均衡模型

均衡模型（精选8篇）

均衡模型 篇1

1引言

高性能通信编码-“Turbo码”的出现极大地促进了Turbo解码和迭代处理方法在通信领域的应用。由于许多频率选择性衰落信道非常复杂,如浅水水声信道,经典的判决反馈均衡器在这些信道的通信系统中性能有待提高。于是人们利用Turbo解码和迭代处理方法提出了联合迭代均衡和解码的概念[1]。基于这种概念,Turbo均衡、硬迭代判决反馈均衡器、软迭代判决反馈均衡器和分步迭代判决反馈均衡器等接收机模型先后出现了。

Turbo均衡器用迭代的方法处理信道检测器和信道解码器输出的软信息,这种方法在具有符号间干扰(ISI)的信道中具有很好的性能。Turbo均衡在某些噪声环境和信道条件下已获得一定的应用,并具有高达5dB的增益[2,3]。但是,在符号间干扰较长的情况下Turbo均衡的计算量会非常巨大,同时在复杂信道中对信道的误估计将使其性能很糟糕。

自适应判决反馈均衡器能够自动地调整均衡器系数,以使指定的性能指数最优化,并能自动补偿信道特性的时变。为了进一步提高均衡器的性能,人们把均衡器和解码器结合起来发明了几种迭代均衡的结构模型[4]:硬迭代判决反馈均衡器、软迭代判决反馈均衡器、分步迭代判决反馈均衡器等。这些基于判决反馈均衡器(DFE)的迭代均衡器相对Turbo均衡器具有较小的计算量,因此更适于处理较长符号间干扰的信号。

本文先给出以上几种均衡器的模型,并进行描述和分析,然后对它们进行比较和总结。

2Turbo均衡和迭代判决反馈均衡器的模型

(1)Turbo均衡器。

频率选择性离散信道可以描述为一个码率r=1的定义在实域或复数域的卷积编码器,所以信道编码器和ISI信道的组合可以看作一个串行级联系统,如图1,该性统可以象Turbo解码一样进行迭代处理。

来自信源的比特流{b}经过编码和映射后生成基带信号{d}。{d}经过外部交织器生成已交织信号{e},{e}和训练序列tn一起构成发射符号序列{z},并通过传递函数为h(t)的离散信道进行发射。接收端以符号速率进行采样后获得信号序列{y}。{z}和{y}可分别表示为:

undefined

T代表转置,A为训练序列长度,R为交织器长度。Wn为离散加性高斯白噪声(AWGN),其均值为0,方差为σ2。接收端{y}送入均衡器和信道估计器,均衡器采用软输入软输出LOG-MAP准则[5],根据卷积码的网格进行前向、后向计算。信道估计器首先根据训练序列进行软输入信道估计[6],然后丢弃训练序列,利用训练序列的收敛结果继续进行信道估计,并把信道信息送给均衡器。

均衡器输出的符号似然信息{e’}经外部解交织后进入解码器,根据LOG-MAP准则进行解码。解码器输出的比特似然信息经过处理后得到对应的符号概率信息{p’},并进行外部交织,然后送入信道估计器和均衡器进行迭代估计和均衡。经过若干次迭代后通过解码器输出信息比特。

(2)硬迭代判决反馈均衡器。

传统的判决反馈均衡器由前馈滤波器、反馈滤波器和逐符号判决器组成,反馈滤波器的输入为逐符号判决器输出的已判决符号,如图2中虚线框所示。若Ik为从信道接收的信号,undefined为对前馈滤波器对第k个信息符号的估计输出,undefined为判决器输出的第k个判决结果,cj 为均衡器系数,则判决反馈均衡器的输出为undefined。

判决反馈均衡器的性能决定于其先前判决的符号的正确率,只有正确的符号才能使均衡器的系数获得优化,相反,错误的判决反馈会导致更多的错误输出,即形成错误传播。通过改变接收机的结构,基于迭代处理方法,利用上一次迭代处理时解码器的输出信息重新进行均衡和解码可以有效地减小这种错误传播。

图2给出了硬迭代判决反馈均衡器的结构图,在第一次均衡和解码时,硬迭代判决反馈均衡器利用其自身的逐符号判决器对前馈滤波器的输出进行硬判决,该判决输出直接输入均衡器的反馈滤波器。之后,如果进行迭代,解码器的硬判决输出经过交织后送给均衡器的反馈网络,此时均衡器的逐符号判决器不工作。迭代过程利用解码器的增益获所获得的较小误码率的输出来代替均衡器的逐符号判决器输出,从而改善均衡器性能。当然,均衡器的反馈错误传播由于解码器输出仍可能存在误码而不会完全消除,但是,无疑会大大减小。

(3)软迭代判决反馈均衡器[7]。

软判决比硬判决具有较高的增益,为了进一步提高迭代判决反馈均衡器的性能,用解码器的软判决输出代替其硬判决输出无疑是一种很好的选择,图3给出了这种软迭代判决反馈均衡器的结构模型。

假设在高信噪比时,噪声和残存的符号间干扰在前馈滤波器输出的符号序列中呈高斯分布,且其方差未知。则可容易求得在k时刻undefined的先验信息undefined。

其中vk为接收机接收到的符号,sm 为符号集中的第m个符号,σ2为估计信号序列undefined的方差,dundefined为估计信号序列的第k个符号与信号集中第m个信号的欧氏距离,HΔ为与k时刻方差有关的常数。这样可以利用估计信号序列的软信息和解码器输出的软判决构成软迭代判决反馈均衡器。

这种均衡器结构和硬迭代判决反馈均衡器的最大区别在于其逐符号判决器的不同。为了向反馈滤波器提供硬判决值,这种新的判决器要利用估计序列的软信息和解码器输出的软判决信息,并进行硬判决。这种方法减小了均衡器的反馈滤波器中错误传播的概率,并提高了整个通信系统的性能。这种新的判决器由两部分组成:一个判决检测器和方差估计器[7]。图4给出了这种判决检测器的结构图。

(4)分步迭代判决反馈均衡器。

分步迭代判决反馈均衡器主要是针对判决反馈均衡器反馈滤波器的错误传播提出来的,它对较短的接收信号数据块进行一次或多次处理,前一个数据块作为下一个数据块的训练序列。由图5可以看出这种均衡器的结构模型和图2中硬迭代判决反馈均衡器完全相同,只是把图2中一次处理的较长的数据包分成若干较短的数据块。

这种处理方法也是首先处理训练序列,然后再处理各个短数据块。一个短数据块的解码器输出的bit概率信息经过转换,形成符号概率信息,进行硬判决后进行交织,这些已交织符号作为下一个短数据块的训练序列对均衡器的参数进行训练,经过训练后的均衡器再对下一个短数据块进行处理。由于可以使均衡器系数得到更好的训练和优化,这种把长的数据包分成短数据块的方式可以很好地减小反馈滤波器的错误传播。当然,这种均衡器也可以对每个短数据块进行多次迭代处理。

在分步迭代判决反馈均衡器结构中,解码器所对应的编码可以是分组码、卷积码、级连码或Turbo码等。考虑到长的数据包被分成短的数据块,交织长度的缩短对Turbo码的性能影响很大,所以通常用卷积码。实际应用中短数据块的长度对判决反馈均衡器和解码器的性能都有直接的影响,所以适当地选择短数据块的长度是非常关键的。

3分析和对比

以上给出的Turbo均衡和几种迭代判决反馈均衡器各有特点。从其计算的复杂性来看,如果采用相同的编码和解码方法,则Turbo均衡计算量最大,分步迭代判决反馈均衡器和软迭代判决反馈均衡器次之,硬迭代判决反馈均衡器计算量最小。Turbo均衡中把符号间干扰信道作为卷积编码器,该卷积码的约束长度等于符号间干扰长度,所以其计算量以符号间干扰长度为指数呈幂指数增长,较长的符号间干扰将使计算量变得难以承受。分步迭代判决反馈均衡器中每一个短的数据块都要作为下一个短数据块的训练序列,所以判决反馈均衡器在一次迭代中要对每一个短数据块处理两次,所以增加了判决反馈均衡器的计算量。软迭代判决反馈均衡器由于增加了方差估计器和前馈滤波器输出符号的概率计算,所以相比硬迭代判决反馈均衡器的计算量要大。软迭代判决反馈均衡器和分步迭代判决反馈均衡器的计算量的比较只有针对特定的判决反馈均衡器(DFE)和编解码方法才有意义。

以上所有均衡器的结构模型的设计目的都是为了减小反馈滤波器中的错误传播,从而提高均衡器的性能。尽管Turbo均衡在高斯白噪声信道情况下具有非常好的性能增益,但是对于复杂信道由于其信道估计器的不准确性使得Turbo均衡器的性能非常糟糕[8],所以大多数情况下Turbo均衡都不太适用。由于分步迭代判决反馈均衡器和软迭代判决反馈均衡器都是对硬迭代判决反馈均衡器的改进,所以二者的性能都要比硬迭代判决反馈均衡器好。软迭代判决反馈均衡器主要利用了软判决比硬判决增益大的特点,而分步迭代判决反馈均衡器通过逐步训练均衡器系数的方法来提高增益,在实际应用中应选择好短数据块的长度。

总之,在实际应用中应根据实际信道的特点、编码方法、所能承受的计算量和所要求达到的性能来选择合适的迭代判决均衡器结构模型。

参考文献

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[8] E.M.Sozer,J.G.Proakis,F.Blackmon.Iterative Equalization and Decoding Techniques for shallow water Acoustic Channels.Oceans 2001,pages 2201~2208,MTS 0-933957-29-7

均衡模型 篇2

关键词：劳动力资源价格；劳动力资源投入量；劳动力资源转移；劳动力资源老龄化；可计算一般均衡模型

劳动力资源是指在一定时点或时期内，一个国家或地区拥有的具有劳动力的数量与质量的总和的劳动适龄人口。劳动力资源的质量包括体质和智能两方面。中国劳动力资源的现状是数量丰富，质量偏低，在地区之间、行业之间、产业之间分布很不平衡，合理开发和利用劳动力资源，对于国民经济和社会发展具有决定性的意义。怎样研究劳动力资源问题与经济社会系统之间盘根复杂的关系，有多种方法，相比于局部均衡模型，可计算一般均衡（Computable General Equilibrium，CGE）模型是一个比较理想的研究方法，其在我国劳动力资源问题的研究与应用中并不常见。本文先对CGE模型作简要介绍，然后对CGE模型在劳动力资源问题中的使用进行综述，主要包括劳动力资源的价格、投入量、转移和老龄化问题，最后概括了劳动力资源问题可计算一般模型的基本研究思路与改进方向。

一、 可计算一般均衡模型简介

可计算一般均衡模型即CGE模型，描述了一个经济体通过对商品和要素的数量与价格的调整，实现瓦尔拉斯一般均衡理论所描述的供给与需求均衡。相比局部均衡等研究方法，CGE模型能更详细地描述复杂经济系统内各种经济主体之间的相互联系和相互依赖关系，从而计算结果能较好解释现象发生的原因，并能更准确预测未来经济发展趋势。常用的市场机制如：完全竞争市场中价格与数量的波动，CGE模型可以模拟；一些非市场活动如：政府干预行为等，也能模拟。Johansen（1960）建立了描述挪威经济的全球第一个可计算一般均衡模型，经过50多年的修改、利用和完善，CGE模型在全球多个国家、多个地区、多个领域得到了广泛使用，且已成为应用经济学的一个重要分支。一个CGE模型通常由以下几个部分构成（Robinson，1989）。其一，设置所要研究的经济整体。简单的CGE模型只由生产者和居民两个行为主体构成，常用的一般包括生产者、居民、政府和国外其他地区等行为主体，以及商品市场和要素市场等市场主体。其二，设置行为主体做出决策所依据的信号以及经济制度结构。其三，要有“供给需求均衡条件”，一个均衡可以看作是一组信号，行为主体基于这组信号所做出的决策都要满足系统约束，这组信号是使模型均衡的变量。在市场经济中，价格是实现市场出清和取得均衡的唯一变量。

二、 可計算一般均衡模型在劳动力资源问题研究中的应用

可计算一般均衡模型对劳动力资源问题的研究牵涉到很多方面，如劳动力资源价格、劳动力资源投入量、劳动力资源转移、劳动力资源老龄化、劳动力资源可持续性等其他问题，其研究领域小到一个市级流域，大到全球范围。对这些问题的研究，均能够把劳动力资源当作一种生产要素或者约束条件放入到CGE模型中，研究特定的劳动力资源问题与经济社会系统之间的相互作用。CGE模型的一个特征就是包涵整个经济系统，能够容纳作为约束条件的劳动力资源问题。

劳动力资源问题CGE模型大体分为四类： 劳动力资源价格、劳动力资源投入量、劳动力资源转移、劳动力资源老龄化。分类是为了阐述的方便，实际上因为劳动力资源的价格、投入量和老龄化等问题之间关系紧密，故一些模型也可以归到复合类。

1. 劳动力资源价格。劳动力资源价格是劳动力市场中的核心，而CGE模型的自身特征使其能有效使用在劳动力等资源和各类商品的价格研究中。

Zhai和Li（2000）构建的CGE模型假定农业劳动力与产业工人呈CET不完全替代，认为城市和农村的工资差别决定了农村劳动力流动。Dixon和Rimmer（2002）同样是基于三部门CGE模型，劳动力不完全流动的前提下，指出农业与非农业部门间的工资差距决定农业人口流动数量。John Gilbert和Thomas Wahl（2003）利用静态CGE模型研究中国劳动力市场的正规和非正规部门，结果显示：非正规部门工资结构和正规部门就业机会对农村劳动力迁移有重要影响。沈可挺、刘煜辉（2010）构建了一个贸易品/非贸易品两部门CGE模型研究了技术进步前提下，工资和汇率的相互影响机制。结果显示：其他假定不变，在贸易品部门技术进步比非贸易品部门更快时，抑制工资增加将使要素远离非贸易品部门，加重国内产业结构的扭曲程度且导致国内通货紧缩，提高货币升值压力；提高工资水平能减少贸易顺差、延缓货币升值压力，且不一定会造成通货膨胀，还对实际产出作用较小。

2. 劳动力资源投入量。我国是劳动力数量大国，但在地区间、行业间分布不太平衡，劳动力资源投入到底对宏观经济起一个什么作用，各部门到底需要多少劳动力资源等问题，都需要进行周密的分析。而CGE模型考虑了包含劳动力的要素市场、产品市场以及不同的市场主体，同时也考虑了它们间相互影响与作用，是研究劳动力资源投入量对宏观经济影响的有效方法。

贺胜兵、刘友金、向国成（2013）利用区域CGE模型模拟了不同外生冲击对沿海产业发展和产业转移的影响。当劳动力投入下降5%时，沿海五省、长三角和粤闽地区对应的产业转移潜在规模分别为6 322.69、4 078.92和1 927.15亿元，说明劳动力资源对沿海地区影响重大，也表明丰富的劳动力资源是中西部地区吸引产业转移的重要优势。利果（2008）建立上海CGE模型来分析全市整体宏观经济。结果表明：来自上海市外的劳动力人口提高5%会使大多数行业的产出均有所提升、也促使大多数行业产品的区域内价格会有所降低，且使所有行业部门的城镇居民需求均有所提升；此外，外来劳动力人口增长5%造成全市经济体系价格水平有略微降低，也对城市和农村居民的可支配收入有一些提高的作用。尽管来自上海市外的劳动力人口增多对全市整体经济的作用较小，但从总体上来讲均是正面的影响。薛俊波（2007）应用CGE模型研究了当农民工就业比例在城市各个行业改变时，城市和农村居民的收入变化以及各项宏观经济指标的改变。实证表明：农民工在服务业、某些制造业中的就业比例增加5%后，尽管城镇居民的工资性收入有小幅度的降低，但是总的可支配收入并没有降低，农村居民的可支配收入得到小幅度的提高，总体的就业有所提升，因而提高农民工的就业比例是缩小收入差距的一个有用办法。

3. 劳动力资源转移。大部分情况下，劳动力资源转移便于各市场主体合理地利用劳动力，便于在整个社会范围内合理地配置劳动力资源，进而便于增加社会经济效益，一些国内外学者运用CGE模型对劳动力资源转移问题进行了研究。

Williams（2003）利用CGE模型就墨西哥与美国之间的劳动力流动对美国经济的影响进行了研究，结果显示：大量劳动力从墨西哥转移到美国，对美国经济增长产生了重要影响。Hertel.T.（1996）采用一个扩展的单区域DRC-CGE模型测算了中国的劳动力市场改革对收入分配与城乡差距的影响，首要考察了城乡之间的劳动力流动问题，结果表明：劳动力市场改革可以扩大从农村到城市的劳动力流动规模，提升农村居民的收入水平，最后能明显减少城乡居民收入差距。王飞（2004）首次利用多区域CGE模型研究中国劳动力迁移问题，指出劳动要素的自由流动对改善地区差距有一定效果，但对落后地方来讲，如果无投资的扩大和生产率的提高则落后地方的人均GDP会有所增加，而地方总GDP会降低。胡枫（2006）使用一项农村流动劳动力调查数据，数据包含农村流动劳动力的个人特点、家庭特性和所在地特点在内的影响我国农村劳动力跨省流动的各种因素，建立了一个三区域CGE模型定量研究了农村劳动力转移给各地区经济和居民福利所带来的影响。许召元、李善同（2008）运用一个30区域可计算一般均衡模型， 政策模拟表明：区域间劳动力迁移能有效改善配置效率，提升经济增速减小地区间生活水平差距，但因为在一国内部资本流动性很强，存在“资本追逐劳动”的现象，故而不能缩小人均GDP的地区差距。尽管劳动力迁移增加了输出的人均收入和消费水平，但单纯的劳动力输出并不能缩小同发达地区人均产出的差距。贾伟、辛贤（2010）应用CGE模型，研究了农村劳动力转移对国民经济产生的影响。实证显示：农村劳动力转移增加了GDP，却拉大了各产业增加值间的差距；农村劳动力由农业部门转移到工业部门，使农业产品产量下降而工业产品产量上升，农业产品价格上涨但工业部门和服务业产品价格下降；而伴随农村劳动力转移数目的增加，各产业部门产品价格变动幅度在下降。

4. 劳动力资源老龄化。随着经济社会的发展，特别是医疗技术和生活水平的提高，劳动力资源老龄化会是一种趋势，此问题在中国未来几十年日趋严峻。国内外的部分专家学者利用CGE模型对劳动力资源老龄化及其对经济社会带来的影响等展开了研究。

Auerbach和Kotlikoff（1987）建立了一个人口老龄化背景下的世代交叠CGE模型来研究美国的养老保险体系，此模型影响很大，简称A-K模型。此模型前提假设为每个人的寿命为75岁，工作期是20岁～65岁。工作期（20-65）：得到收入，交纳社会保障税且进行储蓄。退休及以后（65-75）：得到养老金进行消费，不储蓄。满足假设条件下，A-K模型探讨了人口老龄化特征和养老金政策对储蓄总量的影响。模拟了150年的经济变动情况，最终达到稳态。结果表明：储蓄率从1985年的12.2%降低到2050年的5.8%，此后会微微提高到6.3%，到达最终稳态。同时，虽然储蓄率减少，但人口老龄化的加重造成劳动力减少。与最初状态比较，最终状态的劳动力相对资本会更加稀缺，以致2050年工资将上升7%。Fougere（2005）构造了人口迭代的多地区CGE模型来研究人口老龄化对加拿大经济从2002年～2050年间的影响，结果显示：至2050年，人口老龄化导致加拿大的人均GDP、国民储蓄、资本回报率相对分别下降7.4、8.4、0.6个百分点；而实际工资相对增加4.6个百分点。Park（2007）应用CGE模型探讨了人口老龄化对芝加哥地区经济的影响，通过仔细分析分年龄段的消费行為、储蓄行为和收入情况，政策模拟人口老龄化和人口年龄结构不发生改变两类场景，对人口老龄化带来的影响进行了阐明。Euijune（2011）建立一个韩国两地区CGE模型研究了人口老龄化对国家经济在2006年～2030年间的影响，结果表明：人口老龄化引起劳动力下降，继而引起储蓄率降低、GDP增速放缓等影响。国内研究方面。李洪心（2005）构建一个OLG结构的多变量非线性动态的CGE模型，探讨了中国面临的人口老龄化和人口增长下降带来的挑战。政策模拟结果显示：在将来的五十年里，假如现在实行的现收现付型养老保险制度不改变，老年人口的迅速增长将引起国民收入、政府收入、以及人均消费水平增长减缓乃至出现负增长。但是，假如可以快速地创建和完善一个统一的社会保障体系，渐渐削减基本养老金的工资替代率以减少劳动人口的缴费负担，以及维持国民经济连续发展，那么可以确保政府收入增加，劳动人口和退休人口的生活质量不至于降低。Peng Xiujian（2008）基于动态CGE模型研究中国人口红利消失前后的2008年～2020年间的国民经济，基准情景为中国人口的老龄化，城市农村间劳动力转移当作政策变量，研究表明：中国人口老龄化背景下，推动劳动力城市农村间转移对中国经济发展有积极作用，且作用足够补偿人口老龄化带来的经济发展放缓等负面影响。

三、 结论与讨论

本文综述了CGE模型在劳动力资源问题研究中的运用，研究领域包括劳动力资源价格、劳动力资源投入量、劳动力资源转移、劳动力资源老龄化等。时间范围从20世纪90年代初至今，空间范围从一个市级流域到全球。从而能够看到，CGE模型足以面对很多劳动力资源问题以及与经济社会系统的互相影响展开研究，不但能对劳动力资源的价格、投入量、转移、老龄化等题目实行特定的模拟研究，而且能对劳动力资源的各种政策组合实行模拟，从而找到最好的政策组合。

劳动力资源问题和CGE模型连接的关键是怎样把特定的劳动力资源问题与经济社会系统关联起来。大体有4种办法：其一，将劳动力看成一种重要生产要素，经过生产函数进入模型，劳动力和资本等生产要素可以有里昂惕夫生产函数形式或CES生产函数形式等；其二，对行业进行细分，可以分为劳动密集型、资本密集型和技术密集型行业等，再模拟同一种政策对不同密集型行业的影响及其比较；其三，劳动力市场动态方面，劳动力资源的供给方和需求方呈现一种动态特征，再通过供给方程、需求方程以及均衡方程进入CGE模型；其四，前面三种办法的各种组合，基于数据的可得性以及所要研究的具体问题，采用不同的方法或组合。

CGE模型使用在劳动力资源问题研究中目前还处于摸索发展阶段，具体的使用不是很多，国内的运用则更加有限，其方法也有待完善。主要表现在四方面：其一，是获取数据的难度，目前有关劳动力资源问题的统计数据不太满足建立CGE模型的需求，特别是在微观企业层面的数据以及数据的时效性方面；其二，发展中国家更多的是非完全竞争市场，使用时需要依据具体情况建立合适的CGE模型中的特定模块；其三，劳动力资源和经济社会之间相互影响、相互制约，联系较为复杂；其四，面对中国具体情况，目前社会处于转型时期，劳动力资源市场在东中西部之间、在城乡之间、在不同行业之间、在国内与国外之间等都存在较大差异。正是由于CGE模型在劳动力资源问题研究中的使用存在诸多不足，同时由于CGE模型自身的优势以及劳动力资源问题的重要性，从而使得CGE模型在劳动力资源问题研究中有更大的潜力与动力，其应用前景将更加广泛与深远。

参考文献：

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[8] 贺胜兵，刘友金，向国成.多重冲击下沿海产业转移的潜在规模与结构——基于区域CGE模型的模拟分析[J].中国软科学，2013，（10）：134-146.

[9] 薛俊波.基于CGE模型的中国农民工就业问题模拟分析[J].中国农业大学学报，2007，（9）：128-139.

[10] 许召元，李善同.区域间劳动力迁移对经济增长和地区差距的影响[J].数量经济技术经济研究，2008，（2）：38-52.

作者简介：邓细林（1984-），男，汉族，湖南省衡阳市人，南开大学经济学院博士生，研究方向为经济开放与劳动力市场、可计算一般均衡模型。

均衡模型 篇3

一般均衡理论(General Equilibrium Theory)是1874年法国经济学家瓦尔拉斯在他的《纯粹经济学要义》中创立的。瓦尔拉斯认为,整个经济体系处于均衡状态时,所有消费品和生产要素的价格将有一个确定的均衡值,它们的产出和供给,将有一个确定的均衡量。

瓦尔拉斯的一般均衡价格决定思想,是通过数学公式阐述的。简单的瓦尔拉斯一般均衡模型由4个方程组来表示:商品需求方程、要素需求方程、厂商供给方程和要素供给方程。虽然之后人们认为瓦尔拉斯的论证是有问题的,但一般均衡的存在是确定的。

本文研究了两个人、两种生产要素、两种产品这种简化一般均衡模型均衡点的求解方法,希望以此阐述各变量之间的关系,使人们能更深入了解一般均衡的思想。

一、生产契约线和生产可能性曲线的确定

假设有两个人A和B,所拥有的生产要素分别为(LA,KA)和(LB,KB),生产两种产品X和Y。两个人所拥有的生产要素均可投入到两种产品的生产之中。

当两种产品的生产函数及生产两种产品的总投入要素量和确定,我们就可以确定生产契约线方程和生产可能性曲线方程。

在上面五个方程中,有X、Y、LX、KX、LY和KY六个未知数,为简便计算,假设:

我们有:

式(6)即为生产契约线方程;式⑺即为生产可能性曲线方程。

二、交换契约线的确定

图1是生产可能性曲线与表示产品在A、B间分配的埃奇沃思方框图。假设在生产可能性曲线上的点F(X1,Y1)达到一般均衡,这时应该有MRT=MRS。此时:

按照上面求生产契约线的思路我们有:

在上面五个方程中,有UA、UB、XA、YA、XB、YB和七个未知数,为简便计算,假设:

我们有:

此即为交换契约线方程。

三、一般均衡点的确定

我们的任务是解出α1和β。

另外:

这样:

结合式(14)及式(8),我们有:

前面我们说,当实现一般均衡时,MRT=MRS。

将上式代入式(20),就可解出α1,当然β也确定了。这样产品组合根据式(8)就可得出,消费组合根据式⒁也可确定。

四、启示

1.生产可能性曲线完全取决于要素总量和生产函数或者说技术,这说明了一个国家要素积累和技术进步的重要性。

2.交换契约线的确定与消费者偏好关系密切,也就是说,个人的消费组合不仅受自身偏好及收入的影响,还受他人偏好的影响。所以,引导全社会有一个正确的消费理念,对个人是有意义的。

3.个人的消费组合在交换契约线上的位置,主要取决于个人的收入,而个人收入又取决于个人生产要素的掌握。这阐述了个人资本积累的重要性。

摘要：经济学教材在讨论一般均衡的时候,往往以两个人、两种生产要素、两种产品这种最简单的社会作为研究对象,它们通常只阐述了一般均衡的存在,但都没有说明这种最简单的社会一般均衡点的确定即以此作为研究对象。

关键词：一般均衡,均衡点,契约线

参考文献

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[4]田存志,赵鑫铖.完全竞争市场的一般均衡计算——基于福利方程的分析框架[J].昆明理工大学学报:社会科学版,2010,(6).

供应链网络均衡模型研究 篇4

关键词：供应链网络,变分不等式,网络均衡,无约束最优化,拟牛顿算法

0 引言

供应链管理主要是如何协调供应商、制造商、批发商、销售商、消费市场等各成员之间的关系。在各成员利益均能得到保证的基础上,共同合作,最终实现总体利益的最大化。而要实现上述目标,必须有合理的供应链运作与决策,使得供应链各成员在面对快速变化的市场结构时,能及时地进行调整,维持整个供应链的竞争优势。本文采用定量分析的方法,通过研究相当的数学模型并进行求解,为各成员提供一个具体可行的运作与决策方法。

传统分散式供应链通常包括三类决策者:生产商、消费商、零售商。这三类决策者在产品的整个商业流程(从制造商到零售商到消费者)中是相互影响、相互联系的。我们分别用一组均衡条件来描述以上三类在产品供应链中的行为。Nagurney 2002年给出了供应链网络的均衡模型(消费者需求函数确定),并进一步指出该模型可用变分不等式来表示(VI Variational Inequality)。Dong 2004年在Nagurney的基础上给出了消费者需求随机(已知概率分布条件下的随机变量)条件下的供应链均衡模型并且给出了变分不等式形式。以上两人都采用改良投影法(Modified Projection Method)作为求解供应链模型变分不等式的基本方法。而事实上,改良投影算法的收敛性依赖于Lipschitz常数的估计及迭代步长的选择[1]。因此,在用该方法求解供应链均衡变分不等式的过程中,往往所需计算量较为庞大,消耗时间也较长。

本文通过研究拟牛顿方法的超线性收敛性[2],为供应链均衡变分不等式的求解问题提供了新的解法。不论是Nagurney或者是Dong的VI问题都可以转化为非线性互补问题(NCP)。于是用评价函数(merit function)方法,我们将非线性互补问题转化为无约束连续可微最优化问题,通过研究拟牛顿方法的求解过程,很好地解决了该类无约束最优化问题,从而得出原始变分不等式的解。文章最后举例说明了拟牛顿方法解决供应链网络均衡模型的变分不等式求解问题的有效性。

1 供应链网络均衡模型

供应链网络结构如图1所示,包含m个生产商,n个零售商,o个需求市场。分别以i,j,k来表示具体的生产商,零售商,需求市场。生产商i与零售商j间的交易量为qij,组成交易量矩阵Q1m×n,交易成本为cij=cij（qij）生产商i的生产成本以及零售商j的持有成本(包括库存成本等)分别表示为于是通过研究生产商、零售商以及消费市场的最优条件,我们可得到确定消费需求函数,以及不确定条件下的供应链均衡模型(2.1,2.2)[3,4]。

1.1 确定需求函数情况下的供应链均衡模型

需求函数确定情况是指需求市场k的消费者对商品的需求可由已知函数dk（ρ3）表示,ρ3为o维需求市场价格向量,由ρ3k(需求市场k,k=1,…,o的商品价格)组成。我们用qjk表示零售商j与需求市场k的交易量。Q2n×o为零售商与消费市场的交易量矩阵(由qjk组成)。通过分别研究生产商、零售商、需求市场的最优条件,同时引入经济学中的均衡理论,我们给出供应链网络均衡的定义,即当供应链网络(包括产品交易量和产品价格)满足上述三个最优条件时,整个供应链网络是均衡的。于是我们有整个供应链的均衡条件变分不等式[3]:

1.2 随机需求函数情况下的供应链均衡模型

随机需求函数的情况是指消费者对零售商j所售商品的需求为随机变量累积分布函数表示为ρ2j为零售商j的商品价格。于是类似1.1可得出随机需求函数条件下的供应链均衡变分不等式[4]:

其中ρ2为所有ρ2j组成的n维向量,λj+,λj-为单位商品处罚因子(两种情况:供应过剩与需求不足)。

1.3 无约束最优模型

为了求解(1)、(2)式我们将他们等价地转化为NCP(非线性互补问题)[5]:

同理(2)式也可转化为类似形式:

下面我们利用价值函数(merit function)将非线性互补问题转化为无约束最优化问题[6]。取函数[7]

利用(13)将供应链网络均衡模型的非线性互补问题转化为无约束最优化问题如下:

(1)(3)式转化为:

(2)(9)式转化为:

于是,我们可以得到以下两个结论:

于是(3)、(9)转化为以下两个问题:

2)如果存在正常数M、N、R,R>0满足:

则(16)式至少有一解。

我们需要寻找一种算法能够求出以上无约束优化问题的全局最优点,而事实上,求解无约束优化问题的全局最优点并不简单,因为每一种算法都有可能给出一个静止点(stationary point)而非全局最优点。于是我们给出静止点也是全局最优点的充分条件便于求出最终解:如果函数是单调且连续可微的,那么(16)、(17)两式的任何静止点(stationary point)都是其全局最优点[8,9]。

2 算法

拟牛顿算法是解决无约束最优化问题的有效方法之一。它主要包括两部分:近似迭代矩阵的更新、线性搜索。考虑目标函数f%x#在当前点xk处的二次模型:

其中,Bk是n×n对称正定矩阵,是Hesse近似,他将在每次迭代中进行校正,极小化这个二次模型得到:dk=-Bk-1gk从而新的迭代点为xk+1=xk+αkdk=xk-αkBk-1gk;

其中αk是线性搜索步长因子,上述迭代称为拟牛顿迭代。

(16)、(17)式具体的拟牛顿迭代步骤如下:

3 算例仿真

例1(确定需求条件)

该例子由两个生产商、两个零售商、两个消费市场组成,结构如图1。

计算原则:

计算设备:Matlab6.5软件,PentiumⅣ1.6GMHZ,RAM 512M。

图2为拟牛顿迭代法中价值函数ψ1的值变化曲线。在大约60次迭代之后,函数值趋于0,也就是说经过60次迭代所得的结果可近似地认为是最终解:

例2(随机需求条件)

该例子的供应链结构同例1。

另外假设单位商品处罚因子λj+=λj-=1,j=1,2。计算原则同例1,最后运用拟牛顿算法经过57次迭代后得出最终均衡解,两个生产商与零售商之间的交易量为:Q*:q*11=q*12=q*21=q*22=0.1590,零售商的产品价格为:ρ*21=ρ*22=15.2460。图3为拟牛顿迭代中价值函数ψ2的变化曲线。

4 结束语

均衡模型 篇5

关键词：DSGE模型,经济波动,宏观政策分析

作为主流宏观数量分析工具的动态随机一般均衡模型 (DSGE) , 是以微观和宏观经济理论为基础, 采用动态优化的方法考察各行为主体 (家庭、厂商等) 的决策, 即在家庭最大化其一生的效用、厂商最大化其利润的假设下得到各个行为主体的行为方程。一般性的DSGE模型中通常还包括政府部门 (中央银行、财政部门) 的行为决策 (标准RBC框架不包括货币政策) 。具体地, DSGE模型中各行为主体在决策时必须考虑其行为的当期影响, 以及未来的后续影响。因此, 各行为主体在对未来预期 (建模时通常采用理性预期代表) 的前提下, 动态地考虑其行为决策的后果。其次, 现实经济中存在诸多的不确定性, 因此DSGE模型中引入了多种外生随机冲击, 并且这些外生随机冲击与行为主体的决策共同决定了DSGE模型的动态过程。由于DSGE模型在不确定性环境下对经济主体的行为决策、行为方程中的结构参数、冲击的设定和识别进行了详细描述, 从而可以避免卢卡斯批判。此外, DSGE模型考虑经济中各行为主体之间的相互作用和相互影响, 从而在一般均衡的框架下考察行为主体的决策。

一、构建D S G E模型的理论基础

DSGE模型的理论基础之一是R BC理论, 然而R BC理论由于其理论基础与现实经济环境不符而受到众多的批判, 因此众多的DSGE模型是在新凯恩斯理论的基础上构建的。

1、真实经济周期理论 (R BC)

基于RBC理论的DSGE研究较多, 如Kydland&Prescott (1982) , Long&Plosser (1983) , Ireland (2001) , 黄赜琳 (2006) 等。R BC理论的基本假设是完全竞争市场、价格和工资具有完全的灵活性, 不存在外部性、信息是完全的以及行为主体具有理性预期。在这些假设下, RBC理论认为来自技术等供给方面的因素是造成经济波动的主要因素, 宏观经济政策无效。因此, 基于R BC理论的DSGE模型都不包括政府部门 (即货币当局) 的行为决策。

2、新凯恩斯主义理论

新凯恩斯主义理论在理性预期、垄断竞争市场、价格和工资具有刚性 (粘性) 的假设下, 认为不仅技术等供给方面的因素是经济波动的来源, 宏观经济政策同样对产出等实际经济产生影响。因此, 主流的DSGE模型大多以新凯恩斯主义理论为基础, 并将货币政策和 (或) 财政政策纳入其分析框架。新凯恩斯主义DSGE的另一个突出特点是引入了价格和 (或) 工资粘性, 而粘性的引入方式有两种。

一是Calvo (1983) 采用“调整信号”的方式引入粘性, 即经济中接收到随机的“调整信号”的经济主体 (企业和或家庭) 会将其价格和 (或) 工资调整到最优, 而没有接收到该信号的那部分经济主体则不最优化其价格 (工资) 。Yun (1996) , Gali&Gertler (1999) , CGG (2002) , Horvath (2009) 等运用该方式将价格粘性引入其DSGE模型;而Erceg et al. (2000) , Kollman (2001) , CEE (2003) , Smets&Wouters (2003) , 李松华 (2009a, b) 等不仅将价格粘性, 还将工资粘性引入其DSGE模型中。

二是Rotemberg (1982) 采用“二次调整成本”的方式引入粘性, 即经济主体调整其价格 (工资) 存在着成本。Ireland (1997, 2001) , Kim (2000) , Atta-Mensah&Dib (2008) 等采用了该方式引入价格粘性。而Chugh (2006) , Dib (2006) , Ratto et al. (2009) 等运用该方式还将工资粘性引入DSGE模型。

二、D S G E模型的估计方法

由经济主体优化行为得到的行为方程及各个均衡条件所构成的DSGE模型并不能直接用于数据以得到模型参数的估计值, 因为大多行为方程都是非线性的。因此, 通常要在模型变量稳态值处将其进行泰勒展开, 以得到线性化的DSGE模型。

1、校准法

校准法的主导思想是通过使模型的理论矩尽可能与观测数据一致而得到DSGE模型参数的校准值, 即根据经验研究来确定模型的参数, 进而对实际经济进行经验型模拟研究。DSGE模型的先驱Kydland&Prescott (1982) 就采用了校准的方法。由于校准法的矩估计具有较强的稳健性, 且研究者可以更多的关注DSGE模型的数据特征, 因此Yun (1996) , Gali (2000) , Kollmann (2002) , 陈昆亭、龚六堂 (2006) , Blanchardy&Gali (2006) , Horvath (2009) 等的研究中都采用了该方法。

尽管校准法具有显著的优势, 但由于缺乏坚实的理论基础, 并且个别参数的校准未必准确, 而极大似然和贝叶斯方法可以提供观测数据的完全信息, 从而较多的文献采用了这两种方法来估计DSGE模型的结构参数。

2、极大似然估计

极大似然估计法的操作分四步:首先, 将线性理性预期的DS-GE模型用其前定变量表示为缩写状态方程形式;其次, 用观测方程将前定状态变量与观测变量联系起来;再次, 用Kallmann滤波得到关于模型参数的似然函数;最后, 最大化该似然函数得到模型参数的估计值。运用极大似然方法估计DSGE模型的文献有:Ireland (1997, 2001) , Kim (2000) , Dib (2006) , Christensen&Dib (2008) , Chung et al. (2007) , 李松华 (2009b) 等。

3、贝叶斯估计

贝叶斯方法则是结合似然函数和模型参数的先验分布 (prior distribution) 得到后验分布的密度函数, 通过将该后验分布关于模型参数直接最小化或采用蒙特卡洛马尔科夫链 (MCMC) 抽样方法加以最优化即可得到DSGE模型结构参数的估计值。这方面的文献有Smets&Wouters (2003) , Sugo&Ueda (2008) , Ratto et al. (2009) , 李松华 (2009a) 等。

由于受可得观测数据个数的限制, DSGE模型中的参数不可能全部通过估计得到, 部分结构参数需要校准得到。因此, 无论是极大似然估计还是贝叶斯估计都结合了部分参数采用校准的方法来估计DSGE模型。

三、D S G E模型的研究主题

DSGE模型的研究主题大致可分为两类:一是经济波动研究;二是宏观经济政策研究。

1、经济波动研究

DSGE通常运用预测误差方差分解来分析外生冲击对宏观经济波动的贡献。

Kydland&Prescott (1982) , Long&Plosser (1983) 等运用基于R BC理论的DSGE模型, 认为技术冲击是导致产出等宏观经济变量波动的主要因素。Ireland (1997, 2001) 运用粘性价格的DSGE模型肯定了RBC理论中技术冲击是产出波动主要来源的结论, 并认为通胀波动主要来自于货币政策冲击。黄赜琳 (2006) 运用基于RBC的DSGE模型研究了中国的经济波动, 认为技术冲击可以解释中国经济波动的大部分, 但对中国就业增长的效应较小, 从而就业波动较为平缓。Dib (2006) 运用包含名义 (即工资价格粘性) 和实际 (即资本调整粘性) 刚性的DSGE模型认为技术和偏好冲击是产出波动的主要来源。

与上述“技术导致经济波动”的观点相反, 大量文献的研究表明, 技术之外的其他因素在经济波动中发挥了更为重要的作用。如Calvo (1983) , Gali&Gertler (1999) 等通过引入粘性价格从货币观点来解释经济周期, 认为货币政策冲击及价格决定行为在理解经济周期中发挥了核心作用。Gali (1999) 也认为技术冲击并非是经济波动的主要因素, 需求冲击是产出和劳动波动的主要因素。Chari et al. (2000) 等认为真实摩擦而非名义摩擦是导致经济波动的主要因素。Smets&Wouters (2003) 认为劳动供给和货币政策冲击是产出波动的主要来源, 而价格加成冲击和货币政策冲击是通胀波动的主要来源。Adolfson (2007) 运用开放经济DSGE的研究表明, 技术、偏好、劳动供给冲击解释了产出波动的大部分;货币政策冲击是通胀波动的主要因素。Atta-Mensah&Dib (2008) 将金融中介机构纳入DSGE的框架, 研究表明中短期中外信贷冲击在相当大的程度上解释了产出、通胀、名义利率的波动。Sugo&Ueda (2008) 认为投资调整成本冲击和技术冲击是日本经济波动的主要因素。

与上述不包含金融市场摩擦的DSGE研究相反, Bernanke et al. (1999) 、Gertler et al. (2003) 以及Christensen&Dib (2008) 等将金融市场摩擦纳入DSGE的框架 (即金融加速器模型) , 考察了金融市场摩擦对经济波动的影响, 但他们的结论并不一致。Bernanke et al. (1999) 、Gertler et al. (2003) 认为金融加速器显著地放大了经济波动的程度和持久性, 而Christensen&Dib (2008) 认为金融加速器对产出波动不重要。

2、宏观经济政策分析

DSGE模型在宏观经济政策分析中的应用主要集中在三个方面:一是宏观经济政策的有效性;二是最优货币、财政政策;三是用于货币政策传导分析。

(1) 宏观经济政策的有效性。对货币政策有效性的研究几乎没有争议, 均认为货币政策对产出等实际经济具有真实效应。

Gali (2000) 认为在粘性价格模型里, 货币政策冲击对产出的影响显著而持久, 粘性对货币政策的非中性非常重要。Huang&Liu (2002) 等认为在粘性工资和垄断竞争情形下, 产出对货币政策冲击的响应具有较强的持久性。Kim (2000) 在内生货币供应量规则下检验了货币政策的产出效应和流动性效应, 并认为工资和价格粘性决定了货币政策的流动性效应是否存在。Kollman (2001) 采用小国开放经济DSGE模型, 表明正的国内货币供给冲击导致本国利率下降、名义和实际汇率贬值, 产出增加, 说明开放经济下货币政策具有真实效应。Atta-Mensah&Dib (2008) 将金融中介机构纳入DSGE的框架, 考察了不完全的信贷市场对货币政策效应的影响, 认为如果货币当局采用前瞻性通胀目标的政策规则, 则即使价格是完全灵活的, 货币政策仍通过信贷传导, 即货币政策有效。对财政政策的研究有Smets&Wouters (2003) , Beetsma&Jensen (2005) , Ratto et al. (2009) 等, 认为财政政策即政府购买冲击对经济具有真实效应。Beetsma&Jensen (2005) 运用粘性价格、开放经济的DSGE考察财政稳定政策 (即政府购买) 的作用机制及其决定因素, 认为产品的替代性越大、劳动供给弹性越小则越要求越积极的财政政策。Ratto et al. (2009) 沿袭Smets&Wouters (2003) , 并将金融摩擦纳入其模型, 研究表明财政政策有效。

(2) 最优货币、财政政策。对最优货币、财政政策的研究是通过在DSGE模型中增加基于效用的福利分析即损失函数来进行的。

传统的最优货币政策强调对通胀响应, 如CGG (1999) 认为最优货币政策要求名义利率对通胀敏感, 即其对通胀的响应系数要大于1, 而对技术冲击保持不变。Gali&Monacelli (2000) 认为在完全汇率传递即一价定律成立的开放经济中, 最优货币政策要求通胀为0或接近0, 且名义利率不为0, 无需考虑汇率波动。Kollmann (2002) 考察了开放经济下最优泰勒规则, 认为最优泰勒规则可以保证通胀稳定, 但导致汇率大的波动。Smets&Wouters (2002) 考察了不完全传递汇率对最优货币政策的意义, 最优货币政策应最小化国内和进口价格通胀的均值。CGG (2002) 考察了开放经济下的货币政策设计, 认为在纳什均衡下, 一国货币当局仅对本国通胀响应, 最优货币政策与封闭经济一样;而协作的货币政策还要对外国通胀响应。

Chung et al. (2007) 检验了小国开放经济 (韩国) 的最优货币政策, 认为即使汇率不完全传递和存在成本推动冲击, 通胀目标的货币规则仍是最优的, 盯住汇率的货币政策非最优。

与上述研究不同, Mc Callum&Nelson (1999) 考察了名义收入作为货币政策目标的作用, 认为保持名义收入接近其增长 (等于长期平均的实际收入增长加通胀率) , 则最优货币政策可以实现通胀目标并减小真实经济的波动。

Chugh (2006) , Arseneau&Chugh (2008) 认为粘性工资对最优货币政策设定有较大影响。Ravenna&Walsh (2006) 认为信贷市场即成本渠道的存在, 导致了最优货币政策受到限制。Blanchardy&Gali (2006) 用包含劳动市场摩擦即失业的粘性DSGE模型, 表明实际工资刚性导致严格通胀的货币政策非最优, 最优货币政策应稳定通胀和失业变化的加权平均, 即名义利率对通胀和失业响应的泰勒规则是最优的。Faia (2008) 也认为最优货币政策应对失业和通胀响应。Faia&Monacellib (2007) 则在包含粘性价格、不完全信贷市场的DSGE模型中考察最优利率规则, 认为最优利率规则应对资产价格响应。对最优财政政策的研究有Siu (2004) 、Schmitt-Grohe&Uribe (2004) 、Horvath (2009) 等。Siu (2004) 认为粘性价格下的最优财政政策与灵活价格下的有很大差别:最优通胀率与价格粘性程度正相关, 而税率有较大的波动。Schmitt-Grohe&Uribe (2004) 认为最优财政政策即政府债务和税率随机游走。Horvath (2009) 用财政货币政策合作、不可分偏好的新凯恩斯模型, 检验了最优财政政策是否存在挤出效应, 即政府购买支出增加, 私人消费下降。

(3) 货币政策传导。Barth&Ramey (2000) 的研究表明货币政策紧缩导致美国企业产品价格上升, 货币政策传导的成本渠道存在。Ravenna&Walsh (2006) 等的研究也表明货币政策传导的成本渠道存在。Hulsewig et al. (2009) 运用不仅工资价格存在粘性, 信贷市场同样存在粘性的模型表明, 金融市场摩擦通过使货币市场利率不完全传递贷款利率而影响货币政策传导;成本渠道使通胀对货币政策冲击的响应更为持久。

相反, Rabanal (2007) 用贝叶斯方法的研究认为美国不存在成本渠道。上述文献对货币政策传导的研究仅关注货币政策成本传导渠道 (即信贷渠道) 的存在性, 并且主要采用了校准参数的方法。而李松华 (2009a, b) 用中国的数据、分别采用贝叶斯和极大似然的参数估计实证检验了货币政策传导的货币供应量渠道和利率渠道的存在性, 并具体分析了货币政策是如何通过这两个渠道对产出、消费、投资等实际经济产生影响的。

此外, Meh&Moran (2004) 认为银行同样面临金融摩擦, 其资本是货币政策传导的重要决定因素。而Devereux (2004) 则运用开放经济的DSGE模型对货币政策传导的研究表明汇率对货币政策传导有切实的影响。

相对于传统计量方法, 运用DSGE模型研究经济问题具有较多优势。随着中国开放度的增加, 运用DSGE模型研究中国的货币政策实施及政策设计等问题具有重要意义。

参考文献

[1]徐高:基于动态随机一般均衡模型的中国经济波动数量分析[D].博士学位论文, 2008.

[2]Kydland, F.E., E.C.Prescott.Time to Build and Aggregate Fluc-tuations[J].Econometrica, 1982 (50) .

[3]Ireland, Peter N.Technology Shocks and the Business Cycle:An empirical investigation[J].Journal of Economic Dynamics&Con-trol, 2001 (25) .

均衡模型 篇6

数字电视接收机的移动性,导致接收的OFDM符号产生多普勒频谱扩展,由此子载波间的正交性被破坏,从而引起载波间干扰(ICI)。

ICI直接导致了移动接收机系统性能的误码地板效应,这是OFDM系统在时变信道中的最大瓶颈,已有许多研究围绕ICI的抑制问题展开讨论。与无迭代的接收机相比,迭代接收机通过迭代过程,利用判决反馈的结果来修正信道估计的精度,通过初始步的预判决结果作为训练序列,来对信道进行更精确的拟合,从而减小误码率。本文从时域推导了采用Kalman滤波器进行判决反馈的均衡算法,以改善由于信道时变带来的误码率和降低复杂度。由于Kalman滤波算法是基于统计AR模型给出的状态方程,本文也分析了信道的时域的统计特性。

1 时变信道的时域统计AR模型

通常考虑信道系统函数的相关性,设信道冲激响应的相关函数为:

则当信道满足条件:

时,称信道为广义平稳(WSS)的。其中。这意味着以不同多普勒频移到达的信号是不相关的。当主要路径在时间上可以分辨出来时,于是得到

其中,和分别表示第l条路径的复数值幅度和时延的时变函数。信道的时变特性可以用有限参数的AR模型来描述,并且一阶AR模型可以对时变信道给出足够精确的辨识,因此信道模型可以表示为:

其中,a为AR模型参数,vn为高斯白噪声过程变量,其方差为。信道的快衰落是由于收发双方的相对移动产生的多普勒频移效应,引起信号相位的迅速变化形成的,按照Jakes衰落模型,第l径信道的相关函数可以表示为:

式中,fdTs为归一化的多普勒频偏,J0(·)为第一类零阶贝塞尔函数。利用式(5)中的相关函数求解Yule-Walker方程,可以求得a和

将式(6)表示成向量,得到如下状态空间模型:

其中,hn.l表示n时刻信道第l径复增益,,,wn是一均值为零,方差为的加性高斯白噪声。

2 基于Kalman滤波器的信道估计

2.1 算法描述

由状态空间模型式(8),在已得到接收序列N-1后,采用Kalman滤波算法[1]可以获得时变信道的递推估计值。

上式中,Qn+1为过程噪声vn+1的相关矩阵,由于信道的各径增益为统计独立的随机变量,所以Qn+1为对角矩阵且

但由于各径的未知,为此可以假设每一径都有相同的,则有:

为信道估计误差的协方差矩阵,其初始值可设为p0=I,在这种方法中,由于在接收端多普勒频偏fdTs和Qn+1未知,由式(6)给出的参数a未知,导致式(9)给出的Kalman滤波算法实用性受到限制。若引入en的最小均方误差作为代价函数,采用VFF-RLS算法可得到一种a的递推估计方法,下面是推导过程。

2.2 算法改进

考虑均方误差目标函数

为了使估计的均方误差最小,可以对目标函数取关于a的导数

令:对式(9)中第4个等式两边求导。

对式(9)中第3个等式两边求导,可得

令:,将(11)代入式(9)中第5个等式,并对它两边求导。

此处,,否则,通过式(12),可以用递归的自适应算法来计算参数a,

其中为收敛因子,指设定上限和下限的截断运算。

这样改进后,完整的Kalman滤波算法由下列各式给出:

这样只要设定相应参数的初始值,在σ2n已知的情况下,就能够得到信道的估计值,通常可以设定,a-和a+根据fdTs的范围由式(6)给出。

3 TDS-OFDM系统的Kalman均衡方法

3.1 系统模型

TDS-OFDM的基带传输模型如图1所示,整个系统采用伪随机PN序列代替传统的循环前缀,二进制数据在完成星座映射后得到频域的复数序列{X(n)},经过离散傅立叶反变换后得到时域数据序列{x(n)},插入PN序列{g(n)}后缀,经过快衰落时变信道传输后,得到接收序列{y(n)}。要恢复出原发送符号序列,通常对接收数据利用信道估计信息进行均衡,将均衡后的数据经过离散傅立叶变换后进行符号判决,得到发送序列的估计值。

3.2 信道初始值设定

若信道的最大多径时延小于PN序列的长度,则可以利用PN序列的自相关特性来估计信道的各径增益和最大多径时延[2]。设PN序列的长度为M,将PN序列和接收符号序列做自相关运算可得:

Rgw(k)是PN序列与噪声的相关项;Rgg(k-l)是PN序列自相关项,有以下性质:

对各径信道的估计可以通过对相关运算后的峰值搜索得到,步骤如下:

(1)搜索Rgy(k)(其中:)的最大值,χ0是峰值的位置,为了消除式(32)-1项的影响,在完成第一次搜索后,在原相关序列中消除的影响,得到:

(2)搜素的最大值,得到,同样按照式(31)方法处理,得到,继续搜索直到得到所有的峰值和位置值。最后得到信道初始参数值为:,,i为搜索的次数,观测向量可以从PN序列的第L+1个符号到第M个符号得到,共M-L个。

3.3 信道跟踪

利用发送符号中的已知序列,来对以上Kalman算法进行训练阶段的信道估计,可以得到各径不同时刻的信道估计值,训练阶段完成后,由于观测向量为未知符号序列,对后面各时刻的信道增益,本节采用二阶多项式来拟合每一径信道的变化,多项式的系数由训练阶段各时刻的估计值来确定。在完成信道跟踪后,对发送序列的检测由基于MMSE准则的时域均衡和判决反馈的联合算法给出,如图2所示。

对信道各径增益的时变特性,本文采用一个二阶多项式函数来近似,则第l径信道:

为近似误差,令,为训练结束后得到的估计值,系数由最小二乘公式得到。

所有时刻的信道估计值由下式给出:

对接收符号的均衡按照MMSE[3]方法进行。

3.4 仿真分析

按照瑞利衰落信道模型[4],在载波频率为1GHz频段进行了仿真,信道的多径时延功率服从COST 207标准,以典型城市(Tux)环境为例。OFDM参数设置按照我国的数字电视广播标准给出,子载波总数为3780,后缀采用PN255构成长度为420的序列,调制方式为QPSK,符号周期为555.6μs,设接收机最大移动速度为360km/h,则最大归一化多普勒频偏为0.1852。

图3、图4、图5分别给出了在移动速度为120km/h、240km/h、360km/h三种情况下的各均衡方法的误码率曲线,当移动速度为120km/h时,此时归一化多普勒频偏为0.0617,此时信道可以近似为平坦衰落信道,各种算法误码率相差不大,但是线性插值算法比较简单,且只需要在一个符号间隔内处理就可以进行,BE模型和二次多项式拟合需要接收两个符号间隔的时域序列,且参数计算相对复杂一些,Kalman算法更复杂一些。但当移动速度增加到240km/h时,此时归一化多普勒频偏为0.1235,信道的时变特性较明显,从图3较明显地看出BE模型由于考虑了信道的实际时变特性,具有一定的性能优势,线性插值算法具有较高的误码率,二次多项式拟合算法相比较而言,是一个折衷选择,因为不需要考虑信道的最大多普勒频移。Kalman均衡算法在信噪比较高的情况下,可以有效地均衡对信道估计误差带来的影响。当移动速度进一步增加到360km/h的情况下,从图5可以看出,其它三种算法对误码率的改善都有限,但本文给出的Kalman均衡算法仍然可以将误码率控制在10-2内。且Kalman均衡算法首先采用二次多项式预估计信道,再采用判决结果作为训练序列来对估计结果进行修正,不需要知道信道的任何参数信息。

图6比较了各种算法在信噪比为30d B的情况下各种均衡算法的性能和移动速度的关系。从图6看出,在移动速度较低的情况下,Kalman均衡算法没有任何性能优势。但当信道的时变特性较明显时,Kalman算法能够对信道估计的误差进行更加精确的消除。此时Kalman均衡算法具有很好的性能优势,随着移动速度的增加,信道估计的精度逐渐变差,为了得到更好的估计,需要提高信道模型的拟合精度,如采用更高阶的多项式拟合或采用Q值更高的BE模型,但是随着估计参数的增加,需要增加导频块的数目,在OFDM符号结构固定的情况下,只有靠增加接收的OFDM符号个数,即增加拟合的信道时间长度,这又会增加估计误差,所以基于以上考虑,本文给出的Kalman算法在不需知道信道参数特性的情况下,对信道给出了一个相对较好的跟踪。应当指出的是,Kalman均衡算法对信道的噪声干扰是比较敏感的,只有在信噪比相对较高的情况下才有较好的性能,在信噪比较低时,由于加性噪声的存在干扰了信道跟踪的精度,这点从以上误码率曲线图可以得到。

4 结论

本文详细分析了时变信道的时域统计特性,并由此得到了时域的基于AR模型的状态方程,在此基础上设计了Kalman滤波器来对时变信道进行均衡。当信道的时变特性较明显时,Kalman算法能够对信道估计的误差进行更加精确的消除,对由于信道时变带来的误码率给予一定程度的改善。当移动速度增加到360km/h的情况下,本文给出的Kalman均衡算法可以将误码率控制在10-2内,比起其它三种算法性能优势明显。仿真结果很好地验证了此算法的有效性,并且具有较低的复杂度。

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均衡模型 篇7

羊群效应源于生物学中对动物聚群行为的研究。在证券市场中羊群行为通常指投资者在不完全信息的环境下受到其他投资者的投资策略影响, 忽视了自己的判断而采取与他人相同的投资策略。

羊群效应对股市的稳定性和效率有很大的消极影响, 往往会造成投资者的经济损失, 酿成了千万悲剧。2007股市大热之时的大跌就让许多跟风炒作垃圾股的散户损失惨重, 许多人至今仍未解套。

所以, 分析和研究羊群效应, 加深对中国股市羊群效应的理解, 引导有利于市场稳定的羊群行为, 制止加剧市场动荡的羊群行为, 成为了当务之急。

二、羊群效应自然产生的必然性

(一) 羊群效应的概念

羊群在觅食的过程中, 通过相互学习、信息共享和不断累积经验, 组织成一个群落, 并逐渐朝最好的觅食位置移动, 这在生物学上称之为“羊群效应”。

同样的道理, 人类决策的过程实际和生物群觅食是极为相似的过程[1]。延伸到股票市场上, 羊群效应是指在股票投资过程中, 投资者根据他人的投资决策而改变自己最初投资决策的一种群体行为[2]。而股市中存在的, 是绝大部分行为主体只会盲目相互模仿, 非理性的羊群效应[3]。

(二) 动态舆论演化博弈模型

韩少春、刘云提出了动态舆论演化博弈模型[4], 通过仿真模拟程序产生随机策略, 发现随着相互博弈的发展, 观点会逐渐演化合并, 最终形成统一的观点, 就是说, 出现了羊群效应。

这个结果揭示了, 在信息不断流入, 信息变得十分不确定的情况下, 羊群效应产生的必然性。同时在舆论演化的过程中, 很容易出现观点收敛, 大部分人观点达到统一, 单个行为人在心理上也会依附于大多数人的行为, 以降低自行采取行动的成本, 并获得尽可能大的收益。

三、检验羊群效应的模型与方法

(一) 实证分析方面

俞雅娟 (2012) [5]通过研究投资者情绪与证券价格波动, 证实了上证指数与成交量之间存在联系。换句话说, 国内股票市场中若存在羊群效应, 见到股市变动的投资者必然会对股市的变动做出相应的反映, 具体可以表现在成交量上。本文试图寻找上证指数与成交量之间存在的具体关系, 借助国内的股票数据, 建立数理模型, 从而检验国内股票市场中存在羊群效应的显著性。

(二) 我国股市羊群效应的检验

证券市场的股票收盘价格及其他所有数据来源于国泰安 (CSMAR) 数据系统。

为了消除时间序列的经济数据中普遍存在的异方差现象, 将变量成交量 (CJL) (单位:千万) 和上证指数 (SZZS) (单位:点) 的具体数据取对数, 这样并不会对原变量间的相关关系造成影响。

其次, 需要检验其平稳性, 并用EG两步法考察他们之间是否存在协整关系。

根据协整关系的检验方法, 先回答上证指数的对数 (LNSZZS) 序列和成交量的对数 (LNCJL) 序列是否为非平稳序列, 即考察其单整阶数。

在EViews中对LNSZZS序列进行ADF单位根检验。从检验结果来看, 在1%、5%10%三个显著性水平下, 单位根检验的临界值为-3.433147-、2.862662-2.567413, t检验统计量临界值-1.160388大于相应临界值, 从而不能拒绝H0, 表明LNSZZS序列存在单位根, 是非平稳序列。

重新设定参数, 指定对一阶差分序列作单位根检验, 滞后差分项选择2阶。从检验结果来看, 在1%、5%、10%三个显著性水平下, 临界值为-3.433149-、2.862662-2.567413, t检验统计量临界值-25.90690, 小于相应临界值, 从而拒绝H0, 表明LNSZZS序列不存在单位根, 是平稳序列。即LNSZZS序列是一阶单整的, LNSZZS~I (1) 。

采用同样的方法, 可检验得到LNCJL序列也不存在单位根, 即LNCJL~I (1) 。

为了分析LNCJL序列和LNSZZS序列之间是否存在协整关系, 先作两变量之间的回归, 然后检验回归残差的平稳性。

以LNCJL为被解释变量, LNSZZS为解释变量, 用OLS回归方法估计回归模型:

为了检验回归残差的平稳性, 继续对残差序列进行单位根检验。由于残差序列的均值为0, 所以与之前不同, 选择无截距项、无趋势项的DF检验。

从检验结果来看, 在1%、5%10%三个显著性水平下, 临界值为-2.566020-、1.940969-1.616602, t检验统计量临界值-8.247622, 小于相应临界值, 从而拒绝H0, 表明残差序列不存在单位根, 是平稳序列, 说明LNSZZS序列和LNCJL序列存在协整关系。

这表明两者之间有长期均衡关系, 但从短期来看, 可能出现失衡。为了增强模型的精度, 可以把协整回归式中的误差项et看做均衡误差, 通过建立误差修正模型把成交量的短期行为与长期行为联系起来。误差修正模型的结构如下:

其中, LNSZZS序列和LNCJL序列的差分序列为:

然后以td LNCJL为被解释变量, td LNSZZS和t1-为解释变量, 得到误差修正模型的估计结果:

上述估计结果表明, 成交量的变化不仅取决于上证指数的变化, 而且还取决于上一期上证指数对均衡水平的偏离, 误差项et-1估计的系数-0.063762体现了对偏离的修正, 上一期偏离越远, 本期修正的量就越大, 即系统存在误差修正机制。

同时, 从回归结果来看, DLNSZZS的t统计量值显著, 表明当期上证指数的变化对成交量的变化有一定影响, 但没有显现出这种影响的滞后性。为了分析这种滞后性, 本文作滞后5期的分布滞后模型的估计, 得到如下结果:

从回归结果来看, 前4期的t统计量值显著, 一直到第4期, 从滞后4期开始t统计量值开始变得不显著;再从回归系数来看, 滞后的期数越大, 上证指数的变化DLNSZZS各滞后期的系数有逐渐减小的趋势, 表明滞后几期上证指数的变化对成交量的变化的影响是逐渐减小的, 也就是说, 最近几期的上证指数的变化会明显影响成交量, 而且, 从第2期开始, 回归系数的符号变为负号, 意味着投资者开始对上证指数连续上涨这一现象产生“上证指数是否会继续上涨”的怀疑, 指数连续增长或者连续下跌, 都会引发投资者之间的心理波动。这也是符合投资者投资者短期投机行为严重, 个人研究能力不强, 盲目跟随大众的心理。

当然, 从上述的回归结果也可以看出, 回归方程的R2不高, DW值也在临界值附近, 难以准确的判断, 表明出了上证指数的变化外, 还有其他因素影响成交量的变化;同时, 过多的滞后变量也可能引起自由度损失及多重共线性的问题。但是, 如果本文分析问题的重点是上证指数变化对成交量影响的滞后性, 上述结果已能说明问题。

(三) 模型总结

通过建立上证指数变化对成交量变化影响的模型, 并且加入误差修正模型把成交量的短期行为与长期行为联系起来, 动态地揭示了我国股市中羊群效应存在的确定性显著。同时, 通过分析短期股市的滞后效应, 从数理模型上得到了个人投资者的投资行为与机构投资者前1期和前2期的投资行为呈现明显的正反馈现象, 这和杨!、王小征等 (2004) [6]从市场收益率来检验羊群效应得到的结论是一样的。

四、结论和建议

我国股市运行时间短、发育不成熟, 完善股市管理和规范股市运行任务相当繁重。尤其是近两年新增股民大量涌现, 他们进入股市的心理准备不足, 对股市知识掌握不够, 自身承受风险能力较差, 很难做到独立思考, 与众不同。

而且, 许多投资者进入股票市场的目的不在于红利的收入, 而是希望通过股票的价差收益来获取投机回报, 短期投机行为严重, 理性意识还不健全, 跟风、跟庄等行为现象比较突出, 容易产生羊群效应。

羊群效应在很大程度上根源于投资者的有限理性和心理因素, 因此消除羊群效应是不可能的。但是, 通过制度、环境的改变, 在一定程度上减弱股票市场中的羊群效应, 将会对股票市场的稳定性产生积极影响。

总之, 不论从目前还是从长远的角度来看, 加深对羊群效应理论的认识和理解对中国证券市场的健康发展必将起到重要的促进作用。

参考文献

[1]卓金武.MATLAB在数学建模中的应用[M].北京:北京航空航天出版社, 2011.

[2]崔显林.论当前股票市场中“羊群效应”的危害及对策[J].金融在线, 2010 (07) .

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[4]韩少春, 刘云, 等.基于动态演化博弈论的舆论传播和羊群效应[J].系统工程学报, 2011 (04) .

[5]俞雅娟.研究投资者情绪与证券价格波动——基于我国证券市场的研究[J].中国经贸导刊, 2012 (04) .

均衡模型 篇8

关键词：交通分配,Wardrop准则,基于终点模型,仿射尺度算法

交通分配就是把各种出行方式的空间OD量分配到具体的交通路网上,它是城市交通规划的一个重要环节。依据Wardrop第一、第二准则,通常把交通分配划分为均衡分配与非均衡分配。Beckman最早提出了满足Wardrop第一准则的用户均衡交通分配模型,常采用Frank-wolfe算法进行求解[1,2,3]。由于该模型以各OD对之间的路径流量为变量,需要枚举OD对间的所有路径,因此对大型路网,模型求解相对比较困难。

近年来,许多学者对这类问题进行了多方面研究[4,5,6],提出许多新的模型与算法,如基于路段模型与算法[7],基于起点和终点的模型与算法[8,9]等。这些模型与算法都是以路段流量为变量,并发现基于路段的交通分配模型同样满足Wardrop第一准则。选择路段流量为变量,避免路径枚举,减少计算的复杂程度。

基于终点的用户均衡交通分配模型可以归结为一个具有线性约束的非线性规划问题,本文采用简单实用的仿射尺度算法[10]求解这类问题。首先给出基于终点的用户均衡交通分配模型,指出该模型与基于路径均衡配流模型是等价的,当选择适当路阻函数后,模型可以归结为带线性约束的非线性规划问题,并转化为仿射尺度算法的处理形式;最后采用该算法求解一个小型路网的交通配流问题,仿真结果显示,该算法是有效的,可用于大型路网的配流计算.

1 交通分配模型

1.1 用户均衡交通分配模型

用户均衡分配模型是更接近实际交通状态的分配模型。在均衡状态时,在同一OD对间所有被使用的路径上,其路径行驶时间相等且该行驶时间小于或等于未被使用路径上的行驶时间,此时网络处于平衡状态,任何出行者均无法通过变更选择路径达到减少出行时间的目的。对于一个给定交通网络G=(N,A),N为节点集,A为边集,R为起点集,S为终点集,R与S可以有公共元素;A(i)为以i为起点的有向路段集合;B(i)为以i为终点的有向路段集合;(r,s)为以r为起点,s为终点的OD对;x${}_a^s$表示路段a上到终点s,(s∈S)的流量;Prs为OD对(r,s)间所有路径集合。对应于Wardrop第一准则的用户均衡交通分配模型(1):

$\begin{array}{l}\min z(x)={\displaystyle \sum _{a\in A}{\displaystyle {\int }_0^{x{}_a}t}}{}_a(\omega )\text{d}\omega (1)\\ \text{s}.\text{t}.{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}_{rs}}f}{}_p^{rs}=q{}_{rs},\forall r,s(2)\\ f{}_p^{rs}\ge 0,\forall p,r,s(3)\\ x{}_a={\displaystyle \sum _{r\in R}{\displaystyle \sum _{s\in S}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}_{rs}}\delta }}}{}_{ap}^{rs}\cdot f{}_p^{rs},\forall a(4)\end{array}$

式中:f${}_p^{rs}$是O-D对(r,s)间路径p上的交通量;qrs是OD对(r,s)间的交通需求量;

$\delta {}_{ap}^{rs}=\{\begin{array}{cc}1‚& \text{Ο}\text{D}\text{对}(r,s)\text{间}\text{路}\text{径}p\text{经}\text{过}\text{路}\text{段}a\\ 0‚& \text{否}\text{则}\end{array}$

上面模型是基于路径用户均衡交通分配模型,求解该模型需要枚举OD对间的所有路径,因此在大型路网上应用比较困难。下面给出的基于终点的用户均衡交通分配模型(2):

$\begin{array}{l}\min z(x)={\displaystyle \sum _{a\in A}{\displaystyle {\int }_0^{x{}_a}t}}{}_a(\omega )\text{d}\omega (5)\\ \text{s}.\text{t}.{\displaystyle \sum _{a\in A(i)}x}{}_a^s-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}x}{}_b^s=q{}_{is},\forall i\in R,s\in S,i\ne s(6)\\ {\displaystyle \sum _{a\in A(i)}x}{}_a^s-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}x}{}_b^s=0,\forall i\notin R,s\in S,i\ne s(7)\\ x{}_a^s\ge 0(8)\\ x{}_a={\displaystyle \sum _{s\in S}x}{}_a^s(9)\end{array}$

该优化模型以路段到终点的流量x${}_a^s$为变量,避免了路径枚举,从而适用于大型路网的配流计算。

1.2 模型分析

模型(1) 中目标函数是路段行驶时间函数积分之和,该目标函数在交通上的含义并不直观,但它的K-K-T条件却正好与Wardrop第一准则一致。并且可以证明,模型(2)与模型(1)是等价的。事实上,令x${}_a^{rs}$为路段a从起点r到终点s的流量,则有$x{}_a^{rs}={\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}_{rs}}f}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{pa}^{rs}$,对∀i≠r,i≠s,有${\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}_{rs}}f}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{ap}^{rs}-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}_{rs}}f}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{bp}^{rs}=0$,即OD对(r,s)中,当节点i为中间点时进入i的流量等于流出流量。从而有:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{a\in A(i)}x}{}_a^s-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}x}{}_b^s={\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{r\in R}x}}{}_a^{rs}-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}{\displaystyle \sum _{r\in R}x}}{}_b^{rs}\\ ={\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{r\in R}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{rs}}f}}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{ap}^{rs}-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}{\displaystyle \sum _{r\in R}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{rs}}f}}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{bp}^{rs}\\ ={\displaystyle \sum _{r\in R}(}{\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{rs}}f}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{ap}^{rs}-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{rs}}f}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{bp}^{rs})=0\end{array}$

即为式(7)。同样对∀i∈R,i≠s时有:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{a\in A(i)}x}{}_a^s-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}x}{}_b^s\\ ={\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{r\in R}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{os}}f}}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{ap}^{rs}-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}{\displaystyle \sum _{r\in R}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{rs}}f}}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{bp}^{rs}\\ ={\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{is}}f}}{}_p^{is}\cdot \delta {}_{ap}^{is}+{\displaystyle \sum _{a\in A(e)}{\displaystyle \sum _{r\in R\{i\}}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{rs}}f}}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{ap}^{rs}-\\ {\displaystyle \sum _{b\in B(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{is}}f}}{}_p^{is}\cdot \delta {}_{bp}^{is}-{\displaystyle \sum _{b\in B(i)}{\displaystyle \sum _{r\in R\{i\}}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{rs}}f}}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{bp}^{rs}\\ ={\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{is}}f}}{}_p^{is}\cdot \delta {}_{ap}^{is}+{\displaystyle \sum _{r\in R\{i\}}(}{\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{rs}}f}}{}_p^{rs}\cdot \delta {}_{ap}^{rs}-\\ {\displaystyle \sum _{b\in B(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{is}}f}}{}_p^{is}\cdot \delta {}_{bp}^{is})\\ ={\displaystyle \sum _{a\in A(i)}{\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{is}}f}}{}_p^{is}\cdot \delta {}_{ap}^{is}={\displaystyle \sum _{p\in {\rm P}{}^{is}}f}{}_p^{is}=q{}_{is}\end{array}$

与式(2)一致,所以模型(1)与(2)是等价的。

1.3 模型的矩阵表示

令x=(…,x${}_a^1$…x${}_a^{|S|}$,…)T(|A|×|S|)×1表示路网中各路段基于终点的流量向量;ei(s)=(…,eia(s),…)1×|A|表示s为OD对终点时节点i的点弧关联向量;其中:

$e{}_{ia}(s)=\{\begin{array}{cc}1‚& s\text{为}\text{Ο}\text{D}\text{终}\text{点}\text{时},i\text{为}a\text{的}\text{起}\text{点}\\ -1‚& s\text{为}\text{Ο}\text{D}\text{终}\text{点}\text{时},i\text{为}a\text{的}\text{终}\text{点}\\ 0‚& \text{否}\text{则}\end{array}$

设:

$\begin{array}{l}E(s)=\left[\begin{array}{l}e{}_1(s)\\ e{}_2(s)\\ \cdots \\ e{}_{|{\rm N}|}(s)\end{array}\right]{}_{|{\rm N}|\times |A|}\\ \mathit{E}=\left[\begin{array}{cccc}E(1)& 0& \cdots & 0\\ 0& E(2)& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & E(|S|)\end{array}\right]{}_{(|{\rm N}|\times |S|)\times (|A|\times |S|)}\\ b=(\cdots ,b{}_i^s,\cdots ){}_{(|{\rm N}|\times |S|)\times 1}^{\text{Τ}},\\ b{}_i^s=\{\begin{array}{cc}q{}_{is},& i\in R,s\in S\text{且}i\ne s\\ 0,& \text{否}\text{则}\end{array}\end{array}$

采用矩阵表示模型(2)转化为式(10):

$\begin{array}{l}\min z(x)={\displaystyle \sum _{a\in A}{\displaystyle {\int }_0^{x{}_a}t}}{}_a(\omega )\text{d}\omega \\ \text{s}.\text{t}.Ex=b\\ x\ge 0(10)\end{array}$

2 仿射尺度算法

2.1 算法的基本思想

设模型(3)的内可行域Q+={x|Ex=b,x>0},当前迭代点为xk=(x${}_1^k$,…,x${}_{|A|\times |S|}^k$)T,xk∈Q+,构造对角阵Dk=diag(x${}_1^k$,x${}_2^k$,…,x${}_{|A|\times |S|}^k$),做仿射尺度变换Tk:g=D-1kx,在此变换下,式(10)变为:

$\begin{array}{l}\min G{}_k(g)\\ \text{s}.\text{t}\overline{E{}_k}g=b‚g\ge 0(11)\end{array}$

其中,$\overline{\mathit{E}{}_k}=\mathit{E}\mathit{D}{}_k$,并且xk被变换到式(11)约束区域的中心e=(1,1,…,1)${}_{(|A|\times |S|)\times 1}^{{\rm T}}$。从e出发沿式(11)的目标函数在gk=e处的负梯度在矩阵$\overline{\mathit{E}{}_k}$的核空间的投影方向:$q{}_k=-(\nabla G{}_k(e)-\overline{\mathit{E}{}_k}´(\overline{\mathit{E}{}_k}\overline{\mathit{E}{}_k}´){}^{-1}\overline{\mathit{E}{}_k}\nabla G{}_k(e))$做一维搜索,这里ᐁGk(e)=Dkᐁz(xk)。若qk=0,则可证xk是式(11)一个K-T点;若qk≠0,则记$p{}_k=\frac{q{}_k}{\parallel q{}_k\parallel }$,做一维搜索$\underset{0\le \lambda \le \theta }{{\displaystyle \min }}F(x{}^k+\lambda \mathit{D}{}_{k}p{}_k)‚(0<\theta <1)$。

2.2 算法的迭代步骤

Step 1: 给定初始点x0∈Q+,x0=(x${}_1^0$,x${}_2^0$,…,x${}_{|A|\times |S|}^0$)T,允许误差ε,σ>0,置k =1;

Step 2: 令Dk=diag(x${}_1^k$,x${}_2^k$,…,x${}_{|A|\times |S|}^k$),计算$q{}_k=-(\nabla G{}_k(e)-\overline{\mathit{E}{}_k}´(\overline{\mathit{E}{}_k}\overline{\mathit{E}{}_k}´){}^{-1}\overline{\mathit{E}{}_k}\nabla G{}_k(e))$,其中$\nabla G{}_k(e)=\mathit{D}{}_k\nabla z(x{}^k),\overline{A{}_k}=A\mathit{D}{}_k$;

Step 3: 若‖qk‖<ε,则令xmin=xk,停止;否则,转Step 4;

Step 4: 计算$p{}_k=\frac{q{}_k}{\parallel q{}_k\parallel }$,进行一维搜索

$\underset{0\le \lambda \le \theta }{{\displaystyle \min }}z(x{}^k+\lambda D{}_{k}p{}_k)‚\theta \in (0‚1)$;

Step 5: 设λk是Step4中最优解,若‖λkDkpk‖<σ,则令xmin=xk,停止;否则,转Step 6;

Step 6: 令xk+1=xk+λkDkpk,置k=k+1,转Step2;

3 仿真实验

考虑如图1所示的交通路网,有14条路段,变量x${}_a^s$有28个;有2个OD对1-9和3-7,OD需求量分别为q1,9=q3,7=55;路阻函数采用美国公路局1964年提出的BPR函数,具体可取$t{}_a(x{}_a)=t{}_a(0)(1+0.15\left(\frac{x{}_a}{c{}_a}\right){}^4),t{}_a(0)$为路段自由流行驶时间,设每条路段饱和容量为40;路段自由流行驶时间见表1。

采用仿射尺度算法,使用Matlab软件编程对这个实例进行求解。求解中所取允许误为ε=0.01,σ=0.1时,各路段分配流量见表2。表3给出分配流量路径的行驶时间,可以看到,同一OD对路径行驶时间基本相同,从而满足Wardrop 第一准则。图2给出了仿射尺度算法的收敛曲线图,可以发现,本算法收敛速度快,算法迭代528步后误差降为0.01。

4 结 语

本文给出了基于终点的用户平衡交通分配模型的仿射尺度算法,模型以基于OD对终点的路段流量作为变量,避免了路径枚举,减少计算量。仿真计算结果显示,本文采用的仿射尺度算法是有效的,分配到各路段的流量满足Wardrop 第一准则。

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