用向量法证明海伦公式

2024-11-03

用向量法证明海伦公式（共5篇）

用向量法证明海伦公式篇1

用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行导学案

一、知识梳理



1、设直线l1和l2的方向向量分别是为v1和v2，由向量共线条件得l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2。

2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量v1、v2与平面a共面（图（2）），一条直线l的一个方向向量为v1，则由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a内存在两个实数x、y，使

v1＝xv1＋yv2。

3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量v1、v2与平面a共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a∥或a与重合v1∥且v2∥

4、点M在平面ABC内的充要条件

由共面向量定理，我们还可得到：如果A、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分

必要条件是，存在一对实数x、y，使向量表达式AMxAByAC成立。

对于空间任意一点O，由上式可得OM(1xy)OAxOByOC，这也是点M位于平

面ABC面内的充要条件。

知识点睛用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况。

（2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。

例1：如图3－28，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N

分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点。

求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′。

已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：MN∥BD，MN＝

[例2] 在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS 12BD。

在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.例3] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.变式应用

3如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AM＝DN.求证：MN∥平面BCE.堂巩固训练

→＝AB→，则点B应为1．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM

()

A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)

→2→，则C的坐标是2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC3

1410A．(2，－，331410B．(－2，－)33

14101410C．(2，－，－)D．(－2，－)3333

3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，→⊥AC→，则λ等于()若AB

A．λ＝28B．λ＝－28

C．λ＝14D．λ＝－14

4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝____.

用向量证明四点共面篇2

Op-OZ=n(OX-OZ)+m(OY-OZ)

即Zp=nZX+mZY

即p、X、Y、Z四点共面。

以上是充要条件。

如和通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面

A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。答案补充三点一定共面,证第四点在该平面内用向量,另取一点O如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1则有四点共面答案补充方法已经很详细了呀。4线平行线:两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点

面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0，且线不在平面内

三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0

四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为0

怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量Op=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，则p，A，B，C四点共面

简明地证明，网上的不具体，不要复制!

证明：由x+y+z=1→x向量OC+y向量OC+z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量Op

将上边两式相减得：向量Op-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)

即：向量Cp=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→p点必在平面ABC内。

故：A，B，C，p四点共面。

可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外一点可以确定1个平面)不防设ABC三点共面只需证明p点在这个平面上即可以下向量符号省去

证明：pA=BA-Bp

=OA-OB-(Op-OB)

=OA-Op

=OA-(a向量OA+b向量OB+c向量OC)

=(1-a)OA-bOB-cOC

=(b+c)OA-bOB-cOC

=bBA+cCA

到这里因为ABC已经确定了一个平面且pA=bBA+cCA

所以pA平行平面又A在平面内所以p点也在该平面内

用向量法证明海伦公式篇3

1、直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线或的向量，一条直线的方向向量有个。2.平面的法向量

直线l，取直线l的a,则向量a叫做平面的。

3、空间中平行关系的向量表示（1）线线平行与垂直

设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)，且a2,b2,c2≠0，则

l//mlm（2）设直线设直线l的方向向量为的法向量。

题型二利用向量方法证平行关系

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C//平面ODC

1【练习2】如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,∠BCF=∠CEF=90º, AD=3,EF=2,求证：AE//平面DCF.D

A a=(a1,b1,c1)，平面若的法向量为u=(a2,b2,c2),则l//。l（3）面面平行

设平面， 的法向量分别为u=(a1,b1,c1),F

题型三用向量方法证垂直关系

【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分

别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，v=(a2,b2,c2),则//

使得D1M⊥平面EFB1.；



题型一求平面的法向量【例

经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)，试求平面的一个法向量。

【练习1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CD的中点，求证：AE是平面A1D1F

【练习3】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥A1B,求证：AC1 ⊥A1B.1】已知平面

课时作业

一、选择题

1、已知A(3,5,2),B(-1,2,1)，把AB按向量a=(2,1,1)平移后所得的向量是 A.(-4,-3,0)B.(-4,-3,-1)C.(-2,-1,0)D.(-2,-2,0)2.平面的一个法向量为（1，2，0），平面的一个法向量为（2，－1，0），则平面与的位置关系是

A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.不能确定 3.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长AB=34,则B点坐标为

A.（－9，－7，7）B.（18，17，－17）C.（9，7，－7）D.（－14，－19，31）

4、已知a=（2，4，5）b=（3，x,y）分别是直线l1,l2的方向向量，若l1//l2，则 A.x=6,y=15B.x=3,y=C.x=3,y=15D.x=6,y=

1521

52B

C9、△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：平面DEA⊥平面ECA.10、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F(1)证明：PA//平面EDB;(2)证明：PB⊥平面EFD.5、若直线l的方向向量为a=(1,0，2,)，平面的法向量为u=(-2,0,-4),则

A.l//B.l ⊥C.lD.l与斜交

二、填空题

6、已知A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,-1，5),若|a|=3,且a ⊥AB, a ⊥AC,则向量a的坐标为

7、已知平面经过点O（0，0，0），且e=(1,1,1)是的法向量，M(x,y,z)是平面内任意一点，则x,y,z满足的关系式是。

三、解答题

8、如图，已知P是正方形ABCD平面外一点，M,N分别是PA,BD上的点，且PM:MA=BN:ND=5:8,求证：直线MN//平面PBC

用向量法证明海伦公式篇4

用公式法求解一元二次方程的教学反思

在这节课中，我首先复习了配方法，用配方法解了2道一元二次方程后，将配方法推广到一般化，进而解出一元二次方程的一般式的解，即求根公式就得到了。

本节课的设计符合学生的认知特点，从公式的推导、理解到应用，都切合学生的实际，通过让学生亲身经历公式的推导的全过程，加深对一些规律性的问题的认识与理解，课堂整体非常流畅，大部分学生能通过自主探究和合作学习推导出公式，并根据教师设计的问题完成本节课的学习，所以在教学过程中，应多给学生展示的机会，让学生走上讲台，让他们展示自己的聪明才智，激发他们的学习兴趣，并通过分析、引导和练习，使学生掌握用求根公式解一元二次方程的步骤和方法，提高学生的推理技能和逻辑思维能力，进一步发展学生合作交流的意识和能力。当然由于学生第一次接触求根公式，可以说非常陌生，所以在运用时容易出现以下错误：（1）a,b,c的符号出错，在方程中学生往往在找某个项的系数时丢掉前面的符号；（2）求根公式本身形式复杂，代入数值后出错很多。学生在解题的过程中往往会嫌麻烦而直接代入求根公式，其实在做题过程中把检验判别式这一步单独提出来做不但不麻烦，而且有助于后面的解答。在今后的教学中应注意详略得当，不该省的地方一定不能省，力求达到更好的教学效果。