变结构多模型（精选4篇）
变结构多模型 篇1
摘要：次贷危机爆发后CDS的定价和风险监控成为研究热点。BDS是具有多个参考资产的CDS, 其最重要的问题是定义参考资产之间的违约相关性。利用Copula函数描述资产之间的相关结构具有较好的特点。提出运用变结构的Copula函数来描述违约相关性的BDS定价模型, 考虑到经济形势转换对BDS定价的影响, 对违约密度和违约相关性引入马尔科夫转换机制, 并运用蒙特卡洛模拟进行比较分析。研究表明, 变结构违约相关的BDS价格处于不带机制转换两个初始状态的BDS价格的中间。由于BDS价格与违约密度正向变动而与违约相关性反向变动, 因此经济形势转换对BDS定价的影响实际上是违约密度和违约相关性综合作用的结果。
关键词：BDS,Copula函数,马尔科夫体制转换,蒙特卡洛模拟
1 引言
信用违约互换 (Credit Default Swap, CDS) 是目前应用最为广泛的信用衍生产品。美国次贷危机演化为全球金融危机后, CDS等信用衍生品成为研究热点。2010年11月, 中国版的CDS———信用风险缓释工具 (Credit Risk Mitigation, CRM) 在银行间市场推出。CRM在我国商业银行信用风险管理和债券市场发展方面有着广泛的发展空间和应用前景。对CDS的进一步研究对我国CRM市场的完善和发展具有重要的意义。
一篮子信用违约互换 (Basket Default Swap, BDS) , 是指具有两个以上参考实体的CDS。对于第一次违约的BDS (first to default) , 当参考实体中有一个公司发生违约, BDS卖方即赔偿买方的损失, 随后合约终止。第k次违约的BDS则是当参考实体中有k个公司发生违约时, BDS卖方才赔偿买方的损失并且终止合约。对于具有不同的参考资产的BDS的定价, 定义资产间的违约相关性是关键。由于Copula函数具有很多优点, 最近很多学者采用Copula函数来描述资产间的相依结构。本文基于Copula理论, 考虑到违约相关性随着宏观经济环境和政策变化而变化, 建立了考虑宏观经济形势影响的第k次违约的BDS定价模型。
对于BDS定价, 最关键的是建模资产间的违约相关性。类似于定价单名CDS, 建模违约相关性的方法可以分为结构化方法和简约化方法。自Embrechts, McNeil和Staumann (1999) [1]介绍Copula函数模型来度量资产间相关性后, 使用Copula函数描述的相关性引起了学者们的研究兴趣。Li (2000) [2]采用单因子高斯Copula模型建模违约相关结构, 是系统地应用Copula理论在信用风险建模中的首次尝试。Hull和White (2001) [3]提出了度量相关结构的因子模型, 将企业资产价值表示为产生违约相关的一组系统因子加上企业特有因子的函数, 其违约相关结构由相关系数给出。Abid和Naifar (2005) [4]利用高斯Copula和t Copula函数来描述标的资产的相关性得到BDS和CDO价格。Hull和White (2006) [5]发展了一类隐含Copula (Implied Copula) 函数, 从历史数据中估计得到参数, 能够准确地刻画过去市场之间的相关结构, 相比其他Copula函数具有更小的误差。建模违约相关性的最新研究是引入动态Copula模型, 如Patton (2006) [6]提出了时变Copula模型以及Totouom和Armstrong (2008) [7]提出了动态阿基米德Copula模型来建模企业间的相依结构。马尔科夫机制转换模型是建模非线性变化的流行工具。Elizalde (2006) [8]在定价CDS时假设违约事件与外部信用评级有关且信用评级的变化被看作是机制转换。Hackbarth, Miao和Morellec (2006) [9]将公司的现金流引入马尔科夫机制转换来探讨经济周期对公司现金流和违约策略的影响。Dai, Singleton和Wei (2007) [10]在美国国债收益率期限结构的动态模型中引入机制转换。Chen (2010) [11]基于预期的经济增长的周期性变化、经济的不稳定性和风险溢价的会影响公司的融资和违约策略观点下建立结构化模型并得到内生违约概率和损失封闭解。
运用Copula模型为BDS的违约相关性建模的文献近几年在国内得到了发展。詹原瑞、韩铁和马珊珊 (2008) [12]介绍了Copula函数族在BDS定价方面的应用。王涛和梁进 (2009) [13]基于Vasicek模型分析了BDS定价的封闭解和数值解。史永东和武军伟 (2009) [14]假设资产服从Variance Gamma过程, 利用Levy Copula直接将资产的跳跃进行关联, 结果表明Levy Copula可以很好地对不同参数设置下的组合信用衍生品进行定价。陈正声等 (2010) [15]指出扭曲Copula函数对尾部相关性的刻画优于高斯Copula函数, 并将扭曲Copula函数用于BDS定价。何旭彪和邓洋 (2008) [16]基于单因素Copula模型和条件蒙特卡洛模拟方法, 推导出定价第k次违约BDS合同的CondMC算法。
本文提出考虑到BDS价格随着宏观经济形势的变化的BDS定价模型, 利用Copula函数来描述违约相关性, 违约密度和违约相关性随着经济形势改变而具有马尔可夫机制转换。全文共分5节, 第2节介绍了BDS定价基本原理;第3节讨论基于Copula理论的BDS定价模型, 给出了不同的Copula函数的BDS定价的蒙特卡罗模拟程序并进行数值模拟和比较分析;第4节提出了考虑经济形势转换的BDS定价模型, 模拟出BDS价格并分析宏观经济形势转换对BDS价格的影响;第5节为结论。
2 BDS定价基本原理
与单名CDS定价的基本思想类似, BDS定价也需要确定三部分的现金流, 即违约和不违约时的预期支付以及违约时获得的赔偿。
不违约时的支付可表示为:
其中tj表示第j次支付的时间, Δj-1, j表示第j-1次支付和第j次支付的时间间隔, B (0, tj) 表示tj时刻的折现因子, F表示每个同质参考实体的名义本金, τ表示第k次违约的时间, I{·}为示性函数。如果违约发生在两个支付日之间, 违约时的应计利息为:
假定对于所有的参考实体, 其回收率均为R.违约时的预期赔偿可表示为:
根据无套利定价原理, 合约签约时现金流为0, 即PVpremium+PVAccruedPremium=PVdefault, 则第k次违约的BDS价格为:
3 基于Copula理论的BDS定价模型
3.1 对违约时间的建模
本文运用在金融风险分析中广泛应用的Copula函数和违约时间的边缘分布来间接确立违约时间的联合分布。
(1) 违约时间的边缘分布
定义τi (i=1, …, n) 代表第i个参考实体的违约时间, F (t) =P (τ≤t) 为违约时间的边缘分布函数, f (t) 为相应的密度函数, 1-F (t) =P (τ>t) =S (t) 表示生存函数, λ (t) 表示违约密度过程。依据违约密度的定义可知:在[t, t+Δt]时间内:
从而有
对Δt取极限有:
解此微分方程, 并利用初始条件S (0) =1可确定
从而
则模拟的边缘分布违约时间可表示为
其中θi为参数为1的指数分布随机数。
(2) 违约时间的联合分布
n元违约时间的联合分布可表示为
则联合生存函数可表示为
令, 则τi=inf{t≥0, hi (t) ≤Ui}, 其中Ui即为相应的Copula函数生成的随机数。特别的, 如果假设λi (s) 具有水平的期限结构, 值为λi, 则有违约时间的边缘分布:
对于违约时间的联合分布有:
其中τ= (τ1, τ2, …, τn) 表示n个参考实体的模拟违约时间, u= (u1, u2, …, un) 表示由相应的Copula函数生成的n维随机向量。
3.2 BDS定价的蒙特卡洛模拟算法
本文主要运用Matlab软件, 采用蒙特卡洛方法来模拟第k次违约的BDS价格。根据模拟精度要求, 确定BDS现金流的模拟路径条数M, 本文取M=5000。算法步骤概括为:
第一步, 生成M×n维Copula函数随机数矩阵U, n表示参考实体个数, 参考实体间的相关结构由相应的Copula函数刻画;
第二步, 将生成的M×n维随机数矩阵U中第i行第j列的元素uij按照τij=-log (1-uij) 转化为每个参考实体的模拟违约时间, 由此得到模拟违约时间矩阵Γ;
第三步, 按行对违约时间矩阵Γ中的元素进行升序排列, 并确定M×1维第k次违约的违约时间向量τk, 对于第1次违约的BDS, 则有τ*=minτi, i=1, 2, …, n;
第四步, 根据第k次违约时间τk判断在某一保费支付时刻tiBDS是否发生违约, 统计违约路径条数W, 则ti之前BDS发生第k次违约的概率Pti=W/M, 由此可根据式 (1) 、式 (2) 、式 (3) 、式 (4) 计算BDS的价格s;
第五步, 重复以上步骤m次后, 对BDS价格求平均, 本文取m=500, 得到合理的BDS价格珋.
3.3 基本数值分析
(1) 模拟参数确定
假定保费支付间隔为Δ=0.25年, 参考资产个数n=10, BDS期限T=5年, 利率r=0.05, 回收率R=0.4, 所有参考实体违约密度h=0.02, 采用高斯Copula函数描述参考实体间违约相关结构, 违约相关系数ρ=0.3。若没有特别说明, 本小节所有参数选取均为以上取值。
(2) 第k次违约时间概率分布
图1为基于高斯Copula函数构造的联合违约时间概率分布, 图中1TD表示第1次违约时间概率分布, 以此类推, 4TD表示第4次违约时间概率分布。由图1可以看出违约概率随着时间的推移而增加, 时间越长就越可能违约。随着违约次数增加, 违约概率减小。
(3) 违约强度与BDS价格
图2和图3分别表示运用高斯Copula函数衡量参考实体间的违约相关结构, 在不同的违约密度条件下得到的第2次违约的联合违约时间概率分布和相应的CDS价格。由图2可知, 单个参考实体的违约密度越大, 则单个参考实体的违约可能性越大, 组合后相应的BDS违约可能性也越大。如图3所示, 违约强度越大, BDS价格越高。
(4) 违约相关性与BDS价格
图4展示了BDS价格与违约相关性之间的关系。第1次违约的BDS价格随着违约相关性的增强而显著减小, 第2次违约的BDS价格随着违约相关性的增强而减小, 但其减小幅度远低于第1次违约的情形。第3、4、5次违约的BDS价格随着违约相关性的增强而增大, 并且违约次数越大, 增幅也越大, 斜率越陡峭。
(5) 参考实体个数与BDS价格
如图5所示, BDS价格随着其参考实体个数增加而增大。在其他条件相同的情况下, BDS中参考实体的个数越多, 发生第k次违约的可能性越大, 因而其BDS价格也更高。
(6) 相关结构与BDS价格
图1、图2、图3、图4、图5都是基于高斯Copula函数衡量参考实体违约时间的相关结构, 图6中给出了不同Copula函数第1次违约的BDS价格。可以看到, t Copula和Clayton Copula函数得到的BDS价格总是低于高斯Copula, 这是由于t Copula和Clayton Copula函数的尾部更厚, 且Clayton Copula函数刻画下尾相关更为敏感, 因而当参考实体相关性较弱时相比t Copula函数的BDS价格要大;随着违约相关性逐渐增强, 其BDS价格要低于t Copula情形。
图7给出了不同Copula函数下第5次违约的BDS价格。值得注意的是, 图7中第5次违约的BDS价格变化与图6中第1次违约的BDS价格变化完全相反。这是由于三种Copula函数是模拟同一总体, 所以该总体的期望违约概率是一定的, 当第1次违约BDS价格较高, 对于第5次违约的BDS价格必然较低。正如图4反映的第k次违约BDS价格随着违约相关性变化的关系, 第1次跟帝5次违约是完全相反的。
4 考虑经济形势影响的BDS定价模型
在以往的BDS定价文献中, 一般假设选取的Copula函数的相关参数是固定不变的, 其大小并不随着时间发生变化, 这种假设带有一定的局限性。在一段较长的时间内, 外部环境会发生变化, 参考实体的违约密度和违约相关性也会随着经济形势的变化而发生改变, 经济形势好的时候, 违约密度较小, 参考实体间的违约相关性相对弱一些;当经济形势变差的时候, 参考实体的违约密度会增大, 违约相关性也会增强。因此, 考虑中长期的BDS定价时, 一个更合理的假设是引入时变的动态Copula函数, 假定Copula函数的相关参数随着经济形势的变化而发生改变。为了避免模型过于复杂, 本文假定Copula函数的相关参数和违约密度服从相同的两个状态的马尔科夫链, Copula函数的参数和违约密度在经济形势好和坏两个状态内发生转换。
4.1 模型构建
假设1:Copula函数的参数和违约密度转换服从相同的两个状态的马尔科夫链, 并且其初始状态可观察, 即:
其中pij表示在Δt时间内Copula函数参数和违约密度从i转换到j状态的概率。Copula函数的参数和违约密度的转移矩阵为:
H代表经济高涨期, L代表经济低迷期。特别地, 假设转移服从泊松过程, 则在极小的时间间隔内有:
其中λi (i=L, H) 表示离开状态i的强度。
假设2:BDS保费支付时间间隔Δt=0.25年, 马尔科夫链状态转移的时间步长为0.25年, 即每隔一个季度判断经济形势是否发生改变, 如果没有改变, 生成的模拟违约时间不发生改变, 如果经济形势发生变化, 则重新生成模拟违约时间, 计算违约概率。
4.2 算例分析
算例1 (BDS 1) :10个同类资产篮子, 第1次违约, 到期时间T=5年, Copula函数和违约密度不带体制转换, Copula函数线性相关系数ρ=0.7 (只对高斯和t Copula函数) , 违约密度h=0.03, 无风险利率r=0.05, 回收率R=0.4。
算例2 (BDS 2) :10个同拎资产篮子, 第1次违约, 到期时间T=5年, Copula函数和违约密度带有马尔科夫体制转换机制, 其参数矩阵为, 其中ρH表示经济高涨时期Copula函数 (只对高斯和t Copula) 的线性相关系数, ρL表示经济低迷期的Copula函数线性相关系数。转移强度λH=0.5, λL=0.75, 其中λH表示经济高涨时期的状态转移强度, λL表示经济低迷时期的状态转移强度。S0=1表示初始状态为经济高涨期, S0=2表示初始状态为经济低迷期。其他参数同BDS 1。
算例3 (BDS 3) :10个同类资产篮子, 第1次违约, 到期时间T=5年, Copula函数和违约密度不带体制转换, Copula函数线性相关系数ρ=0.3, 违约密度h=0.01, 其他参数同BDS1。
算例4 (BDS4) :10个同类资产篮子, 第1次违约, 到期时间T=5年, Copula函数参数带有马尔科夫机制转换, 违约密度为常数, 参数矩阵取为, 其他参数同BDS 2。
算例5 (BDS5) :10个同类资产篮子, 第1次违约, 到期时间T=5, Copula函数参数为常数, 违约密度具有马尔科夫转换机制, 参数矩阵取为, 其他参数同BDS 2。
算例6 (BDS6) :Copula函数线性相关系数ρ=0.3, 其他参数同BDS 1。
算例7 (BDS7) :Copula函数线性相关系数ρ=0.7, 其他参数同BDS 3。
表1给出了3个算例分别采用高斯Copula函数和t Copula函数衡量相关结构的第1次违约BDS定价结果。由表1可知, 对于第1次违约BDS定价, 从总体上看, 带经济体制转换的定价总是处于两个不带体制转换的不同初始状态下的定价结果中间, 带体制转换且初始状态为萧条时期的BDS定价要高于带体制转换且初始状态为繁荣时期的定价结果。
表2给出了BDS价格随违约密度转换的结果。从表2可知, 违约密度越大, BDS价格越高, 违约密度具有机制转换时BDS定价处于不带机制转换时两个初始状态的中间;带有机制转换时, 初始状态为萧条时期的定价高于初始状态为繁荣时期的定价, 这种定价结果与实际情况相符。
与违约密度转换对BDS定价的影响截然相反, 表3中违约相关性越强, 第1次违约的BDS价格越小, 这个定价结果也是与图4相一致的。违约相关性带机制转换的BDS价格处于不带机制转换时两个初始状态的中间, 并且初始状态为繁荣时期的BDS定价大于萧条时期的定价。
通过表1、表2、表3的综合对比分析, 可以看出, 违约相关性和违约密度对第1次违约BDS定价的影响是相反的, 违约密度和违约相关性的综合影响, 决定了经济形势转换对BDS价格的影响。如表1所示, 经济繁荣时期的BDS价格小于萧条时期的价格, 这是因为违约密度对BDS价格的影响要大于违约相关性的影响, 从而整体上使萧条时期第1次违约的BDS价格大于繁荣时期。
5 结语
基于Copula理论和马尔科夫机制转换模型, 本文建立了考虑经济形势变化的BDS定价模型。模型中, 宏观经济形势分为经济繁荣期和萧条期, 违约密度和违约相关性引入两机制的马尔可夫机制转换。模型表明, 考虑到经济形势变化的BDS价格位于没有机制转换的初始状态不同的BDS价格之间。BDS价格受到违约相关性和违约密度的综合影响。第1次违约BDS价格与违约密度成正比而与违约相关性是成反比。一般而言, 违约密度对BDS定价的影响会超过违约相关性, 从而经济萧条时期的BDS价格会大于繁荣时期的价格。本文动态相关的模型分析可以为信用衍生品的风险管理和决策提供参考。本文的模型还可以进一步深入, 如Copula函数及相应参数选取以及违约密度期限结构等都可以通过引入实证研究进行估计, 在动态Copula函数违约相关性参数演化方式上引入更为复杂的演化方程, 采用方差减小技术提高蒙特卡洛模拟的效率和精度等都是值得以后研究的方向。
变结构多模型 篇2
导引头技术是精确制导武器的核心技术之一,用来完成对目标的自动搜索、识别与跟踪。导引头伺服系统是导引头的关键组成部分,其性能直接决定导引头系统的测量和跟踪精度。对导引头伺服系统这类存在非线性、强耦合的动态系统的高精度控制一直是工程界所关心的问题,为此,国内外学者展开了一系列深入研究,并取得了一些有意义的成果[1,2,3,4]。文献[1]针对弹体耦合扰动力矩、摩擦力矩及线缆约束力矩对导引头伺服系统跟踪精度的影响,将基于状态反馈的变结构控制律应用于系统的预定回路,并用仿真试验说明了该方法的有效性。在实际应用过程中,出于对导弹整体战术性能的要求,导引头伺服机构的体积和重量在设计过程中都有严格限制,这使得机构中往往没有多余的空间安装电机测速单元,这使得一般的如文献[1]中所采用的基于状态反馈的控制律在实际系统中难以应用。基于上述考虑,本文根据输出多采样反馈与状态反馈的等价性,利用区域极点配置技术,提出了一种鲁棒性强且易于实现的输出多采样变结构控制律,并应用于导引头预定回路的控制系统设计中。仿真结果表明,在外部干扰和系统参数扰动的共同作用下,导引头伺服系统仍然能够保持较高的跟踪精度。所提出的控制不需要系统中安装测速单元且易于实现,具有实际工程价值。
2 弹载伺服系统干扰力矩分析
对于导引头伺服系统,扰动力矩M可认为是弹体运动角速度,角加速度耦合到平台上造成的。如图1所示的两轴导引头伺服机构在外环轴X和内环轴Y上受到的干扰力矩为[5]
其中:M0x、M0y是与弹体加速度无关的干扰力矩项,主要由平台上各器件的引出导线的弹性约束造成。M1x、M1y是与弹体加速度成比例的干扰力矩项,主要由平台及其负载相对于坐标原点的质量不平衡及框架轴上存在的摩擦等因素造成。M2x、M2y是与弹体加速度平方成比例的干扰力矩项,是由于稳像陀螺平台上各组件受惯性力产生形变,形变又引起组件质心变化,从而引起的非等弹性力矩。
篇幅所限,导引头伺服系统各扰动力矩的具体表达式可参考文献[5]。由此可知,导引头伺服系统中存在弹体耦合干扰力矩、摩擦力矩和线缆约束力矩,而这些非线性扰动力矩会对导引头伺服系统的跟踪性能造成较大影响,经典的控制方法已不能够满足精度要求,必须研究对外部扰动具有较强鲁棒性且易于实现的控制策略。
3 伺服系统输出多采样率变结构控制策略
3.1 输出多采样率反馈原理
输出多采样反馈是指通过对输出信号采用多速率观测器来实现离散状态反馈的一种输出反馈方法。设输入控制信号在采样间隔τ内为常数,而输出信号则以Δ=τ/N的采样间隔进行采样。将原连续被控对象以采样间隔τ进行离散化,其离散状态空间描述为
定义扩展输出向量:
则扩展输出向量满足:
则以τ为时间间隔输入,以Δ=τ/N为采样间隔的输出多采样率控制系统的离散状态空间描述为
式(7)表明,对系统输出采用快速采样,相当于在维持系统采样周期仍是τ的前提下,将系统的有效输出由y(kτ)扩充为ye(kτ),即扩充了系统有效输出的个数。显然,若Ce为列满秩,则x(kτ)可由ye(kτ)直接求出,而无需动态的观测器。以下定理给出了Ce是列满秩的条件。
定理1[6]:设原连续被控对象是完全能观测的,其能观性指标为ν,若控制输入间隔τ与输出采样间隔Δ满足N=τ/Δ≥ν,则由式(6)所定义的Ce对几乎所有的τ均为列满秩。
极点配置问题就是设计状态反馈或输出反馈控制器,使得闭环系统的极点位于所希望的位置,从而达到一定的性能指标。由于系统的状态向量可以完整的表征系统的动态行为,如果采用状态反馈控制律:
则在控制器输入的决策过程中,关于系统的信息量是完整的,所以它在一般情况下都可以取得较好的控制效果,且可以实现闭环系统极点的任意配置。
但是,在许多实际情况中,量测系统的所有状态往往是很困难的,可以通过等效输出反馈来设计控制律。考虑下式所示的输出多采样率反馈控制律:
对于式(8)所示的状态反馈控制律与式(9)所示的输出多采样率反馈控制律有如下定理。
定理2[6]:设原连续被控对象是完全能观测的,且定理1中的各条件都得到满足,则对几乎任意的控制采样周期τ,通过适当选择式(9)中的矩阵H和M,可以使得输出多采样控制律(9)等价于式(8)所示的状态反馈控制律。
证明:将式(9)所描述的输出多采样率控制系统的模型稍加变换,可以得到
定理2表明,可以用输出多采样率反馈控制器来等价实现状态反馈控制律的功能,并且在一定情况下还可以通过选择参数矩阵来使得闭环系统具有指定的稳定裕量。
3.2 采样系统的区域极点配置
本节探讨一种离散采样系统的区域极点配置法,该方法对于离散状态反馈控制律u(kτ)=Fx(kτ),使得对所有允许的参数扰动,以τ为采样间隔的离散闭环系统的所有极点均位于中心在原点,半径为r的圆域D(,0r)内,且具有较小的反馈增益。
不确定采样系统对应的连续对象为
式中δA表示系统的参数扰动,且假定具有形式δA=αG,其中α为实数(或表示为α∈R1×1),G∈Rn×m是非奇异且满足GTG
将连续对象以τ为采样间隔离散化得:
其中:δ表示相应的参数矩阵摄动部分,x(kτ)为n维状态向量,u(kτ)为m维控制向量。
定理3[7]:如果存在正定对称矩阵Q∈Rn×m,和矩阵Y∈Rm×n,以及ε>0满足LMI:
则闭环系统(12)在状态反馈控制律u(k)=Fx(k),F=YQ-1的控制下是鲁棒D稳定的。其中:M=GGT+HqHqT,Hq=∫0τexp(Aτ)τdτ,*代表对称结构。
定理3给出了系统(11)的所有满足指定条件的控制律,其中式(13)是关于矩阵变量Q和Y的LMI,所有满足式(13)的Q和Y构成了一个凸集。实际中,具有较小增益参数的鲁棒控制律更能符合要求。为此,以下通过求解一类凸优化问题来设计具有较小增益的控制律。考虑:YTY<λI,Q-1<γI,其中,λ>0,γ>0,所以FTF=Q-1YTYQ-1<λγ2I,因此,可以通过使γ,λ极小化来保证控制律具有较小增益,即等价于下面的LMI:
从而,为了获得具有较小增益的鲁棒控制律,可以求解以下凸优化问题:
该凸优化问题可以利用Matlab软件的LMI工具箱中的求解器mincx进行求解,从而可以得到具有较小增益的控制律。
3.3 基于输出多采样反馈的变结构控制律
本节将利用3.1与3.2节所讨论的结论设计一种基于输出多采样率反馈的鲁棒变结构控制律。
离散滑模函数设计为
采用3.2节所讨论的采样系统区域鲁棒极点配置法来确定离散滑模变结构控制律的切换增益矩阵F,使得闭环系统的极点都位于指定的区域内,以保证在系统参数扰动下,闭环系统的稳定性,同时可以获得较小的切换增益,有效降低了控制切换所带来的抖振。
由定理2知,式(17)所示的基于状态反馈的离散切换函数可等效为如下基于输出多采样率反馈的离散切换函数:
其中:参数矩阵H和M满足:
将式(18)所示的离散滑模函数代入离散指数趋近律,并假设FBτ为非奇异阵,则有如下基于输出多采样率反馈的离散变结构控制律:
其中s(kτ)由式(18)计算得到,且该离散变结构控制律满足如下条件:
定理4:由式(21)所描述的基于输出多采样率反馈的离散变结构控制律将达到准滑动模态,即对任意的s()0,∃k*使得
定理4的证明可参照基于状态反馈的离散变结构控制律的稳定性证明方法,篇幅所限,具体从略。
4 仿真结果及分析
为了验证本文所提出的输出多采样率反馈变结构控制律的性能,以文献[1]中的导引头伺服系统预定回路模型为仿真对象,其控制结构如图2所示。伺服系统为两轴框架式,采用直流力矩电机直接输出驱动,其中等效到电机轴上的总转动惯量为Jm;Km为电机的力矩系数;R为电枢回路电阻;Kb为输出反馈系数,被控对象各项具体参数值如表1。参数矩阵变化δ为其标称值的10%,弹体扰动耦合力矩、摩擦力矩及线缆约束力矩折合成的总的外部扰动力矩fd最大值已知。分别采用经典的超前-滞后校正网络、文献[1]所采用的基于状态反馈的离散变结构控制律和本文所提出的输出多采样率变结构控制律进行仿真研究,其中各控制器的控制周期为2 ms,输出多采样率变结构控制器的输出采样间隔为1 ms。仿真结果如图3～图6所示,其中图3为无参数扰动和外部扰动,3种控制策略下,导引头伺服系统的阶跃响应;图4为外部总的扰动力矩为正弦扰动下系统的阶跃响应;图5为参数矩阵扰动为其标称值的10%时系统的阶跃响应;图6为同时存在参数扰动和外部扰动时系统的阶跃响应。
由仿真结果知,超前滞后校正网络对外部扰动及参数扰动鲁棒性较差,外部扰动或参数摄动下,系统的超调量增大,振荡次数增多,两种扰动同时作用下,系统出现极限环;文献[1]所采用的基于状态反馈的变结构控制律对外部扰动具有较好的鲁棒性,然而参数摄动时,系统的阶跃响应调整时间变长且出现一个相对较大的超调量,在外部扰动和参数扰动同时作用下,系统最终在平衡点附近的一个很小的区域内做等幅振荡;与前两种控制律相比,本文所提出的输出多采样率变结构控制律对外部扰动及参数扰动具有较好的鲁棒性,外部扰动及参数扰动作用下,系统上升时间略有变长,但未出现超调,虽然在两种扰动同时作用下,系统也出现了小范围的等幅振荡,但幅度远小于前两种控制律。
5 结论
弹体耦合扰动力矩、摩擦力矩、线缆约束力矩及系统参数扰动对导引头伺服系统的角位置跟踪精度产生了较大影响。根据导引头伺服系统的实际情况,提出了一种基于输出多采样率反馈的变结构控制策略,采用鲁棒区域极点配置技术设计了离散切换函数,有效抑制了控制切换带来的抖振。仿真结果表明,所提出的控制律对外部扰动和参数摄动的鲁棒性强,且具有较好的动态性能和跟踪精度,相对于传统的离散变结构控制律,实现更为简单,无需伺服系统中安装测速单元来获取系统状态,因而在导引头伺服系统这类对体积和传感器安装有严格限制的伺服系统中有较好的应用前景。
参考文献
[1]Brian J,Smith William J,Schrenk William B,et al.Sliding Mode Control in a Two Axis Gimbal System[C]//.Proceedings of American Aerospace Conference.Snowmass at Aspen,CO,USA:IEEE,1999,5:457-470.
[2]Alfonso Poncela,William E.H∞Static Output Feedback Controller for a Seeker Scan Loop System[C]//.AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference and Exhibit.Boston,MA:AIAA,1998:1390-1393.
[3]Lee Ho-pyeong,Hwang Hong-yeon.Two-Degree-of-Freedom Robust Control of a Seeker Scan Loop System[C]//.AIAA Guidance Navigation and Control Conference.San Diego,CA:AIAA,1996:29-31.
[4]邢卓异,朱齐丹,定宇.基于幅相裕度参数整定的二自由度IMC-PID导引头伺服系统设计[J].哈尔滨工程大学学报,2006,27(3):404-407.XING Zhuo-yi,ZHU Qi-dan,DING Yu.Two-degree-of-freedom IMC-PID design of missile servo system based on tuning gain and phase margin[J].Journal of Harbin Engineering University,2006,27(3):404-407.
[5]张盈华,万中南.红外凝视成像导引头随动系统误差分析[J].红外与激光工程,2006,135(1):25-30.ZHANG Ying-hua,WANG Zhong-nan.Error Analysis of Servo System for IR Staring Imaging Seeker[J].Infrared and Laser Engineering,2006,135(1):25-30.
[6]肖建.多采样率数字控制系统[M].北京:科学出版社,2003.XIAO Jian.Multirate Sampled Control System[M].Beijing:Science Press,2003.
[7]刘善伍,武俊峰,刘春涛.一类区域极点约束下不确定采样系统的LMI鲁棒控制[J].哈尔滨理工大学学报,2006,11(1):74-77.LIU Shan-wu,WU Jun-feng,LIU Chun-tao.LMl Robust Control of a Class of Uncertain Sampled-data Systems with Closed Loop Pole Constraints[J].Journal Harbin Univ.Sci.&Tech,2006,11(1):74-77.
变结构多模型 篇3
本工作针对过程工业中常见的带多杂质分类回收的用水网络和废水处理网络进行同步设计, 以综合水网络的年费用最小提出了适合各种工业的目标函数, 建立超结构混合整数非线性规划 (MINLP) 模型, 并采用通用代数建模系统 (GAMS) 求解得到综合水网络最优设计方案。
1 水网络优化模型及同步设计法
1.1 水网络超结构
含5个用水单元和3个处理单元的水网络的超结构见图1。按如下步骤建立超结构: (1) 在新鲜水流股后标示一组箭头表示去往各个用水单元的新鲜水; (2) 在每个单元前标示一组箭头表示从新鲜水源与其他单元来的水; (3) 在每个单元后标示一组分离的箭头表示从该单元去往其他单元的水。图中SU表示分离单元, MU表示混合单元, PU表示用水单元, TU表示处理单元。
1.2 改进的多杂质系统水网络MINLP模型
多杂质系统水网络优化命题的背景是常见的多级工业水网络, 包括一组会产生多种杂质的用水单元和一组选择性除去杂质的处理单元。根据用水网络和废水处理网络各股物料的流量及杂质含量特征、特殊工艺要求、用水和废水处理的设备特征建立模型的约束, 建立同时考虑用水单元和水处理单元的综合网络。命题的目标是综合水网络的全年总费用最小。在建立数学模型之前, 做如下假设:
(1) 该水网络是在恒温恒压下操作;
(2) 杂质对各股物料流量的影响忽略不计, 忽略流量损失。
按照上述要求构建的MINLP模型如下:
undefined (1)
该目标函数为全年总费用最小化, 包括:新鲜水费用undefined;处理单元的年投资费用与操作费用undefined处理单元的废物处理费用undefined;处理单元需另加药剂处理的药剂费用undefined;有价值的物质回收产生的经济效益undefined。其中Z为目标函数, 表示全年的总费用;H为全年操作时间, h;fi为进入系统的新鲜水量, t/h;Cf为新鲜水的费用系数, 美元/t;A为处理单元的年投资系数;Cundefined为处理单元的投资费用系数, 美元·h/t;Cto为处理单元的操作费用系数, 美元/t;Fi为进入过程i的总水流量, t/h;α为费用函数指数 (0<α≤1) ;CswFi为处理单元的废物处理费用, 美元/h;CmedMi为处理单元的药剂费用, 美元/h;CrecFi为处理单元物质回收而产生的经济效益, 美元/h;Y为整型变量, 表示物质是否回收。
约束方程:
总水量平衡
undefined (2)
undefined (3)
杂质质量平衡
undefined
i, j∈{PU, TU}, k∈C (4)
undefined
i, j∈{PU, TU}, k∈C (5)
最大进口浓度限制
undefined
i, j∈{PU, TU}, k∈C (6)
最小进口浓度限制
φi, k, in≥φundefinedi∈ (PU, TU}, k∈C (7)
最大出口浓度限制
undefined
i, j∈{PU, TU}, k∈C (8)
杂质回收浓度限制
φi, k, out-Yφi, l, out≤0, i∈{PU, TU}, k, l∈C (9)
上述变量均为非负变量。
该模型与Karuppiah[9]模型相比, 目标函数里增加了中和药剂费用、废物处理费用及物质回收所得, 模型更贴近于工程设计目标。特别是引入了不同杂质的回收浓度限制, 不仅可将文献中多杂质性质互不相关的假定扩展到某些杂质可能会发生反应的情况, 也能够处理某些杂质以规定纯度回收的问题, 符合实际工程情况。模型的约束条件和引进的变量数目都做了合理简化, 能够有效提高计算效率。
1.3 模型求解结果的比较
对上述用水网络设计和废水处理网络设计形成的数学模型, 采用通用GAMS进行描述并求解。用于算法比较的实例取自文献[11], 包括5个用水单元, 3个处理水单元, 含有3种杂质。目标函数与文献相同, 该模型属于非线性规划 (NLP) 模型, 采用CONOPT求解器的GRG算法进行求解。目标函数可用下式表示。
undefined (10)
脱硫实例的优化水网络结构见图2。年度总费用为5.546 1×105美元, 比采用夹点法和数学规划法相结合[12]所得减少8.02%, 比Kuo 等[11]考虑了再生回用分步设计所得减少10.56%, 比只考虑了回用所得减少13.34%。因此, 本工作采用基于超结构建立的模型对综合水网络进行优化, 避免了夹点法的缺陷, 能够处理复杂系统。而采用夹点分析和数学规划法相结合的设计法仍需单独处理用水网络和废水处理网络, 然后通过反复迭代来得到优化的水分配网络结构, 用水单元和废水处理单元集成的机会仍可能被忽略, 从某种意义上说, 只是考虑了用水网络和废水处理网络间的相互作用, 并没有找到最佳的包含回用、再生回用、再生循环的水网络结构, 这是因为所采用的优化方法的限制。而采用分步设计的方法, 则彻底忽略了再生回用、再生循环这两种废水最小化的方法, 脱硫实例的费用比较见表1。TU1为对废水中H2S去除非常有效的汽提处理单元, 该处理单元的投资和操作费用都较高, 由于夹点分析和数学规划法相结合的设计法没有完全考虑用水网络和废水处理网络之间的相互关系, 使得进入TU1的流量为60.3 t/h, 年度总费用增加。而本工作采用数学规划法综合考虑了各子网络, 进入TU1的流量仅为50.16 t/h, 年度总费用大大减少。而工厂实际操作要求在达到生产要求前提下尽量减少费用, 尤其在选择处理设备时, 要对其效率和投资运行费用协调处理后再决定。
2 石化行业水网络计算实例
含碳稀氨水是合成氨工艺的废水, 主要杂质成分为NH3和CO2, 还有其他酸性物质如CH3OH和H2S等, COD也较高。合成氨工段产生大量的含碳稀氨水, 直接外排不仅浪费而且污染环境。目前很多工厂已经采用各种方法回收NH3, 由于稀溶液增浓是一个高耗能的过程, 如何整合原有工艺过程中CO2洗涤等环节, 通过系统优化配置降低过程投资、节约水用量成为过程设计的重要目标。本工作通过用水单元和废水处理单元的同步设计, 求解包括回用、再生回用和再生循环等手段的优化系统结构, 见图3。
由图3可见, 该模型能够较好地处理杂质间存在反应、带回收浓度限制的有价值物质回收的情况。经优化后新鲜水用量仅为1.5 t/h, 新鲜水年费用为12 000美元, 水的重复利用率达97.8%, 每年可节水540 kt, 同时降低了废水的排放量。由于TU-2的脱碳塔中放空的CO2同时带走了大量的NH3, 以至NH3回收率仅为42.6%, 与实际工业回收的NH3基本相同, 回收的NH3价值为62 293 美元, 年总费用减少了15.4%。过程中共有3个用水单元, 分别代表3股废水的产生过程, 用水单元的主要杂质有CH3OH、NH3和CO2。废水处理要考虑NH3回收、CO2浓缩和CH3OH达到环境排放标准3个要求, 合格的水重复利用。由于NH3与CO2会生成气相碳酸氢铵腐蚀管道, 回收NH3中的CO2含量必须小于一定值, 也就是CO2和NH3要分类回收。因此除了以上3个常规要求之外, 本工作还增加了CO2和NH3体积比的约束。工艺要求CO2和NH3体积比小于0.03时, NH3能够回收。这样, 考虑用两个处理单元TU1和TU2分别完成蒸氨和脱碳的功能。目标函数项包括:新鲜水费用undefined;处理单元的年投资费用与操作费用undefined有价值的物质回收产生的经济效益undefined用于该问题的目标函数可以改写为
undefined (11)
约束方程为方程 (2) ～ (9) , 其中方程 (9) 改写为
undefined
i, j∈{TU} (12)
上述变量均为非负变量。该含碳稀氨水回收应用实例的生产工艺数据见表2和表3。
3 结语
a) 对多杂质水网络建立了用水和废水处理系统同步设计的MINLP模型。以全年总费用最小为目标函数, 在常规操作费和设备费的基础上增加了中和药剂费、废物处理费及物质回收所得, 模型更贴近于工程设计目标。
b) 采用GAMS求解混合整数非线性规划问题, 模型的约束条件和引进的变量数目都做了合理简化, 能够有效提高计算效率。在脱硫实例中, 年度总费用可降低8%以上, 更接近于最优解。
c) 求解石油化工中常见的含碳稀氨水回收问题, 考虑NH3回收、CO2浓缩、合格水的重复利用等工艺要求。优化设计结果可解决NH3与CO2反应的问题, 水的重复利用率达97.8%, 回收NH3价值明显。
符 号 说 明
A 处理单元的年投资系数
C 杂质种类集合
Cf 新鲜水费用系数, 美元/t
Cundefined处理单元t的投资费用系数, 美元·h/t
Cmed 药剂的费用系数, 美元/t
Cto 处理单元t的操作费用系数, 美元/t
Crec 有价值的物质回收价格, 美元/t
Csw 废物处理的费用系数, 美元/t
fi 过程i的新鲜水用量, t/h
Fi 进入过程i的总水流量, t/h
H 全年操作时间, h
Mi 过程i投入的药剂量, t/h
PU 用水单元集合
TU 处理单元集合
Wi 过程i的废水排放量, t/h
Xi, j 过程j到i的废水回用量, t/h
Xj, i 过程i到j的废水回用量, t/h
Y 整形变量
Z 目标函数
α 费用函数指数 (0<α≤1)
βi, k 过程i中杂质k的剩余率
φi, k, out 过程i中杂质k的出口体积分数, 10-6
φi, l, out 过程i中杂质l的出口体积分数, 10-6
φundefined过程i中杂质k的最大进口体积分数, 10-6
φundefined过程i中杂质k的最小进口体积分数, 10-6
φj, k, out 过程j中杂质k的出口体积分数, 10-6
φundefined杂质k排放到环境的体积分数限制, 10-6
Δmi, k, tot 过程i中杂质k的质量负荷, kg/h
参考文献
[1] Takama N, Kuriyama T, Shiroko K, et al.Optimal waterallocation in a petroleum refinery.Comp Chem Eng, 1980, 4 (4) :251~258
[2] Wang Yaping, Smith R.Wastewater Minimization.ChemEng Sci, 1994, 49 (7) :981~1 006
[3] Bagajewicza M, Rivas M, Savelskib M.A robust method toobtain optimal and sub-optimal design and retrofit solutionsof water utilization systems with multiple contaminants inprocess plants.Comp Chem Eng, 2000, 24:1 461~1 466
[4] Savelskib M, Bagajewicza M.On the optimality conditionsof water utilization systems in process plants with singlecontaminants.Chem Eng Sci, 2000, 55 (22) :5 035~5 048
[5] Savelskib M, Bagajewicza M.On the necessary conditionsof optimality of water utilization systems in process plantswith multiple contaminants.Chem Eng Sci, 2003, 58 (24) :5 349~5 362
[6] Alva-Argez A, Kokossis A C, Smith R.Wastewaterminimization of industrial systems using an integratedapproach.Comp Chem Eng, 1998, 22 (Suppl) :S741~744
[7] Alva-Argez A, Vallianatos A, Kokossis A C.A multi-contaminant transhipment model for mass exchange net-works and wastewater minimisation problems.Comp ChemEng, 1999, 23:1 439~1 453
[8]李英, 姚平经.水夹点分析与数学规划法相结合的用水网络优化设计.化工学报, 2004, 55 (2) :220~225
[9] Karuppiah R, Ignacio E G.Global optimization for thesynthesis of integrated water systems in chemical processes.Comp Chem Eng, 2006, 30:650~673
[10] Koppol A, Bagajewicza M.On zero water discharge solu-tions in the process industry.Adv Environ Res, 2003, 8 (2) :151~171
[11] Kuo W C J, Smith R.Designing for the interactionsbetween water-use and effluent treatment.Trans IchemE, Part A, 1998, 76 (3) :287~301
变结构多模型 篇4
关键词：差模滤波器,EMI滤波器,高频特性,高频损耗模型
1 引言
根据参考文献可知, 广义传输线结构理论被应用于对集成的无源设备建立模型, 当然也可以用于建立集成差模射频EMI滤波器的电磁模型[1], 经过基本理论分析、损耗模型分析和电磁耦合模型分析之后发现, 电磁耦合模型分析可以较好地体现谐振点和整个全局的走向, 电磁模型如图1所示, 但是这个效果也影响了衰减还转移了谐振点, 所以这个结构还需要进一步的改善。
2 优化模型的建立
优化模型结构中, 集成差模射频EMI滤波器在四导体结构[2]如图2所示, 可以看作是由两个二导体的传输结构, 并且两个结构中存在着一定的磁耦合。在低频时, 其性能与传输线结构I相近似, 随着频率的升高, 电流主要集中在内部的镍层中, 这时它越来越与传输线结构II[3]相近似, 具体模型结构如图3所示。
3 优化模型分析
由此可见, 对于提高高频的衰减因数有两种方法[4], 一个是增加镍层上的损耗;一个是减小传输结构Ⅱ的特性阻抗。为了提高镍层上由于邻近效应引起的损耗, 就必须要提高由传输结构Ⅰ产生的磁通。达到此目的的一种简单方法是减小铜层的宽度, 当然铜层的厚度为了保持相同的电流密度就需要相应地增加。为了减小特性阻抗, 最好的方法就是增大镍层的宽度和减小绝缘层的厚度。从以上讨论可知, 减小滤波器的品质因数是在高频时得到高损耗的关键[5], 取得更高损耗的方法示意图如图4所示。
4 个案研究
鉴于上述的讨论, 在原有结构的基础上[6], 得出一个更高衰减的新结构, 如图5所示, 技术参数如表1所示。
对此结构进行传函增益的仿真, 以标准的50阻抗作为负载, 从图6中可以看出在100MHz时, 衰减可以达到-60dB。
5 结束语
在广义多导体传输结构理论的基础上, 提出了集成R F-E M I滤波器模型。这种改进结构就是把高频的邻近效应考虑了进去。与以前的集总参数模型和两导体传输线结构模型相比, 这种改进结构对集成滤波器的高频特性进行了比较详细的描述。在原有结构的基础上, 得出一个更高衰减的新结构, 进一步地改善高频损耗模型。
参考文献
[1]Shuo Wang, F.C.Lee, D.Y Chen and W.G.Odendaal, Effects of Parasitic Parameters on EMI Filter Performance, IEEE trans on Power Electronic, 2003, PP.73～78.
[2]Linzhao Zhao, J.D.van Wyk, Electromagnetic Modeling of an Integrated RF EMI Filter, IEEE trans on Power Electronics, 2003, PP.1601～1607.
[3]Shuo Wang, F.C.Lee, D.Y Chen and W.G.Odendaal, controlling the parasitic parameters to improve EMI Filter performance, IEEE trans on Power Electronics, 2004, PP.503～508.
[4]Liang Xue, Chunping Wang, Jianguo Jiang, high frequency model and parameter sensitivity analysis of EMI Filter’s characteristic in switched model power supply, asia-pacific conference environmental electromagnetics CEEM’2003, PP.400～404.
[5]D.H.Liu, J.G.Jiang, high frequency characteristic analysis of EMI Filter in switch mode power supply (SMPS) , IEEE trans on Power Electronics, 2002, PP.2039～2042.