图形与几何小结

图形与几何小结（通用8篇）

图形与几何小结 篇1

硫磺沟小学“图形与几何”练习课研讨活动小结

小学数学几何的教学在《数学课程标准》中属于“图形与几何”的领域，而“图形与几何”作为小学数学四大内容领域之一。其教学内容很丰富，主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。几何知识作为数学基础知识的重要组成部分，一直是基础教育数学课程教学的重要内容。小学几何教学是小学数学创新教学的重要组成部分，是发展学生空间观念的重要途径。儿童时代是空间知觉即形体直观认知能力发展的重要阶段。几何概念的教学对于引发学生思维、发展智力、发展儿童的空间观念和提高教学质量具有重要意义。

一、研讨课活动目的本期来我校数学教研组围绕“图形与几何”教研课题开展一系列活动，旨在培养学生的空间观念，促进学生数学能力发展，进一步提高学习兴趣，唤起学生求知的欲望。让学生主动参与、自主学习，最大限度地提高学生学习的积极性，切实提高学生的创新意识和实践能力。“图形的认识”和“测量”重点研究教学方法的有效性，“图形的运动”和“图形的位置”重点研究教学要求对学生产生的影响。

二、存在问题

1、教师在研究过程中，对集体活动中典型课例、典型问题关注多，研究多，而对自己个案的课例、问题关注不够，研究不够，特别是对自己个案实践的分析、积累资料不够。

2、教师撰写典型教学设计，即使发现了问题，针对性地改进方法比较含糊，缺少可行性措施。有的实验教师在实际教学中教学方法得当、学生反应效果很好，他们有实际做法，但在资料中表述不出自己的意图和方法。

3、教师语言还须简洁、精炼，不能替代学生说。要留充足时间让学生观察、思考、表达，不能操之过急。

乌鲁木齐县硫磺沟小学

2014年4月16日

图形与几何小结 篇2

一、几何推理与图形证明教学的现有问题

一些初中数学教师目前依旧使用较为传统的讲课模式,即将课本上的重点知识和例题进行详尽地讲解,在这样的教学模式下,学生处于一味地接受状态,在课堂上要对庞大的信息量和知识接受让他们应接不暇,大部分学生做不到真正地理解和消化,更不用说培养起有效的几何推理思维和图形证明能力.这样的教学收效甚微,几何证明与普通的数学证明有着一定的区别,它需要学生不仅仅掌握数学证明的技巧和方法,更要有一定的空间想象能力和几何思维能力.

二、定理和重要概念的引入及教学

定理是几何推理的根本,许多几何推理与图形证明所需的知识都是由定理推广而来,因此教师在几何教学的过程中,首先要注重的就是定理和一些重要概念的引入及教学.在引入方面,由于定理具有高度的概括性,学生死记硬背效果不佳,因此教师要注意引入定理和重要概念的时机和方法.许多几何推理题往往就是对定理的反复运用,只要学生能够熟练地运用定理在做题的过程中就能够游刃有余,例如下题.

例1已知在三角形ABC中,D为BC边上的中点,在AD上任取一点E,连接BE,延长BE交AC与F,BE=AC,求证AF=EF.

证明:如图1,连接EC,取EC的中点G,AE的中点H,分别连接DG,HG.

则:GH=DG.

所以:∠1=∠2,

而∠1=∠4,∠2=∠3=∠5.

所以;∠4=∠5,所以:AF=EF.

乍一看这道题的题目比较复杂,实际上就是对于等腰三角形等边对等角这一基本定理的应用,学生对定理掌握的程度较深时,面对“三角形”、“中点”等条件很容易就会进行联想并作出辅助线DG和HG,通过等腰三角形和平行线段的性质进行角与角之间的转换,最后通过“等角对等边”的性质完成证明.这道题就是典型的对定理掌握程度的考察,对于这种题型要注意对定理的灵活应用.

三、学会“读题”,明确题中条件要素

在进行几何推理和图形证明的过程中,教师需要结合大量的例题进行讲解,这是十分必要的,在讲解之前,教师应当注重培养学生的“读题”能力,阅读题设看起来似乎是一件非常简单的事,其实解题和证明所需的大部分要素都包含在简短的题设之中,在读题的过程中对题设进行拆解,提取出其中重要的要素和隐含条件,才能为之后的证明或解题铺好路.尤其是当学生面对较为复杂的题设,要学会从中抽丝剥茧,理清头绪,一步一步地整理题设中所提及的条件,结合图形将它们以合理的逻辑排列出来,与最终需要解答或证明的问题进行条件匹配.这种读题能力就需要教师在课堂上讲解例题时引导学生慢慢去学习和掌握,这样才能在做题的过程中不会被复杂的题设蒙蔽了双眼,做到心中有数[2].

四、培养学生几何推理思维

1. 三种思维的应用

几何推理和图形证明同样属于数学证明的一种题型,对于这样的题型而言,最重要的就是培养学生的逻辑推理思维,在推理的过程中,通常有以下三种思维方式.第一、正向思维,也就是学生在推理和证明的过程中最常用的一种思维方式,从题设和条件出发,一步步地推出结果.这种方式比较常见,因此学生学习和应用起来也比较轻松.第二、逆向思维,顾名思义就是反向地去推理,也就是从结果入手进行推理,最典型的一种逆向思维证明法就是反证法.逆向的思维方式对于学生而言并不是十分常用,但它往往是解决难题的好帮手,难题的题设往往十分复杂繁多,在许多条件的铺陈下,题设拆解分析能力较弱的学生难免会一时之间找不到头绪,不知从何下手,而逆向思维法能够帮助学生迅速找到题目的切入点与突破口,很快进入到推理之中.第三种就是正向思维与逆向思维的结合,这种方法通常应用于难题的推理证明之中,将两种思维方式的特点相结合,同时也将题目中的条件和结果有机结合,帮助学生迅速找到推理的有效路线.在课堂教学之中,教师应当注重这三种思维的教学,尤其是学生不太常用的逆向思维和正逆结合思维,帮助学生开拓几何推理的思维,在解题的过程中可以做到多种思路的选择[3].

2.“动手”做题,辅助线的应用

在学习几何推理和图形证明的过程中,最常用也是最必不可少的一个方法就是做辅助线.当学生遇到单纯靠拆解题设和思维分析无法解决的时候,应当有动手画图做辅助线的意识,这种意识和能力需要教师在课堂教学之中进行重点培养.然而做辅助线有时候并不是万能的,一条错误的辅助线甚至会将学生的推理思路带入误区,导致推理混乱,因此,教师在教学过程中务必将辅助线的教学作为一个重点.

例2已知:在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C'.AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D'.

求证:△ABC≌△A'B'C'.

证明:分别过B,B'点作BE∥AC,B'E'∥A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点.

则:△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'.

所以:AC=EB,A'C'=E'B';AD=DE,A'D'=D'E'.

所以:BE=B'E',AE=A'E'

所以:△ABE≌△A'B'E'

所以:∠E=∠E'∠BAD=∠B'A'D'

所以:∠BAC=∠B'A'C'

所以:△ABC≌△A'B'C'

这一题需要证明三角形ABC和三角形A'B'C'全等,现有的条件是其中的两条边相等,还差一个条件,边BC和边B'C'相等或现有两边的夹角相等,经分析,有边AD和边A'D',我们很容易发现实现角的相等更为容易,AD将我们需证的夹角一分为二,因此需分别证明分角与分角相等,等角很容易让人联想起平行线,这就是辅助线的灵感来源,显然,有了辅助线的帮助就多了一个等角的条件,可以进行角之间的转换.这一题就是典型的辅助线的巧妙应用.

总之,几何推理和图形证明是初中数学的教学中至关重要的一个环节,教师在教学过程中应当打好基础,在定理的教学方面下功夫,努力培养学生的“读题”能力和几何思维方式,提高几何图形课堂教学的效率.

参考文献

[1]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊,2015(14):222.

[2]焦龙.初中数学几何概念和定理教学探析[J].学周刊,2015(20):163.

“图形与几何”教学策略探析 篇3

错例研究是一种从学生的错误入手，展现学生的真实思维，找出“出错”的节点进行深入思辨，围绕错因与课堂教学行为之间的关系，从而有效改进教学策略的研究。在典型错例研究的过程中，一个错例引发了笔者对“图形与几何”教学的思考。

错题来源：2013年6月嘉兴市小学数学六年级下册期末检测卷中第四题“图形与计算”第3小题“算一算”。

问题一：计算阴影部分图形的周长。

问题二：计算阴影部分图形的面积。

笔者调查了两个班级，共计95名学生对该题的答题情况。

“计算阴影部分图形的周长”：共有41人错误，正确率仅为56.86%。

错误类型及数据分析（数据精确到小数点后两位）

错误类型错误

人数百分比

只计算了圆周长的一半，没有加上直径的长度。3.14×3÷2=4.71cm4人4.21%

计算了一个圆的周长。

3.14×3=9.42cm5人5.26%

用正方形的周长减圆周长。

3×4-3.14×3=2.58cm9人9.47%

计算正方形的部分图形的周长。

1.5×4=6cm13人13.68%

直径数据错误7人7.37%

其他错误3人3.15%

“计算阴影部分图形的面积”：共有35人错误，正确率仅为63.16%。

解题方法及数据分析（数据精确到小数点后两位）

解答方法使用人数百分比

方法一：

3×1.5÷2=4.5÷2=2.25cm?22人23.16%

方法二：1.5×1.5=2.25cm?13人13.68%

方法三：3×3÷4=2.25 cm?10人10.53%

方法四：

3.14×1.5×1.5÷4=1.76625cm? 1.5×1.5-1.76625=0.48375cm? 1.76625+0.48375=2.25 cm?15人15.79%

方法错误35人36.84%

分析与诊断

透过错例现象，经过思辨加工，笔者从中梳理归纳出以下几个问题产生的原因。

一、概念混淆——缺少对知识表征的感知活动

在计算阴影部分图形的周长这一问题上，将近10%的学生选择了用正方形的周长减去圆周长这一错误的方法。经过分析，其原因在于学生对图形知识表征采用的方式不恰当，有的学生习惯用机械记忆的方式“死记”解题方法。当学生看到这个图形时，马上与正方形中画内切圆这个图形产生错误的联系，把求面积的方法与求周长的方法混淆了。

在小学“图形与几何”的教学中，涉及了周长、面积和体积等概念。空间概念的形成具有一定的抽象性，对于以接触感性知识为主的小学生来说，往往容易混淆圆的周长和面积的概念，弄不清体积与表面积的区别。学生对图形知识表征的清晰度较差，习惯用经验来思考和描述概念，从而影响对知识的理解和应用。具体表现为学生认为通过剪拼后图形面积与周长都没有变化，建立了错误的知识表征，因而形成了错误的认识，认为用正方形的周长减圆周长就是阴影部分图形的周长。

二、套用公式——缺少思维品质的探索经历

学生在解决有关阴影部分周长与面积时，已形成了一定的思维定势。只会简单地套用公式，用圆面积公式、圆周长公式、半圆面积公式、半圆周长公式等来解答。

在我们平时的教学中，也常会碰到这样的问题：六年级上就有这样一道练习题目：小正方形的面积为20厘米2，求圆的面积。

学生总是试图先求出半径，再利用s=πr?这一公式得出圆的面积，多数学生并没有真正理解圆面积公式中的r?到底是指什么。在我们的教学中忽视了结合公式强调“圆的面积是r?的π倍”，其实圆的面积与r?有着更为直接的倍数关系。面对图形的概念、公式等所谓的“死知识”，我们习以为常地认为应该把它们“教死”，学生就应该“学死”。殊不知，这样一来，学生掌握的永远都是机械的知识，解决问题时使用的永远都是单一套用的方法。学生缺少了探索公式时思维的灵活性、深刻度、广度、求异性。因此，图形稍有变化，学生就不知所措了。笔者认为让学生经历思维品质的探索过程是非常重要的。

三、解法烦琐——缺少对内在本质的深度把握

计算阴影部分图形的面积这一问题，有近40%的学生按照已经积累的活动经验和已有的思想方法来进行解答。阴影部分的面积等于半圆的面积减去空白部分的面积，可是空白部分是不规则图形，无法求出其面积，因此有15%的学生用烦琐的方法四解答，当然不排除还有用更加复杂的解题思路来求出阴影部分面积的。这是一道难度系数并不高的图形问题，题目不难为何错误率却这么高，其原因就在于学生习惯于机械模仿，解题时缺乏“识图”能力、“转化”意识，缺少对几何图形内在本质的深度理解和正确把握。

四、知识脱节——缺失系统连贯的经验建构

对于计算阴影部分图形的面积无从下手的学生，笔者与其进行了交谈。出现问题的主要原因是阴影部分并不是圆的，还多了一小部分，而且这一小部分又是一个不规则图形，于是学生就被“困”住了。当笔者把添好辅助线的图形再给学生时，学生马上喊道：“我会做了，太简单了，我怎么没有想到呢？”

平面几何中添辅助线，需要具备对图形的切拼构造能力和图形的对称、旋转和平移的几何变换能力，而这种能力的形成需要学生日常在知识的学习过程中逐步积累，无法一蹴而就。

对策和措施

加深对“图形与几何”知识的理解、掌握，需要我们寻求“图形与几何”教学的有效策略。在图形与几何教学中，我们要重视知识表征，关注公式理解，聚焦图形本质，探寻解决策略，从而有效形成“图形与几何”问题的解决策略。endprint

策略一：重视感知，让几何图形的表象“明”起来

在认识图形和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动，这也是小学“图形与几何”学习的一个重要特征。这些活动，既包括学生的观察活动，也包括学生的操作活动，如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象活动。因此，教师在进行图形与几何的教学时，应引导学生进行多种感知活动，从而理解几何图形的特征，使几何图形的表象和几何概念明确起来。

教学案例1：人教版五下“长方体和正方体的认识”一课。

1.注重观察，加深“表象积累”

教材没有给出长方体的定义，而是通过对课本中各图形的观察来认识长方体。让学生回忆生活中常见的长方体物体，并通过观察实物、模型等方式让学生了解长方体鱼缸、纸盒等物体的表征，同时借助看、摸、比等方法，区别不同的立体图形，从而认识长方体、正方体的特征，并在脑海中形成正确的表象，清晰的概念。

2.注重操作，强化“概念深知”

正方体、长方体的展开图可以加强学生对正方体和长方体的认识。通过小组合作的形式让学生剪纸盒，在主动地操作、交流中，体验长方体展开图形状的多样性和组成的确定性。还可以结合课件进行演示，使学生对图形的认识，概念的理解更加深入。

3.注重画图，深化“特征理解”

画图能使抽象的物体具体化。课堂上，可以让学生拿实物，先在头脑中想一想立体图形的样子，继而画一画展开图；也可以根据展开图来画立体图形；还可以提供长方体的任意两个相邻面，让学生想象长方体形状，并画出来，标出长、宽、高。将具体的实物与抽象的几何图形建立桥梁，能够深化学生对几何图形特征的理解。

教学周长、面积时，也要这样的感知活动，才能让几何图形的表象“明”起来。这也最好地诠释了“我听见了，我忘记了；我看见了，就记住了；我去做了，就理解了。”从而加深概念的理解与掌握。

策略二：经历过程，让几何图形的公式“活”起来

掌握基本图形的周长、面积和体积的计算公式，仍然是“图形与几何”教学内容的重要方面，但教学不能将主要精力放在简单套用公式进行计算上。在学生的日常练习中，经常会碰到已知梯形的“上下底之和”和“高”而不会求梯形的面积；已知r?是多少而不会求圆的面积的情况。机械的公式计算练习，让学生逐渐形成了一看到题目就先去寻找公式中的各个要素的思维定势：求梯形的面积，就要分别知道上底、下底和高；求圆的面积，就要知道半径。学生没有经历几何图形的公式的探索过程，对计算公式只知其然而不知其所以然。

教学案例2：人教版六年级上“圆的面积”一课。

1.比较，感受“变化本质”

课前让学生准备5个大小不一的圆，为学生“主动地进行观察、实验、猜想、验证”提供充分的准备。学生通过观察，引发面积变化的比较，激发学生的思考，在交流中初步发现引起圆面积变化的因素——直径和半径。

2.猜想，聚焦“核心知识”

笔者在课堂教学中设计了这样一个环节：课件出示一个正方形，再以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画一个圆，请学生观察：正方形的边长与圆有什么关系？猜想：圆的面积大约是正方形面积的几倍？你是怎样想的？

从学生熟悉的“数方格”初步验证猜想，借助圆内接正方形，圆外切正方形得出圆的面积是正方形面积的3倍多一些，让学生理解到圆的面积与r?有着更为直接的倍数关系。

3.验证，体现“过程理解”

验证环节，以小组为单位，通过转化成已学过的图形来推导圆面积公式。因为有了课堂反馈时多样化的策略，虽然各小组选择的方法不一，但都验证了圆面积的结果都一致，通过比较沟通了各种方法之间的内在联系，让学生真正经历了凸显思维品质的圆面积计算公式的推导过程。

在练习中，笔者发现学生都能够正确地利用公式求圆的面积，这说明学生对圆的面积公式有了真正意义上的掌握，r?是一个正方形的面积，圆的面积也就是正方形面积的π倍。如果没有对圆面积与r?关系的深入知识本质的理解，学生在处理相关问题时会花费更多的精力与时间。笔者认为只有在图形公式教学中深入思维品质的探索过程，才能让几何图形的公式在运用时更加灵活。

策略三：巧妙设计，让几何图形的本质“凸”起来

有心理学工作者曾对小学三、四、五年级学生识别几何图形的情况作过调查，以直角三角形为例，正确识别标准图形的占被测人数的76.7%，而正确识别其变式图形的只占35%。教学中经常会发现一些基本图形稍作变化，学生就会不认识。因此在“图形与几何”的教学中教师要有意识地将转化和优化的思想渗透到课堂中，让几何图形的本质凸显起来。

1.加强“识图意识”的练习

不会识图，认识不了图形，就解决不了问题。因此，在教学中要利用标准图形，适当地变换方位，重新组合，促进学生对新图形的认识。通过变式图形与标准图形的比较，培养学生的识图能力。

例1：下面是面积相等的四个正方形，四个图中阴影部分面积是否也相等？为什么？

图形进行了变换，但阴影部分的面积还是等于正方形的面积减去圆的面积这一本质。通过精心设计题组，在分解、组合平面图形中进行图形的不断变换，以提高学生的识图能力。

2.加强“转化意识”的练习

转化是图形与几何教学的核心本质。在解决比较复杂的图形问题时，通过转化手段，把原来的图形转化成我们熟悉的“标准”图形，转化成能解决或比较容易解决的问题，起到化繁为简、化难为易的作用，从而顺利地解决问题。

例2：如果平行四边形的面积是80平方厘米，求阴影部分的面积。

只有在平时的教学中经常设计这样练习，才能有效落实转化意识，提高学生的转化能力。

3.加强“思想方法”的练习

课程教材研究所研究员章建跃先生在“通性通法”中指出，“通性”就是概念所反映的数学基本性质，“通法”就是概念所蕴含的思想方法。在“图形与几何”的解题教学中，要注重蕴含的数学思想方法，才能追求图形教学的“长期利益”。endprint

例3：一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽15厘米，高10厘米，当水箱如下A图放置，水深8厘米；当如B图放置时，水的高度是多少厘米？

很多学生都弄不明白长方体水箱的体积、横放时水的体积、竖放时水的体积三者之间的关系与联系。这时教师应重点引导学生“水箱横放和竖放，什么变了，什么不变”这一核心问题加以辨析。分辨出哪些是关键因素，哪些是无关因素，如何根据关键因素和不变关系确定解决问题的思路。这样的教学，着眼于“如何想”，重视题中所蕴含的数学思想方法。

策略四：整体建构，让几何图形问题的解决策略“厚”起来

对学生进行几何图形的分割与拼组能力的培养，是整体建构几何知识的有效手段，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在图形处理过程中真正认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，从而使几何图形的解决策略丰厚起来。

1.答案开放中厚实思维

在认识图形的特征后，教师可设计一些非标准图形分割与拼组的练习。通过这样的训练，让学生更好地把握图形的特征。特别是图形的分割联系能为学生后续学习添加辅助线打下基础。

例4：从A点出发画出两条直线，把右图分割成一个四边形和两个三角形。

这样的练习学生需要掌握四边形和三角形的基本特征，培养学生整体把握、综合分析、联系图形之间的关系的能力。在答案的不唯一中，提升学生的思维，培养几何图形的分割与拼组能力和添辅助线的意识。

2.在解题多样中丰厚方法

解决图形与几何问题时，对同一个图形运用不同的解决方法，能够从不同的角度对图形与几何的属性进行思考。

例6：下图是由一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成的图形，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？

方法一.从整个图形中减去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.阴影三角形旋转到空白三角形位置，正方形面积就是阴影部分面积。

3×3=9（厘米2）

方法三.添辅助线，从三角形中减去一个长方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通过“你能用多少种方法求出阴影部分的面积？”这个问题，引导学生运用“割”“补”“移”的方法来解决问题。特别是“添辅助线”的方法，辅助线是图形与图形之间搭起的“桥梁”，有利于学生发现图形与图形之间、问题与条件之间的关系，从而找到解题思路。在平时的教学中教师要对“割”“补”“移”“添辅助线”等方法进行整体把握，从不同的角度对点与点、点与线、线与线以及面与面的关系进行刻画，让学生的解题方法“丰厚”起来。

总之，教师在图形与几何教学时，应全面把握教材的体系，认真研读教材，做到既为“眼前利益”着想，又为“长远利益”考虑。根据学生的认知规律，充分利用各种条件，采用多种教学手段，引导学生通过多种感官对物体、模型、图形进行感知，促使学生更好地理解几何图形的本质属性，形成图形的表象和清晰的几何概念，让几何图形在学生心中真正“活”起来，让学生对图形与几何知识的学习更加自信。

（浙江省平湖市乍浦天妃小学 314201）endprint

例3：一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽15厘米，高10厘米，当水箱如下A图放置，水深8厘米；当如B图放置时，水的高度是多少厘米？

很多学生都弄不明白长方体水箱的体积、横放时水的体积、竖放时水的体积三者之间的关系与联系。这时教师应重点引导学生“水箱横放和竖放，什么变了，什么不变”这一核心问题加以辨析。分辨出哪些是关键因素，哪些是无关因素，如何根据关键因素和不变关系确定解决问题的思路。这样的教学，着眼于“如何想”，重视题中所蕴含的数学思想方法。

策略四：整体建构，让几何图形问题的解决策略“厚”起来

对学生进行几何图形的分割与拼组能力的培养，是整体建构几何知识的有效手段，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在图形处理过程中真正认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，从而使几何图形的解决策略丰厚起来。

1.答案开放中厚实思维

在认识图形的特征后，教师可设计一些非标准图形分割与拼组的练习。通过这样的训练，让学生更好地把握图形的特征。特别是图形的分割联系能为学生后续学习添加辅助线打下基础。

例4：从A点出发画出两条直线，把右图分割成一个四边形和两个三角形。

这样的练习学生需要掌握四边形和三角形的基本特征，培养学生整体把握、综合分析、联系图形之间的关系的能力。在答案的不唯一中，提升学生的思维，培养几何图形的分割与拼组能力和添辅助线的意识。

2.在解题多样中丰厚方法

解决图形与几何问题时，对同一个图形运用不同的解决方法，能够从不同的角度对图形与几何的属性进行思考。

例6：下图是由一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成的图形，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？

方法一.从整个图形中减去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.阴影三角形旋转到空白三角形位置，正方形面积就是阴影部分面积。

3×3=9（厘米2）

方法三.添辅助线，从三角形中减去一个长方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通过“你能用多少种方法求出阴影部分的面积？”这个问题，引导学生运用“割”“补”“移”的方法来解决问题。特别是“添辅助线”的方法，辅助线是图形与图形之间搭起的“桥梁”，有利于学生发现图形与图形之间、问题与条件之间的关系，从而找到解题思路。在平时的教学中教师要对“割”“补”“移”“添辅助线”等方法进行整体把握，从不同的角度对点与点、点与线、线与线以及面与面的关系进行刻画，让学生的解题方法“丰厚”起来。

总之，教师在图形与几何教学时，应全面把握教材的体系，认真研读教材，做到既为“眼前利益”着想，又为“长远利益”考虑。根据学生的认知规律，充分利用各种条件，采用多种教学手段，引导学生通过多种感官对物体、模型、图形进行感知，促使学生更好地理解几何图形的本质属性，形成图形的表象和清晰的几何概念，让几何图形在学生心中真正“活”起来，让学生对图形与几何知识的学习更加自信。

（浙江省平湖市乍浦天妃小学 314201）endprint

例3：一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽15厘米，高10厘米，当水箱如下A图放置，水深8厘米；当如B图放置时，水的高度是多少厘米？

很多学生都弄不明白长方体水箱的体积、横放时水的体积、竖放时水的体积三者之间的关系与联系。这时教师应重点引导学生“水箱横放和竖放，什么变了，什么不变”这一核心问题加以辨析。分辨出哪些是关键因素，哪些是无关因素，如何根据关键因素和不变关系确定解决问题的思路。这样的教学，着眼于“如何想”，重视题中所蕴含的数学思想方法。

策略四：整体建构，让几何图形问题的解决策略“厚”起来

对学生进行几何图形的分割与拼组能力的培养，是整体建构几何知识的有效手段，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在图形处理过程中真正认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，从而使几何图形的解决策略丰厚起来。

1.答案开放中厚实思维

在认识图形的特征后，教师可设计一些非标准图形分割与拼组的练习。通过这样的训练，让学生更好地把握图形的特征。特别是图形的分割联系能为学生后续学习添加辅助线打下基础。

例4：从A点出发画出两条直线，把右图分割成一个四边形和两个三角形。

这样的练习学生需要掌握四边形和三角形的基本特征，培养学生整体把握、综合分析、联系图形之间的关系的能力。在答案的不唯一中，提升学生的思维，培养几何图形的分割与拼组能力和添辅助线的意识。

2.在解题多样中丰厚方法

解决图形与几何问题时，对同一个图形运用不同的解决方法，能够从不同的角度对图形与几何的属性进行思考。

例6：下图是由一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成的图形，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？

方法一.从整个图形中减去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.阴影三角形旋转到空白三角形位置，正方形面积就是阴影部分面积。

3×3=9（厘米2）

方法三.添辅助线，从三角形中减去一个长方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通过“你能用多少种方法求出阴影部分的面积？”这个问题，引导学生运用“割”“补”“移”的方法来解决问题。特别是“添辅助线”的方法，辅助线是图形与图形之间搭起的“桥梁”，有利于学生发现图形与图形之间、问题与条件之间的关系，从而找到解题思路。在平时的教学中教师要对“割”“补”“移”“添辅助线”等方法进行整体把握，从不同的角度对点与点、点与线、线与线以及面与面的关系进行刻画，让学生的解题方法“丰厚”起来。

总之，教师在图形与几何教学时，应全面把握教材的体系，认真研读教材，做到既为“眼前利益”着想，又为“长远利益”考虑。根据学生的认知规律，充分利用各种条件，采用多种教学手段，引导学生通过多种感官对物体、模型、图形进行感知，促使学生更好地理解几何图形的本质属性，形成图形的表象和清晰的几何概念，让几何图形在学生心中真正“活”起来，让学生对图形与几何知识的学习更加自信。

《几何与图形》教学建议 篇4

作为《数学课程标准》(简称标准)的四个领域之一，“空间与图形”主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。“空间与图形”的内容主要分为四个方面：图形的认识、图形的测量、图形与变换、图形与位置。如何立足课堂，把握好本领域的教学实践，我们提出以下建议：

一、领会《标准》理念，熟知教学目标

《标准》理念是我们进行课堂教学的依据，教学目标是我们进行课堂教学的达成方向，二者的重要性不言而喻，所以我们必须要达到“领会”与“熟知”的程度，才能做到教学设计更贴切，教学策略更得当，教学效果更显著。

我国的数学教学大纲、教材也经历数次变革，但从“几何”的课程内容和目标看，小学阶段主要侧重于长度、面积和体积的计算，较少涉及三维空间的内容，缺少与现实生活的紧密联系，使“几何”直观的优势没有得到充分的发挥；过分强调演绎推理和“形式化”。同时，由于教学内容呈现方式比较单一，也使学生的空间观念、空间想像力难以得到真正有效的发展。虽然“教学大纲”也有关于“空间观念”的表述，如“能够由形状简单的实物想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状”等等，但在具体的教学内容和教学要求中却鲜见与之有关的解释和说明。《标准》旨在克服我国义务教育课程目标过于偏重基础知识与技能的倾向，克服重“概念与技能”，忽视“情感与态度、体验与反思、过程与自主创新”的弊端，努力构建以人的发展为中心的数学课程内容体系：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验；增加了图形变换、位置的确定等内容；加强了几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念；突出“空间与图形” 的文化价值。如：《标准》中提出了“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”“通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值”等要求，使学生了解“空间与图形”有着丰富的历史渊源；重视量与测量，并把它融合在有关内容中，加强测量的实践性等。

《标准》指出，在整个小学阶段空间与图形部分的知识与技能目标为：经历直观认识简单几何体和平面图形的过程，经历探索物体与图形的形状、大小、运动和位置关系的过程，了解简单几何体和平面图形及基本特征，感受平移、旋转、对称现象，能对简单图形进行变换，能初步描述物体的相对位置，能初步确定物体的位置，获得并逐步发展初步的测量（包括估测）、识图、作图等技能。数学思考的目标为：在对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中，发展空间观念。解决问题的目标为：在解决问题的活动中，初步学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。情感与态度的目标为：感受数学思考过程的合理性通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。

我们把这些目标鲜明的摘录出来，一方面便于教师进行领会、记忆与熟知，另一方面也是提醒我们要把每一堂课的教学融入整体目标的大背景下，这样对于空间与图形部分的教学才是系统的，不割裂的。

特别说明的是“空间与图形"课程的核心目标是发展学生的空间观念。

1、怎样算具备了空间观念呢？《标准》理念指出：空间观念主要表现在能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。这就是我们发展学生空间观念的方向。

为了培养和发展学生的空间观念，《标准》不仅在“空间观念”的提法上加入了一些新的元素，而且在内容上做了相应的安排，提出了一些新的具体目标。

[如： “辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”“会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置”“会看简单的路线图”，以及有关变换的直观内容；“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”“认识长方体、正方体和圆柱的展开图”，以及丰富的变换、坐标的内容。这些内容的设置，成为培养学生空间观念的重要学习资源，并且空间和空间观念从孩子入学的那一刻开始就伴随他们成长了。]

2、发展学生的空间观念不是孤立的，有的老师认为好像只是观察物体等特定内容在培养学生的空间观念。实际上，图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形的测量，都对培养学生的空间观念有着重要的价值，在教学中应该进行有机整合。

二、建立课堂模型，明确教学思路

在把握了《标准》理念与教学目标后，教师可能更为关心的如何上好一节有关空间与图形知识的课。《标准》中“空间与图形”的四方面内容都以图形为载体，以培养空间观念、推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的现实空间为目标，不仅着眼于学生理解和掌握一些必要的几何事实，而且强调学生经历自主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态度和情感。《标准》提倡以“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展、反思”的基本模式展现内容，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程，不采用“公理定义→定理性质→例题→习题”的结构形式。

在这里，我们根据空间与图形的不同内容分类提供相应的课堂模型建议：

（一）图形的认识

图形的认识是空间与图形领域中的重要内容。其内容包括：点线面体的认识长方体、正方体、圆柱和球，长方形、正方形，线及其相互关系，角、三角形、四边形、园，圆锥，三维视图等图形。在进行图形的认识类知识教学时，我们建议的教学模式，基本的课堂教学环节如下：经历情境，抽象图形

实践操作，感知特点

欣赏拓展，回归生活。即在教学中一定要注重使学生在现实世界中积累有关图形的经验基础上，认识常见的立体图形和平面图形；在丰富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括等体验常见的图形的性质，并运用他们解决实际问题；在观察物体、拼摆图形、设计图案等活动中，构建空间观念；欣赏丰富多彩的图形世界，体会图形在现实世界中的广泛存在。具体阐述为：

1、让学生经历从现实情境中抽象出图形的全过程，从立体图形到平面图形展开学习在教学中，要创设生活情境，让学生在生活的空间中发现图形，经历从现实源泉中抽象出数学模型的过程，体会数学图形与现实世界的密切联系。过程如下：

生活实物

实物图

几何图形（模型）

回归生活 【案例1】 如在角的认识一课中，一位老师设计了以下教学步骤：（1）、说说生活中看到的角：学生说的兴高采烈：扇子，红领巾、书本、五角星、桌面、墙角等等五花八门，体现了生活情境的引入。

（2）、用多媒体课件展示生活中实物如扇面、红领巾，桌面等，并把有角的部分用红色醒目标示出来，体现了由生活实物到实物图的初步抽象。

（3）、去掉课件中的实物部分，只留下红色显示的角的图形，再让学生直观观察角的特点。就完成也由实物到几何图形的抽象。

分析：在这个案例中我们可以看出教师依据学生的生活背景与知识背景，逐步完成由实物到几何图形的抽象观察，非常符合学生的认知规律，而且学生对角的认识也更加立体。

2、让学生经历实践操作等活动，在活动中感知图形的基本性质

“感知”是根据相应的学习材料，通过手、口、脑的并用，初步地感受和认识。学生空间观念的发展、活动经验的积累、图形性质的体验等都是在观察、操作、思考、想象、交流等数学实践活动中进行的。这里，我们要特别强调动手操作的重要性。学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建造模型、分类等活动，对图形的多方面性质有了亲身感受，这不仅为正式地学习图形的性质奠定了基础，同时积累了数学活动经验，发展了空间观念。所以我们提倡学生人人拿学具进行操作实践，这样远比只是让学生看一下教师的示范和课件演示要获得远远多的对图形的“洞察”和体验。尤其是对长方形，正方形、平行四边形、圆形等图形的认识，我们都要通过让学生看一看、摸一摸、折一折、叠一叠、拼一拼、剪一剪、量一量、画一画、描一描、比一比、分一分、做一做等基本的实践操作活动，为正式的学习图形的性质奠定基础。【案例2】如探究长方形的特征教学片断：

（1）、创造图形:课前老师给每组发了一袋材料,你能利用这些材料或是你自己身边的材料想办法创造一个长方形吗?（2）、展示成果:教师巡视,指名实物投影摆放。

方法有：摆小棒、画点子格、拼三角板、拼小正方形等等。

（3）、思考讨论:这些长方形有什么共同的特点? 你用什么方法可以证明？(先想一想你打算用什么办法验证？再操作验证, 并把你的发现和其他同学交流讨论,看哪组想的办法多)。

（4）、汇报交流: 长方形对边相等,四个角都是直角。逐一演示:比一比、量一量、数一数、折一折。

分析：在这个案例中我们可以看出在教师的指导下，学生进行了充分的实践操作活动，如“比一比、量一量、数一数、折一折”，对长方形的特点感知也就更加充分。

【案例3】如观察物体教学设计 观察教室

师：全体起立，观察教室的前面，说一说你看到了什么？ 生：国旗、黑板、课程表„„

师：全体向后转，观察教室的后面，你看到了什么？ 生：奖状、学习园地„„ 师：向左转，你看到了什么？ 生：两个门、一个窗户„„

师：观察教室的右面，说你看到了什么？ 生：„„.师：通过刚才的观察活动，我们了解到从不同的位置观察物体，我们看到的结果是不一样的。

观察讲桌

师：同学们学习离不开课桌，老师讲课离不开讲桌，老师请4名同学来观察一下讲桌。

请你们分别站在讲桌的前面、后面、左面、后面，说一说你看到了什么？ 生：„„

师：4位同学看同一张讲桌，为什么看到的不同呢？ 生：„„

师：因为从不同的位置去观察物体，看到的结果有时是不一样的。观察大公鸡

师：看老师为你们带来了什么？ 生：大公鸡。

师：请4名同学到前面来观察公鸡，你们分别站在公鸡的前面、后面、左面和右面。说一说你都看到了什么？

生：„„ 师：左面和右面看到的是不是一样的？ 追问：不一样，哪不一样？

生：站在左面看到尾巴在左边、头在右边；站在右面看到尾巴在右边、头在左边。

师表扬：同学们观察的可真仔细。

分析：同样我们能够看出在这节课上老师让学生经历了从不同的方位、由上到下、由远及近的观察过程；让学生在观察、操作、想象、思考、交流的过程中，不断发现实物与他们所观察到的图形之间的联系，从而形成他们对三维空间与二维平面之间的看法。

3、了解并欣赏一些有趣的图形，感受图形世界的丰富多彩

图形的认识的教学设计，要注意为学生提供丰富多彩的图形世界，以开阔学生的视野，激发数学学习的兴趣，感受图形世界的神奇。

【案例4】如在认识完轴对称图形的特点后，教师安排了这样的环节： 回归生活，赏析对称美

教师提供的素材主题有：京剧脸谱、剪纸艺术、建筑物体、平面图形、字母等。

分析：一下子把学生带到美妙的数学生活中，既再一次体会了轴对称图形的特点，又充分感悟到生活中轴对称的美，感悟到数学之美，实现了课堂的升华。

（二）、图形的测量

同传统教学相比，《标准》在图形的测量部分加强对量的实际意义的了解。结合生活实际，注重动手操作，掌握测量的方法。注意对测量工具和计量单位的选择，并对测量结果进行解释（误差）。重视估测，弱化了单纯的计算（周长、面积、体积）为中心的传统框架和无实际意义的单纯量的单位换算。据此，我们建议的教学模式，基本的课堂教学环节如下：结合情境，理解量的意义

操作体验，建立单位的表象

探讨方法，解决实际的问题。具体阐述为：

1、在具体问题情境中注意对所测量的量的实际意义的理解

对于周长、面积、体积等的学习，首先要理解它们的意义。这不等同于记忆他们的定义，而是在具体的情境中体会它们的实际意义。

【案例5】如《周长》教学，教学情境如下：（1）、创设情境

感知概念

①．动画引出“一周”“首尾相连”（板书一周）。

②．揭示“首尾相连的图形”就是“封闭图形”（板书封闭图形）。（2）、判断封闭图形为揭示概念打基础

①．先判断，找出封闭图形。

②．描出这些封闭图形的一周。

③．揭示定义封闭图形一周的长度就是这个图形的周长。

（板书及时补充完整）（3）、联系实际生活

摸一摸身边图形的周长。

学生：桌面

数学书封面

一些实物。

老师：摸黑板封面（体现没有摸满一周）。（4）、小组合作，测量周长

①．出示问题，讨论交流。

师：你用什么方法测量下列图形的周长呢？

师：每种图形分别用到了哪些测量工具呢？

②．提问测量方法及使用工具。

③．请测量它们的周长并填写在报告单上。

④．实物投影展示测量结果。（5）、总结

①．这节课你有什么收获吗？

②．在实际生活中都有那些地方用到了周长呢？

分析：本案例通过创设动画情境、活动情境在活动中感悟周长的概念，使学生较好的理解了周长的意义。尤其突出了充分探索测量周长的方法。]

2、在测量过程中，体会建立测量单位的必要性，理解度量单位的实际意义 对于测量单位的学习，首先要提供给学生实际测量的机会，鼓励学生选择不同的测量方法，并在彼此交流的过程中体会到建立统一计量单位的必要性。

如：讲长度单位，让学生先经历用不同的工具测量同一物体的长度，在学生得出这个物体的长度是“几个一乍的长度”“几个一支铅笔的长度”“几个一本书的长度”“几个一把尺子的长度”等，再引出长度单位，这样做就是为了使学生感悟建立统一单位的必要性，产生继续学习的愿望，获得对度量单位的初步体验。] 学生还需要通过实际活动建立对度量单位实际意义的体验，1cm到底有多长，1cm 到底有多大，1cm 到底占多少空间，要使这些单位变得直观具体，必须让学生通过各种实践操作活动，并让学生列举生活实例加以说明。

[【案例6】下面是一位教师在教完“千米的认识”后写的教学随笔。我校的操场地面是用水泥方砖铺成的，我带孩子们去数方砖，再计算出操场的长度，长度正好是50米，一个来回是100米，我让孩子们走了一个来回，10个来回是1000米，又叫做1千米。

我留下了家庭作业，“从家到学校大约多少千米。”让家长协助完成，学生和家长共同行走一千米的路程，对一千米都有了很好的感知体验。另外，我还留下了让孩子们了解和搜集各种交通工具的时速问题，让孩子们自己测一下自己的步行速度„„

分析：通过教师的教学与作业布置我们可以感受到，教师特别注重学生在实际活动中经历对度量单位实际意义的体验，从而建立对度量单位的表象，可以说学生不仅仅记住了一个计量单位一个名称，更重要的是感知了这个量的大小多少，这个认识是丰富的、立体的。

3、重视估测，掌握估测方法

在测量的学习中，应该始终重视估测的重要性。估测有助于儿童理解测量的特征和过程，并获得对测量单位大小的认识。

如，在长度单位的学习中，要安排估计身高，步长、臂长、凳子的长度等活动；对面积单位的学习中，要安排估计数学书封面的面积、教室地面的面积、学校操场的面积；对容积的学习，我们可以安排估算粉笔盒的容积、卡车汽油箱的容积，水桶的容积等活动。这些活动会加深学生对量及其实际单位的理解，发展学生灵活运用知识解决实际问题的能力。要坚持先估测后验证的原则。

对大数目的估测，要关注学生的估测方法。如，对于长度1千米的估测，当然可以让学生实地走一走，再回头看一看，脑海里想一想有多长，我们也可以先让学生确定100米的长度，再定500米的长度，500米里有5个这样的100米长度，最后再感悟1千米有两个500米的长度，这里不是简单的数学推理，更主要的是让学生真正的感悟1千米到底有多长。

4、探索规则图形的面积和体积公式，并能运用公式解决问题。

不能将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。实际上，对于规则图形面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，体会重要的数学思想，对发展空间观念也是大有好处的。对于这部分内容的教学，教师应鼓励学生在具体的情境中，让学生经历猜测、观察、操作、归纳、建立数学模型、实践应用的数学发现过程。可以用布鲁纳的发现法教学长方形、正方形的面积和长方体、正方体、圆锥体的体积；可以用转化思路教学三角形、平行四边形、梯形和圆形的面积和圆柱的体积（包含不规则的图形）。

【案例7】如教学《长方形的面积》 师：同学们，你们学过长方形的面积吗？ 生：没有。

师：今天我们学习长方形的面积，请你们先看看书，想一想：怎样求长方形的面积？

学生看书后汇报：书中先讲了用数方格的方法求长方形的面积，长方形的面积等于长乘宽。

教师：（板书：长方形的面积=长×宽），你们齐读三边。学生：齐读三遍。

师：用字母怎样表示哪？ 用字母表示就是s=a×b或s=ab 师：好，我们讲应用题。分析：这就是一个教学反例。在案例中，老师没有引导学生对长方形的面积公式进行有效的探究，学生靠机械记忆知道了长方形的面积=长×宽，却并不理解公式的由来与意义，对公式的掌握就不会深刻熟练。再看下面的环节老师要“讲应用题”也可以想象出是对公式的单纯应用，而不是解决生活中的实际问题，知识的价值性就无从体现了。]

（三）、图形与变换

这部分内容包括平移、旋转、反射和对称，分别在二、五下、六年级学习。了解图形的变换，对学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及对图形美的感受和欣赏都是十分重要的。通过画简单的对称图形和运用平移、对称和旋转设计有趣的图案，有利于学生初步了解图形之间的关系，有利于发展学生的空间观念。针对这部分内容我们建议的教学模式，基本的课堂教学环节如下：发掘现象，感悟特征

实际操作，体验方法

灵活运用，创新实践。具体阐述为：

1、在生活情境中认识变换现象，能在方格纸上画出一个简单图形经过变换后的图形。

其实，学生很早就有了物体和图形运动的经验，他们通过折纸、转风车、照镜子等等获得诸如平移、旋转、反射和对称的体验。我们要让学生举出生活中大量的变换现象，如旗帜升起、螺旋桨转动等以及建筑、植物（枫叶）、动物（蝴蝶）等来感知认识变换现象的整体特征。画出平移后的图形，是教学重点也是难点，要讲清方法，关注学困生。

2、组织学生进行实际操作，体验图形变换的方法

考虑到学生的语言表达能力和动手操作能力有所提高，所以“图形与变换” 中四条具体目标的阐述有着明显的特点——每条目标都对图形变换的操作方式作出了明确的界定，比如，“用折纸等方法„„”“利用方格纸等形式„„”“在方格纸上将„„平移或旋转”“在方格纸上设计图案”等。这种阐述旨在要求以直观操作的方式引导学生初步认识“图形与变换”的数学内涵。因此，我们在教学实践中，不应单纯地介绍图形变换的知识，而应组织学生实际操作，从而体验图形变换的方法。

[如，可要求学生利用图形变换制作一个美丽的图案。这是一个开放式的活动，学生可以从一个或几个简单的图形出发，按照自己的设想进行变换，得到新的图案，并可以不断地改变操作过程，使所得的图案更美，进而相互交流各自图案的特点，相互欣赏、评价图案的美以及设计的创新]

3、注意让学生欣赏并体验图形变换在现实生活中的广泛应用，灵活运用轴对称、平移和旋转组合进行图形设计

我们要充分的利用教材（或多媒体手段）呈现的美丽图案，让学生在观察图形时，发现熟悉的图形；运用数学的眼光分析图案是否运用了变换；欣赏各具特色的图案，发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简洁美；将以此为启发，发挥学生的个性和创造力，亲自动手设计图案以灵活运用所学知识和技能，并从中体会创造的乐趣和辛苦，领略图形世界的神奇。

（四）、图形与位置

这部分内容包括“位置”——上下、前后、左右；“位置与方向”——东、南、西、北等；“位置与方向”——含有横轴、竖轴和夹角的坐标图；“位置”—— 坐标数及综合。分别安排在一下、三下、四下、六上年级学习。我们建议这部内容的教学模式，基本的课堂教学环节如下：联系生活，感悟知识

活动结合，掌握方法

拓展延伸，体现应用。具体阐述为；

1、结合知识与学生生活实际的联系进行教学。

图形与位置这部分内容与小学生的实际生活具有天然的联系，应该充分利用学生生活中感兴趣的事物，引导学生探索图形的特性，有利于唤起学生已有的生活常识和经验，提高感知的效果。

【案例8】如关于“方向和路线图”的教学：可以把学生带到操场上，让他们说一说早晨的太阳在什么方向。让学生面向东站好，告诉他们背对着的方向是西；再让学生伸开两臂，左手指的方向是北，右手指的方向是南。从而利用学生已有的前、后、左、右的方位知识与东、南、西、北建立起联系，帮助他们认识这四个方向。然后，结合学校的具体情况，让学生说出校园内的四个方向各有什么建筑物，使学生进一步熟悉东、南、西、北这四个方向，并能用这些词语描述建筑物所在的位置。

2、注重结合丰富的活动情境开展教学

[【案例9】如在“确定位置”教学中教师可以设计以下活动：

（1）让个别同学介绍自己在第几组第几个，从说自己的座位抽象出“数对”这个概念。

（2）通过口头练习，让学生看一看用数对的方式说一说自己的位置。（3）让学生用所学的数对方式向大家介绍家乡的美丽风光。（4）引导学生用所学知识进行设计创造。

分析：这样就能集合学生的参与性、活动性、体验性，提高了学生的学习兴趣。]

3、回归生活，运用学到的方法解决实际问题

[【案例10】如方向与路线的课尾环节，可以安排由学生描述从家到学校的路线、途经的主要建筑物（参照物）以及相应的距离等，并根据描述画出简单示意图，在交流中加以修改、完善。

分析：在这样的过程中，学生不仅学会了“借助不同参照物确定物体的位置，并画出示意图”，这样一个数学方法，而且体会到了这个方法在生活中的应用。] 需要提醒的是在教学这部分内容，要注意：（1）、不要死记硬背，通过活动感悟、理解概念；（2）、允许学生有个认识过程，有些知识如“左右，南北”等不是一节课就能使学生人人都过关的，是要经历反复的经常的认识过程；

（3）、认识图上的位置和实际位置相结合；（4）、室内教学和室外教学相结合；

（5）、左右有相对性，以“人的左右意识”为标准。

三、完善教学策略，优化教学效果

有了课堂模式（基本的课堂教学环节），可以说是有了上课的框架（这种教学模式是动态的，不是一成不变的），但在具体实施中，还需要相应的教学策略相支撑。在空间与图形部分，我们给出教学策略建议为：

教学策略一：联系学生的生活经验和活动经验，呈现现实情景

丰富多彩的图形世界，给“空间与图形”的学习提供了大量现实的有趣的素材。几何教学的过程就是把各种对象由具体的事物变成抽象的几何体进行研究。学生理解几何知识时，需要把几何体与具体的事物联系起来，经过比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思维活动来实现，因此，学习这部分内容，需要感性直观材料的支持。

1、提供“生活化”的学习材料，让学生在情境中体验

选取与呈现现实生活情景和生活现象作为“空间与图形”学习的内容，可使数学由“陌生”变为“熟悉”，由“严肃” 变为“亲切”，有助于增强数学与生活的密切联系，使学生感觉到数学就在自己的身边，从而愿意亲近数学，想学数学。

【案例11】如“直线和线段”的教学就可以呈现“四组镜头”让学生观察。镜头一：妈妈织毛衣的场景，突出散落在地上的绕来绕去的毛线。镜头二；大桥上一根根斜拉的钢索。镜头三：一个女孩在打电话，用手指绕着弯弯曲曲的电话线。镜头四：建筑工地上用绳子栓住重物往上拉的画面，突出表现笔直的钢丝绳。然后提问：“刚才你在屏幕上看到了什么？你能给这些线分类吗？说说你的好办法。”

分析：这些熟悉的生活现象不仅唤起学生对生活的回忆，更激起了学生的探索欲望，为学生提供了“做数学”的机会。

2、回归生活，让学生在应用中体验

小学生对“图形与空间”方面的内容已有一定的认识，利用几何知识解释生活现象，让数学回归生活，使学生获得学有所用的积极情感体验。在学习了“圆的认识”后，可以组织学生对“车轮为什么是圆的”这一生活问题作深入探究。在实际应用中，体验到生活中处处有数学，处处用数学，体验到用数学知识解决生活问题所带来的愉悦和成功。

教学策略二：引导学生通过观察比较，发现几何特征

观察是学生获得“空间与图形”知识体验的主要途径之一。教学中要组织多种多样的观察活动，一年级辨认图形的观察活动（辨认长方体、圆柱、球等立体图形，选定参照物辨认方向等）；对演示实验或操作的观察（对三角形稳定性的实验）；对实物、模型的观察（认识长方体时，按照面、棱、顶点的顺序让学生一一观察；利用实验或演示发现棱与面，面与面，以及面、棱、顶点之间的关系„„这样，有关长方体的空间观念就比较容易形成。

教学策略三：提倡“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式 自主探索、合作交流与实践操作是数学课标倡导的学生学习方式，也应该是我们课堂教学的组织方式。根据这一方式，提出解决重点、难点问题的三部曲：

1、独立探究，发展个性。让学生在具体问题情境中进行充分的独立探索，学生发现的每一种方法，每一个特点、性质、规律都是学生自己的，从一定意义上讲，都是一种创造，从而弘扬和发展了学生个性，培养了学生创新意识和能力。

2、组内交流，学会互助。要求学生把各自的想法在小组内交流讨论，得出小组内的结论，也要求组内学生互帮互学，共同进步。这一步对培养学生合作交流能力尤为重要，我们要以知识为桥梁，也就是说借助知识来培养学生学会交流，学会表达，学会倾听，学会质疑。我们要不断探索培养学生合作交流能力的方法和策略，二人交流是基础，三人交流是关键，四至六人交流是提升。

3、组组交流，全班展示。在组内交流阶段，学生都已经尝试了解决问题的过程，找到了方法，得出了结论，但是每组的结论方法和叙述形式不尽相同，这就为组组交流、全班展示提供了可能性和必要性。同时，不同的思路、方法、结论，也是课堂新的生成，是新的课程资源。我们教师要引导学生不仅要清晰表达本组的意见，还要倾听他组的意见，我们要通过学生组组质疑、组组争论、组组辩驳这一讨论形式，最终形成教师指导下的全班同学自己的知识或结论。

关于 “三部曲”要注意四点：（1）教师要做好创设问题情境的设计。（2）自主探索时间必须要充分，还学生发展个性的空间。（3）合作交流的必要性和时间的充分性，蜻蜓点水的讨论不仅达不到思维碰撞的效果，而且会使学困生一无所获。（4）教师需要发挥指导作用，树立“教师引导下的学生活动”的理念。

教学策略四：充分利用现代化教学手段

小学数学图形与几何研修日志 篇5

小学数学图形与几何

话题一

吴正宪（北京教育科学研究院）王彦伟（北京东城区教师研修中心）张 杰（北京东城区教育研修学院）

2011 版课标终于要公布了，新课标 修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”这个领域的变化。

新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有 空间观念、几何直观、推理能力 等。

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

更直观的理解如下图：

几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题，变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。案例：《打电话》

如果你是老师，有件紧急的事情要通知给同学，用打电话的方式，每分钟通知 1 人，给你 3 分钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜测一下。

下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描述打电话来通知这件事情，设计方案。

通过这个数图就把这个复杂的数量关系，很简明很直观的呈现出来，而且从这个图本身，就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍，否则你算是算不出来，看图就看出来了。

通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。

推理能力 的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

通过对一线教师的访谈，查阅资料，把老师们的困惑集中起来，归结为四个大话题。讨论话题：

1．如何在观察、操作中“认识图形” 抽象出图形特征，发展空间观念？

2．如何以“图形的测量”为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，了解掌握测量的基本方法，并在具体问题中进行恰当的估测？从而发展 学生的空间观念与推理能力？

3．如何通过“图形的运动”探索发现，体会研究图形性质的不同方法，发展学生几何直观能力和空间观念，提高学生研究图形性质的兴趣？

4．如何通过学习“确定图形位置”的方法，发展学生的空间观念和推理能力？ 话题

一、图形的认识——抽象图形特征，发展空间观念

问题

一、新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？

这次新课标修订后图形的认识部分都包括哪些内容？有什么新的变化？ 课标修订前后立体图形的认识部分内容的对比：

第一

修订前

（1）通过实物和模型辨

修订后

1.能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球认长方体、正方体、圆柱和球等 等 立体图形。

学（2）辨认从正面、侧面、几何体。

2.能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察段 上面观察到的简单物体的形状。［参见例 1 ］

（参见例 11）。（3）辨认长方形、正方形、到的简单物体 三角形、平行四边形、圆等简单图形。

（4）通过观察、操作，能用自己的语言描述 长方形、正方形的特征。

4.通过观察、操作，初3.能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。

（5）会用长方形、正方形、步认识 长方形、正方形的特征。三角形、平行四边形或圆拼图。（6）结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。

5.会用长方形、正方形、（7）能对简单几何体和图形三角形、平行四边形或圆拼图。进行分类。

6.结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。

7.能对简单几何体和图形进行分类（参见例 20）。

第二（1）了解两点确定一

1． 结合实例了解线段、条直线和两条相交直线确定一射线和直线。个点。

学（2）能区分直线、线段和

2．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。段 射线。

（3）体会两点间所有连线中

3．知道平角与周角，了解线段最短，知道两点间的距离。

周角、平角、钝角、直角、锐角（4）知道周角、平角的概念

之间的大小关系。

及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。

4．结合生活情境了解平面（5）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括上两条直线的平行和相交（包垂直）关系。括垂直）关系。

（6）通过观察、操作，认识

5．通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会用平行四边形、梯形和圆，知道圆规画圆。

扇形，会用圆规画圆。

6．认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是 180°。

7．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角（7）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是 180 °。

（8）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。（9）通过观察、操作，认识

形、钝角三角形。

长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的 展开图。

（10）能辨认 从不同方位看

8．能辨认 从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的到的物体的形状和相对位置。形状图（参见例 32）。［参见例 1 ］

9．通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

从这个表中可以看到，课表修订前后在图形的认识部分只有一些细小的变化，图形与几何这一模块原称空间与图形，变“空间与图形”为“图形与几何”；重提几何直观、推理能力、运算能力、逻辑思维能力，用词更加规范，体现了课标的严肃。

< 标准 > 的”图形与几何”第一、二学段仍分为四部分，具体表示有所变动，（1）图形的认识，（2）测量，（3）图形的运动（修改稿：图形与变换），（4）图形与位置。图形的运动”强调了图形的运动是研究图形性质的一种有效方法。运动也是一种基本的数学思想。第二学段的内容标准删除“两点确定一条直线”和“两条直线确定一个点”。

“图形与几何”领域，将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，强调空间和图形知识的现实背景，从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。新《标准》突出用观察、描述、制作、从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活动，发展学生的空间观念和图形设计与推理（合情推理与演绎推理）的能力。

新《标准》在第二学段还增加了知道扇形这一内容。扇形的认识，《大纲》（修订版）教材作为选学内容，《数学课程标准》中没有认识扇形的要求。

认识扇形在《课标修改稿》中确实没有做要求，但在 “ 统计与概率 ” 部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准，考虑到知识的系统性、逻辑性和连贯性，以及学生认识扇形统计图的需要，《课标修订稿》在认识圆的基础上，增加了初步认识扇形。

简单说对图形认识的要求主要包括两个方面： 一是对图形自身特征的认识。

二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。

在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从 “ 辨认 ” 到 “ 初步认识 ”，再从 “ 认识 ” 到 “ 探索并证明 ”。例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求 “ 辨认 ” ；第二学段要求 “ 认识 ” ；第三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图。又如，对于平行四边形，第一学段要求 “ 辨认 ” ；第二学段要求 “ 认识 ” ；第三学段要求 “ 探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理 ”。

再如，三角形内角和的例子：

关于 “ 视图 ”，第一学段要求 “ 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体 ” ；第二学段要求 “ 能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图 ” ；第三学段要求 “ 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体 ”。

这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程；也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进。

对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。第一学段的 “ 了解直角、锐角和钝角 ” ；第二学段的 “ 体会两点间所有连线中线段最短 ” ； “ 了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系 ” ； “ 了解 三角形两边之和大 于第三边 ” ；第三学段的 “ 会比较线段的长短 ”，“ 能比较角的大小 ” 等，都是对图形大小关系的研究。

点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容，全等研究的是图形的形状、大小关系；图形的相似研究的是图形的形状之间的关系；而图形的位似则还涉及到了图形的位置关系。

在儿童的不同学段上，形象思维的发展是有层次的，荷兰范.希尔夫妇对学生几何思维水平的研究说明了从直观辨认到探索特征是儿童的对图形的形象思维规律。他们将学生的图形认知水平主要分为五级：水平1 ：直观化；水平2 ：描述 / 分析；水平3 ：抽象 / 关联；水平4 ：演绎 / 形式化推理；水平5 ：严密 / 元数学。一二三水平在小学体现，四五水平是在中学体现的。这和我们课标的要求也是一致。

图形认识的教学先明确两点：

一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前后继知识各是什么；

二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段，要通过你的教学达到什么阶段。问题

二、小学阶段对于 “ 图形的认识 ” 这一内容，教材是遵循怎样一个编排体系的？

第一，现在的教材，在图形的认识当中，是先讲立体，再讲平面，再回到立体。从历史发展过程上看，实际上我们中国小学的传统教材，最初是按点、线、面、体的逻辑关系讲的。到了上个世纪 90 年代以后，义务大纲出现就发生变化了，先讲立体以后再讲平面，然后又回到立体。为什么当时要改？因为当时很多老师都反映，高年级孩子，对几何立体图形，本身的识图的能力比较低，认识起来比较困难。这部分是个难点，分阶段安排可以分散难点。

第二，实际上一个人是生活在三维空间当中，一个婴儿从出生落地，他所有接触的东西，看到的东西，实际上都是体，他的奶瓶，他玩的积木都是体，住的大大楼里，所有东西都是体，在这个过程中儿童积累了很多立体的物体，因此所有的几何体，都具有直观的实物的模型的。那在这种情况之下，低年级孩子，刚开始初步的认识立体图形是有可能的。

所以一是有必要，二是有可能，再加上儿童的空间观念的形成，必然是有一个长期的反复的积累的过程，不能一次到位。所以当时的义务大纲就打破了传统的一步到位，先讲立体图形，要求直观认识，然后中间一段是平面图形，最后再讲立体图形。现在教材也一样，先讲立体，后讲平面，再回到立体，但这两次讲立体层次不同，第一次要求辨认，到第二学段要求是认识。也就是 现在教材是 “ 体－形－体 ” 的混合螺旋编排结构

问题

三、怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念？

第一、通过对实物的观察与操作认识图形 第一学段要求 “ 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ”、“ 通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征 ” ；第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ”、“ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系 ” 等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。

人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球 „ 都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始，“ 通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ”。“ 辨认 ” 是认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。

从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。

第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ”、“ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系 ”。射线和直线涉及到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有 “ 直线 ” 的实物原型，这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有 “ 线段 ” 的实物原型。

类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生发展抽象能力和空间观念。

第二、基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念

新教材内容编排上增加了 “ 视图和投影、展开与折叠 ” 等内容。

视图和投影，过去小学没有，现在小学数学几何和图形当中，增加了观察物体，这部分在课标上有两个要求。

第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体的形状，这是辨认。很多教材里面是这样，有的是拿个实物，有的是拿熊猫玩具等，让孩子们从各种角度去看，看的时候，孩子们就发现，不同角度看到的熊猫不一样。

第二个学段的要求能辨认从不同方向，方向是从前面、侧面或者上面来观察，从不同方向看到物体的形状图，这个形状图实际上就是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。

例如

拍照的结果，虽然不是真正意义上的视图，但是它的确实现了，把三维空间向二维空间的一个转化的过程，这是过去小学没有的，现在有了，这两个阶段的目标要达到，就为第三学段的正式的视图和投影打下比较好的基础。

“折叠”和“展开”，过去教材也有，长方体、正方体、圆柱体的展开图。但是这个做法现在要加强，而且在进行折叠和展开当中，操作过程，必须要通过儿童的想象，这个过程本有什么实际意义呢？这是让孩子们认识到，立体图形的结构和展开图之间的这种对应关系。怎么让他来认识这个对应关系呢？

例如，“正方体展开图”课例。

通过课例可以看到，孩子可以折一折，通过操作找到结果；也可以不折，先想一想，我们提倡先想象，再动手验证，这样有利于发展学生的空间想象力，促进空间观念的形成。

让学生操作的时候，它不是一个简单的操作，首先得想象一下，可能会是什么样子，然后再通过操作，去验证自己的想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括动手操作，包括把这个过程表现出来，是非常重要的。

让学生的这种想象也好，操作也好，实际上进一步理解，我们讲三维和两维之间的这样一种关系，就是你讲的对应关系，是经历了下面过程。

“ 认识长方体、正方体和圆柱的展开图 ”，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。

图形与几何《认识长方体》教案 篇6

【教材分析】

本次课是小学数学六年级上册第1单元的内容，本单元是在学生初步理解了长方体与正方体概念之后才展开教学，一共设计了3个例题，2个练一练，1次试一试以及1个练习题。本次课文首先要求学生们区分现实物品的形状，而后给明长方体、正方体的概念，最后总结长方体和正方体的相同点。教材以训练学生培养空间想象能力为目的，从现实生活出发，选取了学生身边的事例、物品分析，从而使学生能够在脑海形成立体图形的观念，进而促进学生的全面发展。

【学情分析】

学习本节课之前，学生已经在一年级对长方体和正方体有了初步的认识，初步形成了空间观念，这一节课将在此基础上系统学习立体图形长方体和正方体的相关知识，所以，老师在讲授过程中应该先要使学生们明白，立体图形和平面图形之间的不同之处；接着再指导学生通过动手实践感受、观察、对比，了解到长方体与正方体之间的性状，从而认识正方体的长、宽、高，从而了解长方体与正方体之间的关联。

【教学目标】

知识与技能：初步掌握区分现实生活中的物品是否为长方体和正方体的方法，认识长方体和正方体的一些特征，能够找出长方体、正方体的长、宽、高。

过程与方法：通过动手实践感受观察一个长方体和正方体的具体特征，让学生学会分析问题，解决问题，增强其实践能力，并让其能够在脑海中建立图形的空间观念。

情感态度与价值观：增强学生之间的团队合作意识，让学生在学习过程中，能够将自己的日常生活与数学相联系，树立学生正确对待学习数学的态度，发展学生对于学习数学的兴趣，树立学生对于学习数学的信心。

【教学重点】

掌握长方体、正方体的特征，认识长方体、正方体的长、宽、高。

【教学难点】

学会分析问题，解决问题，并且能够在脑海中建立立体图形的空间观念。

【教学方法】

演示法、讲授法

【教学过程】

一、情景导入

教师提问：同学们，说一说下列生活中的物品是什么形状？（出示课件）

学生讨论，教师引入课题。

【设计意图】呈现生活情境，引导学生直观感受区分正方体和长方体，带动学生对于学习新知的积极性，启发引导学生思考问题。

二、探索新知

（一）认识长方体

师：请同学们观察老师手上这个长方体盒子，讨论交流一下你们看到了什么？

生：我看到了这个长方体有好几个面，并且它们都是长方形，它们一起围成了一个长方体。

师：同学们知道那两个面相交的地方叫什么吗？（生：棱）

师：那棱相交的地方又叫什么呢？（生：顶点）

小结:面、棱（面和面相交的线段叫作棱）、顶点（棱和棱的交点叫作顶点）。

在通过课件演示长方体的面、棱、顶点，让学生探讨交流，加深学生的印象。

师:下面我们以四人小组为单位分小组合作学习，来研究长方体的面、棱和顶点有什么特征。（分组讨论）

师:通过小组讨论交流后你们对于长方体有了什么认识了吗？

生:长方体都有6个面，有些面是长方形，也有些面是正方形。

师:这些面有什么特征呢?

生:长方体相对的面完全相同。

师:你是怎么知道的?

生:我借助工具用尺子测量比较了长方体的相对的长和宽，发现它的长和宽的是一样长的。（教师板书“相对的面相同”)

师:那有谁能说说棱的特点?

生: 一个长方体一共有12条棱，它们中的有一些棱的长度是相等的，还有有一些棱长度是不相等。

师:那同学们说一说，长方体中这些长度相等的棱它们一共可以分成几组呢?

生:在一个长方体中，它们的棱能分成3组，每组有4条，并且每组的4条棱长度都是相等的。（教师板书“相对的棱长度相等”)

师:有谁再来说一说长方体一个有几个顶点?

生:一个长方体一共有8个顶点。

小结:长方体是由6个长方形（在有些情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，它们的相对面是相同的，且其相对的棱具有相同的长度。

师：同学们，你们能区分一个长方体它的长、宽、高吗？（学生交流回答）

师: 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，我们分别把它们叫作它的长、宽、高。通常把水平方向的两条棱分别叫做长和宽，把竖直方向的一条棱叫做高。(课件出示概念)

（二）认识正方体

1、正方体的特征

师：同学们观察一下课件中的正方体有什么特征？

生：正方体和长方体它们都有6个面、12条棱和8个顶点。

生：正方形的六个面是完全相等的正方形，并且正方形所有的棱长都一样。

2、正方体和长方体的关系

师：小组交流分析长方体的所有特征，正方体都具备吗？

生：正方体它与长方体一样，它们都有着相同个数的面、棱和顶点。

生：正方体的相对的面和棱和长方体一样完全相同。

师：同学们很聪明，讲的都挺对的，所以这节课呀我们通过学习知道了两个立体图形它们的特征，那同学们再来总结一下这两个立体图形有哪些相同点和不同点呢？

生：长方体它与正方体一样，它们都有着相同个数的六个面、十二条棱和八个顶点。

生：长方体只有相对的面和棱相等，而正方体确是6个面和12条棱都相等。

师总结，出示课件完成表格。

（三）试一试，认识长方体（或正方体）展开图

观察书本上的例题，并交流分析正方体的展开图。

师:大家看到了正方体的展开图后它们有几个面呢?都是一些什么图形?

生:我们看到有6个面，它们都是正方形的。

师：那么就请同学们打开书本，自己按照书本要求去完成试一试，分析一个长方体沿着棱剪开的展开图是怎样的呢？

【设计意图】教师以学生为主体，让其经历了自主探究、合作学习这一过程，符合新课标教学理念。对于学生帮助其更好的理解实物中的抽象几何图形,有效地发展了学生的空间观念，让学生对新知内容的理解和记忆更加的深刻。

三、课堂总结

问题：同学们，通过这节课的学习，你收获了哪些新的知识？

学生回答，教师总结。

总结：这节课，我们认识了长方体和正方体的一些基本特征，明白了正方体是一种特殊的长方体。

【设计意图】帮助学生养成总结知识点的习惯；帮助学生加深对新知内容的记忆，使学生了解整节课的课程结构，帮助其在脑海中形成知识体系。

四、巩固练习

教师通过课件出示一些练习题，让学生自主完成后教师一一讲解。

【设计意图】进一步帮助学生去巩固今天所学过的内容，帮助学生更好的理解和记忆，同时提升学生对新知运用的熟练程度。

五、作业布置

1、课后完成练习一的1、2、3题。

2、预习课文6~7页。

3、课后观察生活中的哪些物品是长方体或者正方体。

【设计意图】布置课后作业使学生在课后进一步加强自己对新知内容的记忆，起到反复强调的作用。

【板书设计】

五、课后反思

图形与几何小结 篇7

一、概念形成阶段———做足感受、体验的过程

第1节“全等图形”的学习从观察生活中常见的图案入手, 引导学生欣赏生活中美丽图案的同时, 也丰富学生对全等图形的感性认识. 除了教材提供的素材以外, 也可以从与学生息息相关的生活题材中选取合适内容, 进而引导学生体会数学的实用价值. 揭示全等图形概念之前, 除了可以安排引导学生观察、描述图形特征的活动之外, 还可以借助几何画板或其他软件展示图形之间的运动变化过程, 并引导学生描述这种图形运动, 为归纳、总结、揭示全等图形概念的关键词———“重合”埋下铺垫, 也为后面学生想象图形运动积累感性认识与经验. 教材在安排观察图案之后, 进而安排了利用网格线画出运动后的图形这一操作活动. 这一安排设计旨在引导学生逐步学会运用图形运动的观点来认识和研究图形的性质, 以利于发展学生的几何直观能力和空间观念.

第2节“全等三角形”在概念认识上延续了运用图形运动的观点观察图形的学习方式, 不仅要求学生观察, 更是要求学生自己动手操作. 通过实际操作, 帮助学生积累对图形运动变化的感性认识, 培养学生用图形运动的观点去认识、理解几何图形. 其实这里的学习对学生而言有很大的个性空间, 不一定要拘泥于教材中“运动———画图”, “观察———想象”的套路, 尝试放手让学生自由发挥: “你能将两张全等三角形的纸片摆出什么造型或图案, 并尝试说出其中的对应边及对应角吗?”实际授课中发现学生的积极性很高, 思考问题更加积极, 显示出“我要学数学”的景象. 但只是操作、描述这样的活动, 笔者发现这样的设计与安排存在一定的缺陷: 因为是纸制的全等三角形, 一下子就将学生的注意力集中到两个三角形上. 而实际解决问题中, 有一部分学生是观察不出复杂图形中的全等三角形. 为了降低这一潜在因素的干扰, 培养学生抽象思维与识图能力, 笔者尝试在两张透明的塑料片上各画一个三角形 ( 两个三角形全等) , 通过调整两张塑料片的位置来实现两个三角形的运动.视学生的掌握情况, 适当添加全等三角形边以外的线段, 制造学习上的一点阻力 ( 当然这里要视学生的掌握情况而定) . 两个存在重叠与透视的全等三角形的运动, 对引导学生感受从复杂图形中分离出全等三角形积累一定的感性认识与经验. 这两节内容的教学, 培养空间观念应成为主要目标, 要给予学生充分的时间与空间, 让学生去探索, 去发现, 去交流, 去表达, 去感受, 去想象, 这样才能将培养学生的空间观念落到实处.

通过观察、操作等活动逐步引导学生运用图形运动的观点去认识、理解图形的性质的同时, 教材在这里还安排了课外阅读《图形的运动》, 介绍了平移、翻折、旋转等全等图形变换, 再次提出运用图形运动的观点来认识、理解全等三角形的性质, 使学生对图形运动观点有一个全面、整体性的认识.

二、应用所学解决问题阶段———充分观察、想象

实际教学中, 笔者发现不能很好利用全等三角形条件解决问题的学生, 困难之处往往在于难以从图中识别出全等三角形, 或者识别出全等三角形但是找不准对应边或对应角. 这两种问题的出现, 都说明学生在前期概念形成阶段对全等三角形积累的感性认识不足. 所以在利用全等三角形解决问题的教学过程中, 教师要有意识的引导学生主动地感受图形中的运动变化, 对图形形成一种直观的把握, 即对图形的一种感悟, 逐步认识图形在运动变化过程中所遵循的变化规律. 这一阶段, 图形的运动变化不可能再以操作形成呈现, 所以要借助于之前积累的图形运动变化的感性认识, 充分地发挥学生的想象能力.

而事实上, 空间观念的培养, 其核心就是想象. 例如根据几何图形想象对应的实际物体, 由二维图形去想象和它对应的三维图形, 由坐标系想象物体的方向和位置关系, 根据语言文字描述想象图形并画出图形. 类似的展开与折叠也是这样, 一个平面图形能否折成三维图形, 都是想象在起作用. 所以, 从刚刚接触运用三角形全等条件解决问题时, 教师就要非常有意识地引导学生主动感受图形中存在的运动变化关系, 不管图形有多简单或多复杂. 这样做的好处非常明显, 学生如果能够感受到图形中的运动变化, 他就能够找到全等三角形的对应边及对应角, 接下来就是利用已知条件转化出所需的边相等 ( 或角相等) 就可以了. 有时学生对问题的理解与认识会擦出闪亮的火花.

例 ( 《义务教育教科书数学八年级上册》 ( 江苏科技出版社) 第36页第11题) 如图1, AC⊥BC, DC⊥EC, AC = BC, DC = EC. 图中AE、BD有怎样的大小关系和位置关系? 试证明你的结论.

分析: 证明两条线段相等的常用方法:如果两条线段位于两个三角形中则考虑证明这两个三角形全等.

你观察出图中的全等三角形了吗? 它们之间存在哪种图形变换?

分析进行得比较顺利, 学生很快完成两条线段的大小关系证明. 接下来的位置关系把学生难住了, 一位女生小心地问道:“教师, 我这样证明可以吗?”结果让笔者有点小意外: △ACE绕C点逆时针旋转90°后可与△BCD重合, 故AE⊥BD.

初中数学几何推理与图形证明对策 篇8

关键词：初中数学 几何推理 图形证明

几何是要求空间感与立体感相结合的学科，在几何的推理与图形证明过程中，既充满了挑战，又包含了很多乐趣。几何推理与图形证明是数学题目中相对有趣的内容，需要解题人保持清醒的头脑，能正确运用线条来解答题目。初中数学的几何推理与图形证明着力于立体空间，解题方法也以辅助线为主。因此，初中的数学几何一定要在空间教学中做足功夫，这样可以帮助学生更好地解决难题。

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时，推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类，即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系，要大胆地猜想图形中可能存在的关联性，哪些点之间可以连成线，也可从一点或一线入手，或在一面中做出线段，使其分成多面，以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点，并运用其特点进行推算。在平时的推理中，我们应多看一些必要条件，如平行、相等、相似等字眼，也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维，可以把看似没有关系的线段和面結合在一起，这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系，只有在同一空间下的线和面才可连接，不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

（一）掌握简单图形

初做立体几何题时，学生会分不清几何与代数之间的差别，有时也会用错方式和方法，这时只要巧妙运用基本的几何图形，就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见，通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解，在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的，所以学生在做题时不用担心找不到解题方法，只要把基本的图形从复杂图形中挑出来，几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种，有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形，所以我们在运用基本图形时，可以多变化几种形式，如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等，这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

（二）图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时，我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，一步一步地进行解答，这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形，我们可以根据已知条件来进行，这样的分离方式不会遗漏任何条件，并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单，对学生解题就越有利，所以在分析图形时，积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中，题目的各个给出条件都是很重要的，通过这些，我们可以知道哪些是已经知晓的，可以直接用来解题，哪些条件能够推出结论，特别是在复杂的命题面前，这些因素都要考虑。在解题中，找到各种条件是很重要的，把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键，如从已知条件推出什么样的结论，什么样的结论该由哪些条件推理得出，包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤，题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此，掌握好各要素，并加以分析，在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

（一）辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分，辅助线可以分解图形，更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时，我们要仔细观察图形的特点，比如，三角形的辅助线多以某一顶点开始；而立方体的辅助线多是在空间中体现的，有时甚至是在不同面连接而成。

（二）合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力，单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中，只有找到几何推理的窍门并加以运用，才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系，以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后，一定要标明各个线面的名称，为后续的推理做铺垫。在几何推理中，面面证明和线线证明是很重要的，我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题，所以在几何解题中，我们要保持清醒的头脑，知道辅助线的运用及合适的位置，以便顺利完成几何题的推理过程。

参考文献：

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究：初中版，2014（10）.

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学，2014（104）.