圆中常见辅助线专题

圆中常见辅助线专题（共4篇）

圆中常见辅助线专题 篇1

等腰三角形

1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；

2.作一腰上的高；

3过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行边

2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线

3.平行于两条斜边

4.作两条垂直于下底的垂线

5.延长两条斜边做成一个三角形

菱形

1.连接两对角

2.做高

平行四边形

1.垂直于平行边

2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3.做高——形内形外都要注意

矩形

1.对角线

2.作垂线

很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?

①见中点引中位线，见中线延长一倍.在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有

1、过上底的两端点向下底作垂线

2、过上底的一个端点作一腰的平行线

3、过上底的一个端点作一对角线的平行线

4、过一腰的中点作另一腰的平行线

5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交

6、作梯形的中位线

7、延长两腰使之相交

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线

一．

添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

二．

基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

作辅助线的方法

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

初中几何辅助线

一 初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线.也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

三 由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，四 由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

（三）、由中线应想到延长中线

（四）、直角三角形斜边中线的性质

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

五 全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

六 梯形的辅助线

口诀：

梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

圆中常见辅助线专题 篇2

一、与直径有关的辅助线

题中有直径或可以作出直径时,常作出直径所对的圆周角(直角),构造直角三角形中的射影模型;或把与直径垂直的线段补成弦,构造垂径、相交弦.

例1如图1,AB是圆0的直径,AC、AF是弦,弦CF与AB交于E,CD⊥AB于D,CD交AF于G.求证:AC2=AG·AF.

思路1:由求证式寻找相关的相似三角形,为此,构造垂径来证明.

证法1:如图2,延长CG交圆0于H.因为AB⊥CH,所以则∠ACG=∠ACH=∠AFC.

又∠CAG=∠FAC,所以△ACG∽ΔAFC.

所以,即AC2=AG·AF.

思路2:由AC2联想到射影定理,再寻找与乘积式相关的相似三角形,为此,构造直角三角形.

证法2:如图2,连结BC、BF.由AB是直径,得RtΔABC、Rt△ABF又CD⊥AS,则AC2=AD·AB.

易见RtΔADG∽RtΔAFB,则,即AD·AB=AG·AF.

所以AC2=AG·AF.

点评:证法1补出弦,利用垂径定理是关键;证法2构出直角三角形,利用射影定理是关键,以下再用相似三角形即可.

例2如图3,设△ABC的外心是O,垂心为H,M为BC中点,AD为高.求证:.

分析:如图3,作出直径BN,易证.那么只要证NC=AH,即证AHCN.

证明:由点B引出直径BN,连结NC、AN、CH,可知NC⊥BC.

又OM⊥BC,AH⊥BC,则,且NC//AH.同理由AN⊥AB,HC⊥AB,得AN//HC.所以四边形AHCN是平行四边形,AH=NC.从而得.

点评:本题中作出直径BN是关键.本题进一步还可证AM被OH分成两段之比为2:1,即AM与OH的交点是△ABC的重心.因此,可得得到一个重要结论:三角形的外心、重心、垂心共线.

二、构造圆的内接四边形

利用四点共圆构造出圆,或利用圆上四点构造出圆内接四边形,然后用圆内接四边形的性质解题.

例3已知ΔABC的两条高BE与CF相交于H,求证:AH⊥BC.

证明:如图4,连结EF,因为BE⊥AC,CF⊥AB,所以B、C、E、F四点共圆,并且A、F、H、E也四点共圆.

所以∠HAC=∠CFE=∠CBE.

而∠CBE+∠ACB=90°,所以∠HAC+∠ACB=90°,从而AH⊥BC.

点评:本例的事实即三角形的重心定理:三角形的三条高相交于一点.

例4如图5,圆0中的弦FA⊥弦DC,延长后相交于G,直径BA与弦DC延长后交于E.求证:(1)∠BAD=∠CAG;(2)AC·AD=AE·AF.

分析:(1)连结BD,利用直角△ABD及圆内接四边形ABDC.(2)可证与乘积式相关的ΔADE∽ΔAFC.ΔADE∽ΔAFC.

证明:(1)连结BD,由AB是直径,知∠ADB=90°,∠B+∠BAD=90°.由圆内接四边形ABDC,知∠B=∠ACG.

由AG⊥CE,知∠ACG+∠CAG=90°.从而得∠BAD=∠CAG.

(2)连结CF,由∠DAC+∠CAG+∠GAE=∠DAC+∠BAD+∠BAF,得∠DAE=∠FAC.又∠ADC=∠AFC,所以ΔADE∽ΔAFC.所以,即AC·AD=AE·AF.

三、利用圆的切线

如果图中有圆的切线,或作出圆的切线后,可以利用切线长、弦切角、切割线定理来解题.

例5如图6,AB是半圆的直径,弦AC与弦BD相交于E,又过点C、D的两条切线交于点P,连结PE,证明:PE⊥AB.

分析:延长AD、BC交于Q,可知E是△ABQ的重心,那么只要证明点P在QE上.

证明:连结AD、BC,并延长后交于点Q,连结QE.

由AB是直径,知AC⊥BQ,BD⊥AQ,则E是ΔABQ的垂心,因此QE⊥AB.由DP是切线,得∠PDB=∠DAB.

而∠DAB+∠DQE=90°,∠DEQ+∠DQE=90°,所以∠DAB=∠DEQ,即∠PDE=∠DEQ.因此直线DP过RtΔDEQ斜边QE的中点.

同理可证CP也过QE的中点,则P在QE上,从而PF⊥AB.

点评:本例发掘出E是△ABQ的垂心是关键;而证明PE与QE重合,采用的是同一法.

例6如图7的两个同心圆,P、Q两点在大圆上,过P、Q分别作小圆的割线PAB、QCD.求证:PA·PB=QC·QD.

图7分析:由求证式中线段积的特点,联想到圆的切割线,因此可引小圆的切线.

证明:引大圆的弦PF、QH,分别切小圆于E、G,连结OE、OG,则OE垂直平分PF,OG垂直平分QH.又OE=OG,所以PE=QG.

由切割线定理得PA·PB=PE2,QC·QD=QG2,

从而PA·PB=QC·QD.

点评:本例巧引两条切线,既呈现垂径,又构造出切割线的模型,这是本题获解的关键.

四、构造相交弦

把圆中的线段延长,补成弦,或补成割线,以使应用相应定理.

例7一个半径为cm的圆形工件,切去一个直角∠ABC后,量得AB=6 cm,BC=2cm,求点B到圆心0的距离.

分析:补足图形(如图&),只要求出未知线段OF、OG,这可用垂径、直角三角形,相交弦来解决.

解:延长AB、CB,分别交圆于D、E,作OF⊥AD于F,OG⊥CE于G.

设OF=x,OG=y,则AF=FD=6-y,BD=6-2y,EG=GC=2+x,BE=2+2x.由Rt△AOF有

由相交弦定理有AB·BD=CB·BE,即

联立①②解得x=5,y=1.所以(cm)

例8如图9,线段PC⊥直径AB于C,PT切圆O于T.设AB=6,PC=5,当点C在半径OA上移动时,求PT长的最大值和最小值.

分析:求切线PT的长,可转化为切割线的模型,这可延长PC补成弦,既出现割线又出现垂径.

解:延长PC,补成弦DE,则由切割线定理得PT2=PD·PE.又由AB⊥DE,得CD2=AC·BC.

而PD=PC-CD,PE=PC+CE=PC+CD,

所以PT2=(PC-CD)(PC+CD)=PC2-CD2=25-AC·BC.

由于点C在AO上移动,可设AC=x(0≤x≤3),则BC=6-x.AC·BC=6x-x2.

所以PT2=x2-6x+25=(x-3)2+16(其中0≤x≤3).

所以当x=0时,即点C位于点A处,PT取得最大值5;当x=3,即点C位于圆心0处时,PT取得最小值4.

点评:本例延长PC补成弦是解题的突破口,这为解题创造了诸多条件,得以顺利进行.由于点C是动点,因此引入变量,转化为用函数求最值.

下面给出一组练习题

1. 如图10,AB、AC切圆于B、C,P是圆弧BC上一点,PD、PE、PF分别垂直BC、CA、AB于D、E、F,求证:PD2=PE·PF.

2. 如图11,ΔABC内接于圆0,AD平分外角∠FAC,交圆O于E,交BC延长线于D.求证:AB·AC=AD·AE.

3. 如图12,△ABC中,∠B=90°,点O在AB上,以O为圆心,OB为半径的圆与AC相切于D,与AB交于E,ED与BC延长后交于F.若AD=2AE.求tan∠F的值.

4. 如图13,正方形ABCD中,M为AB上一点,为BC上一点,且BM=BN,作BP⊥MC于P,求证:DP⊥NP.

5. 如图14,ΔABC内接于圆O,AB是圆0的直径,PA是过点A的直线,∠PAC=∠B.

(1)求证:PA是圆0的切线;

圆中常用的辅助线添法 篇3

一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径），或连结过弦的端点的半径.

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，再根据勾股定理求有关量.

例1 如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D二点.求证：AC=BD.

证明：过O作OE⊥AB于E，

∵O为圆心，OE⊥AB，

∴AE=BE，CE=DE，

∴AC=BD.

例2 如图2，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：[AC]=[BD].

证明：连结OC，OD，

∵M，N分别是AO，BO的中点，AO=BO，

∴OM=ON，

又CM⊥OA，DN⊥OB，OC=OD，

∴Rt△COM≌Rt△DON，

∴∠COA=∠DOB，

∴[AC]=[BD].

例3 如图3，已知M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM.

证明：连结OM，ON，MN，

∵O为圆心，M，N分别是弦AB，CD的中点，

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵AB=CD，

∴OM=ON，

∴∠OMN=∠ONM，

∵∠AMN=90°-∠OMN，∠CNM=90°-∠ONM，

∴∠AMN=∠CNM.

二、当题目已知直径时，常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形；当题目已知有90°的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端，利用圆周角的性质得到直径.

例4 如图4，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于D，求证：AC=DC.

证明：连结AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADP=90°，

又AC=PC，

∴AC=CD=[ 1

2 ]AP.

三、遇到等弧时，常作的辅助线有这么几种：①作等弧所对的弦；②作等弧所对的圆心角；③作等弧所对的圆周角.

例5 如图5，已知在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=[ 1

2 ]AD.

证明：作直径CF，连结DF，BF，AD，

∵CF为⊙O的直径，

∴CD⊥FD，

∵CD⊥AB，

∴AB∥DF，

∴[AD]=[BF]，

∴AD=BF，

又OE⊥BC，且O为圆心，CO=FO，

∴CE=BE，

∴OE=[ 1

2 ]BF=[ 1

2 ]AD.

四、遇到题目中已知有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点），利用切线的性质定理，得到直角或直角三角形.

例6 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD的长.

解：连结OE，则OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

∴[ OE

BC ]=[ AO

AB ]，

∵AO=AB-OB，OB=OE

∴[ OE

BC ]=[ AB-OE

AB ]，

在Rt△ABC中，AB=[AC2+BC2] =[122+92] =15，

∴[ OE

9 ]=[ 15-OE

15 ]，

解得OE=[ 45

8 ]，

∴BD=2OB=2OE=[ 45

4 ]，

∴AD=AB-DB=15-[ 45

4 ]=[ 15

4 ].

答：AD的长为[ 15

4 ].

五、遇到需要证明某一直线是圆的切线时，

①当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；

例7 如图7，点P是⊙O的弦CB延长线上的一点，点A在⊙O上，且∠BAP=∠C.求证：PA是⊙O的切线.

证明：作⊙O的直径AD，连结BD，则∠C=∠D，∠ABD=90°，即∠D+∠BAD=90°，

∴∠C+∠BAD=90°，

∵∠C=∠BAP，

∴∠BAD+∠BAP=90°.

即PA⊥DA，所以PA为⊙O的切线.

②如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.

例8 如图8，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB，求证：直线L与⊙O相切.

证明：过O作OE⊥L于E，

∵O是AB的中点，且AC∥BD∥OE，

∴OE是梯形ACDB的中位线，

∴OE=[ 1

2 ]（AC+BD），

又AC+BD=AB，

∴OE=[ 1

2 ]AB.

∴OE是⊙O的半径，

∴直线L是⊙O的切线.

六、当圆上有四点时，常构造圆内接四边形.

例9 如图9，△ABC内接于⊙O，F是BA延长线上的一点.直线DA平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC=AD·AE.

证明：连结BE，

∵∠1=∠3，∠2=∠1，

∴∠3=∠2，

∵四边形ACBE为圆内接四边形，

∴∠ACD=∠E，

∴△ABE∽△ADC，

∴[ AE

AC ]=[ AB

AD ]，

∴AB·AC=AD·AE.

圆中的基本图形和常见数学思想 篇4

圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。所以学生遇到圆的综合题往往觉得相当吃力。针对这种情况，笔者一直在考虑如何突破圆的教学难关，让学生对圆不再望而生畏，并且提高解题能力。

教师有必要把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。让他们熟悉圆中常用的数学方法。笔者归纳了以下几个方面的内容，概述如下。1 圆中基本图形主要有 这个图形中涵盖了：

１、垂径定理及其推论；

２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；

３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系； ４、直径所对的圆周角是直角 这个图形中涵盖了：

１、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角，２、相似关系;３、割线定理

这个图形中涵盖了：

１、弦切角等于所夹弧所对的圆周角，２、相似关系;３、切割线定理 这个图形中涵盖了：

１、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等 ２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍 这个图形中涵盖了：

１、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。

２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等 ３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系，４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系 这个图形中涵盖了：

１、同弧所对的圆周角相等，２、相似关系，３、相交弦定理

这个图形中涵盖了：

１、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径 ２、相似关系，射影定理，３、直角三角形的外心在斜边的中点

４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半

这个图形中涵盖了： １、连心线垂直平分公共弦 ２、圆的对称性

这个图形中涵盖了:

等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了:

正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了:

正六边形的内切圆半径、外接圆半径、正六边形的边长三者的比例关系。

以上基本图形中蕴涵了圆和四边形.三角形中众多的知识点,教师在教学过程中应当提醒学生关注这些图形的特点,并针对性地训练学生去发现和识别基本图形.另外为了得到基本图形,有时需要我们添加辅助线.圆中常见辅助线有: 1.已知直径时,常构造直径所对的圆周角.2.连接半径或者作弦心距, 构造直角三角形,为用垂径定理或者勾股定理创造条件.3.与切线有关的问题也常常连接圆心和切点, 构造直角三角形.4.两圆的问题中常常连接两个圆心或者连接两圆的交点.5.需要转化角度的时候，常作弦构造同弧所对的圆周角

做辅助线是解决圆中问题常用的方法，一条恰当的辅助线可以达到柳暗花明又一村的效 果，可以事半功倍，将问题迎刃而解。所以多让学生体会辅助线的做法，发动他们自己总结。初中数学教师的任务是教会学生思考,善于思考,古语有云:学而不思则罔,思而不学则贻,当然,强化思维训练对培养和提高学生的创新能力和水平,也是大有帮助的.所以除了让学生掌握基本图形之外,还需要在教学过程中渗透数学思想方法.因为只有学生掌握了数学的思想方法,才是掌握了数学的精髓..数学的知识点会随着时间慢慢地遗忘。但是数学的思想方法一旦学生掌握之后就很难遗忘并且会让学生终生受益。数学说穿了就是一种思维训练，只要数学思维能力强的人就会比较轻松地解决数学问题。我们要培养的不是只会计算的学生，而是会学习会思考会探究问题的学生。为了达到这个目的，我们应当把对学生的思维训练放在教学的首位。圆中常用的数学方法有

1.设未知数建构方程，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，利用勾股定理，三角函数，比例线段解决问题，这不仅仅是解决圆中计算题常用的方法，其实也是解决几何问题常用的方法。2.转化的思想：

例如： 证明线段相等 证明角相等

利用全等三角形 利用相似三角形或者全等三角形 找中间量 找中间量

利用同弧或者等弧 利用互余或者互补的角转化

利用中点或者中位线 利用同弧或者等弧

利用线段的垂直平分线 利用平行线的性质

利用对称性 利用角平分线或者对顶角的性质

转化的思想是数学中极其重要的思想方法，把未知量转化为已知量，把新问题转化为已经解决的问题，把不规则图形转化为规则图形，把一般情况转化为特殊情况，把线段相等转化为角相等。。。可以这么说，处处都可以用到转化的思想。3.分类讨论的思想，这是解决圆中问题经常运用到的方法。遇到需要自己画图解决的问题中常要考虑分类的方法，遇到动点，动弦的问题时也常常要考虑分类解决。还有在两个三角形相似但对应关系不确定的时候往往也要考虑多种情况。两圆相切时要考虑外切和内切；求弓形面积的时候要考虑优弧还是劣弧所对应的弓形。分类讨论是学生容易忽视的，但是只要经过专题训练和意识强化，学生会逐渐掌握这种重要的思想方法。

4.从特殊到一般的思想。在证明有些结论的时候，如果感觉无从下手，可以把特殊情况 下的图形画出来后证明此结论，然后再通过作辅助线把原图形转化为特殊情况下的图形进行证明。

5.数形结合的思想，就是能把图形和对应的数量关系紧密地联系起来。这样可以非常形象地记忆知识点，也可以全面把握图形的特征和性质。

比如说,看见以下图形就分别与三种数量关系联系在一起: 直线与圆相离d〉r;直线与圆相切d=r;直线与圆相交d〈r.又例如,说起外离就联想到d〉R+r和图1．说起外切就联想到d=R+r和图2．说起相交就想起R-r〈d〈R+r和图３．

圆中的题需要反复练反复总结，教师要精选例题和训练题，并培养学生自觉总结一道题中的知识要点和数学思想的良好习惯。同时应该加强对学生学生发散思维能力的训练。培养学生学生发散思维能力的方法有：

1.变式训练。变换问题的条件和结论，引导学生进行多角度、多层次的思考。

2.多向思考训练。鼓励学生一题多解，多题一解。

另外，要想提高学生学习数学的兴趣，不被数学中的困难所吓倒，教师可以开展多种教学活动。比如手工操作，作图演示，合作交流，质疑探究，争当小老师。。。尽可能多给学生思考和表诉的机会，让同学们互相评议，积极探究最好的解题方法。一旦学生在合作交流中获得快乐和信心，就会逐渐对学习充满兴趣。

作为老师，应该不断给学生鼓励，让他们对圆的学习充满信心。告诉学生；只要用心体会，学习一定可以走上新的台阶。

以上是笔者结合工作实际总结出来的一些心得体会，不当之处敬请大家批评指正。

圆中的题需要反复练反复总结，教师要精选例题和训练题，并培养学生自觉总结一道题中的知识要点和数学思想的良好习惯。同时应该加强对学生学生发散思维能力的训练。培养学生学生发散思维能力的方法有：

1.变式训练。变换问题的条件和结论，引导学生进行多角度、多层次的思考。