水均衡法

2024-06-02

水均衡法（精选6篇）

水均衡法篇1

1 研究区概况

玛纳斯河流域地处干旱区腹地,极端缺水。独特的山盆结构使其水资源循环特征与其他流域迥异。特殊的水循环特征及水文地质构造,导致地表水与地下水的转化更加复杂。流域地表径流在1950-2010近60a间大致呈10a为周期的波动。而从开垦至今,地下水位经历了上升-下降的过程。70年代中期以前,地下水水位埋深较大,从灌区现在存在的地道挖掘深度分析,当时地下水水位埋深应在10m以下。70年代后期至90年代中期,灌溉面积大幅度增加,水利工程配套不完善,灌溉水平不高,由此造成大量灌溉水入渗,从而使地下水水位抬升迅猛,在强烈的蒸发蒸腾作用下,土壤次生盐渍化日趋严重。90年代该灌区降低地下水水位,改良土壤成为一项重要的工作,通过排渠排水方式起到了一定的成效。从90年代后期至今,特别是近2a,一方面为了提高灌溉保证程度,另外一方面增加灌溉面积,地下水开发利用强度与日俱增,再加上渠系配套、防渗、节水灌溉等因素导致的地下水补给量减少,由此综合体现为地下水水位下降。近年来,受人类活动的影响,流域灌溉面积进一步扩大,水资源供需矛盾加剧,当地的农牧团场打井抽取地下水来弥补地表水资源短缺,导致地下水位急剧下降,地下水循环条件发生了明显改变,流域下游150团地下水位10a间下降近3m,荒漠植被大面积死亡。

2 地下水资源评价方法

地下水资源评价是指在一定的天然和人工条件下,对地下水资源的质和量在使用价值和经济效益等方面进行综合分析、计算和论证。地下水资源量的评价内容,主要指分析地下水的各项补给量、排泄量和地下水的允许开采量,再根据对供水的要求,评价地下水的变化趋势,提出对策建议[3]。在评价方法上大多采用水量均衡法、数值模拟法和开采试验法等。本次研究采用水量均衡分析法对地下水资源量进行评价。

2.1 水量均衡法简介

水量均衡法是地下水资源评价的基本方法[4]。由于其原理简单,可操作性强,能够充分利用长系列的水位动态资料和开采量资料,对于精度要求较低、水文地质勘探资料较少区域而言,是一种有效的地下水资源评价方法,主要适用于评价区域地下水补给资源量,也可初步确定可开采资源量。目前,在地下水资源评价中均衡法的使用比较普遍,均衡法可粗可精,适应性强,许多情况下都能运用。在地下水的补排条件比较简单,水均衡要素容易确定时,用该方法评价地下水资源效果较好。

2.2 水量均衡法基本原理

地下水水均衡是指均衡计算区或计算分区内多年平均地下水总补给量(Q总补)与总排泄量(Q总排)、浅层地下水储变量(ΔW)3者之间的均衡关系[5],根据质量守衡原理,视均衡区为一整体时,某一均衡时段内地下水补给量与消耗量(排泄量、开采量等)之差,应等于该均衡区含水层中地下水总量的变化量。各量之间的关系有:

式中:Q降为降水入渗补给量;Q渠系为渠系渗漏补给量;Q渠灌为渠灌田间入渗补给量;Q井为井灌回归补给量;Q库为水库渗漏补给量;Q河渗为河道渗漏补给量;Q侧补为地下水侧向补给量;Q开采为地下水开采量;Q蒸为潜水蒸发量;Q侧出为地下水侧向流出量;X为计算的绝对均衡差;δ为相对均衡差,%;|X|值或|δ|值的大小可近似判断计算评介精度高低;其余符号意义同前。

3 研究区地下水评价

3.1 研究区地下水均衡计算

此次研究区选在玛纳斯河流域下游莫索湾灌区,灌区内有农八师的147团、148团、149团和150团4个大型农牧团场。本次地下水资源量计算按行政分区范围分为4个计算区,其中Ⅰ区(147团)面积为224.85km2;Ⅱ区(148团)面积为308.6km2;Ⅲ区(149团)面积为341.9km2;Ⅳ区(150团)面积为450.8km2。莫索湾灌区地下水均衡计算结果见表1。

由地下水均衡计算结果表1可知:研究区地下水总补给量为14 484.67万m3/a。其中最主要的补给来源是灌溉入渗补给量(包括渠系、田间入渗补给量),占总补给量的38.1%;其次是降水入渗补给量和地下水侧向补给量,分别占总补给量的16.2%和15.5%,见图1。

研究区地下水总排泄量为14 531.02万m3/a。地下水开采量为6559.08万m3/a,是最主要的排泄方式,占总补给量的45.1%;潜水蒸发量次之,为3165.5万m3/a,占总补给量的21.8%;地下水侧向流出量为4 806.44万m3/a,占总补给量的33.1%,见图2。

根据研究区地下水均衡计算结果,相对均衡误差为3.46%,能够满足《供水水文地质勘察规范》(GB50027-2002)对地下水资源计算精度的要求(|δ|<10%),地下水补排差为-46.35万m3/a,地下水处于负均衡状态,与地下水动态长期观察结果一致。

3.2 结果分析

(1)研究区地下水处于负均衡状态,研究区地下水开采量的增加远大于泉水溢出量和潜水蒸发量的减少,开采量表现为消耗在地下水的储存量,就是表现为输干式开采。

(2)研究区以农业为主,少有大型工业,故而地下水的主要排泄项是灌溉用水,为调整地下水超采现状,最有效的方法便是调整种植结构,以实现地下水资源的合理利用。

(3)研究区地下水补排差为-46.35万m3/a,地下水处于负均衡状态主要影响因素是补给量的减少和排泄量的增加。一方面,随着经济水平的提高,灌区逐步对渠道进行了防渗处理,加之滴灌的大面积使用,补给量明显减少;另一方面,为提高经济效益,垦荒扩田,灌溉用水量也随之增大,直接表现为排泄量的增加,在两者共同作用下,加剧了地下水的补排差。

4 结语

水均衡法的计算是基于现状条件进行的,它可以粗略估计出未来地下水的可开采量,但是无法预测含水层中地下水位随空间和时间的变化,也不能准确计算因开采而激发的补给增量[6],因而预测的地下水可开采量比实际的可开采量偏小,在进行水资源开发利用规划过程中,应结合开采试验法和数值模拟法进行评价,确保评价的准确性。

为实现地下水合理开发利用,提出以下几天建议:

(1)在灌区内建立蓄调地下水库,以调节地表水资源在时空分布上不均匀对地下水的影响,以此提高水资源利用率。

(2)按地下水资源分布特征及其可利用程度,考虑地表-地下水转换关系和地下水生态环境作用,对地下水进行水资源利用分区。对利用程度较低区域适当加大开发利度,而对于严重超采地区进行有效保护。

参考文献

[1]林祚顶.我国地下水开发利用状况及分析[J].水文,2004,(1):18-21.

[2]章光新,邓伟,何岩.我国北方地下水危机与可持续农业的发展[J].干旱区地理,2004,27(3):437-441.

[3]徐恒力.水资源开发与保护[M].北京:地质出版社,2001.

[4]赵成.地下水资源评价中有关概念的讨论[J].甘肃地质学报,1999,8(1):78-85.

[5]董新光,邓明江.新疆地下水资源[M].乌鲁木齐:新疆科学技术出版社,2005.

[6]刘国东,丁晶.傍河水源地地下水资源评价方法述评[J].水科学进展,1998,9(3):289-294.

水均衡法篇2

本文以水均衡原理为基础,建立了考虑饱和带和非饱和带的水均衡模型。该模型以土壤水入渗补给系数α、蒸发衰减系数ε两个参数描述土壤水和地下水之间的转换关系;用特征长度Lc描述渠灌区与井灌区之间的水力联系。该模型具有计算成本低、时间步长大的优点,能准确高效地模拟预测大区域井渠结合区的土壤水和地下水的动态变化。

1水均衡模型

1.1井渠结合控制区水分转化分析

本文建立的水均衡模型将研究区进行以下概化:在水平面上分为渠灌区和井灌区;在垂向上分为根系层、水位波动层和潜水含水层。根系层上边界的水量输入、输出项包括降雨、灌溉、实际腾发量等。降雨和灌溉根据当地的观测资料确定,实际腾发量采用改进的Penman-Montieth[9]公式等方法计算,下边界包括土壤水入渗补给地下水的土壤渗漏量和地下水通过潜水蒸发补给土壤水的潜水蒸发量,并假设根系层的水分运动仅发生在垂向上,假设水位波动层含水量维持不变;潜水含水层输入水量有渠系入渗补给和土壤水入渗补给,输出水量包括潜水蒸发和井灌区地下水开发量;渠灌区和井灌区之间因水位差引起水量交换,整个井渠结合控制区满足采补平衡。井渠结合控制区的水分转化和均衡模型如图1所示。

图1中:下标q、w分别表示渠灌区和井灌区;I为均衡时段内的灌水量,m3;P为均衡时段内的降雨量,m3;ETa为均衡时段内的实际蒸发蒸腾量,m3;F为均衡时段内土壤水补给地下水的水量,m3;E为均衡时段内潜水蒸发量,m3;EX为均衡时段内水位波动层和潜水含水层的水量交换量,m3;Qqw是均衡时段内因水位差渠灌区补给井灌区的地下水量,m3;Qinq、Qinw均衡时段内渠系渗漏补给渠灌区、井灌区的水量,m3;Q为井灌区的抽水量。

1.2水量均衡控制方程

地下水均衡计算依据质量守恒原理[10],根据井渠结合区的灌溉制度、蒸发蒸腾量、降雨量等水均衡资料,以月为均衡时段,建立井渠结合控制区水量均衡方程。

总水量均衡方程:

根系层水量均衡方程:

水位波动层水量均衡方程:

潜水含水层水量均衡方程:

其中,土壤水补给地下水的水量F采用经验公式:F=α (I+ P);地下水蒸发补给土壤水的水量采用叶水庭提出的指数型公式[11]:E=E0e(-ε)Δ;渠灌区因水位差补给井灌区的水量采用达西定律 :; 渠系入渗补给地下水量的计算采用公式 :, 且井灌区的抽水量等于井灌区的灌溉水量 : Q=Iw。

式中:Δθ为根系层在均衡时段内的含水率变化量;V为根系层体积,m3;μ为给水度;Δh为均衡时段内的水位差,m;A为控制面积,m2;α 是地下水入渗补给系数;E0是水面蒸发量, m3;ε是潜水蒸发衰减系数;Δ 是地下水埋深,m;k是潜水含水层的水力传导系数;Aqw是渠灌区和井灌区交界处的饱和含水层横断面面积,m2;h为均衡时段内的平均水位,m;Lc是渠灌区和井灌区之间的特征长度,m;β是渠系水利用系数;γ是渠系损失水入渗补给系数;δ是渠灌区面积占总控制区面积的比例。

2水均衡模型分析

2.1非饱和带水分均衡验证

(1)非饱和带水分均衡验证分析方法。因目前缺乏详细的野外观测数据,本文首先用HYDRUS模型进行数值模拟实验, 模拟时长为60个月,以最后12个月的模拟结果作为参照数据验证非饱和带水均衡模块的可靠性。分析验证过程为:首先, 对于所选定的非饱和带土壤类型,在灌溉定额为4 500m3/hm2的条件下,利用HYDRUS的模拟分析得到土壤含水量的详细分布,根据数值试验所得到的土壤含水量分布,由均衡模型反求土壤水入渗补给系数α、衰减系数ε值;然后,利用所得到的参数值α和ε,在灌溉定额3 000、6 000m3/hm2条件下,通过分析均衡模型的计算结果与HYDRUS模型得到的土壤含水量和地下水埋深的平均结果,验证均衡模型的正确性,并且分析模型参数α、ε与灌溉定额、非饱和带土壤性质和地下水埋深的关系。若水均衡模型的地下水位和含水量计算结果和与HYDRUS模型所得到的地下水位和含水量输出结果的平均值变化规律一致,并且水均衡模型的计算满足精度要求,则说明水均衡模型非饱和带水分运动模块是合理可行的。

进行数值模拟实验的区域大小为4 m×41 m(长 × 高)。假设z轴向下为正,地表坐标为0,垂向上土壤分层有两种:1沙壤土(0~2m),沙黏土(2~3m),沙壤土(3~5m),沙土(5~ 41m);2沙黏土(0~2m),沙土(2~41m)。土壤水力参数取HYDRUS软件中的默认值。试验区域的灌溉制度、降雨量、蒸发量采用河套灌区近年来的观测数据。在HYDRUS模型中, 采用van Genuchten[14]描述土壤水分特征曲线,上边界为大气边界和根系吸水,下边界和侧向边界采用隔水边界。

本文用正反分析法[8]反演参数,先分别假定土壤水入渗补给系数α、衰减系数ε的值,通过正演分析得到水均衡模型的地下水埋深和含水率的值及其动态变化,然后将其与数值模拟试验结果相比较,并在一定的取值范围内修改调整α、ε,逐步逼近观测值,找出最优的NRMS值,从而确定参数α 和ε 的取值。验证过程中,若水均衡模型计算得到的数据和数值模拟试验结果对比的标准化均方根NRMS小于5%,说明水均衡模型的计算满足精度要求。

(2)反演与验证。图2是在非饱和带土壤为沙壤土,灌溉定额为4 500m3/hm2条件下,水均衡模型与HYDRUS模型模拟结果的对比。由图可知,水均衡模型的地下水埋深、含水率的变化规律和Hydrus模型所得到的地下水埋深、含水率输出结果的平均值变化规律一致,且地下水埋深、含水率的标准化均方根NRMS分别是1.01%、0.21%,均小于5%,满足精度要求,且精度较高。识别得砂壤土的土壤水入渗补给系数α的值在作物生育期为0.25、秋浇期为0.35;衰减系数ε的值为1.0。

灌溉定额分别为3 000、6 000 m3/hm2,其余条件不变时, 水均衡模型和HYDRUS模型模拟所得地下水埋深、含水率的动态变化均一致,如图3所示;且灌溉定额为3 000 m3/hm2时,地下水埋深、含水率的标准化均方根(NRMS)分别是0.95%、0.60%,灌溉定额为6 000m3/hm2时,其NRMS分别是2.79%、0.41%,均小于5%,满足精度要求。说明水均衡模型非饱和带水分运动模块是合理可行的,土壤水入渗补给系数 α和衰减系数ε 取值不受灌溉定额影响。

一般认为入渗补给系数和衰减系数水非饱和带土质的不同而异,当取非饱和带土壤为沙黏土时,反演出的土壤水入渗补给系数α的值在作物生育期为0.1、秋浇期为0.3;衰减系数 ε的值为0.95。经验证,在不同的灌溉定额下,水均衡模型和HYDRUS模型输出的地下水埋深、含水率的一致性较好,且标准化均方根均小于5%,满足精度要求。再次证明水均衡模型非饱和带水分运动模块是合理可行的,且和土壤性质无关。

(3)初始地下水埋深对水均衡模型非饱和带水分运动的影响分析。图4是灌溉定额为3 000m3/hm2,初始地下水埋深分别为1、2、3m,其余条件不变的水均衡模型与HYDRUS模型模拟结果的对比。由图可知,水均衡模型和HYDRUS模型输出的地下水埋深、含水率的变化规律一致,且初始地下水埋深为1、2、3m时地下水埋深的标准化均方根NRMS是0.96%、 0.95%、0.97%,含水率的标准化均方根NRMS分别是0.16%、0.60%、0.15%,满足精度要求。说明水均衡模型非饱和带水分运动模块是合理可行的,且不受初始地下水埋深的影响。

综上所述,在不同的非饱和带土壤类型、不同的灌溉定额和不同的初始地下水埋深的条件下,水均衡模型的模拟计算结果和HYDRUS模型的数值模拟实验结果均保持较好的一致性,且计算精度满足要求。说明水均衡模型非饱和带水分均衡分析方法是正确可行的。水均衡模型中土壤水入渗补给系数 α、衰减系数ε取值可以通过土壤含水量的测量结果反求,该参数不受灌溉定额、初始地下水埋深的影响,仅和非饱和带土壤类型有关。

2.2饱和带水分均衡验证

(1)饱和带水分均衡验证分析方法。目前缺乏详细的野外观测数据,本文用MODFLOW模型做数值模拟实验,利用MODFLOW模型模拟分析得到的地下水埋深的详细分布验证水均衡模型饱和带水分运动的可靠性。分析验证过程如下:首先,在饱和带岩性分别为沙土、沙黏土,灌溉定额为4 500m3/hm2的条件下,反演出特征长度Lc值;然后,改变灌溉定额值,验证反演出的Lc取值的正确性,并且分析其和灌溉定额、饱和带岩性的关系;最后在饱和带岩性为沙土,灌溉定额为3 000m3/hm2的条件下,分别改变初始地下水埋深、井灌区布井方式、研究区域大小,验证Lc取值和它们的关系。综合整个分析验证过程,若水均衡模型的模拟计算结果和MODFLOW模型所得结果的变化规律一致,并且计算精度满足要求,则说明水均衡模型饱和带水分运动模块是正确的。

在利用MODFLOW模型的数值实验中,模拟实验的区域大小为2 000m×333.33m×60m(长×宽×高)。假设z轴向下为正,地表坐标为0,垂向上土壤分层为:沙壤土(0~5m),沙土(5~60m)。沙壤土和沙土的水力传导系数k值分别取1.01 m/d和7.5m/d[13],其余参数取值为MODFLOW软件的默认值。试验区域的灌溉制度、降雨量、蒸发量采用河套灌区近年来的观测数据。MODFLOW模型的上边界有补给项和蒸发项,蒸发项采用ETS1程序包,井灌区有2口抽水井,抽水量的分配方式有两种:1一口井的抽水量占总抽水量2/3,另一口井占1/3;2抽水量平均分配。

(2)反演与验证。如图5所示,在饱和带岩性为砂土,灌溉定额为4 500 m3/hm2,抽水量分配方式1,模型研究区域为2 000m×333m×60m(长×宽×深,下同),渠灌区、井灌区的初始地下水埋深为2m和2.5m的条件下,水均衡模型渠灌区和井灌区的地下水埋深的动态特征和MODFLOW模型所得到的地下水埋深输出结果的平均值一致,且渠灌区和井灌区的地下水埋深的标准化均方根分别是0.51%、1.54%,满足精度要求。识别得特征长度Lc值为模型控制区域总长度的1/3。

改变灌溉定额值,分别取3 000、6 000m3/hm2。水均衡模型模拟结果与MODFLOW模型模拟结果的对比见图6。由图可知,两种情况下,水均衡模型和MODFLOW模型模拟所得渠灌区和井灌区的地下水埋深动态特征一致,且灌溉定额为3 000m3/hm2时,渠灌区和井灌区的地下水埋深的标准化均方根NRMS分别是0.26%、1.38%,灌溉定额为6 000 m3/ hm2时,其NRMS分别是0.77%、0.95%。说明水均衡模型饱和带水分运动模块是合理可行的且特征长度Lc的取值规律不受灌溉定额影响。

模型中饱和带岩性为砂黏土时,反演出的特征长度Lc值同样取为模型控制区域总长度的1/3。经验证,对于不同的灌溉定额,水均衡模型和MODFLOW模型所得到的地下水埋深的动态特征均一致,标准化均方根均小于5%,满足精度要求。再次证明水均衡模型饱和带水分运动模块是合理可行的且不受地质类型的影响。

(3)水均衡模型饱和带水分运动与其影响因素的关系分析。对水均衡模型饱和带水分运动可能产生影响的有抽水量分配方式、地下水初始埋深和研究区域的大小等因素。表1给出了模型分别在抽水量分配方式2、井渠结合区渠灌区和井灌区的初始地下水埋深为1m和2m、模型研究区域为1 333m ×333m×60m和4 000m×2 000m×60m条件下的水均衡模型和MODFLOW模型的模拟计算结果对比的标准化均方根的值。

经模拟计算知,在不同的条件下,水均衡模型渠灌区和井灌区的地下水埋深的动态特征和MODFLOW模型所得到的地下水埋深输出结果的平均值均一致,且水均衡模型和MODF- LOW模型的地下水埋深的NRMS值均小于5%,满足精度要求。这些算例均证明水均衡模型饱和带水分运动模块是合理可行的且特征长度Lc取值不受抽水量分配方式、初始地下水埋深和模型研究区域大小的影响。

综上所述,对于不同的饱和带岩性、不同的灌溉定额、不同的抽水量分配方式、不同的初始地下水埋深和不同的模型研究区域大小,水均衡模型的模拟计算结果和MODFLOW模型的模拟计算结果输出平均值均一致,且计算精度满足要求。说明水均衡模型饱和带水分运动模块是合理可行的。在所研究的地下水开采模式和灌溉排水条件下,特征长度Lc取值不受饱和带岩性、灌溉定额、抽水量分配方式、初始地下水埋深和模型研究区域大小的影响,取值为模型控制区域总长度的1/3。

2.3特征长度Lc物理意义解释

水均衡模型中,因渠灌区和井灌区的水位差而产生的渠灌区补给井灌区的水量用达西定律计算,公式为:

式中:J是水力坡度。

以灌溉定额为3 000m3/hm2,控制区域为2 000m×333m ×60m的MODFLOW模型10月份地下水埋深数据,计算特征长度Lc值为例。井渠结合控制区10月份的地下水水位线如图7所示。

井渠结合控制区中渠灌区和井灌区的交界处在x=1 500 m处,水位曲线在1 500m的切线斜率J=-0.002 82,渠灌区和井灌区的平均埋深分别是58.57 m和56.91 m,所以Lc= (hc-hw)/J=590.93m,即Lc=29.55% ×L。计算所得的有灌溉抽水的7个月份的特征长度Lc值和其占控制区总长度的百分比p见表2。

由表2可知,在有灌溉抽水的月份,特征长度Lc平均值是总长度的1/3,最大可取45.8%,最小可取27.5%。

2.4野外实测数据的模拟分析

野外观测数据来源于文献[14]。灌溉量、降雨量和蒸发量以及地下水埋深和土壤含水率选取1-Apr-97~12-Nov-97时段的数据。研究区域土壤类型主要为黏壤土(38%)和砂壤土(62%)[14],本文非饱和带参数土壤水入渗补给系数α在作物生育期为0.25、秋浇期为0.35;潜水蒸发的衰减系数ε 的值为1.0。第四系上部的含水层可概化为二层:顶部为黏质粉砂,厚度一般小于20 m,下部为细砂承压含水层,最大厚度可超过350m,含不连续的黏性土夹层[14],本文将含水层概化为砂土, 特征长度取值与含水层岩性无关,这里特征长度Lc取研究区域总长度的1/3。

取用该实测数据和砂壤土的土壤水入渗补给系数α 和衰减系数ε 取值,利用本文所提出的均衡模型,以月为均衡时段对研究区域进行模拟计算,所得地下水埋深和含水率的动态变化和实测数据由图8所示。总体来说,地下水位埋深和土壤含水量的模拟结果与实测数据拟合良好,但在某些均衡时段内有一定的偏差,主要原因有3个:1文献中4、5月份为融解期,土壤水融化引起土壤水下渗补给地下水,土壤储水量减小而地下水位升高;水均衡模型尚未考虑冻融问题;2实际地下水位和土壤含水量对灌溉和降雨和蒸发的响应较晚,水均衡模型中忽略了这种滞后型;3实测数据中缺少5-8月份的土壤体积含水率,其值是线性差分所得。但是水均衡模型的地下水埋深和含水率与实测数据的整体变化趋势一致,其标准化均方根NRMS分别是4.88%、0.74%,均小于5%,满足精度要求。该算例也说明水均衡模型适用于模拟预测大区域非饱和带- 饱和带的水分运移转化。

2.5水均衡模型计算效率分析

对于模拟大区域的非饱和-饱和水分运移问题,目前常用的数值模拟软件要求的时空步长小,计算效率低,成本太高。水均衡模型以月为均衡时段,以水均衡原理为基础,模型中控制方程较少,所以在模拟区域非饱和- 饱和水分运移问题时, 在保证较好精度的前提下,耗时短,效率高且计算效率和模拟区域的大小无关。表3中列出了在不同的控制区域大小,相同的初始条件和边界条件下,水均衡模型和HYDRUS模型计算所需的时间、水均衡模型计算效率和HYDRUS模型计算效率比。由表3可知,水均衡模型的计算效率远远高于HYDRUS模型,且随着模型模拟区域的增大,水均衡模型效率高的优势越明显。

3结语

水均衡法篇3

1 拉格朗日乘数法

给定一个多元函数,以二元函数为例,设二元函数Z=f(x,y),我们把求该函数在条件ф(x,y)=0下的极值称为条件极值,具体做法是利用拉格朗日乘数法先构造函数F(x,y)=f(x,y)+λф(x,y),其中λ为参数,接着求F(x,y)对x和y的一阶偏导数,令它们等于零,然后与附加条件ф(x,y)=0联立,即

解出驻点(x,y),此为函数在条件ф(x,y)=0下的可能极值点。若这样的点是唯一的,由实际问题可直接判断该点为所求的点。

2 拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用

我们知道,微观经济学研究消费者行为时,所要阐述的核心问题是消费者均衡的原则。即消费者在特定条件下(例如偏好,商品价格和收入水平等),把有限的货币收入分配到各种商品的购买中,以达到消费的满足感,使购买行为的总效用最大。

假设消费者在一定时间内的总收入为R,购买商品A和商品B的数量分别为q1和q2,其中商品A的单价为p1,商品B的单价为p2,不妨我们假设商品B是一种复合商品,即除了商品A之外消费的其他一切商品。设消费者消费一定数量A商品和B商品组合所得到的总的满足感(我们称之为效用函数)为U(q1,q2)。要使消费者的购买行为效用最大,即是求函数U(q1,q2)在条件p1p2+q1q2=R下的极值。由拉格朗日乘数法,我们有

在此情形下,消费者货币分配比例达到最佳,即分配比例的任何变动都会使总效用减少,因此,消费者不再改变其各种商品的消费数量,这被称为消费者均衡。它保证消费者实现收入一定时使货币购买效用最大化。

3 实例应用

假设某个消费者收入为1000元,现准备将其全部用于购买A与B两种商品,已知两种商品的价格分别为pA=100元,pB=200元。两种商品的边际效用如表1所示,此消费者应该购买多少A,多少B才能使得总效用最大?

根据收入约束100qA+200qB=1000,两种商品的购买组合如表2。

显然运用消费者均衡原则,当边际效用之比等于价格之比时,就可以确定该消费者实现效用最大化的两种商品的购买量组合比例。

4 结论

消费者均衡原则其实可以扩展到多种商品的情形,我们只要将拉格朗日乘数法应用到多元函数进行求极值即可得到。

参考文献

水均衡法篇4

关键词：核聚变,能量均衡法,排序,缓冲区,轨道分配

0 引言

汽车生产的主要流程为:冲压→焊装→涂装→总装。其中,在涂装车间需要对车身喷涂不同颜色,就产生了换漆、清洗喷涂管道等一系列工作;另一方面,缓冲区轨道利用不充分也会造成空间、时间和成本的浪费。针对这些问题,本文结合生产线常用的线性缓冲区研究了一种能量均衡排序方法,对车身进行编码,通过原子核聚变能量大小得出最优车身类型组合,均衡地分配轨道进行排序,并通过实例分析,验证了该排序方法的有效性。

1 能量均衡排序法

1.1 能量均衡排序法原理

核聚变是指由较轻的原子核聚合成较重的原子核而释放出能量。能量均衡排序方法,是模拟核聚变过程,将缓冲区内相同颜色属性的白车身看做一种原子核,不同颜色属性的白车身则为不同种类的原子核,并假定不同类型的原子核之间均可发生聚变反应。由于不同类型原子核聚变能量不同,在此近似为与原子核质量成正比,即聚变能量qi,j≈λ(mi+mj)(λ为常数,m为原子核质量,i、j分别表示第i、j类原子核,大于两种聚变时在此只讨论两种原子核聚变的情况),其中原子核质量Zk为该类型白车身的数量。当轨道数目为S时,每条轨道可排S种原子核,为了提高缓冲区轨道利用率,使轨道长度最短,通过聚变能量的计算,可得到使每条轨道能量值最接近的组合,在此称作“轨道能量均衡组合”[1],可用如下数学模型表示:

当i,j同时存在于轨道k上

Qk表示轨道k的总聚变能量

qi,j表示i,j两种原子核的聚变能量

1.2 能量均衡排序法的基本步骤

能量均衡法主要由三个基本步骤组成,即获取生产计划、特征编码、聚变能量计算和轨道分配[2]。流程图如图1所示。

基本步骤:

1)获取生产计划:从涂装车间当天的生产计划中获取有效数据,如颜色种类、数量等。

2)特征编码:将白车身看做有质量的原子核。分别求出各类原子核质量mk。同一颜色属性的车身数量越大,则原子核的质量越大,各原子核按照质量从大到小依次编码。

3)聚变能量计算和轨道分配:根据Qi,j≈λ(mi+mj)近似计算所有可能的组合方式所产生的轨道能量。每条轨道上的能量即为该轨道上聚变产生的能量。比较各组合方式的轨道能量,按照最优“轨道能量均衡组合”将序列排入轨道。

另外,在此提出一种后续优化方法:二次分轨[3]。前面三步已得到排序的优化解,但并不是最优。若需要得到最优解,可对已排序列进行第二次分轨排序。在缓冲区内增设第二段缓冲区,将最长(或最先布满)的轨道上的序列排入第二段缓冲区,依次将其他轨道上的序列也排入第二段缓冲区,最后可得到排序的最优解,分轨前同样可以通过计算聚变能量得到最优“轨道能量均衡组合”以提高轨道利用率。此步骤适用于对排序结果要求极高的生产线。

2 应用算例

结合常用线性缓冲区轨道,例举一条涂装生产序列,对该排序方法进行应用分析。

2.1 线性缓冲区结构

常用的缓冲区排序轨道有多种,如线性轨道、环形轨道[4]等。线性轨道结构如图2所示[2],白车身从焊装车间下线后,呈随机数列进入涂装车间缓冲区的前导区G0,由前导区进入各条缓冲轨道G11—G1n,通过优化排序后离开缓冲区进入输出轨道Gn。

2.2 算例分析

以一组车身涂装序列P为例,设缓冲区轨道数为3,序列中A,B,C,D,E,F,G分别为不同的喷涂颜色:

2.2.1 获取生产计划

该批车身共有7种颜色,30辆,各颜色数量如表1所示。

2.2.2 特征编码

根据不同颜色车身的数量,原子核质量大小为:D>E>F>C>B>A>G,各颜色编码依次如表2所示。

生产序列为:

可转换为编码序列:

2.2.3 聚变能量计算和轨道分配

由于轨道数n=3,故每条轨道最多可分配3种原子核,但每类原子核只能分配到一条轨道。根据排列组合分别计算聚变能量如表3所示。

取最小目标函数值,即最优组合为(1、6),(2、5),(3、4、7)。将P’的序列依次列入轨道内如表4所示。

可得优化序列:

排序前,该序列车身在涂装过程中需要换漆28次,经类核聚变法排序后,只需要换漆17次。另一方面,缓冲区轨道容量为10,且空间利用率达到100%。由此可见,该排序方法有效减少了涂装过程中的换漆次数,同时取得了缓冲区的较高利用率。

3 结束语

本文提出的能量均衡排序法主要针对涂装车间线性缓冲区的车身排序,在使换漆次数大大减少的同时还提高了缓冲区的利用率,大大降低了生产成本和建设成本。车身作为独立个体进入已定轨道,无需对前后车身进行比较,简化了排序过程,并有效缩短了时间。此方法与此前提出的“类引力机制排序方法”相比,有显著的优化效果。将能量均衡排序法运用到具体生产领域,结合不同生产要求,在轨道数量匹配和分级排序等方面进行深入研究,便可得到更优化的解,这也将是此方法可拓展的研究方向。

参考文献

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水均衡法篇5

随着便携式电子仪器设备、数字移动终端、电动力机车等电子技术装备的高速发展, 特别是一些负载用电子设备的投入使用, 由于其具有峰值功率高但平均功率低的特点, 因此在峰值期间, 需要电源提供较大的电流输出。广泛使用的蓄电池具有功率密度小、充放电慢等缺点, 如果要满足大电流输出的需求, 需要蓄电池具有很大的容量, 这会增加设备负载, 同时大电流放电也会对电池的寿命产生影响。超级电容作为一种新型储能元件, 具有快速充放电、循环使用寿命长、功率密度大、工作环境适应性强、安全无毒等优点, 这些优点非常适用于脉动性负载, 但其能量密度低, 无法取代传统蓄电池来独立给负载进行供电。目前常见的是将蓄电池能量密度大、超级电容功率密度大等特点结合, 设计一种混合电源来提高电源峰值输出功率、减少电源体积质量投入应用。

然而单模块的混合电源额定电压为3.2V, 无法满足高电压设备的输出需求, 因此需要将这种混合电源进行串并联, 来满足设备的供电需求。而组合电源中单体的过度充放电则会降低电源组使用寿命, 甚至可能会发生爆炸威胁设备安全。造成单体电源过度充放电的最根本原因是由于电源组内各单体电源间的容量差异, 解决这个问题的方法之一是均衡充电, 目前研究主要侧重于两部分:一部分是对均衡充电电路拓扑的设计, 另一部分是对均衡控制策略的研究。关于对均衡充电电路拓扑的设计, 主要有电阻放电均衡法、开关电容法、开关电感法、DC/DC法、多绕组变压器法等。目前常用的均衡法主要存在均衡时间长、缺乏普适性等问题, 同时采用基于电池外压一致性来判据均衡存在不稳定性等因素。如何快速高效的对电源组内单体电源均衡充电, 是目前业内研究的一个重要方向。

本项目从超级电容入手, 以四个混合电源串联为研究对象, 基于DC/DC法, 利用开关矩阵, 采用多平衡充电复合设计思路, 提出交叉充电设计理念, 设计一种电源管理系统, 建立相关充放电数学模型, 提出一种快速充电方法, 并通过实验验证了该系统的可行性。

二、常用均衡充电方法介绍

如图1所示, 常用的均衡充电方法可以依据能量损耗分为能耗型和非能耗型, 其中能耗型均衡是通过在电源组中各单体电源两端分别并联分流电阻, 通过分流电阻对容量高的单体电池进行放电, 直至所有单体电池容量在同一水平。这种电路设计简单, 成本低, 但分流电阻会一直处在工作状态, 将单体电源的能量以热量的形式消耗掉, 一般适用于能量充足、散热良好的场合。本项目主要就非耗散型均衡电路进行研究, 常见的非能耗型均衡电路有多绕组变压器法、开关电容法、开关矩阵串并联转换充电法、DC/DC法, 其原理如图2、图3、图4、图5所示, 上述各种方法的优缺比较见表1。

常见的DC/DC有升压型、降压型和升降压型三种, 考虑到适用范围, 本文选取了升降压型DC/DC转换器。升降压电路原理如图5所示, 既可以作为降压电路来使用, 又可以做为升压电路来使用, 其中L为电感, D为单向导通二极管, C为电容, T为功率管, 当T的控制端输入整脉冲电压时, T正向导通, 为零时截止。功率管导通阶段, 由于D的存在, 输入电流通过T和L后返回, 此时VL=Vi, 电感电流逐步增大。当到t1时刻, T断开, 输入电压Vi与后端断开, L的电流经过负载后通过D返回, 同时电容C上的电流也通过负载返回负端。电感电流逐步减少, 电压反向, 电感作为能量源, 此时电感电压VL=Vo。

功率管导通阶段, 电感电流:

功率管关断阶段, 电感电流:

根据电流平衡原理:

其中D=t1/T为占空比。

从上述可以看出, 输入电压与输出电压的比值可以通过输入方波的占空比进行调节, 即依据输入电压的变化, 通过控制DC/DC电路控制端的方波输入, 实现输出电压恒定。

DC/DC充电法的原理如图6所示, 是利用DC/DC模块并联充电单体来进行恒压充电, 当电源单体电压低于其额定值时进行充电, 监测到其电压值达到额定电压时关闭该DC/DC模块。该方法系统电源可以同时对各个电源单体进行充电, 精度高, 损耗少, 充电速度快, 但是由于DC/DC模块的数量与电源单体数量相等, 当电源单体串联数量较多时, 整个电路系统会变得非常庞大、复杂, 成本也变得比较高。

三、一种改进新型的均衡充电电路设计

对比上述几种均衡充电电路, 针对其优缺点, 设计一种以FPGA为核心, 基于开关矩阵和DC/DC组合的新型的均衡充电电路, 这种电路仅采用一个DC/DC模块, 通过开关矩阵进行循环充电。由于采用一个DC/DC模块保证了均衡充电的精确性, 同时电路成本也有所降低, 但这种方法受开关矩阵工作限制, 不适用于过多的电容充电, 如果需要对多个超级电容充电, 则可以将其分组采用该方法, 然后组间采用并联模式进行均衡充电。

该系统原理如图7所示, 其中左侧为充电模块, 右侧为监控模块。系统具体工作流程如下:FPGA对DC/DC模块进行波形控制, 变压后输出对各个单体电源进行充电, 充电目标由FPGA控制开关矩阵进行选择。开关矩阵由SW1、SW2、SW3、SW4单刀四置开关和一个单刀开关SW5组成, 充电时, 首先将SW5断开, 当四个四置开关均至1位置时, DC/DC模块将对单体电源1进行充电。同理可以分别对单体电源2、3、4进行充电, 充电完毕后四个四置开关断开, SW5闭合。FPGA通过AD1实时监控充电电流, 并依据采样值对DC/DC模块和开关网络进行控制。在充电过程中, 系统实时监测电源单体电压, 监测值通过光耦将数据耦合到AD2, 采样后送至FPGA分析, 来控制开关矩阵, 分别对单体电源模块1、2、3、4充电。

四、针对超级电容的打断法充电方式的改进

传统的充电方式多采用“先恒流后恒压”的两段式充电方式, 该方法可以避免尖峰电流对单体电源和DC/DC电路的冲击, 起到保护设备的作用。第一阶段采用恒流方式, 单体电源电压随着时间的逐步升高, 当单体电源电压达到一定值后, 转入恒压模式, 充电电流逐步降低, 直至充满。本项目就第一阶段充电过程进行分段处理, 采用打断方式进行充电, 既保护了单体电源中的超级电容, 对充电时间也没有明显的影响。具体工作原理如下:FPGA通过A/D采样系统电压电流, 当电流值过大时, 则FPGA芯片关闭DC/DC模块的控制端几个周期, 此时DC/DC模块处于不工作状态, 则充电电流迅速下降, 超级电容器单体电压值不再上升, 然后FPGA芯片打开开关, 继续对PWM端进行控制, 这样就可以维持充电电流基本恒定, 当电源单体电压升高到一定值后, 充电方式改为恒压充电, 即将DC/DC模块PWM控制端的方波占空比固定, 直至单体电源充电到额定电压, 完成对该电源单体的充电电, 然后切换开关位置, 对下一个电源模块块充电。

根据充电方法, FPGA的控制流程如图图8所示, 系统启动时, 所有开关均置1的的位置对超级电容器C1进行充电控制, DDC/DC电路的PWM端采用占空比D=d的波形形进行充电, 当检测到充电电流偏大时, 关关闭PWM端, 此时D=0, 充电电流下降, 当当充电电流I下降至所要求电流以下时打开开PWM端的控制继续进行D=d的充电模式式, 直至超级电容器C1的电压值已充至要求求值, 然后采用恒压的方式进行充电即D为为固定值充电至其额定电压, 然后转换开关关至下一个超级电容器单体, 如此轮循, 最最后完成对整个超级电容器组的均衡充电电。

五、总结与分析

本项目综合几种均衡充电方法, 提出一一种基于开关矩阵和DC/DC的均衡充电系统统, 根据设计的充电系统建立相关模型, 充电过程中采用间断式充电方法, 保证单体电源中的超级电容工作在额定电流范围内, 充电过程仿真如图9所示。

项目以四节maxwell的BCAP0350超级电容为充电单体样本, 其额定电压为2.7V, 额定容量为350F。采用该方法充电, 均衡完成后, 四个电容器单体电压值如表1所示, 同组最大单体误差为0.07V, 基本达到了均衡充电目的。

从本项目仿真及验证效果来看, 采用了DC/DC+开关矩阵模式, 减少了直流转换模块, 增加了开关矩阵网络, 当电源组中电源单体数目增加时, 开关矩阵的复杂度会成本增加。本项目提出的系统设计方法可以应用与单体数目较少的工作环境, 针对单体数目较多的情况, 可以采用多组并联的方式进行。如何平衡组内单体充电时间与单体成组数目, 是下一个阶段的研究方向。

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水均衡法篇6

底板突水危险性评价是一个涉及到水文地质、工程地质、开采条件、岩石力学等诸多因素的复杂问题[1]。影响底板突水的因素主要包括:地质构造、底板岩层岩性及其组合特征、含水层的富水性、含水层水压、矿山压力及地应力等。如何综合考虑各种影响因素进行突水危险性评价,对安全承压开采起到重要作用。影响底板突水的因素是多方面的,可最终归纳为两点:承压水压力和有效隔水层厚度及其阻水性能。为有效评价底板突水危险性,需对影响这2个因素的各项指标进行合理的分析研究,提取关键指标。

1.1 承压水压力指标

承压水压力对底板隔水层的作用主要表现为压裂扩容作用和渗水软化作用[2]。压裂扩容作用是指承压水在小裂隙中进一步压裂岩体,使原有裂隙扩大;渗水软化作用是指承压水在底板隔水层中,降低有效应力和岩体的黏聚力,在与采动矿压联合作用下,底板隔水层强度降低,使其产生更大破裂,从而产生底板突水危险性。研究表明,采动突水是由承压水压力和矿山压力共同作用的结果,而矿山压力的影响因素包括:顶板岩性、煤层采高、开采深度、地质构造等,评价底板突水危险性时必须充分考虑这些因素。

1.2 底板隔水层阻水性能指标

底板岩层是由不同岩性的岩层组成的,不同岩层其岩体结构与力学性质不同。岩体强度越大,采动破坏就越小;岩体中裂隙、断层密度越大,岩体强度越低,采动破坏就越大。因此,岩体强度越低,裂隙、断层密度越大,阻水性能越差;反之,阻水性能越好。底板隔水层阻水性能是评价突水危险性的重要因素,应着重考虑如下指标:隔水层厚度、底板岩层岩性和岩层组合、构造系数、透水性能和原岩应力等。

2 突水系数法分析

目前,评价煤层底板突水危险性的理论和方法众多,主要包括:突水系数法、“下三带”理论、“四带”理论划分、原位张裂与零位破坏理论、关键层(KS)理论、板模型理论、神经网络法、多源信息融合法等[3,4,5,6,7,8,9]。其中,应用较为简单与实用的是突水系数法。用突水系数法评价煤层底板突水危险性时,突水系数越小,突水危险性越小;突水系数越大,突水危险性越大。突水系数计算公式如下:

undefined

式中:Ts为突水系数;p为水压;Mi为隔水层底板各分层厚度,m;mi为各分层等效厚度换算关系;Cp为矿压破坏深度。

水压和隔水层厚度都比较容易获得,而矿压破坏深度不容易获得,较为有效的方法就是实测。由于受经济条件等限制,常常用个别地方的破坏深度代替大范围的破坏深度,这给突水系数法评判突水危险性造成了一定的局限性。实际开采时,应用突水系数法常常出现这样的问题:在突水系数小于临界值的地方发生突水,但是在突水系数已经超过临界值的地方却没有发生突水。

3 模糊聚类指标选择

为了解决突水系数法的局限性,引入模糊聚类法来评价突水危险性。模糊聚类法是一种多因素目标分类法,可以按照一定条件把各因素归类,用于评价突水危险性简单而有效。根据收集到的资料,可考虑如下因素:①承压水水压;②隔水层厚度;③开采深度;④岩层组合关系;⑤隔水层透水性;⑥直接顶厚度及采高;⑦来压步距;⑧底板保护层厚度等。这些指标较容易从收集的资料中获得,而且可以根据不同矿区的具体情况,考虑不同的指标,因此实际操作性强,评价精度较高。

4 模糊聚类法步骤

1) 数据标准化。由于在聚类过程中所研究的各个变量,其单位和量级可能是不一样的,即便有些变量的度量一样,但各变量的绝对值大小也不一样,直接用原始数据进行计算就会突出那些绝对值大的变量,而降低那些绝对值小的变量的作用。同时,模糊运算还要求必须将数据压缩在[0,1]之内,所以应将采集到的原始数据进行标准化。数据标准化的方法很多[10],本次评价采用常用的极差正规化法,公式如下:

undefined

式中:xij为某因子的实测值;max{xij}(或min{xij})表示同一因子实测值中的最大(或最小)值。

2) 标定。所谓标定就是算出衡量被分类对象间相似程度的相似系数rij,从而确定论域X的模糊相似关系undefined。计算相似系数rij的方法很多,最常用的几种有:相关系数法、数学表征向量的夹角余弦法和最大最小法等。

3) 聚类。用平方法求出上面得到的相似矩阵undefined的传递闭包t(undefined)。由于用相似矩阵作聚类分析,其结果往往不准确,因此必须将相似矩阵改造成等价矩阵。传递闭包即为模糊等价矩阵。

4) 对等价矩阵t(undefined)做出动态聚类图。

5 实例应用

南屯煤矿下组煤十一采区位于井田最浅部,与北宿井田相邻,主要回采16上和17层煤,本次研究采用17煤钻孔数据。①17煤至十四灰顶隔水段:厚29.83~45.20 m,平均36.28 m,由于揭露点少,厚度变化规律不明显,总体东部、北部薄,西南部厚,主要为灰色泥岩、粉砂岩和少量杂色泥岩,正常地段对17煤的开采具有较好的隔水作用;②十四灰底至奥灰顶隔水段:厚14.49~33.96 m,平均23.11 m,西部边界处薄,井田西北部厚,东部及南部较稳定,主要为杂色泥岩和铝质泥岩,正常地段可有效阻隔奥灰和十四灰的水力联系。奥陶系灰岩水是预防下组煤回采时大量突水的主要对象。为方便数据计算,本次采用17煤采深、17煤—奥灰间距和17煤开采奥灰水压等3组数据来进行计算。

5.1 突水系数法

运用突水系数法获得突水系数评价结果,见表1。

5.2 模糊聚类法

按照模糊聚类步骤,首先将所用数据进行标准化,得到标准化数据,再对数据进行标定,得到模糊相似矩阵,最后将模糊相似矩阵进行聚类。为直观显示聚类结果,将标准化后的数据输入计算机,应用Matlab软件运算,得到聚类图,见图1。

经综合分析,得到模糊聚类评价结果,如表2所示。

5.3 评价结果综合分析

由突水系数法评价结果和模糊聚类评价结果对比分析表1—2可知:①钻孔O2-6虽然突水系数大于0.06 MPa/m,但是其值仅仅微大于0.06 MPa/m,且与钻孔O2-1,O2-2,O2-4,风井孔等归为一类,故而危险性评价为安全;②钻孔O2-7虽然突水系数小于0.06 MPa/m,但是临近0.06 MPa/m,且与钻孔O2-11,O2-12,丁118归为一类,故而危险性评价为较危险;③混合井钻孔虽然突水系数大于0.06 MPa/m,但是其值仅仅微大于0.06 MPa/m,且与钻孔O2-5,O2-8等归为一类,故而危险性评价为安全;④钻孔丁87、丁129虽然突水系数小于0.06 MPa/m,但是其与钻孔O2-7,O2-11,O2-12等归为一类,且其隔水层厚度相对较小,故而危险性评价为较危险。如此综合分析得到如下危险性评价结果:安全区钻孔为O2-1,O2-2,O2-4,O2-5,O2-6,O2-8,混合井孔,风井孔,十四-3,十四-5,192,31;较危险区钻孔为O2-3,O2-7,O2-11,O2-12,丁87,丁129,丁118。

6 结语

1) 运用模糊聚类法和突水系数法综合量化评价煤层底板突水危险性,提高了突水危险性评价的客观性与准确性。

2) 模糊聚类法将煤层底板突水危险性影响因素统一无量纲化后进行比较,提高了数据使用的准确性。

3) 评价了南屯煤矿十一采区下组煤开采受奥灰突水危险性,并给出了危险性分区预测,对南屯煤矿下组煤开采奥灰水防治具有重要的指导意义。

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