为什么三角形的内角和是180度

为什么三角形的内角和是180度

为什么三角形的内角和是180度 篇1

曾老师设计的教案中，第一部分是让学生运用猜想、图形剪拼、测量、归纳等方法发现这样一个结论：“三角形的内角和是180°”，第二部分教学内容就是运用演绎方法证明结论（教学过程如下）。

“（二）运用演绎方法证明结论

师：三角形的内角和确实是180°，如何用我们学过的数学知识来证明这个结论呢？

生：对于直角三角形，可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形（图略）。长方形四个角是直角，其内角和为90°×4=360°，这样每个直角三角形的内角和为180°。对于锐角和钝角三角形，我还没想出来。

生：对于非直角三角形，可以在内部作一条高，将其分成两个直角三角形（图略）。这样两个直角三角形的内角和为360°，减去高与底边所成的两个直角的度数，就得到所求的非直角三角形的内角和为180°。……

师：嗯，非常好！这样，我们就成功地证明了‘三角形的内角和为180°’这个非常重要的数学结论。”

事实上，这个被教师称为“成功的证明”并不是用演绎推理方法进行的“证明”，其“证明”过程中存在着两个值得商榷的问题。

一、 “长方形的内角和是360°”是怎么得到的

证明过程中用到了“长方形的内角和是360°”这个结论，这个结论是怎么得到的？

一般地，“四边形的内角和是360°”是通过将四边形用对角线分成两个三角形，再由“三角形内角和是180°”推导出来的。因为长方形是四边形，所以内角和是360°（当然也可直接将长方形分成两个三角形进行推导）。人教版教材在“三角形内角和”的教学中还安排了这样一个练习：“根据三角形内角和是180°，你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗？”由此可知，小学中求多边形内角和确实以“三角形内角和是180°”为依据。这样一来，证明过程就会有“循环证明”之嫌。好在长方形是特殊的四边形，教师可以不用“三角形内角和是180°”为依据，而是可以根据它的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”及平行线的某些性质（例如同旁内角互补）推导出长方形四个角都是直角，从而得到了“长方形内角和是360°”的结论，但是“平行线的性质”是初中数学的教学内容，并不是四年级小学生所掌握的知识，论证过程中不好应用。曾老师也许考虑到了这一点，因此提出了另一种说法，认为长方形四个角都是直角是“默认为正确的而不加以证明，相当于平面几何中的公理”。为了证明需要，就把“长方形四个角都是直角”当作“公理”而不加以证明，并且把它当作演绎推理的依据，这样处理不是很妥当。其实，即使把“长方形四个角都是直角”当作“公理”，仅用小学数学中的一些知识，要用演绎法来证明“三角形的内角和是180°”也是做不到的。

二、 两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形

学生在开始“证明”时就提出：“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。”这正是“证明结论”的关键。然而，正是这句话出了问题。试想在还不知道直角三角形的内角和是180°时，怎么能知道这样两个直角三角形一定能拼成一个长方形呢？

为了方便，笔者借助图形来说明问题。

假设△ＡＢＣ和△ＣＤＡ是两个完全一样的直角三角形，其中∠Ｂ=∠D=90°，∠２＝∠４，∠１＝∠３，ＢＣ＝ＤＡ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＣＡ，把这两个三角形如图所示拼起来，如果能拼成一个长方形，那么必须满足条件：∠１＋∠２＝90°，∠３＋∠４＝90°。由于∠２＝∠４，∠１＝∠３，所以就有∠１＋∠４＝90°，∠２＋∠３＝90°。由此可知，当你说“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形”时，已经应用了直角三角形的内角和是180°”这个结论。这样一来，证明过程就形成了这样一个怪圈：先默认直角三角形的内角和是180°，否则它的两个锐角就不能拼成一个直角）→它的两个锐角可以拼成一个直角→两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形→长方形内角和是360°→每个直角三角形的内角和是180°。显然，用这样的方法来证明“三角形的内角和是180°”是错误的。这种“证明”方法的实质是用直角三角形的两个锐角拼一拼，而且没有任何理由就认定了这两个锐角拼成了一个直角，这根本不是在用“演绎方法”证明“直角三角形的内角和是180°”。再以此结论为依据来证明“非直角三角形的内角和也是180°”就失去了意义。像这种错误的“证明”也并不鲜见，例如在《中小学数学》2009年第12期中刊登的《“三角形内角和”一课的教学现象分析与思考》一文中也是用这种方法证明的，在公开发表的这些文章影响下，估计这样的错误证法还会在课堂教学中出现，对此教师应该予以足够重视。

要证明“三角形的内角和是180°”是需要以平行线的性质为基础的，在初中数学教材中，应用平行线的性质很容易用演绎推理的方法证明这个结论（证明略）。华东师大的张奠宙教授曾在《小学教学》（数学版）2011年第3期中指出：“要证明三角形内角和的定理，平行公理无论如何是绕不过去的。”显然，学生在未掌握平行线性质的情况下，要用演绎推理的方法来证明“三角形内角和是180°”是不可能的，而事实上也是没有必要的。《数学课程标准（实验稿）》第24页对这一内容提出的教学目标是了解“三角形内角和是180°”，与四年级下册数学教材（人教版）配套的《教师教学用书》第135页上对这一内容提出的教学目标是知道“三角形的内角和是180°”。有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标，例如对于“三角形内角和”这一教学内容，不仅要学生“知道三角形内角和是180°”，而且还要求他们用演绎推理的方法来证明，这样做有时真的会“弄巧成拙”。

文中不妥之处敬请各位老师批评指正。

（浙江省杭州师范大学初等教育学院 310036）