几何证明选讲的感悟与教学启示(共4篇)
几何证明选讲的感悟与教学启示 篇1
几何证明选讲
第二讲 圆周角与弦切角
一.考纲要求
掌握圆的切线的判定定理及性质定理;理解圆周角定理及其推论;理解弦切角定理及其推论;
二.知识梳理
1.圆周定理
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
2.圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.弦切角的性质
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
4.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
5.三角形的五心
(1)内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。性质:到三边距离相等。
(2)外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心。性质:到三个顶点距离相等。
(3)重心:三条中线的交点。性质:三条中线三等分点,到顶点距离为到对边中点距离2倍
(4)垂心:三条高所在直线的交点。
(5)旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。性质:到三边的距离相等。
三.诊断练习
1、下列命题中错误的是()
(A)过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行
(B)直线AB与⊙O相切于点A,过O作AB的垂线,垂足必是A
(C)若同一个圆的两条切线互相平行,则连结切点所得的线段是该圆的直径
(D)圆的切线垂直于半径
2、图1中圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则圆O的直径为.
3、如图2,AB是⊙O的直径,P是AB延长线上一点,PC切⊙O于点C,PC=3,PB=1,则⊙O的半径为.
4、如图3,已知AB是⊙O的弦,AC切⊙O于点A,∠BAC=60°,则∠ADB的度数为
O · B A P O
图3 C 图
2-1-
四.范例导析
例1 AE是半圆的一条弦,C是弧AE的中点,弦AE交PC、CB于D、F。
A
CPAB于P求证:AD
例
2AP2CDAB是⊙O的直径,MN 切⊙O的直径与P,ADMN于D,求证:ADAB
N
例3如图所示,AB是圆O的直径,AC是弦,BAC的平分线AD交圆O于点D,DEAC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.
(1)求证:DE是圆O的切线;
(2)若
ACAB25,求AFDF的值.
五.巩固练习
1.(2011年高考广东卷理科15)(几何证明选讲选做题)如图,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB
得BC57,C是圆上一点使,BACAPB,则AB.2.(2011年高考湖南卷理科11)如图,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则的AF长为.3.如图,EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上的两点.如果E460,DCF320,则A的大小为_________.
4.(2009·辽宁卷)已知ABC中,ABACAC上的,D是ABC外接圆劣弧点(不与点A,C重合),延长BD至E(如图所示).
(1)求证:AD的延长线平分CDE;
(2)若BAC30,ABC中BC边上的高为23,求ABC外接圆的面积
几何证明选讲专题复习 篇2
几何证明选讲专题复习
1、如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B、C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点。⑴证明:A、P、O、M四点共圆。⑵求∠OAM+∠APM的大小。
2、如图,BA是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,BF、BD是割线。证明:BE·BF=BC·BD3、△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O 于C,弦BD∥MN,AC、BD交于点E
⑴求证:△ABE≌△ACD⑵AB=6,BC=4,求AE4、如图所示,AB是⊙O 的直径,G为AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延长线于点F,过G作⊙O 的切线,切点为H。
求证:⑴C、D、F、E四点共圆;⑵GH2=GE·GF.第 1页
5、如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过点C作⊙O的切线,交BD的延长线于点P,交AD的延长线于点E..⑴求证: AB2=DE·BC;
⑵若BD=9,AB=6,BC=9,求切线PC的长。
6、已知C点在⊙O直径BE的延长线上,CA切⊙O于A点,∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D。⑴求∠ADF的度数; ⑵若AB=AC,求AC/BC的值。
7、如图所示,AB为⊙O的直径,BC、CD为⊙O的切线,B、D为切点。⑴求证:AD∥OC;⑵若⊙O的半径为1,求AD·OC的值。
8、在△ABC中,AB=AC,过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D。
⑴求证:
⑵若AC=3,求AP·AD的值。
9、在平面四边形ABCD中,△ABC≌△BAD.求证:AB∥CD10、已知:直线AB过圆心O,交⊙O于AB,直线AF交⊙O于A、F(不与B重合),直线l与⊙O相切于C,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连结AC。
⑴求证:∠BAC=∠CAG;⑵AC2=AE·AF11、如图,PA切⊙O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,绕点O逆时针旋转600到OD。
⑴求线段PD的长;
⑵在如图所示的图形中是否有长度为的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理由。
12、如图,⊙O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C做圆的切线l,过A做l的垂线AD,AD分别与直线l,圆O交于点D,E。⑴求∠DAC;⑵求线段AE的长。
13、如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,PBC为割线,弦CD∥AP,AD、2BC相交于E点,F为CE上一点,且DE=EF·EC.⑴求证: ∠P=∠EDF;⑵求证:CE·EB=EF·EP.14、如图,AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D做圆O的切线交AB的延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC。
15、如图,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=300,则圆O的面积等于_____________。
16、如图,AB、CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,0PD=2a/3,∠OAP=30,则CP=______________。
17、如图,⊙O的弦ED,CB的延长线交于点A,若
平面几何证明选讲结业考试 篇3
命题:朱明英 审核:杨秀宇
一 填空题(10×4=40)如图1,圆O上的一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则圆O的直径为.如图2,PAB是⊙O的割线,AB=4,AP=5,⊙O的半径为6,则
B
A
BO
图(天津卷理14)如图3,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PB1PC1BC=,=PA2PD3,则AD的值为如图4,已知⊙O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P,C是切点,过A的切线交PC于D,如果CD∶PD=1∶2,DA=2,那么⊙O的半径.
C B
图3 图4
1二 选择题(10×2=20)如图,⊙O的弦AB平分半径OC,交OC于P点,已知PA、PB的长分别为方程x212x240的两根,则此圆的直径为()
A.82B.6C.42D.
2⌒6 如图,⊙O的直径Ab垂直于弦CD,垂足为H,点P是AC上一点(点P不与A、C两点重合),连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F,给出下列四⌒⌒
个结论:①CH2=AH·BH;②AD=AC:③AD2=DF·DP;④∠EPC=∠APD,其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.
4三 解答题(10×4=40)
7如图,BC是半圆的直径,O为圆心,P是BC延长线上一点,PA切半圆于点A,AD⊥BC于点D.
(1)若∠B=30°,问AB与AP是否相等?请说明理由;
(2)求证:PD·PO=PC·PB;
(3)若BD:DC=4:l,且BC=10,求PC的长.
8(全国Ⅰ新课标卷理)如图:已知圆上的弧AC等于弧BD,过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点,证明:
(Ⅰ)ACE=BCD。
(Ⅱ)BC2BECD
9(辽宁卷理22)如图,ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
(I)证明:ABE
ADC
S1ADAE
(II)若ABC的面积2,求BAC的大小。(2011全国新课标)(本小题满分10分)如图,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根。
(Ⅰ)证明:C,B,D,E四点共圆;
(Ⅱ)若A90,且m4,n6,求C,B,D,E所在圆的半径。
填空题、选择题答题卡
一 填空题(10×4=40)2 3 4
几何证明选讲的感悟与教学启示 篇4
一、选择题:
1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作
圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()
A.15B.30C.45D.60
第1题图 2.在RtABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角
形与ABC相似,则x()
A.0B.1C.2 D.33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为()
4.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知
22PA6,PO12,AB,则
O的半径为()3
A.4B
.6C.6
D.8
5.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CDAB于点D,且AD3DB,设COD,则tan2
2=()
第5题图 11 A.B.C.4D.3 3
4二、填空题:
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=720,⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC=51,则AC=
7.如图,AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB3,CD1,则sinAPD=
.O
D B C 第 6 题图
第7题图
三、解答题:
8.如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是 O上两点,如果E46,DCF32,试求A的度数.9.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P, E为⊙O上一点,AEAC,DE交AB于点F,且AB2BP4, 求PF的长度.EA
C FB OD P