数的数学概念.即将复数概念扩展为由一个实数单位和3个虚数单位i,j,k组成的包含4个实元λk(k=0,1,2,3)的超复数,称为四元数(quaternions),记作Λ[6]

用空心圆点。表示乘法运算,规定虚数单位之间的运算规则为

若将i,j,k视为基矢量,则Λ的后3项构成矢量λ.因此也可将四元数定义为标量λ0和矢量λ的组合,借用加法符号写作Λ=λ0+λ.改变λ的正负号,得到Λ的共轭四元数,记作Λ*=λ0-λ.四元数的乘法运算规则由式(7)的基本规则导出.以Λ=λ0+λ,M=μ0+μ为例,运算规则为

1845年英国数学家凯莱(Cayley A,1821～1895)将欧拉-罗德里格参数视为特殊的四元数Λ.从而赋予抽象的数学概念以具体的力学内涵,使四元数成为欧拉-罗德里格参数的同义词[7].欧拉有限转动式(1)可用Λ及其共轭四元数Λ*表示为

刚体相继作n次有限转动后的合成四元数Λ等于各次转动四元数的乘积

将四元数的4个实元λk(k=0,1,2,3)排成列阵和方阵,可以建立四元数的矩阵运算规则.

1874年凯莱和德国数学家克莱因(Klein F.C.,1849～1925)[8]提出以4个复数代替欧拉-罗德里格参数,称为凯莱-克莱因参数

其中α与δ,γ与-β互为共轭.欧拉-罗德里格参数可用凯莱-克莱因参数表示为

代入式(6)的矩阵A,转换为常规的复数运算.

4 罗德里格-吉布斯矢量

罗德里格在创造参数λk(k=0,1,2,3)的同时,还提出将其中的λ0与λk(k=1,2,3)相除,转化为与半角正切成比例的3个独立参数,即狭义的罗德里格参数

以ρk(k=1,2,3)为投影的矢量ρ称为罗德里格矢量,也称吉布斯(Gibbs J.W.)矢量[9].欧拉有限转动张量A可用罗德里格矢量ρ表示为

其中ρ=tan(Φ/2)为矢量ρ的模.与四元数相比罗德里格参数具有独立变量特点,与欧拉角相比,其奇异位置±π远离零点,因此在工程技术问题中也被实际应用.

罗德里格参数在经历一个半世纪后被进一步改进为[10]

改进后罗德里格参数(k=1,2,3)的奇异位置从±π变为±2π,有限转动的允许计算范围从而被扩大一倍.以rk(k=1,2,3)为投影的矢量r为改进的罗德里格矢量,有限转动张量A可表示为

其中r=tan(Φ/4)为矢量r的模.

5 对偶数和对偶四元数

上述刚体姿态的数学表达仅能用于分析刚体绕定点(或绕质心)的转动.在空间机构和机器人技术中,需要有能同时表达刚体位置和姿态的数学工具.1873年英国数学家克里弗德(Clifford W.K.)(图5)提出的对偶数(dual number)是复数概念的另一类扩展,是由实数单位1和对偶单位ε组成的包含2个实元a和a′组成的一对有序实数组合,记作[11]

ε称为克里弗德算符,遵循ε2=0的规定.以对偶数为例,其运算规则为

将式(8)中的标量换作矢量,构成对偶矢量

对偶矢量的运算规则与式(9)相同,只须将其中的加法和乘法符号理解为矢量求和以及矢量点积或叉积.普吕克(Plucker,J.)矢量是一类特殊的对偶矢量,由滑动矢量a及其相对固定点的矩a′=r×a组成,其中r为矢量a作用线上任意点相对固定点O的矢径.普吕克矢量完全确定矢量a的空间位置.设矢量a,b的空间垂直距离为s,其公垂线方向的单位矢量视为仅含实数部分的对偶矢量,记作,a与b在的垂直平面上的投影夹角为Φ(图6),定义

按照对偶矢量的运算规则,导出

形式上与矢量代数规则一致,也存在1等代数恒等式.

将矢量b视为矢量a沿方向作螺旋运动后到达的位置,引入对偶四元数(dual quaternions)

称为螺旋算子,可用于对普吕克矢量的变换[12]与式(1)比较可以看出,螺旋算子为有限转动矩阵A的扩展,可以确定任意矢量作螺旋运动后到达的新位置.多次螺旋运动对应的螺旋算子等于各次螺旋算子的四元数乘积

刚体在空间中有6个自由度.仿照欧拉角的定义,设想刚体的空间位置变动分解为绕不同轴的3次螺旋运动实现,所对应的3个对偶角包含的6个标量可作为表达刚体位置和姿态的独立变量.可称为对偶欧拉角.用对偶形式描述的力学基本定律具有最简练的形式.在此基础上建立起来的运动学和动力学称为力学的旋量理论.

参考文献

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刚体的平面运动和旋轮线 篇5

令, 上式变为

此式表示一个旋轮线.对式 (1) 求时间的导数, 得到M的速度投影

若刚体逆时针转动, 则式 (1) , (2) 变为

众所周知, 旋轮线可以认为是由沿一条直线做纯滚动的圆轮上 (或拓展部分) 的一点刻画而成, 但是式 (1) , (3) 表示的旋轮线具体形状显然随V, ω, l的不同而不同.因此, 以下讨论平面运动刚体上的质点在不同情况下的旋轮线轨迹是由怎样的圆轮作怎样的纯滚动形成的[1], 以期对质点的运动有更直观的理解.

1 旋轮线的形成过程

首先讨论式 (1) 所示的情形, 并且只研究ωyC>V, 即yC>R的情形.

第1种情况:运动的初始条件有lω>V, 以致l>R.此时, 旋轮线形成过程如图2所示:圆轮半径为R, 圆轮拓展部分上与轮心距离为l处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R, 圆轮在DE直线上方沿着DE作顺时针方向匀角速纯滚动时, M点的轨迹方程即为式 (1) ;N是圆轮的瞬心, 由R=V/ω可知, N也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线的斜率总是存在的, 曲线上没有“折点”, 是处处滑顺的曲线;当ωt= (2n-1) π (n=1, 2, ···) 时, vx<0, vy=0, 曲线斜率k=vy/vx=0, 表示质点在这些位置处作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动, 运动方向与圆轮质心运动方向相反.

第2种情况:lω=V, 以致l=R.此时, 旋轮线形成过程如图3所示:圆轮半径为R, 圆轮边缘上有一点M, 起初在Oy轴上且在轮的最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R, 圆轮在DE直线的上方沿着DE作顺时针方向的匀角速纯滚动时, M点的轨迹方程即为式 (1) ;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下, vx≥0;但是, 当ωt= (2n-1) π (n=1, 2, ···) 时, vx=0, vy=0, 故曲线的斜率不存在且带电粒子的运动方向突变, 表示质点的运动轨迹在这些位置出现“拐点”.

第3种情况:lω0;当ωt=nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, 曲线斜率k=0, 表示质点在此处作运动方向与Ox轴正向一致的水平运动.

对于ωyC

再讨论式 (3) 所示情形, 并且也只研究ωyC>V, 即yC>R的情形.

第1种情况:lω>V, 以致l>R.此时, 旋轮线形成过程如图5所示:圆轮半径为R, 其拓展部分上与轮心距离为l (l>R) 处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R, 圆轮在DE下方沿DE作逆时针方向的匀角速纯滚动时, M点轨迹的方程即为式 (3) ;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线斜率总是存在, 曲线无“拐点”, 处处光滑;但是, 当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, 恒有vx<0, 曲线斜率k=0, 表示质点在这些位置作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动, 运动方向与轮心的运动方向相反.

第2种情况:lω=V, 以致l=R.形成这种旋轮线的过程如图6所示:圆轮的半径为R, 边缘上与轮心距离为l (=R) 处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R, 圆轮在DE下方沿DE轴逆时针匀角速纯滚动时, M点的轨迹即为式 (3) , M点的轨迹是普通旋轮线;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下恒有vx≥0;但是, 当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, vx=0, vy=0, 曲线斜率不存在且运动方向突变, 质点轨迹在此处出现“折点”.

第3种情况:lω0;当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, 曲线的斜率k=0, 表示质点在这些位置作运动方向与Ox轴正向一致的水平运动.

2 实例

如图8所示, 光滑水平面上静置质量为M, 长度为2L的均质细直杆, 质量为m的质点以速度v0沿水平面垂直射入直杆一端.求:碰撞后质点的绝对运动方程.

研究整个系统.以质点的碰前速度方向为速度的正方向, 竖直向下为动量矩的正方向.碰撞过程中, 系统的水平方向动量守恒, 其质心C的水平速度不变, 有

并且, 质点与 C 之间和 C 与直杆质心 C2 (如图9所示) 之间的距离均不变, 分别为

碰撞前:质点绕C点的动量矩为L1=lm (v0-V) , 直杆绕C点的动量矩为L2=-a M (0-V) .碰撞之后:设系统绕通过质心C且垂直于细杆的轴的转动惯量为IC, 则系统绕C点的动量矩为L3=ICω.由动量守恒定律, 有

即

将-代入, 式 (5) , (6) 代入上式消去a, l, 得到

以光滑水平面上与直杆中心C2的初位置重合的固定点O为原点建立定系Oxy, 如图9, 图10所示, Ox轴平行于质点的初速度方向.由式 (3) , 质点的绝对运动方程为

其中

显然, 这表示一个旋轮线, 如图10所示:它是由半径为R的圆轮沿DE直线y=a-R做纯滚动时, 其内部或延拓部分上、距离轮心 C 为 l 的点所刻画的曲线; N是圆轮的瞬心, 也是系统的瞬心.

摘要：讨论了作平面运动的薄板上一个质点在不同条件下的旋轮线轨迹, 并讨论了这些不同形状的旋轮线是怎样由圆轮的纯滚动形成的.

关键词：平面运动,质心,旋轮线,曲率半径

参考文献

刚体系统 篇6

在ISAR成像过程中, 目标运动形式通常假设为刚体在成像平面内均匀转动, 但实际中目标往往存在复杂的非刚体运动形式, 如废弃卫星的翻滚;螺旋桨飞机旋翼的旋转等, 这将对传统ISAR成像造成污染[1,2,3]。在空间目标探测与识别过程中, 非刚体目标运动所产生的微多普勒特征被认为是最重要的特征之一, 是空间目标物理特性反演的重要依据, 可为空间轨道目标和弹道导弹目标的识别提供新的解决途径[4,5,6]。

本文首先根据空间非刚体目标运动的特点建立了目标微动的数学模型, 在该模型的基础上对微动目标的宽带雷达回波特征进行了分析, 最后利用仿真实验验证了模型的有效性。

1 空间非刚体目标运动建模及雷达回波分析

非刚体运动是指目标的组成部分存在相对运动, 如目标上部件的振动和转动。文献[7]将非刚体运动分为t类, 如图1所示。而在空间非刚体目标运动中, 等距运动现象较为普遍, 即:目标除了主体运动之外, 还存在围绕主体旋转的游动部件。本文根据非刚体目标的这一运动特点, 建立其运动的数学模型, 并进行了雷达回波仿真。

1.1 空间非刚体目标运动建模

如图2所示, 设雷达固定, 且位于坐标系uov中u轴上的某一点, 在目标运动的初始时刻, 目标位于坐标系xoy中, 且两坐标系的夹角为θ0, 目标中心o距雷达的距离为Rc, 假设目标以速度v沿x轴运动。目标由位于 (xm, ym) (m=1, 2, …, M) 的有限个非旋转散射点Pm以及初始时刻位于 (xn, yn) (n=1, 2, …, N) 的旋转散射点Pn构成, 所有的旋转散射点Pn以一个相同的旋转速度ω、不同的旋转半径rn绕点o旋转, 则在慢时间l时刻, 雷达接收的目标回波信号可以表示为:

式中:sr表示雷达目标回波信号;sm表示非旋转部件回波信号;sn表示旋转部件回波信号;c表示光速;σm, σn是目标的散射系数;Rm (l) , Rn (l) 分别是非旋转散射点和旋转散射点在慢时间距雷达的距离。目标从o运动到o′, 雷达到目标中心o′的距离为:

$R(l)=\sqrt{R{}_{\text{c}}^2+d{}^2-2R{}_{\text{c}}d\text{c}\text{o}\text{s}(\theta {}_0+\text{π}/2)}(2)$

式中:d=v·l, 表示目标运动的距离。此时, 两坐标系的夹角θ1变为:

则Rm (l) 可表示为:

由于目标在运动过程中φ的变化较小, 可以近似认为cos φ=1, sin φ=φ, 因此式 (4) 可近似表示为:

$R{}_m(l)⧋R(l)+x{}_m+y{}_m\cdot \phi (5)$

同样, 可以得到旋转散射点距雷达的距离为:

$R{}_n(l)⧋R(l)+r{}_n\sin (\omega l+\phi )(6)$

式中:φ是Pn的初始旋转角。将式 (5) 和式 (6) 代入式 (1) 有:

式 (7) 即为非刚体运动目标的雷达回波表达式。

1.2 空间非刚体目标运动宽带雷达回波仿真

假设雷达发射的是LFM (线性调频) 信号[8], 即:

$s(t)=\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}(t/{\rm T}{}_{\text{p}})\text{e}{}^{\text{j}2\text{π}(f{}_{\text{c}}t+\frac{1}{2}\gamma t{}^2)}(8)$

式中:当|t|≤Tp/2时, rect (t) =1;fc为载频;γ是调频率;Tp是脉冲宽度。式 (7) 的回波信号可以表示为:

设目标中心为参考点, 即Rref=R (l) , 则参考信号为:

sref (t, l) =rect$\left[\frac{t-2R(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{r}\text{e}\text{f}}}\right]\cdot \exp \left\{\text{j}2\text{π}\left[f{}_{\text{c}}(t-2R(l)/\text{c})+\frac{1}{2}\gamma (t-2R(l)/\text{c}){}^2\right]\right\}(10)$

式中:Tref是参考信号持续的时间。对回波进行解线频调 (dechirping) 处理[9]后为:

$\begin{array}{l}s{}_{\text{i}\text{f}}(t,l)=s{}_{\text{r}}(t,l)\cdot s{}_{\text{r}\text{e}\text{f}}^{*}(t,l)={\displaystyle \sum _m\sigma }{}_m\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}\left[\frac{t-2R{}_m(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{p}}}\right]\cdot \exp \left[-\text{j}\frac{4\text{π}}{\text{c}}\gamma \left(t-\frac{2R(l)}{\text{c}}\right)\text{Δ}R{}_m(l)\right]\cdot \\ \exp \left[-\text{j}\frac{4\text{π}}{\text{c}}f{}_{\text{c}}\text{Δ}R{}_m(l)\right]\cdot \exp \left[\text{j}\frac{4\text{π}\gamma }{\text{c}{}^2}\text{Δ}R{}_m(l){}^2\right]+{\displaystyle \sum _n\sigma }{}_n\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}\left[\frac{l-2R{}_n(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{p}}}\right]\cdot \\ \exp \left[-\text{j}\frac{4\text{π}}{\text{c}}\gamma \left(t-\frac{2R(l)}{\text{c}}\right)\text{Δ}R{}_n(l)\right]\cdot \exp \left[-\text{j}\frac{4\text{π}}{\text{c}}f{}_{\text{c}}\text{Δ}R{}_n(l)\right]\cdot \exp \left[\text{j}\frac{4\text{π}\gamma }{\text{c}{}^2}\text{Δ}R{}_n(l){}^2\right]\\ ={\displaystyle \sum _m\sigma }{}_m\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}\left[\frac{t-2R{}_m(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{p}}}\right]\cdot \exp [\text{j}\phi {}_m(t,l)]+{\displaystyle \sum _n\sigma }{}_n\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}\left[\frac{t-2R{}_n(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{p}}}\right]\cdot \exp [\text{j}\phi {}_n(t,l)](11)\end{array}$

式中: ΔRm (l) =Rm (l) -R (l) =xm+ym·φ (12)

$\begin{array}{l}\text{Δ}R{}_n(l)=R{}_n(l)-R(l)=r{}_n\sin (\omega l+\phi )(13)\\ \phi {}_m(t,l)=-\frac{4\text{π}}{\text{c}}\gamma \left(t-\frac{2R}{\text{c}}\right)\text{Δ}R{}_m(l)+\frac{4\text{π}}{\text{c}}f{}_{\text{c}}\text{Δ}R{}_m(l)+\frac{4\text{π}\gamma }{\text{c}{}^2}\text{Δ}R{}_m(l){}^2(14)\\ \phi {}_n(t,l)=-\frac{4\text{π}}{\text{c}}\gamma \left(t-\frac{2R}{\text{c}}\right)\text{Δ}R{}_n(l)+\frac{4\text{π}}{\text{c}}f{}_{\text{c}}\text{Δ}R{}_n(l)+\frac{4\text{π}\gamma }{\text{c}{}^2}\text{Δ}R{}_n(l){}^2(15)\end{array}$

设通过运动补偿, 径向运动已被完全消除, 对式 (11) 进行快时间t的傅里叶变换[10,11], 得到:

从式 (11) 可以看出, 距离像的峰值将出现在:

式中:fm, fn分别对应于非旋转散射点和旋转散射点的多普勒频移。通过乘以因子- (c/2γ) , fm、fn可以被转化为散射点Pm、Pn在距离像中的位置。考虑式 (17) 第二项中的φ表示两次回波之间的旋转角。当波长为0.3 m, 距离分辨率为0.5 m时, 旋转角φ为10-5°左右, 故第二项可以被忽略, 即:

$f{}_m=-(2\gamma /\text{c})\text{Δ}R{}_n(\widehat{t})=-(2\gamma /\text{c})x{}_m(19)$

综合式 (17) 、式 (18) 及式 (19) 可知, 非旋转散射点在频率轴的位置, 与慢时间无关。即非散射点与参考点之间的距离是固定不变的, 而旋转散射点与参考点之间的距离是慢时间变化的, 且旋转散射点与参考点之间的距离是慢时间的一个正弦函数。同时可以得出, 作为频率 (或距离) 与慢时间的二维函数, 目标谱图为包含直线和正弦调制曲线的二维图像。

2 仿真试验

假设目标的点散射模型由1个非旋转散射点和2个旋转散射点构成。2个旋转散射点以10 Hz的旋转频率、10 m的旋转半径绕非旋转散射点旋转, 旋转散射点的初始相位角为π/4, 3π/4。雷达载频fc=10 GHz, 带宽B=300 MHz, 发射信号为脉宽Tp=1 μs的线性调频信号, 脉冲重复频率PRF=1 000 Hz, 目标运动速度V=300 m/s。其一维距离像及其时频分析如图3所示。

通过仿真得出, 非旋转散射点在频率轴的位置与慢时间无关, 在时频像中呈一条水平直线, 旋转散射点而旋转散射点与参考点之间的距离是随慢时间变化的, 在时频像中呈正弦曲线变化, 与上述分析一致。

3 结 语

本文建立了空间非刚体目标微动的数学模型, 基于该模型推导得到了宽带LFM雷达回波的微动数学表达式, 通过仿真实验证明了该微动模型的有效性。同时为空间目标微动描述和微动特征提取提供了新途径。

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刚体和质点组误建为质点模型探析 篇7

一、讨论人、车转弯 (或物体有转动趋势) 问题时, 因为提供的向心力并不过质心, 人、车或物体的大小已不是次要因素, 模型一般不能建立为质点而应是刚体

人滑冰转弯时还能把人看成质点吗?摩擦力的作用点一定能画在质心吗?带着疑问我们从下面的例题谈起.

例1北京时间2006年2月24日凌晨, 都灵奥运会花样滑冰女子单人滑的比赛结束, 最终日本名将荒川静香力挫美国名将科恩和俄罗斯老将斯鲁茨卡亚获得冠军, 图1为俄罗斯老将斯鲁茨卡亚在滑冰过程中美丽的倩影.假设图中斯鲁茨卡亚在沿弧形运动.若已知该运动员的质量在60kg左右, 除此之外, 根据图中的信息和你所学的物理知识, 你能估测的物理量是 ()

A.地面对冰鞋摩擦力的大小

B.运动员的滑行速度

C.运动员转弯时的向心加速度

D.地面对人的支持力

【错解】图1中的运动员受到三个力的作用, 在竖直方向重力和支持力平衡, 因此地面对人的支持力等于重力.在水平方向运动员受到的静摩擦力提供所需的向心力, 方向指向圆弧形的曲率中心, 则由于, 且Ff、v、R均未知, 因此A、B、C项无法估测, 综合选D.

【错解分析】能不能把人看成质点, 是由问题的性质决定的.本题中, 运动员转弯时需要倾斜, 而且速度越大倾斜越厉害, 这是不争的事实.如果把人看成质点, 就无法解释上述现象.其实这类问题中应把人看成刚体, 静摩擦力作用于脚底面已不能简单的平移在人的质心处而提供所需的向心力, 也就是说人的大小已经是问题的主要因素.如图2所示, 过质心加上方向与Ff平行、大小均与Ff相等的一对方向相反的力Ff1和Ff2, 显然, Ff、Ff1、Ff2的作用效果和原力Ff是等效的.在Ff、Ff1、Ff2这组力中, Ff1提供运动员作圆周曲线运动的向心力, Ff2与Ff产生了一个顺时针的力偶矩, 为了不使运动员向外翻倒, 只有当运动员向内倾斜时即重力产生一个逆时针力矩才能使转动平衡, 这种方法称为等效平移力法.[1]

【正确解法】为了便于研究, 把运动员简化成如图2所示的刚体模型, 运动员所受的力有:重力作用在质心, 方向竖直向下, 支持力作用在脚底面方向竖直向上, 沿法向方向的静摩擦力作用在脚底面, 方向指向圆弧形轨迹曲率中心, 设曲率半径为r, 运动员此时沿切线方向上的速度为v.Ff1提供运动员做曲线运动的向心力, 即

Ff2产生的顺时针力矩和重力产生的逆时针力矩能使转动平衡, 则Ff2y=mgx (2)

(y、x分别为Ff2和mg产生的力臂)

设转弯时运动员的倾角为θ, 则

本题中, 根据图中信息可估测出运动员的倾斜角θ, 依 (3) 式由于v、r均未知, 因此不能估算出运动员的滑行速度, 但可估算出转弯时的向心加速度即;又依 (1) 式, 因此摩擦力的大小也能估算出;在竖直方向上支持力与重力平衡, 地面对人的支持力可估算出, FN=mg, 综合本题选ACD.

例2一载重农用车总质量为M=5t, 重心离地面高h=1.5m, 两轮胎之间的宽度为L=1.2m, 轮胎与地面之间的动摩擦因数μ=0.5.当农用车通过一半径为R=100m的水平弯道时, 最大速度不能超过多少才是安全的? (最大静摩擦力按滑动摩擦力计算, g取10m/s2)

【错解】如图3所示, 农用车在竖直方向受到重力和支持力FN, 则FN=Mg, 农用车沿曲率中心的静摩擦力提供所需要的向心力.设农用车转过水平弯道的速度为v时, 即将沿法向方向滑出, 则

【错解分析】错解的原因仍然是简单的把农用车看成质点造成的.农用车在转弯处的安全隐患是滑出还是翻倒是未知的, 若是滑出, 是平动问题, 农用车可以看成质点;若是翻倒, 是转动问题, 农用车的大小也是主要因素, 已不能看成质点, 摩擦力的作用点不能简单地画在质心上, 而应把农用车看成刚体按有固定转动轴的平衡问题来分析.

【正确解法】先由静摩擦力提供向心力计算.设即将侧滑动的车速为v1, 则

联立 (1) (2) 得.

再由附加力矩和重力力矩的转动平衡计算.设即将翻倒时车速为v2, 由等效平移力法, 此时静摩擦力提供向心力则

另一力Ff''与重力的力矩平衡, 即

(设以右轮胎为转动点, 即将翻倒时地对左边轮胎恰无支持力)

联立 (3) (4) 得.通过计算对比可以看出, 农用车在弯道处更容易翻倒造成事故, 因此安全行驶的速度不能超过20m/s.

【反思】限于中学学生所做的这方面试题绝大多数可视为是质点而不是刚体模型, 这容易造成思维的固定模式, 像前面讨论的人滑冰转弯、人骑车转弯、汽车转弯等很实际的问题, 我们有必要让学生明白, 这类问题已不能把它们看做质点, 物体的形状、大小往往也起主要作用而不能忽略, 当然我们也忽略了一些次要因素.如人的双臂摆动、双腿交替运动、身体的晃动、内脏的运动等.中学教学中, 遇到的这类问题不是很多, 我们要善于抓住时机, 利用很少的时间帮助学生理解模型的建立要根据具体问题而决定, 而不是避而不谈, 甚至错误作答.[2]

二、讨论人、机车的功能 (或物体间的碰撞) 问题时, 因为有内力参与做功, 模型一般不能建立为质点而应是质点组

对涉及人和机车的做功问题时还能用质点动能定理吗?物体间 (系统) 的碰撞问题我们所列的动能方程是质点动能定理吗?下面以两个例题为引子做一深入的探究.

例3如图4所示, 平板车放在光滑的水平面上, 一个人从左端加速向右端跑动.设人受到的摩擦力为F, 平板车受到的摩擦力为F'.下列说法中正确的是 ()

A.F和F'均做负功

B.F和F'均做正功

C.F做正功F'做负功

D.F和F'做的总功为零

【错解】人从车的左端加速向右端跑动时, 人相对地向右运动, 人所受的摩擦力方向也向右, 则F做正功;平板车相对地面向左运动, 它受到的摩擦力也向左, 则F'也做正功, 所以选项B正确.

【错解分析】上述错解中, 人和平板车所受静摩擦力的方向及摩擦力对平板车做正功的分析都是正确的, 错误出现在静摩擦力F对人做正功的分析上.学生做此题时认为, 人受静摩擦力方向向右, 并且人向右运动, 根据功的定义“一个物体在力的作用下移动, 力对物体做的功等于力和物体沿力方向位移的乘积”, 因此摩擦力对人做正功.这是把人看做质点得出的结论, 其实, 这个问题中人已经不能看做质点, 而应看成质点组.难道中学就只能把人看成质点吗?若是把人看成质点分析得出的答案B与我们交代给学生的二级结论“一对静摩擦力做的总功为零”是相矛盾的, 并且人和车组成的系统动能增加也是无法解释的, 可见这不是简单的可回避的问题.[3]

【正确解法】人应看做质点组, 人向右跑动时, 人体的各部分运动情况不一样, 人体整体看来向右运动, 但后脚随着后腿由弯曲变为伸展的过程中, 随着平板车一起向左运动, 由于后脚受到的静摩擦力方向向右, 所以F对人做负功.当后脚抬起并且向前运动变为前脚时, 原来的前脚就开始变为后脚重复着上面的过程, 每次的后脚蹬着平板车向左运动, 后脚和平板车的位移是相等的, 因此F和F'做的总功为零.正确答案是D.

例4一质量分布均匀的铁链, 质量为M, 长为L, 静止在水平面上, 若用一竖直向上的恒力F作用于铁链的一端, 则当铁链刚好全部离开地面时, 其速度有多大?

【错解】铁链在上升的过程中, 拉力做正功, 位移为L, 重力做负功, 位移为, 地面支持力不做功, 当铁链刚好完全离开地面时, 设其速度为v, 依动能定理, 有:, 解得.

【错解分析】上面的解法中套用了质点的动能定理, 然而上面的铁链在这类问题中是不能视为质点的, 必须看做质点组.这样就涉及内力做功的问题, 在铁链不断上升的过程中, 原来静止在地面上的铁链微元dm不断地与获得速度的铁链主体m结合为一体, 铁链的上升过程实质上就是已离地的m与静止的dm的一连串连续的碰撞过程, m与dm间相互作用的一对内力做功之和并不为零, 碰撞中有能量损失.其实对质点组, 动能定理应写为W非内+W外=Ek2-Ek1, W非内为非保守内力所做的功.

在中学应用动能定理时, 是把物体能够看做质点的情况下, 把物体看做质点, 内力做功为零, 因此质点动能定理为:W外=Ek2-Ek1.

【正确解法】设某时刻铁链离开地面部分长度为x, 获得速度为v, 并设铁链的线密度为λ, , 则对长为x的铁链有微分方程:

整理得, 两边乘以xv得:

两边微分后得:.

【反思】人和车运动问题中, 限于中学生的知识局限, 学生出现的错误比较多, 例如人和车在地面上运动, 是地面摩擦力对人或车做正功的缘故;又如人从地面上跳起是地面支持力对人做功的结果;再如人在荡秋千的过程中 (忽略各种阻力) 机械能守恒等.要帮助学生理解这类问题中人或车已不能看成质点或刚体, 而应看成质点组, 由于质点组内各质点之间存在着相互作用力, 内力虽然不能改变质点组的总动量, 但可以改变质点组的动能.无论是人体内, 还是各类机械中, 因内力的产生随时间、位移的变化十分复杂, 以至于通常难以用一个定量的函数式对它进行描述, 所以内力功虽然具备功的因素却难以定量表示, 其大小只能间接用机械能或其他形式能的增量进行粗略的估算.

物体之间的碰撞问题, 由于一些过程时间短, 隐藏性强, 中学生也经常“视而不见”从而出错.教师经常埋怨学生粗心, 其实教师也要在此做足文章, 可以对碰撞过程“放大”和“强化”处理, 使学生明确质点组间的碰撞由于一对内力做功一般不为零, 因此机械能有损失.

理想化模型的建立需具体问题具体分析, 不能一概而论.某因素可能在这种情况下是次要因素, 不予考虑;但在另一种情况下可能是主要特征, 就必须考虑.

参考文献

[1]张锦科.人骑车转弯时的力学探究[J].物理教师, 2009 (7) .

[2]冯晓林.中学教学研究 (3+X中学成功教学法体系) [M].呼和浩特:内蒙古大学出版社, 2000.

[3]徐善松.一对静摩擦力做功一定为零[J].物理教学, 2008 (7) .

刚体系统 篇8

自从1965年Stewart提出将6自由度并联机构作为训练飞行驾驶员的飞行模拟器以来, 凭借其输出精度高、刚性好、承载能力强、便于控制、结构简单稳定等特点, 并联机构得到了广泛的应用与发展[1,2,3]。大型刚体调姿实验平台作为一种特殊的数控专用设备, 手轮功能也是不可或缺的功能。传统数控设备一般只需通过手摇脉冲发生器发送相应指令脉冲控制单轴电机就可以实现。且相应的操作轴向及脉冲倍数的选择通过简单的开关量信号读取来判断。

在本平台中, 刚体由3个三坐标定位器支撑, 刚体的位姿变化需要通过这9个轴的同步协调运动来实现, 即将笛卡尔坐标系的刚体运动通过逆解运算转换为各伺服轴 (实轴) 的协同运动[4,5]。因此, 要求该平台的手轮功能既能实现所有单个设备的运动控制, 又能实现对刚体位置姿态的运动控制。这与传统数控设备的手轮功能有着本质的不同, 其必须依靠手持单元与工作站之间的协同控制才能实现。同时为了保证对操作者手摇脉冲输入动作的快速响应和实时处理, 需要系统实时性强, 从而使程序设计更加困难和复杂。

本研究结合大型刚体调姿实验平台的开发实践, 基于EUCHNER手持操作单元, 介绍适用与该平台的手轮功能开发。

1 硬件介绍

1.1 调姿实验平台

本调姿实验平台由3个三坐标支持机构组成, 可实现大型刚体六自由度的姿态调整, 如图1所示, 三坐标支撑机构3个运动轴均为电机驱动, 电机选用美国Danaher传动公司生产的Kellermorgen伺服电机, 电机驱动器为CDServoStar系列, 采用基于SynqNet实时现场总线控制技术, 运动控制卡采用Motion Engineering公司生产的ZMP高速运动控制卡, 对控制网络上所有驱动器或者I/O模块以节点的方式进行控制, 它能实现最多32个伺服电机轴的同步驱动管理以及逻辑运算功能。手轮脉冲信号作为数字量输入信号接入I/O模块, 作为运动控制的驱动信号。整个控制系统的网络拓扑结构如图2所示。

1.2 手持单元

本调姿平台采用EUCHNER公司生产的086180型号手持单元, 模型如图2所示, 它由12组按键及相应的LED灯、2个12档位的旋钮、AB相脉冲发生器以及脉冲使能开关组成。串口数据接口为RS422A, 传输协议依照3964R协议。根据手持单元所提供的开发协议可以实现如下功能:

(1) 对按键及旋钮操作的消息响应及处理;

(2) 存储文本信息并显示;

(3) 手持单元状态查询 (按键及旋钮) ;

(4) LED状态灯开关控制。

将以上功能与具体的工艺过程结合起来, 将有效的提升调姿平台的人机交互性能, 使操作者在工作现场即可灵活便捷的控制本调姿平台。

2 功能实现

2.1 手持单元与工作站之间的串口通信

本研究采用微软提供的MsComm控件建立串口通讯。为保证串口通信的实时性与效率, 利用多线程的工作模式, 在主线程中发送数据, 在所创建的用户界面线程上插入MsComm控件来接收数据。一个用户界面线程对应一部手轮, 通过这种模式, 系统可以实现多部手轮的串行或者并行的工作模式。手持单元发送的数据格式有4种[6,7,8], 分别为握手协议信息、按键或旋转信息、确认信息以及手轮状态信息。针对不同数据格式, 灵活配置MsComm控件的接收属性, 确保接收数据的正确性与完整性。线程间通信利用时间驱动的方式。

通信协议为3964R协议, 该协议是西门子公司为了确保PLC之间或PLC与其他设备之间点对点可靠通信时, 由程序包自动的将其加在数据包中, 保证数据传送的可靠性。控制字如下:

STX:传送文本开始 (02H) ;

DIE:连接成功/数据传输无误 (10H) ;

ETX:传送文本结束 (03H) ;

BCC:校验和 (根据计算而定) ;

NAK:否定应答 (15H) 。

2.1.1 数据的接收

数据接收流程图如图3所示, 当数据缓冲区有数据时, 会发送一个消息, 自动调用OnComm () 函数, 在该函数内按以下程序设计框图处理数据, 其中, 设置STX事件表示的是将CEvent类型的STXEvent置为触发状态, 这样在用户界面线程中利用WaitForSingleObject () 函数就可以检测到该事件已触发, 从而实现这两个线程之间的同步。

从接收的数据中可以得出手持单元按键或旋钮状态的变动, 以自定义消息的方式发送至程序的主框架中, 程序便会自动调用按键或旋钮事件响应函数。

2.1.2 数据的发送

数据的发送是在主线程中进行, 主要完成一些文本信息的定制以及手持单元状态信息的查询功能, 具体流程框图如图4所示。

2.2 调姿实验平台运动控制的实现

在本调姿实验平台的手动控制模式中, 根据工艺要求的不同, 手轮功能有两种不同的驱动对象:①操作对象为现场设备, 即驱动单个三坐标支撑机构沿其轴向运动;②操作对象为刚体, 即协同控制所有轴实现刚体的位置姿态调整。具体的操作流程图如图5所示。

2.2.1 现场设备的运动控制

驱动单个三坐标支撑机构沿其轴向运动时, 将单个采样周期内采集的脉冲增量转化为电机运动的速度值进行运动控制[9]。考虑到操作者不能精确的控制每个采样周期内的脉冲增量, 从而引起电机不必要的频繁加速与减速运动, 本研究将采样周期内的脉冲增量最小值与最大值之间均匀划分为若干区间, 每个区间内取其平均值。例如在本实验平台中, 单个采样周期内脉冲增量范围为 (-max (n) , max (n) ) , 将其均匀划分为m个区间, 若采样脉冲数n落在某个区间, 则处理后的采样脉冲增量f (n) 为该区间的某一特定值, 通常选中间值。计算公式如下:

$f(n)=\{\begin{array}{cc}0;& n=0\\ \frac{n}{|n|}\cdot \frac{\max (n)}{2m}+\left[\frac{n\cdot m}{\max (n)}\right]\cdot \frac{\max (n)}{m};& |n|<\max (n)\\ \frac{n}{|n|}\cdot \max (n);& |n|<\max (n)\end{array}(1)$

最大脉冲数max (n) 根据采样时间及操作者的操作方式而定。

2.2.2 刚体姿态的运动控制

当驱动多轴同步协调运动时, 需对各运动轴进行精确的位置控制, 从而保证刚体的几何特性。否则三坐标支撑机构在运动过程中会出现对刚体的拉扯或者挤压的现象, 这样就造成了调整精度的下降, 甚至会损坏刚体。本系统采用了位置-时间的运动模式 (position-time motion) , 简称PT运动, 它是指将刚体从当前位姿到目标位姿的运动轨迹离散为若干点, 并且确保两点之间的位姿变换的绝对值小于刚体的调姿精度。每个点就代表一个刚体的位姿, 而刚体位姿对应着一组所有相关运动轴的运动位置, 从前一点到后一点, 每个运动轴的位置差除以各自的额定速度即可求出运动时间, 取最大值作为这两点之间的时间差, 即每个点也对应一个时间值。然后求出所有点上的时间值与所有相关运动轴的运动位置, 并将这些数据传给运动控制卡, 它就会精确控制各相关运动轴在每个时间点上运动到指定位置, 从而完成刚体的姿态调整。

本研究选择从位姿{A}到位姿{B}的转化过程进行分析。如图1所示, 本研究采用姿态矢量v=[x, y, z, α, β, γ]T表示刚体姿态, 其中 (α, β, γ) 表示刚体的欧拉角, 它实际上是表示刚体由当前姿态到理论姿态的一个变换序列。即:刚体先绕X轴旋转α角, 再绕新的Y轴旋转β角, 再绕新的Z轴旋转γ角, 即得到了从姿态{A}到姿态{B}旋转矩阵:

$\begin{array}{l}{}^{A}R{}_B(\alpha ,\beta ,\gamma )=\\ \left[\begin{array}{ccc}c\gamma c\beta & -s\gamma c\alpha +c\gamma s\beta s\alpha & s\gamma c\alpha +c\gamma s\beta s\alpha \\ s\gamma c\beta & c\gamma c\beta +s\gamma s\beta s\alpha & -c\gamma s\alpha +s\gamma s\beta c\alpha \\ -s\beta & c\beta s\alpha & c\beta c\alpha \end{array}\right](2)\end{array}$

其中, c, s分别是cos和sin的缩写。

利用坐标变换的知识, 可求出姿态变换之后的位姿{B}所对应的三坐标支撑机构位置如下:

P${}_i^B$=APBP${}_i^A$+ATB (3)

式中 P${}_i^B$—三坐标支撑机构在刚体处于姿态{B}的位置;P${}_i^A$—三坐标支撑机构在刚体处于姿态{A}的位置;ATB—姿态从{A}到{B}的平移变换, ATB=[x, y, z]T。

重复调用上述公式, 即可求出所有离散点上的三坐标支撑机构各运动轴的位置信息。

3 验证与分析

3.1 单个定位器的运动控制

根据本手持单元上的“上翻”、“下翻”功能按键 (如图2所示) 操作光标行上下移动选择定位器 (POGO) , 如图6 (a) 所示, 通过“进入”按键选择查看当前光标行所在设备的位置信息, 通过右边的方向选择旋钮选择要所要操作的轴向, 如图6 (b) 所示, 利用左边的倍乘旋钮选择脉冲倍乘参数, 按下左右脉冲使能开关, 即可实现设备单轴的操作。

为验证本调姿系统手轮模块功能的跟随特性, 本研究作了如下实验。

在利用手持单元对三坐标支撑机构运动的速度控制中, 操作者由慢到快发送脉冲, 驱动单轴运动, 并实时采集设备的实际速度与理论速度数据, 绘制成速度曲线, 如图7所示, 从图中明显反映出单轴运动的跟随特性, 并且速度值呈阶梯状变化, 有效地避免了频繁的加减速运动。本实验的采样周期为200 ms。

3.2 刚体的位置姿态控制

在调姿阶段, 手轮界面如图6 (c) 所示, 通过右边的方向选择旋钮选择要所要操作的运动方向, 利用左边的倍乘旋钮选择脉冲倍乘参数, 按下左右脉冲使能开关, 即可发送脉冲设定在该方向所要运动的距离或旋转的角度, 设定好之后, 按下“运动”按键, 即可实现刚体的位姿变化。进行刚体调姿时候的手轮界面截图如图8所示。

4 结束语

本研究提出的大型刚体调姿实验平台手轮功能的实现方法, 使得操作者在工作现场, 通过一部手持操作单元, 即可以便捷的实现对于实验平台中的所有三坐标支撑机构的轴向速度运动控制, 又可以实现多定位器协同运动控制以完成刚体位姿调整。该手轮功能模块在大型刚体调姿实验平台系统已得到充分的验证与使用。具有很强的工程应用价值, 并对并联机床的手轮功能开发也具有一定的指导意义。

摘要：针对一种六自由度并联机构-大型刚体调姿实验平台中手轮功能的开发难题, 提出了建立手持单元与控制系统工作站之间串口通信的方法, 开发出了手持单元的人机交互功能, 实现了现场所有定位器单个驱动轴的速度控制和多定位器驱动轴协同运动控制, 完成了刚体位姿变化。该方法已成功应用于大型刚体调姿实验平台控制系统。研究结果表明该方法有很好的工程应用价值, 对并联机床手轮功能的开发也有一定的参考价值。

关键词：并联机构,手轮功能,串口通信

参考文献

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