数的整除性找规律问题

数的整除性找规律问题（共8篇）

数的整除性找规律问题 篇1

数的整除问题奥数试题及答案

试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除?如果回答：“可以”，则只要举出一种排法;如果回答：“不能”，则需给出说明.

考点：数的整除特征.

分析：根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的.自然数中只有33个是3倍数，所以不能.

解答：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，

按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，

其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.

从而一共会有不少于40个数是3的倍数.但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，

导致矛盾，所以不能.

答：不能.

数的整除性找规律问题 篇2

1 科学研究的思路

在世界上，以数学为内容的竞赛有着悠久的历史：古希腊时就有解几何难题的比赛；我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；16世纪在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争；17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，法国的费尔马就是其中的佼佼者，他所提出的费尔马大定理向人类的智慧挑战了300年；18世纪，法国曾经进行过独立的数学比赛；19世纪，法国科学院以悬赏的方法征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现. 数学王子高斯就是比赛的优胜者，……但是，所有这些比赛，都只有局部的性质并且限于在成人之间进行，而专门以中学生为对象的数学竞赛却是现代的时尚.

国际奥林匹克数学竞赛命题紧密结合中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一. 数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动. 通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质. 数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式. 数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情.

数学是科学发展中的重要工具，历史证明它给人们处理问题的巧妙方法并启迪人们思维. 猜想是创造思维的先导，猜想之余就是周密细致、艰苦的论证，符合逻辑推理、符合自然规律、符合实际情况的猜想皆形成理论. 哥德巴赫猜想引起许多象陈景润这样的大师论证；我们大家的老师欧拉在数学领域中是富翁，他也是先提出很多猜想，进一步论证；我国数学家微分几何之父陈省身的弟子丘成桐现在美国哈佛大学是微分几何阵地的领先者，他先后证明了有名的几个猜想，并且自己提出了一百多个猜想且一一进行了论证，大胆猜想才会有创造.^[1]

2 费马小定理

3 国际奥林匹克数学竞赛题

4 国际奥林匹克数学竞赛题的命题规律及解题方法

国际奥林匹克数学竞赛题按代数、数论、几何、组合数学、组合几何等分类，确定试题难度（A、B、C三级），选择30题左右，其中初等数论常在一套题中占16. 而在初等数论中，数的整除性、同余式占有十分重要的地位. 应用费马小定理、牛顿二项式定理，采用巧妙、灵活的分组方法证明被除数中含有除数的全部质因子. 对数的整除性还可以应用反证法、数学归纳法、等价关系等方法求解. 应用这些解题方法的具体解题过程祥见我们即将出版的《历届国际奥林匹克数学竞赛题题解》.^[9]

参考文献

[1] （美）M.克莱因著，北京大学数学系数学史翻译组译.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，1981:3-56.

[2] 《数学手册》编写组. 数学手册[M].北京：人民教育出版社，1979-5:12-87.

[3] 潘承洞，潘承彪. 初等数论[M].北京：北京大学出版社，2005-7:36-88.

[4] Gauss,C.F. :Disquisitiones Arithmeticae, trans.A.A. Clarke,yale University press,1965:26-45.

[5] (美)G.H.Hardy;E.MWright An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press 2007-3:42-78.

[6] 华罗庚著. 数论导引[M].北京：科学出版社，1957-07:10-125.

[7] 张贤科.代数数论导引(第2版)[M].北京：高等教育出版社2006:20-56.

[8] （美）JosephH.Silver man Friendly Introduction to Number Theory,(3rdEdition)Prentice Hall/ Pearson 2006:35-89.

[9] Kenneth Ireland, Michael Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd ed Springer-Verlag 2003-6:15-50

作者简介 刘宝成，1963年生，男，陕西省凤翔县人，机械工程硕士在读，副教授，陕西航空职业技术学院机械系材料成型教研室主任，从事模具设计与制造专业教学和研究.

第一章 数的整除教材分析 篇3

教学中要注意的问题

“数的整除”作为小学算术、小学数学的教学内容由来己久。这部分内容的特点是概念多，而且抽象，概念之间的联系紧密。因此被认为是小学数学中发展学生的逻辑思维能力，特别是判断、推理能力不可多得的重要内容。二期课改中把这部分内容编排在初中阶段。

本章中概念较多，而且比较抽象，概念的前后联系 非常紧密，教学时要找准知识的“固着点”和“生长点”，联系学生己有知识，通过具体事例来讲清概念，使用教材中的图表和集合图给学生提供表象支撑，加强概念的理解。再通过例题巩固相关内容；最后回到解决实际问题中去深化理解。减少运算的训练量，注重运算的合理性和多样性.1.理解自然数和整数的定义

2.在本章学习的整数，在没有特别说明时，都是指正整数.3.理解整除的意义

整除的意义：整数a除以整数b（记作a÷b），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除(a÷b);或者说b能整除a(a÷b)．

训练学生规范表述整除的两种表达方式 4.整除的条件：三整一零 5.整除和除尽的关系

6.理解因数和倍数的意义及它们之间的 相互依 存关系，整数a能被整数b整除(a÷b)，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(注意完整表述)．掌握求一个正整数的因数和倍数的方法，知道一个数的因数有有限个，倍数有无限个，注意不遗漏.本章只限制在正整数范围内研究问题，所以不必扩展, 不必对学生作解释，只要教学时不涉及0就可以了.找一个数的倍数或因数，既能巩固倍数和因数的

概念，也为研究2，5的倍数的特征以及建构素数和合数的意义作准备.探索找一个数的倍数或因数的方法，教学重点是建立相应的数学模型，经历“实际问题一数学模型一解释应用”的过程.7.有关数轴

8、《数学课程标准》明确要求:在1--100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数;在1--100的自然数中，找出某个自然数的所有因数.教材在编排练习题时，严格遵守这些规定。第7页第4题写36等的倍数，只要从小到大写出3个，并用省略号表示个数无限。

另外，第2题让学生体会倍数与因数是一种关系，客观存在于两个具体的自然数之间。因此，要通过完整的语言表达关系，让学生体会这种关系，如2是4的因数、4是2的倍数，不能说成“4是倍数”或“2是因数”.9、偶数的概念、特征，最小的偶数

整除问题一般限定在正整数范围考虑，所以实 际仅仅研究了正奇数、正偶数.10、教学被2，5整除的数的特征，能进一步理解倍数的意义，2和5的倍数的特征都表现在数的个位上，比较明显，易发现，引导学生通过操作、观察、比较、分析，主动发现和归纳特征.11、教学中补充能被3整除的数的特征，对后面的学习是有益的，例如判断一个正整数是素数还是合数时，对于87，知道它能被3整除，那一定是合数；在用短除法解决问题时等等.12、理解素数和合数的概念，课本列出100以内的素数表，不要求学生背出这些素数，但是熟悉20以内常见的8个素数还是必要的，还有一些数，如39、51、91等是合数.13、“1”既不是素数也不是合数是一种规定，应使学生 知道这种规定的合理性，进一步明确素数和合数概念的内涵。

在讲完概念后，可以结合练习1、2增加练习，引导学生区分因数和倍数，素数和合数，奇数和偶数等不同 概念，防止将所学知识相互混淆.14、理解素因数的意义，对于一个数的素因数，要理解两种不同的要求：对于一个数有哪些素因数，必须说出它的每一个素因数，如24的素因数有4个：2，2，2，3，而不能只说2和3；而对于哪些数是一个数的素因数，则可以根据要求来说，如2和3都是24的素因数.15、分解素因数

初中数学竞赛之数的整除教案 篇4

设有两个整数a,b(b0)，如果存在另一整数q，使得aqb，则称a能被b整除；或称b能整除a；

b

若b能被a整除，我们称a是b的倍数，b是a的约数，并记作b|a.若a不能被b整除，则记作aŒ我们曾学过下述有关整除的判别法则：

（1）被2或被5整除的数的特征是：末位数字能被2或5整除（2）被4或25整除的数的特征是：最后两位数字能被4或25整除（3）被8或125整除的数的 特征是：最后三位数字能被8或125整除（4）被3或9整除的数的特征是：各位上的数的和能被3或9整除

（5）被11整除的数的特征是：奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除 1.判断下列各数那些可以被4整除？那些可以被25整除？

457565

456575

184062

186240

333325436 2.789789、456456456456、67896789、***819能被11整除吗？

在解题过程中我们常用到下述性质 性质1 若ab，bc，则ac.证明：a|b,b|c

存在正整数p和q，使得bpa，cqb

代入可得cq(pa)(qp)a

a|c

性质2 若证明：a|b,a|c，则a|(bc)

a|b,a|c

 存在正整数p和q，使得bpa，cqa  bcpaqa(pq)a

 a|(bc)

同理我们可以得到：若a|b,a|c，则a|(k1bk2c)，其中k1,k2为整数 性质3 若a,b互质，且abc，则a|c 性质4 若a,b互质，且 a|c,b|c，则ab|c 例1.已知九位数32a35717b能被72整除，求a,b

提示：能被72整除则一定既能被8整除又能被9整除

练习1： 已知七位数13xy45z能被792整除，求x,y,z

例2.|9x5y）已知7|(13x8y)，证明：7（证明：因为9x5y5(13x8y)7(8x5y)又又 7|(13x8y)， 7|5(13x8y)

7|(8x5y)

7|[5(13x8y)7(8x5y)]

|9x5y）即7（注：对于“已知式子A能被数p 整除求证式B能被p”类题目，其思路为：将B表示成被7整除的代数式的形式即可；比如此题，就可以将B表示为：Bk1A7C（其中C为含字母x、y的整式）的形式。其问题在于如何找出k2和C，我们可以采取以下方法：

我们不妨假设9x5yk1(13x8y)7(k2xk3y)

我们知道对任意的x,y 等式左右两边恒等，所以化简成MxNy0的形式后各系数为零 可得：k213k1958k1，k3

由于k2,k3都是整数，所以简单试验可得：

k15,k28,k35

进而得到：9x5y5(13x8y)7(8x5y)

|9xy5）y8 吗？)

思考：反过来，已知7（，你能证明7|(1x3练习2：已知x,y为整数，17|(2a3b)，证明：17|(9a5b)

练习3 已知x,y为整数，且5|(x9y)，证明：5|(8x7y)

四年级奥数数论数的整除专项试题 篇5

例1.在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?

解：如果56□2能被9整除，那么

5+6+□+2=13+□

应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;

如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;

如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

数的整除性找规律问题 篇6

1、在自然数范围内，最小的质数是()，最小的合数是()，最小的奇数是()，最小的偶数是()，最小的自然数是()。

2、在小于20的自然数中，奇数有()，偶数有();质数有()，合数有( )，既不是质数又不是合数的是( );3的倍数有( )，含有约数5的数有( )。

3、在13和52两个数里()能被()整除，()是()的因数，()是()的倍数。

4、在10÷4，100÷20，10÷3，12.5÷0.5，28÷6，121÷11这些算式中，整除的算式有()，除尽的算式有()。

5、一个数的最小倍数是24，这个数的因数有( )。

6、在1、23、4、5、15、45、65、90、270中，( )是45的.因数，()是15的倍数。15和45公因数有()，4和15的公倍数有()。

7、在39、47、51、63、71、21、37、53、91中，质数有()，合数有()。

8、42的因数有()，这些因数中，()是质数，()是合数。42的质因数有()。

9、能被3和5同时整除的最大两位数是();是2的因数，又是3的倍数，还能被5整除的最小三位数是()，把它分解质因数是()。

10、在1至10之间的十个数中，()和()两个数既是合数又是互质数;()和()两个数既是质数又是互质数;()和()一个是质数，一个是合数，它们都成互质关系。(答案不唯一，填一组即可)

数的整除性找规律问题 篇7

教学内容：教科书第86―87页，练习十九的习题。

教学目的：

1.使学生掌握整除、约数和倍数、质数和合数等概念，知道它们之间的联系和区别。掌握能被2、5、3整除的数的特征。会分解质因数。会求最大公约数和最小公倍数。

2.使学生在理解的基础上掌握分数、小数的基本性质。

教学过程：

一、数的整除

1、整除的意义：

教师：想一想，“什么叫做整除?”指名回答

教师进一步强调：“整除中说的数是什么数?”(整。)

“商是什么数?”(整数)“有没有余数?”(没有余数)

教师：“什么叫除尽?”，“两数相除，余数是0。”

“整除和除尽有什么联系和区别?”指名回答。

教师根据学生的回答，整理出下表：

教师：“可以看出整除是除尽的一种特殊情况。”

2、能被2、5、3整除的数的特征。

教师：“我们已经学过能被2、5、3整除的数的特征。同学们还记得吗冲指名说一说。然后提问：

“能被2、5整除的数，在判别方法上有什么共同的地方?”(都根据个位数进行判别。)

“能被3整除的数。在判别方法上与能被2、5整除的数有什么不同?”(根据各个数值上的数之和进行判别。)

教师：“什么叫做奇数?什么叫做偶数?”

“根据什么来判断―一个数是奇数还是偶数?”

3、约数和倍数：

教师：“据整除的概念可以得到约数和倍数的概念：什么叫做约数?什么叫做倍数?”指名就一说。(如果a能被b整除。a就叫做b的倍数。b就叫做a的约数。)为了使学生进一步明确约数和倍数是相互依存的，教师可以接着提问：

“能说6是约数.15是倍数吗：应该怎么说?”

教师说明：在研究约数和倍数时.我们所说的数一般只指自然数，不包括0。

教师：“一个数的约数的个数是怎样的：”(有限的。)

“其中最小的约数是什么数：最大约数是什么数?”(1.这个数本身。)

“一个数的倍数的个数是怎样的：”(无限的。)

“其中最小的倍数是什么数?”(这个数本身。)

做练习十九的第：题。让学生直接做在书上。教帅可以说明做的方法：在含有约数2的数”下面写“2”，在3的倍数下面写“3”。在能被5整除的数下面写“5”，然后再进行判断。集体订正。

4、质数和合数。

教师指名说一说质数、合数的.概念。可有意识地让学习有困难的学生说，其他同学进行补充。

教师：“怎样判断――个数是质数还是合数?”(检查这个数约数的个数.或查质数表。)指名说―说30以内有哪些质数。

让学生进行判断：―个自然数如果不是质数，那么一定是合数。学生判断后，教师说明：1既不是质数.也不是合数。

5、分解质因数。

指名说一说质因数、分解质因数的含义。

做练习十九的第5题。学生独立解答。教师巡视.集体订正。

6、公约数、最大公约数和公倍数、最小公倍数。

(1)复习概念。

教师：“什么叫做公约数?什么叫做最大公约数?”(几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的―个叫做这几个数的最大公约数。)“怎样求几个数的最大公约数?”让学生举例说明。

“什么叫做公倍数?什么叫做最小公倍数?怎样求几个数的最小公倍数?”让学生举例说明。

教师：“什么样的数叫做互质数/(公约数只有l的两个数叫做互质数，)

“质数和互质数有什么区别?”(质数足一个数。只有1和它本身两个约数;互质数是两个数.只有公约数1。)

“两个不同的质数一定互质吗?”(两个不同的质数―定互质。)

“互质的两个数一定都是质数吗?”(不一定，如4和9互质，4，9都是合数。)

(2)课堂练习

做练习十九的第1题、先让学生独立判断，集体订正时。让学生说―说判断的理由。

做练习十九的第4题。学生独立解答。教师巡视，集体订正。

教师根据前面的教学.整理出教科书第86页的概念联系图。也可以把该图变化成如下形式。

能被 2，3，5整除的数的特征

偶数

奇数

质数、质因数

整、除、约数、合数、分解质因数

互质数

公约数

最大公约数

倍数、公倍数、最小公倍数

二、分数、小数的基本性质

先指名说出分数的基本性质和小数的基本性质，然后让两名学生举例说明。

教师：“分数的基本性质和小数的基本性质有什么联系?”多让几个学生说一说，使学生明确分数的基本性质与小数的基本性质是一致的。

教师：“小数点移动位置，小数大小会发生什么变化?”

做教科书第87页下面“做一做”中的题目。学生独立解答，集体订正。

三、小结(赂)

四、作业

数的整除性找规律问题 篇8

五年级数学能被2和5整除的数的特征教学反思

数学课程标准指出：一节好的数学课应为学生创设宽松和谐的学习环境、要关注学生的学习过程，让学生有体验学数学的机会、运用灵活的方法，适应学生的实际和内容的要求、为学生留下思考的时间。上完能被2、5整除的数的特征一课，孙老师的评课给我留下了深刻的印象。她指出：“一节好课也不能只凭学生回答问题的好坏或齐答是否一致作标准，应从她们的实践活动和练习操作中去体现掌握的程度如何，也不要让学生整齐、响亮回答的声音所同化。因为她们当中有相当部分学生只注重表面的回答，但在实践当中往往有找不着北的感觉。同时也强调写教学反思也不能泛泛而谈，应从知识的基本点出发，找错例、作对比、导差生、善评讲、再强化。”例如在学完能被5整除的数的特征后，进行巩固练习时，有一道题要求把下面各数填在方框中(10、45、88、201、355、482、1006、23)，在填有约数5这方框时有一个同学填了(45、201、55、23)，由于这一节是视导课，又到了下课时间而没有及时究其原因，回想起来的确是浪费了一个针对性很强的错例分析。课后问明原因才知道，他只了解到个位上是5的数都能被5整除，而个位是5的数又是奇数，故认为是奇数都能被5整除，后来跟他补了一课才恍然大悟。也充分说明学生大声整齐的回答是表面的理解，没有真正理解特征的含义。因此在课堂教学中很有必要把学习的主动权交回给学生，充分给她们搭建一个共同探讨、互相交流的平台，让她们在议中想、说中辩、练中思，真正成为学习的主人，使知识在她们的脑中产生化学变化，从而起到举一反三的作用。

孙老师的.点评又使我感受到数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往与共同发展的过程。数学教学要注意紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动掌握基本数学基础知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题从而激发对数学的学习兴趣以及达成学好数学的愿望。能被2、5整除的数的特征的教学设计我作了大胆的尝试，屏弃了传统的设计理念，一切从学生的实际情况来设计教学的全过程，教学效果良好，受到孙老师的好评(教材的了解全面，知识点备得较细，有一定的拓展，学生讨论热烈，生生互动积极，师生互动亲切、融洽，板书能抓重点，一目了然，激励性措施的实施效果好)。