刚体运动

刚体运动（精选8篇）

刚体运动 篇1

如图1所示, 设薄板沿坐标面xOy作平面平行运动, 质心C沿平行于Ox轴的直线作速度为V i的匀速运动, 角速度恒定.设M是刚体上任一质点, l是M与C的距离.起初, M和C都在纵轴上.质心纵坐标恒为yC.若刚体顺时针转动, 角速度大小为ω, 则M的运动方程为

令, 上式变为

此式表示一个旋轮线.对式 (1) 求时间的导数, 得到M的速度投影

若刚体逆时针转动, 则式 (1) , (2) 变为

众所周知, 旋轮线可以认为是由沿一条直线做纯滚动的圆轮上 (或拓展部分) 的一点刻画而成, 但是式 (1) , (3) 表示的旋轮线具体形状显然随V, ω, l的不同而不同.因此, 以下讨论平面运动刚体上的质点在不同情况下的旋轮线轨迹是由怎样的圆轮作怎样的纯滚动形成的[1], 以期对质点的运动有更直观的理解.

1 旋轮线的形成过程

首先讨论式 (1) 所示的情形, 并且只研究ωyC>V, 即yC>R的情形.

第1种情况:运动的初始条件有lω>V, 以致l>R.此时, 旋轮线形成过程如图2所示:圆轮半径为R, 圆轮拓展部分上与轮心距离为l处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R, 圆轮在DE直线上方沿着DE作顺时针方向匀角速纯滚动时, M点的轨迹方程即为式 (1) ;N是圆轮的瞬心, 由R=V/ω可知, N也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线的斜率总是存在的, 曲线上没有“折点”, 是处处滑顺的曲线;当ωt= (2n-1) π (n=1, 2, ···) 时, vx<0, vy=0, 曲线斜率k=vy/vx=0, 表示质点在这些位置处作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动, 运动方向与圆轮质心运动方向相反.

第2种情况:lω=V, 以致l=R.此时, 旋轮线形成过程如图3所示:圆轮半径为R, 圆轮边缘上有一点M, 起初在Oy轴上且在轮的最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R, 圆轮在DE直线的上方沿着DE作顺时针方向的匀角速纯滚动时, M点的轨迹方程即为式 (1) ;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下, vx≥0;但是, 当ωt= (2n-1) π (n=1, 2, ···) 时, vx=0, vy=0, 故曲线的斜率不存在且带电粒子的运动方向突变, 表示质点的运动轨迹在这些位置出现“拐点”.

第3种情况:lω0;当ωt=nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, 曲线斜率k=0, 表示质点在此处作运动方向与Ox轴正向一致的水平运动.

对于ωyC

再讨论式 (3) 所示情形, 并且也只研究ωyC>V, 即yC>R的情形.

第1种情况:lω>V, 以致l>R.此时, 旋轮线形成过程如图5所示:圆轮半径为R, 其拓展部分上与轮心距离为l (l>R) 处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R, 圆轮在DE下方沿DE作逆时针方向的匀角速纯滚动时, M点轨迹的方程即为式 (3) ;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线斜率总是存在, 曲线无“拐点”, 处处光滑;但是, 当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, 恒有vx<0, 曲线斜率k=0, 表示质点在这些位置作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动, 运动方向与轮心的运动方向相反.

第2种情况:lω=V, 以致l=R.形成这种旋轮线的过程如图6所示:圆轮的半径为R, 边缘上与轮心距离为l (=R) 处有一点M, 起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R, 圆轮在DE下方沿DE轴逆时针匀角速纯滚动时, M点的轨迹即为式 (3) , M点的轨迹是普通旋轮线;N是圆轮的瞬心, 也是刚体的瞬心.这种情况下恒有vx≥0;但是, 当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, vx=0, vy=0, 曲线斜率不存在且运动方向突变, 质点轨迹在此处出现“折点”.

第3种情况:lω0;当ωt=2nπ (n=0, 1, 2, ···) 时, 曲线的斜率k=0, 表示质点在这些位置作运动方向与Ox轴正向一致的水平运动.

2 实例

如图8所示, 光滑水平面上静置质量为M, 长度为2L的均质细直杆, 质量为m的质点以速度v0沿水平面垂直射入直杆一端.求:碰撞后质点的绝对运动方程.

研究整个系统.以质点的碰前速度方向为速度的正方向, 竖直向下为动量矩的正方向.碰撞过程中, 系统的水平方向动量守恒, 其质心C的水平速度不变, 有

并且, 质点与 C 之间和 C 与直杆质心 C2 (如图9所示) 之间的距离均不变, 分别为

碰撞前:质点绕C点的动量矩为L1=lm (v0-V) , 直杆绕C点的动量矩为L2=-a M (0-V) .碰撞之后:设系统绕通过质心C且垂直于细杆的轴的转动惯量为IC, 则系统绕C点的动量矩为L3=ICω.由动量守恒定律, 有

即

将-代入, 式 (5) , (6) 代入上式消去a, l, 得到

以光滑水平面上与直杆中心C2的初位置重合的固定点O为原点建立定系Oxy, 如图9, 图10所示, Ox轴平行于质点的初速度方向.由式 (3) , 质点的绝对运动方程为

其中

显然, 这表示一个旋轮线, 如图10所示:它是由半径为R的圆轮沿DE直线y=a-R做纯滚动时, 其内部或延拓部分上、距离轮心 C 为 l 的点所刻画的曲线; N是圆轮的瞬心, 也是系统的瞬心.

摘要：讨论了作平面运动的薄板上一个质点在不同条件下的旋轮线轨迹, 并讨论了这些不同形状的旋轮线是怎样由圆轮的纯滚动形成的.

关键词：平面运动,质心,旋轮线,曲率半径

参考文献

[1]张九铸.带电粒子在正交电场和磁场中轨迹的形成及曲率半径.大学物理, 2011, 30 (5) :35-38

刚体运动 篇2

工程力学

第一章 刚体静力学基础

刚体静力学以刚体为研究对象。所谓刚体，是受力时不变形的物体。刚体静力学的任务是研究物体的受力分析、力系的等效替换和各种力系的平衡条件及其应用。刚体静力学在工程中有广泛的应用，同时其它力学分支的基础。

本章介绍刚体静力学理论的基础知识，包括力和力矩的概念，静力学公理和任意力系的简化方法。

1.1 力和力矩

●

力及其投影

力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变(外效应)，或者使物体变形(内效应)。对刚体而言，只需要考虑力的外效应。

力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点这三个要素。因此，力是一种定位矢量。通常用用粗斜体字母来标记力矢量，如F，对应的细斜字母F表示力的大小。在图中通常用有向线段来表示力，箭头表示力的方向，线段的起点或终点为力的作用点，力的单位是牛顿(N)或千牛顿(kN)。

作用于物体上的一组力称为力系。作用在刚体上的一力系，如能用另一力系来代替，而对刚体产生同样的作用，则这两个力系互为等效力系。一个力和一个力系等效，则该力是力系的合力，力系中各力是其合力的分力。

力依据其作用形式，可分为体积力、表面力和集中力。体积力和表面力连续作用于物体的某一体积上或面积内，也称为分布力。例如，物体的重力是体积力，浸在水中的物体受的静水压力是表面力。而集中力作用于物体一点。实际上，一切真实力都是表面力，集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。

图1–1 力沿直角坐标轴的投影与分解

图1–2 二次投影法

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力在轴上的投影定义为F与该轴基矢量的标量积。设坐标系Oxyz的各坐标轴的基矢量分别为i、j和k，则力F在各轴上的投影可表示为

FxFiFcosFxFjFcosFxFkFcos

(1–1)其中、和是力F与各坐标轴的正向夹角，如图1–1所示。显然，力在轴上的投影是代数量。

如已知力在各轴上的投影，则可将力沿直角坐标轴分解

FFxiFyjFzk

(1–2)如图1–2所示，计算力在直角坐标轴上的投影，也可以使用二次投影法。

FxFxycosFsincosFyFxysinFsinsinFzFcos

(1–3)其中，FxyFxiFyj为力F在Oxy平面上的投影。

例1–1：已知力F大小为80kN，试计算它 在坐标轴上的投影。

解：AB34822289

FxFODAB25.4KNFyFDBAB67.8KN

图1–3 例1–1图 FzFAOAB33.9KN●

力对点之矩

力矩用来量度力使物体产生转动的效应。依据力使物体产生绕点的转动和绕轴的转动，力矩可分为力对点之矩和力对轴的矩。

力对点之矩，定义为O点到F作用点A的矢径r与F的矢量积，即

MO(F)rF

(1–4)其中，O点称为矩心。MO(F)是一个定位矢量，习惯上总是将它的起点画在矩心O处，如图1–4。MO(F)垂直于r和F所确定的平面，指向由右手定则确定，其大小为

MO(F)rFFh

(1–5)式中，h为O到F的距离，也称为力臂。

为计算力F对O点矩，以O为原点建立直角坐标系Oxyz。力F沿直角坐标轴的分解为FFxiFyjFzk，力F作用点的位置矢量rxiyjzk，于是

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图1–4 力对点之矩

图1–5 力对轴之矩

iMOjyFykzFz(F)rFxFx

(1–6)

(yFzzFy)i(zFxxFz)j(xFyyFx)k●

力对轴之矩

Fxy如图1–5，设z轴垂直于Oxy平面，垂足是O，力F在Oxy平面内的分量为，O到Fxy的距离为d。则力对轴之矩，定义为乘积dFxy，并贯以适当的符Mz(F)dFxy号，即

(1–7)轴z称为矩轴；Mz(F)的符号按右手定则确定：即用右手弯曲的四指表示力使物体绕z轴的转动方向，当拇指指向与z轴正向相同时，取正号；反之为负。或者从z轴的正端回头看，如Fxy使物体绕轴z作逆时针转动，则Mz(F)为正；反之为负。

由定义可知，若力F和矩轴z平行(Fxy0)或力的作用线通过矩轴(h0)，即F和轴z共面，则力对轴的矩为零。

考虑Fxy对O之矩MO(Fxy)，根据力对点之矩的定义

MO(Fxy)OAFxydFxyk(xFyyFx)k

z注意到Mz(F)MO(Fxy)，且MO(Fxy)沿z轴正向时，对应M(Fxy)kxFyyFx

(F)为正，反之亦然。由此得到Mz(F)的计算公式

OMz(F)M

(1–8a)3 模具设计工程师认证培训教材

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图1–6平面力系

1–7平面上力对点之矩

同法可求得力F对x轴和y之矩

Mx(F)yFzzFy

(1–8b)My(F)zFxxFz

(1–8c)

(1–9)由式(1–6)及(1–8)，得

MO(F)Mx(F)iMy(F)jMz(F)k式(1–9)即力矩关系定理：力对轴之矩等于力对轴上任意点之矩形在轴上的投影。

若力系中各力都位于同一平面，则该力系为平面力系，如图1–6。显然，平面力系中各力对力系平面内任意点之矩均垂直于该平面，因此可将平面上力对点之矩简化为代数量。如图1–6，在平面上建立坐标系xoy，力F位于xoy平面内，其作用点坐标为A(x,y)。定义xoy平面上力对点之矩

Mo(F)MO(F)kxFyyFx

(1–10)在右手系下，z轴垂直于xoy平面向外，因此，若Mo(F)为正，则力使物体作逆时针转动；反之，力使物体作顺时针转动。

根据力矩关系定理，平面上力对点的矩，也可理解为力对轴的矩，该轴过矩心且垂直于力和矩心所确定的平面。

例1–2：如图1–8，力F沿边长为a、b和c 的长方体的一棱边作用。试计算F对于O点之矩和对长方体对角线OC之矩。

解：在图示坐标系，FFk，作用点位置矢量rODaick，力F对O点之矩

MO(F)rODFaFj

222对角线OC的单位矢量

nOC(aibjck)abc

图1–8 例1–2图

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因此，力F对OC之矩为

MOC(F)MOnOcFababc222

1.2 静力学公理

静力学公理概括了力的基本性质，其正确性已由实践所证实，是刚体静力学的基础。

●

公理一 二力平衡公理

作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分和必要条件是：这两个力大小相等、方向相反、且在同一直线上(或者说，这两个等值、反向、共线)。

图1–9 如图1–9，对只在两点各受一个集中力而平衡的刚体，工程上称为二力构件或二力杆。根据公理一，二力杆所受两力必沿作用点的连线。

公理一只适用于刚体。对于变形体，公理一给出的平衡条件并不充分。例如，柔绳受两个等值、反向、共线的拉力作用可以平衡，而受到两个等值、反向、共线的压力则显然不能平衡。●

公理二

加减平衡力系公理

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，新力系与原力系对刚体的作用效果相同。

图1–10 力的可传性

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公理二是研究力系等效替换的理论基础。一个重要的推论是力的可传性：作用在刚体上的任何一个力，可以沿其作用线移动作用点而不改变该力对刚体的作用。例如，力沿作用线移动，并不会改变力对任意点或任意轴之矩。因此，作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线位置。

图1–10表示了力的可传性的证明思路，其中F2F1F。显然，公理二及其推论也都只适用于刚体而不适用于变形体。对于变形体，力将产生内效应，当力沿作用线移动时，将改变它的内效应。●

公理三

力的平行四边形公理

作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向，由这两个力为邻边的平行四边形的对角线确定。

图1–11 力的平行四边形公理

图1–12 三力汇交定理

如图1–11，物体上A点作用着两个力F1和F2，其合力FR也作用于点A，表示为

FRF1F

2(1–11)公理三对刚体和变形体都是适用的。运用公理三和力的可传性，可导出仅适用于刚体的同平面三力平衡时的汇交定理：当刚体受同平面内三个力作用而平衡时，此三力的作用线必然交汇于同一点。简称三力汇交定理。

图1–12是三力不平行时三力汇交定理的证明思路。当三力平行时，可认为其作用线相交于无穷远。●

公理四

作用和反作用公理

任何两个间相互作用的一对力总是大小相等，作用线相同，而指向相反，同时并分别作用在这两个物体上。这两个力互为作用力和反作用力。

公理四概括了物体间相互作用力之间的关系，对刚体和变形体都是适用的，是一个普适原理。通常也称该公理为牛顿第三定律。●

公理五

刚化公理

当变形体在已知力系作用下处于平衡时，如果把变形后的变形体视为刚体(刚化)，则平衡状态保持不变。

对变形体刚化，一定要在变形体达到平衡后才能进行。如图1–13，柔绳在等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡，此时可将柔绳刚化，则平衡状 6 模具设计工程师认证培训教材

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态保持不变。若拉力改成压力，则柔绳不 能平衡，就不能将其刚化。

公理五表明，变形体的平衡条件包括了刚体的平衡条件。因此，可以把任何已处于平衡的变形体看成是刚体，而对它应用刚体静力学的全部理论。这就是公理五的意义所在。

图1–13 刚化公理

1.3 力偶及其性质

●

力偶

作用在刚体上等值、反向而不共线的两个力，称为力偶。如图1–14，驾驶员用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，都是都是力偶作用于被转动物体的例子。力偶的作用效果是改变刚体的转动状态，或引起变形体的弯曲或扭转。

图1–14 力偶实例

由力F和FF所构成的力偶记为(F,F)。力偶中两个力的作用线所确定的平面称为力偶的作用面，二力作用线之间的距离d称为力偶臂，乘积Fd称为力偶矩。力偶本身不能平衡，且两力投影之和为零，也不存在合力。因此，力偶和力一样，是力学中的一种基本力系。●

力偶矩矢量

从实际经验知道，力偶(F,F)使物体转动的效果与力偶三要素有关，即，力偶矩Fd、力偶作用面的方位和力偶使物体转动的方向。

F和F力偶三要素可通过力偶矩矢量来完整表述。如图1–15，对任意点O，上任意两点A和B的矢径分别为rA和rB，自B至A引矢量径r，则力偶对点O之矩的大小和方向由下式确定

rAFrBFrAFrBF(rArB)FrF

(1–12)上式表明：力偶对任意点之矩恒等于rF，而与矩心位置无关。

定义矢径rF为力偶(F,F)的力偶矩矢量，表示为MrF。M的大小等于力偶矩Fd，力偶作用面垂直于M，M的指向表达了力偶的转向：逆着M 7 模具设计工程师认证培训教材

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图1–15 力偶矩矢量

图1–16 力偶作用面平移 矢量回头看，力偶使物体逆时针转动。

可以证明，在保持力偶矩不变的条件下，力偶具有如下性质： 1.力偶在作用面内任意移动不会改变对同一刚体的作用效果； 2.力偶作用面在空间平行移动不会该变它对同一刚体的作用效果，如图1–16所示；

3.两个力偶可以合成为一个力偶，合力偶矩矢量M等于原两力偶矩矢量M1和M2的矢量和，即力偶矩矢量服从平行四边形定律

MM1M(1–13)上述性质表明，即力偶矩矢量是自由矢量。进一步可知道，作用在同一刚体上两力偶的等效条件是其力偶矩矢量相等。●

平面力偶

若力偶系中各力偶的作用面相同或平行，则称为平面力偶系。将平面力偶系所在平面取为Oxy平面，且z轴垂直于平面向外。平面力偶系中各力偶矩矢量均平行于z轴，因此可将其简化成代数量：逆着z轴看回去，对逆时针力偶，规定其力偶矩为Fd；反之，力偶矩为Fd。图1–15中是常用的平面力偶的各种表示方法。

图1–17平面力偶及其表示方法

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对平面力偶，其等效条件是其力偶矩的代数值相等。

平面力偶系的合成由空间力偶系的矢量运算退化成代数运算，合力偶的力偶矩M等于各分力偶的力偶矩Mi的代数和，即

nMi1Mi

(1–14)例1–3：如图1–18，刚体ABCDO的ABC面 和ACD面上分别作用有力偶M1和M2。如已知M1M2M0，刚体各部分尺寸示于图中，试求作用与刚体上的合力偶。

解：力偶M1作用面的外法线矢量r1为

r1rCArCB(3di2djdk)(3di)3d(j2k)2

图1–18 例1–3图

13同法可得力偶M2作用面的外法线矢量r2

2r2d(2i2j)

将r1和r2归一化后得到单位矢量n1和n2

n1r1r1(j2k)5n2r2r2(2i3j)13由此得到

M1M0n1M0(j2k)MM1M5M2M0n2M0(2i3j)

进而求得合力偶的力偶矩矢量为

2M0(0.555i1.279j0.899k)

1.4 力系的简化

所谓力系的简化，即为寻求一个已知力系的更简单的等效力系。研究力系的简化，不仅可以导出力系平衡条件的普遍形式，而且也为动力学和变形体力学的研究创造条件。●

力线平移定理

从公理二可知，力是滑动矢量，但若将其作用线位置平行移动，则会改变它对刚体的作用效果。

如图1–19(a)，力F作用于刚体上点A，为了把它平移到刚体上的任意点O且不改变它对刚体的作用效果，可在点O加上一对与力F等值且平行的力F与F。由于F与F构成平衡力系，根据公理二，图1–19(b)所示力系与原力F等效。如果将F看作F平移到点O的力，则F与F构成一个附加力偶，其力偶矩矢量M等于力F对O点之矩rF，如图1–19(c)所示。

由此得到力线平移定理：欲使作用于刚体上的力平移到刚体(或其延伸部分)上指定点而不改变该力对刚体的作用效果，只需附加一个力偶，该力偶的矩等 9 模具设计工程师认证培训教材

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图1–19 力的平移

于原力对指定点之矩。●

力系向一点的简化

现利用力线平移定理来研究力系向一点的简化。

如图1–20(a)，刚体受空间任意力系F1,F2,Fn的作用。对刚体上任意指定点O，将力系中各力Fi平移到点O，并依据力线平移定理加上相应的附加力偶Mi，如图1–20(b)。由此得到一作用于点O的空间共点力系F1,F2,Fn和n个附加力偶组成的力偶系，它们与原力系等效。点O称为简化中心。

对共点力系F1,F2,Fn，可逐次应用力的平行四边形公理求出其合力FR，FR的大小和方向由原力系中各力的矢量和确定

nniiFRFF

(1–15)

i1i1附加力偶系也可合成为一个力偶，合力偶矩MO等于原力系中各力对O点矩之和

nnMOi1Mii1MO(Fi)

(1–16)

图1–20 力系向一点的简化

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如图1–17(c)，定义FR为力系的主矢，MO为力系对简化中心的主矩。由此可知：空间任意力系可简化为作用在简化中心的一个力和一个力偶，对应的力矢量和力偶矩矢量分别称为力系的主矢和对简化中心的主矩。显然，主矢与简化中心位置无关，是自由矢量；主矩通常随简化中心位置的变化而变化，是定位矢量。若力系主矢为零矢量，则主矩与简化中心位置无关。

由以上的简化过程不难看出，当两个力系的主矢和对同一点的主矩相同时，两力系等效。

例1–4：图1–21结构受力如图，已知F1水平，F2 竖直，两者大小均为600N，且受到力偶矩为400Nm的力偶M作用。l1m，点A与点O的距离为b0.5m。试求此力系向点A的简化结果，以及对点O的力矩之和。

解：以点A为原点建立Axy坐标系，将F1和F2向点A简化，得到主矢FR和主矩MA为

FF1F2600(ij)N

MA(F1l13F2lM)k0

力系对点O之矩MO

MOMMO(F1)Ml3O(F2)F1lkF2(b)k400k300k Nm

图1–21 例1–4图

●

简化结果分析

空间任意力系向任一点O简化，得到主矢FR和主矩MO以后，还可根据不同情形，进一步简化到最简单力系。现分别予以讨论。

(1)FR0，MO0。原力系是一个平衡力系，将在第三章中详细讨论。(2)FR0，MO0。原力系简化为一力偶，其力偶矩等于力系对点O的主矩，且该主矩不因简化中心位置的不同而改变。

图1–22力系有合力

图1–23 力系简化成力螺旋

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(3)FR0，MO0。原力系简化为一合力，其作用线过简化中心O，大小、M0方向由力系的主矢FR确定。

(4)FR0，MO0，且FRO。原力系有合力。

MO如图1–22，逆着MO看回去，将FR右移至点O1得FR，若OO1点简化，则主矩MO0，根据(3)，力系的合力FRFR，则FR产生的附加力偶矩与MO大小相等，方向相反。因此，若将原力系直接向O11过O1。

MO反之，若将力系的合力从O1平移到点O，则附加力偶MO(FR)n，由主矩的定义可知MOi1MO(Fi)n，因而有

OMO(FR)i1M(Fi)

(1–17a)投影到任意轴x上，可得

nMx(FR)Mi1x(Fi)

(1–17b)式(1–17)即为合力矩定理：对有合力的力系，合力对任一点(或轴)之矩，等于力系中各力对同一点(或轴)的矩之和。

(5)FR0，MO0，且FRMO0。原力系可简化为力螺旋。

如图1–22，将MO沿FR和垂直于FR分解为M和M。根据(4)，可将FR和，从而将原力系简化成一个力FR和一个沿力作用线的的力偶M，即力螺旋。若力和力偶方向一致，为由力螺旋，反之，为左力螺旋。同力偶一样，力螺旋也是一个最简单的力系，它是空间任意力系简化的最一般形式。

例1–5：如图1–24(a)，铆 接薄板在孔心A、B和C三处分别受力作用。已知各力的大小P1100N，P250N，P3200N。图中尺寸单位是。试求力系向点A的简化结果以及力系的合力。

解：这是一个平面力系，图1–24 例1–5图 力系向平面内任意一点简化，主矢与主矩都垂直。因此，平面力系在主矢不为零时一定存在合力。

以点A为原点建立Axy坐标系，将力系向A点简化，主矢FR和主矩MA为

FRP1P2P3200i150j N MA6P2300k Ncm

在平面力系的简化中，主矩通常采用平面上力对点的形式，即 cmM合成为一个作用线过O1的力FR 12 模具设计工程师认证培训教材

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由于主矢不等于零，所以这个力系可合成一个力。合力R的大小和方向由主矢FR确定，R作用线距点A的距离p MA6P2300 NcmpMAFR1.2cm

在主矢FR右侧，如图1–24(b)。

因为MA0，所以从上向下看，合力R●

平行力系的中心 重心

作用线相互平行的力系称为平行力系。如图1–20，设平行力系F1,F2,Fn，作用线的单位矢量为e，Fi的作用点对原点O的位置矢径为ri。力系中各力可表示为

FiFie式(1–25)中，Fie

(1–18)Fie为力Fi在e上的投影。若Fi和

图1–25平行力系 同向，则Fi为Fi的大小；反之，则Fi为Fi大小之相反数。

平行力系的主矢FR和对O点的主矩MO分别为

nniFRMFi1n(Fi)ei1nni

(1–19)Oi1MO(Fi)ri1(Fie)(Firi)ei1由式(1–19)可知，主矩MO垂直于力系主矢FR。根据力系简化理论，平行力系在主矢不为零时一定存在合力。

平行力系合力作用点C称为平行力系的中心。设其位置矢径为rC，根据合力矩定理

nnn(Firi)erC(Fi)e(Fi)rCei1i1i(1–20)式(1–20)左侧是力系对点O的主矩，右侧是合力对点O之矩。立刻可得

nniirCFri1F

(1–21a)

ii1对应的分量形式为

nniiniFxxCi1nFyCi1ni1yizCiFzii1ni

(1–21b)

Fi1iFFi1i其中，xi、yi和zi是力Fi作用点坐标。

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图1–26 例1–6图

例1–6：如图1–26(a)，xoy平面内的平行分布载荷作用在x轴的区间[a b]上，单位长度上的载荷大小，即载荷集度，为q(x)。试求该力系的合力。

解：如图1–26(a)，在x处取长为dx的的微段，其上力的大小为

dFq(x)dx

故力系合力FR的大小为

FRQ b aq(x)dx

(1–22a)设合力作用点C位于xC处，以O为矩心，根据合力矩定理

Qxc b b aq(x)xdx

因此

xc aq(x)xdx b aq(x)dx

(1–22b)图1–26也称为载荷图。式(1–22)的几何含义是：平面分布载荷的合力的大小等于载荷图的面积，合力作用线通过载荷图的几何中心。因此，对图1–26(b)所示的均布载荷，合力大小为Qql，作用在图形中心；对图1–26(b)所示的三角形分布载荷，合力大小为Q0.5ql，作用在距三角形长边的l3处。

如果物体的尺寸相对地球很小，则地球附近物体上所受重力可近似成平行力系，此平行力系中心就是物体的重心。对均质物体，重心位置只与物体形状有关，又称为物体的形心，其公式为

xCVVixiyCVViyizCiVVizi

(1–23a)

i其中Vi和VV分别是微元及物体的体积，x、y和z是微元的位置。如果ii物体为等厚均质板，则重心只与面积分布有关

xCSixiSyCSiyiS

(1–23b)则对非均匀物体，其重心位置直接按式(1–21)计算。

一些常见的简单形体的重心可参阅图1–27。

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图1–27 简单形体重心表

例1–7：求z形截面中心的位置，其尺寸如图1–28所示。

解：建立坐标系如图1–28所示。将该图分割为面积为S1、S2和S3的三个矩 15 模具设计工程师认证培训教材

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形，以C1、C2和C3表示这些矩形的重心，其 坐标分别为x1、y1，x2、y2，x3、y3。由图形得到

x115mmx25mmx315mmy145mmy230mmy35mmS1400mmS2400mmS3300mm

由此得到该截面重心的坐标xCxCyCS1x1S2x2S3x3S1S2S3S1y1S2y2S3y3S1S2S32mm、yC为

27mm若在物体或薄板内切去一部分，则这类物体的重心，仍然可利用式(1–23)来计算，只是切去部分的面积或体积应取负值。

刚体运动 篇3

在ISAR成像过程中, 目标运动形式通常假设为刚体在成像平面内均匀转动, 但实际中目标往往存在复杂的非刚体运动形式, 如废弃卫星的翻滚;螺旋桨飞机旋翼的旋转等, 这将对传统ISAR成像造成污染[1,2,3]。在空间目标探测与识别过程中, 非刚体目标运动所产生的微多普勒特征被认为是最重要的特征之一, 是空间目标物理特性反演的重要依据, 可为空间轨道目标和弹道导弹目标的识别提供新的解决途径[4,5,6]。

本文首先根据空间非刚体目标运动的特点建立了目标微动的数学模型, 在该模型的基础上对微动目标的宽带雷达回波特征进行了分析, 最后利用仿真实验验证了模型的有效性。

1 空间非刚体目标运动建模及雷达回波分析

非刚体运动是指目标的组成部分存在相对运动, 如目标上部件的振动和转动。文献[7]将非刚体运动分为t类, 如图1所示。而在空间非刚体目标运动中, 等距运动现象较为普遍, 即:目标除了主体运动之外, 还存在围绕主体旋转的游动部件。本文根据非刚体目标的这一运动特点, 建立其运动的数学模型, 并进行了雷达回波仿真。

1.1 空间非刚体目标运动建模

如图2所示, 设雷达固定, 且位于坐标系uov中u轴上的某一点, 在目标运动的初始时刻, 目标位于坐标系xoy中, 且两坐标系的夹角为θ0, 目标中心o距雷达的距离为Rc, 假设目标以速度v沿x轴运动。目标由位于 (xm, ym) (m=1, 2, …, M) 的有限个非旋转散射点Pm以及初始时刻位于 (xn, yn) (n=1, 2, …, N) 的旋转散射点Pn构成, 所有的旋转散射点Pn以一个相同的旋转速度ω、不同的旋转半径rn绕点o旋转, 则在慢时间l时刻, 雷达接收的目标回波信号可以表示为:

式中:sr表示雷达目标回波信号;sm表示非旋转部件回波信号;sn表示旋转部件回波信号;c表示光速;σm, σn是目标的散射系数;Rm (l) , Rn (l) 分别是非旋转散射点和旋转散射点在慢时间距雷达的距离。目标从o运动到o′, 雷达到目标中心o′的距离为:

$R(l)=\sqrt{R{}_{\text{c}}^2+d{}^2-2R{}_{\text{c}}d\text{c}\text{o}\text{s}(\theta {}_0+\text{π}/2)}(2)$

式中:d=v·l, 表示目标运动的距离。此时, 两坐标系的夹角θ1变为:

则Rm (l) 可表示为:

由于目标在运动过程中φ的变化较小, 可以近似认为cos φ=1, sin φ=φ, 因此式 (4) 可近似表示为:

$R{}_m(l)⧋R(l)+x{}_m+y{}_m\cdot \phi (5)$

同样, 可以得到旋转散射点距雷达的距离为:

$R{}_n(l)⧋R(l)+r{}_n\sin (\omega l+\phi )(6)$

式中:φ是Pn的初始旋转角。将式 (5) 和式 (6) 代入式 (1) 有:

式 (7) 即为非刚体运动目标的雷达回波表达式。

1.2 空间非刚体目标运动宽带雷达回波仿真

假设雷达发射的是LFM (线性调频) 信号[8], 即:

$s(t)=\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}(t/{\rm T}{}_{\text{p}})\text{e}{}^{\text{j}2\text{π}(f{}_{\text{c}}t+\frac{1}{2}\gamma t{}^2)}(8)$

式中:当|t|≤Tp/2时, rect (t) =1;fc为载频;γ是调频率;Tp是脉冲宽度。式 (7) 的回波信号可以表示为:

设目标中心为参考点, 即Rref=R (l) , 则参考信号为:

sref (t, l) =rect$\left[\frac{t-2R(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{r}\text{e}\text{f}}}\right]\cdot \exp \left\{\text{j}2\text{π}\left[f{}_{\text{c}}(t-2R(l)/\text{c})+\frac{1}{2}\gamma (t-2R(l)/\text{c}){}^2\right]\right\}(10)$

式中:Tref是参考信号持续的时间。对回波进行解线频调 (dechirping) 处理[9]后为:

$\begin{array}{l}s{}_{\text{i}\text{f}}(t,l)=s{}_{\text{r}}(t,l)\cdot s{}_{\text{r}\text{e}\text{f}}^{*}(t,l)={\displaystyle \sum _m\sigma }{}_m\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}\left[\frac{t-2R{}_m(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{p}}}\right]\cdot \exp \left[-\text{j}\frac{4\text{π}}{\text{c}}\gamma \left(t-\frac{2R(l)}{\text{c}}\right)\text{Δ}R{}_m(l)\right]\cdot \\ \exp \left[-\text{j}\frac{4\text{π}}{\text{c}}f{}_{\text{c}}\text{Δ}R{}_m(l)\right]\cdot \exp \left[\text{j}\frac{4\text{π}\gamma }{\text{c}{}^2}\text{Δ}R{}_m(l){}^2\right]+{\displaystyle \sum _n\sigma }{}_n\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}\left[\frac{l-2R{}_n(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{p}}}\right]\cdot \\ \exp \left[-\text{j}\frac{4\text{π}}{\text{c}}\gamma \left(t-\frac{2R(l)}{\text{c}}\right)\text{Δ}R{}_n(l)\right]\cdot \exp \left[-\text{j}\frac{4\text{π}}{\text{c}}f{}_{\text{c}}\text{Δ}R{}_n(l)\right]\cdot \exp \left[\text{j}\frac{4\text{π}\gamma }{\text{c}{}^2}\text{Δ}R{}_n(l){}^2\right]\\ ={\displaystyle \sum _m\sigma }{}_m\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}\left[\frac{t-2R{}_m(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{p}}}\right]\cdot \exp [\text{j}\phi {}_m(t,l)]+{\displaystyle \sum _n\sigma }{}_n\text{r}\text{e}\text{c}\text{t}\left[\frac{t-2R{}_n(l)/\text{c}}{{\rm T}{}_{\text{p}}}\right]\cdot \exp [\text{j}\phi {}_n(t,l)](11)\end{array}$

式中: ΔRm (l) =Rm (l) -R (l) =xm+ym·φ (12)

$\begin{array}{l}\text{Δ}R{}_n(l)=R{}_n(l)-R(l)=r{}_n\sin (\omega l+\phi )(13)\\ \phi {}_m(t,l)=-\frac{4\text{π}}{\text{c}}\gamma \left(t-\frac{2R}{\text{c}}\right)\text{Δ}R{}_m(l)+\frac{4\text{π}}{\text{c}}f{}_{\text{c}}\text{Δ}R{}_m(l)+\frac{4\text{π}\gamma }{\text{c}{}^2}\text{Δ}R{}_m(l){}^2(14)\\ \phi {}_n(t,l)=-\frac{4\text{π}}{\text{c}}\gamma \left(t-\frac{2R}{\text{c}}\right)\text{Δ}R{}_n(l)+\frac{4\text{π}}{\text{c}}f{}_{\text{c}}\text{Δ}R{}_n(l)+\frac{4\text{π}\gamma }{\text{c}{}^2}\text{Δ}R{}_n(l){}^2(15)\end{array}$

设通过运动补偿, 径向运动已被完全消除, 对式 (11) 进行快时间t的傅里叶变换[10,11], 得到:

从式 (11) 可以看出, 距离像的峰值将出现在:

式中:fm, fn分别对应于非旋转散射点和旋转散射点的多普勒频移。通过乘以因子- (c/2γ) , fm、fn可以被转化为散射点Pm、Pn在距离像中的位置。考虑式 (17) 第二项中的φ表示两次回波之间的旋转角。当波长为0.3 m, 距离分辨率为0.5 m时, 旋转角φ为10-5°左右, 故第二项可以被忽略, 即:

$f{}_m=-(2\gamma /\text{c})\text{Δ}R{}_n(\widehat{t})=-(2\gamma /\text{c})x{}_m(19)$

综合式 (17) 、式 (18) 及式 (19) 可知, 非旋转散射点在频率轴的位置, 与慢时间无关。即非散射点与参考点之间的距离是固定不变的, 而旋转散射点与参考点之间的距离是慢时间变化的, 且旋转散射点与参考点之间的距离是慢时间的一个正弦函数。同时可以得出, 作为频率 (或距离) 与慢时间的二维函数, 目标谱图为包含直线和正弦调制曲线的二维图像。

2 仿真试验

假设目标的点散射模型由1个非旋转散射点和2个旋转散射点构成。2个旋转散射点以10 Hz的旋转频率、10 m的旋转半径绕非旋转散射点旋转, 旋转散射点的初始相位角为π/4, 3π/4。雷达载频fc=10 GHz, 带宽B=300 MHz, 发射信号为脉宽Tp=1 μs的线性调频信号, 脉冲重复频率PRF=1 000 Hz, 目标运动速度V=300 m/s。其一维距离像及其时频分析如图3所示。

通过仿真得出, 非旋转散射点在频率轴的位置与慢时间无关, 在时频像中呈一条水平直线, 旋转散射点而旋转散射点与参考点之间的距离是随慢时间变化的, 在时频像中呈正弦曲线变化, 与上述分析一致。

3 结 语

本文建立了空间非刚体目标微动的数学模型, 基于该模型推导得到了宽带LFM雷达回波的微动数学表达式, 通过仿真实验证明了该微动模型的有效性。同时为空间目标微动描述和微动特征提取提供了新途径。

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刚体运动 篇4

自然坐标法[1]在描述多刚体系统的运动时不需要角度坐标,而且拥有诸多简单特性[2],如常数的质量矩阵、最简形式的约束方程、线性的约束雅可比矩阵等,因此具有很高的工程应用价值,在机构分析与综合[3]、人体建模[4]、刚柔混合建模[5]等诸多领域得到广泛应用。国内学者从汽车子系统[6]、航天器姿态动力学[7]、动力学软件平台[8]、DAE算法[9]等方面对自然坐标法进行了深入研究。常用的自然坐标选择方法[1]要求为每个构件选择不共面的两个基点和两个单位矢量,这在处理复杂多体系统时难以人工实行;同时,自然坐标法也缺少商业动力学软件的支持,原因在于传统建模方法不利于编程实现。因此,为了自然坐标法的工业级应用,需要寻找不同的建模方法,实现在动力学软件平台上自动选择自然坐标。

基于自然坐标系概念的自然坐标选择方法[10]表明:建立形态适当的自然坐标系等同于选择合理的自然坐标。该方法能够自动地选择一部分坐标,可以缓解人工建模的压力。在此基础上,本文提出一种自适应调节方法,引导自然坐标系根据周围空位情况自动调节形态,实现了自然坐标选择过程的完全自动化,并在自主开发的动力学软件平台InteDyna[11]上得到应用。

1 基于自然坐标系概念的选择方法

1.1 自然坐标系

自然坐标系的概念是对各种自然坐标选择集合的统一描述,如图1所示。传统方法要求为每个普通三维构件选择若干基点或单位矢量,这个集合有“一点三矢”、“两点两矢”(图1a)、“三点一矢”和“四点零矢”等形式,均为该构件提供12个自然坐标。任何一个自然坐标选择集合中都隐含一个具有原点地位的基点,如果把其他基点看成是从此原点发出的特殊矢量,再对普通矢量放宽限制为非零矢量,然后把特殊矢量和普通矢量统称为底层矢量,那么任何一个自然坐标选择集合都可以统一视为1个原点加上3个不共面的非零底层矢量(具有不同坐标轴地位),这个有机整体叫做自然坐标系。图1b中的自然坐标系与图1a中的自然坐标选择集合等效。图1c中与构件上局部笛卡尔坐标系重合的特殊自然坐标系称作该构件的标准自然坐标系,包括1个原点和3个互相垂直的单位矢量。根据自身3个底层矢量的不同形式,所有的自然坐标系可以分成8种类型,图1d中的实际自然坐标系o′iv′w′只是其中一种。

图1c、图1d中采取了自然坐标系的统一命名方式。当无需指明自然坐标系类型时,对原点和3个底层矢量依次命名为o、u、v、w,此时自然坐标系具有统一的名字ouvw;在需要指明类型时,对标准自然坐标系中的原点和3个单位矢量依次命名为o、u、v、w(非标准自然坐标系中对应位置如果相同则名字不变,不同时对应名字为o′、u′/i、v′/j、w′/k),对标准自然坐标系命名为ouvw(其他类型自然坐标系的命名可以类推)。

自然坐标系需要满足以下存在条件:3个底层矢量不共面。判别公式如下:

$\underset{¯}{\mathit{u}}\underset{¯}{\mathit{v}}\underset{¯}{\mathit{w}}=(\underset{¯}{\mathit{u}}\times \underset{¯}{\mathit{v}})\cdot \underset{¯}{\mathit{w}}=\left|\begin{array}{ccc}\underset{¯}{u}{}_x& \underset{¯}{u}{}_y& \underset{¯}{u}{}_z\\ \underset{¯}{v}{}_x& \underset{¯}{v}{}_y& \underset{¯}{v}{}_z\\ \underset{¯}{w}{}_x& \underset{¯}{w}{}_y& \underset{¯}{w}{}_z\end{array}\right|\ne 0$

底层矢量的数值取决于自然坐标系的实际类型。以底层矢量$\underset{¯}{\mathit{u}}$为例,在自然坐标系o′u′v′w′中,如果u′=(u′x,u′y,u′z),则$\underset{¯}{\mathit{u}}=(u^{\prime }{}_x,u^{\prime }{}_y,u^{\prime }{}_z)$;在自然坐标系o′ijk中,如果o′=(o′x,o′y,o′z),i=(ix,iy,iz),则$\underset{¯}{\mathit{u}}=(i{}_x-o^{\prime }{}_x,i{}_y-o^{\prime }{}_y,i{}_z-o^{\prime }{}_z)$。

1.2 基本调节操作

在标准自然坐标系上施加若干基本调节操作,可以得到任意形态的自然坐标系。基本调节操作有三种:①移动原点o到新的位置o′;②将单位矢量u换成普通矢量u′(或将v换成v′、将w换成w′);③将单位矢量u换成特殊矢量i(或将v换成j,将w换成k)。基本调节操作应该针对铰的特征进行,使得实际自然坐标系有利于简化铰的约束方程(如滑移铰、球铰),甚至有利于消减自然坐标数量(如球铰)。

1.3 基于自然坐标系概念的自然坐标选择方法

新方法分两步[10]:首先,软件平台自动地为每个构件建立标准自然坐标系;然后,建模者执行基本调节操作以得到实际的自然坐标系。由于每个自然坐标系上发生的调节次数往往少于4次,因此建模者的坐标选择工作得到减轻。新方法通过限制选择范围的方式克服了“传统选择方法具有随意性”这一缺点,而且易于编程实现,因此可以作为统一的自然坐标选择方法。

2 自然坐标系的自适应调节

2.1 自适应调节问题的由来

基于新方法,只要将人工调节步骤自动化就能实现坐标选择过程完全自动化。出于面向对象编程思想的考虑,需要从人的视角转换到自然坐标系的视角来观察坐标选择过程,实现这个转换的关键在于将铰的特征视为空位。于是,坐标选择过程从“建模者查找铰的特征然后实施调节”转换成“自然坐标系选择若干空位然后调节自身形态去占据它们”, 如何实现这种自动调节就是自然坐标系的自适应调节问题。由于一个自然坐标系最多占用4个空位,但是空位数量可能更多,而且它们的坐标消减效果不同,因此自适应调节问题涉及优化问题。

2.2 自适应调节问题的优化模型

任意一个非零三维矢量x(包括点)均能为自然坐标系提供空位,但是有的空位没有使用价值,有的空位提供自然坐标系的初始位置,有的空位能简化约束方程甚至还能消减坐标数量。如果用加权函数g(x)赋予这些位置不同权值,用评价函数$f(\underset{¯}{\mathit{o}},\underset{¯}{\mathit{u}},\underset{¯}{\mathit{v}},\underset{¯}{\mathit{w}})$评估自然坐标系的权值,则自然坐标系的自适应调节问题可以化为一个优化问题,其数学模型如下:

$\begin{array}{l}\max f(\underset{¯}{\mathit{o}},\underset{¯}{\mathit{u}},\underset{¯}{\mathit{v}},\underset{¯}{\mathit{w}})=f(g(\underset{¯}{\mathit{o}}),g(\underset{¯}{\mathit{u}}),g(\underset{¯}{\mathit{v}}),g(\underset{¯}{\mathit{w}}))\\ \text{s}.\text{t}.\{\begin{array}{l}g(\mathit{x})\in \{-1,0,1,2,\cdots \},\mathit{x}\in \mathbf{R}{}^3\\ \underset{¯}{\mathit{o}},\underset{¯}{\mathit{u}},\underset{¯}{\mathit{v}},\underset{¯}{\mathit{w}}\in \mathbf{R}{}^3\\ \underset{¯}{\mathit{u}}\underset{¯}{\mathit{v}}\underset{¯}{\mathit{w}}\ne 0\end{array}\end{array}$

该模型表明:不同的加权函数和评价函数决定着不同的自适应调节方法。

2.3 自适应调节方法

本文提出一种自适应调节方法以获得相对最优的自适应调节结果。该方法采用的加权函数g(x)没有显示形式,以加权策略的形式表述,实现对位置加权的功能。采用的评价函数为

$f(\underset{¯}{\mathit{o}},\underset{¯}{\mathit{u}},\underset{¯}{\mathit{v}},\underset{¯}{\mathit{w}})=g(\underset{¯}{\mathit{o}})+g(\underset{¯}{\mathit{u}})+g(\underset{¯}{\mathit{v}})+g(\underset{¯}{\mathit{w}})$

该调节方法总体流程如图2所示。

2.3.1 构造空位集合

构造空位集合是指一个标准自然坐标系收集铰上空位(与当前构件相关的铰所提供的所有空位)的过程。加权策略是:先令每个空位初始权值为1,再根据空位的冗余情况进行权值合并。

2.3.2 剔除冗余空位

剔除冗余空位是指在空位集合中剔除冗余元素、调整权值的过程。两个方向相同的矢量空位存在冗余,两个位置重合的基点空位存在冗余。当冗余发生时,剔除其中一个空位,将剩余空位的权值调整为两者总权值。

2.3.3 构造可行空位集合

构造可行空位集合是指在不含冗余元素的空位集合中找出一个子集合,保证其中的空位能被自然坐标系全部占用,并使空位权值总和最大。图3所示为构造可行空位集合的流程。构造时,逐个取出权值靠前的空位构成优选集合,同时对优选集合进行可行性判断(是否能被自然坐标系同时占用),能够通过可行性判断的最大优选集合就是可行空位集合。

优选集合可行性判断的详细逻辑如表1所示。

2.3.4 调节形态

调节形态是指标准自然坐标系调节自身形态,占据可行空位集合中所有空位的过程。不同的调节策略将产生不同的调节结果。本文采取的调节策略包含两条:

(1)先明确原点,尽量避免移动原点。原因如下:形状规则的不同构件往往有方向一致的标准自然坐标系,如图4a所示;先移动原点易造成不同自然坐标系原点重合,导致难以区分,如图4b所示;保留原点位置可以各自独立地显示,有利于形态分析,如图4c所示。

(2)调节“最接近”的单位矢量来占据空位。亦即,将任一空位看做底层矢量,分别计算它与未调节单位矢量的点积,采用“点积绝对值最大”的单位矢量来占据此空位, 这使得实际坐标系的形态更佳。如图5a所示,空位接近单位矢量v所在直线;倘若按顺序先调节u会造成形态不佳(两底层矢量接近平行),如图5b所示;此时应该调节v,得到形态良好的结果,如图5c所示。自然坐标系形态差将影响调节矩阵(用于质量矩阵计算)求逆。当空位矢量与单位矢量重合时,此策略还可以避免不必要的调节操作。

具体实现时,首先根据可行空位集合确定原点位置,如表2所示。

然后,调节底层矢量以占据剩余空位,操作流程如图6所示。

3 实例

自然坐标系的自适应调节如图7所示。图7a为在InteDyna仿真平台上使用自然坐标法描述的双摆模型,包含两个构件和两个转动铰。下面以构件A为例,分解说明其上自然坐标系的自适应调节过程。

在图7b“构造空位集合”阶段,在构件A的标准自然坐标系找到两个基点空位和两个平行的矢量空位,权值均为1。在“剔除冗余空位”阶段,两个矢量空位存在冗余,剔除后权值变为2。在图7c“构造可行空位集合”阶段,经过位置分析,此“二点一矢”是个可行空位集合。在图7d“调节形态”阶段,这“二点一矢”与原点共面,所以先移动原点再调节底层矢量;权值为4的实际自然坐标系o′uvk代表着12个合理的自然坐标。

4 结语

为了使用自然坐标法描述复杂机械系统,自然坐标的选择过程应该自动化。本文提出的自然坐标系自适应调节方法在动力学仿真平台InteDyna上实现后,一方面能够自动选择自然坐标,提高了建模效率,另一方面能够自动找到最佳的自然坐标,提高了建模质量。 鉴于基于自然坐标系概念的建模方法还在完善中,因此自然坐标系的自适应调节问题是个开放的问题,其内容可能随着自然坐标法的理论发展而丰富起来。

摘要：通过自动调节多刚体系统中每个构件上自然坐标系的形态,达到自动选择自然坐标的目的。提出了自然坐标系的自适应调节方法:首先,为标准自然坐标系找出周边所有基点空位和矢量空位并对其加权;然后,剔除冗余空位并调整权值;接着,找出最多4个权值总和最高的可行空位;最后,标准自然坐标系调节自身形态以占据所有可行空位。调节结果是实际的自然坐标系,它为该构件提供12个合理的自然坐标。在多体动力学仿真平台InteDyna上实现了该方法,提高了自然坐标法的建模效率和建模质量。

关键词：仿真,多体系统,自然坐标法,自然坐标系

参考文献

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[10]张可维,张云清,陈立平.基于自然坐标系概念的自然坐标选择方法[J].华中科技大学学报:自然科学版,2011,39(1):94-97.

刚体运动 篇5

计算机动画是计算机图形学的一个重要分支,是计算机图形学和艺术相结合的产物。在计算机动画中,形象的真实感和运动的真实感都是同样重要的。早期的计算机动画都依靠动画制作者的经验,采用逐帧手工绘制的方式完成物体的运动动画。而现实运动往往比较复杂,依靠人的经验难以制作出真实的效果。于是,人们开始借助真实世界的物理规律来体现运动过程。物理描述了物体如何运动、如何动作以及它们之间如何互相影响。在计算机领域,强大的物理引擎开始被广泛地应用。物理引擎通过为刚性物体赋予真实的物理属性的方式来计算运动、旋转和碰撞反映。

2 Box2D物理引擎

Box2D是一个开源的二维物理仿真引擎,最初是由Erin Catto在2006用C++语言编写,现在还拥有Flash、Java等其他版本。Box2D可以跨平台使用,可以使用在任天堂游戏机、Wii、各种移动电话(包括Android和Iphone)和绝大多数主流操作系统上。如今,很多的在线Flash游戏都使用了Box2D物理引擎,例如最近很流行的游戏——《愤怒的小鸟》。

Box2D只能模拟刚体,刚体的形状可以由凸多边形、圆形和其他具有明显边界的形状构成,由关节项连接,受力的作用。该引擎还使用了重力、摩擦力和恢复等接触约束。

3 运动物体模拟

在Flash中实现对物体的运动和碰撞的模拟,使用的编程语言是Action Script3.0,使用的Box2D也是Flash版本的。

3.1 核心概念

刚体(rigid body):一块十分坚硬的物质,它上面的任何两点之间的距离都是完全不变的。

形状(shape):一块严格依附于物体(body)的2D碰撞几何结构(collision geometry)。形状具有摩擦(friction)和恢复(restitution)的材料性质。

世界(world):一个物理世界就是物体、形状和约束相互作用的集合。Box2D支持创建多个世界,但这通常是不必要的。

3.2 创建一个世界

每个Box2D程序都从创建一个世界对象(world object)开始的。创建世界的第一步是设定世界的有效区域,Box2D使用有效区域来加速碰撞检测,超过有效区域的物体将不参与计算。创建有效区域使用的是b2AABB类。

var universe Size:b2AABB=new b2AABB();

universe Size.lower Bound.Set(-3000,-3000);

universe Size.upper Bound.Set(3000,3000);

后两句语句定义了有效区域左上角和右下角的位置。第二步是定义重力加速度矢量,使用了b2Vec2类。

var gravity:b2Vec2=new b2Vec2(0,9.8);

0表示的是水平方向的加速度,9.8表示的是垂直方向的加速度。如果要模拟我们所处的世界,那么必须这样定义重力矢量;如果要定义其他星球或者失重、超重等情况,那么就需要修改相应的值,能带来非常有趣的效果。接着,告诉世界当物体停止移动时允许物体休眠。一个休眠中的物体不需要任何模拟。

var ignore Sleeping:Boolean=true;

最后,用b2World创建符合要求的世界:

世界中的物体可以分为静态物体和动态物体2种。静态物体之间是没有碰撞的,它们都是固定;因此,当创建地面、墙壁时应该作为静态物体来创建。当一个物体具有零质量的时候Box2D就会确定它为静态物体,物体的默认质量是零,所以它们默认就是静态的。

举例创建一个长方形物体,第一步是定义一个形状。

var big Long Shape Def:b2Polygon Def=new b2Polygon Def();

big Long Shape Def.vertex Count=4;

b2Vec2(big Long Shape Def.vertices[0]).Set(0,0);

b2Vec2(big Long Shape Def.vertices[1]).Set(550,0);

b2Vec2(big Long Shape Def.vertices[2]).Set(550,10);

b2Vec2(big Long Shape Def.vertices[3]).Set(0,10);

上述程序定义了一个多边形的形状,同时定义了该形状有4个顶点和每个顶点的位置。

big Long Shape Def.friction=0.5;

这用来定义两个对象之间的摩擦,可以在0.0-1.0之间调整它们。

big Long Shape Def.restitution=0.3;

设定碰撞弹性系数。

big Long Shape Def.density=0.7;

设置密度,在碰撞的等式中使用密度*面积=质量,密度如果是0或者null,将会是一个静止的对象。

第二步是定义一个物体。

var rigid Body Def:b2Body Def=new b2Body Def();

rigid Body Def.position.Set(0,390);

第三步,在世界中创建物体。

var rigid Body:b2Body=_world.Create Body(rigidr Body Def);

最后,在物体上创建形状。

rigid Body.Create Shape(big Long Shape Def);

rigid Body.Set Mass From Shapes();

3.4 让世界运动

使用世界的Step函数来计算世界中物体的位置,执行后,物体的位置、角度、速度等信息更新。

3.5 显示世界

由于Box2D中所有对象都是不可见的,要创建可见对象得用刚体定义中的user Data属性来创建自己的图形,如果不创建自己的图形,则用b2Debug Draw类来实现物体的可见,方便调试。

4 结语

Box2D是一个非常优秀的2D开源物理引擎,虽然它主要是为游戏而开发的,但是现在使用范围却越来越广泛。介绍了使用Box2D物理引擎进行刚体运动和碰撞的模拟步骤和方法,并举例加以解释。

参考文献

[1]李健.游戏中物理动画应用的研究[D].重庆:重庆大学,2008.

[2]http://box2d.org.

关于刚体姿态的数学表达 篇6

1 欧拉有限转动公式和欧拉角

刚体姿态的数学表达以及在此基础上建立起来的刚体运动学和动力学,欧拉(Euler L,1707～1783)是公认的奠基人(图1).欧拉于1765年提出了刚体的一次转动定理:刚体绕定点的任意有限转动可由绕过定点某根轴的一次有限转动实现,并于1775年发表了有限转动公式[4]

其中a和b为刚体上任意矢量在有限转动前后的位置,并矢A为刚体的有限转动张量

其中p为沿有限转动轴的基矢量,Φ为转过的角度,E为单位并矢.建立与刚体固结的直角坐标系(O-xyz),A在(O-xyz)上的投影矩阵即转动前后坐标系之间的方向余弦矩阵.在不致引起混淆情况下,仍以A表示为

其中pi(i=1,2,3)为矢量p相对(O-xyz)的投影,c,s为cos,sin的简写符号.由于存在关系式,矩阵(3)中的4个参数pi(i=1,2,3)和Φ只有3个独立变量,与绕定点转动刚体的3个自由度相对应.刚体作n次有限转动后的方向余弦矩阵由历次转动的方向余弦矩阵的乘法运算确定

有限转动顺序的不可交换性由矩阵乘法运算的不可交换性体现.

欧拉设想刚体的有限转动依次绕z-x-z坐标轴分3次实现,将各次转动的角度ψ,,φ作为确定刚体姿态的广义坐标,即欧拉角.欧拉角在经典力学中被普遍应用,其主要缺点是章动角存在nπ(n=0,1,…)的奇异位置,当接近于零时计算即无法进行.改进的欧拉角将3次转动改为绕x-y-z不同轴进行,称为卡尔丹角2).卡尔丹角的奇异位置为90°而远离零点,比欧拉角更适合于飞行器、船舶和陀螺仪等工程对象的姿态表达.

2 欧拉-罗德里格参数

1840年法国数学家罗德里格(Rodrigues BO,1794～1851)(图2)利用半角公式将式(3)中的三角函数进行变换,引入以下4个参数[5]

称为欧拉-罗德里格参数,由于存在关系式,其中也只有3个独立变量.式(3)中的三角函数元素可转化为λk(k=0,1,2,3)代数式

在相当数量的文献中,如威泰克(Whittaker E.T.)和戈德斯坦(Goldstein H.)的经典著作,以及国内有关著作和教材均将参数(5)称为欧拉参数,而略去罗德里格姓氏,未免有失公允.用欧拉-罗德里格参数表示的刚体角速度具有极好的对称性

欧拉-罗德里格参数的最大优点是不存在奇点,且以代数运算代替三角运算提高了数值计算效率.

3 哈密顿四元数和凯莱-克莱因参数

1843年哈密顿(Hamilton W.R.,1805～1865)(图3)创造了四元数的数学概念.即将复数概念扩展为由一个实数单位和3个虚数单位i,j,k组成的包含4个实元λk(k=0,1,2,3)的超复数,称为四元数(quaternions),记作Λ[6]

用空心圆点。表示乘法运算,规定虚数单位之间的运算规则为

若将i,j,k视为基矢量,则Λ的后3项构成矢量λ.因此也可将四元数定义为标量λ0和矢量λ的组合,借用加法符号写作Λ=λ0+λ.改变λ的正负号,得到Λ的共轭四元数,记作Λ*=λ0-λ.四元数的乘法运算规则由式(7)的基本规则导出.以Λ=λ0+λ,M=μ0+μ为例,运算规则为

1845年英国数学家凯莱(Cayley A,1821～1895)将欧拉-罗德里格参数视为特殊的四元数Λ.从而赋予抽象的数学概念以具体的力学内涵,使四元数成为欧拉-罗德里格参数的同义词[7].欧拉有限转动式(1)可用Λ及其共轭四元数Λ*表示为

刚体相继作n次有限转动后的合成四元数Λ等于各次转动四元数的乘积

将四元数的4个实元λk(k=0,1,2,3)排成列阵和方阵,可以建立四元数的矩阵运算规则.

1874年凯莱和德国数学家克莱因(Klein F.C.,1849～1925)[8]提出以4个复数代替欧拉-罗德里格参数,称为凯莱-克莱因参数

其中α与δ,γ与-β互为共轭.欧拉-罗德里格参数可用凯莱-克莱因参数表示为

代入式(6)的矩阵A,转换为常规的复数运算.

4 罗德里格-吉布斯矢量

罗德里格在创造参数λk(k=0,1,2,3)的同时,还提出将其中的λ0与λk(k=1,2,3)相除,转化为与半角正切成比例的3个独立参数,即狭义的罗德里格参数

以ρk(k=1,2,3)为投影的矢量ρ称为罗德里格矢量,也称吉布斯(Gibbs J.W.)矢量[9].欧拉有限转动张量A可用罗德里格矢量ρ表示为

其中ρ=tan(Φ/2)为矢量ρ的模.与四元数相比罗德里格参数具有独立变量特点,与欧拉角相比,其奇异位置±π远离零点,因此在工程技术问题中也被实际应用.

罗德里格参数在经历一个半世纪后被进一步改进为[10]

改进后罗德里格参数(k=1,2,3)的奇异位置从±π变为±2π,有限转动的允许计算范围从而被扩大一倍.以rk(k=1,2,3)为投影的矢量r为改进的罗德里格矢量,有限转动张量A可表示为

其中r=tan(Φ/4)为矢量r的模.

5 对偶数和对偶四元数

上述刚体姿态的数学表达仅能用于分析刚体绕定点(或绕质心)的转动.在空间机构和机器人技术中,需要有能同时表达刚体位置和姿态的数学工具.1873年英国数学家克里弗德(Clifford W.K.)(图5)提出的对偶数(dual number)是复数概念的另一类扩展,是由实数单位1和对偶单位ε组成的包含2个实元a和a′组成的一对有序实数组合,记作[11]

ε称为克里弗德算符,遵循ε2=0的规定.以对偶数为例,其运算规则为

将式(8)中的标量换作矢量,构成对偶矢量

对偶矢量的运算规则与式(9)相同,只须将其中的加法和乘法符号理解为矢量求和以及矢量点积或叉积.普吕克(Plucker,J.)矢量是一类特殊的对偶矢量,由滑动矢量a及其相对固定点的矩a′=r×a组成,其中r为矢量a作用线上任意点相对固定点O的矢径.普吕克矢量完全确定矢量a的空间位置.设矢量a,b的空间垂直距离为s,其公垂线方向的单位矢量视为仅含实数部分的对偶矢量,记作,a与b在的垂直平面上的投影夹角为Φ(图6),定义

按照对偶矢量的运算规则,导出

形式上与矢量代数规则一致,也存在1等代数恒等式.

将矢量b视为矢量a沿方向作螺旋运动后到达的位置,引入对偶四元数(dual quaternions)

称为螺旋算子,可用于对普吕克矢量的变换[12]与式(1)比较可以看出,螺旋算子为有限转动矩阵A的扩展,可以确定任意矢量作螺旋运动后到达的新位置.多次螺旋运动对应的螺旋算子等于各次螺旋算子的四元数乘积

刚体在空间中有6个自由度.仿照欧拉角的定义,设想刚体的空间位置变动分解为绕不同轴的3次螺旋运动实现,所对应的3个对偶角包含的6个标量可作为表达刚体位置和姿态的独立变量.可称为对偶欧拉角.用对偶形式描述的力学基本定律具有最简练的形式.在此基础上建立起来的运动学和动力学称为力学的旋量理论.

参考文献

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刚体运动 篇7

本文来源于与故宫科技部合作研究青铜鼎碎片复原的项目。青铜鼎破碎成大小100多片, 人工匹配拼接消耗大量时间和精力, 于是我们利用计算机辅助拼接来虚拟修复青铜鼎。与此相关的工作有:Wolfson[1]提出先用多边形近似方法得到碎片2D边界曲线的特征串, 然后通过几何杂凑法寻找最长公共子串。这种方法不能给出曲线匹配的准确信息, 也不能完全排除重叠的情况。Ucoluk[2]讨论了3D物体的自动重建问题, 在局部匹配中采用了穷举方法, 时间复杂性非常高, 而且没有用实际数据进行测试。Kong[3]研究了2D和3D拼图问题, 采用动态规划法进行曲线匹配, 但是没有考虑碎片之间不完全匹配的情况 (例如物体在破碎过程中可能会丢失一些非常小的碎片) 。杨洛斌[4]等就形状匹配在文物复原方面的研究, 其主要思想为以其中任意一个碎片为模板和其他碎片进行一一匹配, 选择其中匹配曲线段最长的碎片作为匹配碎片并进行曲线拼接和曲面拼接, 将拼接后的碎片作为新的模板进行新一轮匹配, 该工作以最长匹配段作为判定。还有一系列的文章[5,6,7,8] , 使用弹性模型进行曲线匹配, 这种方法计算复杂度很大, 尤其在碎片比较多的情况下, 几乎就是不可解。本文使用的方法是采用分级分段的方法进行匹配计算, 使用分级可以加快计算速度, 利用分段不仅可以降低采样点的个数, 还可以利用相临的段进行验证, 提高匹配正确的概率。

1数据预处理

1.1扫描数据

利用三维激光扫描设备 (FastScan) 采集破碎文物的表面数据信息 (点云数据) , 对扫描碎片只扫描其中一面, 并且所有碎片都只扫描同一侧面的面。 (根据具体情况选取内面还是外面, 根据具体情况, 这里取外面, 因为青铜器外面比较光滑, 更容易拼接计算) 。通过扫描, 获得到的点云三维数据, 经三角网格剖分后生成其对应的三角网格曲面模型, 如图1所示。

1.2预处理碎片数据

三维网格曲面模型经过适当简化后, 即可进行后续的特征轮廓线提取、匹配等处理。在使用三维激光扫描仪进行数据采集的过程中, 对空间形体的最高分辨精度可以达到0.1mm, 因设备所引起的比如裂缝、噪声以及离散网格的非流形问题可以通过数据简化来解决 (该功能由设备的软件处理平台提供) 。但是扫描的模型中带有的断裂面的数据并不能消除掉, 我们需要把断裂面数据去掉, 只获得轮廓的信息。这里使用的消除断裂面并获得轮廓线的算法是参考文献[9]中的方法。该方法就是利用曲率, 提取外轮廓线和内轮廓线, 然后再根据物体的破碎特征得到真正的外轮廓线, 该方法与物体破碎程度有关, 所以这里加入了人工辅助修正。图2所示为经过预处理后提取的轮廓线。

2基于轮廓线的匹配技术

2.1轮廓线分段

如图3所示, 根据取得的轮廓线的各个点的曲率, 按照曲率变化, 把整体的轮廓线转化为关键点的集合, 这些关键点就描述了这个整体轮廓。在按照关键点中的拐点 (就是那些变化率大的关键点) 划分成不同的段。 (图3中分成了A、B、C三个段) 也就是以曲率变化大的那些点作为关键点对整体轮廓进行划分, 分成不同的段, 这样就得到所有原始点的关键点的集合, 各个段的集合以及段的关系。其中段和段的关系是使用段与段之间的关键点来描述的。如果使用曲线拟合重采样获得点的集合来描述这个曲线, 在重采样的过程中有可能丢失掉那些特征比较明显的点, 比如拐点。这里的分段分两级, 第一级为粗线条分, 就是按照曲率变化比较大的区域划分;第二级, 在已经划分好的段, 再次使用同样的方法对已划分的段再次进行划分, 新划分所使用的曲率变化比上一级曲率变化要小。

2.2轮廓线匹配技术

2.2.1 轮廓线的匹配标准

(1) 通过段匹配计算, 如果两个段之间存在的重叠区域很小并且段匹配的匹配长度最长, 那么匹配成功。

(2) 如果一个段匹配成功, 根据段与段之间的关系, 计算与匹配的段相互连接的段, 如果这个相邻接的段也匹配成功, 那么这个匹配是成功的。

各个碎片的轮廓线匹配拼接过程如下:

1) 选择一个碎片的一个段 (可以随机选择, 也可以指定) , 以它作为基本匹配段, 简称基段;

2) 在其他碎片的段中寻找可以与之匹配的段, 简称匹配段 (所使用的是匹配标准A) ;

3) 如果在其他碎片中找到一个与之匹配的段, 记录下他的匹配优先级, 匹配优先级按照匹配度排序;

4) 选择匹配优先级最高的进行拼接, 拼接完成后, 必然引起匹配段所在的轮廓线中的其他段的位置变化, 根据这些变化, 计算与基段相连接的其他的段与这个匹配段所在的碎片的其他段的匹配情况, 如果有新的匹配产生, 那么, 整体匹配成功。 (使用的是匹配标准B) 如果没有新的匹配产生, 可以认为是可能的匹配, 作为备选, 根据人工判断是否匹配成功;

5) 以上是第一级匹配, 如果匹配成功, 那么进入第二级匹配。第二级匹配与第一级匹配算法是一致的, 唯一的不同是不需要再次进行匹配验证。第二级匹配的目的是使匹配度更加精细, 拼接结果更理想。

2.2.2 轮廓线各分段匹配计算

如图4所示, 有2条要匹配的段, 假设上面的段为段A, 下面的段为段A′, 那么可以获得他们的原始特征点。图5为这2个段的原始特征点。

把各个段的原始特征点进行坐标无关化处理, 也就是各个取得采样点的坐标无关信息。坐标无关化使用的方法为参考文献[4]中的方法并作出改进。取起始点作为基点设坐标矩阵为Tb, 那么与它相邻接的特征点, 假设坐标矩阵为Tl, 那么它们之间的关系矩阵设为Tlb, 这个矩阵是一个与坐标旋转、平移无关的量。图6为。特征点和相应的坐标无关的方向矢量。

现在假设二个段的采样点集合为 { VA| VA[i], i=1, 2, … }和{ VB| VB[j], j=1, 2, … }, 那么他们的匹配过程如下:

(1) 以VA[i]为原点, 按照方向矢量建立坐标系, 并还原得到曲线;VB[j]的点为原点, 在VA[i]建立的坐标系, 还原得到曲线。

(2) 计算二个曲线之间的关系, 如果满足匹配规则就匹配成功, 不满足i++;或者j++;返回到步骤 (1) 。

在所有满足匹配规则的成功匹配中, 那个最长的匹配就是要求的结果, 相应的伪代码为:

match () 函数是计算以VA[i]、VB[j]为原点的两个曲线的匹配长度。

length () 函数为计算曲线含有的原始特征点的个数。

int m=length (VA) ;

int n=length (VB) ;

for (int i=0;i<m;i++)

for (int j=0;j<n;j++) {

if (Max<match (VA[i], VB[j]) )

Max= match (VA[i], VB[j]) ;}

match函数的原理:

以VA[0]点为原点, 那么VA[1]就是该点的下一个点的描述信息, 只要做VA[1]+ VA[0], 就是新坐标中的点, 同样, 可以得到以VB[0]为原点的曲线。

假设VA[i]为原点和VB[j]为匹配起点, 那么VA[i]与VA[i+1]就存在一个凸包, 把这个曲线包围起来, 如图7所示凸包的最大半径为R, 如果VB[j]与VB[j+1]在这个凸包中, 那么i=i+1, j=j+1, 继续计算, 测试新的点是否在凸包里, 如果VB[j]与VB[j+1]不在凸包中, 那么, 计算从起点到终点的曲线长度, 这个长度就是匹配的优先级。

3碎片拼接

如果分段VA和分段VB是匹配的, 那么就需要把VA和VB所在的曲面进行拼接。

VA和VB是坐标无关的, 所以, 首先把他们放到坐标系中, 建立坐标系, 那么VA和VB所在的碎片的拼接就是按照VA和VB中的特征关键点重合的规律, 通过平移和旋转来实现。

拼接过程如下:

首先, 建立局部坐标系。假设破碎曲面中的基段为VA, 匹配段为VB, 根据分段匹配计算的结果, VA, VB的匹配结果, 至少有二个点是重合或者是接近重合的, 假设这两个点为 (VA[i], VB[j]) , (VA[m], VB[n]) , 以起点VA[i]为原点, VA[i]和VA[m]之间的连线为x轴, 向x轴作垂线, 那么这个垂线的方向就是y轴的方向, 这样就得到了x和y轴, x轴, y轴的向量叉乘就是z轴。如图8所示。

因为所记录的各个特征点信息是与坐标无关的, 所以, 只要把特征无关向量矩阵代入所建立的坐标系, 就得到了拼接结果。剩下要做的就是曲线合并, 它的做法为, 找到重合的点, 把重合区域合并, 并把两个碎片拼接起来, 获得一个新的碎片。具体拼接算法如下:

假设有不同的两个曲线pi、pj, 对于pi、pj, 它的局部坐标系是不一致的。当两个曲面的轮廓曲线中有一段曲线段匹配, 那么这两个曲面将被拼合成为一个曲面。由于匹配曲线段近似认为是碎片的碎裂曲线, 属于共享边界, 所以会将两个碎片曲面都转换到局部坐标系中。我们根据每一个pi、pj来确定一个局部坐标系。计算可以得到两个局部坐标系的变换公式, 而在理论上匹配曲线段应该在一个局部坐标系中是一致的, 所以实际上这个坐标变换公式中的旋转矩阵、位移向量就是我们所要得到的。

为了实现两个曲面、曲线的拼合, 将世界坐标系中的每一个碎片曲面图形通过坐标旋转、平移变换使得两个曲面拼接在一块, 两个曲面中的轮廓曲线中的匹配曲线段重合。

假设两个曲面SA、SB, 那么它们的局部坐标系分别表示为:

IA: { (o′A, e′A1, e′A2, e′A3) }

IB: { (o′B, e′B1, e′B2, e′B3) }

则根据局部坐标系和世界坐标系的点坐标变换公式:

AA、AB分别IA、IB坐标向世界坐标系的过渡矩阵。从这一公式可以得到IA、IB中的点的坐标变换关系:

设定旋转矩阵R和平移向量T:

$\text{R}=A{}_A^{-1}A{}_B\text{Τ}=A{}_A^{-1}\left(\begin{array}{l}x{}_{B0}-x{}_{A0}\\ y{}_{B0}-y{}_{A0}\\ z{}_{B0}-z{}_{A0}\\ \end{array}\right)$

那么:

这里的rij (i, j=1, 2, 3) 是R中的元素, ti (i=1, 2, 3) 是T中第i个分量。

实际工作中, 我们在作曲面SA、SB的拼合时, 计算出旋转矩阵R和平移向量T, 然后将对曲面SB加以旋转、平移, 使得两个曲面的轮廓曲线匹配段合一, 从而实现了两个曲面的拼合, 曲线的拼接, 如图9所示。最后拼接结果如图10所示。

4结论

本文提出了利用轮廓线分段进行匹配的方法。在分段的过程中, 使用曲率比较大的点作为特征点, 并作为分段的依据, 把一个碎片的轮廓分解成多个段, 再利用不同碎片的轮廓段进行匹配计算, 然后按照匹配规则获得不同优先级的匹配方案, 进行匹配, 然后根据匹配结果进行拼接计算。利用这个方法, 解决了破碎青铜器拼接的问题。

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刚体和质点组误建为质点模型探析 篇8

一、讨论人、车转弯 (或物体有转动趋势) 问题时, 因为提供的向心力并不过质心, 人、车或物体的大小已不是次要因素, 模型一般不能建立为质点而应是刚体

人滑冰转弯时还能把人看成质点吗?摩擦力的作用点一定能画在质心吗?带着疑问我们从下面的例题谈起.

例1北京时间2006年2月24日凌晨, 都灵奥运会花样滑冰女子单人滑的比赛结束, 最终日本名将荒川静香力挫美国名将科恩和俄罗斯老将斯鲁茨卡亚获得冠军, 图1为俄罗斯老将斯鲁茨卡亚在滑冰过程中美丽的倩影.假设图中斯鲁茨卡亚在沿弧形运动.若已知该运动员的质量在60kg左右, 除此之外, 根据图中的信息和你所学的物理知识, 你能估测的物理量是 ()

A.地面对冰鞋摩擦力的大小

B.运动员的滑行速度

C.运动员转弯时的向心加速度

D.地面对人的支持力

【错解】图1中的运动员受到三个力的作用, 在竖直方向重力和支持力平衡, 因此地面对人的支持力等于重力.在水平方向运动员受到的静摩擦力提供所需的向心力, 方向指向圆弧形的曲率中心, 则由于, 且Ff、v、R均未知, 因此A、B、C项无法估测, 综合选D.

【错解分析】能不能把人看成质点, 是由问题的性质决定的.本题中, 运动员转弯时需要倾斜, 而且速度越大倾斜越厉害, 这是不争的事实.如果把人看成质点, 就无法解释上述现象.其实这类问题中应把人看成刚体, 静摩擦力作用于脚底面已不能简单的平移在人的质心处而提供所需的向心力, 也就是说人的大小已经是问题的主要因素.如图2所示, 过质心加上方向与Ff平行、大小均与Ff相等的一对方向相反的力Ff1和Ff2, 显然, Ff、Ff1、Ff2的作用效果和原力Ff是等效的.在Ff、Ff1、Ff2这组力中, Ff1提供运动员作圆周曲线运动的向心力, Ff2与Ff产生了一个顺时针的力偶矩, 为了不使运动员向外翻倒, 只有当运动员向内倾斜时即重力产生一个逆时针力矩才能使转动平衡, 这种方法称为等效平移力法.[1]

【正确解法】为了便于研究, 把运动员简化成如图2所示的刚体模型, 运动员所受的力有:重力作用在质心, 方向竖直向下, 支持力作用在脚底面方向竖直向上, 沿法向方向的静摩擦力作用在脚底面, 方向指向圆弧形轨迹曲率中心, 设曲率半径为r, 运动员此时沿切线方向上的速度为v.Ff1提供运动员做曲线运动的向心力, 即

Ff2产生的顺时针力矩和重力产生的逆时针力矩能使转动平衡, 则Ff2y=mgx (2)

(y、x分别为Ff2和mg产生的力臂)

设转弯时运动员的倾角为θ, 则

本题中, 根据图中信息可估测出运动员的倾斜角θ, 依 (3) 式由于v、r均未知, 因此不能估算出运动员的滑行速度, 但可估算出转弯时的向心加速度即;又依 (1) 式, 因此摩擦力的大小也能估算出;在竖直方向上支持力与重力平衡, 地面对人的支持力可估算出, FN=mg, 综合本题选ACD.

例2一载重农用车总质量为M=5t, 重心离地面高h=1.5m, 两轮胎之间的宽度为L=1.2m, 轮胎与地面之间的动摩擦因数μ=0.5.当农用车通过一半径为R=100m的水平弯道时, 最大速度不能超过多少才是安全的? (最大静摩擦力按滑动摩擦力计算, g取10m/s2)

【错解】如图3所示, 农用车在竖直方向受到重力和支持力FN, 则FN=Mg, 农用车沿曲率中心的静摩擦力提供所需要的向心力.设农用车转过水平弯道的速度为v时, 即将沿法向方向滑出, 则

【错解分析】错解的原因仍然是简单的把农用车看成质点造成的.农用车在转弯处的安全隐患是滑出还是翻倒是未知的, 若是滑出, 是平动问题, 农用车可以看成质点;若是翻倒, 是转动问题, 农用车的大小也是主要因素, 已不能看成质点, 摩擦力的作用点不能简单地画在质心上, 而应把农用车看成刚体按有固定转动轴的平衡问题来分析.

【正确解法】先由静摩擦力提供向心力计算.设即将侧滑动的车速为v1, 则

联立 (1) (2) 得.

再由附加力矩和重力力矩的转动平衡计算.设即将翻倒时车速为v2, 由等效平移力法, 此时静摩擦力提供向心力则

另一力Ff''与重力的力矩平衡, 即

(设以右轮胎为转动点, 即将翻倒时地对左边轮胎恰无支持力)

联立 (3) (4) 得.通过计算对比可以看出, 农用车在弯道处更容易翻倒造成事故, 因此安全行驶的速度不能超过20m/s.

【反思】限于中学学生所做的这方面试题绝大多数可视为是质点而不是刚体模型, 这容易造成思维的固定模式, 像前面讨论的人滑冰转弯、人骑车转弯、汽车转弯等很实际的问题, 我们有必要让学生明白, 这类问题已不能把它们看做质点, 物体的形状、大小往往也起主要作用而不能忽略, 当然我们也忽略了一些次要因素.如人的双臂摆动、双腿交替运动、身体的晃动、内脏的运动等.中学教学中, 遇到的这类问题不是很多, 我们要善于抓住时机, 利用很少的时间帮助学生理解模型的建立要根据具体问题而决定, 而不是避而不谈, 甚至错误作答.[2]

二、讨论人、机车的功能 (或物体间的碰撞) 问题时, 因为有内力参与做功, 模型一般不能建立为质点而应是质点组

对涉及人和机车的做功问题时还能用质点动能定理吗?物体间 (系统) 的碰撞问题我们所列的动能方程是质点动能定理吗?下面以两个例题为引子做一深入的探究.

例3如图4所示, 平板车放在光滑的水平面上, 一个人从左端加速向右端跑动.设人受到的摩擦力为F, 平板车受到的摩擦力为F'.下列说法中正确的是 ()

A.F和F'均做负功

B.F和F'均做正功

C.F做正功F'做负功

D.F和F'做的总功为零

【错解】人从车的左端加速向右端跑动时, 人相对地向右运动, 人所受的摩擦力方向也向右, 则F做正功;平板车相对地面向左运动, 它受到的摩擦力也向左, 则F'也做正功, 所以选项B正确.

【错解分析】上述错解中, 人和平板车所受静摩擦力的方向及摩擦力对平板车做正功的分析都是正确的, 错误出现在静摩擦力F对人做正功的分析上.学生做此题时认为, 人受静摩擦力方向向右, 并且人向右运动, 根据功的定义“一个物体在力的作用下移动, 力对物体做的功等于力和物体沿力方向位移的乘积”, 因此摩擦力对人做正功.这是把人看做质点得出的结论, 其实, 这个问题中人已经不能看做质点, 而应看成质点组.难道中学就只能把人看成质点吗?若是把人看成质点分析得出的答案B与我们交代给学生的二级结论“一对静摩擦力做的总功为零”是相矛盾的, 并且人和车组成的系统动能增加也是无法解释的, 可见这不是简单的可回避的问题.[3]

【正确解法】人应看做质点组, 人向右跑动时, 人体的各部分运动情况不一样, 人体整体看来向右运动, 但后脚随着后腿由弯曲变为伸展的过程中, 随着平板车一起向左运动, 由于后脚受到的静摩擦力方向向右, 所以F对人做负功.当后脚抬起并且向前运动变为前脚时, 原来的前脚就开始变为后脚重复着上面的过程, 每次的后脚蹬着平板车向左运动, 后脚和平板车的位移是相等的, 因此F和F'做的总功为零.正确答案是D.

例4一质量分布均匀的铁链, 质量为M, 长为L, 静止在水平面上, 若用一竖直向上的恒力F作用于铁链的一端, 则当铁链刚好全部离开地面时, 其速度有多大?

【错解】铁链在上升的过程中, 拉力做正功, 位移为L, 重力做负功, 位移为, 地面支持力不做功, 当铁链刚好完全离开地面时, 设其速度为v, 依动能定理, 有:, 解得.

【错解分析】上面的解法中套用了质点的动能定理, 然而上面的铁链在这类问题中是不能视为质点的, 必须看做质点组.这样就涉及内力做功的问题, 在铁链不断上升的过程中, 原来静止在地面上的铁链微元dm不断地与获得速度的铁链主体m结合为一体, 铁链的上升过程实质上就是已离地的m与静止的dm的一连串连续的碰撞过程, m与dm间相互作用的一对内力做功之和并不为零, 碰撞中有能量损失.其实对质点组, 动能定理应写为W非内+W外=Ek2-Ek1, W非内为非保守内力所做的功.

在中学应用动能定理时, 是把物体能够看做质点的情况下, 把物体看做质点, 内力做功为零, 因此质点动能定理为:W外=Ek2-Ek1.

【正确解法】设某时刻铁链离开地面部分长度为x, 获得速度为v, 并设铁链的线密度为λ, , 则对长为x的铁链有微分方程:

整理得, 两边乘以xv得:

两边微分后得:.

【反思】人和车运动问题中, 限于中学生的知识局限, 学生出现的错误比较多, 例如人和车在地面上运动, 是地面摩擦力对人或车做正功的缘故;又如人从地面上跳起是地面支持力对人做功的结果;再如人在荡秋千的过程中 (忽略各种阻力) 机械能守恒等.要帮助学生理解这类问题中人或车已不能看成质点或刚体, 而应看成质点组, 由于质点组内各质点之间存在着相互作用力, 内力虽然不能改变质点组的总动量, 但可以改变质点组的动能.无论是人体内, 还是各类机械中, 因内力的产生随时间、位移的变化十分复杂, 以至于通常难以用一个定量的函数式对它进行描述, 所以内力功虽然具备功的因素却难以定量表示, 其大小只能间接用机械能或其他形式能的增量进行粗略的估算.

物体之间的碰撞问题, 由于一些过程时间短, 隐藏性强, 中学生也经常“视而不见”从而出错.教师经常埋怨学生粗心, 其实教师也要在此做足文章, 可以对碰撞过程“放大”和“强化”处理, 使学生明确质点组间的碰撞由于一对内力做功一般不为零, 因此机械能有损失.

理想化模型的建立需具体问题具体分析, 不能一概而论.某因素可能在这种情况下是次要因素, 不予考虑;但在另一种情况下可能是主要特征, 就必须考虑.

参考文献

[1]张锦科.人骑车转弯时的力学探究[J].物理教师, 2009 (7) .

[2]冯晓林.中学教学研究 (3+X中学成功教学法体系) [M].呼和浩特:内蒙古大学出版社, 2000.

[3]徐善松.一对静摩擦力做功一定为零[J].物理教学, 2008 (7) .