非线性有限元方法

2024-11-19

非线性有限元方法（精选9篇）

非线性有限元方法篇1

0 引言

水电是清洁、廉价、可再生的能源,我国水资源所包含的水能资源排行世界第一位。全国水能资源理论蕴藏总量达6.76×108 kW,可装机容量约为3.79×108 kW,年发电量1.92×1010 kWh。其中西部可装机容量约为3.4×108 kW,占全国的89.7%[1]。近10年来,随着我国水电建设技术的迅猛发展,西南地区大量水电站相继开工建设,如澜沧江流域的小湾、漫湾、大朝山、糯扎渡水电站,雅砻江流域的锦屏一级、锦屏二级、官地、两河口、桐子林水电站,大渡河流域的下尔呷、双江口、瀑布沟水电站。

为了解决能源分布的不平衡,并解决东南发达省份电力紧缺的现状,由能源产地向经济发达地区输送电能已成为一条重要的能源输送途径,为此各地兴建了很多跨越江河大堤的输电工程,如华东电网500 kV输变电网架江阴长江大跨越工程、500 kV送变电输电线路黄河大跨越塔基工程等[2,3]。这些大跨越高压输电工程的兴建,势必给原来稳定安全的大堤带来安全隐患,主要表现为在各种复杂荷载作用下,桩-土-承台接触带产生不协调的位移,桩侧土体会出现裂缝展开,这种裂缝可能会沿桩身贯穿堤基的相对隔水层,形成潜在的渗流通道。以前对复杂荷载下群桩基础的开裂研究还很少有人涉及,基于此本文采用三维非线性接触有限元计算方法,研究桩-土-承台在复杂荷载作用下桩侧土体的开裂特性,预测桩侧土体裂缝开展宽度及深度,以便采取相应的工程措施,确保堤防长期安全稳定。

1 桩-土-承台共同作用机理

在复杂荷载下,模拟大跨越高压输电塔桩-土-承台共同作用时,由于群桩与周围土体变形特性相差很大,需要考虑桩与土之间的接触、闭合、张开以及相对滑移和脱离[4,5],如图1所示。接触单元法具有概念清晰、简单易行等优点,在工程领域的接触分析问题求解中应用十分广泛。接触单元形式很多,但主要可分为2类,即以Goodman单元为代表的无厚度型单元以及以Desai单元为代表的有厚度型单元。本文采用类似于Goodman单元的理想弹塑性接触模型,也称库仑摩擦模型来处理桩-土之间的接触问题,其剪应力τ和剪切位移s之间的关系如图2所示。

库仑摩擦模型首先通过桩-土接触约束条件来判断在当前复杂应力条件下的接触状态,然后根据桩-土接触计算法则计算接触面的法向间隙和切向滑移量。具体表达如下:

(1)桩-土接触约束条件

式中:σn为接触面法向应力,以拉为正;g=g(u)为接触面法向间隙。

式中:g0为接触面法向初始间隙;u为接触节点位移。

(2)桩-土接触计算法则

式中:T为接触面切向应力,以拉为正;s为接触面切向滑动位移;μ为接触面的摩察系数。

2 工程应用

2.1 工程概况

1 000 kV武汉一芜湖输变电工程满足三峡电力送出及资源优化配置的需要;满足华东电网大容量输电及上海、浙江等缺能地区受电的需要;为华东500 kV电网限制短路电流提供技术手段;满足提高单位走廊的输送能力,是我国电网新技术发展的重要节点。长江大跨越作为本工程的重要组成部分,对整条线路工程建设,特别是武汉一芜湖段路径长度、造价影响重大[10,11]。

武汉一芜湖段长江大跨越高压输电塔桩基布置方案为:塔基按四边带连梁的低桩承台式桩基设计,4个承台呈长方形布置。桩基承台为14 m×14 m×2 m(长×宽x高)的钢筋混凝土结构,桩基承台下设4×4根φ1 000 mm的钻孔灌注桩,桩间距为2 m,桩长31 m。

2.2 工程地质条件

武汉一芜湖段长江大跨越高压输电塔承台及桩基采用C25钢筋混凝土,根据《水工混凝土结构设计规范》(SL/T191—1996)和《混凝土结构设计规范》(GB50010—2002),弹性模量取28 GPa,泊松比取0.2。桩侧土体从上至下分别为粉质粘土(0.0～5.0 m)、粉质壤土(0.0～5.0 m)、细砂(5.0～11.0 m)、粉质粘土(11.0～13.0 m、圆砾(16.0～25.0 m)、砂岩(25.0 m及以下),各土层的材料参数通过基桩周围的钻孔试验得到,取值如表1所示。

2.3 工程荷载

实际工程中,塔基群桩往往承受着复杂荷载的作用,如风荷载、地震荷载与竖向荷载。荷载考虑外荷载和自重荷载,武汉一芜湖段长江大跨越荷载的组合工况见表2。需要指出的是,塔基所受水平荷载为风荷载。由于风荷载属于活荷载,其作用时间、大小、方位均处在不断变化的状态中,风荷载的特点决定了桩的水平位移(大小、方向、历时)是不断变化的。

3 桩-土-承台共同作用计算分析

3.1 计算模型

为了准确模拟复杂荷载下武汉一芜湖段长江大跨越高压输电塔桩-土-承台共同作用下的开裂特性,建立了桩-土-承台三维有限元接触计算模型,如图3所示。三维有限元模型的建立充分利用了相应剖面的工程地质资料,共划分单元数32 667个,节点数29 847个,其中接触单元数8 748个。模型4个垂直边界上采用法向约束,在底部边界固支约束。

3.2 计算结果分析

各种荷载工况下跨越高压输电塔桩侧土体裂缝开展情况如表3所示,分布云图如图4(a)～(d)(图中单位均为m)所示。武汉一芜湖段长江大跨越塔桩侧土体的裂缝开展宽度最大达6.93 mm,缝隙最大开展深度为3.65 m;跨越塔基础一般仅在浅表粉质粘土土层有一定缝隙开展,缝隙主要出现在承台侧面、底部及灌注桩顶部1.0～1.5 m范围内,以下的土层基本没有缝隙开展。

由计算结果可知,工况3为最不利荷载工况,即当跨越高压输电塔受到上拔力和水平合力(拉剪组合)时,出现最大的缝隙开展。因此,在跨越高压输电塔设计时需充分考虑风荷载和地震荷载的组合效应。虽然跨越塔承受的总荷载较大,但是由于承台下布设的桩比较密集(每个承台下布置16根钻孔灌注桩),分布在单根桩上的荷载并不大,因此,武汉一芜湖段长江大跨越高压输电塔基桩侧土体的缝隙开展宽度和深度均相对较小。由复杂荷载下桩-土-承台的接触计算分析结果可知,大跨越工程的建设对已建堤防影响不大,但是考虑到桩侧土体有一定的裂缝扩展,在堤防抗洪度汛时,需复核工程建设对堤防渗透稳定的影响。

4 结论

长江大跨越是1 000 kV武汉一芜湖输变电工程的重要控制节点,考虑到工程建设可能会对已建堤防带来不利影响。本文基于三维非线性接触有限元计算方法,研究了桩-土-承台共同在复杂荷载作用下桩侧土体的开裂特性。计算结果表明:当跨越高压输电塔受到上拔力和水平合力(拉剪组合)时,出现最大的缝隙开展,裂缝开展宽度最大达6.93 mm,缝隙最大开展深度为3.65m。但是考虑到承台下布设的桩比较密集,分布在单根桩上的荷载并不大。总体而言,大跨越工程的建设对已建堤防影响不大,但是考虑到桩侧土体有一定的裂缝扩展,在堤防抗洪度汛时,需复核工程建设对堤防渗透稳定的影响。

参考文献

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[3]张辉,满昌盛,孙小杰.500 kV输电线路黄河大跨越塔基工程施工实践[J].探矿工程,2009,36(7):63-65.

[4]袁平,孟刚.阳汉线跨越塔桩基对堤防防洪安全的分析评价[J].中国水运,2006,4(4):71-72.

[5]蒋伯杰,戴跃华,柳杨.桩土共同作用下的桩基开裂特性分析[J].中国农村水利水电,2009,(7):80-85.

[6]中国电机工程学会线路施工技术分会.高压输电线路杆吊装方法汇编[Z].武汉:中国电机工程学会线路施工技术分会,1986.

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[10]祝永坤,王宝成.高寒地区输电线路铁塔基础冻害原因分析及防范措施[J].内蒙古电力技术,2011,29(6):90.

[11]胡建君,崔昊,董绍春.季节性冻土地区输电线路铁塔坡形和直柱形刚性基础的比较分析[J].内蒙古电力技术,2013,31(1):46-49,54.

非线性有限元方法篇2

采用欧洲钢结构协会推荐的钢材高温材料模型确定了钢材的弹性模量和极限强度.通过对导热微分方程进行数值求解,确定了结构钢构件内部的温度场.在此基础上,采用非线性有限元方法分析了空间网壳结构的.火灾反应.结果表明,在火灾作用下,网壳结构的承载力迅速降低并最终导致结构的倒塌.

作者：陈波郑瑾岳磊 CHEN Bo ZHENG Jin YUE Lei 作者单位：陈波,CHEN Bo(武汉理工大学道路桥梁与结构工程湖北省重点实验室,武汉,430070;香港理工大学土木与结构工程学系,香港红|)

郑瑾,ZHENG Jin(武汉理工大学道路桥梁与结构工程湖北省重点实验室,武汉,430070)

岳磊,YUE Lei(湖北省交通规划设计院,武汉,430051)

非线性有限元方法篇3

在神经传播过程中, 神经传播信号关于时间和空间的变化率在数学上表现为一类新的非线性发展过程, 即非线性拟双曲方程:

这类方程在生物, 力学诸领域有深刻的实际背景, 有必要全面深入的研究。关于这类方程解的存在唯一性, 解的渐近性质及其数值分析已有了一些结果文献[1]研究了问题的有限元方法, 给出了有限元解的误差估计文献[2]研究了问题的半离散H1-Galerkin混合元方法, 并得到了未知函数, 伴随向量及伴随向量关于时间的导数的最优L2及H1模误差估计。

有限体积元方法具有格式简单, 需要的工作量小, 可以在不同网格上进行计算、局部守恒等优点。

1 有限体积元格式

对区间I=[0, 1]作剖分Th, 其节点为0=x0<x1<x2<…<xr=1, 单元Ii=[xi-1, xi]的长度hi=xi-xi-1, i=1, 2, …, r, 记 $h = \max_{1 \leq i \leq r} h_{i}$ , 并设剖分Th满足正则性条件hi≥μh, i=0, 1, …, r, 其中μ为正常数。

对区间作剖分Th的对偶剖分T*h, 其节点为 $0 = x_{0} ＜ x_{\frac{1}{2}} ＜ x_{\frac{3}{2}} ＜ \dots ＜ x_{r - \frac{1}{2}} ＜ x_{r} = 1$ , 对偶单元 $Ι_{0}^{*} = [x_{0}, x_{\frac{1}{2}}], Ι_{j}^{*} = [x_{j - \frac{1}{2}}, x_{j + \frac{1}{2}}], j = 1, 2, \dots, r - 1, Ι_{r}^{*} = [x_{r - \frac{1}{2}}, x_{r}]$ , 其中 $x_{j - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (x_{j - 1} + x_{j}), j = 1, 2, \dots, r$ 。

取试探函数空间Uh为相应剖分Th上的分片线性函数空间, 满足Uh⊂H $_{0}^{1}$ (I) , 则对任意uh (x) ∈Uh, uh (x) = $\sum_{i = 1}^{r - 1}$ uh (xi) φi (x) , 其中φi (x) 为节点xi (j=1, 2, …, r-1) 处的基函数。取检验函数空间Vh⊂L2 (I) 为T*h上的分片常数空间, 并且对∀vh∈Vh满足vh (0) =vh (1) =0, 从而∀vh (x) ∈Vh, vh可以表示为vh (x) = $\sum_{j = 1}^{r - 1}$ vh (xj) ψj (x) 。

显然Uh与Vh分别是H $_{0}^{1}$ (I) 与L2 (I) 的r-1维子空间, 而且Uh⊂W $_{0}^{1, \infty}$ (I) 。

定义插值算子∏h:H $_{0}^{1}$ (I) →Uh为∏hw=

$\sum_{i = 1}^{r - 1}$ wiφi, ∀w∈H $_{0}^{1}$ (I) , 这里wi=wh (xi) , 再引入插值算子∏*h:Uh→Vh其定义为∏*hw= $\sum_{i = 1}^{r - 1}$ wiψi, ∀w∈Uh。由插值理论有

|w-∏hw|m.p≤ch2-m|w|2.p, m=0, 1, 1≤p≤∞。

其中此处或以后出现的|·|m, p和‖·‖m, p分别表示Sobolev空间Wm, p (I) 的半模和模, |·|m和‖·‖m分别表示Sobolev空间Hm (I) 的半模与模, ‖·‖表示L2 (I) 的模。

设u是问题 (1) 式的解, 任取vh∈Vh, 将vh乘以方程 (1a) 并在[0, 1]上积分, 利用分部积分可得到问题 (1) 式的有限体积元弱形式为:求u:[0, T]→H $_{0}^{1}$ (I) 满足

(1.1) 式中a* (u, vh) = $\sum_{j = 1}^{r - 1}$

$\begin{array}{l} v_{h} (x_{j}) a^{*} (u, ψ_{j}), \\ a^{*} (u, ψ_{j}) = u_{x} (x_{j - \frac{1}{2}}) - u_{x} (x_{j + \frac{1}{2}}) ‚ \end{array}$

问题 (1) 式的半离散的有限体积元格式为:

求uh∈Uh满足

初值的逼近u0h⊂Uh, u1h⊂Uh分别取u0, u1的椭圆投影 (此椭圆投影由 (2.1) 式定义) .

对时间区间[0, T]做等距剖分, 节点记为 $t_{i} = i τ, i = 0, 1, \dots, Ν, τ = \frac{Τ}{Ν}$ 。为考虑问题方便, 对函数u (x, t) 引入下列记号:

$u^{n} = u (x, t_{n}), u_{j} = u (x_{j}, t), u_{j}^{n} = u (x_{j}, t_{n}), \partial_{t} u^{n} = \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{τ}, \partial_{n}^{2} u^{n} = \frac{u^{n + 1} - 2 u^{n} + u^{n - 1}}{τ^{2}},$

则问题 (1) 式的全离散的有限体积元格式为:

求u $_{h}^{n}$ ∈Uh, n=0, 1, 2, …, N满足

2 误差估计

做如下假设:

(H1) 函数f、g与h满足:f, g有界, 且f, g满足Lipschitz条件, h∈L2 (0, T;I) ;

(H2) 问题 (2.1) 的解u满足:u∈C (0, T;H $_{0}^{1}$ ) , ut∈L∞ (0, T;H2 (I) ∩H $_{0}^{1}$ (I) ) , utt∈L∞ (0, T;L2 (I) ) , utttt∈L∞ (0, T;L2 (I) ) ;

(H3) 初值函数u0和u1满足:u0∈H $_{0}^{1}$ (I) ∩H2 (I) , u1∈H $_{0}^{1}$ (I) ∩H2 (I) 。

引理2.1 (1) (uh, ∏*hvh) = (vh, ∏*huh) , ∀uh, vh∈Uh。

$(2) | ∥ u_{h} ∥ |_{0} = (u_{h}, \prod_{h}^{*} u_{h})^{\frac{1}{2}}, | ∥ \cdot ∥ |_{0}$ 与‖·‖在Uh中等价。

引理2.2 双线性形式a* (·, ∏*h·) 是有界的, 正定的, 即存在常数M和α当0<h≤h0,

|a* (uh, ∏*hvh) |≤M‖uh‖1‖vh‖1, ∀uh, vh∈Uh;

a* (uh, ∏*huh) ≥α‖uh‖ $_{1}^{2}$ , ∀uh∈Uh。

引理2.3 存在一个独立于Uh的常数C使得

|a* (uh, ∏*hvh) -a* (vh, ∏*huh) |≤Ch‖uh‖1‖vh‖1, ∀uh, vh∈Uh。

上述引理的证明可参考文献[3], 为进行误差估计, 引入问题 (1.1) 式的解u的伴随有限体积元投影 $\tilde{u}$ , 其定义为求 $\tilde{u}$ :[0, T]→Uh使得

则对 (1.1) 式与 (2.1) 式的解u与 $\tilde{u}$ 有如下误差估计。

引理2.4 假设u是问题 (1.1) 式的解, 若假设 (H1) , (H2) , (H3) 成立, 则有估计:

$| u - \tilde{u} |_{1} + | u_{t} - \tilde{u}_{t} |_{1} + | u_{t t} - \tilde{u}_{t t} |_{1} \leq c h, t \in [0, Τ];$

$∥ u - \tilde{u} ∥ + ∥ u_{t} - \tilde{u}_{t} ∥ + ∥ u_{t t} - \tilde{u}_{t t} ∥ \leq c h^{2}, t \in [0, Τ]$ 。

下面分别对有限体积元格式 (1.2) 式与 (1.3) 式进行误差估计。

首先看半离散格式 (1.2) 式,

定理2.1 假设u是问题 (1.1) 式的解, uh是有限体积元格式 (1.2) 式的解。若假设 (H1) , (H2) , (H3) 成立, 则

‖ut-uht‖≤Ch2。

‖u-uh‖+h‖u-uh‖1≤Ch2。

证明由 (1.1) 式, (1.2) 式和 (2.1) 式得到有限体积元解的误差方程:

(uhtt-utt, vh) +a* (uht-ut, vh) +a* (uh-u, vh) = (f (uh) uht-f (u) ut, vh) + (g (uh) -g (u) , vh) , ∀vh∈Vh (2.2)

令 $u_{h} - u = θ + ρ, θ = u_{h} - \tilde{u}, ρ = \tilde{u} - u$ , 则误差方程 (2.2) 式可改写为

(θtt, vh) +a* (θt, vh) +a* (θ, vh) =- (ρtt, vh) +

(f (uh) uht-f (u) ut, vh) + (g (uh) -g (u) , vh) , ∀vh∈Vh (2.3)

在误差方程 (2.3) 式中取vh=∏*hθt, 则有

(θtt, ∏*hθt) +a* (θt, ∏*hθt) +a* (θ, ∏*hθt) =

- (ρtt, ∏*hθt) + (f (uh) uht-f (u) ut, ∏*hθt) +

(g (uh) -g (u) , ∏*hθt) , (2.4)

由引理2.1知

$(θ_{t t} \prod_{h}^{*} θ_{t}) = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (θ_{t}, \prod_{h}^{*} θ_{t})$ (2.5)

由文献[4]知a* (uh, ∏*huh) = $\sum_{i = 1}^{r}$ $\frac{1}{h_{i}} (u_{h i} - u_{h i - 1})^{2} =$

|uh| $_{1}^{2}$ 。因此有

a* (θt, ∏*hθt) =|θt| $_{1}^{2}$ (2.6)

$\begin{array}{l} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ_{t}) = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ) - \frac{1}{2} a^{*} (θ_{t}, \prod_{h}^{*} θ) + \\ \frac{1}{2} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ_{t}) (2.7) \end{array}$

由引理2.3知

|a* (θt, ∏*hθ) -a* (θ, ∏*hθt) |≤Ch‖θt‖1‖θ‖1≤

C‖θt‖‖θ‖1≤ε‖θt‖2+C‖θ‖ $_{1}^{2}$ (2.8)

(ρtt, ∏*hθt) ≤‖ρtt‖‖∏*hθt‖≤C‖ρtt‖2+ε‖θt‖2 (2.9)

由假设 (H1) , (H2) 知

(f (uh) uht-f (u) ut, ∏*hθt) ≤C‖f (uh) uht-f (u) ut‖×‖θt‖≤C (‖f (uh) uht-f (uh) ut‖+‖f (uh) ut-

f (u) ut‖) +ε‖θt‖2≤C (‖ρt‖2+‖θt‖2+‖θ‖2+‖ρ‖2) (2.10)

(g (uh) -g (u) , ∏*hθt) ≤C‖g (uh) -g (u) ‖2+ε‖θt‖2≤C‖uh-u‖2+ε‖θt‖2≤ε‖θt‖2+C (‖θ‖2+‖ρ‖2) (2.11)

将 (2.5) 式— (2.11) 式代入 (2.4) 式得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (θ_{t}, \prod_{h}^{*} θ_{t}) + | θ_{t} |_{1}^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ) \leq C ∥ θ_{t} ∥^{2} + \\ C ∥ θ ∥_{1}^{2} + C ∥ ρ_{t t} ∥^{2} + C ∥ ρ_{t} ∥^{2} + C ∥ ρ ∥^{2} (2.12) \end{array}$

对t从0到t积分, 注意到θ (0) =0得

$\frac{1}{2} (θ_{t}, \prod_{h}^{*} θ_{t}) +$ ∫ $_{0}^{t}$ $| θ_{s} |_{1}^{2} d s + \frac{1}{2} a^{*} (θ, \prod_{h}^{*} θ) \leq$

C∫ $_{0}^{t}$ (‖θs‖2+‖θ‖ $_{1}^{2}$ ) ds+C∫ $_{0}^{t}$ (‖ρss‖2+‖ρs‖2+‖ρ‖2) ds (2.13)

由引理2.2知a* (θ, ∏*hθ) ≥C‖θ‖ $_{1}^{2}$ , 由引理2.1知 (θt, ∏*hθt) =|‖θt‖| $_{0}^{2}$ , 再由Gronwall不等式得

‖θt‖2≤C∫ $_{0}^{t}$ (‖ρss‖2+‖ρs‖2+‖ρ‖2) ds (2.14)

‖θ‖ $_{1}^{2}$ ≤C∫ $_{0}^{t}$ (‖ρss‖2+‖ρs‖2+‖ρ‖2) ds (2.15)

由‖θ‖2≤C‖θ‖ $_{1}^{2}$ , 及三角不等式及引理2.4可得定理2.1的结论。

对全离散格式 (1.3) 式有,

定理2.2 假设u是问题 (1.1) 式的解, {u $_{h}^{n}$ } $_{n = 0}^{Ν}$ 是有限体积元格式 (1.3) 式的解。若假设 (H1) , (H2) , (H3) 成立, 则当τ, h充分小时, 有

$\max_{0 \leq n \leq Ν} ∥ u_{h}^{n} - u^{n} ∥ \leq C (h^{2} + τ);$

$\max_{0 \leq n \leq Ν} | u_{h}^{n} - u^{n} |_{1} \leq c (h + τ)$ 。

证明由 (1.1) 式, (1.3) 式和 (2.1) 式得到有限体积元解的误差方程:

(∂ $_{t t}^{2}$ u $_{h}^{n}$ -u $_{t t}^{n}$ , vh) +a* (∂tu $_{h}^{n}$ -u $_{t}^{n}$ , vh) +a* (u $_{h}^{n}$ -un, vh) =

(f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tu $_{h}^{n}$ -f (un) u $_{t}^{n}$ , vh) + (g (u $_{h}^{n}$ ) -g (un) , vh) , ∀vh∈Vh, (2.16)

其中n=1, 2, …, N-1。令

$u_{h}^{n} - u^{n} = θ^{n} + ρ^{n}, θ^{n} = u_{h}^{n} - \tilde{u}^{n}, ρ^{n} = \tilde{u}^{n} - u^{n}, n = 1, 2, \dots, Ν - 1$ ,

则误差方程 (2.16) 式可改写为

(∂ $_{t t}^{2}$ θnvh) +a* (∂tθn, vh) +a* (θn, vh) =- (∂ $_{t t}^{2}$ ρn, vh) +

(u $_{t t}^{n}$ -∂ $_{t t}^{2}$ un, vh) +a* (ρ $_{t}^{n}$ -∂tρn, vh) +a* (u $_{t}^{n}$ -∂tun, vh) + (f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tu $_{h}^{n}$ -f (un) u $_{t}^{n}$ , vh) + (g (u $_{h}^{n}$ ) -g (un) , vh) , ∀vh∈Vh (2.17)

在误差方程 (2.17) 式中取vh=∏*h∂tθn, 则对任意n=1, 2, …, N-1有

(∂ $_{t t}^{2}$ θn, ∏*h∂tθn) +a* (∂tθn, ∏*h∂tθn) +a* (θn, ∏*h∂tθn) =- (∂ $_{t t}^{2}$ ρn, ∏*h∂tθn) + (u $_{t t}^{n}$ -∂ $_{t t}^{2}$ un, ∏*h∂tθn) +a* (ρ $_{t}^{n}$ -∂tρn, ∏*h∂tθn) +a* (u $_{t}^{n}$ -∂tun, ∏*h∂tθn) + (f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tun-f (un) u $_{t}^{n}$ , ∏ $_{h}^{n *}$ ∂tθn) +

(g (unh) -g (un) , ∏*h∂tθn) (2.18)

$(\partial_{t t}^{2} θ^{n}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) = \frac{1}{τ} (\partial_{t} θ^{n} - \partial_{t} θ^{n - 1}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) \geq \frac{1}{2 τ} {| ∥ \partial_{t} θ^{n} ∥ |_{0}^{2} - | ∥ \partial_{t} θ^{n - 1} ∥ |_{0}^{2}} (2.19)$

a* (∂tθn, ∏*h∂tθn) =|∂tθn| $_{1}^{2}$ (2.20)

利用积分型余项的Taylor公式得

$\partial_{t t}^{2} ρ^{n} = \frac{1}{τ^{2}}$ ∫ $_{t_{n - 1}}^{t_{n + 1}}$

$\begin{array}{l} (τ - | t_{n} - s |) ρ_{t t} (s) d s, \\ \partial_{t t}^{2} u^{n} - u_{t t}^{n} = \frac{1}{6 τ^{2}} \end{array}$

(∫ $_{t_{n}}^{t_{n + 1}}$ (tn+1-s) 3utttt (s) ds+

∫ $_{t_{n}}^{t_{n - 1}}$ (tn-1-s) 3utttt (s) ds) ,

$\partial_{t} u^{n} - u_{t}^{n} = \frac{1}{τ}$ ∫ $_{t_{n}}^{t_{n + 1}}$ (tn+1-s) utt (s) d (s) ,

$\partial_{t} ρ^{n} - ρ_{t}^{n} = \frac{1}{τ}$ ∫ $_{t_{n}}^{t_{n + 1}}$ (tn+1-s) ρtt (s) d (s) 。

注意到‖π*h∂tθn‖≤c‖∂tθn‖, 则有

(∂ $_{t t}^{2}$ ρn, ∏*h∂tθn) ≤‖∂ $_{t t}^{2}$ ρn‖‖∏*h∂tθn‖≤

cτ-1∫ $_{t_{n - 1}}^{t_{n + 1}}$ ‖ρtt‖2dt+ε‖∂tθn‖2 (2.21)

(u $_{t t}^{n}$ -∂ $_{t t}^{2}$ un, ∏*h∂tθn) ≤‖u $_{t t}^{n}$ ∂ $_{t t}^{2}$ un‖‖∏*h∂tθn‖≤cτ3∫ $_{t_{n - 1}}^{t_{n + 1}}$ ‖utttt‖2dt+

ε‖∂tθn‖2 (2.22)

由文献[4]知a* (u, ∏*hv) $\leq 2 (| u |_{1}^{2} + h^{2} | u |_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} \times | v |_{1}$ , 则

$\begin{array}{l} a^{*} (u_{t}^{n} - \partial_{t} u^{n}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) \leq 2 (| u_{t}^{n} - \partial_{t} u^{n} |_{1}^{2} + h^{2} | u_{t}^{n} - \\ \partial_{t} u^{n} |_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} | \partial_{t} θ^{n} |_{1} \leq \\ c τ \int_{t_{n}}^{t_{n + 1}} (| u_{t t} |_{1}^{2} + h^{2} | u_{t t} |_{2}^{2}) d t + \\ ε | \partial_{t} θ^{n} |_{1}^{2} (2.23) \\ a^{*} (ρ_{t}^{n} - \partial_{t} ρ^{n}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) \leq c τ \int_{t_{n}}^{t_{n + 1}} (| ρ_{t t} |_{1}^{2} + h^{2} | ρ_{t t} |_{2}^{2}) d t + \\ ε | \partial_{t} θ^{n} |_{1}^{2} (2.24) \end{array}$

由假设 (H1) 知

(f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tu $_{h}^{n}$ -f (un) u $_{t}^{n}$ , ∏*h∂tθn) ≤c‖f (u $_{h}^{n}$ ) ∂tu $_{h}^{n}$ -f (unh) u $_{t}^{n}$ +f (u $_{h}^{n}$ ) u $_{t}^{n}$ -f (un) u $_{t}^{n}$ ‖2+ε‖∂tθn‖2≤c‖∂tθn‖2+c‖∂tρn‖2+cτ∫ $_{t_{n}}^{t_{_{n + 1}}}$ ‖utt‖2dt+c (‖θn‖2+

‖ρn‖2) (2.25)

(g (u $_{h}^{n}$ ) -g (un) , ∏*h∂tθn) ≤c‖u $_{h}^{n}$ -un‖2+ε‖∂tθn‖2≤ε‖∂tθn‖2+c (‖θn‖2+‖ρn‖2) (2.26)

将 (2.19) 式— (2.26) 式代入 (2.18) 式并利用引理2.4得

$\frac{1}{2 τ} {| ∥ \partial_{t} θ^{n} ∥ |_{0}^{2} - | ∥ \partial_{t} θ^{n - 1} ∥ |_{0}^{2}} + | \partial_{t} θ^{n} |_{1}^{2} + a^{*} (θ^{n}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{n}) \leq c ∥ \partial_{t} θ^{n} ∥^{2} + c ∥ θ^{n} ∥^{2} + c (τ^{4} + τ^{2} h^{2} + τ^{2} + h^{4})$ 。

上式两端同时乘以τ并对n从1到n求和则有

$c | ∥ \partial_{t} θ^{n} ∥ |_{0}^{2} + c τ \sum_{i = 1}^{n}$ $| \partial_{t} θ^{i} |_{1}^{2} + c τ \sum_{i = 1}^{n} a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{i}) \leq c | ∥ \partial_{t} θ^{0} ∥ |_{0}^{2} + c τ \sum_{i = 1}^{n}$ (‖∂tθi‖2+‖θi‖2) +

c (τ2+h4) (2.27)

对∀vh∈Vh, 因vh= $\sum_{i = 1}^{r - 1}$ vhiψi (x) 且vh0=vhr=0, 所以

a* (u, vh) = $\sum_{i = 1}^{r - 1}$ $v_{h i} (u_{x} (x_{i - \frac{1}{2}}) - u_{x} (x_{i + \frac{1}{2}})) =$

$\sum_{i = 1}^{r}$ $u_{x} (x_{i - \frac{1}{2}}) (v_{h i} - v_{h i - 1})$ 。

若记θi (xj) =θ $_{j}^{i}$ , 则 $\prod_{h}^{*} θ^{i} = \sum_{j = 1}^{r - 1} θ_{j}^{i} ψ_{i} (x) \in V_{h}$ 。因而有

$a^{*} (θ^{m}, \prod_{h}^{*} θ^{i}) = \sum_{j = 1}^{r} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) θ_{x}^{m} (x_{j - \frac{1}{2}})$ 。

则

$\sum_{i = 1}^{n} a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} θ^{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) θ_{x}^{i} (x_{j - \frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) (θ_{x}^{i + 1} (x_{j - \frac{1}{2}}) + θ_{x}^{i} (x_{j - \frac{1}{2}})) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} \frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) (θ_{j}^{i + 1} - θ_{j - 1}^{i + 1} + θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i})$ 。

$τ \sum_{i = 1}^{n} a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} \partial_{t} θ^{i}) = \sum_{i = 1}^{n} {a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} θ^{i + 1}) - a^{*} (θ^{i}, \prod_{h}^{*} θ^{i})} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} \frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{i + 1} - θ_{j - 1}^{i + 1}) (θ_{j}^{j + 1} - θ_{j - 1}^{j + 1} + θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{r} \frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) (θ_{j}^{i + 1} - θ_{j - 1}^{i + 1} + θ_{j}^{i} - θ_{j - 1}^{i}) = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{r} \frac{1}{h_{j}} [(θ_{j}^{n + 1} - θ_{j - 1}^{n + 1})^{2} - (θ_{j}^{1} - θ_{j - 1}^{1})^{2}] (2.28)$

将 (2.28) 式代入 (2.27) 式得

c|‖∂tθn‖| $_{0}^{2}$ +cτ $\sum_{i = 1}^{n}$ |∂tθi| $_{1}^{2}$ +c $\sum_{j = 1}^{r}$ $\frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{n + 1} - θ_{j - 1}^{n + 1})^{2} \leq c | ∥ \partial_{t} θ^{0} ∥ |_{0}^{2} + c$ $\sum_{j = 1}^{r}$ $\frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{1} - θ_{j - 1}^{1})^{2} +$

cτ $\sum_{i = 1}^{n}$ (‖∂tθi‖2+‖θi‖2) +c (τ2+h4) (2.29)

注意到引理2.1, 则有

c1 (‖∂tθn‖2+|θn+1| $_{1}^{2}$ ) ≤c|‖∂tθn‖| $_{0}^{2}$ +

c $\sum_{j = 1}^{r}$ $\frac{1}{h_{j}} (θ_{j}^{n + 1} - θ_{j - 1}^{n + 1})^{2} \leq c_{2} (∥ \partial_{t} θ^{0} ∥^{2} + | θ^{1} |_{1}^{2} + τ^{2} + h^{4} + τ$ $\sum_{i = 1}^{n}$ ‖∂tθi‖2+τ $\sum_{i = 1}^{n}$ |θi| $_{1}^{2}$ ) 。

若假设 (H1) , (H2) , (H3) 成立, 易证当h充分小时有|θ1|1≤c (h2+τ3) , ‖∂tθ0‖≤c (h2+τ2) 。取τ充分小, 使c2τ<c1时, 有

‖∂tθn‖2+|θn+1| $_{1}^{2}$ ≤c (τ2+h4) +cτ $\sum_{i = 1}^{n}$ ‖∂tθi‖2+

cτ $\sum_{i = 1}^{n}$ |θi| $_{1}^{2}$ 。

应用离散的Gronwall不等式有

‖∂tθn‖2+|θn+1| $_{1}^{2}$ ≤c (τ2+h4) ;n=0, 1, 2, …, N-1 (2.30)

再由三角不等式和 (2.30) 式即可得定理的结论。

参考文献

[1]张志跃.几类非线性发展方程的理论及数值分析.山东大学, 博士论文, 济南:2001

[2]于顺霞, 双曲方程的H1-Galerkin混合元方法及其数值分析.山东师范大学, 硕士论文, 济南:2007

[3]李荣华, 陈仲英.微分方程广义差分方法.长春:吉林大学出版社, 1994

悬索桥几何非线性分析方法篇4

悬索桥几何非线性分析方法

简述了悬索桥的组成,分析了悬索桥几何非线性分析的基本原理,详细介绍了悬索桥几何非线性分析的基本方法,包括增量法、迭代法和混合法,以提高人们对悬索桥结构特性的`认识,积累悬索桥设计的经验.

作者：周银亮 ZHOU Yin-liang 作者单位：北京城建道桥工程有限公司,北京,100022刊名：山西建筑英文刊名：SHANXI ARCHITECTURE年，卷(期)：35(13)分类号：U448.25关键词：悬索桥几何非线性基本原理方法

非线性有限元法浅谈篇5

关键词：有限元法,非线性,钢筋混凝土

1 有限元法的产生

许多新技术的产生都是顺应时代的迫切需要。自20世纪40年代起, 航空工业快速发展, 飞机结构愈发复杂, 对飞机结构设计、强度分析等提出了更高的要求, 设计的精确化以及结构分析、计算的复杂化成为亟待解决的难题。正是在这一背景下, 有限元分析的方法逐渐形成并发展起来[1]。

1943年R.Courant[2]关于变分法与静平衡以及振动问题解法发表论文。文中, 三角形区域的多项式被用于求解扭转问题的近似解, 这也许是与有限元相关的第一篇论文。然而, 由于电子计算机尚未问世, 该方法只被认为是一种有意义的理论尝试, 并未得到广泛的重视。1956年, M.J.Turner与R.W.Clough等[3]合作者将钢架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题, 用于解决飞机机翼的强度计算问题。这被公认为工程界使用有限单元法解决实际问题的开端。1960年, Clough首先将解决弹性力学平面问题的方法称为“有限单元法” (Finite Element Method) , 从此有限元的名称被确认下来。几乎与此同时, 我国数学家冯康在研究大型椭圆方程计算若干问题的过程中, 独立于西方提出了有限单元法, 并且建立了有限元的数学基础[4]。时至今日, 有限单元法及其相关的数值计算方法迅速地发展起来, 并广泛地应用于力学、土木、海洋工程以及航空航天等诸多关乎国计民生的领域, 内容涉及线性、非线性以及多场耦合等各种问题, 成为分析大型、复杂工程结构的强有力手段。并且伴随着电子计算机的不断发展, 有限单元法所能处理的实际问题规模不断扩大, 能够处理的实际问题也不断多样化, 有限单元法与计算机相结合, 互相促进, 是有限元法取得成功的关键。

2 有限元领域的著作

有限单元法的产生和不断发展, 也促进了与有限元相关的理论的研究, 特别是非线性有限元领域, 相关研究的专题文章及著作层出不穷[5], 多方面、多角度地推进了人们对非线性有限元的认识, 推动了非线性有限元理论的发展。在这些专著中, Argyris (1965) , 以及Marcal和King (1967) 是最早的一批贡献者。在专门论述非线性有限元书籍中比较有影响的包括Oden (1972) , Crisfield (1991) , Kleiber (1989) 和Zhong (1993) 等的专著。这些著作中, Oden的论著是有关固体和结构非线性有限元分析的先驱性研究成果。在近期的专著中, Simo和Hughes (1998) , Bonet和Wood (1997) , Belytschko, Liu和Moran (2000) 等的书籍相对经典。还有一些论著也对非线性有限元分析做出了杰出的贡献, 例如Belytschko和Hughes (1983) , Zienkiewicz和Taylor (1991) , Bathe (1996) , 以及Cook, Malkus和Plesha (1989) 等的相关书籍。这些书籍, 对于深化理解非线性有限元的理论, 以及更好的将非线性有限元应用于工程实际问题大有裨益。

3 有限元领域的软件

非线性有限元分析计算量巨大, 一般很难由人工来完成, 计算机程序恰好适合完成这种简单而工作量巨大的工作。早在1963年, E.L.Wilson和R.W.Clough便合作开发了SMIS (Symbolic Matrix Interpretive System) , 其目的是为了弥补在传统手工计算方法和结构分析矩阵法之间的隔阂, 使有限元可以处理较大规模问题;1969年, E.L.Wilson开发了著名的SAP (Structural analysis program) 软件, 而非线性程序则为NONSAP, 它具有隐式积分进行平衡求解和瞬态问题求解的功能。

在有限元程序出现的同时, 商业有限元软件开始诞生。美国Brown大学的Pedro Marcal教授, 使第一个非线性商业有限元程序MARC进入市场。大约在同期, John Swanson为了核能应用发展了ANSYS软件, ANSYS主要关注的是非线性材料问题。David Hibbitt, Bengt Karlsson和Paul Sorenson于1978年共同推出了Abaqus软件, 该程序能够增加用户单元和材料模型, 它对软件行业带来了实质性的冲击。

除此之外, 还有一位对有限元软件作出重大贡献的是Klaus J.Bathe。1975年在MIT任教的Bathe博士在NONSAP的基础上开发了著名的非线性求解器ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis) , 而在1986年ADINA R&D Inc成立以前, ADINA软件的源代码是公开的, 即著名的ADINA81版和ADINA84版本的fortran源程序, 随后的很多有限元软件都是根据这个源程序所开发的。

在CAE的历史另一个不得不提的程序系统是显式有限元程序DYNA。DYNA程序由当时隶属于美国Lawrence Livermore国家实验室的John Hallquist编译并开发。在现在我们熟知的众多软件中, 都可以发现DYNA的踪迹, 因此LS-DYNA系列也被公认为显式有限元程序的鼻祖。在20世纪80年代, DYNA程序首先被法国ESI公司商业化, 命名为PAM-CRASH。1988年, John Hallquist自己发行和扩展了DYNA程序商业化版本LS-DYNA。同样在1988年, MSC在DYNA3D的框架下开发了MSC.Dyna软件, 并于1990年发布第一个版本, 随后于1993年发布了著名的MSC.Dytran。另外, ANSYS收购了Century Dynamics公司, 把该公司以DYNA程序开发的高速瞬态动力分析软件AU-TODYN纳入到ANSYS的分析体系中。并且在1996年, ANSYS与LSCT公司合作推出了ANSYS/LS-DYNA。

随着有限元技术的日趋成熟, 市场上不断有新的公司成立并推出CAE软件, 同时还有多家专业性软件公司投入专业CAE程序的开发。由此, CAE的分析逐渐地扩展到声学、热传导以及流体等更多的领域。

4 钢筋混凝土非线性有限元

1967年, 美国学者A.C.Scordelis与D.Ngo在他们关于钢筋混凝土的论文中第一次比较系统地应用非线性有限元方法。他们的研究主要是基于线弹性理论, 根据实验观测的结果, 预先在混凝土梁中设置了裂缝, 并且用无几何尺寸的弹簧来模拟钢筋和混凝土之间的粘结关系。这一研究获得了很大成功。此后, 许多学者在这一领域进行研究, 发表了大量的科研成果。1968年, Nilsson引入了非线性粘结关系和混凝土自身的非线性应力应变关系, 并且在开裂后重新进行了网格划分。1970年, Franklin首先引入“弥散裂缝”的方法, 此法使得钢筋混凝土有限元分析可以切实地应用于实际工程, 时至今日该方法仍有广泛的应用。不久以后, Pecknold和Darwin提出了正交各向异性的本构关系, 并用于剪力墙在反复荷载下的反应分析。1982年, 美国土木工程师学会混凝土与圬工结构分会组织大量学者编写了关于“钢筋混凝土有限元分析”的技术现状报告, 对1982年以前的研究成果作了一次大总结。至此以后, 各国学者对混凝土本构关系模型、有限元分析技术、裂缝处理等方面的研究均取得了很大的进展[6~10]。

目前, 除了在混凝土本构关系的表达和试验方面仍在进行更为深入的研究, 混凝土结构非线性有限元分析则进一步转向实用方向, 努力把现有的分析方法与工程设计结合起来。在这种情况下, 研究的领域也进一步扩展到动力、冲击荷载下的非线性分析。高强混凝土和受约束混凝土结构的非线性有限元分析也受到了重视;材料非线性、几何非线性以及与施工进程和环境因素相关的综合考虑也融入了混凝土结构的有限元分析中;在混凝土结构中, 与时间因素有关的效应, 例如荷载、预应力、环境条件、徐变、收缩、老化、热效应和预应力筋的松弛等, 也逐渐在混凝土结构有限元分析中加以考虑。

5 有限元的发展趋势

5.1 单一场计算向多物理耦合场问题的求解发展

有限元分析技术在其发展的初期主要用于求解线性的结构问题。但由于火电、风电、核电等领域的极端性、复杂性、多场耦合特性等特点, 结构非线性、流体动力学和耦合场问题的应用迫在眉睫, 如汽轮机叶片、风机桨叶的流体动力学问题、流固耦合问题, 重型装备产品热加工过程的热、结构、电磁多场耦合的问题。随着有限元技术在应用领域的深入, 需要处理的工程问题也越来越复杂, 多场耦合的数值仿真必定成为有限元软件开发的发展方向。

5.2 由求解线性问题发展到求解非线性问题

随着科学技术的发展, 线性理论已经远远不能满足设计的要求, 许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论不能得到妥善解决, 必须进行非线性分析求解。例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变 (几何非线性) 和塑性 (材料非线性) ;对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析在涉及材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。

5.3 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能

早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的逐步完善, 尤其是计算机运算速度的飞速发展, 整个计算系统用于求解运算的时间越来越少, 而数据准备和运算结果的处理问题却日益突出。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。

5.4 与CAD/CAM等软件的无缝结合

当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用, 即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后, 自动生成有限元网格并进行计算。如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算, 直到满意为止, 从而极大地提高了设计水平和效率[11]。

5.5 提高自动化的网格处理能力

应用有限元技术求解问题过程中, 产品几何模型离散后的有限元网格质量直接影响着计算量的大小和分析结果的正确性。各软件公司在网格处理方面的投入也在加大, 划分网格的效率和质量都有所提高。但在实际工业生产中, 尤其是专业领域复杂产品的分析中还存在问题, 如网格划分的自动化、网格质量检查的标准化等。要想摆脱产品分析中繁重的网格处理任务, 就必须突破自动六面体网格划分功能的技术瓶颈, 实现可循环的网格自动优化功能。

5.6 软件面向专业用户的开放性

有限元软件应用的技术领域多, 用户需求各不相同, 因此开放的软件环境对用户而言至关重要, 用户可根据企业产品的特点对软件进行二次开发, 实现单元属性、材料参数、复杂边界、疲劳寿命规律的自定义和产品专家系统的自开发[12]。

5.7 软件开发的强强联合

根据有限元软件在各行业的应用情况, 有限元软件之间的强强联合必将更加有效地推进有限元技术的应用, 随着数值模拟软件的商业化和软件公司开发方向的专业化, 各数值模拟软件公司将会出现强强联合的局面, 以解决复杂装备产品的设计制造难题。

6 结语

非线性有限元的应用和发展将有限元发展推动到更高层次的虚拟工程与科学应用领域, 并已经成为其重要的组成部分。可以预见在不久的将来, 随着现代力学、计算数学和计算机技术等学科的发展, 有限单元法作为一有效的数值分析工具, 将在国民经济建设和科学技术发展中发挥更大的作用。[ID:000995]

参考文献

[1]曾攀.有限元基础教程[M].北京:高等教育出版社, 2009.

[2]Courant R.Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations[J].Bull.Amer.Math.Soc, 1943, 49 (1) :1

[3]Turner M J.Stiffness and deflection analysis of complex structures[J].Journal of the Aeronautical Sciences (Institute of the Aeronautical Sciences) , 2012, 23 (9) .

[4]冯康.基于变分原理的差分格式[J].应用数学与计算数学, 1965, 2 (4) :238-262.

[5]庄茁, 由小川, 廖剑辉, 等.基于ABAQUS的有限元分析和应用[M].北京:清华大学出版社, 2009.

[6]江见鲸, 陆新征, 叶列平.混凝土结构有限元分析[M].北京:清华大学出版社, 2005.

[7]童育强.混凝土结构非线性有限元分析及软件设计[D].成都:西南交通大学, 2004.

[8]凌广.钢筋混凝土的三维非线性有限元分析[D].成都:西南交通大学, 2003.

[9]李博宁.面向对象的钢筋混凝土结构非线性有限元分析[D].大连:大连理工大学, 2003.

[10]郭乙木, 陶伟明, 庄茁.线性与非线性有限元及其应用[M].北京:机械工业出版社, 2004.

[11]刘英魁.有限元分析的发展趋势[J].中国新技术新产品, 2009, 17 (6) .

非线性有限元方法篇6

1 锚喷支护机理

对于柔性的支护结构, 其承载变形分成2个阶段。第1阶段为柔性充填层的压缩变形, 支护相对于充填层为刚性, 因而使得整个支护结构在围岩变形初期主要为充填层的压缩变形, 支护阻力较小。第2阶段为厚壁筒支护 (大刚度) 变形, 由于充填层的压实, 支护阻力逐步提高, 直至达到一定值时, 支护阻力急增, 围岩变形受到有力阻止。支护力学特性曲线如图1所示。

“收敛-约束法”[1]清楚地描绘了隧道地层-衬砌复合体的物理性态, 地层趋向中间变形而衬砌用离心力来抵制这种收敛, 这就是地层的约束压力, 即认为隧道支护体系是由支护结构和周围岩体结构构成的共同承载体系, 且围岩是主要的承载单元。

2 影响因素

隧道开挖后逐步稳定的过程, 就是开挖后第1阶段“压缩能”逐渐释放的过程, 但对“压缩能”的释放, 要求有效控制。在支护开始前和支护中已有部分“能”释放, 由于采用喷混凝土和钢支撑形成柔性支护, 还可使残余的“能”缓缓释放一部分, 而不致引起明显的损伤。开挖前岩体中存储的应变能, 随着开挖的进行可以分为3部分, 第1部分在开挖过程中耗散掉了, 另外两部分由于支护和衬砌的相互作用, 一部分储存在了围岩中, 一部分由衬砌变形而储存在了衬砌中, 关系如下:

式中:UT为开挖前岩体中存储的应变能, UH为开挖过程中以其它形式耗散的应变能, UR为开挖后岩体中的应变能;US为支护结构中的应变能。

在各种能量的相互转换过程中, 以其它能释放的量值相比来说可以忽略。因此:

式中:UL为开挖释放能;UA为支护受力吸收能。

从上式可得:支护的受力状态与支护刚度、岩体的动态特性以及变形情况密切相关, 其本身就是一个动态平衡, 是各因素相互影响作用的结果。

3 数值实现方法

随着地应力逐步释放、岩体暴露以及施工过程的影响, 岩体的强度会受到一定程度的损伤。因此, 在开挖过程中围岩的强度不是一成不变的, 而是一个动态的过程。在传统的开挖模拟过程中, 并没有考虑到岩体弱化的性质, 计算支护受力状况变化过程也是片面的。因此, 在本文计算过程中引入损伤因子对开挖边界一定范围内的岩体进行弱化, 以模拟在开挖过程中岩体性质的这种动态变化。

损伤是指材料在达到破坏之前, 其力学性能逐渐劣化的过程[2]。因此, 岩体材料处于塑性流变阶段时, 其弹性模量是动态变化的, 因此引入损伤因子D对岩体弹模进行弱化处理:

式中:ES为弱化后的岩体弹模;E0为岩体原始弹模;σ0为未开挖前单元的vonmises等效应力;σS为开挖后单元的等效应力, m为与岩体均匀性有关的weibull参数, 由于在此假定岩体是均匀的, 令m=1, 则:

开挖过程中, 除岩体性质改变对支护和岩体受力特性密切相关以外, 开挖面的空间效应也是主要的影响因素。为模拟开挖面的空间效应采用虚拟支撑力法, 该方法的特点是能很好地模拟开挖面在水平和垂直两个方向上空间约束效应的不同, 并能较方便地与二维弹塑性介质模型相藕合。这时, 为了模拟开挖面向前推进的过程, 仅需按增量加载的方式, 以连续改变作用在隧洞壁面上反映开挖面空间效应的“虚拟”支撑力的大小即可。

4 工程实例

宜昌至长阳公路女娘山隧道, 位于湖北省宜昌境内, 为上、下行分离的隧道, 开挖跨度11.56~12.42 m。隧道区基本上基岩出露, 山体表面薄层残坡积物, 局部沟谷位置有较厚的冲洪积堆积。选择桩号YK14+90.2断面进行开挖模拟, 开挖过程为上下台阶法。初期支护选择梁单元, 选择实体单元模拟二衬, 锚杆选择梁单元, 围岩选择实体单元。

在女娘山隧道施工过程中, 复合支护采用下述方案:初期支护采用喷混凝土, 参数C25、厚度22 cm;系统锚杆, 参数Φ22、长度300 cm, 并敷设钢筋网;二衬采用C25防水钢筋砼, 厚40 cm。

4.1 开挖过程模拟

为模拟其开挖过程, 采用FLAC进行数值分析, 有限元模型网格划分如图2所示, 计算采用上下台阶法开挖。先开挖上台阶进行初期支护;后开挖下台阶进行初期支护。[3]

相应, 计算过程分为3步, 第1步形成初始应力场, 第2步进行上台阶开挖, 第3步进行下台阶开挖。收敛以最大不平衡力进行控制, 当不平衡力减小到允许值后, 可以认为位移与应力分别趋向稳定常数。图3分别显示了3个阶段中最大不平衡力随时步增加的变化规律。从图3可以看出在3个阶段中, 随着计算时步增加, 最大不平衡力在初始阶段快速减小, 循环计算约1 000时步后减小幅度变小;计算2 000时步后, 最大不平衡力最终趋于容许范围内。

图4为预测的隧道下台阶开挖后围岩位移分布规律。预测的Y方向最大位移发生在隧道拱顶和底拱, 达到6 mm。在拱肩部位形成一个向围岩内部发展X方向位移较大区域, X方向最大位移发生在拱脚部位, 变形量达到9.5 mm。因为用连续体模型模拟岩体不可能完全模拟出岩石中局部的变形模式, 在隧道中实际量测的位移可局部超过预测值。设计过程中也不应把预测位移作为隧道收敛的绝对估计值, 而是看所加支护是否可以把位移限制到相对较小水平。

上台阶和下台阶开挖后主应力曲线图分别如图5、图6所示。从图6中观测出在拱脚和45°拱腰处, 发生应力集中现象。由于隧道开挖引起围岩应力重分布, 使隧道周边切向应力大于径向应力。在隧道上开挖阶段最大主应力压应力从0.15 MPa发展到0.6 MPa, 拉应力从0.1 MPa发展到0.15 MPa。在下台阶开挖后, 主拉应力基本稳定不变, 而压应力基本稳定到0.17 MPa。因用于模拟岩体的基本模型是理想弹塑性模型, 支护压力随拱顶位移增加而连续减小。对浅埋段软弱围岩来讲, 既要允许初期支护和围岩共同组成的承载体系发生一定量的变形, 这样可减少需提供的支护压力, 但又不能让其产生过大的变形, 导致隧道失稳。

4.2 现场监控量测结果

4.2.1 围岩收敛

从图7位移时间特性曲线可以看出, 随时间增长位移迅速加大, 速率逐渐减低, 当达到一定时间关系后, 位移趋向稳定。从位移曲线分析, 变形大体经历3个阶段:增长和急剧增长阶段, 在开挖初期, 围岩从原始应力调整进入二次应力状态, 围岩位移相对变化显著, 其持续时间大约为20 d, 此阶段的变形量约占总变形量的75%左右;缓慢增长阶段, 监测20 d后即工作面距监测断面60 d时, 围岩的大部分应力已经释放, 围岩的大部分位移已发生, 持续时间为20 d, 以后开始趋向稳定阶段。至缓慢增长变形阶段结束, 变形已释放90%以上, 基本上处于稳定状态。这与不平衡力的收敛过程相吻合。同时, 稳定后的X方向收敛在7 mm左右, 比预测值稍小[4]。

4.2.2 拱顶位移

拱顶位移通过三角计算监测拱顶位移, 通过对拱顶位移监测结果的数据拟合, 可知监测曲线符合指数规律。从拟合曲线知, 拱顶位移同样分为3个阶段, 在开挖初期, 拱顶位移变化处于急剧增长阶段, 同时变形速率增大, 可知此时围岩尚不稳定。随着时间的增长 (时间因素) , 拱顶位移逐渐进入缓增长阶段, 此时已完成总位移的75%以上。此后由于围岩蠕变, 围岩进入基本稳定状态。进入稳定后, 拱顶位移稳定在9 mm左右, 而预测值为6 mm, 分析可能是因为在计算过程中未能考虑岩体局部弱化, 如图8所示。

4.2.3 围岩压力[5]

此监测断面采用台阶法施工。但由于施工影响, 未能在上台阶开挖后立即进行断面布设。由于上下台阶距相对较小, 从监测结果仍可以反映围岩压力的变化规律。从监测结果 (如图9所示) 可以看出, 在下断面开挖后, 围岩压力迅速增大, 在监测后20 d围岩压力逐渐进入平稳变化状态。围岩压力稳定后, 左侧压力在0.16 MPa, 右侧压力稳定在0.08 MPa。这与稳定后的主应力值基本吻合。

5 结论

(1) 从数值分析和监测数据的比对可以发现, 在开挖过程中有必要对围岩参数进行动态弱化, 更能符合实际情况。

(2) 从开挖到围岩重新稳定, 围岩变形和应力遵循急剧变化、缓慢变化、稳定阶段的过程。因此初期支护要及时封闭围岩、加固和支护围岩, 使其在变形过程中逐渐达到稳定。

(3) 女娘山隧道的工程实践表明, 数值分析可以指导施工监测, 现场监测可以了解地层动态变化和支护受力状态, 这对不断完善、修改和变更设计, 预报险情, 指导掘进和支护作业, 具有重要意义。

(4) 在应力调整的过程中, 岩体强度呈动态变化, 本文在计算过程中引入损伤因子动态改变岩体强度, 显著提高了计算结果的准确性, 特别是在变形较为严重的地下隧道地段尤为明显, 对工程设计及施工具有一定的指导意义。

参考文献

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双肢剪力墙非线性有限元分析篇7

1 模型信息

1. 1 模型及材料属性

本文在ANSYS中分别建立两端为一字形墙和两端为T字形墙的双肢剪力墙的模型。图1 与图2 分别为ANSYS中的混凝土与钢筋模型, 为其中模型2 是在模型1 的墙肢端部增加了小段翼墙得到的。两个模型均按照《高层建筑混凝土结构技术规程》JGJ3 - 2010[3]的要求配置钢筋。混凝土采用SOLID65 单元, 加载垫块采用SOLID45 单元, 钢筋采用LINK8 单元。混凝土等级为C35, 采用《混凝土结构设计规范》 ( GB50010 - 2010) [4]附录C中的本构关系。混凝土采用William -Warnke曲线五参数破坏曲面。连梁部分的混凝土裂缝张开时的剪力传递系数取0. 25, 裂缝闭合时的剪力传递系数取0. 9。墙身部分的混凝土裂缝张开时的剪力传递系数取0. 125, 裂缝闭合时的剪力传递系数取0. 9[5]。钢筋均采用HPB300, 钢筋采用理想弹塑性本构关系, 屈服强度为270MPa。

1. 2 加载

模型加载分两大步: 第一步在剪力墙顶部施加竖向荷载使得墙肢轴压比为0. 6 接近剪力墙工作中的轴压比; 第二步在加载垫块上施加水平位移直至结构破坏。加载时采用位移来控制收敛, 收敛容差取5% 。计算时设置200 个子步, 最小子步取100, 打开自动子步开关。

2 结果分析

2. 1 底部剪力—顶部位移曲线

图3 为底部剪力—顶部位移曲线, 该曲线斜率即为结构刚度。如图所示T字形双肢剪力墙的曲线斜率比一字形双肢剪力墙的大, 说明T字形双肢剪力墙刚度较大。一字形双肢剪力墙抗剪承载力极限值为517KN, T字形双肢剪力墙抗剪承载力极限值为667KN, 由此可见在一字形双肢墙端部增设翼墙能大大的提高结构抗剪承载力。

2. 2 混凝土的Mises等效应力

图4 为两个模型达到极限状态时的混凝土Mises等效应力云图, 图中颜色越深表示应力越大。由图可见一字形双肢剪力墙达到极限状态时, 连梁正常工作, 而右侧受压墙肢的右下角混凝土被压碎退出工作。T字形双肢剪力墙达到极限状态时, 墙肢正常工作, 二层连梁沿其对角线方向的混凝土被压碎退出工作。由此可见T字形双肢剪力墙破坏形式好于一字形双肢剪力墙, 但是其破坏形态也不理想, 连梁发生了剪切型的脆性破坏。

2. 3 钢筋应力

通过查询LINK8 单元的内力发现: 一字形双肢剪力墙中, 仅仅有左墙肢约束边缘构件中的受拉钢筋屈服; T字形双肢墙中所有钢筋包括连梁箍筋均未屈服。根据钢筋应力屈服及混凝土被压碎的情况, 可知两个模型均发生脆性破坏。

3 结论

根据以上分析, 本文提出几点建议供结构设计人员参考: ( 1) 一字形剪力墙不仅平面外抗震性能差, 平面内抗震性能也较差, 在结构设计中尽量避免采用。如果建筑专业允许只要一字墙端部增设一小段翼墙, 其抗剪承载力也会大大提高; ( 2) 与较短的一字墙相连的连梁截面不宜过高, 以免在罕遇地震作用下墙肢先发生破坏; ( 3) 普通配筋形式的小跨高比连梁很难满足抗剪要求, 应配置对角钢筋或者交叉暗撑。

摘要：本文采用ANSYS有限元软件分别对两端为一字形墙和两端为T字形墙的双肢剪力墙进行了非线性有限元分析。得到了两种双肢墙的底部剪力—顶部位移曲线、混凝土的Mises等效应力、钢筋应力。通过分析计算结果总结出一些结论供结构设计人员参考。

关键词：双肢剪力墙,连梁,剪切型破坏,抗剪承载力

参考文献

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[2]董宏英, 曹万林, 胡国振, 等.不同连梁跨高比带暗支撑双肢剪力墙抗震性能试验研究[J].地震工程与工程振动, 2005, 25 (1) :92-96.

[3]JGJ—2010高层建筑混凝土结构技术规程[S].北京:中国建筑工业出版社, 2010.

[4]GB50010—2010混凝土结构设计规范[S].北京:中国建筑工业出版社, 2010.

气缸盖罩垫的非线性有限元分析篇8

关键词：内燃机,气缸盖罩垫,接触,密封性能,非线性有限元分析

0 概述

气缸盖罩垫是安置于气缸盖与气缸盖罩之间的橡胶密封垫, 其作用是防止窜气和从凸轮轴轴承飞溅出来的润滑油从气缸盖与气缸盖罩之间泄漏出去。当气缸罩垫失效时, 将直接影响发动机的性能和正常工作。由于橡胶密封件的设计涉及到固体力学、摩擦学、高分子材料科学、液体侵蚀以及机械制造工艺等多方面的理论知识[1], 因而橡胶密封件在安装和使用中的变形及密封面上接触应力的精确计算存在较大难度。随着计算机性能的提高, 接触问题新的求解方法的产生以及大型有限元软件的发展, 为橡胶密封件的使用状况进行模拟分析提供了可能性, 并已取得一些成果[2,3,4,5] 。

目前, 国内气缸盖罩垫的设计基本上是依赖一些经验数据和定性原则。对此, 本文利用大型非线性有限元分析软件MSC.MARC建立了I形和T形气缸罩垫的轴对称模型, 对其安装过程中的接触变形、接触面上的接触应力、接触应力分布、气缸盖罩垫对气缸盖罩的反作用力等进行了分析, 并对比分析了I形和T形气缸盖罩垫的使用性能, 为气缸盖罩垫的设计提供了一种新的途径。

1 气缸盖罩垫结构形式及特点

目前常见的气缸盖罩垫包括I形和T形气缸盖罩垫。I形气缸盖罩垫外形简单、便于加工, 适用于上表面较窄的气缸盖, 但装配过程耗时;T形气缸盖罩垫外形较复杂, 制造成本高, 但装配过程较省时, 同时采用线密封增强密封效果, 可以配合减振圈起到隔振效果[6]。T形气缸盖罩垫结构形式如图1所示。

2 气缸盖罩垫有限元分析流程

橡胶材料在外力作用下发生几何和物理双重非线性变形, 因此其力学性能的计算十分困难, 采用有限元分析法可以简化橡胶材料的力学性能。本文气缸盖罩垫有限元分析的流程如图2所示。

3 气缸盖罩垫有限元模型的建立

本文所计算的I形和T形气缸盖罩垫均由德国BRUSS密封技术有限公司生产, 其型号分别为HD 630/II及HD 474.5。气缸盖罩垫预装配在气缸盖罩的密封沟槽内, 之后通过加载螺栓力将密封垫压缩至装配位置。装配图如图3所示。

根据气缸盖罩垫的实际断面尺寸及相应的气缸盖罩沟槽尺寸, 首先在CATIA中建立几何图形, 然后将其导入MSC.Mentat中建立有限元网格模型, 如图4所示。采用自动网格划分, I形气缸盖罩垫模型共有948个节点, 884个单元;T形有800个节点, 726个单元。气缸盖与气缸盖罩简化为刚体固定边界。

对于橡胶类物理非线性材料, 可用Mooney-Rivlin模型来描述[7,8]。由于不同的橡胶材料特性相差很大, 同一种橡胶在不同环境下也有完全不同的特性, Mooney-Rivlin常数C01、C10通常需要通过材料的力学性能实测数据来确定[9,10,11]。

橡胶材料在与其他材料接触过程中, 由于橡胶形状发生变化, 因此接触面大小会发生非线性变化。通常情况下, 产生接触的两个物体必须满足无穿透约束条件[12], 即满足式 (1) :

ΔuA·n≤D (1)

式中, ΔuA为A点增量位移向量;n为单位法向量;D为接触容限。

若满足式 (1) , 则认为A点与刚体接触。本文采用直接约束法来求解气缸盖罩垫与气缸盖罩及气缸盖之间的接触问题。摩擦模型选择库仑摩擦[13]模型。

4 MARC计算结果及分析

本文主要分析装配状态 (室温) 下气缸盖罩垫的密封性能。评价气缸盖罩垫的密封性能主要有四个指标: (1) 气缸盖罩垫的变形量。气缸盖罩垫的变形量不能过大, 否则会导致气缸盖罩垫的破裂。在MARC的分析结果中可以根据等效应变量来判断气缸盖罩垫的变形量; (2) 气缸盖罩垫与密封面之间的接触应力 (密封压力) 。接触应力不宜过小, 否则会产生泄漏。在MARC的分析结果中可以根据法向柯西应力来判断气缸盖罩垫的接触应力; (3) 气缸盖罩垫对气缸盖罩的接触反力。接触反力不能过大, 否则不仅会造成气缸盖罩变形量过大, 还会导致压缩量过小而造成接触应力过小; (4) 气缸盖罩垫在密封面上的接触应力分布状况。接触应力分布应保证均匀, 否则会影响密封效果。

由于气缸盖罩垫高度及气缸盖罩沟槽深度存在尺寸误差, 气缸盖罩及气缸盖表面存在形状误差, 因此必须确保在最大压缩状态下, 气缸盖罩垫的变形量和气缸盖罩垫对气缸盖罩的反作用力不超过极限设计值, 而在最小压缩状态下, 气缸盖罩垫的密封压力不低于极限设计值。因此在考虑气缸盖罩垫高度和气缸盖罩沟槽深度的尺寸公差、气缸盖罩及气缸盖表面的形状公差、气缸盖罩在气缸盖罩垫反作用力下允许的最大变形量、高温和蠕变的影响后再根据经验值设定气缸盖罩垫装配后的标准压缩量及压缩率 (压缩量/高度) 。气缸盖罩垫的结构参数如表1所示。

4.1 变形量

装配状态下I形和T形气缸盖罩垫的等效应变如图5所示。两种密封垫的变形量分布是对称的。T形气缸盖罩垫的最大变形量为36.60 %, 比I形气缸盖罩垫的33.58 %稍大。此外, I形气缸盖罩垫的最大变形量位于密封接触面附近, T形气缸盖罩垫的最大变形量同样位于密封凸筋接触面附近。

从图6和图7所示的I形气缸盖罩垫中间对称轴上56个节点在压缩后的变形量分布图中可以看到, 上下接触面上的节点1和节点56的变形量最小, 为7.93 %;变形量沿对称轴向中间先快速增大, 在离节点1和节点56只有约1 mm的节点6和节点51处变形量达到最大, 为33.58 %;然后又逐渐减小, 中间节点变形量为17.92 %。此外通过进一步分析得到, 在不同压缩率条件下, I形气缸盖罩垫对称轴上节点变形量的分布也满足从上下接触面上节点开始, 向中间先快速增大, 然后再逐渐减小的规律 (图8) 。

BRUSS公司对产品进行的大量可靠性 (破坏性) 试验表明, 当变形量过大时, 绝大部分裂纹 (裂纹起始点为变形量最大的节点6) 出现在与气缸盖接触的那部分橡胶处, 说明该处橡胶在压缩后变形量较大, 可见理论分析与实际情况是相符的。

4.2 接触应力

压缩后I形和T形气缸盖罩垫的法向柯西应力分布如图9所示。由图9可以看出, I形气缸盖罩垫的最大接触应力为1.10 MPa;而T形气缸盖罩垫的最大接触应力为1.23 MPa。

I形气缸盖罩垫与气缸盖接触界面上的接触应力随压缩率的增大而增大, 如图10所示。刚开始接触时, 接触应力变化最大, 压缩率达到1 %时接触应力变化率减小, 当压缩率达到3 %时达到最小, 然后随着压缩率的增大, 接触应力以几乎恒定的变化率增大。由此可以判断, 当尺寸误差和形状误差导致气缸盖罩垫压缩量增大时, 气缸盖罩垫的接触应力不会产生突变, 气缸盖罩垫的应变量也不会急剧增加而导致密封垫破裂。

4.3 接触反力

I形和T形气缸盖罩垫的接触反力随压缩量的增加而不断增加。由图11可以看出, I形气缸盖罩垫的接触反力在压缩量为2 mm时达到1.72 N/mm;T形气缸盖罩垫的接触反力在压缩量为1.3 mm时达到1.74 N/mm。

4.4 接触应力分布

I形气缸盖罩垫接触面宽度上的接触应力分布规律如图12所示。接触应力呈抛物线形状, 在接触面中部接触应力最大, 向两侧逐渐减小。气缸盖罩垫的密封压力分布均匀, 此外, 在不同压缩率条件下的接触应力分布也是均匀的, 如图13所示。T形气缸盖罩垫由于结构尺寸的原因, 单个凸筋接触面宽度上的接触应力分布是不完全均匀的, 但两个凸筋接触面宽度上的接触应力分布相对于中间对称轴是镜像对称的, 如图14所示。

4.5 对比分析

通过分析两款气缸盖罩垫的四个密封性能指标可以看出, T形气缸盖罩垫在断面面积和压缩率均比I形气缸盖罩垫小的情况下, 由于结构上采用线密封, 使得其接触应力更大, 因而密封效果更好, 对气缸盖罩的反作用力与I形气缸盖罩垫的几乎相等, 但是在密封凸筋处的变形量稍大。

5 结论

(1) 采用非线性有限元分析方法对气缸盖罩垫的变形及应力进行分析, 加深了对气缸盖罩垫密封性能的了解, 也提供了正确设计气缸盖罩垫的一种方法。

(2) T形气缸盖罩垫在断面面积更小的情况下借助线密封达到更好的密封效果, 但由于断面形状复杂, T形气缸盖罩垫的加工成本较高。

非线性有限元方法篇9

岩土锚杆技术目前已经在国内基坑、隧道、涵洞等工程中广泛应用。锚杆以其技术特点和显著的经济效益受到大多数工程师的青睐。锚杆深深锚固于土体内部, 起到主动支护土体的作用, 与土体自身强度一起, 有效地提高土体强度, 从原来的被动支护转变为主动支护。除了它受力合理外 (主要承受拉力) , 能主动地调用土体内部潜在的能量, 对基坑深度、宽度的要求较小, 显示出机动灵活的特点。必要时可选用其他支护方式与其结合使用, 不仅克服了自身的不足, 又能收到更为理想的技术效果和经济效果。

岩土工程锚杆技术多是从先实践后理论, 并带有一定的地域性。尽管目前已经颁布执行了几部有关锚杆的设计规程, 但还是不能尽善尽美。本文针对湿陷性黄土地区基坑锚杆支护入手, 分析模拟其稳定性特点及潜在滑坡面形成的机理。

1 锚杆的作用机理及破坏形式

大自然本身产生了很多锚杆体系, 即一种较强的材料加强了另一种较弱的材料, 例如在山体上生长的植物, 许多植物的根系, 深深地植入土体, 牢牢地抓住土体, 深度可能达到7~8 m, 控制住土体不被雨水侵蚀后滑移, 这就引导人们发明出锚杆支护的技术。

1.1 提高原位土体强度

基坑开挖后, 基坑边十几米依然受到临近土体以及其他荷载的作用, 会产生一定的滑动面, 由于荷载作用, 使土体受剪力作用, 如果土坡直立高度超过临界高度或其他因素的改变都会产生松动的滑移面, 滑移面内土体为不稳定土体, 若在边坡中打入一定长度、一定密度的锚杆, 与土体牢固结合, 增强土体稳定性。锚杆在这一区间起着支撑骨架的作用。通过逐层下挖基坑、逐层超前支护, 尽可能地有效加强基坑边土体固有强度, 锚杆承受上部土体和外加荷载, 对周围土体产生摩擦力, 组织土体位移, 从而提高土体强度。

1.2 阻止土体前移

基坑中锚杆打入土体后, 锚杆体承受一定的拉力, 随着逐层开挖, 锚杆承受的拉力也逐渐增大, 若土体出现前移, 锚杆通过摩擦力阻止这一发生, 以单根锚杆为例, 在保证锚筋的抗拉强度以及锚筋与水泥握裹力的前提下, 其反向拉力为:

式中T—锚杆极限反向拉力;

D—锚杆钻孔直径;

L—锚杆的有效锚固长度;

τ—锚固段土体周边抗剪强度平均值。

2 有限元模型建立

2.1 支护体系离散型

对于通常的支护体系常采用复合型与离散型, 由于锚杆布置之间存在一定间距并且基本平行布置, 在基坑阴角、阳角布置甚少, 常在基坑中段从上至下布置, 故模拟可采用2D平面模型, 并且研究针对性较强。本模型采用离散型模拟预应力锚杆支护, 桩采用梁单元, 锚杆锚固段和面层采用植入式桁架。土体采用最常用的Mohr-Coulomb非线性模型, 锚杆面层采用线弹性应力-应变关系。

2.2 模型建立

基坑支护体系的内力和变形与其支护过程有着密切的关系 (见图1~3) , 假设模拟预应力锚杆支护过程, 其支护过程如下:

1) 针对施工环境和前期勘察资料, 输入土质属性, 并且锚杆属性采用植入式桁架, 桩采用梁单元;

2) 针对施工过程模拟区域划分网格, 设置初始应力状态;

3) 叉分格, 并吸取土质及维护结构, 使属性赋予网格参数性质;

4) 施加边界条件, 并设定重力荷载 (0, 0, 1) ;

5) 在锚杆锚固处施加预应力, 并且锚固端设置在节点处;

6) 组织施工顺序, 并进行模型非线性计算。

3 算例分析

3.1 建立2D预应力锚杆非线性接触

依上述方法建立预应力锚杆支护模型, 对支护体系进行非线性数值模拟分析, 主要研究其支护的力学性能与结构稳定性。

某污水厂基坑宽7 m, 长14 m, 开挖深度10 m, 分4步开挖设置4排锚杆, 锚孔采用工程钻机机械成孔进行施工, 钻孔的孔径不应小于设计孔径。钻孔的实际长度应不小于设计长度, 钻孔水平方向的误差不应大于50 mm, 垂直方向的误差不应大于100 mm。锚杆锚固段按间距2 m设置船型支架, 使锚杆能在孔中居中;保证锚体保护层厚度不小于20 mm。使用水泥砂浆注浆, 水泥砂浆强度不得低于25 MPa, 水灰比为0.45。注浆压力为0.3~0.5 MPa。当注浆体强度达到设计强度的70%后, 方可进行张拉锁定。每层锚杆张拉锁定后方可进行下层开挖。模型采用水平约束以及垂直约束, 土层参数见表1所示。

3.2 有限元计算结果分析

3.2.1 基坑的位移分布

预应力锚杆支护下基坑水平位移及基坑底部垂直位移如图4~5所示。

从图4的云图中可以看出, 在锚杆植入土体后, 其自由段云图呈现蓝色, 锚固段呈现绿色, 由此可见自由段土体位移量要大于锚固段, 使得基坑出现位移, 其蓝色区域从上至下逐渐减小趋势。从图5竖向位移云图可以看出基坑在开挖值较高时, 基坑底部部分出现沉降, 沉降量较小, 其余土体出现土体上凸现象, 这是由于土体卸载, 基坑出现回弹的原因。

根据实际监测数据, 在每层开挖后监测数据统计, 得出位移曲线见图6, 由图6可知, 预应力锚杆沿深度方向呈“二次曲线”形状, 水平位移随深度增加, 逐渐减小。第一次开挖位移量稍小, 开挖深度以下位移量基本为零, 并在基坑顶端并伴有负向位移。当基坑逐步开挖, 每层位移量都带有一定的偏移, 当基坑开挖至设计标高时, 顶部位移量达到峰值, 约21 mm。基本与模拟结果相吻合。

3.2.2 预应力锚杆轴力分布

预应力锚杆沿全长分为自由段和锚固段, 锚杆植入土体之后, 剪力只发生在锚固段, 自由段一般不承受剪切力的传递, 由模拟云图可以看出, 从开挖至设计标高时, 锚杆轴力在锚固段开始时轴力最大, 其后逐渐减小, 可以看出轴力递减速度很快, 轴力大的区域经过很短的时间就衰减到较小值, 每开挖一步, 轴力都有一定的增量, 随着开挖深度的增加, 周围土体对锚杆的依赖性增加, 周围荷载以及土体位移导致轴力逐渐增大, 但整体趋势在逐渐衰减, 说明锚杆充分发挥了锚固土体的作用 (见图7~8) 。

3.2.3 预应力锚杆与土钉的比较

预应力锚杆是借助自由段弹性伸长, 将拉力传递到土体的锚固体系, 对潜在的滑移体系进行锚固, 在其上施加预应力增加土体滑移面里的正应力和抗剪阻力, 提高整体稳定性, 具有主动约束的机制。土钉则是对原位土进行加固, 用土钉与其周围的土体形成复合土体, 形成类似重力式挡土墙, 只有当土体出现位移后土钉才能起到约束的作用, 属于被动约束。但是二者均是随深度增加而位移减小, 相比之下预应力锚杆的支护位移量较小。

4 结论

本文采用数值分析的模拟计算方法对预应力锚杆支护体系进行了模拟计算研究, 同时采取相同方法分析了土钉与锚杆的区别。

1) 基坑开挖中, 预应力锚杆对土体起着重要的作用, 水平位移曲线成“二次曲线”分布, 与土钉支护类似, 水平位移在基坑顶部偏移量稍大, 随着基坑的逐步开挖, 原先的负向位移转为正向位移, 并持续增大, 当基坑开挖至标高处, 顶部位移达到最大值。基坑底部垂直沉降主要发生在靠近基坑壁处, 其余土体带有回弹趋势。

2) 锚杆受力主要集中在锚固段, 在锚固段开始时最大, 随后逐渐衰减, 衰减幅度逐层增加, 成“梯形”分布。

3) 在土质及环境相同的条件下, 土钉与锚杆都起到了锚固土体的作用, 相比之下, 预应力锚杆起主动约束控制土体;土钉与土体复合在外力荷载作用通过被动受力控制土体, 起到稳固土体作用, 但位移量比预应力锚杆稍大。因此, 应结合具体施工环境合理采用。

[ID:001555]

摘要：运用MIDAS/GTS非线性有限元分析方法, 对预应力锚杆柔性支护体系进行了数值分析, 基于锚杆支护的左右原理和支护方式, 对锚杆支护下土体位移的变化、坑底变形, 以及锚杆轴力的力学特性进行了模拟和曲线拟合。结果表明:需正确结合土质参数, 设计锚杆支护, 发挥其承载力, 有效控制变形。

关键词：基坑支护,预应力锚杆,结构变形,有限元

参考文献

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