窄带通滤波器（共5篇）
窄带通滤波器 篇1
1 引言
模拟滤波器在实际的电子系统设计和现代控制系统中起到了重要的作用, 它是除去信号中噪声的基本手段, 主要功能是衰减或抑制无用的频率成分, 如目前在汽车电子信息系统研发项目中涉及大量信号的处理, 其对带噪声信号的滤波效果将直接影响到后续的数据采集、信号检测、频率测量等工作的质量[1]。模拟滤波器的设计理论已发展的比较成熟, 且有若干典型滤波器供人们选择, 但对当前应用广泛的模拟带通滤波器的设计实现过程中都存在某些令人不满意之处[2]:一、如大量复杂的数值计算, 若采用人工方式处理不仅费时费力, 而且容易造成精度损失;二、现有的滤波器设计软件Filter Pro Desktop、Filterlab等, 操作虽然简单快捷、缩短了设计时间, 但其同时存在着灵活性较差、缺少原理分析过程、价格较昂贵等问题, 在性能指标要求相对较高情况下也无法满足用户需求;三、滤波电路中涉及的相关参数如谐振频率fr、通带增益A0、品质因数Q等, 这些参数之间存在着直接耦合关系, 其严重影响了参数值的可选择区间, 加大了滤波器的设计难度。
本文基于Matlab编程来实现切比雪夫型窄带模拟带通滤波器的设计, 只需要改变程序中相应的参数值就可以很容易地完成滤波器的设计工作, 主要是设计一个通带为48k Hz~58k Hz的有源窄带模拟带通滤波器, 同时对原有的滤波电路进行改进, 并根据仿真结果对电路参数进行修改优化, 使滤波器的性能更好地满足设计要求。该方法便捷, 程序具有良好的可扩展性。
2 滤波器设计的理论
带通滤波器分为窄带或宽带两种类型[3]。对于宽带型滤波器的设计指标可以被分为两个独立的低通和高通指标, 并简单地看作低通与高通滤波器设计结果的级联, 就可以得到复合的设计指标。而窄带带通滤波器的上限截止频率与下限截止频率的比近似为2或者更小, 因此不能被分为单独的低通和高通滤波器来实现。其主要原因是随着上限截止频率与下限截止频率的比值减小, 中心频率处的衰减将增加。因此窄带带通滤波器的设计更困难一些, 必须恰当地选择电路结构, 且要运用合适的变换, 以避免元件的Q值要求增大, 对元件误差和稳定性的要求也随之增加。
2.1 滤波器的全极点带通节
目前, 模拟滤波器的设计都是通过原型滤波器与目标滤波器之间的频率转变关系来完成的[4]。在低通频率响应映射为带通幅频特性时, 每组低通复数极点对可以得到两组带通极点对。如果低通极点是实数, 则在带通形式中将出现一组复数极点对。有源窄带带通滤波器可以直接由带通传递函数来设计。一个2n阶的有源带通滤波器可由n个带通节组成。考虑到本文采用的是切比雪夫低通原型滤波器, 其归一化传递函数属于全极点型, 所以给出每一个带通节具有如下所示的2阶传递函数[5]:
式中, wr=2πfr, 即以rad/s为单位的极点谐振频率;Q是带通节的等效品质因数;Ar是谐振增益。
2.2 滤波器带通变换-复数极点
在这里我们主要关心的参数为Q值、fr (谐振频率) 和Ar (谐振增益) , 这些参数可以直接从归一化低通传递函数的极点与带通 (1) 式之间的关系得来。其变换的计算过程如下[3~4]:
式中, f0是带通的几何中心频率;BW是通带带宽。
对于 (3) 式, -α±jβ是对应于此滤波器的低通原型滤波器传递函数的复数极点对, 其中是实部坐标, 是虚部坐标。
此式中的Q值是我们所要求取的参数值之一。
在 (8) 式中的fra和frb是两个带通节的谐振频率, 以Hz为单位, 且它们具有相同的由式 (6) 得出的Q值。
式中, A0是带通节在几何中心频率f0处的幅值增益。由于fr是电路的峰值频率, 所以带通节在f0处的增益A0通常比谐振增益Ar小。
2.3 滤波器带通变换-实极点
一个实数坐标值的归一化低通实极点变换为一个带通节, 其Q值由下式决定:
对于实际点的谐振频率, 可以令:
此变换的带通节谐振增益, 可由将 (1 1) 式代入上面的 (9) 式中, 化简得出下式:
一个n阶带通滤波器的总增益由各带通节的A0值乘积所决定。
3 滤波电路的改进及分析
3.1 低Q值滤波电路
每个带通节对应一个滤波电路来进行实现。下面给出的带通节电路均为全极点型电路[2,4,5]。如图1所示为传统的滤波电路。
由放大器的虚短、虚断和结点L处的电流方程式联立可求出其传递函数, 并与 (1) 式的对应系数相等可知该电路在谐振频率fr处的增益如下所示:
从上式可看出, 参数Ar与Q2成比例具有很高的直接耦合度, 中等的Q值就可以造成极高的谐振增益。对于中等幅值输入信号, 在放大器的输出端将出现削波现象。再者, 要保证放大器工作状态达到良好的鲁棒性, 放大器的开环增益应该比要求的闭环增益高至少20d B, 以降低放大器本身的限制。这些因素造成可选择参数值区间变小、元器件的选择受到极大限制、电路增益由Q决定不够灵活。
对上述缺陷, 在此给出该电路另一种更实用的形式。如图2, 输入电阻R1被分成两个电阻R1a和R1b形成一个分压装置, 使得电路增益可以被控制。
由虚短、虚断概念和结点K处的电流方程联立解得其传递函数, 如下所示:
从 (1) 式知, 谐振角频率wr由G (s) 表达式中的常数项所决定。所以要想保持谐振频率fr不变的情况下改善Ar与Q之间的耦合度, 则必须使电阻R1a和R1b的并联值等于R1。使 (14) 式与 (1) 式的分子、分母对应系数相等可以推导出特定参数与元件值的 (1 5) ~ (18) 关系式:
为了便于电路的设计与实现, 现令C1=C2=C且在实际元件值求取过程中, 电容C是作为已条件代入的, 则电阻R1a、R1b和R2由下式计算:
从式 (15) ~ (18) 可以得出下面三点要素:一是谐振增益不能超过2 Q2, 在实际应用中此约束条件很容易得到满足;二是参数Ar与Q2的直接耦合度得到了明显的改善;三是滤波器参数Ar和Q由电路中的无源元件决定。
灵敏度被用作衡量某一元件值变化引起的滤波器特定参数 (如Q值、谐振频率) 变化的依据, 其数学表示为[6~8]:
利用 (20) 式对 (16) 、 (17) 式求灵敏度, 得到改进滤波电路的及Q相对电阻元件和电容元件变化的灵敏度计算如下:
由式 (20) ~ (24) 知电路具有低灵敏度特点, 此特点在实际环境中具有重要意义。
3.2 高Q值滤波电路
如图2所示的电路适用于低Q (<20) 值场合。对于要求宽Q值范围的场合, 使用图3所示电路。
其相关分析过程同上, 这里直接给出计算公式:
4 Matlab设计流程与仿真实现分析
4.1 设计流程
基于滤波器设计理论和滤波电路, 下面给出通用设计流程图:
在流程图中, wp为通带边界频率, ws为阻带边界频率, wc为模拟滤波器的截止频率, Rp、Rs分别为带通波纹和阻带衰减。
4.2 实例技术指标要求
设计一切比雪夫带通滤波器, 要求中心频率约等于52k Hz, 通带约为47k Hz~57.5k Hz, 通带内衰减不大于1d B, 在频率小于38k Hz或大于67k Hz处的衰减不小于20d B, 通带增益约为2±0.2。
如上所述, 为了简化硬件实现, 令图2、图3中的电容元件均取为相等值, 并记为C。图3电路中的R′一般取值为10k欧姆即可。
4.3 Matlab仿真验证与结果分析
为了更好地体现出该方法的优越性和完成性能指标, 这里在可允许参数Ord的值中选择Ord=5为低通原型滤波器阶数, 则对应变换后带通滤波器的阶数为2﹡Ord=10阶, 带通节为5个。按照上面介绍的设计流程, 可计算出表1所示的参数值。
选取电容C=4700p F, R′=10kΩ, 依据流程第三步, 计算出相应电路元件理论值, 如表2所示。
尽可能地选取与表2电阻值最接近的标称电阻元件, 如表3所示。依据表3, 并利用M a t l a b软件编程仿真, 得到实际各带通节电路的幅频特性曲线, 如图5所示。
曲线近似为几何对称形式, 带通节1、2与3、4是各由一组复数极点对变换而来, 带通节5则由一个实极点变换而来。图中可以看出各带通节增益曲线规律:约47k Hz~57.5k Hz范围内呈现对称起伏趋势, 以保持各电路级联后的增益为2±0.2;在通频带两侧约±5k Hz范围内是滤波器的过渡带;在小40k Hz和大于64k Hz处的增益值均小于1, 此时各节增益乘积加剧了无用频率成分的抑制, 属于阻带;下图6是总体幅频特性曲线, 其通频带纹波很小, 3 d B频率处开始迅速衰减, 已达到设计指标。
注:+代表串联、//代表并联, 以上标准值相对理论值偏差为±1%
现有信噪比为-5的正弦输入信号, 其幅值为1、频率分别设为40k Hz、52k Hz、64k Hz, 将三种信号作为滤波器输入, 则滤波器的输出信号如图7所示。
通过仿真结果分析可知, 与过去滤波器设计的不同处在于:一是从原理上简化了分析过程, 均已明了的关系式给出, 即不像相关软件那样对其原理知识无从得知又不至于像教科书上复杂繁琐的数学推导计算;二是基于参数耦合度方面考虑对滤波电路进行非常必要的改进, 这一点对于往后的滤波电路设计分析有着良好的导向性;三是, 所涉及的式子都是非常简单的运算法则, 这很利于降低精度损失和编程实现。该方法也存在不足之处:1) 对计算精度要求较高, 所以只适用于计算机辅助编程实现, 并不适用于手工计算实现;2) 从表3可看出, 电阻值的精确匹配实现起来十分繁琐。
4.4 硬件电路实现
图8为切比雪夫模拟窄带带通滤波器硬件电路, 其中电容C选择的是飞利浦2%高精度锡膜聚苯乙烯薄膜电容4700pf/63v, 此电容具有优越的电性能, 且在任何的机械振动中不会产生压电效应。电阻选用的是误差为1%的高精度金属膜电阻。运放是B B公司的OPA4132芯片, 其双路电源电压为±2.5:18v, 单位增益带宽积为8MHz。图5可知, 带通节级联的顺序不同将直接影响到电源电压, 按图8中的排列顺序, 电源电压选择±5v。
5 结束语
本文阐述了窄带带通滤波器的快速实现, 首先由低通原型极点转换成带通相关参数Q、fr及Ar值, 再求出对应电路元件值, 最后完成滤波器硬件电路。总体说来此方法具有快速性、准确性和普遍适用性, 有效地简化了设计过程、缩短了设计周期、提高了设计效率, 对今后滤波器设计有着很好的实际意义。
摘要：传统滤波器设计过程中存在许多不足之处, 如复杂的数值计算、参数值可选择的分布区间较小、参数之间的耦合度较高等问题, 提出基于Matlab编程将滤波硬件电路参数计算程序化的方法, 对不同的环境要求只需改变相应的输入参数即可快速设计出满足期望指标的模拟滤波器。该方法具有简便直观、精度高等优点, 且解决了大量繁琐的计算问题、提高了设计效率。最后通过实例验证了此方法的可行性和实用性, 对今后有源带通滤波器的设计具有很好的实际意义。
关键词：模拟带通滤波器,切比雪夫,滤波电路,OPA4132,Matlab
参考文献
[1]张亚, 黄克平.有源模拟带通滤波器的设计[J].电子科技, 2009, 22 (1) :9-12.
[2]陈文渊, 沈斌坚.二阶模拟带通滤波器的仿真和实现[J].声学与电子工程, 2010, (3) :47-49.
[3]WINDER, S.Analog and digital filter design[M].Second Edition.New York:Newnes, 2002:182-197.
[4]WILLIANMS, A.B., and Taylor, F.J.Electronic Filter Design Handbook[M].Fourth Edition.New York:McGrawHill, 2005:199-236.
[5]康华光.电子技术基础模拟部分[M].第五版.北京:高等教育出版社, 2007:412-431.
[6]陈洪云, 江金光, 何怡刚等.用单CCII实现电流模式滤波器[J].湖南大学学报, 2000, 27 (5) :65-70.
[7]徐慧, 陈涤.无漂移全极点有源低通滤波器的灵敏度分析方法[J].山东大学学报, 2004, 39 (6) :78-81.
[8]MOSCHYTZ, G.S.Low-Sensitivity, Low-Power Active-RC Allpole Filters Using Impedance Tapering[J].IEEE, Transactions on circuits and systems, 1999, 46 (8) :1009-1026.
[9]李慧贞, 李春霞.有源模拟滤波器的快速协同设计方法[J].电子设计工程, 2011, 19 (5) :84-87.
S注入法中窄带滤波器设计 篇2
1 窄带滤波与S法
1.1 S法工作原理
假设当线路1的A相发生单相接地故障时,注入信号源启动,并自动选择TV二次侧故障A相接入。注入信号为一个特定频率电流,其频率f通常选择位于工频n与n+1次谐波之间,以便回避工频及其倍频量的干扰。图1中虚线标注了所注入信号流动的路径,如果故障接地电阻不是太大,电流将主要流经故障线路1。信号的拾取由设置在各线路出口处的零序TA(或探测器)实现,选线原理是通过对各条线路注入信号电流的逐次比幅或比相找出故障线路。故障线路信号电流通常是振幅大或相移小[1,2,3]。
配合注入信号的定位方式是使用手持式探测器沿故障线路寻迹法,其缺点是当故障点远离线路出口时效率比较低。最近几年一种改进的方式是在线路上按一定的间隔设置多个探测器节点,通过租用GSM(Global System for Mobile communication)的SM(Short Message service)或组建无线通信网络来传送检测信号,从而实现区段的自动定位[4,5]。
1.2 窄带滤波与S法
S法故障判据的基础是比幅或比相。如果信号没有经过高Q值且性能稳定的窄带滤波器处理,S法就无法工作。实际上各监测点处的有效信号是非常微弱的,其原因有4点:
a.注入信号的功率受TV的限制,在二次侧一般只允许加入1~2 A、最大不超过5 A的注入电流;
b.受TV变比的影响,以10 k V系统为例,一、二次变比为100:1,即二次侧注入5 A的电流,变换到一次侧则被减弱到只有0.05 A;
c.多条出线与消弧线圈导致了分流(如果接地为非金属接地);
d.信号被包围在强大的工频及其谐波干扰中(因为即使有消弧线圈的过补偿平衡作用,故障线路也仍有大约2~10 A的工频接地基波残流及各整次谐波电流)。
因此,只有高Q值的窄带滤波器才能实现信号的提取,完成比幅的功能;只有性能稳定的滤波器才能保证各路信号相移的一致性,满足比相要求。所以高Q值窄带滤波器一直被认为是S法的核心技术。
2 常用的带通滤波算法与原理
2.1 LC无源带通滤波器[6]
由于L、C同为储能元件,当以闭合电路将它们串联时,在两元件间就会形成储能的交替转换,从而产生振荡电流。振荡的频率被称为该闭合电路的谐振频率,其大小由式(1)确定。这种振荡由于线路损耗电阻的存在,储能在交替中被消耗,振荡持续的时间取决于阻值的大小。当有外部能量注入且频率接近或等于电路的谐振频率时,电路就会激励出较大的振荡。注入信号越接近谐振频率,振荡越强,从而实现选频功能。
描述回路选频性能的品质因数为
在S法中,LC电路常作为探测器的接收单元。
2.2 RC有源带通滤波器[7,8]
RC有源带通滤波器的特性可以用如下传递函数式表达:
最常用的电路如图2所示。
如果取R2=R3=R6,R4=R5=R0,C1=C2=C0,则
其中,f0为选频的中心频率,k为中心频率的增益,Q为品质因数。图3是计算出的中心频率为f0=75 Hz的RC滤波器幅、相频特性(图中,A为归一化的幅值,φ为相位,后同)。
可以看出电路有很强的选频滤波功能。随着Q值的增加,其幅值选频特性被加强。该电路的特点是Q值可方便地由电位器的简单调节来实现,而且有现成专有模块MAX274、MAX275等的支持,是窄带滤波的最常用选择,一般被作为S法的主要选频网络使用。
2.3 数字带通滤波器[9,10,11]
按照算法中是否引入了输出反馈量,数字滤波器又被分成递归滤波器和非递归滤波器。递归滤波器大致可看作是模拟滤波器离散化的一种算法形式,其性能基本类同于模拟滤波器。这里只就非递归滤波器加以讨论。
2.3.1 正弦波带通滤波器[12]
正弦波带通滤波器通常由一个整周期的正弦波组成,其算法采用离散的循环卷积实现:
正弦波带通滤波器具有算法简单快速、稳定性不受采样频率限制等优点,被广泛地应用于各种信号的采集处理,但缺点是对频率的选择性能差,不适合单独作窄带滤波器。图4给出了通带中心频率为75 Hz时的幅、相频特性,可以看出其在频率轴上除可列点数为零外,其他有无数旁瓣非零,甚至对缓变信号都没有较好抑制。
2.3.2 小波带通滤波器
小波函数是指在较短时间区间上有振荡的波(有限支撑)。用符号Ψ(t)表示,其应满足:
a.Ψ(t)应具有有限支撑或是随时间的速降特性;
小波函数通常被用来进行信号滤波或数据压缩。在众多小波函数中,littlewood-paley小波是一种能够实现理想带通滤波器的小波,其函数表达式为
其小波波形及滤波特性见图5。
由图5可看出,littlewood-paley小波是一种标准带通滤波器,但幅值衰减太慢,不便使用。为了加速其波形衰减,本文采用了它的7次方,并做了一些修正,将中心频率迁至75 Hz,所得的波形如图6(a)所示,幅频特性如图6(b)所示。其滤波算法采用离散小波与离散信号的循环卷积实现如下:
3 滤波算法及电路性能比较
由式(2)可以看出决定选频特性的主要元件是电感,电感量越大选频性能就越好。由于信号处于较低频段,电感就必须做得非常大,实际上很难实现。其原因主要是受到2个方面的限制:一是体积限制,线圈和铁心体积不可能做得太大;二是电阻限制,匝数取得太多,就必然加大线路电阻。因此,LC电路不可能在较低频段作为主要的选频网络使用,最多作为一个过渡(如接收)环节。
有源RC带通滤波器是最常选用的滤波电路,随着Q值的增加,其窄带特性会变得越来越好。不过提高Q值的同时也提高了滤波器对元件参数变化的灵敏度。图7(a)给出了不同Q值下,信号受式(6)中参数C0的影响情况。以Q=25、C0变化8‰计算,归一化幅值≈0.53,相位≈57.9°。模拟元件都存在有一定的时漂和温漂,电容元件的漂移一般高于电阻。因此,单级模拟滤波器其选频特性不可能太高。所以实际应用中一般采用多级串联形式。
若选用Q=25的3个单级串联时,其幅频特性为相乘的关系,幅值滤波特性可以大为改善,但是由于串级中各级相移是叠加的,因此参数变化对相位的影响加重。仍以C0变化8‰计算,归一化幅值≈0.802,相位≈65.16°,可见对幅值影响有了一定抑制,而相位影响则被放大了3倍。当高阻接地时S法只能使用比相算法,这就有可能导致故障选线或定位失败。
尽管正弦波滤波器在保护算法和其他领域中有不凡的表现,但作为窄带滤波器,其性能却不理想,它不能满足S法的要求。实际上正弦波滤波器的选频功能主要决定于其沿时间轴截取的整周期长度,2.3.1节给出的只是截取了1个正弦波周期时的概况,如果截取更多的周期,其选频特性会大幅改善,图8给出了100个周期时的幅频特性,对比图4有了非常明显的改善,而与图6中小波滤波器比较,其中心频率周围选频能力略强一些,但沿着频率轴均存在旁瓣响应。
小波理论是近几年来发展最快的,其应用领域迅速扩展,其特点是特别适合用于数据滤波与压缩。本文图6给出的小波窄带滤波器的选频特性陡峭,对通带外的信号衰减迅速,且主带外没有旁瓣响应。假设有
为了检验滤波效果,对信号x(t)分别用小波滤波器和100个周期正弦滤波器进行仿真滤波比较,滤波器中心频率均为75 Hz,结果示于图9。可以看出小波滤波器明显优于100个周期正弦滤波器,对深埋于基波的1‰强度的75 Hz信号可以全部提取,其滤波效果光滑,便于检测相位,选频能力非常强。100个周期正弦滤波器因受各旁瓣效应影响,对弱小75 Hz信号失去提取能力,且高频旁瓣影响非常大(非整周期采样造成的频率泄漏)。
3 结论
窄带通滤波器 篇3
直扩通信系统,由于其独特的抗干扰能力以及保密性能,在军事通信系统中备受青睐。但在今天频谱空间越来越拥挤,电磁环境越来越复杂的情况下,仅靠扩频增益已不足以对干扰进行抑制。特别在军事通信中还会受到敌方有意的窄带强干扰,这些人为干扰往往会超出导航接收机的抗干扰容限,系统将不能正常工作[1]。因此,很有必要采用抗干扰技术对窄带干扰进行抑制,有效提高系统抗干扰性能。
目前针对窄带干扰的抑制技术主要可分为时域预测技术[2]、变换域技术[3]、码辅助技术[4]。其中时域线性预测技术由于它能够抑制干扰较为彻底,滤波器具有线性相位,在工程中得到了更多的应用,然而由于线性预测的最佳抽头系数求解涉及到解维纳-霍夫方程,而高维的矩阵求逆对于工程实现来说是很难的,大量的论文研究给出了一些自适应算法[5],包括LMS,RLS等一些经典算法,但多数处于理论研究阶段,本文给出了基于FPGA的线性预测滤波器的简化实现技术,算法原理上采用基于LMS的递归求抽头系数,工程上采用符号LMS算法的实现方法,在实际扩频系统中,能够有效地自适应抑制窄带干扰,提高了系统的稳定性。
1 线性预测滤波器的基本原理
线性预测滤波器是自适应滤波器的一种,其基本思想是利用窄带信号和宽带信号在可预测性上的差距而达到干扰抑制的目的[6]。因为窄带干扰时非高斯,样值间有很强的相关性,可以通过过去的样值来估计当前样值,而扩频信号频谱平坦,其样值间几乎不相关。当接收信号同时包含宽带有用信号和窄带干扰时,那么对接收信号进行预测,预测的值将主要是窄带信号的预测值,若从当前信号中减去预测值,将大大减小接收信号之中的窄带干扰,提高直扩系统的性能。
线性预测滤波器的两种基本结构是干扰基于状态空间的Kalman-Bucy预测器和抽头延迟线结构的有限脉冲响应的横向滤波器[7]。在这里,主要讨论基于抽头延迟线的横向滤波器,它有两种结构,包括单边横向和双边横向,由于双边横向滤波器的改善性能更加优异,这里只给出双边横向的结构图,如图1所示。
以图1中的双边横向滤波器来阐述线性预测滤波器的基本原理。在扩频系统中,现假设接收信号为:
式中:z(t)=Ag(t)c(t)cos(ω0t);j(t)=acos[(ω0+Ω)t+θ];A,a为幅值;g(t)是信号码元,为Tg秒时间的二进制符号的随机序列;c(t)为扩频码序列,持续Tc秒,Tc≪Tg; ω0t为载波频率;Ω为频偏;θ为在[0,2π]上均匀分布的随机相位;n(t)为高斯噪声。
在iTc时刻,滤波器抽头取样值以及滤波器抽头系数如下:
滤波器采样输出yi表示预测误差;iTc时刻滤波器输出采样为:
调整滤波器系数系最小化均方滤波器输出,此输出等于预测均方误差,记为ε,则:
式中:PT=E[xiXTi];R=E[XiXTi];i=1,2,…,M。
通过最小化均方误差得到滤波器抽头系数,由:
可以得到:
式中W0是最佳抽头系数,式(5)即为熟知的维纳-霍夫等式。
2 线性预测滤波器在抗窄带干扰中的应用
2.1 线性预测滤波器的抗干扰特性研究
为了更好地阐述自适应线性预测滤波器的抗干扰特性,假设一带宽为20 MHz,信噪比为-32 dB的某扩频系统,信号带内出现了3个很强的点频干扰,每个干扰的干信比都在57 dB,采用16阶前后向的横向预测滤波器,抗干扰前后信号频谱如图2所示。
从滤波前后的频谱上看,对于3个较强的点频干扰滤除较为彻底,在每个干扰位置处都产生了较深的陷波,较好地滤除了干扰,获得干扰抑制增益为60.23 dB,输出信噪比损失仅为1.9 dB,且当横向滤波器的阶数越高,预测的最佳抽头系数能够更加准确地重构出窄带干扰,获得的干扰抑制增益也就越高,当然付出的工程实现代价也随着增大[8] 。
2.2 符号LMS递归求解实现
从式(5)可以知道,求解维纳-霍夫方程的解涉及到矩阵求逆,而对于高达16阶的矩阵求逆,工程实现的难度可想而知,因此工程上大多采用LMS,RLS等自适应算法来递归求解,LMS算法由于其工程实现难度小,鲁棒性好的特点而得到广泛应用,在这里采用LMS算法。
LMS算法的统一形式如下:
式中:w(n+1)为第n+1次更新的滤波器系数;ᐁ(n)为第n次迭代的梯度,通常用适当的估计值
滤波器实际输出
这里需要说明的是,在线性预测滤波器中,输出yi=xi-WTXi,d(n)为窄带干扰信号,扩频信号与噪声与d(n)相互独立,通过LMS重构的是接近于窄带干扰信号的d(n),而不是能够重构出你想要的扩频信号,抗干扰完成是通过在实际系统中减去通过LMS迭代重构的窄带干扰信号而实现的。
工程实现中LMS的自适应滤波器算法复杂度比较高,一个M阶的滤波器在一个递归更新权值间隔内不仅要完成M次乘法滤波,还需要2M次乘法完成系数更新,这对于设计高阶自适应滤波器来说,对FPGA乘法器资源要求较高,因此采用符号LMS算法显得非常有必要。
符号LMS算法非常简单,也是利用随机梯度来达到最优解,但只给出其梯度迭代的方向,而并不给出具体的改变量,因此性能上不如常规LMS稳定,且误差可能较大。其迭代公式有两种,分别如下:
式(9)中,第一个公式是误差的符号LMS算法,第二个公式是信号的符号LMS算法,统称为符号LMS算法,两者的性能随机性很大,并不能说哪一种算法更好,在符号LMS算法中,由于步长因子的相乘也要乘法,只需要缩放即可,因此对于M阶自适应滤波器可节省系统M个乘法器,在实际系统中经常会采用符号LMS算法,在硬件资源受限时,往往能起到起死回生的作用,在这里具体工程实现中采用的是误差的符号LMS算法。
3 仿真与验证
某扩频系统,信号源强度为-127 dBm,系统带宽为20 MHz,加入带宽为2 MHz,中心频率为信号带内中心频率处的窄带干扰,强度为-70 dBm,即干信比为57 dB,信号经过下变频到中频信号,经过AD9248量化后,进入到在Xilinx XC4VLX160处理芯片设计的抗干扰系统内[9],利用Xilinx片上逻辑分析器ChipScope对信号输入和输出采样[10],导入到Matlab中分析,图3为输入信号频谱和FPGA输出信号频谱图。
从图3中可以看出,FPGA输出信号在窄带干扰频点处形成了很深的陷波处,将带宽为2 MHz的强窄带干扰抑制的非常彻底,扩频系统工作正常,提高了系统的抗干扰性能。
4 结 语
本文将线性预测滤波器的方法用于提高扩频系统的抗窄带干扰能力,并给出了可以用于工程实现的简化方法,在实际系统中能够达到大约60 dB的抗窄带干扰能力,在消耗较少硬件资源的情况下完成对多窄带干扰的抑制工作,效果良好,且系统权值更新速率达到ms级,并已应用于实际系统。
摘要：在通信系统中,干扰抑制是一项基本的工作,对系统的稳定性起到重要的作用。详细讨论了关于线性预测技术在直扩系统中自适应抗窄带干扰的应用。理论仿真和实际验证结果表明,能够有效地抑制多个较强的窄带干扰,提高了系统的稳定性。此外,该算法资源消耗较少,工程实现容易,因此具有很强的实用性。
关键词：直扩,多窄带抗干扰,线性预测滤波器,FPGA
参考文献
[1]郭淑霞,陈志坤,韩琮.基于抗干扰算法FH/DS扩频系统的抗干扰性能研究[J].计算机测量与控制,2009(9):1798-1801.
[2]GOTTESMAN L D,MILSTEIN L B.The performance of adirect-sequence spread-spectrum acquisition system using alinear prediction filter for narrow-band interference suppression[J].Wireless Personal Communications,1996,3:319-336.
[3]CAPOZZA P T,HOLLAND B J,HOPKINSON T M,et al.A single-chip narrow-band frequency-domain excisorfor a global position system(GPS)[J].IEEE J.of Solid-state Circuits,2000,35(3):401-411.
[4]VINCENT Poor H.Code-aided adaptive narrow-band inter-ference suppression for direct-sequence spread-spectrumcommunications[C]//Proc.of IEEE Military Communica-tion Conference.[S.l.]:IEEE,1997:575-579.
[5]LONG Guozhe,LING Fuyun,JOHN G P.The LMSalgorithm with delayed coefficient adaptation[J].IEEETransactions on Acoustics,Speech and Signal Processing,1989,37(9):1397-1405.
[6]丁宇,甄卫民,毛常波.卫星导航信号窄带干扰抑制技术研究[J].全球定位系统,2008(3):1-4.
[7]陈岩,安建平,罗伟雄.扩频通信抗窄带干扰技术[J].系统工程与电子技术,2003,25(2):32-35.
[8]陈庆华,郭黎利.基于FPGA的DLMS抗窄带干扰自适应滤波器实现[J].应用技术,2009,36(11):78-81.
[9]Xlinx Corporation.Virtex4 platform FPGAs:Virtex4FPGA user guide[EB/OL].[2008-02-01].http://www.xilinx.com.
窄带通滤波器 篇4
在日常生活中许多设备或装置都在做旋转或者往复运动,比如风扇、发动机、切割机、压缩机等,其发出的噪声往往具有规律性的低频正弦特性。长时间高强度的这种窄带噪声不但会给人的身心健康带来巨大危害,而且也会缩短设备的使用寿命,降低设备的安全性[1,2,3]。因此,消除、降低窄带噪声,尤其是低频成分,对生活生产环境及工程系统具有重要意义[4,5]。
窄带主动噪声控制技术是抑制窄带噪声的有效手段并已得到广泛应用[6]。对于线性或者近似线性声学环境,线性NANC系统可以有效降低目标噪声[7,8,9,10]。而非线性NANC系统可以很好的适用于实际声学环境中。目前比较流行的非线性系统和算法有:多层感知机及基于神经网络的滤波-SLMS算法、Volterra滤波器等[11,12,13]。文献[11]提出的基于多通道结构的Volterra filter-X LMS(VFXLMS)算法的非线性ANC系统,不但结构简单而且能有效的降低噪声。本文鉴于此,提出了一种基于Volterra滤波器的新型非线性NANC系统。
该新型非线性NANC系统中线性滤波器与非线性滤波器是分离的。窄带噪声经由非线性通道传播,产生的非线性扭曲激发出了高次谐波噪声,但是基频成份仍为主要成份。该系统中的线型滤波器为FIR滤波器,用于滤除基频噪声;非线性滤波器采用2阶及2阶以上的Volterra滤波器,滤除高次谐波噪声。由于Volterra级数具有对称性,因此可以将Volterra滤波器权值删减一半,使得滤波器的结构更加简单,计算更加简便。
本文设计了该新型非线性NANC系统的线性和非线性滤波器部分,然后推导出了基于滤波-X LMS(FXLMS)算法的滤波器权值更新方程,最后通过实验仿真分析,验证了该新型非线性NANC系统可以有效的抑制受非线性扰动或扭曲的窄带噪声。
1 基于Volterra滤波器的NANC系统
系统主要由线型滤波器、非线性滤波器、次级通道、自适应控制器等构成。线型滤波器采用FIR滤波器,因为它能很好地满足线性声学环境下噪声抑制的要求。非线性滤波器采用非线性系统中应用最为广泛的Volterra滤波器。
由于Volterra级数权值具有对称性,Volterra滤波器输出与输入信号的关系可表示为:
式中:P和LV分别为Volterra滤波器的阶数和长度;为第p阶权值。当P=1时,1阶Volterra滤波器等价于长度为LV的线性FIR滤波器。而在线性NANC系统中,对于单频噪声,一个长度为2的FIR滤波器即可满足噪声控制要求。因此,在提出的非线性NANC系统中,将Volterra滤波器的1阶线性部分去除,用一个长度为2的FIR滤波器作为该系统的独立线性滤波器,用以消除占主要能量成分的基频噪声。2阶及2阶以上的Volterra滤波器作为非线性滤波器用以消除因初级通道非线性而激发的高次谐波噪声。
在该系统中之所以使用FIR滤波器滤除基频噪声而不使用Volterra滤波器的1阶级数,是因为在后续去除噪声分析中,非线性扰动能量变化时只需要调节该系统的非线性滤波器(即2阶及2阶以上的Volterra滤波器)的结构参数,无需考虑线性滤波器,从而使得降噪过程更加快捷有效。
本文提出的非线性NANC系统如图1所示。
图1中,xr,i(n)是由传声器在噪声源附近采集的参考信号,可描述为:
其中,ωi为噪声频率,vr,i(n)为环境噪声,通常设定为均值为零的高斯白噪声,q是频率通道数。次级声源yi,0(n)和yi,1(n)分别由线性和非线性滤波器产生,根据式(1),yi,0(n)和yi,1(n)可表示为:
通过FXLMS算法来更新式(3)和式(4)中滤波器的权值,使次级噪声源与目标噪声源的差值变小,直到满足系统要求。
用于更新控制滤波器权值的FXLMS算法为(篇幅所限,仅给出前3阶的更新方程):
其中,是参考信号xr,i(n)经过次级通道估计所得。真实次级通道s(z)及其估计通常是由FIR滤波器构成,即:
{sj}M-1j=0和为脉冲响应序列。
根据图1,残余噪声信号e(n)可计算为:
其中:
pi(n)是第i个频率噪声源经过非线性初级通道后传到相消点的目标噪声,vp(n)是加性背景噪声,通常是由均值为0的高斯白噪声组成。
当残余噪声信号e(n)达到最小值,系统趋于稳定。
2 仿真结果及分析
为了验证提出的基于Volterra滤波器的非线性NANC系统可以有效的抑制由于非线性扭曲而产生的窄带噪声,做了大量的仿真实验。具体过程如下:
在实际声学环境中,一种典型的非线性影响体现在初级通道存在非线性,通过该非线性初级通道产生的目标噪声通常可表述为多项式形式:
式中pi(n)是参考信号xr,i(n)经过非线性初级通道滤波得到。
其中参考信号xr,i(n)通过传声器获得,可描述为:
仿真中,取次级通道s(z)的截止频率为0.4π,次级通道估计通过离线辨识方法获得。考虑实际声学环境中可以包含多个频率噪声通道,为了简化仿真过程,本实验取3个初级通道(即q=3),噪声频率可设定为:ω1=0.1π,ω2=0.2π,ω3=0.3π。
式(11)和式(14)中的加性高斯白噪声νp(n)和νr,i(n),其方差值分别设为0.01和0.25。理想情况下,当系统达到稳态后,系统稳态残余噪声只剩下背景噪声νp(n),其能量应为-20d B。为了使得仿真结果更加精确,通过100次独立的仿真运算来逼近参数的期望值。
首先,通过以下2种情形来说明线性NANC系统的局限性:
1)初级通道是线性的。式(13)给出的目标噪声表达式可改写为线性形式:
2)初级通道是非线性的。由于本实验中取3个初级通道,式(13)中的系数假设为:
初级通道1:a1=0.08,b1=-0.04
初级通道2:a2=0.05,b2=-0.03
初级通道3:a3=0.04,b3=-0.02
针对上述2种情形,对于每一个初级通道,线性NANC系统均采用长度为2的FIR滤波器充当控制滤波器。通过FXLMS算法更新滤波器权值,使稳态均方误差最小。
如图2所示,线性NANC系统,2种情形下步长μ均1取0.035。对于线性NANC系统,当初级通道为线性时,利用低阶的FIR滤波器即可有效控制目标噪声,但当初级通道非线性时,线性FIR滤波器难以有效抑制目标噪声,系统性能明显下降。而且,通过大量仿真结果表明,即使增加线性FIR滤波器的长度,系统稳态残余噪声水平没有明显降低。如图3所示,当初级通道非线性时,即使线性FIR滤波器的长度增加到10,剩余噪声的能量仍只能降到-10d B。步长μ1均取0.01。
以上仿真实验可知,当初级通道是非线性时,线性NANC系统难以到达很好的滤波效果。而非线性系统能有效弥补线性线性系统的这一缺陷。
本文提出的非线性NANC系统中,使用长度为2的线性FIR滤波器作为线性滤波器,用于滤除噪声中的基频成份。非线性滤波器是一个只包含2阶及以上的Volterra滤波器,用于滤除噪声中的高次谐波成份。
为了验证该系统中的线性滤波器能有效消除不同能量基频噪声,设目标噪声为:
系数ci的大小表示基频噪声的不同能量的大小。假设c1=1,c2=5,c3=15,它们分别代表3个不同能量大小的基频噪声,其仿真结果如图4中所示。
在图4中,当基频噪声的能量不同时(系数ci不同,c1=1,c2=5,c3=15,μ1取0.035),使用长度为2的FIR滤波器均可以很好的将基频噪声滤除。即最终系统稳定时,均方误差收敛结果十分接近,都能达到期望值-20 d B,能满足设计要求,验证了该系统中的线性滤波器能有效消除不同能量的基频噪声。
系统的非线性滤波器是用到了一个只包含2阶及以上的Volterra滤波器。
将系统中的Volterra滤波器阶次和长度均设定为2,即P=2,LV=2。为了验证本系统对因非线性扭曲而产生的高次谐波噪声的抑制效果,在图2中非线性扰动的基础上,进一步适当增加非线性扰动的比重,使高次谐波噪声分量能量增大(式(13)中系数ai,bi的值相应增大)。即目标噪声系数相对较小时的各个系数设定值同图2中的一样:a1=0.08,b1=-0.04;a2=0.05,b2=-0.03;a3=0.04,b3=-0.02。目标噪声系数相对较大时的各个系数分别为:a1=0.4,b1=-0.2;a2=0.3,b2=-0.1;a3=0.2,b3=-0.1。
2种情况下得到的该系统稳态残余噪声水平如图5所示。
非线性NANC系统,系数较小:a1=0.08,a2=0.05,a3=0.04,b1=-0.04,b2=-0.03,b3=-0.02,μ1=0.009,μ2=0.005;系数较大:a1=0.4,a2=0.3,a3=0.2,b1=-0.2,b2=-0.1,b3=-0.1,μ1=0.008,μ2=0.004。
根据图5可知,当高次谐波噪声分量能量较小时(系数相对较小时),该系统稳态残余噪声能量接近-18d B,明显比图2线性NANC系统中对应的稳态残余噪声能量-10d B要小,满足了降噪的要求。可是高次谐波噪声能量增大时(系数相对较大时),该系统稳态残余噪声能量约为-10d B,系统降噪性能明显下降。
此时,可以通过单独的增加滤波器阶数来改善系统降噪性能。如将Volterra滤波器的阶数提高到3,长度仍为2的时(即P=3,LV=2),得到的系统稳态残余噪声能量如图6所示,接近-20d B,降噪性能明显得到改善,满足降噪要求。
通过大量的仿真实验,可以得出本文设计的基于Volterra滤波器的非线性NANC系统可以很好地抑制受非线性扰动或扭曲的窄带噪声,如图4、图5、图6所示。当受非线性扰动或扭曲的窄带噪声的高次谐波成份变大时,只需要单独提高本系统中的非线性滤波器-Volterra滤波器的阶数,就可以得到很好的滤波效果,如图6所示。由于本系统中的线性滤波器与非线性滤波器是独立的,这样可以单独调节非线性滤波器的参数,为以后系统中非线性部分的进一步研究提供了依据。
3 结语
窄带通滤波器 篇5
电力系统实际应用的绝大部分继电保护仍然是依靠电气量的相量特征来识别故障。因此，如何从故障电流、电压信号中快速、准确地提取相量仍是全数字化保护所面临的重要课题。由数字信号处理理论可知[1]，数据窗越长，滤波器性能越好，要取得理想的滤波效果，将不可避免地造成保护动作延迟。
傅里叶算法[2,3,4]原理简单，滤波效果好，在微机保护中获得了广泛应用，但所需数据窗较长，受非周期分量影响大，各种改进算法又会增加迭代计算或进一步延长数据窗。为此，提出了多种用于继电保护的相量提取算法，例如：正交滤波器组算法[5,6,7]、最小二乘原理算法[8,9]、小矢量算法[10,11]、基于采样相量的算法[12]、矩阵特征根算法[13]及均方根一类的算法等[14]。上述方法从不同角度出发，在一定程度上解决了模型、计算量、数据窗长、滤波性能等问题。
其中，文献[15]采用狭窄带通数字滤波器，取得了较好的效果。但是由于使用半周期傅里叶算法为窄带滤波器提供初值，数据窗固定且延时较长，对提高全数字化保护的速动性而言仍显不足。
智能变电站全数字化技术环境对继电保护的速动性提出了更高要求，有深入研究的迫切要求。为此，本文分析了采用电子式互感器及合并单元，对继电保护速动性提出的新要求；然后从数字滤波器和数据窗长两个方面，寻求针对性的解决方法，提出了一种适用于全数字化保护的相量提取算法，其核心思想是采用变长数据窗的最小二乘法为窄带滤波器提供初值；通过数字仿真和动模试验数据对所提算法的有效性进行了验证。
1 智能变电站环境对继电保护的影响
1.1 采样值传输延迟影响保护速动性
智能变电站中，电子式互感器、合并单元及全数字化保护之间的数据传输过程如图1所示。
常规变电站采用电磁式互感器，二次信号是通过电缆传输的模拟量，传输延时固定且可忽略。在图1所示的智能变电站采样值传输过程中增加了多个延时环节，实测结果延时为1.69～2.69ms，作为对比电磁式互感器延时仅为0.273ms[16]。
智能变电站中采样值传输延时的增加意味全数字化保护要达到与传统微机保护同样的动作速度，必须采用更短数据窗的滤波器和性能更优的相量提取算法。动模试验也验证了：相同试验条件下，智能变电站过程层组网方式下的保护动作时间确实比相同原理的传统微机保护要长[17]。
1.2 模拟低通滤波器性能影响短窗算法效果
模拟量输入的传统微机保护通常配置有模拟低通滤波器，可以用于滤除频率低于fs/2(fs为采样频率）的部分高次谐波。目的是提高短窗算法的精度，以利于保护快速动作。例如在微机线路保护装置中，采用截止频率为150 Hz的RC低通滤波器，可有效提高基于正弦量算法的精度。
智能变电站中的合并单元作为唯一的数据采集源，需要兼顾保护、测量、计量等各种二次设备，无法专门为继电保护电气量提供与传统微机保护等效的模拟低通滤波器。因此，全数字化保护如果继续采用传统微机保护中的短窗算法，必须增加额外的低通数字滤波器，并要求较低的通带截止频率，否则将难以保证短窗算法的精度。这就对全数字化保护的滤波算法和相量求取算法提出了更高的要求。
1.3 积分环节影响非周分量和高次谐波含量
对于电力系统基波电流所处的低频段，电子式互感器工作在微分状态，需要通过数字积分器来还原所测量的电流信号。数字积分器会在以下2个方面影响测量信号的频率成分：(1)为克服直流偏置，在模数转换器（ADC）与数字积分器之间增加高通滤波器，将衰减掉一部分故障电流中的非周期分量；(2)数字积分器可在一定程度上滤除高次谐波，但对直流和低频分量会有不同程度的放大。
因此，在设计适用于智能变电站全数字化保护的相量提取算法和数字滤波器时，应充分考虑采样值传输延迟、模拟低通滤波器特性改变及积分环节等有别于传统微机保护的因素影响[18]。
2 全数字化保护的相量提取算法
2.1 最小二乘原理及傅里叶算法
本文算法在进行滤波器初值估计和精确相量提取时都以最小二乘法原理为基础，假定被采样信号如式（1）所示，以基波为待求相量。
式中：X1为信号幅值；ω1为基波角频率；θ1为信号初相角；ε（t）为叠加的噪声函数；a1,b1分别为基波分量的正、余弦项系数。
对信号进行k次采样，得到观测方程为：
式中：N为每周期内的采样点数。
将式（2）写成相量形式为：
将参数的估计值记为，代入式（3）可得，那么使得式（4）所示平方误差最小的估计值即为最小二乘意义下的最优估计。
此时的参数估计值可表示为：
将式（5）等号右侧分成2部分：（STS)-1和STX。
定义系数矩阵为：
通过矩阵求逆运算可得系数矩阵C(M≠0）为：
而式（5）中的STX可以通过测量相量X直接获取，由此可得基波分量的正、余弦项系数为：
为便于比较和后文讨论，将傅里叶算法简单列写如下。以矩形等值法代替连续积分以离散化，则第n次谐波相量的实部an、虚部bn可以通过式（10）求得：
由此可得有效值Xn和相位θn分别为：
2.2 狭窄带通滤波器
狭窄带通数字滤波器属于无限冲击响应滤波器，简称窄带滤波器。通常的设计方法是根据要求的通带中心频率，直接设置Z平面零、极点[19]。
本文应用情况下的设计过程为：首先给定通带中心频率fp，对应角频率ωp=2πfp，设置极点zp=Re±jωpTs，其中Ts为输入信号的采样间隔，R为极点位置参数，确定方法见下文。再设置零点z01=ejπ=-1和z02=ej0=1，分别对应信号的高频（ωTs=π）阻带和低频（ωTs=0）阻带。由此，窄带滤波器的传递函数为：
对应的差分方程为：
式中：B1=2Rcos（ωpTs);B2=R2。
窄带滤波器的频率选择性与过渡带的陡峭程度密切相关，过渡带的陡峭程度可以用“幅频半值点频偏”来衡量。若在ω=ωp±Δω处的幅频响应幅值为ω=ωp处幅值的1/2，则信号频率偏离通带中心的Δω即为幅频半值点频偏，Δω=2πΔf。
根据幅频半值点频偏就可以确定式（12）中的参数R，也就确定了窄带滤波器的极点位置。为保证滤波器的稳定性，应限制R<1。
利用窄带滤波器提取50Hz基波分量时，可取ωp=100πrad/s和Δf=5Hz。根据幅频半值点的定义和传递函数式（12）可得R=0.987 0，则差分方程系数B1=2Rcos（ωpTs)=1.957 1,B2=R2=0.974 2。
相应的滤波器对应的差分方程为：
便于比较，图2给出了本文所设计的Δf=5Hz和Δf=10Hz的窄带滤波器的频率响应曲线。
2.3 相量提取新算法
窄带滤波器在零初始状态下的暂态时延较长且不固定，影响滤波器的暂态输出精度，无法直接用于故障后初始阶段的保护数据处理。因此，如何缩短暂态时延是窄带滤波器能否在数字化保护中成功应用的关键问题。
窄带滤波器有如下特性：滤波器的输出初值越接近稳态输出值，滤波器的暂态时延越短[15]。若以理想稳态值作为滤波器的输出初值则可以使暂态延时趋向于零，然而理想稳态值事前并无法确切获知。本文的设计思路是首先通过短窗算法获得窄带滤波器的近似输出初值，然后再对经过窄带滤波输出的数据序列采用基于最小二乘方法的变数据窗算法，从而可以精确地提取相量特征。算法流程如图3所示。
具体实施步骤如下。
步骤1：设全数字化保护装置接收到采样值序列为x(n），采样间隔Δt=T/N，其中T为采样信号周期。
步骤2：依据采样序列x(n）的值，进行故障启动判断。若系统正常运行，则执行循环自检程序；若故障启动，则采样计数器开始累加，当计数器满N/4后，进入步骤3。
步骤3：利用1/4周期的短数据窗相量算法（具体算式见后文），可近似求得输入信号对应相量的实部和虚部，由此可近似得到输入信号基波分量的表达式为：
步骤4：在式（15）中，令k=-1和k=-2，得到窄带滤波器的输出初值为y-1=x′（-1）和y-2=x′（-2），将原始采样点序列x(n）和初值y-1,y-2代入式（14）的差分方程，得到经过窄带滤波器的采样值输出序列yk。
步骤5：将序列yk作为输入序列，再次使用变数据窗的相量估计算法得到精确的实部和虚部，求出精确的相量有效值和相位。
步骤6：随着故障启动后采样序列的不断填充，重复步骤4和步骤5，即可得到一系列相量提取结果，用于保护逻辑运算。
与故障启动后采样值序列第1次满1/4周期不同，随着故障后采样值的不断更新，再执行步骤4时，窄带滤波的输出初值已由前一步滤波器输出得出，无需再提供近似值。
步骤5使用的相量估计算法按如下方法选择：当故障采样计数器已满N/2而未满3 N/4时使用1/2周期数据窗，当计数器已满3 N/4而未满N时使用3/4周期数据窗，当计数器不小于N时则使用整周期数据窗。数据窗的变化情况如图4所示。
上述步骤涉及的短数据窗、变数据窗相量估计算法以最小二乘法为基础设计，数据窗长为k时的计算公式如式（9）所示。以每周期采样点数N=48为例，数据窗为1/4周期、1/2周期、3/4周期和整周期的计算公式分别如式（16）至式（19）所示，对应的k取12,24,36和48。
3 算法验证及分析
3.1 数字仿真验证及分析
为验证本文算法的有效性，首先对式（20）所示的典型故障电流进行仿真计算。
式中：I0为非周期分量的初始值；In为n次谐波分量幅值；φn为各次谐波的初相角；τ为衰减时间常数。
模型中除基波分量外，还含有非周期分量及高次谐波，取非周期分量的初始值I0为最大值，衰减时间常数τ=40ms；取2～5次谐波分量的幅值分别为基波幅值的20%,20%,15%和10%；取采样点数N=48。
图5给出了原始故障电流波形和经过窄带滤波器后的电流波形，窄带滤波器的输出初值由1/4周期的短数据窗相量算法估算。可以看出，窄带滤波器的输出较好地滤除了衰减直流分量和高次谐波，保留了基波分量。
图6给出了依照本文2.3节的相量计算步骤得到的基波幅值输出结果，同时给出了采用半周期傅里叶算法、差分半周期傅里叶算法和全周期傅里叶算法的输出结果。
通过对上述算法输出结果的比较可以看出：半周期算法初始输出的误差超过100%，不能直接使用；差分半周期算法可滤除恒定直流分量，误差有所减小，但仍在20%左右，且呈现大幅波动的现象，也不宜直接使用；全周期算法滤波效果较好，但数据窗长在1个周期以上；本文算法的输出结果，最大误差小于全周期算法（比较图6中的(1)点和(2)点），响应速度快于全周期算法，较好地平衡了响应速度和滤波精度之间的关系。
3.2 动模试验数据验证及分析
为进一步对比研究相量提取新算法与傅里叶算法的性能，利用实时数字仿真器（RTDS）动模试验数据进行验证。在开普实验室进行变压器保护动模试验的仿真模型如图7所示。图中：S表示等值系统；G表示发电机；TA表示电流互感器；TV表示电压互感器。分别对正常运行、空载合闸以及K1至K6各处故障的试验数据进行验证，限于篇幅，重点分析K1点发生A相接地故障时的仿真结果，参见附录A图A1。
发生故障后的三相差动电流、制动电流的波形如附录A图A1(a）所示。图A1(b）、图A1(d）和图A1(f）分别是采用全周期算法、半周期算法和本文算法得到的A相差流有效值Id、制流有效值Ir以及比差判据的动作情况；图A1(c）、图A1(e）和图A1(g）分别给出了对应上述3种算法的A相比差工作点的轨迹分布。
对附录A图A1的仿真结果进行分析。全周期算法的数据窗长为1个周期，当故障发生未满1个周期前，数据窗同时包含故障前、后的数据，差流有效值Id由零逐渐上升，至数据窗满1个周期后，比差判据进入动作状态（图A1(b））。半周期算法的数据窗长为1/2个周期，数据窗满1/2个周期后，比差判据进入动作状态（图A1(d）），动作时间小于1个周期，大于1/2个周期。本文算法的Id,Ir输出结果及比差动作状态如图A1(f）所示，在故障发生后1/4个周期即可进入动作区，数据窗短、响应速度快。
从比差工作点的变化轨迹进行对比分析。全周期算法、半周期算法采用逐点计算方式，故障发生后，比差工作点由制动区逐渐进入动作区（图A1(c）和图A1(e）），过渡过程明显。本文算法采用故障后启动采样点数计数器，计数器满N/4后投入相量提取算法，因此故障发生1/4个周期后，比差工作点由制动区跃变到动作区，过渡过程短暂。
从比差工作点的分布情况进行对比分析。在故障持续时间内，比差工作点的位置在一定程度上反映了保护的可靠性和灵敏度。全周期算法的工作点散布于较大范围内（图A1(e）），甚至出现位于动作边界的情况，计算误差就有可能导致保护的不正确动作，保护的可靠性、灵敏度变差。全周期算法的工作点较集中的位于差动动作区内的固定区域（图A1(c）），比差动作可靠性较高。本文算法的工作点高度集中于差动动作区内的固定区域（图A1(g）），而且远离比差动作边界，裕度较大，动作可靠性和灵敏度很高。
4 结语
为适应智能变电站对全数字化保护系统的速动性新要求，结合采样值传输延迟、积分环节及低通滤波器的特点，提出了一种基于窄带滤波器和变长数据窗的相量提取算法。采用最小二乘法，利用故障后数据为窄带滤波器提供滤波器初值，以减小故障前数据引起的窄带滤波器暂态过程影响。算法可实现变数据窗长的相量提取，数据窗长最短约1/4个基波周期。数字仿真及动模试验数据验证表明，该方法可有效提高短数据窗下的滤波精度，改善智能变电站全数字化继电保护系统的速动性。
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