矩形的教案

矩形的教案（精选12篇）

矩形的教案 篇1

教学目标 18.2特殊的平行四边形 《矩形的性质》的教学设计

知识与能力：掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

过程与方法：经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。

情感态度价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值。

教学重点：矩形的性质．

教学难点：矩形的性质的灵活应用．

三、例题的意图分析

例1是教材的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例

2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．

四、课堂引入

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象． 【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质． 矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

五、例习题分析

例1已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．

解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC与BD相等且互相平分． ∴ OA=OB． 又 ∠AOB=60°，∴ △OAB是等边三角形．

∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．

例2（补充）已知：如图，矩形 ABCD，AB长8 cm，线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x282(x4)2，解得x=6． 则 AD=6cm．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．

例3（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF⊥AE，∴ ∠AFD=90°．

对角长． 的计想，解12质2个性12 ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，∴ △ABE≌△DFA（AAS）． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

六、随堂练习1．（填空）

（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是 ．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．

（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm，cm，cm，cm．

2．（选择）

（1）下列说法错误的是（）．

（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等

（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对 3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

七、课后练习

1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对长为15cm，较短边的长为（）．

(A)12cm(B)10cm(C)7.5cm(D)5cm 2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠B的度数．

3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，证：EA⊥ED．

4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．

【教学反思】

求A、∠角线平分

矩形的教案 篇2

1. 组合刀具

(1)组合刀具结构

该组合刀具结构如图2所示,其主要由左车刀1、右车刀2、定位销3、调整螺钉4、压紧螺钉5、组合刀体6等组成。

1.左车刀2.右车刀3.定位销4.调整螺钉5.压紧螺钉6.组合刀体

刀杆与刀片为焊接,左车刀1、右车刀2的刀杆采用45号优质碳素结构钢制作,经热处理后硬度为HRC28～32。刀片采用抗冲击韧性和耐磨性较好的YG8型硬质合金。

(2)刀具几何参数

为提高切屑橡胶时的排屑效果,将左车刀1的主切削刃磨削成直线形刃口,右车刀2的主切削刃磨削成90°。当左车刀1、右车刀2组合在一起后,其中间留有缝隙。切削时切屑可以从该缝隙处排出。

左车刀1的外侧面为10°,内侧面为2°,且向左倾斜;右车刀2的外侧面也为10°,内侧面也为2°,且向右倾斜。为提高刃口强度,使切削轻快,刀具楔角很小,一般定为8～10°为宜。为提高刀尖强度,防止刀)尖崩裂,左车刀1、右车刀2在装配后2刀尖之间留有0.03～0.05mm的间隙。考虑到橡胶材料具有较好的弹性变形恢复能力,为确保螺纹尺寸的精确,在刃磨车刀时,应使刀具宽度比螺纹额定宽度宽0.1～0.15mm,以抵消切削后橡胶弹性变形的回复量。

(3)组装和调整

2个定位销3的作用是快速、精确地实现左车刀1、右车刀2的组合装配。调整螺钉4的作用有二:一是用于调整左车刀1、右车刀2安装间隙;二是与压紧螺钉5配合,将上述刀具紧固在组合刀体6上。橡胶螺栓的螺纹两侧面分别由2把刀具的刀刃车削成形,为此,车削时加工余量依次减小,切削轻快,矩形螺纹牙形精度、螺纹加工表面质量、加工效率均较高。

2. 加工工艺

车削螺纹前,先在工件切入部位外圆处加工倒角,以使车刀切入工件的过程由浅入深,逐渐切入,入刀稳定。

(1)刀具安装高度

为减小车刀外侧面与工件螺纹加工表面的摩擦面积,从而减轻切削阻力及工件的弹性变形,车刀应按图3所示进行安装,刀具中心与工件中心差值H可根据下列经验公式计算:

式中:H——刀具安装降低值,mm;

R——工件半径,mm。

(2)切削深度与切削速度

刀具低位安装,将对工件螺纹深度产生影响。为消除此影响,应对工件切入深度应作调整,其实际切入深度t应比螺纹的廓形深度h大,具体t值可按照下式计算:

式中:t——实际切入深度,mm;

h——廓形深度,mm。

将刀具安装并调整好后,须按照设定的1 00～130m/min切削速度,一次将螺纹切削完成。

(3)冷却方式

为降低切削温度,提高螺纹表面加工质量和刀具的使用寿命,减少高温切削过程中产生的有害气体对操作者工健康的危害,车削时应采用压缩空气进行冷却。

1.工件2.切刀

3. 车削效果

矩形中的折叠问题 篇3

如图1，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，已知折痕[AE=55cm]，且[tan∠EFC=34]，

（1）△AFB与△FEC有什么关系？

（2）求矩形ABCD的周长。

分析与解

[已知条件＼&隐含条件＼&矩形ABCD＼&[∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°]，即图中有直角三角形；AB=DC、AD=BC＼&折叠＼&△AED≌△AEF，则AD=AF，DE=FE，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，

∠AEF=∠AED＼&由同角的余角相等得∠FAB=∠EFC（∠AFB的余角），∠AFB=∠FEC

（∠EFC的余角）＼&[tan∠EFC=34]＼&[ECFC=34]＼&[AE=55cm]＼&＼&]

对于第（1）问，很容易证得△AFB∽△FEC.

对于第（2）问，有以下几种设元方式：

情况一直接设元AD=x，方法行不通。情况二直接设元AB=x，由△AFB∽△FEC，可以得到[BFAB=ECFC=34]，可建立方程，但计算较复杂。其他几种情况都是间接设元，其中情况三不能求解，情况四、五、六、七可利用△AFB∽△FEC得到的边关系用勾股定理建立方程。其实只要是对与此比例式有关的线段进行设元，都可求解。但情况七的计算最为简便。

解决矩形中的折叠问题，关键是：

1. 抓住折叠本质。①折起部分与重合部分是全等的；②折起部分与重合部分是以折痕为对称轴的轴对称图形，且对称轴垂直平分对应点之间的连线。

2. 找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系。

3. 结合三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识，设出恰当的未知数，建立方程求解。

我们一起看看下面几组变式。

变式一：变条件。

如图2，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上的点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m>0. 求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；

变式二： 变顶点位置。

如图3，在一面积为1的正方形纸片ABCD中，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则MP=_________。

变式三：变折痕位置。

已知：矩形纸片ABCD，AB=2，BC=3。

操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上。

探究：（1）如图4，若点B与D重合，你认为△EDA′和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由。

（2）如图5，若点B与CD中点重合，求△FCB′与△B′DG的周长之比。

矩形教案 篇4

教学目标：

1．掌握矩形的概念、性质和判别条件．

2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力．

教学重点、难点：

教学重点：本节课的重点是矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握． 教学难点：本节课的难点是矩形的性质和常用判别方法的综合应用．

教学过程：

课前准备：

教具准备：像框；用四根木条制作一个平行四边形教具． 学生用具：皮筋，活动的平行四边形框架． 第一环节：巧设情境问题，引入课题

给出活动的平行四边形教具，请学生观察当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会形成怎样的特殊图形情况．进而引入本节课的主题——矩形． 第二环节：讲授新课 主要环节：

（1）根据演示过程，请学生尝试给矩形下定义．（2）寻找生活中的矩形．（3）探索矩形的性质．

（4）通过练习，加强学生对矩形性质的理解．（5）矩形的判定．

（6）从对称的角度再认识矩形．

矩形是学生比较熟悉的图形，小学甚至更早学生就已经接触到．但是当时对于矩形的理解和认识是停留在表象层面的，即提到矩形，学生往往联想到的是具体的图形和形象，不能离开实物去研究图形．随着学生的思维水平的提高，这里采取的动画的方式，请学生给矩形下定义，就是要让学生在直观从把握矩形的本质特征，从而将对矩形的理解上升到形式化的高度． 对矩形性质的探索，采用了类比的方式，在平行四边形性质的基础上加强条件．在讨论的过程中，进一步得到了直角三角形的一个性质（斜边上的中线等于斜边的一半）通过将性质“反过来“的方法（逆命题），得到矩形的判定条件． 第（3）－（6）的主要过程：

拿出准备好的平行四边形活动框架，来做一做：

在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：

（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

（2）当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？（3）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？（学生进行活动，探索矩形的性质）

当∠α是锐角或钝角时，两条对角线是不相等的．

当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度相等． 归纳矩形的性质：（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”．）矩形的对边平行且相等；

矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分； 矩形是轴对称图形．

如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ． 【证明】：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°．

A Q B

C D

P ∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°，∴∠PBA=∠ABC－∠PBC=30° ∠PCD= ∠BCD－∠PCB=30°． ∴∠PCQ=∠QCD－∠PCD=30°． ∴∠PBA=∠PCQ=30°．

（2）∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC，∴△PAB≌△PQC，∴PA=PQ．

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB6，AE9，DE2，求EF的长．

A E D F B

C

【证明】：∵四边形ABCD是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9 ∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵△ABE∽△DEF，∴

AE2AB29262117，ABBE6117，即，DEEF2EF∴EF=117． 3采用逆命题的方式得到矩形的一个判定方法，进一步总结矩形的两个判别方法： 1．有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．对角线相等的平行四边形是矩形．

议一议：（展示问题，引导学生讨论 解决．）

① 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由． ② 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？（进一步得到一个关于直角三角形的性质）第三环节：新课小结

《矩形、菱形、正方形》教案 篇5

【教学目标】

．理解矩形的判定定理并会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．

2．了解两条平行线之间的距离的意义，并会求两条平行线之间的距离．

3．会有条理的思考与表达，并逐步学会分析与综合的思考方法．

4经历矩形的三种判定方法的引导建模和自主建模过程。

【重、难点】

建模研究六（市级公开）：范波矩形判定教案XX37（同题异构）重点：会用矩形的判定定理证明一个四边形（平行四边形）是矩形．

难点：综合运用矩形的性质定理与判定定理进行计算与证明．

【教学过程】

一、活动1、模型准备：一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?

2、模型构成与求解分析：度量角

抽象1：矩形的四个角都是直角，反过来，四个角（或三个角）都是直角的四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．

已知：在四边形ABD中，∠A=∠B=∠=90°

求证：四边形ABD是矩形。

证明：∵∠A=∠B=90°

∴∠A+∠B=180°

∴AD∥B

同理可证：AB∥D

∴四边形ABD是平行四边形

又∵∠A=90°

∴四边形ABD是矩形

3、归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形

追问：两个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？

设计意图：从实际生活中遇到的问题出发，建模成数学问题，通过学生自主探索、思考、归纳，形成结论，再用结论解决实际问题。

二、活动2、学生自主建模：

除度量角度之外,她们需要度量什么也能知道做好的相框是矩形呢?

猜测（1）对角线相等的四边形是矩形吗？

猜测（2）当一个平行四边形框架扭动成矩形时，它的两条对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？如果是，请给出证明．

已知：平行四边形ABD，A=BD。

求证：四边形ABD是矩形。

证明:∵AB=D,B=B,A=BD

∴△AB≌△DB（SSS）

∴∠AB=∠DB

∵

AB//D

∴∠AB+∠DB=180°

∴∠AB=∠DB=90°

又∵

四边形ABD是平行四边形

∴四边形ABD是矩形

2、判断:（1）对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？

3、归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

设计意图：再次从实际生活中遇到的问题出发，从另一角度建模成数学问题，通过学生自主探索、思考、归纳，形成结论，再用结论解决实际问题。通过生活经验找出平行四边形与矩形对角线的区别。深化学生对“对角线相等的平行四边形是矩形。”的这一基本模型的理解。

三、模型验证与应用

（一）在四边形ABD中，AB=D，AD=B请再添加一个条，使四边形ABD是矩形你添

加的条是_____________

（二）判断题

、对角线相等的四边形是矩形。

2、对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

3、有一个角是直角的四边形是矩形。

4、四个角都是直角的四边形是矩形。

、四个角都相等的四边形是矩形。

6、对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。

7、对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。

设计意图：找区别，深化知识。提高学生辨别能力。提高判断能力，能用“说理”来得结论。提高学生“说”的能力。

（三）说一说、练一练：

例1如图，直线l1∥l2，A、是直线l1上任意两点，AB⊥l2，D⊥l2，垂足分别为B、D．线段AB、D相等吗？为什么？

解：由AB⊥l2，D⊥l2，可知AB∥D．

又因为l1∥l2，所以四边形ABD是矩形，AB=D．

定义、性质：

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。

两条平行线之间的距离处处相等。

练习：

在直线l1上任意取两点E、F，连接EB、ED、FB、FD。问：△EBD与△FBD的面积有何关系？为什么？

设计意图：通过学生应用新知解决问题后，理解两条平行线之间的距离的定义和性质，同时能进行简单的应用，进一步理解“同底等高”的内涵。

例2

如图，在△AB中，点D在AB上，且AD=D=BD，DE、DF分别是∠BD、∠AD的平分线。

问题1：这里有几个等腰三角形？它有什么特殊性质？

问题2：由DE、DF分别是∠BD、∠AD的平分线,你能想到什么？

建模研究六（市级公开）：范波矩形判定教案XX37（同题异构）问题3：四边形FDE是矩形吗？为什么？

练习

已知：如图，在△AB中，∠AB=90°，点D是AB的中点，DE、DF分别是△BD

△AD的角平分线。

求证：四边形DEF是矩形。

设计意图：“新知”与“旧知”的结合，题1做铺垫，为题2学生自主书写做

好准备。

a2431163

例3

已知：如图．矩形ABD的对角线A、BD相交于点，且E、F、G、H分别是A、B、、D的中点，求证四边形EFGH是矩形．

变式:

已知：如图,矩形ABD的对角线A、BD相交于点，E、F、G、H分别是A、B、、D上的一点,且AE=BF=G=DH求证:四边形EFGH是矩形

建模研究六（市级公开）：范波矩形判定教案XX37（同题异构）

设计意图：在前一题的铺垫下，通过“变式”进一步提高学生应用新知的能力。

四、小结收获：

矩形判定口诀：任意一个四边形，三角直角定矩形。对于平行四边形，一个直角即可定；对线相等也矩形。

五、反馈练习：

．下面说法正确的是（）

A．有一个角是直角的四边形是矩形；

B．有两条对角线相等四边形是矩形;

．有一组对边平行，有一个内角是直角的四边形是矩形；

D．有两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形．

2．矩形的两条对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为__________．

3．如图所示，矩形ABD中，AE平分∠BAD交B于E，∠AE＝1°，则下面的结论：①△D是等边三角形；②B＝2AB；③∠AE＝13°；④S△AE=S△E其中正确的结论有（）A．1个

B．2个

．3个

矩形的教案 篇6

教学目标

(1)掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。

(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力． 教学重点

矩形性质定理的证明及应用 教学难点

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的推导及性质定理的运用 教学过程：

一、创设情境，引入新课

师：展示教具（平行四边形），演示平行四边形变为菱形的过程.当我们给平行四边形其他的特殊条件时，是否还会得出其他图形呢？比如，我们平行四边形的一个内角变为90度，你发现了什么特殊图形呢？ 生：长方形.师：原来是大家非常熟悉的图形，他还有个高大上的名字——矩形.板书课题

师：根据前面大家对菱形，平行四边形的学习过程，对于矩形，你想从哪些方面认识它呢？ 生：矩形的定义.生：矩形的性质.生：矩形边、角、对角线的特征.生：矩形的判定.生：……

二、目标展示 师：出示学习目标.生：默读学习目标.三、自主学习1.自主探究

师：根据下面的自学指导，自主学习课本11至12页议一议前的内容.1、定义：有 的 叫做矩形.1

2、矩形是平行四边形吗？

3、如图，四边形ABCD是矩形，试从它的边，角，对角线，对称性上写出性质.（小组讨论）

边：.角：.对角线：.对称性：.4、先写出特有的性质，然后独立思考证明过程，再与课本上的证明相比较.矩形特有的性质是：..处理方式：生自主学习和小组合作相结合，通过自学——猜想——推理三个步骤，掌握矩形的性质.以小组为单位，提出学习过程中的疑问，由其它同学讨论答疑.【设计意图】本环节知识较为简单，有前面菱形性质的研究经验，又有比较坚实的三角形全等的知识基础，此处自学应该没有障碍，因此，为培养学生的自主学习能力及增大课堂容量，将此处设计为自主学习.师归纳板书：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：

1、矩形的四个角都是直角.2、矩形的对角线相等.2.自学检测

生完成导学案上的自学检测习题，然后借助投影仪展示结果，查缺补漏.3.例题解析

展示课本P13例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD(矩形的对角线相等)OA=OC=11AC，OB=OD=BD，22∴OA=OD ∵∠AOD=120°

∴∠ODA=∠OAD=1(180°-120°)= 30° 2又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)∴BD=2AB=2×2.5=5 处理方式：生独立完成，自主到黑板上板演，师规范解答过程.此题解法不唯一，教师巡视时注意搜集不同解法进行展示.【设计意图】 这个例题主要目的是应用矩形的边和对角线的性质来解决问题.在学过矩形的性质后，如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问题，就是关键.四、合作探究 1.小组合作探究

师：矩形的对角线都有哪些性质？ 生：相等，且互相平分.师：于是，连接矩形的对角线，我们会发现特殊的三角形：

个 三角形和 个 三角形，针对直角三角形，我提出下列问题，你能解决吗？试一试.（1）如图，BO是直角三角形ABC的什么特殊线段？（2）你发现BO与直角三角形ABC的斜边有怎样的关系？（3）你能证明你所发现的结论是正确的吗？（4）试用文字语言叙述这一结论.处理方式：生以小组为单位，讨论着四个问题，并试写出证明过程，派代表在黑板上展示.师：参与小组讨论，适时引导，提出疑问.生试讲解.师点拨构造矩形的方法，板书定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.∵Rt△ABC中，∠ABC=90° BO为AC边上的中线（AO=CO）∴BOAOCO2.学习检测

O 1AC 2生独立完成导学案上的检测题.【设计意图】先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学数学，用数学”的目的。再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学生的应用意识。

五、课堂小结

谈一谈，本节课你有哪些收获? 生畅谈自己的收获.生：知识上的收获：（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（2）矩形的性质（3）直角三角形的性质

解题技巧上的收获：矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。

【设计意图】让学生对学习情况进行小结，主要包括：知识小结和学法小结.通过小结，让学生梳理学习内容，明确本节课重点知识以及该掌握的解题方法和技巧，使教师及时了解学生对本节课重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况，以便答疑补漏。及时的课堂检测，及时反馈学生学习的效果便于进行课堂教学和优化.六、达标检测

生独立完成导学案的达标测试题.七、作业设置 课本P13第1,2,3题

矩形空腔噪声主动控制的研究 篇7

结构振动产生的噪声,以前用次级声源来进行有源噪声控制需要许多次级声源,而用控制结构振动的方法控制低、中频的结构声辐射,即结构声有源控制(ASAC),可以不采用次级声源,直接将控制力加于结构,使辐射声能量最小。这种控制方法的特点是用较少的控制激励器就能实现有效控制。因此,由有源噪声控制和有源振动控制形成的结构声有源振动控制技术,是控制结构振动辐射噪声的一种更有效的方法[1]。

结构声振动有源控制是针对2类问题提出的。对于全空间消声,采用有源噪声控制比较困难,而采用控制噪声辐射体的方法降低结构辐射的声功率,可以达到全空间消声目的。对于飞机座舱、轮船客舱、汽车车内空腔等封闭空间,用有源振动控制方法控制弹性壁板的振动可以减少噪声的传入。

本文以铝板和木板构成的三维空腔为例研究了噪声的主动控制问题,铝板空腔1面为铝板,其余5面为木板,然后通过压电作动片进行多输入、多输出空腔噪声的主动控制试验设计和控制策略研究,并进行了主动控制的试验。试验结果表明降噪效果较好。

1 系统总体设计

在有源噪声控制感兴趣的低频范围内,只要通过改变板的振速分布,抑制前几阶结构振动模态,便能取得显著的降噪效果。基于这样的思路,设计了利用压电作动片进行结构声噪声主动控制的试验装置,如图1所示。其中的三维闭合空间是由1面铝板和5面木板组成,铝板及木板边界条件均为固支,用螺钉固定,箱子下面垫有弹性胶垫作为支撑。将扬声器固定在铝板上方,扬声器发出信号激励铝板振动,铝板的振动引起结构噪声辐射进闭合三维空间内部。在铝板上布置两路压电加速度传感器,检测铝板的振动,它的信号经电荷放大器后,通过数采卡AD端口进入计算机控制系统,经过计算机分析发出的控制信号,通过数采卡DA端口发出,控制信号经过压电陶瓷专用放大器后给压电作动片,用来控制铝板的振动,进而控制空腔内部的噪声。空腔中安装麦克风,监视主动控制效果。试验系统采用xPC/Target系统,进行实时控制试验。试验仪器及设备见表1,铝板和压电陶瓷作动片的材料属性及几何尺寸见表2,铝板和木板构成的三维空腔内腔体积为0.125 m3。

扬声器信号由计算机发出,经扬声器功率放大器产生声波激励铝板,扬声器信号功率调节到激起板振动为止,由于NI PCI-6024E只有两路DA输出,而这两路DA输出用来驱动压电陶瓷作动片,故扬声器信号通过NI-6251的DA端口输出,其中扬声器驱动信号由LABVIEW产生。

2 传感器、作动器位置布置

为了使薄板振动在有限数量压电片作用下得到较好的控制效果,对铝板模态和空腔的声学模态用Abaqus软件进行了有限元模态分析,其中铝板为4边固支,空腔声学模态边界条件为自由状态。分析结果见表3和表4。

由上述铝板和空腔模态频率分析结果可知,对于铝板前4阶低阶模态不存在和空腔声学模态耦合的问题。

通过板件模态声辐射效率理论分析[2,3]可知,简支铝板的模态声辐射效率从高到低依次为:(1,1)最高,(1,2)与(2,1)次之,(2,2)最差。

对于固支的矩形薄板,其振动模态的对称或反对称性与简支矩形平板相同,虽然其理论分析十分复杂,但通过数值分析可知,在低阶模态,最高至(2,2)模态,其声辐射效率和简支情形大体相同[4],见图2。由上面分析可知,对于固支板,铝板的模态声辐射效率从高到低也是依次为:(1,1)最高,(1,2)与(2,1)次之,(2,2)最差。本文选取(1,1)和(2,1)模态作为传感器和作动器的布置位置,并进行同位布置。

2块压电作动片布置在正对着扬声器的铝板上表面,加速度传感器对称布置于铝板的下表面,监视声压信号的麦克风被布置于箱内,具体位置为距离箱底面内表面中心37.5 cm处。传感器1和作动器1的位置坐标为(0,0)cm,传感器2和作动器2的位置坐标为(11.5,0)cm,见图3。

3 关于双通道解耦的处理及系统识别

所研究的双输入、双输出三维空腔主动控制解耦,2个通道不必采用特别的解耦措施。原因主要有2点:(1)传感器与作动器布置采取的是同位布置方式,这种布置方式使传感器位置的设计与控制输入问题解耦[5],原因在于贴在结构表面加速度传感器的感知信号可以描述结构振动的强弱,且主要感知的是该点处应变的变化[6];(2)将2组传感器和作动器同位布置在板的模态处,针对(1,1)和(2,1)这2个模态声辐射效率高的模态进行控制,由于这2组振动模态的类型不同,所以这2组振动模态之间的耦合作用对结构模态总的声功率没有影响。也就是2个振动模态是相互独立的,不存在相互之间的耦合影响[7]。基于上述原因,同位配置在这2个模态处的双通道不需要解耦,并且采用振动模态控制方法可以降低结构的辐射声功率,并能取得减振降噪的双重控制效果。

试验系统为xPC/Target实时系统,采样频率为1 000 Hz。辨识数据由试验获得。本文采用状态空间模型分别来模拟实际的外扰通道和控制通道,外扰通道状态空间模型反映扬声器和加速度传感器之间的关系,控制通道状态空间模型反映作动片和加速度传感器之间的关系。建立外扰通道模型和控制通道模型所采用的方法是子空间系统辨识(N4SID)。用MATLAB系统识别工具箱进行系统识别[8],得到离散系统的状态空间方程。

4 神经网络控制器模型

采用静态逆辨识的方式离线设计了BP神经网络控制器,先用大量的数据离线训练逆模型,然后将训练好的模型再嵌入控制。本文中系统的期望行为由稳定的参考模型给出,控制系统的作用是使得系统输出渐近地与参考模型的输出相匹配,通过对通道1和通道2的控制达到降低空腔内噪声水平的目的。令位于(1,1)模态位置的传感器和作动器通道为通道1,位于(2,1)模态位置的传感器和作动器通道为通道2。

神经网络的网络样本由试验测得,神经网络逆模型控制器采用4阶时延环节设计控制器,采用BP网络,网络结构为10-9-2,隐层的传递函数选择S型的双曲正切函数tansig,输出层传递函数选择线性函数purelin。BP网络训练方法采用改进的Levenberg-Marquardt算法[9,10]。为了分析建立的网络模型对样本所蕴含规律的泛化能力,将总样本分成训练样本和测试样本,结果测试误差略高于训练误差。这是由于网络是由训练数据训练的,而不是由测试数据训练的原因。从上面分析可知,训练神经网络不仅对样本数据具有很强的融合能力,而且对其他试验数据也具有很强的泛化能力。所训练的神经网络可用于结构声的主动控制。

5 神经网络控制试验结果

利用设计的神经网络控制器,进行空腔噪声的主动控制试验。图4、图5和表5为1块铝板、5块木板构成空腔,0～400 Hz单频和多频噪声主动控制的结果。

从表5可知,对于1块铝板、5块木板构成的空腔,其单频和多频的声能分别降低了81.8%和75.5%,取得了较好的降噪效果。需要指出的是,之所以取得较好的降噪效果,主要原因是激励铝板的单频是(1,1)模态频率,多频以(1,1)模态频率占主要成分,这从加速度功率谱密度图中也可以看出,其功率谱密度的幅值(1,1)模态有较大的降低,由板件的模态声辐射效率理论也可知,(1,1)模态为优势模态,在前4阶模态中其结构声声辐射效率是最高的,所以降噪效果明显。

6 结论

利用所设计的神经网络控制器进行的主动控制试验,结果表明:其单频和多频的声能分别降低了81.8%和75.5%,取得了较好的降噪效果,为多通道噪声主动控制理论在汽车等矩形空腔模型上应用提供了有益的探索和参考。

参考文献

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[2]张建润,孙庆鸿,陈南,等.结构声辐射主动控制中模态辐射效率分析[J].南京大学学报,1998,34(1):40-47.Zhang J R,Sun Q H,Chen N,et al.Analysis of modal radia-tion efficiency in active structural acoustic control[J].Journalof Nanjing University,1998,34(1):40-47.

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[6]田晓耕,张元冲,沈亚鹏,等.支架振动主动控制的实验研究[J].实验力学,1998,13(2):224-230.Tian X G,Zhang Y C,Shen Y P,et al.An experiment on theactive vibration control of supporter[J].Journal of Experimen-tal Mechanics,1998,13(2):224-230.

[7]李双,陈克安.结构振动模态耦合对辐射声功率的影响[J].机械科学与技术,2007,26(11):1390-1393.Li S,Chen K A.Effect of structural modal coupling on totalradiated sound power[J].Mechanical Science and Technologyfor Aerospace Engineering,2007,26(11):1390-1393.

[8]飞思科技产品研发中心.神经网络理论与MATLAB7实现[M].北京:电子工业出版社,2005.

[9]李炯城,黄汉雄.一种新的快速BP神经网络算法———QLMBP[J].华南理工大学学报,2006,34(6):49-54.Li J C,Huang H X.QLMBP:aquick BP neural network algo-rithm[J].Journal of South China University of Technology,2006,34(6):49-54.

一类矩形翻折问题的解法举例 篇8

例1 如图1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为______.

【分析】矩形翻折图形中，要把握住“两点一线”，“两点”就是重合的两点，“一线”即为对称轴. 一般地，重合的部分有“等腰”，不重合的部分考虑勾股定理.

解：设AF=x，则BF=8-x，易证FC=AF=x，

在Rt△BFC中，CF2=BF2+BC2，

∴x2=（8-x）2+42. 解得x=5.

∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.

变式 如图2，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，把矩形纸片折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.

求：DE、EF的长.

解：设DE=x，由翻折知，A′D=AB=4，

A′E=AE=8-x.

∵∠A′=∠A=90°，

∴DE2=A′E2+A′D2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5.

由翻折知∠BFE=∠DFE，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE.

∴∠DFE=∠DEF. ∴DE=DF.

∵DC=AB=DA′，∴Rt△A′DE≌Rt△CDF.

∴BF=DF=DE=5.

在矩形CDGF中，DG=CF=3，∴EG=2.

∴EF===2.

例2 如图3所示，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=______.

【分析】要求AD的长，只要在Rt△ACF中利用勾股定理求得BC的长即可，CF易知，故关键求BF的长，这由翻折和全等即求得A′B与A′F的长.

解：如图4所示，连接EF，△A′BE由△ABE翻折所得，又因为E为AD的中点，所以A′B=AB=1，AE=A′E=DE，易知Rt△A′EF

≌Rt△DEF.

又因为F为CD的中点，所以A′F=DF=CF=CD=.

在Rt△BCF中，BF=A′B+A′F=，所以BC===.

所以AD的长为.

评注：矩形翻折后会出现全等三角形、直角三角形，产生相等的线段和角，再利用勾股定理来求线段的长度.

变式 如图5所示，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部. 将AF延长交边BC于点G. 若=，则=______（用含k的代数式表示）.

【分析】把AD、AB用含k的代数式表示.

解：设CG=1，BG=k.

∵△AEF由△AED翻折所得，E是DC的中点，

∴EF=DE=EC，AF=AD=BC=k+1.

连接EG，易证△EFG≌△ECG，∴GF

=CG=1.

∴AG=AF+FG=k+2.

∵∠B=90°，∴AG2=BG2+AB2.

∴AB==2.

∴==.

评注：本题采用赋值法，有利于线段长度的计算.

例3 如图6所示，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

（1） 求证：CM=CN；

（2） 若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值.

解：（1） 由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM.在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；

（2） 过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC.

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，

∴===3.

∴MC=3ND=3HC，MH=2HC.

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，

DC==2x，

∴HN=2x.

在Rt△MNH中，

MN==2x.

∴==2.

《矩形的判定》教学反思 篇9

《矩形的判定》一课，是在学习了《平行四边形的判定》以后提出的。因为有了学习习近平行四边形的`判定方法做为基础，所以本节课采用了“类比学习”的方法，引导学生通过“类比学习”的方法进行新知的探索与学习。在设计中，通过平行四边形的演示活动引出主题“矩形”，运用回忆的方法，对“矩形的定义及性质”进行了预备知识检测，再对矩形的判定方法进行猜想与验证，紧接下来设计了几道练习题让学生学以致用，最后用一流程图进行了小结。

在设计中，我一直想要抓住发展学生数学思维，让学生有足够的时间去思索猜想新知验证新知，课堂上也看到了学生们在积极认真的思考问题，但是因部分学生的基础比较差，对于探索证明的方法还是有些欠缺，加上课堂上关于逻辑思维的证明引导的不够充分彻底，不能够为学生做好充分的铺垫，所以部分学生感觉推理困难，这是最遗憾的地方。在学生应用判定定理做习题中，也没有能够有足够的时间汇总巡视学生做题中出现的共性问题进行讨论，只是做个别指导。等等的问题，在今后教学中，自己一定要更加的注意这些问题的出现并想办法解决，让教学中的“遗憾”少一些。

初中数学《矩形的性质》学案 篇10

教学目标:

1、理解矩形的概念，了解矩形与平行四边形的关系

2、经历探索、猜想、证明矩形性质定理过程，掌握矩形的性质定理，并能利用这一性质解决有关的问题。

3、牚握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质,并能利用这一性质解决有关的问题。

教学重点：矩形性质的理解和掌握

教学难点：矩形特殊性质的应用及推论

一．情景引入、类比学习

二．讲解新课

（一）获取矩形的定义

我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质.同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形。

什么是矩形？”。

（二）类比探索矩形的性质:

矩形的性质的研究

平行四边形有哪些性质？类比平行四边形性质的研究方法，我们研究矩形的性质。

我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质，你能说出矩形有哪些性质吗?

活动（一）：请同学们画一个矩形,或者测量矩形物体，用适当的工具度量每个角的度数,度量两条对角线的长度.并且根据你得到的数据提出你的猜想和验证。

边：

角：

对角线：

轴对称

(三)延伸出矩形性质的推论

A

C

Ｂ

Ｄ

O

如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，请探讨OC与BD的关系

于是可得到直角三角形的又一性质:

B

O

D

C

A

四、运用矩形性质

锋芒初试

如图：四边形ABCD是矩形

若已知AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝

㎝，OB=

㎝.2

若已知AC＝10㎝，BC=6㎝

则矩形的周长＝

㎝，矩形的面积＝

㎝2.A

2.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，BD是斜边AC上的中线

D

(1)若BD=3㎝

则AC＝

㎝

(2)

若∠C=30°，AB＝5㎝，(3)

则AC＝

㎝，B

C

BD＝

㎝.例1

已知：矩形ABCD的两条对角线相交于O.(1)

若∠AOB=60°，AB

=

4cm.求矩形对角线的长.C

O

A

D

B

(2)

变式1：若∠AOB=60°,AC=8cm，求AB的长？

(3)

变式2：若AB=BO=4cm,求AC和AD的长.开放：你还能提出哪些结论？

(三)巩固提高

1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是

（）

A

C

Ｂ

Ｄ

O

A.对角相等

B.对边相等

C.对角线相等

D.对角线互相平分

2.矩形ABCD中，∠ABD：∠DBC=2：1，则∠ADB=

度。若AB=4，则AC=。

3、已知：如图，BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，求证：ME=MD

A

M

B

D

E

C

我收获,我成长,我快乐

达标测评

1、矩形具有而平行四边形不具有的性质（）

（A）内角和是360度

（B）对角相等

（C）对边平行且相等

（D）对角线

2、下面性质中，矩形不一定具有的是（）

（A）对角线相等

（B）四个角相等

（C）是轴对称图形

（D）对角线垂直

3.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两

条对角线所夹锐角的度数为

（）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

4.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若

中考矩形创新题赏析 篇11

一、操作探究

例1 （河南省）（1）操作发现

如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部。小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由。

（2）问题解决

保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值。

（3）类比探究

保持（1）中的条件不变，若DC=n•DF，求的值。

解析：（1）同意。连接EF，

因为∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，

所以Rt△EGF≌Rt△EDF，GF=DF。

（2）由（1）知，GF=DF。设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y。因为DC=2DF，所以CF=x，DC=AB=BG=2x，则BF=BG+GF=3x。

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2，所以y=2x。可得==。

（3）由（1）知，GF=DF。设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y。

因为DC=n•DF，所以DC=AB=BG=nx，

CF=（n-1）x，BF=BG+GF=（n+1）x。

在Rt△BCF中，BC 2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2。

所以y=2x，可得==或。

点评：本题从简单的矩形、三角形入手，探讨图形的折叠、线段的长度变化，在条件发生变化时，类比探究代数式取值的变化。既考查了数学基础知识，也考查了数学思维能力。

二、折叠

例2 （江苏省连云港市）在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为__________。

解析：如图2所示，连接BB′，由题意可知△ABB′为等腰三角形，AE垂直平分BB′。由线段的垂直平分线的性质可知，直线AE上的每一点到点B和到点B′的距离相等。则要在AE上找出到边CD的距离与到点B的距离相等的点P，只要过点B′作CD边的垂线，与AE的交点即为所求点P。所以图2中，BP＝B′P且B′P⊥CD。易证四边形BEB′P为菱形。

在Rt△ADB′中，易得DB′＝3，所以CB′＝2。在Rt△CEB′中，CB′=2，

设B′E=x，则CE=4-x，所以(4－x)2＋4＝x2，解得x＝。

点评：图形折叠类问题的解决总是离不开轴对称、勾股定理等基础知识，此类问题考查同学们的动手能力及空间想象能力。本题设计的问题是寻找到与已知线段和已知点的距离相等的点。需要大家在充分理解题意的条件下，联系已学知识转化应用，再应用菱形的性质，最终将问题转化为熟悉的折叠类问题。

三、剪、拼

例3 （山东省威海市）如图3-①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC、△A1B1C1。

﹙1﹚将△ABC、△A1B1C1按如图3-②所示摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E。求证：∠B1C1C＝∠B1BC。

﹙2﹚若将△ABC、△A1B1C1按如图3-③所示摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F。试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由。

（3）写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形______________。

解析：（1）如图3-④，依题意知，

△ABC≌△A1B1C1，则有AB= A1B1，∠A=∠1，

所以∠3=∠A=∠1，BC1∥AC。

又知BC1=AC，所以四边形ABC1C是平行四边形，∠4=∠7=∠2。

因为 ∠5=∠6，所以 ∠B1C1C＝∠B1BC。

﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC。

理由如下：如图3-⑤，依题意，知△ABC≌△A1B1C1，

所以 AB=A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，

∠A=∠2。

所以 ∠3=∠A，∠4=∠7。

因为 ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，

所以 ∠C1BC＝∠A1BA。

因为 ∠4=（180°－∠C1BC），∠A=（180°－∠A1BA），

所以 ∠4=∠A，∠4=∠2。

因为 ∠5=∠6，所以 ∠A1C1C=∠A1BC。

﹙3﹚△C1FB， △A1C1B，△ACB。

关于铁丝围矩形问题的有效教学 篇12

学生独立思考，举手并尝试分析：如果设这段栅栏围成的矩形花圃的一边长是xm，那么矩形花圃的另一边长是学生据此可以列出方程求解。

教师请两名同学到黑板板演，其余同学在下面做。解题过程如下：

解：设这段栅栏围成的矩形花圃的一边长是xm，那么矩形花圃的另一边长是（11-x) m。

(1）如果矩形花圃的面积是30m2，那么x (11-x）=30，解这个方程，得x1=5, x2=6，从而算出长22m的栅栏能围成面积是30m2的矩形花圃。

(2）如果矩形花圃的面积是32m2，那么x (11-x）=32，整理，得x2-11x+32=0因为b2-4ac=（-11) 2-4×1×32=121-128=-7<0，所以此方程没有实数解。因此长22m的栅栏不能围成面积是32m2的矩形花圃。

学生的解答过程较好。教师激疑：难道说，一段长22m的栅栏可围成的矩形花圃的面积是有范围的吗？学生认可。

教师：那么面积有怎样的范围？学生陷入深深地思考，并急于想获知结果。同学们将思考聚焦在x (11-x）上，然后终于有学生有所发现，阐述观点：设这段栅栏围成的矩形花圃的一边长是xm，那么矩形花圃的另一边长是（11-x) m, x (11-x）=-x2+11x=-（x-5.5) 2+30.25，∴不论x取任何实数，x (11-x）的值总不大于30.25。同学们这才恍然大悟，原因、病根、症结找到了，对问题的理解就更透彻了。

教师给予肯定。教师追问：哪位同学还会有其他发现？学生：当一边长为5.5m时，矩形的面积为最大，是30.25m2，此时四边形的形状为正方形。教师对同学们的细心发现表示赞赏。教师激疑：如果要用给定长度的栅栏围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这一区域的形状选成什么四边形？学生：正方形。教师继续追问：如果要用给定长度的栅栏围成一个最大面积的区域，那么应当把这一区域的形状选成什么图形？凭借以前的知识积累，学生回答是圆。教师：你们如果能用实验说明，就更好了。学生讨论交流，尝试举例。如：可以在一块四周均匀拉紧了的自行车内胎薄膜上，用针划一个细小的小口，它必然会变成近似圆形的小孔。或拿一根柔软的皮圈，水平放在一块玻璃板上（皮圈与玻璃板之间无空隙），向皮圈中间缓慢倒水，皮圈会变成圆形，而由于水的特性会保证水占有尽可能大的面积，所以问题得证。

学生的思维一旦发散，就像打开泄洪的闸门一样，一发不可收拾。学生试图利用液体的表面张力去探寻。教师组织学生小组合作，实际动手操作演示：先用细线打一个小圈（线要较软，不要太长），放在一个沾有肥皂水并形成薄膜的铁丝圈上。再用针将线圈内的薄膜刺破，这时由于线圈外的薄膜要收缩到最小面积，而将线圈拉成圆形，即空出来的面积最大。

学生小组合作，兴致盎然，课堂气氛热烈。在教学中，如何通过设问引导学生积极思考是很多教师的疑难问题。对于这道题笔者从x (11-x）=30的有解，到x (11-x）=32的无解，激发学生重新审视x (11-x），得出了x (11-x）有着自身特有属性，进而探究给定长度的栅栏围成一个最大面积的四边形区域是什么形状？又从学生已有的知识经验水平与最近发展区之间的问题入手，让学生举例，并通过实验演示，验证围成一个最大面积的区域是圆形的结论，通过连续提问，诱导学生去发现问题、探究问题、创造性地解决问题。学生对给定长度的线段围成的最大面积的区域是圆的生活体验，教师事先也无法了如指掌，学生的想法与思维既有“归队”的时候，也有“出轨”的时候，但也只有这样切合学生的实际，才会真正体现数学的“返璞归真”。作为教学设计的实施环节，课堂教学实践永远是教师发挥创造性的最大舞台。只要教师在课堂教学中注重培养学生的自觉反思习惯，善于抓住培养学生反思意识的切入点，定能使学生学会用数学的眼光看问题，学会用数学的头脑去发现问题、分析问题、解决问题等，学生将会终生受益，这也正切合数学教学所要达到的最终目的。

摘要：在教学活动中实施有效教学, 使学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力都得到很好的发展。