定理与证明(一)初中数学教案

定理与证明(一)初中数学教案（精选12篇）

定理与证明(一)初中数学教案 篇1

初中数学定理证明

数学定理

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

点p在OC上

∴pE=pF(角平分线性质定理)

判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

几何语言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴点p在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等边对等角)

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°

几何语言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

几何语言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角对等边)

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)

推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)

线段的垂直平分线

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言：

∵MN⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

点p为MN上任一点

∴pA=pB(线段垂直平分线性质)

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

几何语言：

∵pA=pB

∴点p在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

轴对称和轴对称图形

定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)·180°

推论任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1平行四边形的对角相等

性质定理2平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四边形的对角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对边相等)

AO=CO，BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

平行四边形的判定

判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

矩形

性质定理1矩形的四个角都是直角

性质定理2矩形的对角线相等

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的对角线相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

∵△ABC为直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

∵AC=BD

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

菱形

性质定理1菱形的四条边都相等

性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

几何语言：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角)

判定定理1四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

正方形

性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1关于中心对称的两个图形是全等形

定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言：

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

几何语言：

∵EF是三角形的中位线

∴EF=AB(三角形中位线定理)

梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半

几何语言：

∵EF是梯形的中位线

∴EF=(AB+CD)(梯形中位线定理)

比例线段

1、比例的基本性质

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc2、合比性质

3、等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

几何语言：

∵l‖p‖a

(三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例)

推论平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，OC过圆心

(垂径定理)

推论

1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直径

(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)

(2)弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵AC=BC，OC过圆心

(弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧)

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

几何语言：

(平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧)

推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言：∵AB‖CD

圆心角、虎弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

几何语言：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切线的判定和性质

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l⊥OA(切线性质定理)

推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C两点

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切线长定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等

几何语言：∵弦AB、CD交于点p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推论)

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言：∵pT切⊙O于点T，pBA是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理)

推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言：∵pBA、pDC是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理推论)。

定理与证明(一)初中数学教案 篇2

定理教学是数学教学中的重要内容,初中数学定理是证明的基础,也是学生探究学习的延续和发展。实事上,数学定理的教学不单纯是让学生知道和了解定理本身,更是学生探索发现、提升思维和发展能力的过程。因此,搞好定理教学至关重要。那么,如何搞好定理教学呢?

一、明确定理在教材中的地位,准确把握教学的重、难点

教师只有准确把握定理的价值取向和在整个知识体系中的地位,才能准确定位教学内容、把握教学尺度、选择教学方法,才能为学生学习定理和发展能力提供帮助,最大程度达成教学目标。

了解数学定理在章节中的位置及整个教材中的地位, 对教师进行课前教学设计起着重要的作用。也就是先明确 “定理的教材地位”,再确定“我教什么”或“学生学什么”,最后考虑“我怎么教”。只有知道了教学内容在整个教材中所处的地位,教师才能高瞻远瞩地设计教学,才能确定教学内容,选择适宜的教学方法。

如,“勾股定理”这节课是人教版八年级第十八章第一课时的内容,从教材地位上看,它是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的,是直角三角形的一条非常重要的性质,也是后续学习“解直角三角形”的基础, 在实际生活中用途很大。从学生方面看,初中学生已经具备一定的分析与归纳能力,初步掌握了探索图形性质的基本方法。但是,八年级学生对应用割补方法和面积计算证明数学命题的意识和能力都还比较欠缺,对数形结合的方法也还很陌生。所以在探索勾股定理时,主要通过直观的、学生乐于接受的拼图法去验证勾股定理。基于这些方面的分析, 笔者将本节定理教学的难点确定为:用面积法和补割法证明勾股定理。

二、解读相应内容的课程标准,准确定位教学能力要求

国家课程标准的基本思路提出:“根据本学科的内容特征和学生身心发展的状况划分学习水平,在不同的水平设置相应的能力目标”。因此,教师要在遵循学生的认知规律的基础之上,认真解读相应课程标准,准确定位教学内容对学生的能力要求。在具体教学中,若学生的接受能力强可以多讲,但练习时控制练习的难度,不可盲目地提高定理教学的要求,否则将超出学生的接受能力,欲速则不达。

如,“平行线的特征”是七年级下册的内容,其主题是平行定理的学习。平行定理是空间与图形领域的基础知识,是 “相交线与平行线”的重点,笔者结合自己所教学生的实际, 制订的课程标准是:运用平行线的特征简单地进行分析、表达,能达到“说点儿理”到“用符号表示推理”的目标。

三、重视定理教学的探究过程,注重培养学生的探索能力

揭示定理发现或发展的过程,有着不可忽视的教育价值。在数学定理的教学过程中,教师应该注重定理发现的教学,精心创设定理发现与发展的情境,舍得花时费力,引导学生去探索、去研究、去发现定理。笔者认为,每经过这样一次的过程,学生不仅创造出一个个新的发现,而且发展了思维能力。久而久之,学生就会自然地养成一种爱探索问题的良好习惯,同时还能提升和发展探索问题的能力。

四、整合定理教学的相关内容,适度拓展教学

定理与证明(一)初中数学教案 篇3

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

已知：在⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC（如图一），求证：∠BAC= ∠BOC。

分析：圆周角∠BAC与圆心O的位置关系有三种：（1）圆心O在∠BAC的一条边AB（或AC）上（如图二）；（2）圆心O在∠BAC的内部（如图三）；（3）圆心O在∠BAC的外部（如图四）。

在第一种位置关系中，圆心角∠BOC恰为△AOC的外角，这时很容易得到结论；在第二、三两种位置关系中，均可作出过点A的直径，將问题转化为第一种情况，同样可以证得结论。这充分体现了一种重要的数学思想——化归思想。

数学问题的解决几乎都离不开化归，只是体现的形式有所不同。计算题是利用规定的运算法则进行化归，证明题是利用公理、定理或已经证明了的命题进行化归，应用题利用数学模型化归，因此，离开了化归，数学问题将无法解决。通过一定的转化过程，把待解决的问题转化为已经解决或比较容易解决的问题或这类问题的某种组合，这种思想被称之为化归思想。从化归的途径上来看，大致可以分为下面两种：

一、新知识向已有知识的转化

在初中阶段，有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为已知知识或已解决的问题来完成的，也就是将新知识向已有知识进行转化，从而使问题得到解决。下面就以解方程为例来进行分析。

解一元二次方程时有以下四种基本解法：

（一）如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负数，则根据平方根的意义将形如（x+m）2=n（n≥0）的方程转化为两个一次方程而得解，此为直接开平方法。

（二）如果将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。

（三）如果方程一边能分解成两个一次因式之积，另一边为零，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。

（四）如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。

纵观以上四种方法，不难发现，方法一是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，完成了由“二次”向“一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，因而习惯上称之为“配方法”，配方法的实质就是通过转化为开平方来解决的。方法三即因式分解法也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法，对一般的一元二次方程，通过配方，转化为开平方求得一般结论，即求根公式。公式法实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。纵观整个初中教材，不难发现除了解方程问题，还有许多知识的转化都属于新知识向已有知识的转化。

二、一般情况向特殊情况的转化

本文开头圆周角定理的证明就是先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决，这也是顺利解决某些问题的一种重要的化归途径，特别是在中考题的最后一题中，往往也有许多时候是需要先解决特殊条件下的问题，然后再通过化归把一般情况下的问题转化为特殊条件下的情形来解决。

三、化归思想方法的教学策略

从上面的分析中，我们不难发现化归思想在初中数学的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想。那么如何在日常教学中更好的渗透和落实化归思想呢？

（一）夯实基础知识，完善知识结构是落实化归思想方法教学的基础。教学过程中，可从以下几个方面做起：

1、重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。从某种意义上说，中学数学教学实际上是数学模型的教学，建立数学模型是实现问题的规范化和程序化，运用模型的过程即是转化与化归的过程。

2、养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。差生之所以拿到基本题没有思路，其根本原因是其知识结构残缺不全。

3、完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。在平时教学中帮助学生完善知识结构，例如做好单元小结，其中画知识结构图或列知识表是完善知识结构使知识系统化、板块化的有效方法之一。通过表格或网络图，知识之间的相互联系、依存关系一目了然，为问题的转化提供了准确的方向。

（二）培养化归意识，提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键

数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化，首先须明确转化的一般原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。因此，在平时的教学中，我们不断教会学生解题，通过仔细的观察、分析，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法。

（三）掌握化归的一般方法，是实现数学化归思想方法教学的基本手段

化归的实质是不断变更问题，因此，可以从变形的成分这个方面去考虑，也可以从实现化归的常用方法直接去考虑。在实际运用中，这两个方面又是互相渗透、互相补充的。初中阶段常用的化归方法有恒等变换法，具体包括分解法、配方法、待定系数法等：其次是映射反演法，具体包括换元法、坐标法等。

（四）深入教材，反复提炼与总结是实现化归思想方法教学的基本途径

定理与证明(一)初中数学教案 篇4

摘要：2015中考临近，为了帮助广大考生备考，查字典物理网为大家准备了中考物理复习指导，希望给大家带来帮助。

第一章 声现象知识归纳.声音的发生：由物体的振动而产生。振动停止，发声也停止。

2.声音的传播：声音靠介质传播。真空不能传声。通常我们听到的声音是靠空气传来的。

3.声速：在空气中传播速度是：340米/秒。声音在固体传播比液体快，而在液体传播又比空气体快。

4.利用回声可测距离：S=1/2vt

5.乐音的三个特征：音调、响度、音色。(1)音调:是指声音的高低，它与发声体的频率有关系。(2)响度:是指声音的大小，跟发声体的振幅、声源与听者的距离有关系。

6.减弱噪声的途径：(1)在声源处减弱;(2)在传播过程中减弱;(3)在人耳处减弱。

7.可听声：频率在20Hz～20000Hz之间的声波：超声波：频率高于20000Hz的声波;次声波：频率低于20Hz的声波。

8.超声波特点：方向性好、穿透能力强、声能较集中。具体应用有：声呐、B超、超声波速度测定器、超声波清洗器、超声波焊接器等。

9.次声波的特点：可以传播很远，很容易绕过障碍物，而且无孔不入。一定强度的次声波对人体会造成危害，甚至毁坏机械建筑等。它主要产生于自然界中的火山爆发、海啸地震等，另外人类制造的火箭发射、飞机飞行、火车汽车的奔驰、核爆炸等也能产生次声波。

第二章 物态变化知识归纳

1.温度：是指物体的冷热程度。测量的工具是温度计, 温度计是根据液体的热胀冷缩的原理制成的。2.摄氏温度(℃):单位是摄氏度。1摄氏度的规定：把冰水混合物温度规定为0度，把一标准大气压下沸水的温度规定为100度，在0度和100度之间分成100等分，每一等分为1℃。

3.常见的温度计有(1)实验室用温度计;(2)体温计;(3)寒暑表。

体温计：测量范围是35℃至42℃，每一小格是0.1℃。

4.温度计使用：(1)使用前应观察它的量程和最小刻度值;(2)使用时温度计玻璃泡要全部浸入被测液体中，不要碰到容器底或容器壁;(3)待温度计示数稳定后再读数;(4)读数时玻璃泡要继续留在被测液体中，视线与温度计中液柱的上表面相平。

5.固体、液体、气体是物质存在的三种状态。

6.熔化：物质从固态变成液态的过程叫熔化。要吸热。

7.凝固：物质从液态变成固态的过程叫凝固。要放热.8.熔点和凝固点：晶体熔化时保持不变的温度叫熔点。晶体凝固时保持不变的温度叫凝固点。晶体的熔点和凝固点相同。

9.晶体和非晶体的重要区别：晶体都有一定的熔化温度(即熔点)，而非晶体没有熔点。

11.(晶体熔化和凝固曲线图)(非晶体熔化曲线图)

12.上图中AD是晶体熔化曲线图，晶体在AB段处于固态，在BC段是熔化过程，吸热，但温度不变，处于固液共存状态，CD段处于液态;而DG是晶体凝固曲线图，DE段于液态，EF段落是凝固过程，放热，温度不变，处于固液共存状态，FG处于固态。

13.汽化：物质从液态变为气态的过程叫汽化，汽化的方式有蒸发和沸腾。都要吸热。

14.蒸发：是在任何温度下，且只在液体表面发生的，缓慢的汽化现象。

15.沸腾：是在一定温度(沸点)下，在液体内部和表面同时发生的剧烈的汽化现象。液体沸腾时要吸热，但温度保持不变，这个温度叫沸点。

16.影响液体蒸发快慢的因素：(1)液体温度;(2)液体表面积;(3)液面上方空气流动快慢。

17.液化：物质从气态变成液态的过程叫液化，液化要放热。使气体液化的方法有：降低温度和压缩体积。(液化现象如：白气、雾、等)

18.升华和凝华：物质从固态直接变成气态叫升华，要吸热;而物质从气态直接变成固态叫凝华，要放热。

定理与证明(一)初中数学教案 篇5

八年级数学下勾股定理的证明(二)教案

18.1 勾股定理(二) 教者：庞建国 时间：四月二十日 地点：八年级7班 教学目标 知识与技能 1.了解利用拼图验证勾股定理的方法。 2、掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 过程与方法 1、经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。 2、在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识。 情感态度与价值观 1、利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义教育。 2、经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣。 重点 经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。 难点 用不同的拼图方法证明勾股定理。 教具 小黑板，直角三角形，正方形 课时 总三课时 之 第二课时 教材 分析 勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 教法 分析 针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深的探究问题，引导学生自主探索，合作交流。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，有效地激发学生的思维积极性。基本教学流程是：新课引入DD探索研究DD证明新知DD巩固练习DD课时小结DD布置作业等六部分组成。 学法 分析 在教师的组织指导下，鼓励学生做好课前准备活动，采用自主探索，合作交流的研讨式学习方式，让学生积极思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。 教学过程 教学设计 与 师生行为 设计意图 第一步：课堂引入 问题：我们曾经学习过整式的运算，其中平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ;完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2 是非常重要的内容，谁还能记得当时这两个公式是如何推出的? 师生行为： 学生动手活动，分组操作，然后再组内交流。教师深入小组参与活动，倾听学生的交流并帮助指导学生完成任务。 教师应重点关注： (1)学生能否积极主动的参与活动; (2)学生能否利用拼图的方法，通过计算拼图的面积而得出两个公式的意义; (3)学生能否从这两个公式的几何意义联想到直角三角形的三边的关系是否也可以类似证明。 引入新课： 你能用上述方法证明上一节猜想的命题吗? 回忆前面的知识，由此得出用拼图的方法推证数学结论非常直观，上一节课已经通过数格子的方法大胆猜想出了一个命题：在直角三角形中，两条直角边的.平方和等于斜边的平方。但我们不能对所有的直角三角形一一验证，因此需从理论上加以推证，学生也许会从此活动中得到启示，采用类似拼图的方法证明。 第二步：探索研究 同学们先用自己的模具拼图，看能拼出那些几何图形，在黑板上展示个别同学的作品。然后分析能否用其中的一些图形来解决直角三角形三边之间的数量关系。 锻炼学生的动手能力。 第三步：证明新知： 方法一;(赵爽弦图) 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。 整体看：四边形ABCD是一个以直角三角形的弦(c)为边长的正方形，其面积为c2; S正方形=C 局部看：四边形ABCD是由四个直角三角形和一个正方形构成，其面积可表示为4×ab+(b-a)2.S正方形=2ab+(a-b) 方法二：总统证法 (伽菲尔德(1831∽1881)，是美国第20任总统。他对数学怀有浓厚兴趣。1876年，当他还是议员的时候，发现了勾股定理的一种有趣证明：如图) 他是这样分析的，整体看：梯形ABCD的面积=(a+b)(a+b)=(a+b)2=a2+ab+b2; 局部看：梯形ABCD的面积=△AED的面积+△BEC的面积+△DEC的面积=ab+ab+c2. 比较上面两式便可得到 a2+b2=c2. 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法. 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统，后来人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法. 方法一：进一步了解勾股定理的发展历史，体现出中国古代的学者对勾股定理的研究，希望同学们领略我国古代数学家的智慧。 方法二：对数学的研究是不受行业所限的，我们要全身心的投入到数学的研究中去，提高学生学习数学的主动性。 第四步：课堂练习用如图所示的方法证明勾股定理。 对本节课学过的方法做进一步的巩固，达到学以致用的目的。 第五步：课时小结 这节课你学到了哪些知识和方法? 师生行为： 学生小组讨论。教师巡视，对个别同学予以辅导。 知识：能够利用面积来说明勾股定理。 方法：拼图法在数学推理中的应用。 这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会。 第六步：作业布置 1.如图，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处。求AC间的距离. 2.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.3.若三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边长1cm，最长边长2cm.求：(1)这个三角形各角的度数;(2)另外一边长的平方. 4.如图，直角三角形三条边的比是3:4:5.求这个三角形三条边上的高的比. 5.如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：(1)FC的长;(2)EF的长. 第七步：板书设计： 一、回忆勾股定理内容。 二、用拼图法验证勾股定理。 三、课时小结。 课后反思 ：

定理与证明 篇6

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

2、重点、难点分析

重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．

（二）教学建议

1、四个注意

（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．

（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．

（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．

（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．

2、逐步渗透数学证明的思想：

（1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为„„，所以„„”句式，“如果„„，那么„„”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．

（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．

（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．

教学目标：

1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．

2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．

3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．

教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．

教学过程：

一、复习提问

1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？

2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）

3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）

二、例题分析

例

1、证明：两直线平行，内错角相等．

已知：a∥b，c是截线．

求证：∠1＝∠2．

分析：要证∠1＝∠2，只要证∠3＝∠2即可，因为

∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，易得出∠3＝∠2．

证明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．

例

2、证明：邻补角的平分线互相垂直．

已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求证：OE⊥OF．

分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

证明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定义）．

三、课堂练习：

1、平行于同一条直线的两条直线平行．

2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

四、归纳小结

主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．

五、布置作业

课本P143

5、（2）,7.六、课后思考：

1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？

定理与证明(一)初中数学教案 篇7

在全国高等学校教学研究中心组织的“科学思维、科学方法在高校数学课程教学创新中的应用与实践”活动的背景下, 内蒙古科技大学投百万巨资启动了一项具有应用型大学特色的理科教学基地建设工程, 高等数学作为大学数学基础课程的重要课程之一当然在建设之列.在建设过程中发现, 数学证明的教学内容、体系与方法的改革不仅是争议最多而且也是难度最大的问题之一.

从培养创新人才的目标看, 在数学证明教学过程中既要给出命题的真假依据, 又要启发学生更深刻地理解命题, 还要导致发现.这就需要突破传统教学中对数学证明的观念, 创造数学证明教学的高附加值, 即文化价值和思维价值.因此, 证明教学的目标是训练和培养学生的逻辑和非逻辑的思维能力.为了实现这一目标, 在科学思维、科学方法的精神指导下, 在已有的教学成果基础上, 对微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计, 探究一种以教学过程和内容建设为核心的教学模式.

二、Rolle分项

(1) 在有界闭区域D上连续;

则在D内至少有一点ξ, 使得gradf (ξ) =0.

只需简单地把定理中的函数拆分为两个函数的差, 即F (x) =f (x) -g (x) , 就得到下面的推论:

(1) 在有界闭区域D上连续;

推论1的几何意义是:两片连续光滑的曲面, 只要能够上下平移使其边界重合, 那么在D内至少存在一点使两片曲面上对应的点处有平行的切平面.

(2) 在线段]x1, x2[内具有连续偏导数;

(3) f (x1) =f (x2) ,

则在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得gradf (ξ) T[x2-x1]=0.

同理可由推论1得到:

(2) 在线段]x1, x2[内具有连续偏导数;

则在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

三、方案设计

根据推论3, 可进行如下教学设计.

1.启发学生发现Lagrange中值定理

在推论3中, 取g (x) =cTx+d, 则结论变为在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

2.启发学生发现Cauchy中值定理

由推论3知, 在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

四、结语

上述教学模式的创新点是把微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计.期望效果是:不仅使学生对微分中值定理的学科结构和本质属性有更深刻的理解, 而且能够提高学习效率、扩展学生视野、拓宽应用领域[5].进行这样的尝试, 确实有其教育价值和现实意义.

摘要：数学证明教学的内容、体系与方法对培养创新人才具有重要作用.在科学思维、科学方法的指导下, 按照培养创新人才的目标要求, 在已有的教学成果基础上, 对微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计, 探究一种以教学过程和内容建设为核心的教育教学新模式.

关键词：教学模式,数学证明,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理

参考文献

[1]王申怀.数学证明的教育价值[J].课程·教材·教法, 2000 (5) :24-26.

[2]熊惠民, 虞莉娟.从数学证明的二重性看其教育价值[J].数学教育学报, 2007, 16 (1) :17-20.

[3]同济大学数学系.高等数学 (第六版) 上册[M].北京:高等教育出版社, 2007:128-133.

[4][苏]卡尔塔谢夫, 罗吉斯特维斯基.数学分析[M].曹之江, 倪星堂, 译.呼和浩特:内蒙古大学出版社, 1991:123-123.

勾股定理与几何证明答案 篇8

练习

一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高.证明：（1）CD2ADBD

（这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果）（2）

练习

二、将勾股定理应用于四边形

1、四边形ABCD的对角线为AC和BD.（1）证明：若ACBD，则AB2CD2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d.求证：2abcd4.假设MNPQ分别将正方形ABCD的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 ∵MNPQ都在正方形ABCD的四个边上，所以有四个直角三角形∴a²+b²+c²+d²=m1²+m2²+n1²+n2²+p1²+p2²+q1²+q2²∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）∴a²+b²+c²+d²=m1²+(1-m1)²+n1²+(1-n1)²+p1²+(1-p1)²+q1²+(1-q1)²整理之后得到：a²+b²+c²+d²=2*(m1-1/2)²+1/2+2*(n1-1/2)²+1/2+2*(p1-1/2)²+1/2+2*(q1-1/2)²+1/2=2*[(m1-1/2)²+(n1-1/2)²+(p1-1/2)²+(q1-1/2)²] + 2m1、n1、p1、q1的长都是最大为1最小为0它们都等于1/2时值最小，都等于1时值最大那么a²+b²+c²+d²的最小值就是2，最大值就是4

222221AC21BC21CD2

ADBC；

22练习

三、勾股定理结合图形变换

1、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，CD＝2，求△ABC的面积。

证明：

分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形，根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，则BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x-2）2+（x-3）2=52，解得：x=6；

4、已知,如图在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证: BC2AB2BD2

证明：连结AC, 因为AD=DC,∠ADC=60° 则△ACD是等边三角形.过B作BE⊥AB,使BE=BC, 连结CE,AE则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60° ∴△BCE是正三角形, 又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60° ∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60° ∴∠ACE=∠DCB又DC=AC,BC=CE 所以△DCB≌△ACE 所以AE=BD 在直角三角形ABE中AE2AB2BE2

定理与证明(一)初中数学教案 篇9

一、选择题

1.下面叙述正确的是()

①归纳推理是由部分到整体的推理②归纳推理是由一般到一般的推理③演绎推理是由一般到特殊的推理④类比推理是由特殊到一般的推理⑤类比推理是由特殊到特殊的推理

A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤

2.由①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是()

A.正方形的对角线相等B.矩形的对角线相等C.正方形是矩形D.以上均不正确

3.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()

A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形

4.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b∥平面α,直线a平面α,则直线b∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为()

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

二、填空题

4.(1)在演绎推理中,只要___________________是正确的,结论必定是正确的.(2)用演绎法证明y＝x2是增函数时的大前提是_________________________.(3)由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是____________________

x5．已知：f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)f(fn1(x))(n>1且n∈N*)，则f3(x)的表达式1－x

为____________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．x/(1-3x)

16．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，2根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝________.1/3r(S1+S2+S3+S4)

7、若数列an是等差数列，对于bn1(a1a2an)，则数列bn也是等差数列。类n

比上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于dn0，则dn=时，数列dn也是等比数列。

8.在平面几何里,有勾股定理“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2＝BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则________________.”

9．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么

这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．

已知数列{an}是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为______________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_________ 3,10．设f(x)，利用课本推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋„＋f(0)＋„＋f(5)＋f(6)的值为_______3√

2bn－am11．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；n－m

现已知等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则

n－mb可得到bm＋n＝________.a三．解答题

12．数列an满足Sn2nannN*。

（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想数列an的通项公式；

3313．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°.2

2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．

(2)设直线y＝-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|＝|EN|,求圆C的方程.14.已知函数f(x)＝x3－3ax，(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a＝1时，求证：直线4x＋y＋m＝0不可能是函数f(x)图象的切线．

15.已知函数f(x)

（II）若f(x)a2（I）若a1，证明f(x)没有零点； xlnx，21恒成立，求a的取值范围。2

16.设点C为曲线y2(x＞0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于x

定理与证明(一)初中数学教案 篇10

一、揭示数学结论的形成过程

数学结论的发现实际上经历了曲折的猜想、试验、归纳等一系列探索过程, 这个过程是发现者的思维过程。教学时, 根据学生认知的特点和要求, 有选择地进行数学命题的再发现——引导学生重复或模拟结论的发现过程, 这不仅使学生了解原理结论的由来, 强化对命题具体内容的理解和记忆, 而且可以充分发挥学生学习的主观能动性, 培养学生科学发现的能力。

运用奥苏伯尔关于学科和认知结构的组织的假设及其“先行组织者”技术, 以理育情, 以趣激情, 使学生带着积极的情感去学习, 增强学习动机, 丰富思维、记忆等认知功能活动。接着是呈现“组织者”, 把教学过程变成渴望不断探索真理的带有感情色彩的意向活动。通过各种合适的方式创设情境, 从特例出发, 使学生从不同的侧面来观察、归纳和猜想特例的共性, 为运用公式、定理奠定基础。

1. 从实际生活的角度

例如, 为了使学生发现“两点之间线段最短”这一性质, 可以提出如下问题:人们平时走路, 当遇到四边形一类的地形时, 一般愿意走“对角线”, 而不愿沿着“边”走, 这是什么道理?

2. 实验的角度

例如, 以三角形中位线定理教学为例, 让学生口答四边形类别, 动手顺次连结各类四边形各边中点, 当发现所得图形都是平行四边形时, 他们惊奇了, 兴奋了, 不知所以然, 产生了认知冲突, 这时提出研究课题, 进而探究三角形的中位线在方向与数量上的特性。使用《几何画板》, 设置了动态显示△ABC的∠ADE、∠ABC、中位线DE与第三边BC的测算值, 让学生观察、想象, 归纳得出了三角形中位线的性质———三角形的中位线平行于第三边, 并且等于第三边的一半。

3. 反例式的角度

由于某些知识的负迁移作用, 学生常常会产生错误的猜想, 甚至想当然地把错误的猜想当做正确的公式或定理使用。为了避免学生的错误, 可用引入反例的方法, 提出新问题。例如, 从批判积的乘方公式的特例“ (ab) 2=a2b2”想当然地得出“ (a+b) 2=a2+b2”的错误, 提出完全平方公式。

4. 过渡性的角度

由于数学的系统性很强, 数学中有不少公式或定理可从旧知识到新知识的过渡中去猜想而提出。如, 梯形概念的引入, 可设计如下变式题组:

(1) 如图, 若四边形ABCD是平行四边形, 你能得到哪些结论?

(2) 如图, 在CD上取点E, 连结BE, 沿BE将△BCE切去, 得到四边形ABED, 则四边形ABED还是平行四边形吗?为什么?

(3) 说明四边形ABED中各边之间的关系。

(4) 用文字语言叙述四边形ABED的特征。

从而得到梯形的定义:一组对边平行, 另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

二、揭示数学命题证明的探索过程

许多数学原理 (公式、定理等) 的推导、证明方法, 具有典型性, 往往代表了典型的解题方法和思想, 或者有益于学生对已学知识的深化巩固, 在实际教学中, 应将证明思路的探索过程尽可能地暴露在学生面前, 有的放矢地引导学生多角度探索思路, 多渠道推导公式、定理, 使学生在联系新旧知识、掌握正确的解题思路的同时, 逐步掌握分析问题和解决问题的思想方法。

1. 归纳探索

例如, 同底数幂的的公式推导, 可采取从特殊到一般的方式进行推导:23×22=

2. 实验探索

通过具体的直观实验 (剪纸、折叠、拼图、实物等) 对公式、定理进行推导。

例如, 三角形勾股定理的证明, 从a2+b2=c2引导学生联想到完全平方公式: (a+b) 2=a2+2ab+b2, 进而联想到完全平方公式的“面积”推导法, 再引导学生利用已准备好的几个全等的直角三角形拼图, 并利用拼图推导勾股定理。

在学生欢喜雀跃的小组合作后, 请学生代表展示拼图成果:

并请展示的同学解释图形的特点和如何推导。这里教师不失时机地指出:你们探索了5000多年前人类历史上的一个重大发现:勾股定理, 并用多媒体展示“勾股定理的发现和我国古代数学的伟大成就……”

在学生的探究过程中渗透了面积的割、补、拼等重要的数学思想方法, 在勾股定理的发现过程中, 学生用不同的拼图方法得出了不同的推导方法, 充分展示了学生自主建构新知识的过程。

3. 演绎探索

这是几何定理证明的最常用的方法, 证明时我们可变换观察角度, 进行一题多解的训练, 并对各种方法进行比较, 以增强学生的探索意识和创新能力。

例如等腰三角形的判定定理的证明可从以下途径进行:

已知:在△ABC中, ∠B=∠C, 试说明AB=AC的理由。

方法一:添顶角平分线AD, 说明△ABD≌△ACD;

方法二:添底边BC上的高AD, 说明△ABD≌△ACD;

方法三:添两底角的角平分线BE, CF, 先说明△BCE≌△CBF得BE=CF, 再说明△ABE≌△ACF;

方法四:添两腰上的高BE, CF, 先说明△BCE≌△CBF得BE=CF, 再说明△ABE≌△ACF;

方法五:不添辅助线, ∵∠A=∠A, BC=CB, ∠B=∠C, ∴△ABC≌△ACB, ∴AB=AC。

证法评价:方法五最简单, 但不易想到, 方法一、二简单且容易想到, 方法三、四较繁不宜提倡。

三、剖析命题特征, 进行语言变式

1. 对数学命题的语言互译

对几何定理的文字语言、图形语言、符号语言这三种数学语言进行互译, 符号语言译成文字语言后, 有助于弄清题意, 文字语言译成图形语言, 可以借助图形思考。对代数原理 (定理、公式等) 探求它们的几何意义, 从而培养学生“语言”转换能力和运用数形结合的思想, 提高分析问题、解决问题的能力。

例如:学了等腰三角形的判定定理后, 列成下表:

2. 分析数学命题的本质结构, 实现认知的具体化。

如认清公式、定理的条件与结论的制约关系, 它可以解决哪些方面的问题, 在某些复杂图形中识别和分解基本图形, 辨认变式图形等。

如运用直角三角形斜边上的中线定理可以证明线段的和、差、倍、分, 证明线段平行, 计算线段长度, 证明线段不等式等。具体应用时, 若题中有斜边的中点, 往往直接连结直角顶点与斜边中点应用直角三角形斜边上中线定理, 有时题中并无明确中点, 则应挖掘隐含条件, 寻找构造斜边的中点, 有时题中有中点, 却无完整的直角三角形, 则宜将直角三角形补充完整。

3. 命题的记忆

(1) 理解性记忆

例如, 30°、45°和60°的三角函数值的记忆, 可结合30°的直角三角形和等腰直角三角形的三边之间的关系来记忆, 有利于将机械记忆转化为理解记忆。

(2) 变通性记忆

例如将“完全平方公式”浓缩为口诀:“首平方, 尾平方, 两倍首尾中间放”等, 以形成深刻的印象, 帮助对公式的记忆。

(3) 系统性记忆

当要记忆的公式很多时, 可将这些公式进行逻辑整理抓住它们之间的内在联系, 将它们组织串联起来, 形成一个有序的知识网络, 便于记忆。

按逻辑关系进行整理记忆, 如垂径定理及推论的整理。

按功能进行整理记忆, 如有关圆的定理的整理。

需要指出, 数学原理的记忆离不开应用, 学而不用, 自然就记不住。

四、剖析命题结构, 进行变形变式

探求公式、定理的变形与推广形式, 充分体现公式、定理的转化和简化功能, 可以培养学生的应变能力和简捷思维、快速解题的能力。

例如, 完全平方公式的变式设计:

完全平方公式: (a+b) 2=a2+2ab+b2; (a-b) 2=a2-2ab+b2。

其变式为:

变式练习:

1. 已知:a+b=3, ab=1, 求: (1) (a-b) 2; (2) a2+b2。

2.已知:a-b=3, ab=1, 求: (1) (a+b) 2; (2) a2+b2。

3. 已知:a+b=1, a2+b2=3, 求ab。

4. 已知:a-b=1, a2+b2=3, 求ab。

五、一式多变, 重视命题的运用内化过程

根据现代认知学习论, 程序知识或智慧技能学习一般要经历三个阶段, 其发展的最后阶段是通过变式训练来实现操作技能的自动化。学校心理学指出:通过知识的应用, 既能够加深理解知识和促进知识的保持, 还可以形成一定的技能。

仍以“三角形的中位线”为例, 在三角形中位线性质的剖析及简单的直接计算应用后, 出示:

问题1:已知四边形ABCD中, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。

利用《几何画板》对例题作如下变式:

问题2: (1) 当对角线AC、BD垂直, 四边形EFGH是什么四边形?为什么?

(2) 当对角线AC=BD时, 四边形E-FGH是什么四边形?为什么?

问题3: (1) 如果四边形ABCD是矩形, 四边形EFGH的形状如何?

(2) 如果四边形ABCD是菱形, 四边形EFGH的形状如何?

(3) 如果四边形ABCD是正方形, 四边形EFGH的形状如何?

从问题1到问题3, 把课本上的一道例题变成一系列开放性问题, 引导学生观察思考, 猜想论证, 探究创新, 从中训练学生的思维, 培养他们的能力。

在推理论证后, 安排了一道实际测量问题:

问题4:有一条不能跨越的河流, 现需测量对岸两建筑物之间的距离, 请同学们设计一个测量方案。

由于学生已有前面的探索, 对三角形的中位线的性质有了正确的理解, 因此对这个实际问题很多学生能较快地联想到了三角形的中位线, 从而先去构划三角形, 利用三角形的中位线定理去解决问题。

又如“平方差公式”这一原理的掌握可从以下题组着手:

(1) 模仿练习。 (略)

(2) 辨别练习。下列各题能否运用平方差公式进行化简:

(3) 灵活应用练习。化简:

(4) 实际运用练习。计算:

(5) 变式运用练习。计算:

(2) 9972;

注:以上各练习目标的完成, 可视学生认知水平用1到2节课达成。

在数学公式、定理的教学中, 通过过程性的变式, 引导学生大胆猜想、有效探索, 克服思维定势, 激励思维的创造性, 找到解决问题的最佳方案, 使学生不仅学到新知识, 而且更重要的是培养他们的探索精神, 并逐渐掌握学习新知识的方法。

参考文献

[1]张四保.候永新.初中数学课堂教学课型.吉林大学出版社.2008年3月第1版

[2]郑洁.数学教学中如何暴露学生的思维过程.中小学数学 (初中教师版) .2003年第1￣2期

初中数学《勾股定理》教案 篇11

勾股定理是揭示三角形三条边数量关系的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它是解直角三角形的主要依据之一，同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又用于生活”正是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象;通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。

本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。

[教学目标]

一、知识与技能

1、探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理，发展几何思维。

2、应用勾股定理解决简单的实际问题

3学会简单的合情推理与数学说理

二、过程与方法

引入两段中西关于勾股定理的史料，激发同学们的兴趣，引发同学们的思考。通过动手操作探索与发现直角三角形三边关系，经历小组协作与讨论，进一步发展合作交流能力和数学表达能力，并感受勾股定理的应用知识。

三、情感与态度目标

通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣;在探究活动中，学生亲自动手对勾股定理进行探索与验证,培养学生的合作交流意识和探索精神，以及自主学习的能力。

四、重点与难点

1探索和证明勾股定理

2熟练运用勾股定理

[教学过程]

一、创设情景，揭示课题

1、教师展示图片并介绍第一情景

以中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头为引，介绍周公向商高请教数学知识时的对话，为勾股定理的出现埋下伏笔。

周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度.夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出?”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘.得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”

2、教师展示图片并介绍第二情景

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在25以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。

二、师生协作，探究问题

1、现在请你也动手数一下格子，你能有什么发现吗?

2、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?

3、你能得到什么结论吗?

三、得出命题

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。解释： 由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的边称为股，斜边称为弦，所以，把它叫做勾股定理。

四、勾股定理的证明

赵爽弦图的证法(图2)

第一种方法：边长为 的正方形可以看作是由4个直角边分别为 、，斜边为 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为 的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式 ，化简得 。

第二种方法：边长为 的正方形可以看作是由4个直角边分别为 、，斜边为 的

角三角形拼接形成的(虚线表示)，不过中间缺出一个边长为 的正方形“小洞”。

因为边长为 的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式 ，化简得 。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

五、应用举例，拓展训练，巩固反馈。

勾股定理的灵活运用勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗?试一试。

例题：小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

六、归纳总结

1、内容总结：探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，利于勾股定理，解决实际问题

2、方法归纳：数方格看图找关系，利用面积不变的方法。用直角三角形三边表示正方形的面积观察归纳注意画一个直角三角形表示正方形面积，再次验证自己的发现。

七、讨论交流

让学生发表自己的意见，提出他们模糊不清的概念，给他们一个梳理知识的机会，通过提示性的引导，让学生对勾股定理的概念豁然开朗，为后面勾股定理的应用打下基础。

初中勾股定理教案 篇12

2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题

教学重点：平行四边形的判定方法及应用

教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用

引

小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗?

二.探

阅读教材P44至P45

利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：

(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?

(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?

(3)你能说出你的做法及其道理吗?

(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?你能用文字语言表述出来吗?

(5)你还能找出其他方法吗?

从探究中得到：

平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证一证

平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

证明：(画出图形)

平行四边形判定方法2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

证明：(画出图形)

三.结

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

四.用

【例题】

例、已知：如图所示，在ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形.

【练习】

1、已知：四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，

需要增加条件 .(只需填上一个你认为正确的即可).

2、如图所示，在ABCD中，E,F分别是对角线BD上的两点，

且BE=DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简单的方法

是根据 来证明.

作业P46练习1、2题

板书设计

平行四边形的性质

定理：平行四边形的性质 例题 练习