几何证明选讲的感悟与教学启示

2024-10-23

几何证明选讲的感悟与教学启示（共4篇）

几何证明选讲的感悟与教学启示篇1

几何证明选讲

第二讲圆周角与弦切角

一．考纲要求

掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解圆周角定理及其推论；理解弦切角定理及其推论；

二．知识梳理

1.圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

2.圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

4.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

5.三角形的五心

(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。

(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。

(3)重心：三条中线的交点。性质：三条中线三等分点，到顶点距离为到对边中点距离2倍

(4)垂心：三条高所在直线的交点。

(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。性质：到三边的距离相等。

三．诊断练习

1、下列命题中错误的是()

（A）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行

（B）直线AB与⊙O相切于点A，过O作AB的垂线，垂足必是A

（C）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径

（D）圆的切线垂直于半径

2、图1中圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为．

3、如图2，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为．

4、如图3，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为

O · B A P O

图3 C 图

2-1-

四．范例导析

例1 AE是半圆的一条弦，C是弧AE的中点，弦AE交PC、CB于D、F。

CPAB于P求证：AD

例

2AP2CDAB是⊙O的直径，MN 切⊙O的直径与P，ADMN于D,求证：ADAB

例3如图所示，AB是圆O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交圆O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．

（1）求证：DE是圆O的切线；

（2）若

ACAB25，求AFDF的值．

五.巩固练习

1.(2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB

得BC57，C是圆上一点使，BACAPB，则AB.2.(2011年高考湖南卷理科11)如图，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为.3.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的两点．如果E460，DCF320，则A的大小为_________．

4.（2009·辽宁卷）已知ABC中，ABACAC上的，D是ABC外接圆劣弧点（不与点A，C重合），延长BD至E（如图所示）．

（1）求证：AD的延长线平分CDE；

（2）若BAC30，ABC中BC边上的高为23，求ABC外接圆的面积

几何证明选讲专题复习篇2

几何证明选讲专题复习

1、如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点。⑴证明：A、P、O、M四点共圆。⑵求∠OAM+∠APM的大小。

2、如图，BA是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，BF、BD是割线。证明：BE·BF=BC·BD3、△ABC内接于⊙O，AB=AC,直线MN切⊙O 于C，弦BD∥MN,AC、BD交于点E

⑴求证：△ABE≌△ACD⑵AB=6，BC=4，求AE4、如图所示，AB是⊙O 的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O 的切线，切点为H。

求证：⑴C、D、F、E四点共圆；⑵GH2=GE·GF.第 1页

5、如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E..⑴求证: AB2=DE·BC;

⑵若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长。

6、已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D。⑴求∠ADF的度数； ⑵若AB=AC，求AC/BC的值。

7、如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点。⑴求证：AD∥OC；⑵若⊙O的半径为1，求AD·OC的值。

8、在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

⑴求证：

⑵若AC=3，求AP·AD的值。

9、在平面四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD10、已知：直线AB过圆心O，交⊙O于AB，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC。

⑴求证：∠BAC=∠CAG;⑵AC2=AE·AF11、如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，绕点O逆时针旋转600到OD。

⑴求线段PD的长；

⑵在如图所示的图形中是否有长度为的线段？若有，指出该线段；若没有，说明理由。

12、如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C做圆的切线l，过A做l的垂线AD，AD分别与直线l，圆O交于点D，E。⑴求∠DAC；⑵求线段AE的长。

13、如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP,AD、2BC相交于E点，F为CE上一点，且DE=EF·EC.⑴求证： ∠P=∠EDF;⑵求证：CE·EB=EF·EP.14、如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D做圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

15、如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=300，则圆O的面积等于_____________。

16、如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，0PD=2a／3，∠OAP=30，则CP=______________。

17、如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若

平面几何证明选讲结业考试篇3

命题：朱明英审核：杨秀宇

一填空题（10×4=40）如图1，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为．如图2，PAB是⊙O的割线，AB=4，AP=5，⊙O的半径为6，则

图（天津卷理14）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PB1PC1BC=,=PA2PD3,则AD的值为如图4，已知⊙O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P，C是切点，过A的切线交PC于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半径．

C B

图3 图4

1二选择题（10×2=20）如图，⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA、PB的长分别为方程x212x240的两根，则此圆的直径为()

A．82B．6C．42D．

2⌒6 如图，⊙O的直径Ab垂直于弦CD，垂足为H，点P是AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四⌒⌒

个结论：①CH2=AH·BH；②AD＝AC：③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是()

A．1B．2C．3D．

4三解答题（10×4=40）

7如图，BC是半圆的直径，O为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．

(1)若∠B=30°，问AB与AP是否相等?请说明理由；

(2)求证：PD·PO=PC·PB；

(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的长．

8（全国Ⅰ新课标卷理）如图：已知圆上的弧AC等于弧BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD。

（Ⅱ）BC2BECD

9（辽宁卷理22）如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

（I）证明：ABE

ADC

S1ADAE

（II）若ABC的面积2，求BAC的大小。（2011全国新课标）（本小题满分10分）如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径。

填空题、选择题答题卡

一填空题（10×4=40）2 3 4