Verhulst模型

Verhulst模型（精选4篇）

Verhulst模型 篇1

隧道拱顶的沉降预测是保证开挖过程中灾害防治、危险预警、施工安全的重要手段, 是隧道监控设计的重要环节[1], 如何有效地预测隧道拱顶沉降量是岩土工程领域的重要研究课题。有许多学者对沉降量进行了预测, 常见的预测方法包括回归分析、时间序列分析、人工神经网络、Logistic模型、灰色GM (1, 1) 模型等, 这些方法各有其优点及适用范围, 但难以反映沉降与时间全过程的关系。

灰色Verhulst模型适用于非单调的摆动发展序列或者具有饱和状态的S形序列[2], 相比其它方法更符合实际沉降规律, 并基本可以反映沉降的全过程, 被许多学者广泛地应用于各种实际工程的沉降预测中。文献[3]采用Verhulst模型对泉州安吉路软基试验段路堤沉降进行了预测;文献[4]利用Verhulst模型预测了真空预压加固吹填土地基的最终沉降量;文献[5]研究了Verhulst模型在公路路基沉降预测中的应用;文献[6]结合建筑工后沉降的特点, 构建沉降时间关系Verhulst模型, 预测了建筑工后沉降的发展变化。由于监控量测中的隧道拱顶沉降数据大多具有“S”形特点, 能较好地满足Verhulst模型的需要。本文探讨采用Verhulst模型对隧道拱顶的沉降量进行预测研究, 证明该模型是一种简单经济、精度较高的灰色数据预报系统。

1 灰色Verhulst模型

设原始非负序列的一阶累加生成序列

其中Z (1) 为X (1) 的紧邻均值生成序列

其中

为灰色Verhulst模型。

根据式 (1) 利用最小二乘法, 估计出参数a, b的值, 得

称微分方程 (5)

为灰色Verhulst模型的白化方程, 也称影子方程。

设如上所述, 则灰色Verhulst模型的白化方程式 (5) 的解为

灰色Verhulst模型的时间响应式为

2 应用分析

灰色Verhulst模型源于Malthasia模型, Malthasia模型适用于生物繁殖的预测, 具有无限增长的特征, Verhulst模型则主要用来描述具有饱和状态的过程。本文以文献[1]中采用的南京绕城高速公路某隧道拱顶沉降数据为例来说明Verhulst模型的建模过程, 该隧道设计为单洞双线隧道, 长约320米, 呈东西走向展布, 属短隧道, #J02拱顶监测点的沉降数据[1]如表1所示。

单位:mm

图1表明实测值序列表现出近S形特征, 符合Verhulst模型的建模条件, 可以对其建立Verhulst模型。为了更好地说明本文方法具有更高的模拟和预测精度, 本文将Verhulst模型与文献[1]中改进的GM (1, 1) 模型进行对比分析。

在建模中, 文中采取序列前7个数据作为模拟数据, 后3个数据作为预测数据。设原始数据X (0) ={3.33, 6.70, 9.85, 13.73, 17.53, 19.04, 20.16}, 由式 (1) 、式 (2) 分别得到累加生成序列X (1) ={3.3300, 3.3700, 3.1500, 3.8800, 3.8000, 1.5100, 1.1200}和紧邻均值生成序列Z (1) ={5.0150, 8.2750, 11.7900, 15.6300, 18.2850, 19.6000};由式 (3) 、式 (4) 可得a=-0.7558, b=-0.0357, 并由式 (5) 、式 (6) 、式 (7) 得到时间响应函数为

Verhulst模型与文献[1]中改进的GM (1, 1) 模型的模拟值/预测值和相对误差见表2。

由表2可知, Verhulst模型的模拟结果中, 除第2期模拟值较文献[1]有所增加外, 其余各期的模拟精度和预测精度大大高于文献[1]中采用改进的GM (1, 1) 模型得到的结果。结果表明, 本文的模型能更有效地挖掘原始数据发展规律, 更适合用于公路隧道拱顶沉降的预测。

3 结论

GM (1, 1) 模型仅描述服从指数变化的过程, 而本文的公路拱顶隧道沉降实测值随时间的近S形变化曲线更适合专用于解决处于饱和状态过程的Verhulst模型, 相比GM (1, 1) 模型, 该模型拟合的精度更高, 模拟和预测误差大为减小, 为公路隧道拱顶沉降的预测提供了一种简单而可靠的新途径, 呈现一定的理论和应用价值。

摘要：科学的预测隧道拱顶沉降量是隧道监控设计的重要环节。监控量测中的隧道拱顶沉降数据大多具有“S”形特点, 能较好地满足Verhulst模型的需要。应用该模型对隧道拱顶的沉降量进行预测研究, 结果表明该模型是一种简单经济、精度较高的灰色数据预报系统。

关键词：隧道沉降,预测,Verhulst模型

参考文献

[1]覃东.改进的GM (1, 1) 模型在公路隧道沉降预测中的应用[J].北京测绘, 2014 (1) :49-51.

[2]邓聚龙.灰色理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社, 2002.

[3]常方强, 涂, 帆, 贾永刚.Verhulst模型在预测软基路堤沉降中的应用[J].岩石力学与工程学报, 2007 (7) :3122-3126.

[4]韩鹏, 朱平, 张文振, 等.灰色GM (1, 1) 和Verhulst模型在吹填土地基沉降中的应用[J].港工技术, 2014 (2) :52-56.

[5]王浩.基于灰色Verhulst模型的公路路基沉降预测研究[J].中国工程咨询, 2013 (9) :44-45.

[6]王双龙.基于灰色Verhulst模型的建筑工后沉降预测[J].测绘通报, 2007 (10) :10-12.

Verhulst模型 篇2

近年来, 随着西安市经济的快速发展和国家战略的倾斜, 以及城镇化过程的不断进行, 人民生活水平不断提高。但与此同时, 由于人口不断向城市集聚, 导致本市人口不断增长, 交通开始拥挤, 城市空气环境不断恶化, 生态环境受到破坏。如果不采取针对措施, 本市的环境生态问题将会越来越突出, 成为西安市经济社会发展的一大障碍。因此, 采用合理的方法, 模拟和预测城市总人口, 可以在制定国民经济计划、城市土地利用总体规划、资源与环境保护和进行社会决策中起到非常重要的作用。

1 建立灰色Verhuls模型

首先考虑时间与人口之间的内在关系, 通过对历年人口数据作统计图可以看出:人口数量随着时间的增长而稳步增长, 人口增长速度逐步减缓并慢慢趋于饱和, 因此采取单纯的GM (1, 1) 模型对人口进行预测并不完全符合本市人口发展的规律, 而灰色Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程, 常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。因此为了保证预测结果的合理性, 本文采用灰色Verhulst模型对本市人口进行预测。

接下来建立初始人口时间序列 (令1993年为第一年, 1994年为第二年, 依次类推) , X (0) (k) ={x (0) (1) , x (0) (2) , x (0) t (3) , …, x (0) (20) }, 用公式得到一次累加生成序列X (1) (k) ={x (1) (1) , x (1) (2) , x (1) (3) , …, x (1) (20) }, 接下来, 利用新序列生成紧邻均值生成序列z (1) (k) 为z (1) (k) =0.5 (x (1) k+x (1) (k-1) ) 再构造累加矩阵B与常数向量Y, 令

定义1:称x (0) (k) +az (1) (k) =b (z (1) (k) ) 2为灰色Verhulst模型。

定义2:称为灰色Verhulst模型的白化方程。

定理1:1°Verhulst白化方程的解为

2°灰色Verhulst模型的时间响应式:

选取西安市1993-2012年人口数据建立灰色Verhulst模型, 通过Matlab编程可得a=-0.030169 b=-0.000025由此可得:

2 模型检验

为了保证该模型的预测精度, 对预测结果进行残差验, 检验预测值与实际值的相符性, 即分别计算相对误和相对误差。其中, 绝对误差△X (t) =X (t) 真-X (t) 测, 相误差, 根据统计数据, 我们可得误差检验表如表1、表2。

可以看出相对误差均在二级以下, 最高不超过2%, 平均相对误差为0.55%, 说明该模型有较高的精度, 残差检验通过。

3 模型预测和总结

利用此模型预测可得西安市未来十年的人口数见表3。

(百万)

总结:本文通过灰色Verhulst模型对西安市未来十年的人口做出了预测, 为了提高预测结果的准确性, 本文所采取人口数据来源于西安统计年鉴, 由于在1991年统计数据未包含长安临潼, 所以选取了1993-2012年这20年户籍人口数据进行预测, 通过预测结果可以看出, 未来西安市的人口将呈现逐步缓慢增长的状态, 在2019年超过850万, 2022年达到873万, 人口绝对增长数并不低, 同时由于实际人口数据不全, 因此没有对本市未来十年的实际人口数做出预测, 但2012年本市常住人口已达855万, 超过户籍人口60万, 随着西安近年来的快速发展, 比如:三星集团的入住, 西咸一体化的逐步深入和建立国际化大都市的目标, 在未来十年净流入人口将会进一步增加, 因此在未来10年西安人常住人口将有可能达到千万。这就要求我们在进行城市经济发展的同时, 必须未雨绸缪, 提前制定完善的社会服务和社会保障政策。

参考文献

[1]刘思峰, 党耀国等.灰色系统理论及其应用[M].科学出版社, 2010.

[2]谭春英, 谢恒星.GM (1, 1) 模型在烟台市人口预测中的应用[J].安徽农业科学, 2006.

[3]西安市统计局、西安市统计年鉴 (2011) .

Verhulst模型 篇3

关键词：尾矿坝,变形规律,灰色Verhulst预测,预测模型

0 引言

尾矿库是指筑坝拦截谷口或围地构成的用以堆存金属非金属矿山进行矿石选别后排除尾矿的场所,包括库区、尾矿坝、排洪构筑物和坝的观测设备等设施。尾矿库能否安全稳定的运行,对矿山生产起着至关重要的作用,同时它又是一个重大的危险源[1]。

尾矿坝分为两部分,基础部分为初级坝,以上部分为堆积坝,我国大部分矿山采用上游式堆坝。尾矿坝在形成过程中及建成后,无时无刻不处于变形之中。尾矿坝的变形主要包括坝体的垂直位移和水平位移,位移程度在一定范围内属于正常。对坝体的变形趋势事先进行预测,如果预测异常,可防患于未然。

尾矿库工程是复杂反应的综合体[2]。目前尾矿坝的变形预测,国内外主要借鉴大坝尤其是水电大坝的变形预测分析方法,常用的方法有确定函数法、统计回归分析法、时间序列分析法、马尔可夫模型、灰色预测技术、状态空间模型、突变模型、非线性预测技术、混沌动力学等,其中大部分为统计模型,只有在大量数据的基础上才具有普遍性。对于尾矿坝变形预测,由于运行时间短,缺少较长系列的可靠数据,因此,应用灰色系统预测理论需要的数据不多,而且能够用连续的微分方程建模进行变形预测就具有独特的优越性。

1 灰色Verhulst预测模型简介

灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立,发现和掌握系统发展规律,对系统的未来状态作出科学的定量预测。Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程,即S形过程,常用于人口预测、生物生长、繁殖预测及产品或工程经济寿命预测等[5,6,7]。对于预测类似于滑坡时间[8]、地面沉降[9]岩土工程稳定性时,“部分信息已知、部分信息未知”的不确定性问题具有较好的效果[10]。

Verhulst预测模型基本原理[6]如下述。

设原始数据列为:$x{}^{(0)}=\left\{x{}^{(0)}(1),x{}^{(0)}(2),\cdots ,x{}^{(0)}(n)\right\}$;

对x(0)一次累加生成一个新序列,即$x{}^{(1)}=\left\{x{}^{(1)}(1),x{}^{(1)}(2),\cdots ,x{}^{(1)}(n)\right\}$,其中

$x{}^{(1)}(k)={\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x}{}^{(0)}(k),(k=1,2,\cdots ,n)$

令z(1)为x(1)均值序列,$z{}^{(1)}=\left\{z{}^{(1)}(1),z{}^{(1)}(2),\cdots ,z{}^{(1)}(n)\right\}$,其中

z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

则称下述模型

$x{}^{(0)}(k)+az{}^{(1)}(k)=b\left(z{}^{(1)}(k)\right){}^2$ (1)

为Verhulst模型,其中参数列$\widehat{a}=\left[a,b\right]{}^{{\rm T}}$的最小二乘估计为$\widehat{a}=\left(B{}^{{\rm T}}B\right){}^{-1}B{}^{{\rm T}}Y$,其中

$B=\left(\begin{array}{c}-z{}^{(1)}(2)\\ -z{}^{(1)}(3)\\ ⋮\\ -z{}^{(1)}(n)\end{array}\begin{array}{cc}\left(z{}^{(1)}(2)\right){}^2& \\ \left(z{}^{(1)}(3)\right){}^2& \\ \cdots & \\ \left(z{}^{(1)}(n)\right){}^2& \end{array}\right)$

$Y=\left(\begin{array}{cc}x{}^{(0)}(2)& \\ x{}^{(0)}(3)& \\ \cdots & \\ x{}^{(0)}(n)& \end{array}\right)$

白化模型为

$\frac{dx{}^{(1)}}{dt}+ax{}^{(1)}=b\left(x{}^{(1)}\right){}^2$ (2)

白化方程的解为

$x{}^{(1)}(k)=\frac{1}{e{}^{ak}\left[\frac{1}{x{}^{(1)}(0)}-\frac{b}{a}\left(1-e{}^{-ak}\right)\right]}(3)$

白化响应式为

$\widehat{x}{}^{(1)}(k+1)=\frac{a}{b\left[1+\left(\frac{a}{bx{}^{(0)}(1)}-1\right)e{}^{ak}\right]}(4)$

对式(4)计算出来的一阶累积序列进行还原,得各时段预测值为

$\widehat{x}{}^{(0)}(k+1)=\widehat{x}{}^{(1)}(k+1)-\widehat{x}{}^{(1)}(k)$ (5)

2 某铁矿尾矿坝变形规律预测

2.1 尾矿库概况

尾矿库见图1。库区内岩石为黑云角闪变粒岩、石榴黑云斜长变岩,局部为长石石英伟晶岩,属坚硬、半坚硬岩石,具良好的力学性能和稳定性。库区水文地质条件简单。

在钻探揭露深度内,尾矿坝地基地层分布简单,第四系厚度较小,一般0.4m左右,最大1.3m,主要为杂填土及砂土;下伏基岩为片麻状二长花岗岩、黑云角闪变粒岩等,岩面起伏较大。

初期坝为不透水堆石坝,初期坝坝底最低标高+240m,坝高16m,坝顶宽度10m,坝外坡坡比1:2.5,坝内坡坡比1:2.0。经多年运行,初级坝已处于稳定状态。

尾矿库采用上游法形成堆积坝,目前已有4级子坝,坝顶标高+276m,子坝平均高度5m,子坝之间设有人行平台或马道;堆积坝外坡面种植沙棘护坡,并设置有排水沟,坡比总体大于1:2.0。

2.2 尾矿坝变形测量

该铁矿尾矿库2004年建成投入使用,之初并未重视库坝监测工作,从2006年开始监测尾矿坝的变形及浸润线。其中变形监测在垂直方向上布设2条测线,第1条标高+256m,用以观测初级坝的变形;第2条设置于第3级子坝马道的外缘,用以观测堆积坝的变形;沿堆积坝坝体走向取4个测量断面,见图1。坝体的水平变形观测采用经纬仪视准线法,垂直变形观测用水准仪;每年的3月中旬、8月下旬各测量1次,即半年测量一次。3月份测量以了解坝体经过冬季的冻融所出现的变形,8月份的测量用以观察雨季对坝体的影响。从2006年8月至2011年8月,堆积坝相对变形的测量结果见表1、表2。

(单位:mm)

(单位:mm)

图2、图3依次是堆积坝4个测量断面垂直变形和水平变形状况。从测量结果看,3断面变形值最大,可以认为该断面为危险断面,对其变形趋势进行预测十分必要。

2.3 坝体变形规律预测

下面仅对变形值最大的3断面变形规律的预测进行说明。

2.3.1 坝体垂直变形趋势预测原始数据列为

x(0)={-38,-39,-39,-41,-43,-47,-50,-54,-52};

对x(0)一次累加生成的新序列,即

x(1)={-38.00,-1.00,0.00,-2.00,-2.00,-4.00,-3.00,-4.00,2.00}

x(1)的均值序列为

z(1)={-38.50,-39.00,-40.00,-42.00,-45.00,-48.50,-52.00,-53.00}

计算得发展系数和灰色作用量依次为a=-0.0821,b=0.0009。

白化模型为

$\frac{dx{}^{(1)}}{dt}-0.0821x{}^{(1)}=0.0009\left(x{}^{(1)}\right){}^2$

白化响应式为

$\widehat{x}{}^{(1)}(k+1)=-\frac{91.2222}{1+1.2933e{}^{-0.0821k}}$

从2006年下半年到2011年每半年的坝体沉降预测值,即

$\widehat{x}{}^{(1)}=\{-38.00,-39.77,-41.55,-43.34,-45.13,-46.92,-48.69,-50.45,-52.19\}$

根据参考文献[6]预测精度的计算方法及判据,计算得残差=31.4879,平均相对误差=-3.5572%,预测模型合格。

如果用上述模型对坝体未来3年每半年垂直变形值进行预测,可得

$\widehat{x}{}^{(6)}=\{-55.57,-57.21,-58.80,-60.36,-61.86,-63.31\}$

因此,坝体3断面垂直变形总体趋势见图4。

2.3.2 坝体水平变形趋势预测同理

x(0)={6,9,12,16,17,21,27,31,29};

x(1)={6.00,3.00,3.00,4.00,1.00,4.00,6.00,4.00,-2.00}

z(1)={7.50,10.50,14.00,16.50,19.00,24.00,29.00,30.00}

计算得a=0.4555,b=0.0137,因此

$\frac{dx{}^{(1)}}{dt}+0.4555x{}^{(1)}=0.0137\left(x{}^{(1)}\right){}^2$

$\widehat{x}{}^{(1)}(k+1)=-\frac{33.2482}{1-6.5481e{}^{0.4555k}}$

从2006年下半年到2011年每半年的坝体水平位移预测值,即

$\widehat{x}{}^{(1)}=\{6.00,8.57,11.77815.41,19.18,22.71,25.70,28.04,29.76\}$

根据残差=19.3041,平均相对误差=5.9830%,预测模型合格。

同样,如果用上述模型对坝体未来3年每半年水平变形值进行预测,可得

$\widehat{x}{}^{(6)}=\{31.78,32.32,32.67,32.90,33.04,33.14\}$

同样,坝体3断面水平变形总体趋势可以表示为图5。

3 结语

尾矿坝坝坡失稳是一个漫长而复杂的过程,其变形破坏的全过程是由一个稳定缓慢的连续变形阶段逐渐过渡到突发性的失稳阶段构成的[11]。通过灰色Verhulst模型在尾矿坝变形趋势预测中的应用,可以得到以下几点认识。

(1)根据我国《尾矿库安全技术规程》(AQ 2006-2005)要求坝的位移量变化应均衡,无突变现象的规定,以及参照大多数金属矿山尾矿坝运行的经验,从图4、图5可以看出,上述某铁矿尾矿坝未来3年垂直变形和水平变形预测值所显示的变形特点符合要求。

(2)做好尾矿坝变形稳定性的预测预报,是一项应长期重视的工作。在继续运用灰色Verhulst模型对尾矿坝的变形进行预测时,应及时补充新的观测数据,以提高预测精度。

(3)灰色Verhulst预测模型不仅适用于增长型数据,对于下降型和周期型数据的预测同样适用,并且具有较高的拟合精度和预测精度,而对样本量的大小没有特殊的要求,因此在对尾矿坝变形数据进行处理时具有明显的适用性。

参考文献

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[3]郭朝阳.尾矿库坝体变形规律初探[J].中国高新技术企业,2009(15):43-45GUO Chao-yang.Tailing dam deformation of the law[J].Chinese Hi-tech Enterprises,2009(15):43-45

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[5]邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉:华中理工大学出版社,1987

[6]刘思峰,郭天榜,党耀国,等.灰色系统理论及其应用[M].北京:科学出版社,1999

[7]周伟,王建军,武常吉,等.陕西省国民经济发展的组合预测研究[J].西安公路交通大学学报,1997,17(3):101-104ZHOU Wei,WANG Jian-jun,WU Chang-ji,et al.Combi-native forecast of the economic development in shaanxiprovince[J].Journal of Xian Highway Universit,1997,17(3):101-104

[8]殷坤龙,晏同珍.滑坡预测及相关模型[J].岩石力学与工程学报,1996,(10):1-8YIN Kun-long,YAN Tong-zhen.Landslide prediction andrelevant models[J].Journal of Rock Mechanics and Engi-neering,1996,(10):1-8

[9]王光亚,施斌,于军.常州地面沉降的灰色Verhulst预测[J].水文地质工程地质,2006,(6):80-83WANG Guang-ya,SHI Bin,YU Jun.Grey verhulst predic-tion model and its application in land subsidence in Chan-gzhou[J].Hydrogeology&Engineering Geology,2006,(6):80-83

[10]邓聚龙.灰色控制系统(第二版)[M].武汉:华中理工大学出版社,1997

Verhulst模型 篇4

灰色预测模型是灰色系统理论的重要组成部分,它主要是基于现有的信息通过序列的累加生成揭示系统的发展规律趋势,其具有小样本、贫信息的特点[1,2,3]。自从邓聚龙教授提出灰色预测模型以来,专家、学者从模型扩展、模型应用等方面展开研究,得到了许多重要的理论和实际应用成果[2,3]。目前的灰色预测模型主要有GM(1,1)、GM(1,N)、GM(2,1)、DGM(1,1)、GM(r,h)和灰色Verhulst模型等,而灰色Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程,为更有效地解决人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等具有饱和状态的过程的实际问题,一些专家学者分别拓展和优化了灰色Verhulst模型。其中,党耀国,刘思峰,刘斌利用新信息优先原理,以x(1)(n)为灰色预测模型的初始条件,构建了灰色Ver-hulst模型,大大提高了传统灰色Verhulst模型的精度[4];梁庆卫,宋保维,贾跃针对鱼雷研制费用的累积曲线呈近似的s形状,他们给予灰色系统的思想与方法,构建了鱼雷研制费用灰色Verhulst模型[5];偶昌宝等和刘玉成分别针对在预测建筑物沉降存在的问题,对灰色Verhulst模型进行改进,提出不等时距灰色Verhulst模型[6,7];刘威,徐伟针对具有饱和状态的过程的数据,利用最小一乘准则统一模型参数估计和精度检验的准则,并基于群体智能算法———粒子群算法来求解新的预测公式的最小一乘参数[8];何文章,吴爱弟从参数估计方法的角度利用线性规划对灰色Verhulst模型进行了改进,并取得较好的模拟预测效果[9];王正新等对非齐次指数函数作倒数生成,提出了无偏灰色Verhulst模型,完全消除了该模型自身所固有的偏差[10];李军亮,肖新平,廖锐全在灰色Ver-hulst模型和等间隔GM(1,1)幂模型基础上提出含有幂指数的非等间距灰色Verhulst模型,并利用粒子群算法求解幂指数,克服了灰色Verhulst模型的缺陷[11];王正新等对灰色Verhulst模型分别从初值与灰导数进行改进,构建了新的灰色Verhulst模型,与传统灰色Verhulst模型具有更好的模拟效果[12];熊萍萍等针对非等间距灰色Verhulst模型,通过对传统灰色Verhulst模型背景值的误差来源进行分析,提出利用最小二乘法求解时间序列响应函数的参数c,并给出了非等间距灰色Verhulst模型的建模方法[13,14];杨德岭等针对预测系统为区间灰数情形的建模问题,利用灰数和灰度的思想和方法,构建了区间灰色Verhulst模型[15]。

纵观目前灰色Verhulst模型的相关研究,其大多是从初值或者背景值单角度利用最小二乘法、遗传算法、线性规划等方法对模型进行优化,而将两者进行同时考虑对模型进行优化的文献鲜见。鉴于此,针对灰色Verhulst模型的优化问题,利用倒数变换和最小偏差优化模型求解背景值参数与初值参数,并以案例验证了优化的模型能够有效提高预测精度和模拟精度。

2 灰色Verhulst模型

定义1[2,3]设X(0)= {x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}为原始非负数据序列,X(0)的一阶累加生成序列为X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)},X(1)的紧邻均值生成序列为Z(1)= {z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)},则称

根据式(1)利用最小二乘法,估计出参数a,b的值,得

为灰色Verhulst模型的白化方程。

3 基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型

由定理1即式(4)可知,灰色Verhulst模型的模拟与预测精度取决于参数a,b以及初值的选取,鉴于此,我们认为提高灰色Verhulst模型的模拟与预测精度,应该从背景值和初值两个方面着手对模型进行优化处理,求解模型参数。

3.1 基于背景值优化的灰色Verhulst模型

由式(2)可只知,a,b的取值取决于背景值z(1)(k),而z(1)(k)的构造方式直接影响到灰色Verhulst模型的模拟和预测精度。为减少背景值造成预测模型的误差,首先需要明确灰色Verhulst模型的背景值误差来源,进而才能对其采取有针对性的措施手段优化模型。对式(3),在区间[k-1,k]上求积分可得

即

并将其表示在坐标轴内,用梯形的面积来代替曲线x(1)(t)在区间[k - 1,k]上与t轴所围成的面积,而阴影部分就是由背景值所造成的误差,k-1如图1所示。

比较式(5)与式(1)知,背景值所造成的误差来源实质上就是灰色Verhulst模型的背景值的。为了消除由背景值z(1)(k)构造所产生的误差,需要优化背景值。

为基于背景值优化的灰色Verhulst模型。

为方便叙述,背景值优化的灰色Verhulst模型中的参数,仍记为(a,b)T=(BΤB)-1BΤY,其中,B=

根据式(3)可设方程解为

①参数C,D,A的求解

首先将X(1)作倒数变换,得倒数变换序列Y(1)={y(1)(1),y(1)(2),…,y(1)(n)},则

由于序列X(1)递增,故序列Y(1)递减。此时,对Y(1)作一次反向累减生成,得到一次反向累减生成序列

由于则Y(0)为Y(1)的一次反向累减生成序列,则可知

又由y(0)(k)=DeCk(1-eC),根据式(8)可得:

又由y(0)(n)=y(1)(n)=A+DeCn,根据式(8)和式(9)分离变量可得:

②背景值z珔(1)(k)和μ(k)的求解

作变量替换,令y=A+DeCt,由t∈[k-1,k],可得y∈[A+DeC(k-1),A+DeCk],且,则有

同理,可得

③参数a,b的求解

为估计式(6)中的参数a,b,必须首先利用倒数变换方法先求解出参数C,D,A,并将其代入求得,进而根据最小二乘法得可获得基于背景值优化的灰色Verhulst模型参数

3.2 初值优化的灰色Verhulst模型

除了背景值的构造方式会影响灰色Verhulst模型模拟与预测精度,初值条件的选取也是一个重要原因。这是由于传统的灰色Verhulst模型都是建立在拟合曲线过点(1,x(1)(1))的基础之上,而事实上,最优的拟合曲线并不一定经过历史数据中的某一点。为了获得最优的拟合曲线,提高模型的建模精度,这里需要对模型的初值进行优化。不妨设

利用最小二乘法,根据的误差平方和最小,可建立一个无约束条件的优化模型,如下所示

式(14)是关于c的一元二次函数,因此一定存在极小值。令,即可求得唯一驻点。经计算得到

最终将式(15)代入式(13)就可得到^x(1)(k)。

3.3 基于背景值和初值优化的灰色Verhulst的建模步骤

Step1:将X(0)作一次累加生成序列得X(1),并将X(1)做倒数变换,得倒数变换序列Y(1),对Y(1)作一次反向累减生成,得到Y(0);

Step2:利用背景值优化,分别求得参数C,D,A,并将C,D,A代入(k)和μ(k),利用最小二乘法求a,b;

Step3:优化初值,构建无约束优化模型,求导获得参数c;

Step5:最后对序列X(1)和原始序列X(0)进行模拟预测,求解其相对误差和平均相对误差。

4 应用实例

以全国高速公路2001~2011年事故死亡人数为原始数据(见表1)。由于原始数据本身呈S的过程,而灰色Verhulst模型主要用于描述具有饱和状态的过程,所以可以用灰色Verhulst模型进行预测。为更好地说明本文方法能够更高的模拟和预测模型精度,本文将所构建的基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型(记为模型3)与文献[2]、文献[3]传统灰色Verhulst模型(记为模型1)和文献[14]所构建的灰色Verhulst优化模型(记为模型2)进行对比分析。

(单位:万)

设X(1)为原始数据X(0)一次累积生成序列,即X(0)为X(1)的1-IAGO,其数据见表1,在建模中,文中采用序列前8个数据作为模拟数据,后2个数据作为预测数据。对X(1)序列l利用Matlab 7.0编程求解模型参数,可分别建立模型1、模型2和基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型。

模型1的时间响应函数为:

模型2的时间响应函数为:

模型3即基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型的时间响应函数为:

这三种模型对序列X(1)的模拟值和相对误差见表2、预测值和相对误差见表3。

由表2和表3可知,灰色Verhulst模型和文献[14]所构建的灰色Verhulst优化模型模拟精度分别为0.14211和0.12534,本文所构建的基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型为0.016545,显然模型2的模拟精度大于模型1的模拟精度,而本文的模拟精度远远高于文献[2]、文献[3]和文献[14]所构建的灰色Verhulst优化模型,这是由于传统灰色Verhulst模型忽视了背景值和初值对模型模拟精度和预测精度的影响,尽管模型2 对传统灰色Verhulst模型的背景值进行了一定程度上的优化,但是其忽视了初值对模型的影响。同时本文所构建优化模型的一步、二步预测误差均小于文献[2]、文献[3]和文献[14]所构建的灰色Verhulst优化模型的预测误差,结果表明,基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型具有更高的模拟和预测精度,通过背景值和初值优化能够更有效地挖掘原始数据发展规律。

5 结论