2024高考物理试题分析（通用9篇）
2024高考物理试题分析 篇1
一、联系生活, 联系科技, 注重激发学生的创新意识
认真分析研究一下近年全国和各省高考物理试题, 就不难看出选材紧密联系生产、生活、科技实际, 立意新颖, 有利于学生综合素质的提高。例如江苏第2题以2006年最新合成的新元素为背景考查核反应知识, 第8题以2006年诺贝尔物理学奖项———宇宙微波背景辐射为载体考查电磁波知识, 第15题以飞机救灾为背景考查力学知识等, 第17题磁谱仪是目前宇宙学研究的热点之一。四川第14、15、19题都是具有实际背景的试题, 第17题以全国人民都关心、关注的探月“嫦娥工程”为背景, 第25题以考生非常熟悉又喜欢的滑板运动为背景。宁夏第14题的天体运动、第23题的滑雪运动, 试题从中学教学和考生实际出发考查考生运用所学物理知识和方法分析解决实际问题的能力, 从而引导考生在学习中要关注社会实际, 用物理视角观察分析实际问题。北京第23题以环保、绿色奥运和太阳能利用的话题编题。北京第5题、全国Ⅰ第14题、山东第22题都以太阳系外的“宜居”行星为背景考查万有引力定律。天津第17题以探月工程为背景考察万有引力, 第25题以“离子推进器”为原型出题。重庆第24题、山东第25题飞行时间质谱仪, 广东第20题电子快门, 海南第10题、第15题的电磁轨道炮, 充分体现实用性和创新性特征。
二、重视物理实验的考查, 增强学生的实验探究能力
近年高考物理题着重考查实验、探究能力。命题更加重视对物理实验的考查, 广东两道实验题都属于探究性试题, 分别考查探究过程中的设计方案、数据处理, 计算题第15题考查探究过程中的分析与评价。今年的非选择题增加了对物理问题进行定性分析的设问及开放性设问, 开放性设问很好地体现了新课程引导学生主动学习、加强探究、培养创新精神的理念。如第13题第 (5) 问, 第14题第 (2) 问, 不拘泥于惟一答案, 在参考答案对条件、结论、方法的表述方面都具有较强的开放性, 很好地考查了考生的实验与探究能力。
宁夏第22题、山东第23题以学生分组实验为背景, 以进一步测量待测电源电动势、滑动变阻器电阻丝的电阻率为主题, 要求学生深入探究。选取实验设计、操作、数据分析三个环节设问, 学生作答过程需要经历提出问题、猜想假设、制定计划与设计实验、进行实验和收集数据、分析与论证、评估等环节。为了全面体现新课改的探究理念, 试卷以能力考查为着眼点, 关注学生的自主学习, 努力创设科学探究的情境, 运用发散性、开放性的试题形式, 考查学生的组织能力和发现问题解决问题的能力。全国试卷I高考的实验题仍分为两个小题。第一小题考查仪器———示波器的正确使用。本题能有效区分出认真做实验和只做练习不做实验的情况, 若学生平时认真做此实验, 一定能准确答出。第二小题的实验题来源课本, 但不拘泥于课本。既考查了考生的实验能力, 同时又考查了考生知识迁移的能力, 对考生的思维灵敏性和严谨性有较高要求, 对考生的语言表述能力也有较高要求。除了全国试卷Ⅱ (半偏法测电流表内阻) 、山东 (伏安法测电阻和电阻率) 、宁夏 (用电压表电流表测电源电动势和内阻) 考察的是大纲规定的学生实验以外, 大部分试题是在大纲规定的学生实验的基础上, 要求设计新的实验方案 (北京、四川、上海) , 或者给出新的探究课题 (广州、全国试卷Ⅰ) , 有的还利用传感器和计算机结合, 直接用图像给出测量结果。
三、结合图像考察的题目有所增加, 难度加大
上海2007年高考物理题23道题中竟然有11道题中有图像。江苏、全国Ⅰ卷中有关图像的考题也比较新颖。海南第8、18题, 山东第18、20题, 宁夏第16、17题, 广东第6、18题的四个课改区都有考查。如上海第5题、全国Ⅰ第18题、江苏第5题。
全国Ⅰ卷第18题:
如图所示, 在倾角为30°的足够长的斜面上有一质量为m的物体, 它受到沿斜面方向的力F的作用。力F可按图 (a) 、 (b) 、 (c) 、 (d) 所示的四种方式随时间变化 (图中纵坐标是F与mg的比值, 力沿斜面向上为正) 。
已知此物体在t=0时速度为零, 若用v1、v2、v3、v4分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率, 则这四个速率中最大的是 ()
A.v1B.v2C.v3D.v4
本题最好利用F-t图像中“F图线和t轴所围面积表示冲量”来判断。这一知识点可以促进学生对冲量的掌握, 有助于学生识记, 实际上可求得四种情况下3秒末的速率之比是4∶3∶5∶3。除了前面提到的北京第21题 (2) , 还有如江苏第13题, 以江苏第13题为例:
如图a所示, 质量为M的滑块A放在气垫导轨B上, C为位移传感器, 它能将滑块A到传感器C的距离数据实时传送到计算机上, 经计算机处理后在屏幕上显示滑块A的位移—时间 (st) 图像和速率—时间 (vt) 图像。整个装置置于高度可调节的斜面上, 斜面
的长度为l, 高度为h。 (结果可保留一位有效数字)
(1) 现给滑块A沿气垫导轨向上的初速度, A的v-t图像如图b所示。从图线可得滑块A下滑时的加速度a=___ms2, 摩擦力对滑块A运动的影响_____。 (填“明显, 不可忽略”或“不明显, 可忽略”)
解: (1) 由图b中0.5s~1.0s间直线的斜率可得下滑时加速度a=6ms2;从图像看, 上滑阶段匀减速运动的加速度大小也是6ms2, 因此摩擦力对滑块A运动的影响可忽略。这一问题的解答从图像上读取数据, 读取信息。解答这一问题, 有助于学生掌握从间接读取题目信息的能力, 有助于学生提高分析图像的能力。
(2) 先从图像读出:上滑、下滑经历时间分别为0.4s和0.6s, 位移大小都是0.64m, 不对称是由于滑板和滑块间有摩擦造成的。可得a上=8ms2, a下=4ms2。而a上=g (sinθ+μcosθ) , a下=g (sinθ-μcosθ) , 解以上方程组, 可得θ=arcsin0.6, μ=0.3。
以上海第17题为例:利用单摆验证小球平抛运动规律, 设计方案如下图 (a) 所示, 在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P, 当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断。MN为水平木板, 已知悬线长为L, 悬点到木板的距离OO′=h (h>L) 。 (1) 电热丝P必须放在悬点正下方的理由是:_________。 (2) 将小球向左拉起后自由释放, 最后小球落到木板上的C点, O′C=s, 则小球做平抛运动的初速度为v0=________。 (3) 在其他条件不变的情况下, 若改变释放小球时悬线与竖直方向的夹角θ, 小球落点与O′点的水平距离s将随之改变, 经多次实验, 以s2为纵坐标、cosθ为横坐标, 得到如图 (b) 所示图像。则当θ=30°时, s为____m;若悬线L=1.0m, 悬点到木板间的距离OO′为____m。
解: (3) θ=30°时cosθ=0.87, 仔细观察图像, 从图像找到对应的纵坐标为s2=0.27, 因此s=0.52。取θ=90°, 则cosθ=0, 对应的s2=2m, s= m, 与之对应的平抛初速度v0=ms, 飞行时间t=sv0=1 s, 而h-L=gt2, 带入得h=1.5m。
2024高考物理试题分析 篇2
摘 要： 本文就2015年新课标Ⅱ卷物理试题考点展开分析，针对考题提出相应的解题建议，旨在探究未来教学的重点，为高考物理试题的命题趋势提供预测的依据，并给出教学重点和提出复习意见。
关键词： 物理纯知识 注重应用 生活化
一、典型考点分析
2015年高考物理试题在加强对基础知识考查的同时，更重视培养学生的变通能力和应用物理基础知识解决实际问题的能力。我们以2015年新课标Ⅱ卷[1]为例进行分析。选择题中的第15题考查电磁感应，但不再是我们常见的导体垂直切割或是平行四边形导体旋转切割，而是三角形导体的旋转切割，这需要考生在掌握电磁感基础知识之后进行变通处理。第16题则以万有引力为背景，转移考查速度的合成与分解，这要求考生熟悉运动合成与分解的知识并具有一定的空间想象能力，以便更好地理解题意，从而解决问题。第17题考查机车启动问题，需要考生拥有由p-t图推v-t图的深刻分析能力，也是考查考生对知识的理解与应用能力。选择题第14题、第20题均考查物体受力平衡的知识点，第18题考查指南针与地磁场和通电导线周围形成的磁场，判断它们之间的受力关系。这些题型均属于对基础知识的常规考题，学生掌握基本理论就能做好考题。值得注意的还有选择题第21题，这类活杆做功问题可以说是早期考过的老题。题中涉及受力和能量关系的分析，有一定难度，考纲中有活杆、正负功判断的要求，但对基础不扎实的考生来说仍然容易丢分。对此，在备考过程中应关注考纲要求，以免漏备和偏备。
Ⅱ卷中实验题可以说是中规中矩，考查力学方面的求摩擦因素和电学方面的半偏法求电压表内阻的知识点，都是考生常遇到的内容，考生认真准备就能取得较理想的分值。学生在备考時应该灵活掌握知识，以应付考题的变化。
这次物理大题第24题考查带电粒子在电场中做平抛运动，考生只要熟悉这类常规运动，按其运动规律进行处理，就能解决好问题。这提示我们在备考中对一些重要的运动规律加以分类复习，做到熟练掌握和深刻理解。压轴题第25题考查力与运动的关系，涉及斜面、多物块重叠问题，同时考查对物理过程进行分类处理的能力。通过常见物理知识与生活情景的设计，对学生综合运用物理知识解决实际问题进行考查，尤其摩擦力是历年高考的重点和难点。考生在备考时一定要多进行受力分析的相关练习，做到不多力也不漏力，达到熟练识别摩擦力的类型和方向。此题分析如下：
第1问，在分析0～2s时间内，A、B的加速度时，必须求得它们在运动方向上所受的合外力。受力分析顺序为：先重力mg、再弹力FN，最后分析摩擦力。根据题意和摩擦力的定义，结合上文提到的分析方法，隔离A、B进行受力分析。A、B之间存在沿斜面向上的摩擦力，经计算可知A、B发生相对运动，即A受到B的摩擦力f1为滑动摩擦力。选取沿斜面向下为正方向，进行正交分解。最后由滑动摩擦力公式和力的平衡条件解得A在沿正方向所受的合外力即加速度大小为同理可得B受力分析受力情况，分析完成后进行正交分解列平衡方程即可求得B的加速度大小为
第2问，在分析此问题时关键要考虑摩擦力突变后，进行新的受力分析，列平衡方程后计算发现B做匀减速运动，需要细心考虑。最后运用运动学公式分过程求得相应物理过程所用时间，最终可得总时间。
二、教学重点和备考建议
从2015年高考新课标Ⅱ卷物理试题分析可看出，目前高考物理对纯知识考查变得薄弱了，但是纯知识跟生活当中的应用相结合的考查增多，而且题型越来越灵活，这对考生的能力和素质的考查变得更高，要求考生在掌握高中物理知识和基本技能的基础上加以灵活运用。下面我们给出一些备考意见：
1.注重基础，提高能力。物理教学要重视教材，回归教材，夯实基础。教材不但涵盖考试的全部内容，而且包含知识的结构关系[2]。只有将教材知识吃透，才能提高分析问题和解决问题的能力。只有熟练掌握物理的基本知识和规律，实现融会贯通，才能很快提高能力。
2.以学生为主，培养学生的思维能力。物理学科的特点是贴近生活，教师在讲授物理基本知识时应多考虑正确引导学生从生活实例中体会物理在生活中的应用。防止学生死记硬背，应引导学生对物理概念及其要点进行深刻的理解，在此基础上进行理解性的记忆。这就要求教师以学生为主，让学生拥有充足的思考空间，养成良好的思维习惯。
3.让学生熟练掌握物理解题的技巧和方法，提高学生的巧解能力和意识。教师在教学过程中应该经常给学生传授一些实用的解题技巧和方法，其中包括做题顺序、做单选和多选题与计算题的解答。一些具体专题的解答技巧等，可让学生在有限的时间内，在物理和理综方面取得较好的成绩。
4.培养学生的审题能力和规范作答的习惯。可以说从每年高考的反馈信息来看，在导致考生失分的主要原因中，审题不仔细、不全面及书写、作答不规范是学生丢分的致命原因[2]，而且是一些平时成绩比较好、思维比较活跃的学生易出现的毛病和错误。因此，培养学生的审题能力和规范作答的习惯是复习中不可忽视的工作。
参考文献：
[1]2015年高考理综新课标Ⅱ卷物理试题.
统计与概率高考试题分析 篇3
摘要：统计的主要考点有:抽样方法、频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、线性回归分析、独立性检验的思想方法等.概率主要考查:概率的概念和性质、古典概型和几何概型、互斥事件的概率等.考查以基本概念和基本运算为主, 多为一道客观题和一道解答题, 一般地, 客观题难度不大, 易于得分, 解答题多以古典概型为主, 而且常常与统计知识进行综合.结合最新高考试题来看看这部分内容在高考中是如何考查的。
关键词：高中数学,统计与概率,高考
统计与概率问题在日常生活中随处可见, 与我们的衣、食、住、行密切相关, 是同学们学以致用的重要体现. 因此, 在历年各地高考中备受命题者的青睐, 其新颖的背景也形成了高考试题中一道道亮丽的风景线. 统计的主要考点有: 抽样方法、频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、线性回归分析、独立性检验的思想方法等. 概率主要考查: 概率的概念和性质、古典概型和几何概型、互斥事件的概率等. 考查以基本概念和基本运算为主, 多为一道客观题和一道解答题, 一般地, 客观题难度不大, 易于得分, 解答题多以古典概型为主, 而且常常与统计知识进行综合. 下面我们结合最新高考试题来看看这部分内容在高考中是如何考查的.
高考英语听力试题命题特点分析 篇4
关键词：听力测试 要点 考点
1.听力试题测试要点
高考英语听力测试以对话或独白为测试内容，在语言使用的场景中测试学生使用语音、词汇以及语法知识的能力，强调口头语的真实性。它着重考查学生对所听信息的整体理解能力，而不是单一检测语音、语调的知识。听力测试的要点主要体现在以下几点：(1)理解主旨和要义；(2)获取事实性的具体信息，具体信息常提到的问题为说话的场所、时间以及人物的身份等；(3)对说话的背景、说话者之间的关系等作出简单的推断；(4)理解说话人的意图和观点或态度。
2.听力试题和材料的选用
高考听力材料的选用非常重视语言真实性和交际性的原则，语言材料一般来自实际生活，围绕一个日常生活的话题展开，涉及文化教育、传说、人物、时事等。对话的内容大多取材于日常生活，即衣、食、住、行、工作、学习、天气、生活环境等话题，可分为校园、公共场所、家庭等方面，如：shopping， doing one’s homework, seeing a doctor等。
3.高考听力试题的考点
(1)考查对内容细节的获取能力
这种类型的试题比重逐渐加大。该题型常见的设问方式有：What is the man/woman doing?等等。
A. To keep trainees in shape.
B. To improve public relations.
C. To develop leadership skills.
本题录音内容较多，但此题的信息较明确，只要考生抓住下面句子：The program is called “Learning from Adventure” and it is desired to develop leadership skills.便可知答案为C。
(2)考查对人或物的去向以及事件发生的地点的判断能力
此类问题要求考生熟悉一些特定的场景用语和关键词语。如，当听到menu， bill， order等词汇时，就可以联想到restaurant。
(3)对人物身份、职业及相互关系的判断
这种试题往往要求考生根据听力内容中所提供的人物对话，结合生活常识判断人物身份或人物之间的关系。e.g.
What is the possible relationship between the woman and the man? (NMET2003)
A. Wife and husband. B. Doctor and patient.
C. Boss and secretary.
分析：根据W：Morning， Bob!Late again?以及下文的W：Hm, what’s the excuse this time?的语气体现了该女士为boss；同时根据男士吞吞吐吐的回答可以判断，他是雇员，所以答案为C。
(4)对时间、数字计算能力的考查
NMET试题常考查对数字的计算和辨别能力。题目常涉及到日期、价格、年龄、距离、电话号码、票价等。有些答案不能直接从听力材料中获得，需要进行简单的计算。因此，听的过程中必须注意与数字有关的词，如：double， time， half， dozen以及less， more， late， before等。同时要辨清数词的易混尾音-teen，-ty等。e.g.
What time does the train leave?(NMET2002)
A. At 6:15. B. At 6:25. C. At 6:50.
分析：根据信息It’s 6：15和Here are ten minutes left.可知，火车离开的时间为6：25，所以答案为B。
(5)根据事实进行简单的推理、判断
此类试题很难由听力材料直接获取，需在理解、领悟和推理、判断的基础上进行选择。e.g.
What do we know about the mother and son?
A. She wants to tell him the result of the game.
B. She doesn’t like him to watch TV.
C. She knows which team he supports.
分析：此题考查考生对对话的整体理解和推理判断能力。根据M：Mum， I’m watching today’s football game on tape. If you happen to know the score， please don’t tell me.中的关键词on tape和don’t tell me得知，男孩看的是比赛录像，不想让妈妈告诉比赛结果。再根据W：OK, but you’re not going to like it.可以推出母亲知道儿子希望哪个队赢，故答案为C。
(6)对说话者态度、观点、看法的判断
该题型所占比重不大，但对考生要求较高，需要考生揣摸说话者的语气，领会说话者的意图并结合对话的内容作出判断。e.g.
What do we know about the woman?(NMET2003)
A. She is fond of her work.
B. She is tired of traveling.
C. She is interested in law.
分析：该段对话较长，信息较多。但只要抓住几个关键句：W:I’m now working for a large oil company； M:Oh, that’s great!You must really enjoy that.就可以判断答案为A。
(7)考查对听力内容进行整体理解并获取主旨大意的能力
对这种类型的题目，考生必须具有较强的语篇理解、概括能力。要求考生首先听懂整段对话的大体含义，并结合对话内容及所给选项作出判断。e.g.
What does the woman say about the bus service?(NMET2003)
A. The distance between the bus stops is too long.
B. The bus timetables are full of mistakes.
C. Buses are often not on time.
2024高考物理试题分析 篇5
摘 要： 本文主要对2016年全国Ⅰ卷物理选择题部分进行了分析，分析了试题考查知识点，并分析了解题思路，同时对难度系数进行了估测，也提出了考题及解题在教学中的启示与反思。
关键词： 选择题 试题分析 答案 教学启示和建议
（2016年全国Ⅰ卷）二、选择题：本大题共8小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，第14～17题只有一项是符合题目要求，第18～21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14.一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上，若将云母介质移出，则电容器（ ）
A.极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大
B.极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大
C.极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变
D.极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变
Ⅰ.试题分析：本题考察电容的决定式和定义式及恒压源和匀强电场公式，还有介电常数的大小比较。
解析：由C=可知，取出云母，ε减小，从而C减小，恒压，U不变，Q减小，即极板上电荷量变小；又E=，恒压源，极板不动，可知U，d不变，从而E不变，可知，正确答案应选D。
Ⅱ.答题情况分析：本题属一般题，难度系数估为0.8。
Ⅲ.教学启示和建议：属于公式常识性应用，正常教学即可。
15.现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为（ ）
A.11 B.12 C.121 D.144
Ⅰ.试题分析：本题考查带电粒子在匀强电场中的加速及带电粒子在匀强磁场中的偏转问题，同时涉及动能定理及圆周运动。
解析：由动能定理可得：W=qU=mv，∴v=；再由圆周运动可得F=，及F=qvB，可得：r=，而r=r′，可得：，故正确答案为D。
Ⅱ.答题情况分析：此题属中档题，只要公式变形不出错，一般能做对。难度系数估为0.7。
Ⅲ.教学启示和建议：学会导出一般式，用消元法即可。
16.一含有理想变压器的电路如图所示，图中电阻R，R和R的阻值分别为3Ω，1Ω，4Ω，？髿为理想交流电流表，U为正弦交流电压源，输出电压的有效值恒定。当开关S断开时，电流表的示数为I；当S闭合时，电流表的示数为4I。该变压器原、副线圈匝数比为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
Ⅰ.试题分析：属于理想变压器类型，加上闭合电路知识。
解析：利用功率公式P=UI及P=IR，同时利用降压电流公式==n，利用变压器降压、交流、不变功率的性质，可得方程
P=UI=I×3+（nI）×5 （1）
P=U（4I）=（4I）×3+（4nI）×1 （2）
解得：n=±3，取n=3。故正确答案为B。
Ⅱ.答题情况分析：本题解题思路与一般教学及做题思路不一样，学生仓促间难以找到思路，故难度系数估为0.3。
Ⅲ.教学启示和建议：教学重在理解及如何破题。
17.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ ）
A.1h B.4h C.8h D.16h
Ⅰ.试题分析：本题主要考查对开普勒第三定律的应用及对人造卫星绕地运动的理解，同时考查简单的画图能力，以及三角函数关系。
解析：利用万有引力公式F=G及圆周运动公式F=mr，可得=，由于中心天体质量不变，可得=，解得T≈4（h）。故正确答案应选B。
Ⅱ.答题情况分析：本题属于绕地卫星的变型题，较新颖，需要先从几何关系入手，难度系数估为0.55。
Ⅲ.教学启示和建议：平时要加强对公式内涵的深挖。
18.一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则（ ）
A.质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B.质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D.质点单位时间内速率的变化量总是不变
Ⅰ.试题分析：匀变速曲线运动类型。
解析：此题可简化为抛体运动，不管上抛、下抛、斜抛、平抛，均有F与a方向相同，F与v的方向时刻在变化，故而只有B、C两个选项正确。
Ⅱ.答题情况分析：D选项速率的变化量，易把它选为正确的选项，属易错题，难度系数估为0.5。
Ⅲ.教学启示和建议：学会建立模型，简化思路。
19.如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（ ）
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
Ⅰ.试题分析：力的正交分解与平衡题
解析：此题可用不变与变化量列方程求解。如上图，可知，F=mg，G=Mg，均不变，从而，可列方程如下：
Fsinα+N=Mg-mgsinθ （1）
Fcosα+f=mgcosθ （2）
方程右边为不变量，左边F变化时，必连带引起N或f发生相应变化。故B、D选项正确，而A、C选项由于物体静止，从而OO′的张力不变，ab绳的张力变不变，故A、C选项错误。
Ⅱ.答题情况分析：要能正确画出受力分析图，才能正确地，较快地找出各力变化情况，难度系数估为0.5。
Ⅲ.教学启示和建议：平时要多画力的分析图，正交分解，平行四边形定则等。
20.如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。（忽略空气阻力）由此可知（ ）
A.Q点的电势比P点高
B.油滴在Q点的动能比它在P点的大
C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
Ⅰ.试题分析：本题属于电场力做功，引起动能、电势能、重力势能的变化，以及类斜抛等。
解析：依题意可得，F竖直向上，mg竖直向下，由于是负电荷，可知，电场线方向为从上到下，可知Q点电势比P点电势高，也由于是负电荷，因此Q点电势能比P点电势能低，可知A选项对，C选项错。又由于轨迹具有对称性，可知，F与mg的合力是定值，也竖直向上，从而a不变，故D选项错。把它们看成类斜抛，可知，在P点动能最小，故选项B对。故正确选项应为A、B。
Ⅱ.答题情况分析：本题要先建立类斜抛模型，再正确画出简图，难度系数估为0.6。
Ⅲ.教学启示和建议：平时要建立几个比较典型的模型，抓住其本质，还要会变通。
21.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则（ ）
A.在t=1s时，甲车在乙车后
B.在t=0时，甲车在乙车前7.5m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
Ⅰ.试题分析：本题属于看图说话及匀加速直线运动中两次追及相遇问题。
解析：本题不妨用图象法来解。在t=3s时第二次追及，从图可判断，在t=1s时，为第一次追及，从而A选项错；在t=2s时，乙车在前，甲车在后，可知C选项错；在0～1s中，乙车多走了=7.5m，而后并排，可知，甲车在前，故B选项对；从图中亦可知，两次相遇甲车共走了=40m，可知，D选项对。从而正确选项应为B、D。
Ⅱ.答题情况分析：本题为看图说话，看似简单，实也易出错，故难度系数估为0.6。
Ⅲ.教学启示和建议：看图说话时可简化为简单的口算问题。
参考文献：
[1]普通高中课程标准.
[2]2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲.
[3]福建省《高中学科教学指导意见》.
[4]普通高中课程标准实验教科书：必修1，必修2，3-1，3-2.
2024高考物理试题分析 篇6
如果单从“应试”的角度分析近年来的高考试题, 会发现试题由“六大板块”构成:时政热点板块、区域地理板块、学科发展板块、城市工业板块、地球知识板块、四项国策板块 (又称资源能源板块) 。当然“六大板块”的划分只是相对的。其实, 知识与能力之间没有明确的界线, 惟有认真对待每一个知识点的复习, 加强学生学科能力的培养, 才是高三地理备考的基础。
一、近年来高考“热点试题”的表现特征
所谓热点试题, 是指以影响时间长、范围广的重大时政事件为背景而设计的试题。分析历年来高考热点试题的命题取材和设问, 不难发现有如下几个主要特征:
1. 取材于容易“地理化”的资料信息。
时政地理试题毕竟有别于政治等其他学科的试题, 对时政资料所蕴藏的空间地域性、逻辑规律性、人地关系性等要求较强, 而那些难以“地理化处理”的时政热点, 高考地理试题中一般不会出现。如“全面建设小康”与产业结构调整;欧盟东扩、非盟成立与区域经济发展;东盟“10+3”会议与其地形、气候、物产以及大湄公河次区域经济开发;四大工程等都是容易“地理化”的时政热点。
2. 取材偏向于国家重大工程建设等经济活动。
高考地理命题有一个价值取向的原则——引导学生关注人类生存与发展进程中的重大问题。国家重大工程建设集自然地貌、区域特征、经济发展、生态保护等要素于一身。强调重大工程建设的教学与考查, 直接体现了地理学科研究对象和方法的综合性特征, 也直接体现了地理学科为区域社会经济可持续发展解决实际问题的学科功能。跨世纪时期, 国家提出了西气东输、青藏铁路、西电东送、南水北调四大工程和西部大开发的战略思想, 其中有许多技术层面的内容是高考命题的好素材。例如线路的选择、资源的开发、水量平衡和水循环原理、工程与环保、三峡工程与移民等。不失时机抓住国家重大工程建设命题, 不仅使试题新颖、规范、科学, 也在客观上加快了中学地理教学从应试教育向素质教育转轨的步伐。
3. 试题设问具有开放性。
时政试题往往以“出奇”来制胜。时政背景材料往往经过优化组合和再加工, 通过发散联系设问, 答题时能体现出考生答题思维的逻辑性和创新性。
例如, 2000年高考地理的第33题, 时政背景非常简单——“石 (门) 长 (沙) 铁路建成通车”。但回答此题涉及的内容却有:铁路枢纽、经济腹地、窗口作用、经济区位因素变化、抗洪救灾和农业发展等多方面的概念、原理和规律等, 足见试题的开放性。
二、时政热点的备考策略
1. 夯实双基教学是关键。
时政试题的特征是情境新颖, 但考查的内容仍然是双基, 即基础的地理知识和基本技能。所以, 加强双基教学, 强调知识的迁移运用能力依然是复习备考的关键。时政事件的发生总有其空间承载区域, 产生的结果也有其必然的内部规律。如“巴厘岛事件”, 它是与世界政治经济、民族宗教、气候地形等地形要素相互关联的;中东、高加索地区、阿富汗、南亚等热点地区可用“宗教”联系起来分析;西部大开发战略“12+2”的地理范围, 青藏、西北、西南的区域差异, 应利用地图找出区域界线, 并利用空白地图, 画出青藏铁路、西气东输、西电东送的路线, 比较地形与路线走向的联系, 充分分析图上自然与人文信息, 把时政地理知识放到图上复习, 往往能收到事半功倍的效果。诚然, 地理教学中使用的一切方法, 都可应用于时政地理的复习。时政地理教学, 是地理教学中的重要组成部分, 基本概念、原理和规律是组织时政知识的磁石, 各种图表是承载时政知识的载体, 地理技能是阐释时政知识的有效手段。可见, 加强基本知识和基本技能的教学, 是解答好时政热点试题的关键所在。
2. 搜集媒体信息, 自行设计试题。
信息的来源渠道非常广泛, 通过电视、广播、报刊、网络等都可获取大量信息, 教师凭直觉和经验进行筛选, 优化出能用地理语言表达的时政热点, 同时寻找相匹配的数据资料、文字材料和图像表格, 通过发散性思维与教材内容进行联系, 设计出既有新意又不失水准的地理试题来。
如在第六次东盟与中日韩 (“10+3”) 领导人会议和东盟与中国 (“10+1”) 领导人会议上, 提出了湄公河次区域开发和滇 (云南) 新 (加坡) 铁路建设, 这便是一个“地理化水平”极高的时政热点。拟题时可从这些角度切入:河流流经和铁路所跨的国家、首都名称和国情;区域经济发展特点;河流流量过程线、补给类型与气候特征;地形地势与河流流向、水力开发和铁路建设的关系;植被与土壤;古迹与宗教;民俗与旅游;人口与环保等。时政热点复习时, 多运用这样的范例式教学, 学生的地理学习能力就会逐渐培养起来。
3. 培养科学的解题方法。
从高考试题分析谈高三二轮复习 篇7
例一.2008年江苏卷第21题
法国历史学家雅克·勒高夫在《新史学》中称:“历史不仅是政治史、军事史和外交史, 而且还是经济史、人口史、技术史和习俗史;不仅是君主和大人物的历史, 而且还是所有人的历史。”阅读下列材料:
材料一 (东京) 街南桑家瓦子, ………瓦中多有货药、卖卦、喝故衣、探搏、饮食、剃剪、纸画、令曲之类。
── (宋) 孟元老《东京梦华录》卷二
材料二梨园演戏, ……两淮盐务中尤为绝出。例蓄花、雅两部、以备演唱, 雅部即昆腔, 花部为京腔、秦腔、戈阳腔、梆子腔、罗罗腔、二簧调、统谓之乱弹班。
── (清) 钱泳《履园丛话》卷十二
材料三金阊 (今苏州城西南) 商贾云集, 宴会无时, 戏馆数十处, 每日演剧。
── (清) 顾公燮《消夏闲记摘抄》卷上
材料四豆棚茅舍, 邻里聚谈, 父诫其子, 兄勉其弟, 多举戏曲上之言词事实, 以为资料, 与文人学子引证格言、历史无异。
──高劳《东方杂志·农村之娱乐》卷十四
请回答:
(1) 材料一中的“瓦子”又名“瓦肆”, 它指的是什么? (2分)
(2) 依据材料一、二、三, 结合所学知识, 分析戏曲发展的主要原因。 (3分)
(3) 材料二中的“花、雅两部”不断融合兼收, 最终导致哪一剧种的形成?依据材料三、四概括戏曲的主要社会功能。 (3分)
(4) 在新史学理念的影响下, 商人、戏曲及民间生活进入史学家的视野, 这表明史学研究出现了怎样的变化? (2分)
该题以戏剧为切入点, 考查了戏曲的早期发展、京剧的形成、戏曲的功能等一系列问题, 这类题目在平时的复习及模拟考查中往往有所涉及, 难度不算太大。但结合08年高考得分情况及10届学生的具体解题来看, 得分普遍不高。分析具体题目我们可以看到, 该题切入点小, 而且是备考往往容易忽视的中国古代艺术范畴, 一下子就令考生措手不及, 其中第二小问要求分析戏曲发展的原因, 材料一、三尚好理解, 但具体到结合所学知识时, 学生往往由于基础不扎实, 不能认识到戏曲作为一种文化现象, 必然和当时的社会现实相联系, 尤其是经济、城市的发展相联系;至于材料二中的两淮盐务更是不甚了了, 故而答题情况不够理想。其实如果稍稍关注一下材料的出处, 即有一定的提示作用, 可惜许多学生却没有注意到或者不懂得利用, 不能不说是一个遗憾。
至于第四小问, 考查新史学观的发展特征, 此类问题在常规的复习中较少涉及, 但最近几年各省考题中却数次出现, 应该引起一定的关注, 其实此类问题多超越了课本基础知识, 主要用于考查学生的阅读、分析、概括材料的能力, 但难度相对不大。答题其实很简单, 只要考试时能够好好理解一下引言的含义, 距离正确答案就不远了, 可惜许多考生由于时间关系而忽略了这一重要的信息源, 与正确答案失之交臂。
综合上题的分析可以看到, 近几年江苏高考材料题一般多为考查历史的记忆和对史料信息的提取与解释, 命题格调相对正统, 能力立意更为明显。并且阐述简明要求清晰, 材料阅读量适宜, 解题时材料与课本内容相结合。但也存在知识点拓展至教材、考纲甚至课程标准之外的现象。学生解答时较易上手, 但判断确定答案确有难度。试题对考生思维过程考查更严密, 对学生理解材料及要求准确全面的分析问题、迁移知识最后解决问题的能力要求较高。
建议在接下来的复习应考中, 注意以下几点:
1.注重基础知识、注重能力、注重主干知识。基础知识的掌握仍然是前提, 江苏历史高考一脉相承的是注重基础知识、注重能力、注重主干知识。
2.在答题过程中, 要充分挖掘材料所提供的各项线索, 涉及的引言、时间、人物、所用文献、语句语式等等, 往往都有一定的指示意义, 值得去理解揣摩, 而具体问题的语句, 一般也有相应的指向。如“根据材料回答”、“根据材料并结合所学知识回答”等等, 应该灵活把握。
3.二轮复习不能仅仅拘泥于基础知识的讲解, 还应该从一个较高的层次帮助学生构建知识体系, 尝试从时间、空间的层面进行纵向、横向的比较, 培养学生对史论、史料的分析、理解、解释和评价的能力, 论从史出, 史论结合。
4.强调答题的规范性, 电脑阅卷对答题的规范性提出了更高的要求, 在模拟训练中常有学生文字潦草不清, 语句似通不通, 不在指定区域答题, 这些都是电脑阅卷的大忌, 将细节处理好, 以避免无谓的失分。
5.适当借鉴周边省份近几年高考试题, 他山之石可以攻玉, 一些新颖的命题形式和思路往往会成为各地模仿借鉴的对象, 及早接触, 既避免了措手不及, 防患于未然, 又开拓了学生的思路和眼界。
2024高考物理试题分析 篇8
阅读一直是高中英语教学的重点，阅读理解题型在试卷中所占比重较大，做好这类题目是取得高分的关键。阅读理解文章题材多样，但选项的类型相对固定，且有规律可循。建议备战2007高考的考生要学会分析题目和选项，从而做到“有的放矢”地阅读。
本套试卷阅读理解题目的文章体裁涵盖了记叙、说明和议论三大类，其中以说明文居多(B、C、E三篇文章均是)。
文章涉及的题型主要有细节题、主旨题和信息题三大类：
1、细节题 根据以上统计，细节题占一半，这说明高考英语阅读理解部分重点考查学生在阅读中对关键点把握的准确性，如B篇阅读的第61题：
这是一道非常典型的细节题，有明显的细节题标志“according to”，定位到原文——“At some point, the television viewers are asked to telephone the program to vote or to apply to take part in the show. It is the cost of these telephone calls that pays for the shows.” 找到这一信息，很容易选出答案C。需要强调的是，细节题的组题原则是一切都在原文中。解题的关键是根据题干关键词定位原文信息。题干的关键词在原文中往往会有同义词与之对应。比如，第61题题干中的关键词为“pay for the cost of the show”, 正好与原文中的“pay for the show”相对应。因此，解答细节题时，切忌想当然做题，一定要回到原文中去找答案。
61. Who would pay for the cost of the reality TV shows according to the passage?
A. TV producers who make reality TV shows
B. TV actors who take part in reality TV shows
C. TV viewers who telephone reality TV shows
D. TV companies which broadcast reality TV shows
2、主旨题 与文章主题直接挂钩的题目。出现在题干中的主要判断标志有 the best title for the passage、the main purpose、the main idea等，如A篇的第58题：
这道主旨题比较难，原因是第一段的第一句话“The Marches were a happy family”具有相当大的迷惑性。文章的主题通常依据文章的首尾两段来确定。这里, 单纯根据文章的第一段，答案A有一定的道理。但我们不能忽略末段的作用。其实，文章最终的落脚点为：“And so the little women had grown up and lived happily with their children, enjoying the harvest of love and goodness that they had devoted all their lives to.”据此纵观全文，文中并未交代The March Parents的状况。所以最佳答案应该为C选项。此外，除了首末段定位外，主旨题的解题技巧还有主题词定位法和排除法。主旨题中错误选项的特征包括：将文章某一细节作为主旨；随意扩大或缩小主旨；将文章根本未涉及的内容作为主旨等。
58. Which of the following would be the best title for the passage?
A. The March Family B. The March Parents
C. The March Girls D. The March Relatives
3、 信息题 这是阅读题型中较难的一种。它侧重考查考生对文章所给信息的归纳、推理能力。其判断标志通常为 it can be concluded/inferred from the passage that; it can be considered/supposed that等。但有些信息题的题干较为隐晦，不容易识别，如D篇的第70题：
此处信息定位处的句子较长：Big “C” creativity refers to genius level thinking that results in artistic masterpieces and scientific breakthroughs. Small “c” creativity refers to everyday level thinking that can be used in any situation. 要做到的是把握住信息关键词：genius level → artistic masterpieces and scientific breakthroughs; everyday level → used in any situation. 首先可以肯定的是C和D均为错误选项，原文定位到“use language in a new way is creative.” 然后根据关键词确定B为正确选项，因为我们“familiar”的东西基本都是与日常相关的。
70. When you use a familiar word in a new way, you are ________.
A. creative in the sense of big "C" creativity.
B. creative in the sense of small "c" creativity.
C. not creative in the sense of big "C" creativity.
D. not creative in the sense of small "c" creativity.
写作
1、对话填空
对话填空是高考所有题型中最为简单的一项。题目设置的目的在于考查考生的语言交际能力。建议在此项上有所不足的同学平时多读一下听力材料的原文，这对于提高日常交际能力非常有利。
2、书面表达
写作部分的书面表达向来被看作高考改革的风向标。但从2006年江苏卷的题目来看，虽然内容新颖，谈论的话题有关2008奥运会的志愿者，但考查的方式与2005年相似，属于“描述+评述”型文章。需要先描述题目所列的要点，然后给出个人观点。
2005年与2006年高考试题的书面表达部分比较：
从上面的表格中，我们可以清晰地看出，2005年与2006年试题要求基本上是一致的。惟一出现变化的部分就是突出英语表达的个性化，以此来深层次检验考生的表述能力，这基本上是高考写作部分最高的要求。但个性化并不是随心所欲地发挥，切记：高考是非常严格的“标准化”考试。我们必须把握住考试的整体性质，才能在此基础上发挥个性。而把握“标准”的最佳途径就是研究高考范文，看范文是如何进行观点表述的。譬如，这套试卷中写作题目的最后一部分：
If I have the honour to be chosen as a volunteer, __________________________________
给出的范文为：
I will work hard and creatively, and never be lazy. I will follow the law and discipline, and never break them. I will take the opportunity to make friends with the athletes and visitors, and help make the 2008 Olympic Games a great success.
范文用了三个复合句就将个人观点表达得清楚、完整。句法简单，但形式上保持了高度一致。因此，平时训练这部分时，尽量用“三句话”清晰地表述出自己的观点。不一定要用单一的句子结构，但尽可能保持形式上的一致，并且要条理清晰。这样，才能真正达到在内容上个性化，在形式上标准化的要求。
由于高考出题者一直非常青睐“要点描写+观点评述”这种测试方式，这里我们再讲一下具体的应对策略。观点评述部分和上面所讲内容基本一致，重点放在要点描述部分。“要点描述”简单来讲就是：允许考生发挥的、简单的“汉译英”翻译。首先要将要点表达成意，然后将所言之意放到适当的句子中，最后遵循一定的逻辑顺序形成段落。我们先看一下范文是怎样表达的：
Firstly, they should be polite and friendly to the athletes and visitors from all over the world, and avoid improper behaviour. Secondly, they should stick to their posts, offering good services, satisfying any reasonable needs and being ready to help those in difficulty, and never fail to do their duty. Thirdly, they should introduce the Chinese culture and history to visitors so that they may know China better.
从上文看，2006年与2005年的范文均是以firstly, secondly, thirdly/finally这些时间顺序词展开段落的。从句法来看，范文综合了分词结构、从句结构等复杂句型。在内容上，涵盖了所有需要表述的要点。但2006年的试题相对于2005年，增加了新的考试要求：不要简单的翻译。通过对比范文与题干，我们不难发现，范文均对每个要点的第一部分进行了发挥，譬如：对什么样的人礼貌友好(who)，怎样坚守岗位(how)以及为什么介绍中国的历史和文化(why)。通过这个总结我们就找到了一个非常好的应对策略：运用when、 where、why、who、 which 以及how对要点进行扩写。所以目前常见的高考作文可以看作是“汉译英的扩写”模式。
除了很好地掌握以上写作技巧和写作模式外，考生要加大自己对常用句型和高级词汇的积累。毕竟作文考查的还是考生的语言功底。对一些经典的句型考生应做到烂熟于胸。对于一些能增加文章亮点的高级词汇，像范文中的“reasonable”, 也应能熟练掌握并灵活运用。这样才能对高考的书面表达部分应对自如。
小结
2024高考物理试题分析 篇9
一、选择题
1.下列集合关系中, 正确的个数是 () .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(A) 1 3 (B) 2 4 (C) 2 (D) 3
3.已知条件p:-1≤x≤1, 条件q:则p是﹁q成立的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既非充分也非必要条件
4.设a, b是两个非 零向量, 则使a·b=|a||b|成立的一个必要非充分条件是 () .
(A) a=b (B) a⊥b
(C) a=λb (λ>0) (D) a∥b
5. (理) 已知全集U=R, 集合A={x||x-1|<1},
(A) (0, 1) (B) [0, 1)
(C) [1, 2) (D) (0, 2)
(文) 已知全集U =R, 集合A= {x|x2<2x},
(A) (0, 1) (B) [0, 1)
(C) [1, 2) (D) (0, 2)
6.已知p:x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根, q:a+b+c=0, 则p是q的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
7.定义一个集合A的所有子集组成的集合叫作集合A的幂集, 记为P (A) , 用n (A) 表示有限集A的元素个数, 给出下列命题:
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
8.设函数的定义域 为P, 不等式x2-2x≤0的解集为Q, 则“x∈P”是“x∈Q”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
9.设U为全集, 对集合X, Y, 定义运算“*”, ) .对于任意集合X, Y, Z, 则 (X*Y) *Z= () .
二、填空题
10.已知集合A={x|x∈Z且3/ (2-x) ∈Z}, 则集合A中的元素个数为_______ .
11.已知集合{-1, 2, 3}∩{a+2, a2+2}={3}, 则“x≥a”的一个充 分不必要 条件是 _____.
13.若集合M, N满足M∪N =Ω, 则称[M, N]是集合Ω 的一组双 子集拆分, 规定:[M, N]和[N, M]是Ω的同一组双子集拆分.已知集合Ω={1, 2, 3}, 那么Ω的不同双子集拆分共有_________.
三、解答题
参考答案
2.【错解】A.由于A, B的元素分别为x, y, 它们表示两个不同的元素, ∴1正确;
∴3也正确.
【分析】对于1, 虽然x, y为两个不同的字母, 但都表示范围, 于是A∩B不一定为空集;而对于3, 集合B的元素为y的范围, 集合C的元素为直线y=x+1上的点, 有
【解】D.由题意可得A={x|x≥1}, B={y|y≥0}, 则A∩B= [1, + ∞) , A∪B= [0, +∞) , ∴1错, 2正确;由以上分析知, 3错;对于4, 集合C, D的元素均为点, 于是C∩D={ (-1/2, 1/2) }, ∴4正确.
【点拨】考虑集合问题时, 弄清集合的代表元素甚为重要, 也是解决集合问题的入口.
【点拨】在知q的范围下求﹁q的范围时, 大部分都可以采用错解的方法, 即直接否定结论求范围, 但是当涉 及分式 (如q:1/x<1, 求﹁q) , 偶次根式 (如本题) , 对数式 (如q:lnx<1, 求﹁q) 时, 需在求得q的范围后, 再取其补集求﹁q.
4.【错解】C.∵a·b=|a|·|b|, 又a·b=|a|·|b|cosθ, 则cosθ=1, θ∈[0, π], 有θ=0, 即a与b同向, 有a=λb (λ>0) .
5. (理) 【错解】B.由|x-1|<1, 得
-1<x-1<1, 即 A= (0, 2) .
解之, 得x<0或x≥1.
【分析】事实上, (0, 2) ∩[0, 1) = (0, 1) , 这是忽略了对端点值的检验所致.
【解】A.由上述错解及分析知,
【点拨】处理集合问题时, 需特别注意端点值的检验, 否则易出现错误.
(文) 【错解】B.由x2<2x得x (x-2) <0, 即A= (0, 2) .余略, 请参考理科解法.
6.【错解】A.由x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根得a+b+c=0;反之, 当a+b+c=0时, ax2+bx+c=0可能还有其他根.于是p是q的充分不必要条件.
【分析】对“x=1是方程a2x+bx+c=0的一个根”不明确导致出错, 其实只要在a+b+c=0下, 能得到方程ax2+bx+c=0有一个根是x=1即可, 至于是否还有其他根, 已不在考虑之列.
【解】C.由错解知, p是q的充分条 件, 反之, 当a+b+c=0时, c=-a-b, 则ax2+bx-a-b=0, 有 (x-1) [a (x+1) +b]=0, 此方程必有一个根x=1, 于是p是q的充分必 要条件.
【解】C.由上述错 解及分析 知, 只有1 4正确.
【点拨】对于较为抽象的问题, 我们不妨采取“以退为进”的策略, 将一般问题特殊化, 从而找到解决问题的突破口.另外, 是以集合为元素的集合, 对于该集合而言, {1, 2}是元素.
8.【错解】D.由x-1>0得x>1, 即P:x>1.由x2-2x≤0得0≤x≤2, 即Q:0≤x≤2.当x∈P时, 不一定有x∈Q, 当x∈Q时, 也不一定有x∈P.
【分析】上述错解忽略了求P时还需考虑而致错.
【点拨】有些隐含条件必须要考虑到位, 另外, 判断“P:1<x≤2”与“Q:0≤x≤2”也不能搞错关系.一般地, 若AB, 则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件, 也可表述为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件;若A=B, 则“x∈A”是“x∈B”的充要条件.
【分析】以上所取的例子较为特殊, 若能再取一组集合X, Y, Z, 让它们存在相同的元素, 可以再排除A.
【解】B.再取U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, X={1, 2, 3}, Y={2, 3, 4}, Z={3, 5}, 则X*Y={1, 4, 5, 6}, (X*Y) *Z={1, 2, 3, 4, 6}, 而, 排除A.
结合错解知, B正确.
【点拨】若能结合韦恩图 (如右图) 可得更直观的解答.本题也可由摩根定理直接推理.
10.【错解】1.由3/ (2-x) ∈Z得2-x=1或2-x=3, 即x=1或x=-1 (舍去) , ∴A={1}, 即集合A中的元素个数为1.
【分析】对Z理解有误而出错, 其实整数集 (Z) 包括负整数、0及正整数.而正整数集 (N* ) 为{1, 2, 3, …}, 自然数集 (N) 为{0, 1, 2, …}.
【解】x≥0.由错解及分析得a=-1, 则“x≥-1”的一个充分不必要条件是x≥0. (填x≥k, k>-1, 也可填x>k, k≥ -1, 答案不唯一)
【分析】错解在分析集合B的端点值时出现错误, 其实由A= (-∞, -1) ∪ (3, +∞) , 及A∩B={x|3<x≤4}, A∪B=R, 集合B的右端点为4, 左端点为 -1, 否则无法满足A∪B=R.
【点拨】处理集合的交、并、补运算及子集合问题时, 需要特别关注与检验端点值.
而每一对集合重复算了两次, 于是Ω的不同双子集拆分共有种.
【分析】其实M={1, 2, 3}, N={1, 2, 3}并没有重复计 算, 于是正确 的计算方 法应为
【解】14.由上述错解及分析知, Ω的不同双子集拆分共有14种.
【点拨】当集合问题涉及计算问题时, 需考虑“不重不漏”的原则, 而对复杂问题加以分类, 化整为零, 各个击破是解决此类问题的关键.
14.【错解】 (Ⅰ) 当a=2时, A= (2, 7) , B= (4, 5) , 则A∩B= (4, 5) .
∴实数a的取值范围是[1, 3].
【分析】在求集合A时, 应考虑2<3a+1, 2=3a+1与2>3a+1三种情形;求集合B时, 已隐含2a≤a2+1, 只需考虑2a=a2+1与2a<a2+1两种情形.
【解】 (Ⅰ) 同错解.
(Ⅱ) 当a≠1时, B= (2a, a2+1) ,
15.【错解】∵f (x) =log2x, 当x∈ [1, 4]时, f (x) ∈[0, 2], 而g (x) =-2x+b, 当x∈[1, 2], g (x) ∈[b-4, b-2].
(Ⅴ) 同 (Ⅳ) 得b的范围是 (-∞, 4].
【解】由题意知, f (x) ∈[0, 2], g (x) ∈[b4, b-2].
(Ⅰ) 同错解.
故b的取值范围是{4}.
(Ⅳ) 同错解.
【点拨】在考虑与“任意”与“存在”有关的问题时, 需注意两个易出错点:一是端点值能否取到, 如 (Ⅰ) 与 (Ⅱ) , 解决这类问题的最好方法是“检验”, 将端点值放到不等式中, 看能成立与否.二是“任意”与“存在”中取“最大值还是最小值”的问题, 最好的方法是, 先考虑“任意”的情形, 若是“存在”, 则取它的另一个最值, 如 (Ⅳ) 中的“若
二、函数及其性质部分
一、选择题
1.已知函数f (x) 的定义域为A, 集合B={1, 2, 3}, 且, 则集合A的个数为 () .
(A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 8
2.已知集合A={1, 2}, B={2, 3}, 若f (x) 是集合A到集合B的函数, 则函数f (x) 的个数为 () .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
3.若函数f (3x+1) 的定义域为 (1, 2) , 则函数f (2x-1) 的定义域是 () .
4.已知函数f (x) =lgx-sinx, 则f (x) 在 (0, +∞) 上的零点个数为 () .
(A) 1 (B) 3
(C) 4 (D) 无数多
5.设函数f (x) =x+sinx-2, g (x) =ex+lnx-2, 若实数a, b满足f (a) =0, g (b) =0, 则 () .
(A) g (a) <0<f (b) (B) f (b) <0<g (a)
(C) 0<g (a) <f (b) (D) f (b) <g (a) <0
6.已知偶函数f (x) 在[0, +∞) 上单调递增, 且f (a+1) >f (a-1) , 则实数a的取值范围是 () .
(A) (0, +∞) (B) [0, +∞)
(C) (-∞, 0) (D) (-1, +∞)
7.已知函数f (x) =log2 (x2+ax+3a) 在 (2, + ∞ ) 上是增函 数, 则a的取值范 围是 () .
(A) (-∞, 4] (B) (-∞, 2]
(C) [-4, 4] (D) (-4, 4]
8.关于函数图象的对称性与周期性, 有下列说法:
1若函数y=f (x) 满足f (x+1) =f (3+x) , 则f (x) 的一个周期为T=2;2若函数y=f (x) 满足f (x+1) =f (3-x) , 则f (x) 的图象关于直线x=2对称;3函数y=f (x+1) 与函数y=f (3-x) 的图象关于直线x=2对称;4若函数y=1/ (x+1) 与函数f (x) 的图象关于原点对称, 则f (x) =1/ (x-1) .其中正确 的个数是 () .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(A) 1 3 (B) 2 3 (C) 2 4 (D) 1 4
二、填空题
11.函数的值域是____.
12.若函数f (x) =ln (x2+a) 的值域为R, 则a的最大值为 .
13.若函数是奇函数, 则实数a的值为______.
14.已知f (x) 的定义域为R, 且对x∈R都有f (x+1) +f (x) =0, 又当x∈ (0, 1]时, f (x) =x2, 那么x∈ (2013, 2014]时, f (x) 的解析式为___________ .
三、解答题
14.已知, 求实数a的取值范围.
参考答案
【分析】f (x) 是集合A到集合B的函数, 需满足对每一个A中的元素x, 在B中都可以有唯一一个y与之对应.于是集合A中每一个元素都要用上, 而集合B中的元素可以全用, 也可以部分使用.
【解】D.当f (x) 的值域为{2}时, 有f (1) =f (2) =2, 有1个函数f (x) ;当f (x) 的值域为{3}时, 有f (1) =3, f (2) =3, 也有1个函数f (x) ;当f (x) 的值域为{2, 3}时, 有f (1) =2, f (2) =3或f (1) =3, f (2) =2, 有2个函数f (x) .∴函数f (x) 的个数为4.
【点拨】函数反映的是非空数集A到非空数集B的对应关系, 只需满足“每一个A中的元素x, 在B中都可以有唯一一个y与之对应”即可, 不一定要找到解析式才是函数.
3.【错解】A.由f (3x+1) 的定义域为 (1, 2) , 得1<3x+1<2, 故0<x<1/3, 则-1<2x-1< 1/3, 即f (2x-1) 的定义域 为 (-1, -1/3) .
【分析】“f (3x+1) 的定义域为 (1, 2) ”, 指的是f (3x+1) 中x的范围是1<x<2, 由此算出3x+1的范围, 它与f (2x-1) 中的 (2x-1) 范围相同, 再算出 (2x-1) 中x的范围即 为f (2x-1) 的定义域.
【解】C.由f (3x+1) 的定义域为 (1, 2) , 得1<x<2, 有4<3x+1<7, 即f (x) 的定义域为4<x<7, 再由4<2x-1<7, 得5/2<x<4, 即f (2x-1) 的定义域是 (5/2, 4) .
【点拨】函数f[g (x) ]的定义域是x的取值范围, 函数f[h (x) ]的定义域也是指x的取值范围, f[g (x) ]与f[h (x) ]中, g (x) 与h (x) 有相同的范围.该类问题 的求解步 骤为:从f[g (x) ]中求得g (x) 的范围, 通过g (x) 与h (x) 有相同有范 围, 解出h (x) 中x的范围即 为f[h (x) ]的定义域.如f (x-1) 的定义域为[0, 2], 则) 的定义域为____ .
4.【错解】A.由f (x) =0知, lgx=sinx, 函数y=lgx与y=sinx的图象如图所示, 它们只有1个交点, 故选A.
【解】B.函数y=lgx与y=sinx的图象如图所示, ∴f (x) 在 (0, +∞) 上有3个零点.
【点拨】对于涉及与函数图象精确度比较高的问题时, 需要数形结合地考虑, 有些特殊值先代入求出相应的值, 再根据数值确定图形更准确的位置.
5.【错解】C.由题意得
而g (a) =ea+lna-2, f (b) =b+sinb2, 不能作出正确的判断.
【分析】由f (a) =0及g (b) =0隐含了a, b的取值范围, 再从该范围结合函数的图象可对g (a) 与f (b) 的取值作出判断.
另解:f (x) 与g (x) 的图象如图所示, 则有f (b) <0, g (a) >0.
【点拨】有些问题若只通过代数运算是难以解决的, 这时我们不妨将其图形化, 考虑“数形结合”, 使得数与形“真沟通”, 以降低运算量, 明确解题方向.
6.【错解】由f (x) 为偶函数, 且在[0, +∞) 上单调递增, 得f (x) 在 (-∞, 0]上单调递减.
1当a+1>0, a-1>0, 即a>1时, a+1>a-1, 即1>-1成立, 故a>1;
2当a+1<0, a-1<0, 即a<-1时, a+1<a-1, 即1<-1无解;
3当a+1>0, a-1≤0, 即-1<a≤1时, a+1>a-1, 即1>-1成立, 故-1<a≤1;
4当a+1<0, a-1≥0时, 无解.
∴a的取值范围是 (-1, +∞) .
【分析】上述错解中3有误, 在 -1<a≤1下, 结合f (a+1) >f (a-1) , 应有a+1> (a-1) , 即a>0, 这时0<a≤1.本题也可以运用偶函数的性质解决.
【解1】A.由以上错解及分析知, a的取值范围是a>0.
【解2】A.由f (x) 为偶函数及f (a+1) >f (a-1) 得f (|a+1|) >f (|a-1|) , 而f (x) 在[0, +∞) 单调递增, 则|a+1|>|a-1|, 有a2+2a+1>a2-2a+1, 即a>0.
【点拨】对于函数的单调性与奇偶性有如下性质:
7.【错解】D.令g (x) =x2-ax+3a, 由题意知, g (x) 在 (2, +∞) 上递增, 且g (x) >0, 其对称轴为x=a/2, 有a/2≤2且g (2) =4-2a+3a>0, 即-4<a≤4.
【分析】其实以上 错解中g (x) 的最小值g (2) =4+a是取不到的, 只需g (2) =4+a≥0, 即a≥-4, 必有x>2时, g (x) >g (2) ≥0.
【解】C.由上述错解及分析知, a的取值范围是[-4, 4].
【点拨】当涉及一些与端点值有关的问题时 (特别是端点值取不到时) , 需要验证取到端点值时, 问题是否符合题意.
∴4正确.
【分析】上述错解中对1 2 4的判断是正确的, 3是错误的, 2是一个函数图象的自身对称问题, 3是两个函数图象的对称问题, 两种问题的处理方法有异, 后者抓住点及函数图象的平移、对称变换解决.
【解】C.函数y=f (x+1) 的图象由y=f (x) 的图象向左平移1个单位得到, 而y=f (3-x) 的图象由y=f (x) 的图象关于y轴对称 (得y=f (-x) ) , 再向右平移3个单位得到, 即y=f[ (x-3) ]=f (3-x) , 于是y=f (x+1) 与函数y=f (3-x) 的图象关 于直线x= (-1+3) /2=1对称, ∴3错.
【点拨】对于函数图象的对称性与周期性有如下结论:
1.一个函数图象自身的对称性
1若函数y=f (x) 满足f (a+x) =f (bx) f (a+b-x) =f (x) , 则y=f (x) 的图象关于直线x= (a+b) /2轴对称;
2若函数y=f (x) 满足f (a+x) +f (b-x) =2cf (a+b-x) +f (x) =2c, 则y=f (x) 的图象关于点 ( (a+b) /2, c) 中心对称.
2.两个函数图象之间的对称性
1函数y=f (a+x) 与y=f (b-x) 的图象关于直线x= (b-a) /2轴对称;
2函数y=f (x) 与2b-y=f (2a-x) 的图象关于 (a, b) 中心对称.
3.周期性
1若函数f (x) 满足f (a+x) =f (b+x) f (x) =f (b-a+x) , 则f (x) 是以T=|a-b|为一个周期的周期函数;
2若函数f (x) 满足f (x+a) =M/f (x) (M≠0) f (x+2a) =f (x) , 则f (x) 是以T=2|a|为一个周期的周期函数.
【分析】以上错解忽略了x1, x2, x3是f (x) =m的三个实数根, 它们是相关联的, 不宜将它们分开.
【点拨】在处理问题时, 需把一些隐含条件深入地挖掘出来, 并加以运用.
【解】A.由以上错解及分析知, 只有1 3正确, 而2 4错误.
【点拨】解决新定义问题时, 理解题意后, 跟着题意走, 再结合已学习过的知识与方法常可解决问题.数形结合、特例 (值) 法是解决此类问题的常用方法.
【点拨】在求函数的值域, 需特别关注函数的定义域, 它直接影响到函数的值域.
12.【错解】0.由x2+a>0, 得a> (-x2) max=0, 即a的最大值为0.
【分析】错解中的答案虽然正确, 但是方法是错误的.f (x) 的值域为R, 说明x2+a需取完所有正实数, 为此, 需将y=x2+a的图象平移到与x轴至少有1个交点, 有Δ=02-4a≥0, 则a≤0, 即a的最大值为0.
【解】0.由以上分析知, a的最大值为0.
【分析】以上答案虽然是正确的, 但过程是错误的.对分段函数的奇偶性处理不当, 因为在未知x的正、负情况下, 是不能确定代入哪个表达式的, 这需要用分类讨论来化解这个难点.
【解】-2.∵f (x) 是奇函数, 且f (0) =0, 当x>0时, -x<0, 由f (-x) = -f (x) , 得 (-x) 2+a (-x) = (x2-2x) , 则a=-2;当x<0时, -x>0, 由f (-x) =-f (x) , 得 (-x) 2-2 (-x) = (-x2+ax) , 得x2+2x=x2-ax, 则a=-2.∴a=-2.
【点拨】分类讨论是考虑分段函数奇偶性的有效方法.本题还可以用特 值法求解,
14.【错解】f (x) = (x-2014) 2.由f (x+1) +f (x) =0, 得f (x+1) =-f (x) , 则f (x+2) = -f (x+1) = - [-f (x) ]=f (x) , ∴f (x) 是周期为2的周期函数, 当x∈ (2013, 2014]时, x-2014∈ (-1, 0].
又x∈ (0, 1]时, f (x) =x2, 则x∈ (-1, 0]时, f (x) = -x2, ∴当x∈ (2013, 2014]时, f (x) =f (x-2014) = (x-2014) 2.
【分析】由题意并不能 得到“当x∈ (0, 1]时, f (x) =x2, 则x∈ (-1, 0]时, f (x) =-x2”, 其实可先通过f (x+1) =-f (x) 求在 (-1, 0]上的f (x) , 再同错解运用周期性求解.
【解】f (x) = (x-2013) 2.由f (x+1) +f (x) =0, 得f (x+1) =-f (x) , 当x∈ (0, 1]时, f (x) =x2,
设x∈ (-1, 0], 则x+1∈ (0, 1], 有f (x) =-f (x+1) = (x+1) 2.
同错解得f (x) 是周期为2的周期函数, 当x∈ (2013, 2014]时, x-2014∈ (-1, 0], 有f (x) =f (x-2014) = - [ (x-2014) +1]2= (x-2013) 2.
∴-1<a-1<1, 从而0<a<2.
故a的取值范围是 (0, 2) .
【点拨】关于 幂函数f (x) =xa (α∈R) 的图象与性质, 有如下结论:
(1) 当α>0时, f (x) 在第一象限单调递增, 且过定点 (1, 1) :1当α>1时, 在 (0, 1) 内, f (x) 的图象在y=x的下方, 在 (1, +∞) 上, f (x) 的图象在y=x的上方;2当α=1时, f (x) =x, 即第一象限的角平分线;3当0<α<1时, 在 (0, 1) 内, f (x) 的图象在y=x的上方, 在 (1, + ∞) 上, f (x) 的图象在y=x的下方.
(2) 当α=0时, f (x) =1 (x≠0) , 即直线y=1除去点 (0, 1) , 不具有单调性 (图d) ;
(3) 当α<0时, f (x) 在第一象 限单调递减, 且过定点 (1, 1) , 图象类似于y=1/x的图象 (图e) .
(4) f (x) 在其他象限的图象与性质可结合其奇偶性考虑, 但幂函数在第四象限没有图象.
三、函数的应用与导数部分
一、选择题
1.函数f (x) =x-lnx的单调递增区间是 () .
(A) (-∞, 0) ∪ (1, +∞)
(B) (-∞, 0) 或 (1, +∞)
(C) (-∞, 0) 和 (1, +∞)
(D) (1, +∞)
2.函数f (x) =xlnx+1/2x2-2x的单调递减区间是 () .
(A) (-∞, 0) (B) (-∞, 1)
(C) (0, 1) (D) (1, +∞)
3.下列命题:1函数y=|x|的极小值为0;2函数y=-x2的极大值点为 (0, 0) ;3函数y=x3在x=0处的切线为y=0;4若f (x) 与g (x) 均为增函数, 则f (x) ·g (x) 为增函数.其中正确的有 () .
(A) 1 2 (B) 1 3 (C) 2 4 (D) 3 4
4.若函数f (x) =x+alnx不是单调函数, 则实数a的取值范围是 () .
(A) [0, +∞) (B) (0, +∞)
(C) (-∞, 0] (D) (-∞, 0)
5.已知函数在 R上是增函数, 则实数a的取值范围是 ( ) .
(A) (1, 6] (B) [2, 4)
(C) (1, 2] (D) [4, 6]
6.函数的极值点为 () .
二、填空题
7.已知函数在 (-2, + ∞) 上是单调递 减函数, 则实数a的取值范 围是 __________.
8. (理) 如图, 在边长为e (e为自然对数的底数) 的正方形中随机撒一粒黄豆, 则它落到 阴影部分 的概率为_______ .
(文) 已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10, 则a=______ , b=_________ .
三、解答题
9.已知函数f (x) =ax·lnx (a>0) , 若对所有x≥1, 都有f (x) ≤x2-1, 求正数a的取值范围.
10.已知曲线C:f (x) =x3-x.
(Ⅰ) 求在点P (1, 0) 处的曲线C的切线方程;
(Ⅱ) 求经过点P (1, 0) 的曲线C的切线方程;
(Ⅲ) 求f (x) 的单调递增区间;
(Ⅳ) 若m>0, 证明:存在唯一 的ξ∈ (0, m) , 使得f′ (ξ) =f (m) /m.
参考答案
1.【错解】A.由f′ (x) =1-1/x>0, 得 (x-1) /x>0, 即x (x-1) >0, 有x<0或x>1, ∴f (x) 的单调递增区间是 (-∞, 0) ∪ (1, +∞) .
【分析】错解忽略了函数的定义域x>0.
【解】D.由上述错解及分析知, f (x) 的单调递增区间是 (1, +∞) .
【点拨】求含有lnx或分式函数时, 需特别注意其定义域.另外, 当一个函数有多个不连续的递增 (减) 区间时, 需用“﹐”或“和”表示, 但不能用“∪”或 “或”表示, 如函数y =1/x在 (-∞, 0) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上也是减函数, 可写成y=1/x的单调递减区间为 (-∞, 0) , (0, +∞) , 也可写成 (-∞, 0) 和 (0, +∞) , 但是不能写成 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 也不能 (-∞, 0) 或 (0, +∞) .
2.【错解】由题意可得f′ (x) =lnx+x-1, 由lnx+x-1<0, 得lnx+x<1, 不会解此不等式, 得不到正确结果.
【分析】事实上, f′ (x) =lnx+x-1是单调递增函数, 且f′ (1) =ln1+1-1=0, 于是当0<x<1时, f′ (x) <0, f (x) 单调递减, 当x>1时, f′ (x) >0, f (x) 单调递增.
【解】C.由分析知, f (x) 的递减区间是 (0, 1) .
【点拨】函数f (x) 的导数f′ (x) 的正、负直接影响f (x) 的单调性, 故f (x) 的单调性可转化为讨论f′ (x) 的正、负问题, 但有时解不等式f′ (x) >0或f′ (x) <0不容易, 这时我们可以从f′ (x) =0入手, 用观察法得到方程f′ (x) =0的根后, 再结合f′ (x) 的正、负, 进一步确定f (x) 的单调性.
【分析】在1中, 极值只是反映函数在某点附近的取值情况, 与导数是否存 在无关;在2中, 极大值点应为x=0;在3中, 曲线的切线也可以与曲线相交;在4中, 当f (x) 与g (x) 均为增函数, 且f (x) >0, g (x) >0时, 才能得到f (x) ×g (x) 为增函数, 原因是[f (x) g (x) ]′=f′ (x) g (x) +f (x) g′ (x) , 只有在f′ (x) >0, g′ (x) >0, f (x) >0, g (x) >0才能得到[f (x) ·g (x) ]′>0.如取h (x) =xlnx, 则f (x) =x, g (x) =lnx均为增函数, 但h (x) 在 (0, 1/e) 上是减函数, 在 (1/e, +∞) 上为增函数.
【解】B.由y=|x|的图象知, 1正确;函数y=-x2的极大值点为x=0, 2错;由错解及分析知, 3正确, 4错.故只有1 3正确.
【点拨】在平时, 我们需对一些易错的概念深入考虑, 防止概念的错误迁移, 如由“增函数+增函数=增函数”, 得到“增函数×增函数=增函数”等错误.
4.【错解】A, x>0, 若f (x) 是单调函 数, 当f (x) 单调递增 时, f′ (x) ≥0恒成立, 即x+a≥0, 有a≥ (-x) max=0;当f (x) 单调递减时, f′ (x) ≤0恒成立, 即x+a≤0, 有a≤-x, 而 (-x) min不存在.
∴a的取值范围是[0, +∞) .
【分析】上述错解混淆了“不是单调函数”与“是单调函数”, 其实若按“是单调函数”解决问题, 求得a的范围后还应再求其补集得到“不是单调函数”的a的范围.故以上错解中得到a≥0后, 取其补集有a<0.本题也可抓住“f′ (x) 在 (0, +∞) 上变号f (x) 不是单调函数”的思路解决问题.
【解】D.函数f (x) 的定义域为 (0, + ∞) , 若f (x) 不是单调 函数, 则f′ (x) =1+a/x= (x+a) /x在 (0, +∞) 上有零点, 即x+a=0在 (0, +∞) 上有解, 故a=-x<0.
【点拨】由于y=x+a是一次函数, 只需x+a=0有正数根, 必有f′ (x) 在 (0, +∞) 上变号, 于是得到了以上正确的解法.但当f′ (x) 的分子是二次函 数或其他 函数时, f′ (x) 在 (0, +∞) 上有零点, 不一定能得到f′ (x) 变号, 即f (x) 不是单调函数, 这时需要 抓住“f′ (x) 变号”来明确f (x) 的单调性.
5.【错解】A.由f (x) 在R上是增函数, 必有a>1, 当x≥1时, f (x) =4x3-ax2单调递增, 有f′ (x) =12x2-2ax≥0恒成立, 即a≤ (6x) min=6, ∴a的范围是 (1, 6].
【解】C.由错解及 分析知, a的范围是 (1, 2].
【解】B.由f′ (x) =x2 (x-1) =0, 得x=0或x=1.
当x<1时, f′ (x) ≤0, 仅当x=0时取等号, f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减;当x>1时, f′ (x) >0, f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递增.
∴x=1是f (x) 的极大值点.故选B.
【分析】函数f (x) 在D上单调递增 (递减) 的充要条件是f′ (x) ≥0 (f′ (x) ≤0) 且f′ (x) 在D的任一子区间上不恒为零.
【点拨】在计算定积分时, 通过逆向联想导数公式寻找积分公式是常用的方法, 但当原函数难以找到时, 需变换解题的视角考虑问题 (如解法1) .另外, 面积法也是计算定积分一种实用方法, 需注意掌握.
(文) 【错解】a=4, b= -11或a= -3, b=3.
f′ (x) =3x2+2ax+b, 由题意得
f′ (1) =0且f (1) =10,
∴2a+b+3=0, 且a2+a+b+1=10.
解之, 得a=4, b=-11或a=-3, b=3.
【分析】导数为0的点不一定是极值点, 还需考虑这个点左右两侧导数的符号.若异号, 则该点是极值点;若同号, 则该点不是极值点.
【解】a=4, b=-11.由错解易知, a=4, b=-11或a=-3, b=3.
当a=4, b= -11时, f′ (x) =3x2+8x-11= (3x+11) (x-1) , 在x=1附近两侧导函数符号相 反;当a= -3, b=3时, f′ (x) =3 (x-1) 2, 在x=1附近两侧导函数符号相同, 舍去.∴a=4, b=-11.
综上, 满足条件的正数a的范围是 (0, 2].
【点拨】“参数分离法”是求解含参数问题的有效方法, 但并不是唯一方法.当分离参数后所构造的函数较为复杂, 且难于求得最值时, 可考虑直接移项, 构造含参数的函数, 抓住参数的范围讨论函数的最值 (如本题) .另外, 本题也不宜通过 (a·xlnx) max≤ (x2-1) min处理, 因为其左右两边的x是相同的, 只有当a·xlnx取得最大值, (x2-1) 取得最小值的x的值相同时才可以这样处理.
10.【错解】 (Ⅰ ) 由f′ (x) =3x2-1, 得f′ (1) =2, 于是所求的切线方程为y-0=2 (x-1) , 即y=2x-2.
【解】 (Ⅰ) 同以上错解.
【点拨】切点是解决曲线切线问 题的突破口, 可以说曲线的切线问题就是切点问题.当题中出现切点时, 如 (Ⅰ) , 可运用切点直接求解, 若题中还未出现切点, 则需先设出切点, 紧紧围绕切点列方程组解出切点, 这时可考虑切点“三用”:一是由切点写出切线方程, 二是将切点代入切线, 三是将切点代入曲线.切点求出后问题就迎刃而解了.对于零点定理, f (a) f (b) <0只能说明函数y=f (x) 在 (a, b) 上零点的存在性, 不能说明零点的唯一性, 要证明唯一性, 需结合f (x) 的单调性结出证明.
四、三角函数部分
一、选择题
1.函数f (x ) =2sin (ωx+φ) (ω>0, |φ|<π) 的图象如图所示, 则ω, φ的值分别为 () .
2.已知α是第二象限角, cos (π+α) =3/5, 则cosα= () .
3.在△ABC中, a, b, c分别为角A, B, C所对边, 若a = 2bcosC, 则此三角 形一定是 () .
(A) 等腰直角三角形
(B) 直角三角形
(C) 等腰三角形
(D) 等腰或直角三角形
4.将函数y=f (x) 的图象向右平移π/2个单位得函数y=cos2x的图象, 则将函数y=f (x) 图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变, 得到函数y=g (x) 的图象, 则 () .
(A) g (x) =-sin4x (B) g (x) =cos4x
(C) g (x) =sinx (D) g (x) =-cosx
5.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称, 那么a等于 () .
7.在锐角△ABC中, sinA与cosB的大小关系为 () .
(A) sinA>cosB (B) sinA<cosB
(C) sinA=cosB (D) 不能确定
8.已知当x=α时, f (x) =sinx+2cosx取得最大值, 则sinα= () .
9. 在锐角△ABC中, 函数的值域为 () .
二、填空题
11.已知sinθ+cosθ=1/5, θ∈ (0, π) , 则tanθ=_________ .
12.若函数f (x) =sinωx (ω>0) 在[0, π/3]上单调递 增, 在 [π/3, π/2]上单调递 减, 则ω=_____ .
13. (理) 函数f (x) =sin (cosx) 的单调递增区间为______ .
(文) 记a, b的最大者为max{a, b}, a, b的最小者为min{a, b}, 则min{max{sinx, cosx}}=_____ .
14.在△ABC中, 已知A=45°, b=1, 且△ABC仅有一个解, 则a的取值范围是__________ .
三、解答题
15.设函数
(Ⅰ) 求f (x) 的定义域及最小正周期;
(Ⅱ) 求f (x) 的单调递增区间.
16.已知函数f (x) =sin (x+kπ) +cos (x-kπ) , 其中k∈Z.
(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期;
(Ⅱ) 若k为偶数, 且, 求sin (α-π/4) 的值.
参考答案
1.【错解】C.由所给的图象知, T=3=2π/ω, 有ω=2π/3, 而f (0) =1, 则2sinφ=1,
∴sinφ=12.而|φ|<π, 得φ=π/6或5π/6.
【分析】虽然ω=2π/3是正确的, 但求得的φ却是错误的, 因为在x=0附近, f (x) 单调递增, 参照函数y=sinx图象的单调性, 只有φ=π/6符合题意, 因为y=sinx在x=π/6附近单调递增, 在x=5π/6附近单调递减.
【解】B.由错解及分析知, ω=2π/3, φ=π/6.
【点拨】求函数f (x) =Asin (ωx+φ) +B (ω>0) 的解析式的一般步骤为:
(3) 由T=2π/ω求ω;
(4) 代入一个已知点P的坐标求φ, 当P为顶点时, φ唯一确定, 当P为非顶点时, 需参照f (x) 的单调性.
2.【错解】B.由α是第二象限角, 得π+α为第四象限角, 有cos (π+α) =cosα, 而cos (π+α) =3/5, 则cosα=3/5.
【分析】α是第二象限角, 应有cosα<0, 而cosα=3/5显然是错的, 原因在于运用诱导公式时, 无论α位于哪个象限, 都应看成锐角进行化简变形.
【解】A.由cos (π+α) =3/5, 得 -cosα=3/5, 即cosα=-3/5.
【点拨】运用诱导公式化简sin (k·π/2+α) , cos (k·π/2+α) , k∈Z时, 无论α为哪个象限角, 都应视为锐角实施化简变形.
3.【错解】A.由a=2bcosC, 得sinA =2sinBcosC, 即sin (B+C) =2sinBcosC,
∴sin (B-C) =0, 即B=C, △ABC为等腰三角形.而sinA=2sinBcosC=2sinBcosB=sin2B, 有A=2B.又A+B+C=π, 得B=C=π/4, A=π/2, 即△ABC为等腰直角三角形.
【解法1】C.由错解及分析知, △ABC为等腰三角形.
4.【错解】A.由题意知, 将函数y=cos2x的图象向左平移π/2个单位得y=f (x) 的图象, 即f (x) =cos (2x+π/2) =-sin2x, 把f (x) =-sin2x的横坐标伸长到原 来的2倍, 纵坐标不变, 得y=g (x) =-sin2 (2x) =-sin4x.
【分析】函数图象的变换 (平移、伸缩、翻折) 只与x, y本身有关, 如把函数y=cos2x的图象向左平移π/2个单位应得f (x) =cos2 (x+π/2) = -cos2x, 而不是错解中给出的求法.另外, 把f (x) =-cos2x图象的横坐标伸长到原来的2倍, 应有g (x) = -cos2 (1/2x) =-cosx.
【解】D.由以上分析知, g (x) =-cosx.
【点拨】对于函数图象的平移、伸缩、翻折问题, 可作如下处理: (1) 平移:把函数y=f (x) 的图象向右平移a个单位, 再向上平移b个单位得y-b=f (x-a) . (2) 伸缩:把函数y=f (x) 的图象的横坐标伸长 (缩短) 到原来的A倍, 纵坐标伸长 (缩短) 到原来的B倍 (A, B>0) , 得1By=f (1/Ax) . (3) 翻折:1把函数y=f (x) 擦除y轴左边的图象, 再把右边的图象沿着y轴翻折得到函数y=f (|x|) 的图象;2把函数y=f (x) 的x轴下方的图象沿着x轴翻折到x轴的上方得到函数y=|f (x) |的图象.
【解法2】设P (x, y) 是函数y=sin2x+acos2x的图象上的任意一点, 它关于x=π8对称点为P′ (-π/4-x, y) , 有sin2x+acos2x=sin2 (-π/4-x) +acos2 (-π/4-x) ,
∴sin2x+acos2x= -cos2x-asin2x, 即a (sin2x+cos2x) =-cos2x-sin2x.
∴a=-1.
【点拨】用“辅助角公式”处理问题时, 需特别注意辅助角φ的确定, 需从两方 面同时确 定:一是tanφ=b/a (a是sinθ的系数, b是cosθ的系数) , 二是φ所在的象限与点 (a, b) 所在的象限相同.
7.【错解】D.由于A, B的值未确定, 于是sinA>cosB, sinA<cosB, sinA=cosB均有可能, 即sinA与cosB的大小关系不能确定.
【分析】需从“辅助角公式”的推导过程中求sinα的值.
【点拨】在一些三角化简求值问题中, 有些角的范围可以估算得更为“精准”, 这需要将一些角的范围和其三角函数值结合在一起考虑.
【解】-4/3.由错解及分析知, tanθ=-4/3.
【点拨】留意并区别下面两个概念:
(1) 函数f (x) 在[a, b]上递增, 在[b, c] (a<c) 上单调递减, 且f (x) 在[a, c]上可导, 则f′ (b) =0, 反之不行;
【解法1】[2kπ+π, 2kπ+2π], k∈Z.由错解及分析知, f (x) 的单调递 增区间为 [2kπ+π, 2kπ+2π], k∈Z.
【点拨】在写出函数的单调区间时, 写成开区间或闭区间均可, 但是当端点值取不到时, 只能写成开区间.
(文 ) 【错解1】由于读不 懂题意而 无法解题.
【错解2】设max{sinx, cosx}=S, 由题意知, sinx≤S, cosx≤S, 则S2≥sinxcosx=1/2sin2x≥-1/2, 找不到S的最小值.
【分析】由y=sinx与y=cosx的周期性知, 只需考虑x∈ [0, 2π]的情形, 可画出这两个函数的图象, 用图象法求解, 也可以改良错解2的方法求解.
【点拨】对于双最值问题, 数形结合法是较为有效的解法, 但是当所涉及函数的图象较难描绘时, 采用解法2也较为简便, 但是要检验等号成立的条件.
【点拨】讨论三角形的解的个数时, 通常有三种方法:一是数形结合法, 如解法1, 抓住一边上的高讨论解的个数;二是用正弦定理讨论, 如解法2, 抓住角的范围讨论符合题意的角的个数;三是用余弦定理讨论, 若知两边及一个角 (非夹角) , 可设出另一边, 建立方程, 讨论该方程解的个数, 进而讨论三角形解的个数.
15.【错解】 (Ⅰ) 由sinx≠0, 得x≠kπ, k∈Z, 故f (x) 的定义域为{x|x≠kπ, k∈Z},
【解】 (Ⅰ) 同错解.
【点拨】在高考中三角函数的解答一般较为容易, 但是一定要注意思路的严密性与表达的规范性.
五、平面向量部分
一、选择题
1.对于任意向量a, b, c, 给出下列说法:
1若|a|=|b|, 则a=b或a= -b;2若a//b, b//c, 则a∥c;3若a≠0, 且a·b=a·c, 则b=c;4a2=|a|2;5 (a·b) ·c=a· (b·c) ;6 (a·b) ·c≠a· (b·c) ;7“a=λb”是“a, b共线”的充要条件, 其中λ∈R.其中正确的个数有 () .
(A) 1 (B) 2
(C) 4 (D) 6
2.如图1, 在等腰△ABC中, AB=AC=1, ∠B=30°, 则向量在向量上的投影等于 () .
(A) 1 (B) -1
(C) 12 (D) -1/2
3.已知A (1, 2) , B (2, 4) , 向量a= (-1, 2) , 则向量与直线AB按向量a平移后得到的向量与直线分别为 () .
(A) (0, 4) , y=2x+4
(B) (0, 4) , y=2x
(C) (1, 2) , y=2x+4
(D) (1, 2) , y=2x
4.若向量a= (1, 2) 与b= (2, k) 的夹角为锐角, 则k的取值范围是 () .
(A) (-1, +∞)
(B) (-1, 4)
(C) (-1, 4) ∪ (4, +∞)
(D) (4, +∞)
5.向量a, b, c在正方形网格中的位 置如图2所示, 若c=λa+μb (λ, μ∈R) , 则λ/μ= () .
(A) 2 (B) 4
(C) -2 (D) -4
6.已知点O在△ABC所在的平面内, 非零实数λ满足, 则直线OA必过△ABC的 () .
(A) 内心 (B) 外心
(C) 重心 (D) 垂心
(A) [-1, 1] (B) [-2, 2]
(C) [-3, 3] (D) [-4, 4]
二、填空题
9. (理) 已知向量a= (1, 1, -1) , b= (x, y, z) , 且a∥b, 则x+y+2z=____________ .
(文) 已知向量a= (1, y) , b= (x, 1) , c= (x, y) , 且a∥b, b⊥c, 则|a +2b+3c|=__________ .
10.在△ABC中, 若AB=AC=BC=2, 则
11.已知向量a= (2, 1) , b= (x, y) .
(1) 若x=-1, 向量a, b的夹角是钝角, 则y的取值范围是________;
(2) 若x∈ [-1, 2], y∈ [-1, 1], 则向量a, b的夹角是钝角的概率是_________ .
三、解答题
参考答案
【解】A.结合错解及上面分析知, 只有4正确, 其余6个均错.故选A.
【点拨】考虑平面向量问题时, 需注意三个方面:一是向量的方向, 二是向量的大小, 三是零向量.
【解】C.由以上错解及分析得向量与直线AB按向量a平移后得到的向量与直线分别为 (1, 2) , y=2x+4.
【点拨】向量平移后是不变 的, 但直线 (曲线) 平移后却发生改变, 若按向量a= (m, n) 平移, 当m>0时, 表示向右平移m个单位, 当m<0时, 表示向左平移|m|个单位, 当n>0时, 表示向上平移n个单位, 当n<0时, 表示向下平移|n|个单位.
4.【错解1】A.由a与b的夹角θ为锐角,
【分析】对错解1而言, cosθ>0并不能说明a与b的夹角θ为锐角, 当θ=0时 (a与b同向) , 也有cos0°=1>0, 应予排除;错解2的方法是正确的, 但容易引出比较复杂的不等式, 容易在解不等式处出错, 故应避免运用这种方法解答该类问题.
【解】C.由a与b的夹角θ为锐角, 得, 且cosθ≠1,
解得k>-1有k≠4.故选C.
【点拨】先解不等式cosθ>0 (cosθ<0) , 再排除a与b同向 (反向) , 是解决此 类问题的上策.
5.【错解】A.如图, 平移向量c使得其终点与a的起点重合, 则a+1/2b+c=0, 有c=-a-1/2b, 即λ=-1, μ=-1/2, 则λ/μ=2.
【分析】向量实施平移, 应保持其方向与长度均不变, 上述错解中, 方向与长度均发生了变化.其实建立直角坐标系, 转化为坐标运算也可以求解.
【解法1】B.如图, 把向量c的起点平移到b的中点, 则有2a+1/2b+c=0, 有c=-2a-1/2b,
即λ=-2, μ=-1/2, 则λ/μ=4.
【解法2】B.如图, 以O为原点建立 平面直角 坐标系, 则a= (0, 1) - (1, 0) = (-1, 1) , b= (6, 3) (0, 1) = (6, 2) , c= (5, 0) (6, 3) = (-1, -3) , 由c=λa+μb, 得 (-1, -3) =λ (-1, 1) +μ (6, 2) ,
【点拨】运用平移法进行平面向量的线性运算时, 其方向与长度不能改变.建立平面直角坐标系, 将向量转化为坐标运算是处理向量问题一种常用方法.
【分析】由平行四边形的对角 线互相平 分知, AD是△ABC的中线 (BC边上) 所在的直线, 而三角形的中线过重心.
【解】C.由错解及 分析知, 直线OA必过△ABC的重心.
【点拨】关于三角形的“四心”有如下定义:
(1) 内心:三角形内切圆的圆心, 它到三角形三边的距离相等, 是三角形三条内角平分线的交点; (2) 外心:三角形外接圆的圆心, 它到三角形三个顶点的距离相等, 是三角形三条垂直平分线的交点; (3) 重心:三角形三条中线的交点; (4) 垂心:三角形三条高的交点.
【点拨】解法1比较简便, 运算量也低, 但是对变形技巧的要求稍高, 解法2运算量稍大, 但是容易操作, 所以在考虑向量问题时, 需多从“线性运算”与“坐标运算”两方面考虑问题.
【点拨】将向量问题转化为坐标运算, 是解决向量问题一种常用方法, 但是求最值或取值范围时, 需注意检验等号成立的条件.
【分析】a∥b还有结果a=λb或b=λa, 它既适合平面向量, 也适合空间向量.
【解】0.由a∥b, 得b=λa, 有
(x, y, z) =λ (1, 1, -1) = (λ, λ, -λ) ,
∴x+y+2z=λ+λ+2 (-λ) =0.
【点拨】平面向量与空间向量的运算是类似的, 但是两个 向量的平 行稍有差 别, 需引起注意.
【点拨】两个向量夹角的特征是这两个向量有相同的起点, 忽略了这一点, 解题易出错.
11.【错解】 (1) (-∞, 2) ; (2) 1/3.
(1) 若x=-1, a, b的夹角是钝角,
则a·b<0, 有-2+y<0, 即y<2.
(2) 若x∈[-1, 2], y∈[-1, 1], a, b的夹角是钝角, 则a·b<0, 有2x+y<0, 画出可行域得所求的概率为P=2/2×3=1/3.
【分析】向量a, b的夹角是钝角a·b<0, 反之不行.因为a, b的夹角为π时 (反向) , 不是钝角, 但也有a·b<0, 故还要增加a与b不共线这个条件.
【点拨】两向量夹角θ的取值范围是[0, π], 当θ=π时, 有cosπ=-1<0, 此时非零向量a, b仍满足a·b<0, 因此a·b<0是两非零向量a, b的夹角为钝角的必要不充分条件.事实上, 两非零向量a, b的夹角为钝角的充要条件是a·b<0且两向量不共线.
【点拨】本题题意的前半部分较为难懂, 一直到“若函数y=x-1/x在[1, 2]上k阶线性近似”才将难度降低, 在平时的审题训练中, 应养成“通读试题, 全盘推敲”的习惯.解法1运算量较大;解法2抓住两个关键点:一是点M, N的横坐标相等, 二是由N在线段AB上, 从整体的高度把握问题, 提高了解题的效率.
综上所述, k=-1或k=0.
【点拨】对一些问题不够明确时, 我们不能“想当然”地强加一些条件解题, 若要加, 必须在布下完整的讨论方案与思路下添加, 然后运用分类讨论思想解决问题.
16.【错解】 (Ⅰ) f (x) =a·b=n-sin (mx+π/2) =n-cosmx, 又x=0是函数f (x) =ncosmx的一个零点, 则n-1=0, 有n=1, 函数f (x) =n-cosmx的最大值为2, 于是m=2,
∴m=2, n=1.
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, f (x) =1-cos2x, 于是
【分析】或2A+2C=π.
【解】 (Ⅰ) 同错解.
(Ⅱ) 同错解得sin2A=sin2C, 又a>c, 有A>C, ∴2A+2C=π, 即A+C=π/2, 得B=π/2,
∴f (B) =1-cos2B=1-cosπ=2.
【点拨】向量与三角函数相交汇问题, 向量只起到工具性的作用, 主要还是靠三角函数的知识与方法解决问题.在处理解三角形问题的两大主要思路为:一是统一转化为角, 二是统一转化为边, 而正 (余) 弦定理是实施边角互化的实用工具.
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